导数导学案
导数的计算导学案
导数的计算导学案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点的变化速率。
导数的计算方法非常重要，下面将介绍导数的计算导学案。
一、导数的定义根据导数的定义，函数f在点x处的导数可以通过极限的方法得到：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h二、导数的基本计算方法根据导数的定义，我们可以利用一些基本的规则计算导数：1.常数的导数为0若c为常数，则d(c)/dx = 02.幂函数的导数对于幂函数y = x^n（n为正整数），导数为dy/dx = nx^(n-1)例如，y = x^2，则dy/dx = 2x3.指数函数的导数对于指数函数y = a^x（a>0且a≠1），导数为dy/dx = a^x * ln(a)例如，y = e^x，则dy/dx = e^x * ln(e) = e^x4.对数函数的导数对于对数函数y = log_a(x)（a>0且a≠1），导数为dy/dx =(1/ln(a)) * (1/x)特别地，自然对数函数y = ln(x)的导数为dy/dx = 1/x5.三角函数的导数对于三角函数，有以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)cos(x)的导数为-sin(x)tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)cot(x)6.反三角函数的导数对于反三角函数，有以下导数公式：arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)arctan(x)的导数为1/(1+x^2)7.速度与加速度若y表示物体的位移，t表示时间，则速度v的导数为dy/dt，加速度a的导数为d^2y/dt^2三、导数的基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，例如和差法则、积法则和商法则等，它们可以辅助我们计算复合函数的导数。
导数(1)导学案
课题：导数的概念及几何意义复习【学习目标】 (1)理解导数的几何意义；熟记常见基本初等函数的导数公式和掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；（2）会求简单函数的导数．会求函数的切线方程【重点难点】会求简单函数的导数．会求函数的切线方程【使用说明及学法指导】结合课本使用导学案，复习本节课的知识点，重要的公式法则和题型所对应的解题方法规律；先独立做并记录好疑难点，在课堂上针对性的学习。
【知识链接】1、 定义：设函数)(y x f =在区间()b a ,上有定义，),,(0b a x ∈当x ∆无限趋近于0时比值 xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在点0x x =处可导，并称该常数A 为函数)(x f 在点0x x =处的导数，记作)(0x f '。
2、 若)(x f 对于区间()b a ,内的任一点都可导，则)(x f 在各点的导数也随着自变量x 的函数，该函数称为)(x f 的导函数，记作)(x f '。
注意)(x f '与)(0x f '是不同的概念：)(0x f '是一个常数，)(x f '是一个函数；)(0x f '是)(x f '在0x x =处的函数值复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 问题：导数的物理意义是：复习2：常见函数的导数公式： 幂函数：='）（αx （α为常数） 指数函数：=')(x a （a >0，且1≠a ） 特例：=')(x e 对数函数：=')(log x a （a >0，且1≠a ） 特例：='）（x ln 正弦函数：=')(sin x 余弦函数：=')(cos x 复习3[()()]f x g x '±= [()()]f x g x '=()[]()f xg x '=【预习案】1：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x = （2）y =（3）21y x = （4）y = 2求函数323y x x =-+的导数.3（1）32log y x x =+； （2）n xy x e =； （3）31sin x y x-=4 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-. 5．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--6.函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A. 18B. 41C. 21 D. 1 7.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数8、函数()sin ln f x x x =+的导函数()f x '=9、一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____10、曲线y ＝x 3－23 x 2－3x ＋1在x ＝1处的切线的倾斜角为 11、 如图，函数f （x ）的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （f （0））＝ ；函数f （x ）在x ＝3处的导数f ′（3）＝ .12、已知曲线x x y ln 3212-=的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 ． 13、曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为 14、设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a15、曲线x x y +=331在点)34,1(处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 16、已知函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f 处的切线方程是012=+-y x ，则)1(2)1(f f '+的值是 17、在曲线106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为【探究案】例1．下列函数的导数：①2(1)(231)y x x x =++- ②y ③()(cos sin )x f x e x x =⋅+例2． 如果曲线103-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，求切点坐标与切线方程．变题：已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. 求a ，b 的值；拓展1已知两曲线ax x y +=3和c bx x y ++=2都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。
导数的计算导学案
1.2导数的计算导学案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数的计算导学案第一课时：几个常用函数的导数一．学习目标：1．学会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y = 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 二．学习重、难点：五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =三．学习过程 （一）创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当x ∆趋近于0的时候，yx∆∆所趋于的那个定值。
