09-10(2)高等数学试题(B)解答
高等数学试卷-00023 2009年10月真题及答案
全国2009年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 向量a ={-1，-3，4}与x 轴正向的夹角α满足（ ）A. 0<1<α<2πB. α=2π C. 2π<α<π D. α=π2. 设函数f (x , y )=x +y, 则点（0，0）是f (x ,y )的（ ）A. 极值点B. 连续点C. 间断点D. 驻点3. 设积分区域D ：x 2+y 2≤1, x ≥0, 则二重积分⎰⎰D ydxdy 的值（ ） A. 小于零B. 等于零C. 大于零D. 不是常数 4. 微分方程xy ′+y =x +3是（ ）A. 可分离变量的微分方程B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 设无穷级数∑∞=1n p n收敛，则在下列数值中p 的取值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 已知向量a ={3，0，-1}和b ={1，-2，1} 则a -3b =___________.7. 设函数z =2x 2+y 2，则全微分dz=___________.8. 设积分区域D 由y =x , x =1及y =0所围成，将二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为直角坐标下的二次积分为___________. 9. 微分方程y ″+3y =6x 的一个特解y *=___________.10. 无穷级数14332232323232+++++n nΛ+…的和为___________. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11. 求过点（-1，-2，3）并且与直线223-=-=z y x 垂直的平面方程. 12. 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点（1，1，1）处的切线方程.13. 求函数f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2在点P （1，2，1）处的梯度.14. 设方程e z -x 2y +z =3确定函数z =z (x , y ), 求xz ∂∂. 15. 计算二重积分⎰⎰--Dy x dxdy e 22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤2. 16. 计算三重积分⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中积分区域Ω是由x =0, y =0, z =0及x +y +z =1所围成.17. 计算对坐标的曲线积分⎰++C dy x y xdx )(, 其中C 为从点（1，0）到点（2，1）的直线段.18. 计算对面积的曲面积分⎰⎰∑xyzdS ，其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2(a >0). 19. 求微分方程(1+x )dx -(1+y )dy =0的通解.20. 求微分方程y ″+ y ′-12y =0的通解.21. 判断级数∑∞=+⋅13)1(2n n n n 的敛散性. 22. 求幂级数∑∞=12n n n x 的收敛区间. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23. 求函数f (x , y )=x 3+3xy 2-15x -12y 的极值点.24. 求曲面z=22y x +(0≤z ≤1)的面积.25. 将函数f (x )=ln(1+x )展开为x 的幂级数.。
2009年10月全国自考高等数学(工本)真题及答案
更多优质自考资料，请访问自考乐园俱乐部/club/5346389 2009年10月全国自考高等数学(工本)真题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.A. AB. BC. CD. D答案：C2.设函数f(x,y)=x+y,则点（0,0）是f(x,y)的()A.极值点B.连续点C.间断点D.驻点答案：B3.A.小于零B.等于零C.大于零D.不是常数答案：B4.更多优质自考资料，请访问自考乐园俱乐部/club/5346389A.可分离变量的微分方程B.齐次微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程答案：D5.A.-2B.-1C. 1D. 2答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.图中空白处应为：___答案：{0,6,-4}2.图中空白处应为：___答案：4xdx+2ydy3.图中空白处应为：___答案：4.图中空白处应为：___答案：2x5.图中空白处应为：___答案：三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.答案：解：所求平面法向量为{3,-2,-2},(2分)所求平面方程为3(x+1)-2(y+2)-2(z-3)=0,即3x-2y-2z+5=0.(3分)2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：11.答案：12.答案：四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）1.答案：2.答案：3.答案：。
(2)高等数学B2试卷参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2009学年第2学期 考试科目： 高等数学B Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 试定义函数在点的值的 ，使得函数在该点连续。
2．函数在点处可微分的必要条件是函数在该点处连续或可偏导；充分条件是函数的偏导数在该点处连续。
3．设函数在闭区域上连续，且，则。
4. 判断敛散性：已知且，则是收敛的。
5. 已知某二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为，则该微分方程为。
二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 直线与平面的交点是（B ）。
（A ）（9，2，-3）。
（B ）（2，9，11）。
（C ）（2，11，13）。
（D ）（11，9，2）。
2. 若级数在处收敛，则此级数在处（A ）。
（A ）绝对收敛。
（B ）条件收敛。
（C ）发散。
（D ）收敛性不能确定。
3．二元函数 在点处 （C ）（A ）连续，偏导数存在。
（B ）连续，偏导数不存在。
（C ）不连续，偏导数存在。
（D ）不连续，偏导数不存在。
4. 设是连续的奇函数，是连续的偶函数， ，则以下结论正确的是（ A ）。
（A ） 。
（B ） 。
（C ） 。
（A ） 。
5. 微分方程的一个特解应具有形式（A,B,C 是待定常数）（ B ）。
（A ）。
（B ）。
（C ）。
（D ）。
三、计算题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） （1）设，其中和具有连续导数，求。
【解】（2）求由方程所确定的函数的全微分。
【解】方程两边求微分得 整理得（3）交换积分次序。
【解】（4）求差分方程在给定初始条件下的特解。
【解】特征方程为，所以对应的齐次方程的通解为。
又不是特征根，故可令特解为，代入原方程，得比较系数可得，，故非齐次方程的一个特解为，于是非齐次方程的通解为，由所给初始条件，可得，所以方程满足给定初始条件下的特解为。
《高等数学(二)》期末考试试卷B(含答案)
y)
2
x
2y2
xy
（单位：万元）
若根据市场预测，共需要这两种机床 8 台，问应如何安排生产，才能使总成本最 小？（7 分）
解： x 5, y 3
n 1
i 1
A． limsn 0 n
C. limsn 可能不存在 n
B. limsn 存在 n
D. sn为单调数列
8、幂级数
n 1
(x
2)n n2
的收敛区间为（
B
）
A.（1,3） B. 1,3
C. 1,3
D. 1,3
二、填空题（每题 4 分，共 16 分） 1、球心在点（1，2,3），半径为 4 的球面方程为 (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 16 .
2、方程 x2 y2 z2 2 x 2 z 2 0表示的图形是圆心在（-1,0，-1），半径为 2
的球面.
.
3、二元函数 z 16 x2 y2 的定义域是 (x, y) : x2 y2 16 .
