运筹学03

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线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
对偶单纯形法

影子价格和灵敏度分析
对偶单纯形法的计算步骤
1．给定一个初始对偶可行的基本解，设相应的基为B。
1 2．若 b B b 0，则停止计算，现行对偶可行的基本解为最优解。 否则令 br min {bi} 0，则该行所对应的变量 x r 为换出基的变量；
束条件的系数
写出下列线性规划 问题的对偶问题：
先化为最小化问题：
min z x1 x2 x3
系数变成约束 条件右侧值
变成目标 函数的系数

1
2
也可把对偶问题化为 最小化问题：
最小化问题的对偶问题：
max w 25u1 2u2 3u3 u1 u2 u3 1 u 2u u 1 1 2 3 2u1 u2 u3 1 u1 , u2 0
当 max z min w时，工厂的决策者认为这两种考虑有相同结 果，都是最优方案！
对偶问题的一般形式
原线性规划问题（LP）
在实际问题中，对偶 问题的目标函数表示 可利用资源的数量。
原问题（LP）的对偶问题（LD）
min z cx Ax b s.t. x0
max w ub uA c s.t. u 0
单纯形算法和对偶单纯形算法之差别
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线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
影子价格和灵敏度分析
影子价格和对偶价格
约束条件右侧（即资源）改变1个单位时，目标函数（即 利润）的变化量，它度量了约束条件对应的那种资源的价值， 经济学上称为影子价格。
对偶价格：约束条件的右侧值每增加一个单位导致最优解的
⑤ 原问题的目标函数系数成为对偶问题中的约束条件的右侧值。
⑥ 目标函数中原问题第i个变量的系数成为对偶问题中第i个约束条件的 常数项。
原问题与对偶问题
线性规划问题的对偶问题举例
max z x1 x 2 x3 x1 x2 2 x3 25 x1 x 2 2 x3 25 x 2 x x 2 x1 2 x 2 x3 2 1 2 3 x x x 3 1 2 3 x1 x2 x3 3 x , x 0 1 2 变成第一个约 x , x 0
现有另一工厂乙，因生产需 要。拟向甲厂租用所有的机 器，则乙厂希望租金越少越 好，当然必须保证甲厂的利 润。显然，如果甲厂的利润 得不到保证，甲厂是不可能 出租的。
min w 48 x1 20 x 2 8 x3 8u1 4u 2 2u 3 60 6u1 2u 2 1u 3 30 u 1.5u 0.5u 20 3 u1 , u , u 2 0 1 2 3

对偶规划的基本性质

五、松驰性 设 x ，u 分别是原问题和对偶问题的可行解，则 x ， u 是最优解的充要条件是对所有的i和j，下列关系成立： 1．如果 x j 0 ，有 u p j c j ； 2．如果 u p j c j ，有 x j 0 ； 3．如果 u i 0 ，有 Ai xi bi ； 4．如果 Ai xi bi ，有 u i 0 。 其中pj是A的第j列，Ai是A的第i行。
第三章 线性规划对偶理论及其应用
教学要求：
掌握线性规划对偶理论及其基本经济学意义； 了解运用对偶理论对线性规划最优解进行分析的基本方法；
会运用对偶理论对一些基本的管理问题进行经济学分析。
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线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法 影子价格和灵敏度分析
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线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法 影子价格和灵敏度分析
对偶问题的提出
原问题

