高中数学 第3章《导数及其应用》复习 精品导学案2 苏教版选修1-1
高中数学第三章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修1-1(2021年整理)
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3。
4 导数在实际生活中的应用学习目标：1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法．（重点) 2。
通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．（难点)［自主预习·探新知]1．导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用,如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．2．用导数解决实际生活问题的基本思路[基础自测］1．判断正误：(1）应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题．（)(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式．（）（3）应用导数解决实际问题需明确实际背景．( )【解析】（1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解．（2)√。
求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题．（3）√。
要根据实际问题的意义确定自变量的取值．【答案】（1)×(2）√（3）√2．生产某种商品x单位的利润L(x)＝500＋x－0.001x2，生产________单位这种商品时利润最大,最大利润是________．【解析】L′（x)＝1－0.002x，令L′（x）＝0,得x＝500，∴当x＝500时,最大利润为750.【答案】500 750［合作探究·攻重难]面积容积的最值问题r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上．设CD＝2x，梯形的面积为S。
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
高中数学第三章导数单元复习导学案苏教版选修1-1
课题：导数及其应用单元复习教学目标1.知识与技能理解导数的定义及其产生的背景（几何意义和物理意义）；熟记初等函数的求导公式和求导法则；会用导数求函数的单调性；会用导数求函数的极大值、极小值及函数在闭区间上的最大值、最小值. 2.过程与方法通过本课例题的分析与解答，培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．3.情感、态度与价值观通过本节的学习，体会导数的方法在研究函数性质中的一般性和有效性.通过对函数的极值与最值得对比，体会知识间的联系与区别，逐步提高科学地分析、解决问题的能力. 教学重点：导数的应用．教学难点：导数与单调区间的关系、导数与极值点的关系、极值与最值的关系. 教学过程：一、基础知识回顾：1. 平均变化率的定义：2. 导数的定义：3. 导数的几何意义和物理意义：4. 基本初等函数的导数和求导法则： 基本初等函数的求导公式：（1）'___C =(C 为常数)； （2）()'______nx =； （3）(sin )'____x =； （4）(cos )'_____x =； （5）(ln )____'x =； （6）(log )_____'a x =; （7）(e )____'x=; （8）()______'xa =.求导法则：法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±． 法则2 ''[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '=+.法则3：'2()'()()()'()()(()()0)f x f x g x f x g x g g g x x x ⎛⎫-=⎪⎭≠ ⎝ （5）导数与单调性的关系：（6）导数与极值的关系：二、例题讲解：解题回顾: 练习1：1. 质点运动的位移S 关于时间t 的方程是23S t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度是____________.2. 当h →0时，()()2f x h f x h +-→,那么当h →0时，(2)()f x h f x h+-→ ____.3. 已知质点运动的方程为24105S t t =++，则该质点在4t =时的瞬时速度为_________,瞬时加速度为________.练习2：1.求下列函数的导数（1）223y x x =++ ； （2）ln xy e x = ； （3）cos 2xxy =.2．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时,()()0,f x xf'x +<且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为_______________.[]()1()362()33()3.f x f x f x x f x x ==例1已知函数（）求在，上的平均变化率；（）利用导数的定义求在处的导数；（）求函数的图象在处的切线方程.例2. （1） 在点(1,1)-处作抛物线21y x x =++的切线，则这条切线方程为________________；（2）经过点(1,0)-作抛物线21y x x =++的切线，求该切线的方程.解题回顾：例3.求函数f (x )=2x 3-6x 2+7的单调区间.解题回顾：练习3.1.已知函数f （x ）= -x 3+12x ，则它的单调减区间为_______________；2.设f (x )=kx 3-x 2+x -5在R 上是单调增函数，则实数k 的取值范围是____________. 练习4.“函数f （x ）可导，且在x 0处的导数 f ∕ (x 0）=0”是“f （x ）在该点处取得极值” 的 _______________条件.例4.求函数214y x x=+(0)x >的极值.例5．已知函数f (x )=-x 3+3x 2+9x +a 在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.解题回顾： 一表三用：三、巩固提高：设函数f (x )= ln x -x +a , x ∈(0,2]. ⑴求f (x )的单调区间；⑵若不等式f (x )<a 2-3 对于任意x ∈(0,2]恒成立，求实数a 的取值范围.四、课堂总结：。
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》复习导学案2 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》复习2导学案苏教版选修1-1复习要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．课前预习：1．知识要点回顾：(1)函数的导数与单调性的关系：(2)函数的极值与导数：(3)函数的最值与导数①函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．②求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：（4）若函数f(x)在定义域A上存在最大值与最小值，则①对任意x∈A，f(x)＞0⇔＞0；②存在x∈A，f(x)＞0⇔＞0.2．判断：(1)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，则f′(x)>0；( )(2)函数的极大值一定比极小值大；( )(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件；( )(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。
( )3．函数f(x)＝x＋4x的单调减区间是4.函数f(x)＝xex的极小值点是5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是课堂探究：2.已知函数f(x)＝x－alnx．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．3.已知函数f(x)＝2x3－3(a ＋1)x2＋6a x.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．变式：已知函数f(x)＝(x －k)ex(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．3.设函数f(x)＝x3－3ax ＋b (a≠0)．(1)若曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．4. 设L 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1,0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．。
【备课精选】2012年高中数学苏教版选修1-1教案第三章《导数及其应用》复习