4、 F (x, y) x 5y ，则 F(1,3) =
14
2x y
三、计算题（每小题 5 分，共 35 分） 1、求函数的一阶偏导数
dx cos y.y ex (2xy2 2x2 y.y) 0
y ex 2xy2 2x2 y cos y
5、求函数 f (x, y) x3 y3 9xy 27 的极值
解： fx 3x2 9y f y 3y2 9x 令 fx 0, fy 0 得：（1） x 3, y 3 （2） x 0, y 0 （ 1 ） 当 x 3 ,y 3fx x 6 x, fx y 9 , f y y 6y 故 A 18, B 9,C 18 ，
4.下列命题（ A ）正确
高等数学试题(含答案)
高等数学试题(含答案)高等数学试题（含答案）一、选择题1.已知函数f(x)=x^2+3x+2，下列哪个选项是f(x)的导数？A. 2x+3B. 2x+2C. x^2+3D. 3x+22.若函数f(x)=e^x，那么f'(x)等于：A. e^-xB. e^xC. ln(x)D. e^x+13.设函数y=f(x)在点x=2处可导，且f'(2)=3，则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为：A. 2B. 3C. 1D. 6二、计算题1.计算极限lim(x→1) [(x-1)/(x^2-1)]答案：1/22.计算积分∫(0 to 1) (2x+1) dx答案：3/23.设曲线C的方程为y=x^3，计算曲线C的弧长。
答案：∫(0 to 1) √(1+9x^4) dx三、证明题证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)可导，那么必然存在c∈(a,b)，使得 f'(c) = [f(b)-f(a)] / (b-a)。
证明过程：由于f(x)在区间[a,b]上连续，根据连续函数的介值定理，f(x)在[a,b]上会取到最大值M和最小值m。
设在点x=c处取得最大值M（即f(c)=M）。
根据费马定理，如果f(x)在点x=c处可导，并且f'(c)存在，那么f'(c)=0。
由于f(x)在(a,b)可导，故f'(c)存在。
那么，根据导数的定义，f'(c)=[f(c)-f(a)]/(c-a)。
又因为f(c)=M，将其代入上式得到f'(c)=(M-f(a))/(c-a)。
同理，根据费马定理，如果f(x)在点x=d处取得最小值m（即f(d)=m），那么f'(d)也等于0。
将f(d)=m代入上式得到f'(d)=(m-f(a))/(d-a)。
由于f(x)是连续函数，故在区间[a,b]上必然存在一个点c∈(a,b)，使得它处于最大值M和最小值m之间，即m<f(c)<M。
高等数学B解答
试卷号：高等数学B 下(答案)注：各主观题答案中每步得分是标准得分，实际得分应按下式换算：第步实际得分本题实际得分解答第步标准得分解答总标准得分N =N ⨯一、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分2小题, 每小题5分, 共10分)1、302、0二、解答下列各题(本大题共2小题，总计16分)1、(本小题8分)原式=102、(本小题8分)解：原式=)1cos 1(31sin sin 103203102-==⎰⎰⎰dy y y dx y dy y(10分)三、解答下列各题(本大题共2小题，总计16分)1、(本小题8分)∂∂ux x x y ===201dd arcsin （8分）=0 （10分）2、(本小题8分) 解：lim x y xxye xy →→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416 8分=－8 10分四、解答下列各题(本大题共2小题，总计20分)1、(本小题10分)解：zz y y x x z e F f F f F e y x f z y x F -='='=-=,,,),(),,(， 6分{}0222,1,2,2=-----=z y x n 切平面为 。
10分2、(本小题10分)由z e xy y y z e x xy x x xy y xy =-++==-+-=⎧⎨⎪⎩⎪()()2310232022，得驻点(,),,--⎛⎝ ⎫⎭⎪211214 4分 D z z z z xxxy yx yy =)432()34232()34232()232(2232222232x x y x x e y x xy xy y x e y x xy xy y x e y y y xy e xy xy xy xy -+-+-++-+-++-++-= D e (,)-=-<-21504D e 12142014,-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-<-8分点()--⎛⎝ ⎫⎭⎪211214,,,非极值点。
高等数学上册试题B
高等数学上册试题B一、单项选择题（下面每道题目中有且仅有一个答案正确，将所选答案填入题后括号内。
共24分）1．（3分）设()x f 的定义域为[]1,0，()x f ln 的定义域为（ ） Ａ．[]1,0 Ｂ．()2,0 Ｃ．[]e ,1 Ｄ．()1,02．（3分）设()x x x f =，()22x x =ϕ，则()[]x f ϕ是（ ） Ａ．xx 2 Ｂ．22x Ｃ．x x 22 Ｄ．xx23．（3分）在区间()+∞∞-,内，函数()()1lg 2++=x x x f 是（ ）Ａ．周期函数 Ｂ．有界函数 Ｃ．奇函数 Ｄ．偶函数4．（3分）()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,2tan x a x xxx f ，当a 为何值时，()x f 在0=x 处连续（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．4-5．（3分）设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,11x x x x f x α，要使()x f 在0=x 处连续，则=α（ ） Ａ．0 Ｂ．0 Ｃ．e Ｄ．e 16．（3分）函数1+=x y 在0=x 处满足条件（ ） Ａ．连续但不可导 Ｂ．可导但不连续 Ｃ．不连续也不可导 Ｄ．既连续已可导7．（3分）已知()()()()()d x c x b x a x x f ----=且()()()()d c b c a c k f ---='，则=k （ ） Ａ．a Ｂ．b Ｃ．c Ｄ．d8．（3分）下列函数中，是同一函数的原函数的函数对是（ ）Ａ．x 2sin 21与x 2cos 41- Ｂ．x ln ln 与x 2lnＣ．2xe 与xe 2 Ｄ．2tanx 与x x 2sin 1cot +-二、填空题9．（3分）=→x x x x 2sin 1sinlim 22010．（3分）设()231ln e x y ++=，则='y11．（3分）设⎩⎨⎧==t y t x ln 2，则=dxdy12．（3分）曲线23bx ax y +=有拐点()3,1，则=a ，=b13．（3分）()x F 是()x f 的一个原函数，则()=⎰--dx e f e xx14．（3分）函数()⎰--x t tdte e2的驻点=x15．（3分）=-⎰π2sin 1dx x 16．（3分）=⎰-22cos 2xdx xe x1=-yxe 确定函数()x y y =，求()0y '18．（5分）求nx mx x sin ln sin ln lim0→19．（5分）求⎰dxe x120．（5分）()⎰-321ln e e x x dx21．（5分）⎰--223cos cos ππdxx x22．（5分）讨论⎰-1121dx x 的收敛性。
(完整word版)高等数学B试卷及答案
高等数学试卷一、 单项选择题（本题共5小题,每小题4分,满分20分）1. 由[,]a b 上连续曲线y = g (x )，直线x a =，x b =()a b <和x 轴围成图形的面积S =( )。
（A ）dx x g ba⎰)(（B)dx x g ba⎰)((C ）dx x g b a⎰)(（D ）2))](()([a b a g b g -+2. 下列级数中，绝对收敛的是（ )（A ）()∑∞=--11321n nn n (B ）()∑∞=-+-11)1ln(311n n n（C ）()∑∞=-+-12191n n n n (D ）3.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数.则=∂∂22y z（ ）。