（二）获取新知1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x xx x x∆+∆-+∆-===∆∆∆所以00lim lim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图）上点(,)x y 处的切线的斜率都为 ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆5．函数y=()()y f x x f x xx∆+∆-==∆∆因为==0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆所以推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）课堂小结第二课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．。
高中数学《导数的概念》教案导学案
导数的概念教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。
教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。
虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。
由此我们引出下面导数的概念。
二、新授课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。
2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。
3.xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。
4.导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
因此，如果)(x f y =在点0x可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。
5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。
导数及应用导学案
导数及应用导学案【课前预习导读】 一、学习目标1.知识与技能１）了解导数概念的实际背景, 理解导数的几何意义．２）掌握函数y =c (c 为常数)、*()n y x n =∈N 的导数公式，会求多项式函数的导数。
３）会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值，利用导数证明函数的的单调性，会利用导数求最值的方法解决一些实际问题． 2.过程与方法通过对几种题型的分析、讲解和进一步的练习，提高学生综合、灵活运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力。
3.情感态度价值观培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。
二、重点难点函数单调性及极值、最值的讨论 三、学习方法：探究、讨论、归纳。
四、自主复习1、 已知0a >，函数312()f x ax x a=+，且'(1)12f ≤，则a = （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则 角α的取值范围是 （ ）A ．),32[ππB ．]65,2(ππC ．),65[)2,0[πππ D ．),32[)2,0[πππ 3．已知函数f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数的导函数)，下面四个图象中()y f x =图象大致是（ ）【课堂自主导学】 一、问题探究例1 （1）曲线f (x )=x 3－3x ，过点A (0，16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程；变式：若把“A (0，16)”改为“B （2，2）”，其余不变，结果如何？例 2 函数32()f x x ax bx c =+++，在曲线()y f x =上的点))1(,1(f P 处的切线方程为y =3x +1．（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式；（2）在（1）的条件下，若对于任意]1,3[-∈x 都有()f x m <成立, 求实数m 的取值范围； （3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围。
导数导学案3
新知：当割线PP n 无限地趋近于某一极限 位置PT 我们就把极限位置上的直线 PT ,叫做曲线C 在点P 处的切线* 割线的斜率是：k n _________________________当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线 PT 的斜率.因此，函数f(x)在X X 0处的导 数就是切线PT 的斜率k ，即k lim 丄^^一X)f(X 0) f /、八X 0 新知：函数y f(x)在x o 处的导数的几何意义 是曲线y即 k =f(x 0) lim f(x x) f(x 0)x 0探典型例题例1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数§.1.3导数的几何意义上一学习目标一 _ 通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率, 会运用概念求导数. 理解导数的概念并 心学习过程-、课前准备(预习教材P 11〜P 13，找出疑惑之处) 1:曲线上向上P(X 1,y 1),p(X 1x,y 1 y)的连线称为曲线的割线，斜率 复习 复习 改变 称为函数f (x)在点x 0的瞬时变化率. 记作：当 2：设函数y f(x)在x o 附近有定义当自变量在 x X o 附近改变 x 时， ，如果当x __________ 时，平均变化率趋近于一个常数 函数值也相应地 I ，则数I 时, 二、新课导学 探学习探究探究任务：导数的几何意义问题1:当点 R(X n ,f(X n ))( n 1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P (x 。
，f^))时，割线的变化 f(x)在P(x o ，f(X0))处切线的斜率. 2h(t) 4.9t 6.5t 10的图象.根据图象请描述、比较曲线h(t)在t o,t l,t2附近的变化情况.小结：练1.求双曲线y丄在点(丄,2)处的切线的斜率，并写出切线方程.x 2练2.求y x2在点x 1处的导数.三、总结提升探学习小结函数y f(x)在X o处的导数的几何意义是曲线y f(x)在P(x o, f (x o))处切线的斜率.即k=f(x o) lim f(x x) f(x o)x o其切线方程为__________________________________探知识拓展导数的物理意义：如果把函数y f (x)看做是物体的运动方程(也叫做位移公式，自变量x表示时间)，那么导数f (X o)表示运动物体在时刻x的速度，而运动物体的速度v(t)对时间t的导数，即，即在X o的瞬时速度.即v xo f (xj lim」to x v(t) lim」称为物体运动时的瞬时加速度.\ 1 t O t__学习评价…一探自我评价你完成本节导学案的情况为(A.很好B.较好C. 一般D.较差探当堂检测(时量：5分钟满分：1O分)计分：1.已知曲线y 2x2上一点，则点A(2,8)处的切线斜率为(A. 42.曲线yA. yC. yB. 162x21在点4x 14x3. f (x)在x x o可导,h都有关C. 8D. 2P( 1,3)处的切线方程为(B. yD. ylim迪h 0hB.仅与x。