导数综合复习【教学目标】1.了解导数的概念．2.理解导数的几何意义3.理解导数的运算；能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．4.理解导数在研究函数中的应用．能利用导数研究函数的单调性；函数的极大(小)值；函数的最大(小)值．5.理解导数在实际问题中的应用【重点与难点】1.导数的概念和切线方程2.利用导数来解决函数的单调性与最值问题【教学过程】一、热身训练1．(2009年高考宁夏、海南卷)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．解析：y ′＝e x ＋x ·e x ＋2，y ′|x ＝0＝3，∴切线方程为y －1＝3(x －0)，∴y ＝3x ＋1.答案：y ＝3x ＋12.(2010年江苏无锡模拟)已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f (π4)＝________.解析：f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ， ∴f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2， 即f ′(π2)＝－1，∴f (x )＝－sin x ＋cos x ， f (π4)＝cos π4－sin π4＝0. 答案：03.(2009年高考江西卷改编)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x－9都相切，则a 等于________．解析：令过(1,0)的直线与y ＝x 3切于点(x 0，y 0)，切线斜率为k ＝3x 02.设切线方程为y ＝3x 02(x －1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 03，y 0＝3x 02(x 0－1)⇒x 03＝3x 03－3x 02⇒2x 03－3x 02＝0⇒x 0＝0或x 0＝32. 故切线方程为y ＝0或y ＝274(x －1)． ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9⇒ax 2＋154x －9＝0， ∵Δ＝0，∴a ＝－2564.⎩⎨⎧ y ＝274(x －1)，y ＝ax 2＋154x －9⇒ax 2＋154x －9＝274(x －1)，∵Δ＝0， ∴a ＝－1.答案：－1或－25644．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在( 0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，∴0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，∴x <－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)5.(2008年高考湖北卷)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝－x ＋b x ＋2≤0(x >－1)恒成立，即b ≤x (x ＋2)恒成立．又x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1>－1，∴b ≤－1.答案：b ≤－16．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极大值和极小值分别为________和________．解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，f ′(1)＝3－2p －q ＝0.即2p ＋q ＝3， ①又f (x )过点(1,0)，∴1－p －q ＝0, ②由①②：p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0，则x 1＝13，x 2＝1， 当x ＝13时，f (x )极大值＝427；当x ＝1时，f (x )极小值＝0. 答案：4270 7.(2010年江苏盐城模拟)若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． 解析：f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调减，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意，∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，a ＝3－1.答案：3－1二、知识要点1．平均变化率及瞬时变化率(1)f (x )从1x 到2x 的平均变化率是： 。
高中数学 第3章《导数及其应用》复习导学案1 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》复习1导学案 苏教版选修1-1复习要求：1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求简单的多项式、分式函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．课前预习：1．知识要点回顾：(1)导数的概念：（2）导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为（3）基本初等函数的导数公式：（4）导数的运算法则（5）曲线y ＝f(x)“在点P(x 0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：2．判断：(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同；( )(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)；( )(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个交点；( )(4)若f(a)＝a3＋2ax －x2，则f′(a)＝3a2＋2x 。
( )3．某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－12gt2，g ＝10 m/s2，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度= 4．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x)′＝3xlog3e ；②(log2x)′＝1x·ln 2；③⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；④⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝x.2.已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．3.(1)若曲线y＝x2＋ax＋b在点P(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，求a,b的值.(2)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋ln x相切，求b的值。
江苏省响水中学高中数学苏教版选修1-1导学案：第3章《导数及其应用》函数的和、差、积、商的导数(1)
学习目标：1. 能利用导数公式表及导数的四则运算法例求简单函数的导数；2. 能经过运算法例求出导数并解决相应问题。
教课要点：．灵巧应用函数的和、差、积、商的求导法例。
教课难点： 正确迅速的对函数求导。
课前预习：问题 1:基本初等函数的导数公式表 :① 若 f ( x) =c, 则 f' ( x) =;② 若 f ( x) =x α ( α∈Q), 则 f' ( x) =;③ 若 f x = x , 则 f' x = ;( ) sin ( )④ 若 f x = x 则 f' ( x =; ( ) cos , )⑤ 若 f x =a x , 则 f' ( x = ( a> ( ) ) 0);⑥ 若 f x = x 则 f' ( x = ;( ) e , )⑦ 若 fx =ax ,则 f'( x =a>且a ≠1);( ) log ) ( 0, ⑧ 若 f x = x , 则 f' ( x =.( ) ln ) 问题 2: 导数运算法例①[ f ( x) ±g ( x)] '=; ②[ f ( x) · g( x)] '=;③ [ 错误 ! 未找到引用源。
] '=( g( x) ≠0) .④ 从导数运算法例 ② 能够得出 [ cf ( x )] '=c'f ( x +c f x )] '=,)[ ( 也就是说, 常数与函数的积的导数, 等于常数乘以函数的导数, 即[ cf ( x)] '=.问题 3: 运用导数的求导法例 , 可求出多项式 f ( x) =a 0+a 1x+ +a r x r + +a n x n 的导数 .f' ( x) =.问题 4: 导数法例 [ f x ±g x )] '=f' ( x ±g' x 的拓展有哪些 ?( ) ( ) ( ) (1) 能够推行到有限个函数的和 ( 或差 ) 的情况 :若 y=f 1( x) ±f 2( x) ± ±f n ( x), 则y'=.(2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a,b 为常数 ) .(3)[ f(x) ±c]'=f'(x).讲堂研究：研究 2：求曲线的切线方程已知直线 l 1为曲线 y=x2+x- 2 在点 (1,0) 处的切线 , l 2为该曲线的另一条切线 ,且 l 1⊥l 2.(1)求直线 l 2的方程 ;(2)求由直线 l 1, l 2和 x 轴所围成的三角形的面积 .研究 3：导数公式的综合应用已知直线 x- 2y- 4=0 与抛物线 y2=x 订交于 A, B 两点 , O为坐标原点 , 试在直线AB左边的抛物线上求一点P, 使△ ABP的面积最大 .。