（A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂ （B ）22y v v f ∂∂⋅∂∂ （C)22222)(y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂ (D)2222y vv f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂4.⎰-1121dx x （ ）（A)2 （B ）—2（C ）0 （D ）发散5. 求微分方程2x y =''的通解（ ）(A ）21412c x c x y ++=（Ｂ）cx x y +=124 （C ）c x y +=124 （D ）221412c x c x y ++= 二、 填空（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 若⎰=22sin 3)(x dt t x x f ,则()f x '=2. 设f （x ,y ）是连续函数，交换积分次序:⎰⎰⎰⎰+21214141),(),(yy ydx y x f dy dx y x f dy =3.幂级数()()∑∞=--121!21n nn n x 的收敛半径是4. 已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f ，则⎰=2'')(dx x xf通解为x ce y x +=的微分方程为三、 计算下列各题(本题共4小题,每小题5分，满分20分）1. x y z cos )(ln =,求。
2009-2010学年第二学期高等数学(2)B卷期末试卷及其答案
2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程考试试题册B试题使用对象 ： 2009 级 理科各 专业(本科)命题人： 考试用时 120 分钟 答题方式采用：闭卷 说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共 18 分，共6 小题，每题 3分）1．已知(3,1,2),(1,2,1)a b =--=-，则a b ⋅= ．2．将xoy 坐标面上的曲线224936x y -=绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 ． 3．(,)lim x y →= ． 4．设23(,,)2f x y z x y z =++，则=)1,1,1(gradf ．5．已知级数1(1)n n u +∞=-∑收敛，则lim n n u →+∞= ．6．周期为2π的函数()f x 的傅里叶级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中， 0a = ， n a = ．二． 选择题（本题共12 分，共4小题，每题3 分）1．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则0(,)(,)lim h f a h b f a h b h→+--= ． A ．0； B ．),2(b a f x ； C ．),(b a f x ； D ．),(2b a f x ．2．函数z =(,)f x y 在点00(,)x y 具有偏导数，则它在点00(,)x y 有极值的 为 0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==．A ．必要条件；B ．充分条件；C ．充分必要条件；D ．既非充分又非必要条件3．若级数∑∞=1n n u 收敛，则下列级数中（ ）收敛．A ．)001.0(1+∑∞=n n uB ．∑∞=+11000n n uC ．∑∞=1n n uD ．∑∞=11000n nu4．将函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数得到（ ）A ．∑∞=02!n n n xB ．∑∞=-02!)1(n n n n xC ．∑∞=0!n n n x D ．∑∞=-0!)1(n n n n x 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1． 设2ln z u v =，而/u x y =，32v x y =-，求y z ．2． 设方程z y x z y x 32)32sin(2-+=-+确定函数),(y x z z =，求,x y z z ．3． 求椭球面222316x y z ++=在点(1,2,3)--处的切平面及法线方程． 4． 计算sin Dx dxdy x ⎰⎰，其中D 是由x y =和2x y =所围成． 5． 交换积分次序110(,)y dy f x y dx ⎰⎰，并由此计算dx e dy y x ⎰⎰1102． 6．计算22(2)()L xy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由抛物线2y x =，2x y =所围成的区域的正向边界曲线．7． 计算4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分． 8．计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧．9． 求级数∑∞=1n nn x 的收敛域，并求出它的和函数，由此求出 +⋅+⋅+⋅32331321311的和．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题B 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共18 分，共6 小题，每题各 3 分）1． 3 ； 2. 22249()36x y z -+=； 3. 2； 4. （2，2，3）； 5. 1； 6. 01()a f x dx πππ-=⎰，1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰二．选择题（本题共12分，共4小题，每题3 分）1．D ； 2．A ； ３．B ； ４．B三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ ……4分 2222()ln x u u v y v=-- 223222ln(32)(32)x x x y y y x y =---- ……7分 2．方程两边同时微分，得2cos(23)(23)23x y z dx dy dz dx dy dz +-+-=+- ……3分[2cos(23)1]2[2cos(23)1]3[2cos(23)1]x y z dx x y z dy x y z dz +--++--=+-- 所以 2cos(23)113[2cos(23)1]3z x y z x x y z ∂+--==∂+--， 2[2cos(23)1]23[2cos(23)1]3z x y z y x y z ∂+--==∂+-- ……7分 3． 令222(,,)316F x y z x y z =++-，则法向量(6,2,2)n x y z =，(1,2,3)(6,4,6)n --=-- ……3分在点(1,2,3)--处的切平面方程为 6(1)4(2)6(3)0x y z -+-++-=，即 323160x y z +-+=，……6分 法线方程为123646x y z ++-==--． ……8分 4． dy xx dx dxdy x x x x D ⎰⎰⎰⎰=2sin sin 10 ……4分 210sin ()x x x y dx x=⎰10(sin sin )x x x dx =-⎰ 1100cos sin x x xdx =--⎰101cos1[cos sin ]x x x =-+- 1sin1=- ……8分5． 积分区域D 为01,1y y x ≤≤≤≤，交换积分次序后01,0x y x ≤≤≤≤，110(,)y dy f x y dx ⎰⎰=100(,)x dx f x y dx ⎰⎰．……4分 于是 dx e dy y x ⎰⎰1102=2x De dxdy ⎰⎰ =2100x x dx e dy ⎰⎰210x xe dx =⎰ =)1(21-e ……8分 6．22P xy x =-，2P x y ∂=∂ ，2Q x y =+，1Q x ∂=∂ ， ()(12)D D Q P I dxdy x dxdy x y∂∂=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰ ……4分2102)x dx x dy =-⎰10.52 1.530(22)x x x x dx =--+⎰ 1.53 2.54102122(2)3354x x x x =--⨯+ 1/30= ……8分7． 解：4423y z x =--，4243y z x ++=，42,3z z x y ∂∂=-=-∂∂，3dS dxdy ==， ……3分平面∑在xoy 面上的投影为： :123xy x y D +≤，它的面积为12332⨯⨯= 4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰43Ddxdy =⎰⎰3Ddxdy =⎰⎰= ……8分8． ()p Q R I dxdydz x y z Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰3dxdydz Ω=⎰⎰⎰ ……5分 2330003d dr rdz πθ=⎰⎰⎰81π= ……8分 9． 解： 11lim n n n x x x n n+→∞÷=+ 当1x <时，级数收敛，当1x >时，级数发散当1x =时，级数为11n n +∞=∑发散；当1x =-时，级数为1(1)n n n +∞=-∑收敛 ∴收敛域为)1,1[- ……4分当11x -<<时，23()/2/3......S x x x x =+++23()1......1/(1)S x x x x x '=++++=-01()1xS x dx x=-⎰ ln(1)x =--……7分 令31=x ，23ln 321311)31(121=+⋅+⋅=∴∑∞= n n n ……8分。
