2014高考数学(理)基础+难点一轮复习演练必备(人教A版通用)第65讲数学证明

[第68讲 数学证明](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．下列符合三段论推理形式的为( )A ．如果p ⇒q ，p 真，则q 真B ．如果b ⇒c ，a ⇒b ，则a ⇒cC ．如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD ．如果a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc2．[2013·郑州检测] 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A ．①B ．②C ．①②③D ．③3．[2013·太原检测] 已知p 是q 的充分不必要条件，则綈q 是綈p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．[2013·石家庄模拟] 已知a i ，b i ∈R (i ＝1，2，3，…，n )，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝1，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A ．1B ．2C ．n 2D ．2n能力提升5．[2013·泰州模拟] 设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中正确判断的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小关系不定7．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A <B <CC ．A ≥B ≥CD ．A >B >C8．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数9．观察数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则数26将出现在此数列的第( ) A ．21项 B ．22项 C ．23项 D ．24项10．[2013·河南示范性高中检测] 如图K68－1，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：图K68－1仿此，52的“分裂”中最大的数是________，53的“分裂”中最小的数是________．11．[2013·哈尔滨模拟] 已知等比数列{a n }中，a 2＞a 3＝1，则使不等式⎝⎛⎭⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎫a 2－1a 2＋⎝⎛⎭⎫a 3－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是________． 12．如图K68－2所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N )个点，每个图形总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 010a 2 011＝________．图K68－213．[2013·开封模拟] 如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14．(10分)已知a ＞0，b ＞0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .15．(13分)[2013·湖北卷] (1)已知函数f (x )＝rx －x r ＋(1－r )(x >0)，其中r 为有理数，且0<r <1.求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.难点突破16．(12分)[2013·湖南卷] 已知数列{a n}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋…＋a n，B(n)＝a2＋a3＋…＋a n＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋a n＋2，n＝1，2，….(1)若a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{a n}的通项公式；(2)证明：数列{a n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)组成公比为q的等比数列．课时作业(六十八)【基础热身】1．B [解析] 由三段论的推理规则可以得到B 为三段论．2．C [解析] 由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的．3．A [解析] 反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若p ⇒q ，则綈q ⇒綈p .4．A [解析] 此结论为“a ，b ，c ，d ∈R ，a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，则ac ＋bd ≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝1”的推广，类比可得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 21＋b 212＋a 22＋b 222＋…＋a 2n ＋b 2n 2＝1. 【能力提升】5．B [解析] ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．6．B [解析] 假设a ≥b ，即c ＋1－c ≥c －c －1， ∴c ＋1＋c －1≥2c ，平方得2c ＋2c 2－1≥4c ，2c ≤2c 2－1，c ≤c 2－1，即c 2≤c 2－1，0≤－1，这不可能，∴假设不成立，故a <b .7．A [解析] a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是单调减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b . 8．B [解析] 至少有一个的否定是一个也没有，即假设a ，b ，c 都不是偶数．9．C [解析] 数列中各项的分子是按照(1)，(1，2)，(1，2，3)，(1，2，3，4)，…的规律呈现的，分母是按照(1)，(2，1)，(3，2，1)，(4，3，2，1)，…的规律呈现的，显然前五组不可能出现26，我们不妨再写几个对应的数组(1，2，3，4，5，6)，(1，2，3，4，5，6，7)，(6，5，4，3，2，1)，(7，6，5， 4，3，2，1)，可以发现第六组也不可，故只能是第七组的第二个．故这个数是第(1＋2＋…＋6＋2)项，即第23项．10．9 21 [解析] 由已知中“分裂”可得，故“52”的“分裂”中最大的数是9，53的“分裂”中最小的数是21.11．5 [解析] ∵a 2＞a 3＝1，∴0＜q ＝a 3a 2＜1，a 1＝1q2＞1， ⎝⎛⎭⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎫a 2－1a 2＋⎝⎛⎭⎫a 3－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫a n －1a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝a 1（1－q n ）1－q －1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q＝a 1（1－q n ）1－q －q （1－q n ）a 1（1－q ）q n≥0， ∴a 1（1－q n ）1－q ≥q （1－q n ）a 1（1－q ）q n. 因为0＜q ＜1，所以，化简得a 21≥1qn －1，即q 4≤q n －1， ∴4≥n －1，n ≤5，所以n 的最大值为5.12.2 0092 010[解析] a n ＝3(n －1)，a n a n ＋1＝9n (n －1)，裂项求和即可． 13.332 [解析] sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.14．证明：b 2a ＋a 2b－(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎫b 2a －a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b －b ＝（b ＋a ）（b －a ）a ＋（a ＋b ）（a －b ）b＝(a －b )(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝1ab (a －b )2(a ＋b )，∵a ＞0，b ＞0，∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 15．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，1)内是减函数；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r ≤rx ＋(1－r )． ①若a 1，a 2中有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得⎝⎛⎭⎫a 1a 2b 1≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)， 即ab 11a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.②(3)(2)中命题的推广形式为：若a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数．若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则ab 11ab 22…ab nn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．②假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1＝(a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k)1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1. 因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k 1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得 a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k 1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1， 从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1. 又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1.故当n ＝k ＋1时，③成立．由①②可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．【难点突破】16．解：(1)对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )是等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列．于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n ＞0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B （n ）A （n ）＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q （a 1＋a 2＋…＋a n ）a 1＋a 2＋…＋a n＝q ， C （n ）B （n ）＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q （a 2＋a 3＋…＋a n ＋1）a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ， 即B （n ）A （n ）＝C （n ）B （n ）＝q .所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列． ②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )．于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋2a n ＋1＝错误!＝q . 故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．。