2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 阶段复习课学案 苏教版选修1-1
第三课 导数及其应用[体系构建][题型探究]运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程．还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等．导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现．对于较为复杂的此类问题，一般要利用k ＝f ′(x 0)((x 0，f (x 0))为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解．求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程.[思路探究] 切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切点，再求解. 【规范解答】 设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－2x 0.∵y ′＝3x 2－2，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2，∴切线方程为y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又∵切线过点(1，－1)，∴－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴切点为(1，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，78，相应的切线斜率为k ＝1或k ＝－54.故所求切线方程为y －(－1)＝x －1或y －78＝－54·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.[跟踪训练]1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值，并且它的图象与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，则函数f (x )的表达式为________.【导学号：95902257】【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵f (x )与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝－3，f ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－3，①1＋a ＋b ＋c ＝0.②∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝12＋4a ＋b ＝0.③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝0，c ＝2.∴f (x )＝x 3－3x 2＋2.【答案】 f (x )＝x 3－3x 2＋21x )＜0的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点．2．求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)f ′(x )＝0有无根，(2)f ′(x )＝0根的大小，(3)f ′(x )＝0的根是否在定义域内．另外当f ′(x )＝0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.3．已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：①转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f ′(x )≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使f ′(x )＝0的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令f ′(x )＞0(或＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围．已知函数f (x )＝x 3－ax －1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围．[思路探究] (1)求出f ′(x )，讨论f ′(x )＝0的根是否存在，求函数的单调区间； (2)根据题意有f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，分离参数后可求实数a 的取值范围． 【规范解答】 (1)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a 3；当x ＞3a 3或x ＜－3a3时，f ′(x )＞0； 当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． 综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数； 当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． (2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即a 的取值范围为(－∞，0]．[跟踪训练]2．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，求实数m 的取值范围.【导学号：95902258】【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x)． 若x ＜0，则1－e x＞0，所以f ′(x )＜0； 若x ＞0，则1－e x＜0，所以f ′(x )＜0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )＞m 恒成立．即实数m 的取值范围是(－∞，2－e 2).1.2．求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 3．注意事项：(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．(2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x )＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．[思路探究] (1)利用f ′(1)＝3、f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0、f (1)＝4构建方程组求解； (2)令fx ＝0→列表→求极值和区间端点的函数值→比较大小→得最大值和最小值【规范解答】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：由表可知，函数y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为27.[跟踪训练]3．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值．(1)求c 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝2处取得极值，且当x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，求d 的取值范围.【导学号：95902259】【解】 (1)∵f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )有极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0有两个实数解，从而Δ＝1－4c ＞0，∴c ＜14.(2)∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝4－2＋c ＝0，∴c ＝－2.∴ f (x )＝13x 3－12x 2－2x ＋d .∵f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)，∴当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，当x ∈(－1,2]时，f ′(x )＜0，函数单调递减．