导数的应用导学案

学案14导数在研究函数中的应用0导学目标：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值．

自主梳理

1．导数和函数单调性的关系：

(1)若f′(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；

(2)若f′(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；

(3)若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，

b)上为______函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为______函数．

2．函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程________的根；

③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________．

自我检测

1.已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则()

A．f(x)在x＝1处取得极小值

B．f(x)在x＝1处取得极大值

C．f(x)是R上的增函数

D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数

2．(2009·广东)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()

A．(－∞，2) B．(0,3)

C．(1,4) D．(2，＋∞)

3．(2011·济宁模拟)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()

A ．在(－∞，0)上为减函数

B ．在x ＝0处取极小值

C ．在(4，＋∞)上为减函数

D ．在x ＝2处取极大值

4．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥4

3

，则p 是q 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 5．(2011·福州模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________.

探究点一 函数的单调性

例1 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；

(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；

(3)函数f (x )能否为R 上的单调函数，若能，求出a 的取值范围；若不能，请说明理由．

变式迁移1 (2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．

探究点二 函数的极值

例2 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－4

3

.

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．

变式迁移2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；

(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．

探究点三 求闭区间上函数的最值 例3 (2011·六安模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线

为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝2

3

时，y ＝f (x )有极值．

(1)求a ，b ，c 的值；

(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．

变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．

(1)求f (x )的表达式；

(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．

分类讨论求函数的单调区间

例 (12分)(2009·辽宁)已知函数f (x )＝1

2

x 2－ax ＋(a －1)ln x ，a >1.

(1)讨论函数f (x )的单调性；

(2)证明：若a <5，则对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2

>－1.

多角度审题 (1)先求导，根据参数a 的值进行分类讨论；(2)若x 1>x 2，结论等价于f (x 1)＋x 1>f (x 2)＋x 2，若x 1

【答题模板】

(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．

f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x ＝(x －1)(x ＋1－a )

x .[2分]

①若a －1＝1，即a ＝2时，f ′(x )＝(x －1)2

x .

故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．

②若a －1<1，而a >1，故10，故f (x )在(a －1,1)上单调递减，在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增．

③若a －1>1，即a >2时，同理可得f (x )在(1，a －1)上单调递减， 在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增．[6分] (2)证明 考虑函数g (x )＝f (x )＋x ＝1

2x 2－ax ＋(a －1)ln x ＋x . 则g ′(x )＝x －(a －1)＋a －1

x

≥2

x ·a －1x

－(a －1)