2009-2010学年第二学期高等数学B试卷
2 z 求 . x y
解：
z ( x, xy ) yg 2 ( x, xy ) ---4 分 2 f (2 x y ) g1 x
2 z ( x, xy) g 2 ( x, xy) xyg 21 ( x, xy) ----8 分 2 f (2 x y) xg12 xy
2
2 2 3 2
3 2m 时,水箱所用的材料最省. --8 分
1 展开成 x 的幂级数并求其收敛区间。 x x3 1 1 1 1 1 1 1 1 解： f ( x) ------------1 分 ( ) ( x 1)( x 2) 3 x 1 x 2 6 1 x 3 1 x 2
福建师范大学试卷纸
共 6 页，第 5 页
Y C1 cos x C2 sin x, ------2 分
* * 观察可得, y y x 的一个特解为 y1 x, y y e x 的一个特解为 y2 e x . -----6 分 * * 由非齐次线性微分方程的叠加原理知 y* y1 y2 x ex
D D1 D D1
C. xydxdy 4 xydxdy
D D1
D. x dxdy 4 x 2 dxdy
2 D D1
5、若级数 an 收敛，则下列级数不收敛的是（ B ）
n 1
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共 6 页，第 1 页
A.
2 an
n 1
B.
(an 1)
五（10 分）求级数
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共 6 页，第 4 页
1 1 1 x dt ln -----------------（8 分） 2 1 t 2 1 x 1 1 1 1 1 2 2 ln(1 2) --------（10 分） 2 s ( ) 2 ln 故 n 1 2 1 2 n 0 (2n 1)2 2
西北工业大学高等数学09-10学年第一学期期中考试试题和答案
−3
3 − x 2 x ≤ 1 1 6、函数 f ( x ) = 2 、 在 [0,2]上满足拉格朗日条件的 ξ = 及 2 2 x x >1
7、函数 、
1 π f ( x ) = a sin x + sin 3 x 在 x = 处取得极值，则 a = 取得极值， 3 3
=x
2x
2
f ′(ξ )(b − ξ ) − [ f (ξ ) − f (a )] = 0 ， ξ ∈ (a, b )
故由罗尔定理知
∃ ξ ∈ (a, b ) ，使 F ′(ξ ) = 0 …………………………………………………………………7 分
从而 亦即
f (ξ ) − f (a ) = f ′(ξ ) (a < ξ < b ) 成立………………………………………8 分 b−ξ
（ 五、 8 分）设 使得
f (ξ ) − f (a ) = f ′(ξ ) (a < ξ < b ) 成立。 成立。 b−ξ
证 令F 则F
( x ) = [ f (x ) − f (a )](b − x )
………………………………………………3 分 ………………4 分
( x ) 在 [a, b]上连续，在 (a, b ) 内可导，且 F (a ) = F (b ) = 0 连续， 内可导，
x→1
f (x) − 2 = 3 ，则（ 2 (x − 1)
(A) (C)
f ( x ) 在 x = 1 处可导且 f ' (1) = 3 (B) 处可导且 f ( x ) 在 x = 1 处取极大值
(D)
f ( x ) 在 x = 1 处不可导 f ( x ) 在 x = 1 处取极小值
西南交通大学期末真题及答案09-10高等数学IIA卷解答
班 级 学 号 姓 名9．()(3)xyLy e dx x e dy -++=⎰ 2ab π ．其中L 是椭圆22221x y a b +=的正向．三、计算题（每小题8分，共64分）10．已知函数ln(u x =,曲线23:x ty t z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩.求(1) 曲线Γ在点(1,1,1)处切线方向的单位向量(沿t 增加方向);(2) 函数ln(u x =在点(1,0,0)处沿(1)所指方向的方向导数的值．解：(1) 切线方向 {}{}211,2,31,2,3t t t == ………………………………2’}1,2,3 …………………………………….4’ (2)ργρβραρρ)cos ,cos ,cos 1(lim 0+=∂∂→u l u ………………….…….….6’ 14131+=…………………………………………….………….8’ 11. 设 sin()0x y e x z ++= 计算,z z x y∂∂∂∂. 解：令(,,)sin()x y F x y z e x z +=+ ………………………….1’(,,)sin()cos()x y x y x F x y z e x z e x z ++=+++ (,,)sin()x y y F x y z e x z +=+ (,,)cos()x y z F x y z e x z +=+..4’1tan()x zF zx z x F ∂=-=--+∂ ………………………….6’tan()zx z y∂=-+∂ ………………………….8’ 12．计算二重积分66cos yxdy dx xππ⎰⎰. 解：66600cos cos x yx x dy dx dx dy x xπππ=⎰⎰⎰⎰ ……………………4’60cos xdx π=⎰601cos 2xdx π==⎰…………………………8’ 13计算三重积分 I zdxdydz Ω=⎰⎰⎰．其中Ω由锥面z =与平面1z =所围成的区域.解：2221x y zI zdxdydz dzzdxdy Ω+≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………….4’1304z dz ππ==⎰ ………………8’或解2211x y I zdxdydz dxdy Ω+≤==⎰⎰⎰⎰⎰ …………………..4’()22221112x y x y dxdy +≤=--⎰⎰4π= ………………….8’ 14．设Γ是曲线2222x y z a x y z⎧++=⎨++=⎩,计算 22()x y ds Γ+⎰． 解： 222222()()3x y ds x y z ds ΓΓ+=++⎰⎰ …………………4’ =223a ds Γ⎰ ………………….6’=343a π ………………….8’15．计算32223x dydz xz dzdx y dxdy ∑++⎰⎰，∑为抛物面224z x y =--被平面0z =所截下的部分的下侧.解；作曲面221:0,:4xy z D x y ∑=+≤，朝上。
高等数学b试题及答案
高等数学b试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) (2x+1)dx的值。
A. 3/2B. 5/2C. 2D. 1答案：B3. 求极限lim(x→0) [sin(x)/x]。
A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A4. 判断级数∑(n=1,∞) (1/n^2)的收敛性。
A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 交错收敛答案：A5. 设矩阵A=(aij)为3阶方阵，且|A|=-2，求A的行列式。
A. -2B. 2C. 4D. -4答案：A6. 判断函数y=x^2-6x+8在区间[2,4]上的单调性。
A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在x=2处取得最小值，则c的值为________。