∴x ＜0时，f (x )在x ＝－1处取得最大值76＋d ，∵x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，∴ 76＋d ＜16d 2＋2d ，即(d ＋7)(d －1)＞0，∴d ＜－7或d ＞1，即d 的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞).无论是研究单调性，还是极值、最值，一般都需要分类讨论．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0. (1)求a 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，有f (x )≤kx 2成立，求实数k 的最小值. [思路探究] (1)求出函数f (x )的最小值用a 表示解方程可得a 的值；(2)构造函数g (x )＝f (x )－kx 2，分类讨论求其在[0，＋∞)的最大值，使其最大值≤0可得k 的取值范围，即得其最小值．【规范解答】 (1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)．f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a. 由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，f (x )在x ＝1－(2)当k ≤0时，取x ＝1，有f (1)＝1－ln 2＞0，故k ≤0不合题意． 当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2，即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2.g ′(x )＝x x ＋1－2kx ＝－x [2kx －－2kx ＋1.令g ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1－2k2k＞－1.①当k ≥12时，1－2k2k≤0，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在[0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x ∈[0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在[0，＋∞)上恒成立．故k ≥12符合题意．②当0＜k ＜12时，1－2k 2k ＞0，对于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k ，g ′(x )＞0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 内单调递增，因此当取x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 时，g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 20不成立．故0＜k ＜12不合题意.综上，k 的最小值为12.[跟踪训练]4．设函数f (x )＝a e x＋1a e x＋b (a ＞0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝ f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值.【解】 (1)f ′(x )＝a e x－1a e x， 当f ′(x )＞0，即x ＞－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减．①当0＜a ＜1时，－ln a ＞0，f (x )在(0，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b;②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)，所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.[链接高考]1．曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程是__________.【导学号：95902260】【解析】 因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率k ＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1.【答案】 y ＝x ＋12．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________． 【解析】 ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1. 【答案】 13．函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．【解析】 f ′(x )＝x －－x x －2＝－1x －2，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.【答案】 24．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.【导学号：95902261】【解析】 因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e－x ＝－x 3＋2x －e x＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0， 所以f (x )在R 上单调递增， 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0， 所以－1≤a ≤12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a .【解】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0.又a >0，故b ＝2a 29＋3a.因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根， 从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)， 故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值； 当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.列表如下：故f (x )12从而a >3.因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a.设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2. 当t ∈⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞时，g ′(t )>0， 从而g (t )在⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增． 因为a >3，所以a a >33， 故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3. 因此b 2>3a .。
高中数学第3章导数及其应用导数与函数的综合性问题导学案苏教版选修11
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》导数与函数的综合性问题导学案苏教版选修1-1学习目标：1.掌握用导数法求解函数单调性、极值、最值、参数等问题.2.理解导数与方程、函数、不等式等知识的综合.重点：导数与方程、函数、不等式等知识的综合课前预习：1.已知e为自然对数的底数,则函数y=xex的单调递增区间是2.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线通过点(0,-1),则x0的值为3.函数f(x)的概念域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点个.4.等比数列{an}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),求函数f(x)在点(0,0)处的切线方程.课堂探讨：一、若函数xaxxxf221ln)(2--=存在单调递减区间,求实数a的取值范围.二、已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线, 求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.3、已知x>0,证明不等式x >ln(1+x).五、已知函数f(x)=ax-ln x,x ∈(0,e],g(x)x x ln =，其中e 是自然常数,a ∈R.(1)当a=1时,求f(x)的极值,并证明f(x)>g(x)21+恒成立.(2)是不是存在实数a,使f(x)的最小值为3?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.课堂检测：1.函数f(x)的概念域为(0,+∞),且f(x)>0,f'(x)>0,则函数y=xf(x)( ).A.存在极大值 B .存在极小值 C .是增函数 D.是减函数2.函数x x y 33+=在(0,+∞)上的最小值为3.已知函数f(x)=aln x+x 在区间[2,3]上单调递增,则实数a 的取值范围是 .4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=05.若函数b ae ae x f x x ++=1)( (a>0)在点(2,f(2))处的切线方程为x y 23=, 求a,b 的值.。