导数导学案
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
8.如果质点A按规律 运动，则在 时的瞬时速度为
9.若 ，则 等于
课后作业
1.国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理.下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
例2日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为 时所需费用（单位：元）为 .求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%；（2）98%.
小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.
※动手试试
练1.求下列函数的导数：
新知：
试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 的导数.
※典型例题
例1假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价 (单位：元)与时间 (单位：年)有如下函数关系 ，其中 为 时的物价.假定某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
变式：如果上式中某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有＝，那么函数f(x)就是区间I上的函数.
复习2： ； ； ； ； ； ； ； ；
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：
问题：我们知道，曲线 的切线的斜率就是函数 的导数.从函数 的图像来观察其关系：
1.2 导数的计算 导学案(教师版)
§1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容要求 1.能根据定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 3.会使用导数公式表.知识点1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x【预习评价】思考根据上述五个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？提示y＝xα的导数是y′＝αxα－1.知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln__a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f (x )＝ln xf′(x )＝1x求下列函数的导数：(1)f (x )＝4x 5；(2)g (x )＝cos π4；(3)h (x )＝3x . 解 (1)f (x )＝x 54，∴f ′(x )＝54x 14； (2)g (x )＝cos π4＝22，∴g ′(x )＝0； (3)h ′(x )＝3x ln 3.题型一 利用导数定义求函数的导数【例1】 利用导数的定义求函数f (x )＝2 019x 2的导数. 解 f ′(x )＝0limx ∆→2 019（x ＋Δx ）2－2 019x 2x ＋Δx －x＝0lim x ∆→2 019[x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2]－2 019x 2Δx＝0lim x ∆→4 038x ·Δx ＋2 019（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→(4 038x ＋2 019Δx )＝4 038x .规律方法 解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.(2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )，(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 【训练1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数. 解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋b －（x 2＋ax ＋b ）Δx＝0lim x ∆→x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －bΔx＝0lim x ∆→2x ·Δx ＋a ·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .题型二 利用导数公式求函数的导数 【例2】 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法 求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 13； (2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12； (2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ； (4)y ′＝(15x 2)′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75.方向1 利用导数求曲线的切线方程【例3－1】 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与在这点处的切线垂直的直线方程.解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23， 故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0. 方向2 切线方程的综合应用【例3－2】 设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解 如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设与直线y ＝x 平行的直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0). 因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.【训练3】 (1)求曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程；(2)求曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线方程.解 (1)∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，y ′|x =π6＝－sin π6＝－12.∴曲线在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即6x ＋12y －63－π＝0. (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .∴曲线在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线的斜率为k ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32.∴切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即33x －6y ＋3π＋3＝0.课堂达标1.已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A.0B.2xC.6D.9解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 答案 C2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B.0C.12xD.32解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.答案 A3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案 A4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 答案 12e 25.已知f(x)＝52x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.解析因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－13，x2＝2.答案－13或2课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2x2的导数.因为y＝1－2sin 2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.基础过关1.函数y＝3x在x＝2处的导数为()A.9B.6C.9ln 3D.6ln 3解析y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.答案 C2.下列结论中，不正确的是()A.若y＝1x3，则y′＝－3x4B.若y＝3x，则y′＝3x3C.若y＝1x2，则y′＝－2x－3D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析由(x n)′＝nx n－1知，选项A，y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3； 选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.已知f (x )＝cos x ，f ′(x )＝－1，则x 等于( ) A.π2B.－π2C.π2＋2k π，k ∈ZD.－π2＋2k π，k ∈Z解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，则sin x ＝1， ∴x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 答案 C4. 曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________． 解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋15.若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 解析∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a ).令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案 646.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0， 得－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1， 但sin x ∈[－1，1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 能力提升8.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处分别有斜率为1的切线.答案 B9.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B.－1e C.－eD.e解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 答案 D10.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 解析 ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1. ∴a ＝1. 答案 111.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 1012.已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728， 所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 019(x ). 解 ∵f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，∴f n ＋4(x )＝f n (x )，可知f (x )的周期为4，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝-cos x .。
(完整word版)选修2-2导数导学案
§121基本初等函数的导数、、公式C/( x n/导数导数运算法则sinx/cosx/ln x/a x/lo gax/、运算法则——=( gx习题1、求下列函数的导数丄(1) y (2) p----x j x (4) y 3x2xcosx(5) y cosx 2x2e x Inx(7) y 2e x sin x2、对于任意的x,f/4x3, f 1 1,则f3、设f X na o Xna1xna2X a n 1x a n三、复合函数的导数设复合函数y f g X ,1、求下列函数的导数2x 35(2) y 3 2x3y sin x (4) cos2 3x (5) y xsin2x cos3x (6) y 3e 2x(7) ln x2 1四、导数的几何意义：切线问题f X在点P X o, f X o处的切线的斜率k=补充知识点:l1//l2k1k2l1 l2 k1 k21、求曲线y f x 在点 P x0,fX o处的切线方程点P X o, f X o在曲线上。
解：k f/(x o)，直线的方程为:2、求曲线y f X过点P x o, f X o的切线方程点P X o, f X o不一疋在曲线上。
解：设切点为(a,b)则k f/(a)因为(a, b)在y f X上所以f(a)f/(a)(xy o从而求出k X o)例1、( 1) 2X21在点p (-1,3)处的切线方程。
(2) 3x2 1在点p (1, 1)处的切线方程。
例2、(1) 求过点P(1,1)的曲线y 3X的切线方程。
(2) 求过点P(1,2)的曲线y X31的切线方程。
§1、2、2导数的应用----单调性、函数的单调性题型二：已知单调性求参数的范围f max (X) ，其中a 是参数为常数，x 为变量。
f min (x)a若2, 为函数y 2x —的单调增区间，则实数 a 的取值范围。
x导数有关填空选择题-----构造函数点拨：已知曲线 y f x 在区间a,b 上连续(1)若 f /(x o ) 0 yf(x)在区间a,b 是增函数(2)若 f /(x o ) 0 y f (x)在区间a,b 是增函数题型一： 例1、求以下函数的单调区间 求函数的单调区间 f(x) X 2 1x 1 f(x) x 2仮 x)sin x2 c os x例2、已知函数a(a x0),在 2,上为增函数，求a 的取值范围。