答案：42. 设函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。
答案：1/x3. 计算二重积分∬(D) xy dxdy，其中D为区域x^2+y^2≤4。
答案：8/34. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求数列的通项公式。
答案：an=2^(n-1)三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+1的极值点。
解：首先求导f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。
经检验，x=1为极小值点，x=-1为极大值点。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx。
解：∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx = [x^3-x^2+x](0,2) = (8-4+2) - (0-0+0) = 6。
3. 求极限lim(x→∞) [(x^2+3x+2)/(x^2-x+1)]。
MK_09-10(2)高数A(二)、B(二)试卷
安徽大学2009—2010学年第二学期院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------《高等数学A （二）、B （二）》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 阅卷人一、填空题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）得分1．点(2到平面的距离为 ,1,1)10x y z +−+=.2．极限222lim x x y xy x y →+∞→+∞⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠ .3．交换积分次序 /2sin 0 0d (,)d xx f x y y π=∫∫.4．设()f x 是周期为2的函数，它在区间(1,1]−上的定义为 则32,10,(),01,x f x x x −<≤⎧=⎨<≤⎩()f x 的Fourier 级数在1x =处收敛于.5．函数u x 在点处沿方向的方向导数为 yz =(1,1,1)(2,2,1).得分二、选择题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）6. 二元函数(,)f x y =(0处 （ ） ,0)A. 连续，但偏导数不存在； B ．不连续，且偏导数不存在；C ．不连续，但偏导数存在；D ．连续，且偏导数存在.7．设第二类曲面积分1d d SI xyz z x =∫∫，22d d SI xy z z x =∫∫，其中为的上半部分,方向取上侧．若为在第一卦限部分，且与方向一致，则 （ ）S 2221x y z ++=1S S S A ．； B. 120I I ==10I =，1222d S d I xy z z x =∫∫；C. 112d S d I xyz z x =∫∫，1222d S d I xy z z x =∫∫； D. 112d S d I xyz z x =∫∫，.20I =8. 设为中开区域，且内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于Ω3\ΩΩ的曲面，函数在Ω内连续可导．若曲线积分只依赖于曲线,,P Q R d d d LP x Q y R z ++∫L 的端点，而与积分路径无关，则下述命题不正确的是 （ ）A ．对Ω内任意光滑闭曲线，曲线积分C d d d CP x Q y R z 0++=∫v ；B. 存在Ω上某个三元函数，使得(,,)u x y z d d d d u P x Q y R z =++；C. 等式,,P Q R P Q Ry x x z z y∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂在开区域Ω内恒成立； D. 等式0P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂在开区域Ω内恒成立. 9. 设函数(,)f x y 在开区域内有二阶连续偏导数, 且D 0000(,)(,)0x y f x y f x y ==．则下列为(,)f x y 在点00(,)x y 处取极小值的充分条件的是 （ ）A. ； 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y >−><><B. ； 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y >−C. ； 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y <−D. . 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y <−10. 设函数具有二阶连续偏导数，则(,,)u f x y z =div f =grad ( )A. xx yy zz f f f ++；B. x y z f f f ++；C. (,,)x y z f f f ；D. (,,)xx yy zz f f f .三、计算题（本大题共五小题，其中第11、12、13题每小题10分，第14、15题每小题12分，共54分）得分11. 设平面：通过曲面Π0x ay z b +−+=2z x y 2=+在点处的法线(1,1,2)L ，求的值． ,a b12. 计算第二类曲线积分22d d Ly x x yx y −+∫v ，其中L 为正方形边界||，取顺时针方向．||1x y +=院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13．计算第一类曲面积分222d z S x y z Σ++∫∫，其中Σ为圆柱面222x y R +=)(0R >介于平面与0z =z h =（）之间的部分． 0h >.14．将函数()arctan f x x =展开成x 的幂级数，并求级数0(1)21nn n ∞=−+∑的和．15．设函数()f u 具有二阶连续导数，且.(sin )x z f e y =(1) 求2222,.z z x y∂∂∂∂（2）若函数满足方程(sin )xz f e y =22222x z ze z x y∂∂+=∂∂，求函数().f u四、应用题（本大题共两小题，其中第16题10分，第17题6分，共16分）得分------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16. 将一根长为l 的铁丝分割成两段，一段围成一个圆，另一段围成一个长方形．求使得圆面积与长方形面积之和最大的分割方法．17. 已知一条非均匀金属线L 放置于平面上，刚好为抛物线Oxy 2y x =对应于01x ≤≤的那一段，且它在点(,)x y 处的线密度为(,)x y x ρ=，求该金属丝的质量．院/系 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线得分 五、证明题（本大题共两小题，其中第18题6分，第19题4分，共10分）18．证明级数11(1)ln n n n n ∞=+−∑条件收敛．19．设空间闭区域可表示为{(Ω,,)|01,1,}x y z x x y x z y ≤≤≤≤≤≤.若()f t 在[0上连续，且.试证明：,1](,,)()()()F x y z f x f y f z =1301(,,)d d d [()d ]6F x y z x y z f t t Ω=∫∫∫∫.。
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至2010 学年度第2 期高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象：2009 级理科各专业(本科)命题人：考试用时120 分钟答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分）1．已知(2,1,),(1,2,4)a m b==，则当m=时，向量a b⊥．2．(,)(2,0)sin()lim x yxy y→=．3．设区域D为22yx+≤x2，则二重积分D dσ=⎰⎰．4．函数(,),(,)P x y Q x y在包含L的单连通区域G内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-，(2,1,4)(4,2,1)n=- ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