高中数学 第3章 导数及其应用 3.3.1 单调性学案 苏教版选修1-1-苏教版高二选修1-1数学学
3.3.1 单调性学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会用导数法求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识点函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察下列各图，完成表格内容.函数及其图象切线斜率k正负导数正负单调性正正[1，＋∞)上单调递增正正R上单调递增负负(0，＋∞)上单调递减负负(0，＋∞)上单调递减负负(－∞，0)上单调递减思考2 依据上述分析，可得出什么结论？答案一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上，①如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增；②如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减.梳理(1)导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性f′(x)>k>0锐角上升单调递增f ′(x )<k <0钝角下降单调递减(2)在区间(a ，b )内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性 导数单调递增 f ′(x ) ≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间上都不恒为零 单调递减 f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间上都不恒为零常函数f ′(x )＝01.如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上都有f ′(x )>0，那么f (x )在区间(a ，b )内单调递增.( √ )2.如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，那么它在区间(a ，b )上都有f ′(x )>0.( × )3.函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53和(1，＋∞).( √ )4.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.( × )类型一 求函数的单调区间命题角度1 求不含参数的函数的单调区间 例1 求f (x )＝3x 2－2ln x 的单调区间. 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数求单调区间解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞). f ′(x )＝6x －2x ＝2(3x 2－1)x＝2(3x －1)(3x ＋1)x，由x >0，解f ′(x )>0，得x >33； 由x >0，解f ′(x )<0，得0<x <33.所以函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，函数在定义域内的解集上为增函数； (4)解不等式f ′(x )<0，函数在定义域内的解集上为减函数. 跟踪训练1 求函数f (x )＝exx －2的单调区间.考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数求单调区间解 函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞). f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x(x －3)(x －2)2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3). 命题角度2 求含参数的函数的单调区间 例2 讨论函数f (x )＝x 2－a ln x (a ≥0)的单调性. 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －a x ＝2x 2－ax.设g (x )＝2x 2－a ，由g (x )＝0，得2x 2＝a .当a ＝0时，f ′(x )＝2x >0，函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数； 当a >0时，由g (x )＝0，得x ＝2a 2或x ＝－2a2(舍去).当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a 2，＋∞时，g (x )>0，即f ′(x )>0. 所以当a >0时，函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 2上为减函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2，＋∞上为增函数. 综上，当a ＝0时，函数f (x )的单调增区间是(0，＋∞)； 当a >0时，函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2，＋∞，单调减区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 2.引申探究若将本例改为f (x )＝ax 2－ln x (a ∈R )呢？ 解 f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x，当a ≤0时，且x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数； 当a >0时，令f ′(x )＝0， 解得x ＝2a 2a 或x ＝－2a2a(舍去). 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 2a 时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，∴f (x )为增函数. 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数； 当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 2a 上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2a ，＋∞上为增函数. 反思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f ′(x )的符号，否则会产生错误.(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.跟踪训练2 已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，其中x ∈R ，t ∈R .当t ≠0时，求f (x )的单调区间.考点 利用导数研究函数的单调性 题点 求含参数函数的单调区间解 f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2＝6(x ＋t )(2x －t )，令f ′(x )＝0，得x 1＝－t ，x 2＝t2.当t <0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，－t 时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，t 2时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数， 同理当x ∈(－t ，＋∞)时，f (x )也为增函数.∴当t <0时，f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，t 2和(－t ，＋∞)，f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，－t ；当t >0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－t ，t 2时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数，当x ∈(－∞，－t )和x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，＋∞时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数，∴当t >0时，f (x )的增区间为(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，＋∞，f (x )的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，t 2.