《基本初等函数的导数》 导学案
《基本初等函数的导数》导学案一、学习目标1、理解并掌握基本初等函数的导数公式。
2、能够运用导数公式求基本初等函数的导数。
3、体会导数在解决函数问题中的作用，提高分析问题和解决问题的能力。
二、学习重点1、基本初等函数的导数公式的推导及应用。
2、利用导数公式求函数的导数。
三、学习难点1、导数公式的推导过程。
2、灵活运用导数公式解决问题。
四、知识回顾1、导数的定义：设函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的自变量的增量为\（＼Delta x\），函数的增量为\（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼），如果当\（＼Delta x ＼to 0\）时，平均变化率\（＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x}＼）的极限存在，即\（＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x}＼）存在，则称函数\（y＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处可导，并称这个极限为函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数，记作\（f'（x_0)＼）。
2、导数的几何意义：函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数\（f'（x_0)＼），就是曲线\（y ＝ f(x)＼）在点\（（x_0, f(x_0)）＼）处的切线的斜率。
五、新课讲授（一）常数函数的导数1、思考：对于函数\（f(x) ＝ C\）（＼（C\）为常数），其导数是什么？2、推导：＼＼begin{align}＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}＼dfrac{f(x ＋＼Delta x) f(x)｝｛＼Delta x}＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}＼dfrac{C C}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0}0\＼＆＝0＼end{align}＼3、结论：常数函数的导数为\（0\），即\（（C)＇＝ 0\）。
导数全套导学案
3.1.1函数的平均变化率命题人 林晓明 审批人 李志远 时间：2015/12/19 期数 51【预习目标】 1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程．2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．3.体会导数的思想及其内涵，并能运用.【预习内容】１.平均变化率的概念是什么？２．Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率一定为正值吗？３.函数在某点处附近的平均变化率是什么？４.观察函数f (x )的图象,平均变化率y x ∆=∆1212)()(x x x f x f --表示什么?５.求函数在某点处附近的平均变化率的步骤什么？６.“Δx →0”的意义是什么？函数f (x )在x 0处的附近的平均变化率与Δx 有关吗？1.函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)2．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ．【疑难解析】 例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；例2．求函数f (x )=3x x -+图象上从点(1,2)A 到点(1,2)B x y +∆+∆的平均变化率.【练习与展示】1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为A.3B.6C.9D.122. 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在[1，3]区间上的平均变化 率 ；()f x 在[1，2]区间上的平均变化率 .3.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化 率 .4．已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）= -2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0， 5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率.【总结提升】。
导数导学案
导数的综合应用学习目标：1、利用导数研究单调性、最值、零点等问题。
2、掌握导数与不等式结合的问题。
3、体会分类讨论思想，数形结合思想，转化与化归思想在解决问题中的应用。
一、课前热身1、已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-=，若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围为2、设函数x x x f +=3)(，若02πθ<≤时，(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数的取值范围是_ .3、已知关于x 的方程3||3x kx x =+有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 4、在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线1C ：31(0)y ax a =+>与曲线2C ：2252x y +=的一个公共点，若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是二、课堂互动1、数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.()(0)kxf x xe k =≠()y f x =(0,(0))f ()f x ()f x (1,1)-k2、(1)()ln (0,)a x f x x x a R x-=->∈． （1）试求f (x )的单调区间；（2）当a >0时，求证：函数f (x )的图像存在唯一零点的充要条件是a =1；（3）求证：不等式111ln 12x x -<-对于(1,2)x ∈恒成立．3、已知函数.32)(2x x e x f x -+=（I ）求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程；（Ⅱ）求证函数)(x f 在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相 应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e ≈2.7，e ≈1.6，e 0.3≈1.3） （III ）当,1)3(25)(,212恒成立的不等式若关于时+-+≥≥x a x x f x x 试求实数a 的取 值范围。
高中数学选择性必修二 5 2 1基本初等函数的导数 (导学案)