对偶问题

某工厂甲生产A、B、C三种产 品。这三种产品的单位利润分 别是60、30、20。生产这三 种单位产品所占用M、N、P三 种机器的时间已知，机器M、 N、P每天可供使用的时间分 别是48、20、8小时。这三种 产品每天生产多少才能使工厂 获得最大效益。 max z 60 x1 30 x 2 20 x3 8 x1 6 x 2 x3 48 4 x1 2 x 2 1.5 x3 2 2 x x 0.5 x 8 2 x ,1x , x 0 3 1 2 3
在报告列表框中选择“敏感性报告 ”
Microsoft Excel 9.0 敏感性报告 工作表 [SOLVE.xls]Sheet2 报告的建立: 2004-10-7 13:40:18
可变单元格
影子 价格
用单纯形法求解对偶问题（LD）（即 最大化问题） 时，其最后一行的检验数行对应原问题（LP）的一 个基本解。并且在最终的单纯形表中，对偶松弛变 量对应的检验数的负数就是原问题（LP）的最优解。
例3.4：用对偶单纯形法求解线性规划
min z x1 3 x 2 2 x3 6 x1 3 x 2 4 x3 8 3 x1 x 2 3 x 3 2 x1 , x 2 , x 3 0
用单纯形法求解得：x1=20，x2=24。
其对偶问题是： min w = 360y1+200y2 +300y3 s.t. 9y1 + 4y2 + 3y3 7 4y1 + 5y2 + 10y3 12 y1 0，y2 0，y3 0 用单纯形法求解得：y1=0，y2 =1.36，y3=0.52。
对偶问题的变量表示 单位资源的价值。
最小化问题的对偶问题的一般步骤
① 对偶问题是最大化；
② 当原问题有n个决策变量，则对偶问题有n个约束条件。对偶问题的 第一约束条件对应的是原问题中的x1变量，对偶问题的第二个约束条 件对应的是原问题中的x2变量，依此类推。
③ 当原问题有m个约束条件，则对偶问题有m个决策变量。对偶问题的 u1变量对应的是原问题中的第一约束条件，对偶问题的u2变量对应的 是原问题中的第二约束条件，依此类推。 ④ 原问题的约束条件的右侧值成为对偶问题的目标函数系数。
乘以(-1) min z 3 x1 x 2 标准化 x x x 1 2 3 1 2 x1 3 x 2 x 4 2 x1 , x 2 , x3 , x 4 0 min z 3 x1 x 2 1 x1 x 2 x3 2 x1 3 x 2 x 4 2 x1 , x 2 , x3 , x 4 0 初始对偶单纯形表： 进基
解：在第2个约束方程的两边同乘以-1，然后引入变量x4,x5得： min z x1 3 x 2 2 x3 8 6 x1 3 x 2 4 x3 x 4 x 5 2 3 x1 x 2 3 x3 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0 用对偶单纯形法求解得最优解 ： x1 2 / 3, x4 4, x2 x3 x5 0 最优目标函数值 ： f min 2 / 3
所以（LP）的影子价格是：{0，2，4} ；（LD）的影子价格为{7.5, 0, 0.5}；
例3.8：A工厂计划生产甲、乙两种产品。每千克产品的销售 价格和能源消耗量、以及能源资源见表3-26，怎样安排生产 计划才能使A工厂获益最大？
解：x1：产品甲的计划生产量；x2：产品乙的计划生产量，则有如下 线性规划问题： max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制) 4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
min w 25u1 2u 2 3u 3 u1 u 2 u 3 1 u1 2u 2 u 3 1 2u u u 1 u ,1u 2 0 3 1 2
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线性规划的对偶问题
对偶规划的基本性质
对偶单纯形法 影子价格和灵敏度分析

对偶规划的基本性质
所以，煤、电、石油的影子价格分别为：0、1.36、0.52。
• 直观上，如果在一个生产计划下，每一种资源都有所剩余， 必然还可进一步通过剩余资源的组合增加生产收入(例如，将
x2增加到24)。这表明该生产计划必定不是最优的生产计划。
• 换言之，如果一个生产计划是最优的，则该计划必然会耗尽 某些资源。
• 在一个最优生产计划下，被耗尽的资源对于A工厂来说就是 所谓的稀缺资源。
增加量。对偶价格只适用于约束条件右侧值变化比较小的情况。 当资源越来越多时，约束条件右侧的值也越来越大，其它的约 束条件就有可能成为紧约束，限制目标函数值的变大。
决策变量、影子价格之间的对应关系
例3.7：求下列原问题的最优解及影子价格和对偶问题的最优解 及影子价格。
min z=4x1+7x2 +8x3 s.t. x1+ x2 ≥3 x2 +2x3 ≥1 x1+ x2 + x3 ≥8 x1≥0,x2≥0,x3≥0 （LP）
• 如果追加这些稀缺资源的量，则可进一步提高产量以增加生 产收入。
• 于是，提出了这样一个实际问题：如果在一个最优生产计划 下，出现多种稀缺资源，那么，哪些稀缺资源最值得追加？ • 或者说，如果A工厂始终按照最优化的计划组织生产，哪些 资源对其最为紧缺？ • 另外，根据稀缺资源对提高整个生产收入的贡献，A工厂甚 至可考虑以高于市场价格的采购策略追加这些资源。
ci
cB
0 0
3 B -1 -2 x1 -1 -2
1 x2 -1 -3 主元
0 x3 1 0
0 x4 0 1
xB
x3 x4
cj zj