2. 三个正数的算术——几何平均不等式
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2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等 号成立的条件是否一致．
变式训练 设 a，b，c 为正数，求证：(a13＋b13＋c13)(a＋b＋c)3≥81. 【证明】 因为 a，b，c 为正数， 所以有a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13＝a3bc＞0. 又(a＋b＋c)3≥(33 abc)3＝27abc＞0， ∴(a13＋b13＋c13)(a＋b＋c)3≥81， 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立.
即 E＝ksirn2 θ.这里 k 是一个和灯光强度有关的常数．那么 究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？
【思路探究】 根据题设条件建立 r 与 θ 的关系式，将 它代入 E＝ksirn2 θ，得到以 θ 为自变量，E 为因变量的函数关 系式，再用平均不等式求函数的最值．
【解答】∵r＝co2s θ， ∴E＝k·sin θ4cos2θ(0<θ<π2)．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
三元平均值不等式
1．三个正数的算术－几何平均不等式 (1)如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3 ≥ 3abc，当且仅 当 a＝b＝c 时，等号成立．
a＋b＋c (2)定理 3：如果 a，b，c∈R＋，那么 3
≥
3 abc，
当且仅当 a＝b＝cLeabharlann Baidu时，等号成立．
即：三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均．
2．基本不等式的推广
对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于
它们的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当
a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
3．利用基本不等式求最值
若 a，b，c 均为正数，①如果 a＋b＋c 是定值 S，那么a_＝___b_＝_,c 时，积 abc 有 最大 值；②如果积 abc 是定值 P，那么当
1．本题的关键是在获得了 E＝k·sin θ4cos2θ后，对 E 的函数 关系式进行变形求得 E 的最大值．
2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式， 若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等 式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．
无解，不能求出 y 的最小值．
利用平均不等式求最值
例 1 已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值．
【思路探究】为使数的“和”为定值，可以先平方，即 y2 ＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×12，求出最 值后再开方．
【解】 ∵y＝x(1－x2)， ∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.
3
x44·x22·x22＝3，当且
仅当x44＝x22，即 x＝± 2时，等号成立，
∴ymin＝3.
其中把 x2 拆成x22和x22两个数，这样可满足不等式成立的条
件． 若这样变形：y＝x44＋x2＝x44＋x42＋34x2，虽然满足了乘积
是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为x44＝x42＝34x2 时 x
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
3 ≥3·
2a－2 b·b2·2a－4b·b＝3，
当且仅当2a－2 b＝b2＝2a－4 bb，
即 a＝b＝2 时取等号．
所以当 a＝b＝2 时， a＋2a－4b·b有最小值为 3.
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0，
∴a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2
3 ≥3
13 a2b2c2·9
a2b2c2＝27，
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件， 即 a>0，b>0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积 式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式 试试看．
证明简单的不等式
例 2 设 a，b，c 为正数，求证a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥27. 【思路探究】 根据不等式的结构特点，运用 a＋b＋ c≥33 abc，结合不等式的性质证明．
【解】∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b＋c≥33 abc>0，
从而(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2>0，
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
a＝b＝c 时，和
a＋b＋c 有最小值．
1．利用不等式a＋3b＋c≥3 abc求最值的条件是什么？
【提示】 “一正、二定、三相等”,即(1)各项或各因式为
正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取到相等的值．
2．如何求 【提示】
y＝y＝x44x＋44＋x2x的2＝最x4小 4＋值x22？＋x22≥3
变式训练 设 a，b，c 为正数，求证：(a13＋b13＋c13)(a＋b＋c)3≥81. 【证明】 因为 a，b，c 为正数， 所以有a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13＝a3bc＞0. 又(a＋b＋c)3≥(33 abc)3＝27abc＞0， ∴(a13＋b13＋c13)(a＋b＋c)3≥81， 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立.
即 E＝ksirn2 θ.这里 k 是一个和灯光强度有关的常数．那么 究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？
【思路探究】 根据题设条件建立 r 与 θ 的关系式，将 它代入 E＝ksirn2 θ，得到以 θ 为自变量，E 为因变量的函数关 系式，再用平均不等式求函数的最值．
【解答】∵r＝co2s θ， ∴E＝k·sin θ4cos2θ(0<θ<π2)．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
三元平均值不等式
1．三个正数的算术－几何平均不等式 (1)如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3 ≥ 3abc，当且仅 当 a＝b＝c 时，等号成立．
a＋b＋c (2)定理 3：如果 a，b，c∈R＋，那么 3
≥
3 abc，
当且仅当 a＝b＝cLeabharlann Baidu时，等号成立．
即：三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均．
2．基本不等式的推广
对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于
它们的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当
a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
3．利用基本不等式求最值
若 a，b，c 均为正数，①如果 a＋b＋c 是定值 S，那么a_＝___b_＝_,c 时，积 abc 有 最大 值；②如果积 abc 是定值 P，那么当
1．本题的关键是在获得了 E＝k·sin θ4cos2θ后，对 E 的函数 关系式进行变形求得 E 的最大值．
2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式， 若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等 式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．
无解，不能求出 y 的最小值．
利用平均不等式求最值
例 1 已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值．
【思路探究】为使数的“和”为定值，可以先平方，即 y2 ＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×12，求出最 值后再开方．
【解】 ∵y＝x(1－x2)， ∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.
3
x44·x22·x22＝3，当且
仅当x44＝x22，即 x＝± 2时，等号成立，
∴ymin＝3.
其中把 x2 拆成x22和x22两个数，这样可满足不等式成立的条
件． 若这样变形：y＝x44＋x2＝x44＋x42＋34x2，虽然满足了乘积
是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为x44＝x42＝34x2 时 x
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
3 ≥3·
2a－2 b·b2·2a－4b·b＝3，
当且仅当2a－2 b＝b2＝2a－4 bb，
即 a＝b＝2 时取等号．
所以当 a＝b＝2 时， a＋2a－4b·b有最小值为 3.
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0，
∴a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2
3 ≥3
13 a2b2c2·9
a2b2c2＝27，
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件， 即 a>0，b>0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积 式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式 试试看．
证明简单的不等式
例 2 设 a，b，c 为正数，求证a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥27. 【思路探究】 根据不等式的结构特点，运用 a＋b＋ c≥33 abc，结合不等式的性质证明．
【解】∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b＋c≥33 abc>0，
从而(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2>0，
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
a＝b＝c 时，和
a＋b＋c 有最小值．
1．利用不等式a＋3b＋c≥3 abc求最值的条件是什么？
【提示】 “一正、二定、三相等”,即(1)各项或各因式为
正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取到相等的值．
2．如何求 【提示】
y＝y＝x44x＋44＋x2x的2＝最x4小 4＋值x22？＋x22≥3