5.2.1基本初等函数的导数导学案,y=√x的导数．1. 能根据定义求函数y＝c，y＝x，y=x2，y=1x2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．重点：基本初等函数的导数公式的简单应用,y=√x的导数难点：根据定义求函数y＝c，y＝x，y=x2，y=1x原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝f(x)＝sin x f′(x)＝f(x)＝cos x f′(x)＝f(x)＝a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝e x f′(x)＝f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝ln xf′(x)＝___1.函数y ＝4x 2在x ＝2处的导数为________．2．常数函数的导数为0说明什么？3．对于公式“若f (x )＝x α(α∈Q)，则f ′(x )＝αx α－1”，若把“α∈Q”改为“α∈R”，公式是否仍然成立？ 4．下列说法正确的个数为( )①若y ＝2，则y ′＝12×2＝1；②若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ；③f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x4.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．(多选)下列结论正确的是( )A ．若y ＝0，则y ′＝0B ．若y ＝5x ，则y ′＝5C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2D ．若y =x 12，则y ′＝12x 126．若y ＝cos 2π3，则y ′＝ ( )A ．－32 B ．－12 C ．0 D.127．函数y ＝x 在点⎝⎛⎭⎫14，12处切线的倾斜角为 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4一、 学习导引由导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。
在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。
导数运算法则导学案
课题
学习 目标
§3.2.3 导数的运算法则
课型
探究课
掌握导数的四则运算法则， 并能利用公 审批 式求简单函数的导数； 人 导学过程 一、知识前测： (3) y 2 求函数 y x 在 (2,4) 处的导数切线方程。 二、结论探究： （1）导数的四则运算法则： 1、 2、
知识解读
x sin x
f ( x) g ( x) f
( x) g ( x)
(4) y
x 4x
f ( x) g( x) f ( x) g( x) f ( x) g ( x)
1 ln x f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) y ． ( g ( x) 0) (5) 3、 1 ln x 2 g ( x) g ( x)
方法总结：
sin x x cos x cos x x sin x
y x3 2 1 x 1 x
方法总结：
（3） y
x sin x ；
（4） 变式 2：过曲线 y f ( x )
1 上点 x
y
x 4x
；
1 （2， ）且与过这点的切线垂直的 2 直线方程是
（2）推论：
cf ( x) cf ( x)
(6)
（常数与函数的积的导数， 等于常数乘函数的导数） 三．范例探究：1X1 思维导练
y (2 x 2 5 x 1) e x ；
知识点 1：导数的运算 例 1： 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则， （7） y 求下列函数的导数． (1)
高中数学选修2 2导数导学案
高中数学选修2 2导数导学案高中数学选修2-2导数导学案§1.1.3【知识要点】导数几何意义的指导案例1．导数的几何意义（1）割线斜率和切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，ab是过点a(x0，f(x0))与点b(x0＋δx，f(x0＋δx))δy该割线的斜率为=_________δx当点B沿曲线接近点a时，割线AB围绕点a旋转，其最终位置为直线ad，当x→ 0，割线AB的斜率无限地趋向于点a处切线ad的斜率k，即k==___2）导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点p(x0，f(x0))处的切线的．也就是说，曲线y＝f(x)在点p(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应地，切线方程为_______________________．2．函数的导数当x=x0时，f'（x0）是一个定数，那么当x改变时，f？（x）是x的函数，叫做f 吗？（x）是F（x）的导数。
F（x）也被记录为y'，即f？（x）＝y′＝_______________【问题探究】探索点导数的几何意义例1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．跟踪训练1（1）根据示例1的图像，描述T3和T4附近函数H（T）的增加（减少）和增加（减少）速度（2）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()两点切线方程的探讨问题1怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？问题2点（x0，f（x0））处曲线f（x）的切线与通过点（x0，Y0）的曲线的切线之间有什么区别？例2已知曲线y＝x2，求：（1）点P（1,1）处曲线的切线方程；（2）曲线通过点P（3,5）的切线方程跟踪训练2已知曲线y＝2x2－7，求：（1）曲线上的哪个点的切线平行于直线4x-y-2=0？（2）曲线通过点P（3,9）的切线方程1[法庭检查]1．已知曲线f(x)＝2x2上一点a(2,8)，则点a处的切线斜率为()a．4b．16c．8d．22.如果曲线y=x2+ax+B在点（0，B）处的切线方程为X-y+1=0，则（）a．a＝1，b＝1b．a＝－1，b＝1c．a＝1，b＝－1d．a＝－1，b＝－13．已知曲线y＝2x2＋4x在点p处的切线斜率为16，则p点坐标为_______[课程摘要]1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limδx→0f?x0＋δx?－f?x0?＝f′（x0）δx物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3.用导数计算曲线的切线方程，注意已知点是否在曲线上。