综上所述，①当t <0时，f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，t 2，(－t ，＋∞)，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫t2，－t .②当t >0时，f (x )的单调增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，＋∞，单调减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－t ，t2.类型二 证明函数的单调性问题例3 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.考点 利用导数研究函数的单调性 题点 证明函数的单调性 证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 则cos x <0，sin x >0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数.反思与感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行. (2)f ′(x )>(或<)0，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥(或≤)0.跟踪训练3 证明：函数f (x )＝ln xx在区间(0，e)上是增函数.考点 利用导数研究函数的单调性 题点 证明函数的单调性证明 ∵f (x )＝ln x x ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln xx 2. 又0<x <e ，∴ln x <lne ＝1.∴f ′(x )＝1－ln xx2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数. 类型三 已知函数的单调性求参数范围例4 已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围.考点 利用函数单调性求变量 题点 已知函数单调性求参数解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立.∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)时恒成立. ∴a ≤(2x 3)min .∵当x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))，有且只有 f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16].反思与感悟 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f (x )在区间I 上单调递增(或减)，转化为不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间I 上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.跟踪训练4 已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2－(a ＋1)x ＋2在区间[1,2]上为减函数，求实数a 的取值范围.考点 利用函数单调性求变量 题点 已知函数单调性求参数解 方法一 f ′(x )＝x 2－ax －(a ＋1)， 因为函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以f ′(x )≤0，即x 2－ax －(a ＋1)≤0，解得a ≥x －1. 因为在[1,2]上，a ≥x －1恒成立， 所以a ≥(x －1)max ＝1.所以a 的取值范围是[1，＋∞). 方法二 f ′(x )＝(x ＋1)[x －(a ＋1)]， 由于函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以f ′(x )≤0，当a >－2时，解得－1≤x ≤a ＋1， 即减区间为[－1，a ＋1]，则[1,2]⊆[－1，a ＋1]，得a ≥1. 当a ≤－2时，解得减区间为[a ＋1，－1]， 则函数f (x )不可能在[1,2]上为减函数，故a ≥1. 所以实数a 的取值范围是[1，＋∞).1.函数f (x )＝2x 3－3x 2＋1的单调递增区间是________，单调递减区间是________. 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数求单调区间答案 (－∞，0)和(1，＋∞) (0,1) 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6x ， 令f ′(x )>0，得x <0或x >1， 令f ′(x )<0，得0<x <1.2.函数f (x )＝(x －1)e x 的单调递增区间是________. 考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数求单调区间 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝(x －1)′e x＋(x －1)(e x)′＝x e x， 令f ′(x )>0，解得x >0.3.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为________. 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 求含参数函数的单调区间答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，1a解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， 由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a.4.若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为________. 考点 利用函数单调性求变量 题点 已知函数单调性求参数 答案 [3，＋∞)解析 y ′＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )， 由题意知x ∈(0,2)，y ′≤0， 即x (3x －2a )≤0，得0≤x ≤23a ，则2a3≥2，即a ≥3. 5.求函数f (x )＝(x －k )e x的单调区间. 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 求含参数函数的单调区间解 f ′(x )＝e x＋(x －k )e x＝(x －k ＋1)e x， 当x <k －1时，f ′(x )<0； 当x >k －1时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)，单调递增区间为(k －1，＋∞).1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.一、填空题1.如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是________.(填序号)①在区间(－2,1)上f (x )是减函数； ②在区间(1,3)上f (x )是减函数； ③在区间(2,5)上f (x )是减函数； ④在区间(4,5)上f (x )是增函数. 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 根据导数判定函数的单调性 答案 ④解析 由题图知，当x ∈(4,5)时，f ′(x )>0，所以在(4,5)上f (x )是增函数. 2.函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________. 考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数求单调区间 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π3，π解析 令f ′(x )＝1－2cos x >0，得cos x <12，又x ∈(0，π)，所以π3<x <π.3.函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________.考点 利用导数研究函数的单调性 题点 不含参数求单调区间答案 (0,1)解析 ∵y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y ′＝x －1x ，令y ′<0，即x －1x<0，解得0<x <1或x <－1. 又x >0，∴0<x <1.4.若函数f (x )＝x 2－a x在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________. 考点 利用函数单调性求变量 题点 已知函数单调性求参数 答案 [－2，＋∞) 解析 f ′(x )＝2x ＋a x2.