高等数学b答案(含综合练习)
高等数学（B ）（1）作业答案高等数学（B ）（1）作业1初等数学知识一、名词解释：邻域——设δ和a 是两个实数，且0>δ，满足不等式δ<-a x 的实数x 的全体，称为点a 的δ邻域。
绝对值——数轴上表示数a 的点到原点之间的距离称为数a 的绝对值。
记为a 。
区间——数轴上的一段实数。
分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。
数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线。
实数——有理数和无理数统称为实数。
二、填空题1．绝对值的性质有0≥a 、b a ab =、)0(≠=b ba b a 、a a a ≤≤-、b a b a +≤+、b a b a -≥-。
2．开区间的表示有),(b a 、。
3．闭区间的表示有][b a ，、。
4．无穷大的记号为∞。
5．)(∞+-∞，表示全体实数，或记为+∞<<∞-x 。
6．)(b ，-∞b b x <<∞-。
7．)(∞+，a +∞<<x a 。
8．去心邻域是指)()(εε+-a a a a ，， 的全体。
用数轴表示即为9.MANZU9．满足不等式112-<≤-x 的数x 用区间可表示为]211(--，。
三、回答题 1．答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变。
（2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。
（3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。
（4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。
2．答：包括整数与分数。
3．答：不对，可能有无理数。
4．答：等价于]51(，。
5．答：)2321(，。
四、计算题1．解：12020102010)2)(1(<>⇒⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-⇒>--x x x x x x x x 或或。
),2()1,(+∞-∞∴ 解集为。
2．解：⎩⎨⎧≤-≤-⎩⎨⎧≥-≥-⇒≥--⇒≥+-050105010)5)(1(0562x x x x x x x x 或 15≤≥⇒x x 或 )5[]1∞+∞-∴，，解集为（ 。
(完整word版)高等数学试题及答案(word文档良心出品)
《高等数学》一.选择题1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ）A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ）A )、必要条件B )、充分条件C )、充要条件D )、无关条件3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）.A)、()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-=B)、(())()ln ,ln f x x g x x ==-C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2tan,sec csc )(xx g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ）A ）、2l n 2x xx dx C =+⎰ B ）、s i n c o s t d t t C =-+⎰C ）、2a r c t a n 1dxdx x x =+⎰ D ）、211()dx C x x-=-+⎰ 5. 下列等式不正确的是（ ）.A ）、()()x f dx x f dx d b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ C ）、()()x f dx x f dx d x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ D ）、()()x F dt t F dx d x a '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎰ 6. 0ln(1)limxx t dt x→+=⎰（ ）A ）、0B ）、1C ）、2D ）、47. 设bx x f sin )(=，则=''⎰dx x f x )(（ ）A ）、C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x+-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin8. 10()()bx xa e f e dx f t dt =⎰⎰，则（ ）A ）、1,0==b aB ）、e b a ==,0C ）、10,1==b aD ）、e b a ==,19. 23(sin )x x dx ππ-=⎰( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π10. =++⎰-dx x x x )1(ln 2112( )A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π11. 若1)1(+=x xxf ，则dx x f ⎰10)(为（ ）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1-D ）、2ln12. 设)(x f 在区间[]b a ,上连续，⎰≤≤=xa b x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（ ）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分13. 设1sin 2y x x =-，则dxdy=（ ） A ）、11c o s2y - B ）、11c o s2x - C ）、22c o sy- D ）、22c o sx-14. )1ln(1lim 20x e x xx +-+→=( )A 21-B 2C 1D -115. 函数x x y +=在区间]4,0[上的最小值为（ ）A 4;B 0 ;C 1;D 3二.填空题1. =+++∞→2)12(lim xx x x ______.2. 2-=⎰3. 若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则⎰=dx x f )(4. =+⎰dt t dx d x 26215. 曲线3y x =在 处有拐点 三.判断题 1. xxy +-=11ln是奇函数. （ ） 2. 设()f x 在开区间(),a b 上连续，则()f x 在(),a b 上存在最大值、最小值.( ) 3. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续. （ ） 4. 0sin 2xdx π=⎰. （ ）5. 罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件.( )四.解答题1. 求.cos 12tan lim20xxx -→ 2. 求nxmxx sin sin limπ→，其中n m ,为自然数.3. 证明方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个实根.4. 求cos(23)x dx -⎰.5. 求⎰+dx xx 321.6. 设21sin ,0()1,0x x f x x x x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩，求()f x '7.求定积分4⎰8. 设)(x f 在[]1,0上具有二阶连续导数，若2)(=πf ，⎰=''+π5sin )]()([xdx x f x f ，求)0(f ..9. 求由直线0,1,0===y x x 和曲线x e y =所围成的平面图形绕x 轴一周旋转而成的旋转体体积《高等数学》答案一.选择题1. C2. A3. D4. B5. A6. A7. C8. D9. A 10. A 11. D 12. B 13. D14. A15. B 二.填空题 1. 21e 2. 2π 3. C x+1 4. 412x x + 5. (0,0) 三.判断题 1. T 2. F 3. F 4. T 5. T 四.解答题 1. 82. 令,π-=x t nmn nt m mt nx mx n m t x -→→-=++=)1()sin()sin(lim sin sin lim 0πππ3. 根据零点存在定理.4.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C-=---=--+⎰⎰5. 令t x =6，则dt t dx t x 566,==原式⎰⎰⎰++-=+=+=dt )t111t (6dt t 1t 6dt t t t 62435 C t 1ln t 2t 62+⎪⎭⎫⎝⎛++-= C x x x +++⋅-⋅=6631ln 6636. 222sin 2cos ,0()1,00x x x x f x x x ⎧-+<⎪⎪⎪'=>⎨⎪=⎪⎪⎩不存在，7. 42ln3-8. 解：⎰⎰⎰''--=-=ππππ0sin )()0()()cos ()(sin )(xdx x f f f x d x f xdx x f所以3)0(=f9. V=())1(2121)2(212102102102210-====⎰⎰⎰e e x d e dx e dx exx xxπππππ 《高等数学》试题2一.选择题1. 当0→x 时，下列函数不是无穷小量的是 （ ）A )、x y =B )、0=yC )、)1ln(+=x yD )、x e y =2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。