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导数的概念与运算1、 导数及有关概念：函数的平均变化率： 1.设函数)(x f y =在 附近有定义，当自变量在 处有增量 时，则函数()y f x =相应地有增量 ，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比 （也叫函数的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()limlim x ox x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义：导数0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的 程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的 .因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个 的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的 ，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的 ，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0(f x '4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导5.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=xyx ∆∆→∆0lim7.基本初等函数的导数公式：0'=C (C 为常数)； 1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x'=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=8.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭9.复合函数的导数：（理科）设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'10.复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数11.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代12.导数的几何意义：是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率，即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.变化率与导数、导数的运算 （一）利用导数的定义求函数的导数 1、相关链接（1）根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法： ①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆，简记作：一差、二比、三极限。
（2）函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数。
2、例题解析〖例1〗一质点运动的方程为283s t =-。
（1） 求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；（2） 求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 分析（1）平均速度为s t∆∆；（2）t=1时的瞬时速度即283s t =-在t=1处的导数值。
解答：（1）∵283s t =- ∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2,63sv t t-∆==--∆∆. （2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度00limlim(63)6t t sv t t ∆→∆→∆==--∆=-∆求导法：质点在t 时刻的瞬时速度2()(83)6v s t t t ''==-=，当t=1时，v=-6×1=-6.注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。
对位移s 与时间t 的关系式求导可得瞬时速度与时间t 的关系。
根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。
（二）导数的运算 1、相关链接（1）运用可导函数求导法则和导数公式，求函数()y f x =在开区间（a,b ）内的导数的基本步骤：①分析函数()y f x =的结构和特征； ②选择恰当的求导法则和导数公式求导；③整理得结果。
（2）对较复杂的函数求导数时，诮先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便。
（3）复合函数的求导方法求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决。
①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；③根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程。
2、例题解析〖例〗（1）求)11(32x x x x y ++=的导数； （2）求)11)(1(-+=x x y 的导数；（3）求2cos2sin xx x y -=的导数； （4）求y=x x sin 2的导数； （5）求y ＝xx x x x 9532-+-的导数分析：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆。
解：（1）2311x x y ++= ,.2332'x x y -=∴（2）先化简,2121111-+-=-+-⋅=xx xx xx y∴.112121212321'⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x y （3）先使用三角公式进行化简.xx x x x y sin 212cos 2sin -=-=.cos 211)(sin 21sin 21''''x x x x x y -=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=∴（4）y’=x x x x x 222sin )'(sin *sin )'(-=x x x x x 22sin cos sin 2-；（5） y ＝233x －x ＋５－219-x∴y’＝３*（x 23）＇－x ＇＋５＇－９21(x ）＇＝３*2321x －１＋０－９*（－21）23-x ＝1)11(292-+x x（三）导数的几何意义【例】已知曲线31433y x =+，求曲线在点P(2,4)处的切线方程； 求曲线过点P(2,4)的切线方程；求斜率为4的曲线的切线方程。
分析：切点坐标→切线斜率→点斜式求切线方程 解答：（1）(2,4)P 在曲线31433y x =+上，且2y x '=∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=2|x y ='=4;∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线31433y x =+与过点P(2,4)的切线相切于点A （x 0，301433x +），则切线的斜率020|x x k y x ='==，∴切线方程为y -（301433x +）=20x （x -0x ），即23002433y x x x =-+∵点P(2,4)在切线上，∴4=220x -302433x +，即3200340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴（x 0+1）(x 0-2)2=0解得x 0=-1或x 0=2 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.（3）设切点为（x 0,y 0）则切线的斜率为k=x 02=4, x 0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3）∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)即4x-y-4=0和12x-3y+20=0注：（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决。