令f ′(x )≥0，即2x ＋a x2≥0，则a ≥－2x 3，由于g (x )＝－2x 3在(1，＋∞)上满足g (x )<g (1)＝－2， ∴要使a ≥－2x 3在(1，＋∞)上恒成立，应有a ≥－2.5.已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的________条件.考点 利用函数单调性求变量 题点 已知函数单调性求参数 答案 充分不必要解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件.6.函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式f ′(x )x<0的解集为________.考点 利用导数研究函数的单调性 题点 解不等式答案 (－3，－1)∪(0,1)解析 由题图知，当x ∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故不等式f ′(x )x<0的解集为(－3，－1)∪(0,1). 7.若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为__________.考点 利用函数单调性求变量题点 已知函数单调性求参数答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，52 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x恒成立. 令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2， ∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增，∴m ≤2＋12＝52. 8.已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝e x ＋sin x ，则f (1)，f (2)，f (3)的大小关系为________.考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 f (2)＞f (1)＞f (3)解析 由f (x )＝f (π－x )，得f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，由f (x )＝e x＋sin x 得函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，又－π2<π－3<1<π－2<π2，∴f (π－2)＞f (1)＞f (π－3)，∴f (2)＞f (1)＞f (3).9.若函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围为________. 考点 利用函数单调性求变量题点 已知函数单调性求参数答案 (1,2]解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0). 令x －9x≤0，解得0<x ≤3， 即f (x )在(0,3]上单调递减.又f (x )在[a －1，a ＋1]上单调递减，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.10.定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f ′(x )<2，则满足f (x )>2x －1的x 的取值范围为________.考点 利用导数研究函数的单调性题点 解不等式答案 (－∞，1)解析 令g (x )＝f (x )－2x ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－2<0，所以g ′(x )是减函数，又g (1)＝f (1)－2×1＋1＝0，当g (x )>g (1)＝0时，x <1，所以f (x )－2x ＋1>0，即f (x )>2x －1的解集为(－∞，1).二、解答题11.设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其中a ＋b ＝0，a ，b ，c 均为常数，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y －1＝0.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.考点 利用导数研究函数的单调性题点 单调性的综合运用解 (1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，所以f ′(1)＝3a ＋2b .又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1，所以3a ＋2b ＝－1，又a ＋b ＝0，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (1)＝a ＋b ＋c ＝c .由点(1，c )在直线x ＋y ＝1上，可得1＋c ＝1，即c ＝0，所以a ＝－1，b ＝1，c ＝0.(2)由(1)知，f (x )＝－x 3＋x 2，令f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝23. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )<0， 所以f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，减区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 12.已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由.考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数求单调区间解 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－a ，因为f (x )在R 上是增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立.即3x 2－a ≥0在R 上恒成立.即a ≤3x 2，而3x 2≥0，所以a ≤0.当a ＝0时，f (x )＝x 3－1在R 上单调递增，符合题意.所以a 的取值范围是(－∞，0].(2)假设存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，则f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立.即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2，又因为在(－1,1)上，0≤3x 2<3，所以a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )＝3x 2－3，在(－1,1)上，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上单调递减，即a ＝3符合题意.所以存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，且a 的取值范围是[3，＋∞).13.已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .(1)试讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 考点 利用导数研究函数的单调性题点 不含参数求单调区间解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2a x，函数f (x )的定义域为(0，＋∞). ①当a ≥0时，f ′(x )>0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a <0时，f ′(x )＝2(x ＋－a )(x －－a )x， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )，单调递增区间是(－a ，＋∞).(2)由g (x )＝2x＋x 2＋2a ln x ， 得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2a x， 已知函数g (x )为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立，即－2x 2＋2x ＋2a x≤0在[1,2]上恒成立， 即a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立. 令h (x )＝1x－x 2， 则h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x <0，x ∈[1,2]，所以h (x )在[1,2]上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72， 所以a ≤－72. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－72. 三、探究与拓展14.若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数，则实数m 的取值范围为________. 