华东交大历年高数上册期末试题及答案09-10上高数试卷
华东交通大学2009～2010学年第一学期期末考试高等数学(A)Ⅰ评分标准一、填空题(每题 2 分，共 10 分)1、2-=x ；2、)1 0(，；3、C x x +--cot ；4、x xe --；5、C e e x y +=或)ln(C e y x+= 二、选择题(每题 3 分，共 15 分)1、B ；2、D ；3、C ；4、A ；5、D三、计算题(每题 7 分，共 49 分)1、求极限]ln )3[ln(lim n n n n -+∞→ 解： ]ln )3[ln(lim n n n n -+∞→)3ln (lim nn n n +=∞→ 3)31ln(lim 3n n n+=∞→ 3=2、求极限xx x x x sin tan lim 20-→ 解： x x x x x sin tan lim 20-→30tan lim xx x x -=→ 22031s e c lim xx x -=→ xx x x 6sin sec 2lim 20→= 31= 3、设)4ln(2-+=x x y 求y d解； 因为)4(4122'-+-+='x x x x y ]2)4(211[412122x x x x ⋅-+-+=- 412-=x所以 x x x y y d 41d d 2-='=4、求不定积分x x x d 2cos 2⎰解： x x x d 2cos 2⎰⎰=x s x 2in d 212⎰-=22d 2sin 212sin 21x x x x ⎰-=x x x x x d 2sin 2sin 212 ⎰+=x x x x dcos2212sin 212 ⎰-+=x x x x x x d 2cos 212cos 212sin 212 C x x x x x +-+=2sin 412sin 212sin 212 5、求定积分x x d 11110 ⎰-+ 解： 令t x =-1，即21t x -=，则t t x d 2d -= 故 x x d 1111 0 ⎰-+t t td )2(1101 -⋅+=⎰ t td )111(21 0 ⎰+-= 10)1ln (2t t +-=)2ln 1(2-=6、求微分方程x e y y x 2=+'的通解解： 原方程可化为 x e x y x y 211=+' 于是 x x P 1)(=，x e xx Q 21)(= 故通解为)d 1(d 12d 1C x e e xe y x x x x x +⎰⎰=⎰- )d 1(ln 2ln C x e e x e x x x +=⎰- )d (12C x e x x +=⎰ )21(12C e x x += 7、求微分方程x xe y y y -=+'-''56的一个特解解： 因为1-=λ不为特征方程0562=+-r r 的根所以可设特解x e b ax y -+=)(* 把*y 代入原方程，得 x b a ax =+-12812于是⎩⎨⎧=+-=0128 112b a a ，故181 121==b a ， 因此所求特解为x e x y -+=)181121(*四、综合题(每题 9 分，共 18 分)1、求函数22)(x x x f +=的单调区间和极值 解： 因为222)2(2)(x x x f +-=' 所以令0)(='x f ，得2±=x 当2-<x 时，0)(<'x f ；当22<<-x 时，0)(>'x f ； 当2>x 时，0)(<'x f 于是单增区间为)2 2(，- 单增区间为) 2( )2 (∞+--∞，、， 极大值为42)2(=f 极小值为42)2(-=-f 2、求由曲线2x y =，x y 1=及直线2=x ，0=y 所围平面图形面积及该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积解： 平面图形面积为x x x x A d 1d 2 1 1 0 2⎰⎰+=21103ln 31x x +=2ln 31+=旋转体体积为x x x x V d )1(d )(2 1 221 0 2⎰⎰+=ππ2110515x x ππ-=107π= 五、证明题(每题 8 分，共 8 分)证明曲线2a xy =上任意一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积为常数 证： 设曲线上任意一点为) (00y x M ，，则200a y x = 因为x a y 2=，所以22x a y -='，于是202x a k -=切 从而曲线在点M 处的切线方程为)(02020x x x a y y --=-令0=y ，得切线在x 轴上的截距为022002x a y x x X =+=， 令0=x ，得切线在y 轴上的截距为00202y x a y Y =+= 故构成的三角形面积为2000022222121a y x y x Y X S ====。
华北电力大学(北京)《高等数学》2009-2010学年第二学期期中试卷B卷
华北电力大学试卷纸考试科目：高等数学(期中试题)课程号：1010101课序号：____考核时间：_2010-4-24__注意事项：①答题前, 考生在答题册和试卷上务必将自己的信息填写清楚；②本卷共8 道大题, 统一在答题册上作答, 在试题卷上作答无效.一填空题（10分，每题2分）1, −π< x≤ 0傅立叶级数收敛到函数自身的点的集合是．2．函数f(x，y)在(x0，y0)处可微是函数f (x，y)在点(x0，y0)的两个偏导数f x(x0，y0)，f y(x0，y0) 都存在的条件；；4．(x+ y)dσ(x+ y)2 dσ，其中区域D由坐标轴与x+ y= 1围成的有界闭区域；D D5．将xoy坐标面上的抛物线y２=5x绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为；二、计算下列各题（15分，每题5分）1. 将函数f (x) = x (0 ≤x≤π) 展成余弦级数；x+ 2y−z+ 1 = 03. 求过点M(0, 0, 0) 平行于平面x−y+ z+1 = 0 又与直线= = 相交的直线方程。
112三、解下列各题（15分，每题5分）1.设u= ln(tan x) ，求du；2. 已知z= yf(x+ y,sin xy) ，其中f有连续的二阶偏导数，求；第1 页共 2 页∂2z∂x∂y2. 求过点(1,1,1) 与直线L:垂直的平面方程；x+ 1 y−3 z1．设f (x) 是以2π为周期的函数，它在一个周期上的表达式为f (x) = ，则其x−y+ z−1 = 0−x+1, 0 < x≤πx 2 + y 2 = 2x 四、 计算下列积分 （15 分， 每题 5 分） 1. I = | y − x 2 | dxdy ，其中 D 是矩形区域： | x |≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1；D2. ∫dy dx ；3. arctan dxdy ， D 为圆x 2 + y 2 = 4 及直线 y = x , y = 0 所包围的第一象限内的区域。
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广州大学2009-2010学年第二学期考试卷
课 程：高等数学Ⅰ2（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试
参考解答与评分标准
一．填空题(每小题4分,本大题满分20分) 1．已知{1,1,1}a =
,{1,2,3}b =- ,则a b ⋅= 0,a b ⨯= (5,4,1)-.
