导数的应用导学案

学案14导数在研究函数中的应用0导学目标：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值．自主梳理1．导数和函数单调性的关系：(1)若f′(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(2)若f′(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是______函数，f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间；(3)若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为______函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a，b)上为______函数．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程________的根；③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________．自我检测1.已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则()A．f(x)在x＝1处取得极小值B．f(x)在x＝1处取得极大值C．f(x)是R上的增函数D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数2．(2009·广东)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)3．(2011·济宁模拟)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)()A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值4．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．(2011·福州模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________.探究点一 函数的单调性例1 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；(3)函数f (x )能否为R 上的单调函数，若能，求出a 的取值范围；若不能，请说明理由．变式迁移1 (2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．探究点二 函数的极值例2 若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．变式迁移2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三 求闭区间上函数的最值 例3 (2011·六安模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．分类讨论求函数的单调区间例 (12分)(2009·辽宁)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ，a >1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：若a <5，则对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.多角度审题 (1)先求导，根据参数a 的值进行分类讨论；(2)若x 1>x 2，结论等价于f (x 1)＋x 1>f (x 2)＋x 2，若x 1<x 2，问题等价于f (x 1)＋x 1<f (x 2)＋x 2，故问题等价于y ＝f (x )＋x 是单调增函数．【答题模板】(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x ＝(x －1)(x ＋1－a )x .[2分]①若a －1＝1，即a ＝2时，f ′(x )＝(x －1)2x .故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a －1<1，而a >1，故1<a <2时，则当x ∈(a －1,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，a －1)及x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(a －1,1)上单调递减，在(0，a －1)，(1，＋∞)上单调递增．③若a －1>1，即a >2时，同理可得f (x )在(1，a －1)上单调递减， 在(0,1)，(a －1，＋∞)上单调递增．[6分] (2)证明 考虑函数g (x )＝f (x )＋x ＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x ＋x . 则g ′(x )＝x －(a －1)＋a －1x≥2x ·a －1x－(a －1)＝1－(a －1－1)2.由于1<a <5，故g ′(x )>0， 即g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 从而当x 1>x 2>0时，有g (x 1)－g (x 2)>0， 即f (x 1)－f (x 2)＋x 1－x 2>0， 故f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.[10分]当0<x 1<x 2时，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>－1.综上，若a <5，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>－1.[12分]【突破思维障碍】(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准；(2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题．1．求可导函数单调区间的一般步骤和方法： (1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．2．可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x 0一定满足f ′(x 0)＝0，但当f ′(x 1)＝0时，x 1不一定是极值点．如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．3．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．4．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·大连模拟)设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有 ( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )2.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2011·嘉兴模拟)若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <14．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <325．设a ∈R ，若函数y ＝e ax＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13题号 1 2 3 4 5 答案 6．(2009·辽宁)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.7．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论： ①函数f (x )在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数；②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数； ③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)．则正确命题的序号是________．(填上所有正确命题的序号)．8．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(共38分)9．(12分)求函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极值．10．(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )． (1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值．11．(14分)(2011·汕头模拟)已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．答案 自主梳理1．(1)增 增 (2)减 减 (3)增 减 2.(1)①f ′(x )>0 f ′(x )<0 ②f ′(x )<0 f ′(x )>0 (2)②f ′(x )＝0 ③f ′(x )＝0 极大值 极小值 自我检测1．C 2.D 3.C 4.C 5．18解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3.但当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3≥0，故不存在极值， ∴a ＝4，b ＝－11，f (2)＝18. 课堂活动区例1 解题导引 (1)一般地，涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题，往往可以借助导数这一重要工具进行求解．函数在定义域内存在单调区间，就是不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0在定义域内有解．这样就可以把问题转化为解不等式问题．(2)已知函数在某个区间上单调求参数问题，通常是解决一个恒成立问题，方法有①分离参数法，②利用二次函数中恒成立问题解决．(3)一般地，可导函数f (x )在(a ，b )上是增(或减)函数的充要条件是：对任意x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零．特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时，要注意“等号”是否可以取到．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x . 令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0， ∵e x >0，∴－x 2＋2>0，解得－2<x < 2. ∴函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)． (2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增， ∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立． ∵f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立． ∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立， 即x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈(－1,1)恒成立． 设h (x )＝x 2－(a －2)x －a只须满足⎩⎨⎧h (－1)≤0h (1)≤0，解得a ≥32.(3)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≤0对x ∈R 都成立． ∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立． ∴Δ＝(a －2)2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的． 故函数f (x )不可能在R 上单调递减．若函数f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈R 都成立．∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈R 都成立． 而x 2－(a －2)x －a ≤0不可能恒成立， 故函数f (x )不可能在R 上单调递增． 综上可知函数f (x )不可能是R 上的单调函数．变式迁移1 解 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，又⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎨⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12.所以a 的取值范围为(－5，－12)∪(－12，1)．例2 解题导引 本题研究函数的极值问题．利用待定系数法，由极值点的导数值为0，以及极大值、极小值，建立方程组求解．判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．解 (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4 故所求的函数解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2，x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数的大致图象如图， 故实数k 的取值范围为 (－43，283)． 变式迁移2 解 (1)f ′(x )＝ax＋2bx ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a ＋2b ＋1＝0f ′(2)＝a 2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16. (2)f ′(x )＝－23x ＋(－x3)＋1＝－(x －1)(x －2)3x .x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )单调递减极小值单调递增极大值单调递减例3 解题导引 设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0；①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0， 可得4a ＋3b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝－4， 又切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4.∴c ＝5.(2)由(1)，得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23，∴f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－2，23，即为f (x )的减区间． [－3，－2)、⎝⎛⎦⎤23，1是函数的增区间．又f (－3)＝8，f (－2)＝13，f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，f (1)＝4，∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.变式迁移3 解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b . 因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ， 有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.课后练习区1．C 2.A 3.A 4.A 5.B 6．3解析 ∵f ′(x )＝(x 2＋ax ＋1)′＝(x 2＋a )′·(x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)′(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又∵x ＝1为函数的极值，∴f ′(1)＝0. ∴1＋2×1－a ＝0，即a ＝3.7．②④解析 观察函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，由单调性、极值与导数值的关系直接判断． 8．(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，则Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0，∴m >6或m <－3.9．解 f ′(x )＝(2x ＋1x 2＋2)′＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2，由f ′(x )＝0得x ＝－2,1.………………(4分) 当x ∈(－∞，－2)时f ′(x )<0，当x ∈(－2,1)时f ′(x )>0，故x ＝－2是函数的极小值点，故f (x )的极小值为f (－2)＝－12；…………………………………………………………………(8分)当x ∈(－2,1)时f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时f ′(x )<0， 故x ＝1是函数的极大值点，所以f (x )的极大值为f (1)＝1.……………………………………………………………(12分) 10．解 (1)由f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，得f ′(x )＝3x 2－2ax －4.…………………………………………………………………(4分)。