考点 利用函数单调性求变量题点 已知函数单调性求参数答案 (－∞，2]解析 ∵φ(x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数. ∴φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立. 即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)， ∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2. 故实数m 的取值范围为(－∞，2].15.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ).(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围. 考点 利用函数单调性求变量题点 已知函数单调性求参数解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x. 当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2， ∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x. ∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点.∵g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，即m ＞－373. ∴－373＜m ＜－9. 即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
高中数学第3章导数及其应用温习导学案2苏教版选修11
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》温习2导学案苏教版选修1-1温习要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．课前预习：1．知识要点回顾：(1)函数的导数与单调性的关系：(2)函数的极值与导数：(3)函数的最值与导数①函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：若是在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条持续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．②求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：（4）若函数f(x)在概念域A上存在最大值与最小值，则①对任意x∈A，f(x)＞0⇔＞0；②存在x∈A，f(x)＞0⇔＞0.2．判断：(1)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，则f′(x)>0；( )(2)函数的极大值必然比极小值大；( )(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件；( )(4)函数的最大值不必然是极大值，函数的最小值也不必然是极小值。
( )3．函数f(x)＝x ＋4x的单调减区间是 4.函数f(x)＝xex 的极小值点是5．已知f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是 课堂探讨：2.已知函数f(x)＝x －alnx ．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．3.已知函数f(x)＝2x3－3(a ＋1)x2＋6a x.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．变式：已知函数f(x)＝(x －k)ex(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．3.设函数f(x)＝x3－3ax ＋b (a≠0)．(1)若曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．4. 设L 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1,0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．。
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江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》复习2导学案 苏
教版选修1-1
复习要求：
1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．
课前预习：
1．知识要点回顾：
(1)函数的导数与单调性的关系：
(2)函数的极值与导数：
(3)函数的最值与导数
①函数f(x)在[a ，b]上有最值的条件：如果在区间[a ，b]上函数y ＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
②求y ＝f(x )在[a ，b]上的最大(小)值的步骤：
（4）若函数f(x)在定义域A 上存在最大值与最小值，则①对任意x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0；②存在x ∈A ，f(x)＞0⇔ ＞0.
2．判断： (1)函数f(x)在区间(a ，b)内单调递增，则f′(x)>0；( )
(2)函数的极大值一定比极小值大；( )
(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件；( )
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。
( )
3．函数f(x)＝x ＋4x
的单调减区间是 4.函数f(x)＝xex 的极小值点是
5．已知f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是
课堂探究：
2.已知函数f(x)＝x－alnx．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
3.已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6a x.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．
变式：已知函数f(x)＝(x－k)ex
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
3.设函数f(x)＝x3－3ax＋b (a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
4. 设L为曲线C：y＝ln x
x在点(1,0)处的切线．
(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．
教师个人研修总结
在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：
1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。
2.观摩研讨：以年级组、教研组为单位，围绕一定的主题，定期组织教学观摩，开展以课例为载体的“说、做、评”系列校本研修活动。
3.师徒结对：充分挖掘本校优秀教师的示范和带动作用，发挥学校名师工作室的作用，加快新教师、年轻教师向合格教师和骨干教师转化的步伐。
4.实践反思：倡导反思性教学和教育叙事研究，引导教师定期撰写教学反思、教育叙事研究报告，并通过组织论坛、优秀案例评选等活动，分享教育智慧，提升教育境界。
5.课题研究：立足自身发展实际，学校和骨干教师积极申报和参与各级教育科研课题的研究工作，认真落实研究过程，定期总结和交流阶段性研究成果，及时把研究成果转化为教师的教育教学实践，促进教育质量的提高和教师自身的成长。
6.专题讲座：结合教育教学改革的热点问题，针对学校发展中存在的共性问题和方向性问题，进行专题理论讲座。
7.校干引领：从学校领导开始，带头出示公开课、研讨课，参与本校的教学观摩活动，进行教学指导和引领。
8.网络研修：充分发挥现代信息技术，特别是网络技术的独特优势，借助教师教育博客等平台，促进自我反思、同伴互助和专家引领活动的深入、广泛开展。
我们认识到：一个学校的发展，将取决于教师观念的更新，人才的发挥和校本培训功能的提升。
多年来，我们学校始终坚持以全体师生的共同发展为本，走“科研兴校”的道路，坚持把校本培训作为推动学校建设和发展的重要力量，进而使整个学校的教育教学全面、持续、健康发展。
反思本学期的工作，还存在不少问题。
很多工作在程序上、形式上都做到了，但是如何把工作做细、做好，使之的目的性更加明确，是继续努力的方向。
另外，我校的研修工作压力较大，各学科缺少领头羊、研修氛围有待加强、师资缺乏等各类问题摆在我们面前。
缺乏专业人员的引领，各方面的工作开展得还不够规范。
相信随着课程改革的深入开展，在市教育教学研究院的领导和专家的亲临指导下，我校校本研修工作一定能得以规范而全面地展开。
“校本研修”这种可持续的、开放式的继续教育模式，一定能使我校的教育教学工作又上一个台阶。