2．xOy 平面上的双曲线2
2
1y x -=绕x 轴旋转一周生成一个旋转 单 叶双曲面,该曲面的方程是
2221y z x +-=.
3．设2
2
ln(1)z x y =+,则z x ∂=∂2
2ln(1)x y +,z y ∂=∂2221
x y y +.
4．已知曲线2
:(01)C y x x =≤≤,则C
s =
⎰
7
3
.
5．幂级数21n
n x n
∞
=∑的收敛半径R =1,收敛域为[1,1]-.
二．解答下列各题(每小题5分,本大题满分15分) 1．判别级数
1
sin
n n
π
∞
=∑的收敛性.
解: 当n →∞时,sin
~
n
n
π
π
所以
1
sin n n π∞
=∑与1
n n π
∞
=∑收敛性相同 …………(3分)
而1n n π∞
=∑发散,所以1
sin n n π
∞
=∑也发散 …………(5分)
2．判别级数13!n
n n n n ∞
=⋅∑的收敛性.
解: 3!
n
n n n u n =⋅,
1lim n n n
u
u ρ+→∞=11lim (1)3n n n →∞=+3e =…………(4分)
因1ρ<，所以级数13!
n
n n n n ∞
=⋅∑收敛 …………(5分)
3．在区间(2,2)-内求幂级数
1
12
n n
n n x ∞
-=∑的和函数. 解: 1111()222n n n n n n n n n n x x x ∞
∞∞-==='
'⎛⎫== ⎪⎝⎭
∑∑∑…………(3分)
111x
'⎛⎫=- ⎪-⎝⎭
22
(2)x =- …………(5分)
三．解答下列各题(每小题8分,本大题满分16分)
1．设(,)z f u v =具有连续的二阶偏导数,u xy =,2v x y =+,求z x ∂∂和2z
x y
∂∂∂.
解:
2u v z z u z v yf f x u x v x
∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂ …………(4分) 22u v u f f z
f y x y y y
''∂∂∂'=++∂∂∂∂ …………(6分) ()2()u uu
uv vu vv f y xf f xf f '''''''''=++++ …………(8分) (2)2u uu
uv vv f xyf y x f f '''''''=++++
2．已知由方程0z
e xyz -=确定函数(,)z z x y =,求
z x ∂∂、z y
∂∂和d z . 解: 令z
F e xyz =-,则
x F yz =-,y F xz =-,z z F e xy =- …………(3分)
x z
z F z yz
x F e xy
∂=-=∂- …………(5分) y z
z F z xz
y F e xy
∂=-=∂- …………(6分) d d d z z yz xz
z x y e xy e xy
=+-- …………(8分)
设L 为曲面222:24S x y z ++=与平面20x y z -+=的交线,点(1,1,1)P 为L 上一点. (1)求曲面S 在点P 的切平面方程; (2)求曲线L 在点P 的切线方程.
解: (1) 法向量(1,1,1)(2,2,4)|(2,2,4)n x y z ==
…………(2分) 所求切平面方程为 2(1)2(1)4(1)0x y z -+-+-=
即 240x y z ++-= …………(4分) (2) 平面20x y z -+=的法向量1(1,2,1)n =-
…………(5分) 曲线L 在点P 的切线的切向量为
12241026121
i j k
T n n i j k =⨯==+--
…………(7分)
所求切线方程为
111
513
x y z ---==- …………(9分)
五．(本题满分10分)
求函数44(,)4f x y x y xy =+-的极值.
解: 由 3
3
440
440
x y f x y f y x ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩,得驻点(0,0),(1,1),(1,1)-- …………(4分) 212xx A f x ==，4xy B f ==-，2
12yy C f y == …………(6分)
在点(0,0)处,2
160AC B -=-<,(0,0)f 不是极值 …………(7分) 在点(1,1)处,2
1280AC B -=>,且120A =>,(1,1)2f =-为极小值 …………(9分) 在点(1,1)--处,21280AC B -=>,且120A =>,(1,1)2f --=-为极小值…………(10分)
设二重积分(,)d d D
I f x y x y =
⎰⎰
,其中积分区域D 是由曲线2y x x =+
与直线y =所围成的
有界闭区域.
(1)画出积分区域D ,并将二重积分I 化为先y 后x 的二次积分; (2)将二重积分I 化为极坐标形式的二次积分.
解: (1)积分区域如图阴影部分 (2)
)
2
10
d (,)d x x I x f x y y += …………(5分)
(2) (cos ,sin )d d D I f ρθρθρρθ=⎰⎰ …………(7分)
(tan 1)sec 3
4
d (cos ,sin )d f πθθπθρθρθρρ-=
⎰⎰
…………(10分)
七．(本题满分8分)
计算曲线积分2(1sin d C
I x y y =
-+⎰
,其中C 是正向圆周221x y +=.
解: 记22:1D x y +≤,由格林公式
d D
I x y = (3)
)
1
1
d x y -=⎰⎰
…………(5分)
1
21
2(1)d x x -=-⎰ …………(6分)
8
3
=
…………(8分)
已知曲面221:6z x y ∑=--
与曲面2:z ∑=(1)求两曲面所围成的立体Ω的体积; (2)求立体Ω的1∑部分的表面积. 解: (1) 立体Ω在xOy 面上的投影区域为
22:4D x y +≤ (2)
)
22(6)d d D V x y x y =---⎰⎰ …………(4分)
22
20
d (6)d π
θρρρρ=--⋅⎰⎰ …………(6分)
32
3
π=
…………(7分)
(2) d d D
S x y = (8)
)
d D
x y = (9)
)
20
d d πθρρ=⎰⎰
…………(10分)
1)6
π
= …………(12分)。