第二章Hermit插值法

( x0 ) 0 0 ( x1 ) 0 0
根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式； ( x0 ) 0 1 ( x1 ) 0 1 ( x1 ) 1 1 1 ( x0 ) 0 0 ( x) ( x x1 )2 (ax b) ( x0 ) 1 0 ( x1 ) 0 0 0 ( x1 ) 0 ( x ) 0 0 0 根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数； 由 ( x0 ) 0 0 ( x0 ) 1 0 ( x1 ) 1 1 ( x1 ) 0 1 ( x0 ) 0 1 1 ( x0 ) 0 可得
f ( 4 ) ( ) K ( x) 4!
所以,两点三次Hermite插值的余项为
f ( 4 ) ( ) R3 ( x ) ( x x0 )2 ( x x1 )2 4!
x0 x1
以上分析都能成立吗？
当f ( 4) ( x)在[ x0 , x1 ]上存在且连续时 , 上述余项公式成立
2 R3 ( x) f ( x) P ( x ) K ( x )( x x )( x x ) 3 0 1 ( x x2 ),
(4)
K ( x)
f
( x ) 4!
H3 ( x)应满足插值条件
H 3 ( x0 ) y0 ( x0 ) y0 H3 H 3 ( x1 ) y1 ( x1 ) y1 H3
2 2 2 2
两点三次Hermite插值的误差为
R3 ( x) f ( x) H 3 ( x) R3 ( xi ) f ( xi ) H 3 ( xi ) 0 ( xi ) f ( xi ) H 3 ( xi ) 0 R3
i 0 ,1
x0 , x1均为R3 ( x)的二重零点 ,因此可设
分段线性插值 y L1 ( x)的图象
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
实际上是连接点 ( xk , yk ) , i 0 ,1,, n的一条折线
也称折线插值,如右图
曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 减小步长,会改善插值效果
-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -4
数值分析
第二章 插值法
Hermite 插值
设f ( x)在节点 a x0 , x1 ,, xn b处的函数值为 y0 , y1 ,, yn , 设P( x)为f ( x)的在区间 [a, b]上的具有一阶导数的插 值函数 (1) 若要求P( x)在[a, b]上具有一阶导数 (一阶光滑度 ) 显然P( x)在节点 x0 , x1 ,, xn处必须满足
for x [ xi , xi 1 ]
一致
记 h max| xi 1 xi | ，易证：当 h 0 时，P1h ( x ) f ( x)
失去了原函数的光滑性。
How can we make a smooth interpolation without asking 分段Hermite 插值 /* Hermite piecewise polynomials */ too much from f ? 给定 x0 , ... , xn ; y0 , ... , yn ; y0 , ... , y n Headache … 在[ xi , xi 1 ] 上利用两点的 y 及 y’ 构造3次Hermite函数 导数一般不易得到。
1.5
1
0.5
0
越大，称为 Runge 现象
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.5 -5
分段低次插值
2
不同次数的Lagrange插值多项式的比较图
f(x)Βιβλιοθήκη Baidu1/(1+x 2) n=10
1.5
1
n=2 n=4
0.5
0
n=6
-0.5 n=8 从上图可以看出，随着n的增加，Ln(x)的计算结果和 -1 误差的绝对值几乎成倍的增加，这说明当n趋于无穷大 时， L n(x)在[-5，5]上不收敛； -1.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 现象 1 2 3 4 5 Runge
2 a ( x0 x1 )3 1 2 x0 b 2 ( x0 x1 ) ( x0 x1 )3
0 ( x) ( x x1 )2 (ax b)
2x 1 2 x0 ( x x1 ) ( x x )3 ( x x )2 ( x x )3 0 1 0 1 0 1
F 两点三次Hermite插值
例：设 x0 x1 x2, 已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和 f ’(x1), 求多项 式 P(x) 满足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且 P’(x1) = f ’(x1), 并估计误差。
A为待定系数，可由 P’(x1) = f ’(x1)确定 解：首先，P 的阶数 = 3 模仿 Newton 多项式的思想，设
因此
则
若f ( x)在[a, b]上连续
lim L1 ( x) f ( x )
h 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
分段线性插值 /* piecewise linear interpolation */ 在每个区间[ xi , xi 1 ] 上，用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x):
f ( x ) P1 ( x ) x x i 1 x xi yi y i 1 x i x i 1 x i 1 x i
P( xi ) f ( xi ) yi P( xi ) f ( xi ) yi
i 0 ,1, , n i 0 ,1, , n
--------(1)
共2n 2个方程 可以解出 2n 2个待定的系数
因此P( x)可以是最高次数为 2n 1次的多项式
两个节点就可以用 2 1 1 3次多项式作为插值函数
一般的，总认为次数越高，
逼近f(x)的精度就越好， 但实际上并非如此。
§2.6 分段低次插值
/* piecewise polynomial approximation */
1 1 x2
例：在[5, 5]上考察 f ( x )
2.5
的Ln(x)。取 xi 5 10 i (i 0, ... , n)
P( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) A( x x0 )(x x1 )(x x2 )
f ( x1 ) f [ x0 , x1 ] ( x1 x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ] 与 分析 ALagrange ( x1 x0 )(x1 x2 ) 完全类似
2
( x x1 )2 ( x0 x1 )2
2 x0 2x 1 x0 x1 x0 x1
x x0 1 2 x x 1 0
x x1 2 ( 1 2 l ( x )) l x x 1 0 ( x) 1 0
R3 ( x) K ( x)(x x0 )2 ( x x1 )2
其中K ( x)待定
构造辅助函数
(t ) f (t ) H3 (t ) K( x)(t x0 )2 (t x1 )2
均是 二重根
( xi ) f ( xi ) H3 ( xi ) K( x)(xi x0 )2 ( xi x1 )2 0
( x) f ( x) H3 ( x) K( x)(x x0 )2 ( x x1 )2 0
因此(t )至少有5个零点
i 0 ,1
[ x0 , x1 ] 连续使用4次Rolle定理，可得， 至少存在一点
使得
( 4 ) ( ) 0
即
( 4) ( ) f ( 4) ( ) 4! K ( x) 0
求Hermite多项式的基本步骤：
写出相应于条件的、 i i 的组合形式； 0 ( x) y1 1 ( x) H 3 ( x) y00 ( x) y11 ( x) y0 对每一个 i , i找出尽可能多的条件给出的根；
其中
0 ( x0 ) 1 0 ( x1 ) 0
n
2
Ln(x) f (x)
Remember what I have said? Increasing the degree of interpolating polynomial will NOT guarantee a good result, since high-degree polynomials are n 越大， oscillating. 端点附近抖动
2
最后完整写出H(x)。
0 ( x) y1 1 ( x) H 3 ( x) y00 ( x) y11 ( x) y0
x x1 x x0 x x0 x x 1 y0 1 2 y 1 2 1 x0 x1 x x x x x x 0 1 0 0 1 1 x x0 x x1 x x1 x x0 y1 y0 x x x x 0 1 1 0