2. 三个正数的算术——几何平均不等式
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人教版高中数学选修4-5《三个正数的算术：几何平均不等式》
上述定理内容可叙述为:三个正数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
推论：定理 3 可变形为：
a＋ b＋ c 3 ① abc≤ ； 3
② a3＋b3＋c3≥ 3abc. 定理 3 的推广 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于 a1＋a2＋…＋an n ≥ a1a2…an ，当且仅 它们的几何平均，即 n a1＝a2＝…＝an 当 ________________时，等号成立．
三个正数的算术 几何平均不等式
第一讲选修4—5 不等式选讲
3. 三个正数的算术—几何平均不等式
[学习目标]
1. 理解三个正数的算术 ——几何平均不等式，并会应用解决
函数的最值或值域问题.
2.能运用三个正数的算术——几何平均不等式证明不等式. 3. 能运用三个正数的算术 —— 几何平均不等式解决简单的实 际问题．
基本不等式结构分析
将基本不等式变形为
a, b是正数， a b ab ab，仅当a b时取“ ”
通过观察可发现基本不等式具有如下结构特点 相等 （ 1）左右两边的项数—— （ 2）左右两边的次数—— 相等
思考
a＋b 类比基本不等式： 2 ≥ ab(a＞0，b＞0)，请写出 a，b，c∈R＋ 时，三项的均值不等式.
2
3 2 2 2
1 1 1 3 1 又a2＋b2＋c2≥3 a2b2c2＞0， 3 1 1 1 1 3 2 2 2 2 ∴ a2＋b2＋c2 (a＋b＋c) ≥3 2 2 2· 9 a b c ＝ 27 ， abc
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
学以致用
1 1 1 9 ＋ ＋ (2)(a＋b＋c) ≥2. a＋b b＋c a＋c
三个正数的算术-几何平均不等式
即 x=
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2
3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3
错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2
,
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2
3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3
错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2
,
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a
2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
2
2V ∴S＝2πr ＋2πrh＝2πr ＋ r
2 2
V V 3 ＝2πr ＋ r ＋ r ≥3 2πV2.
2
3 V V 即当 2πr2＝ r ，r＝ 时表面积最小． 2π 此时 h＝2r. 3 V 3 V 即饮料盒的底面半径为 r＝ ，高为 2 时，用料 2π 2π 最省．
本课时经常考查算术—几何平均值不等式在求最值
[研一题] [例3] 已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内 接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最
大的体积．
[精讲详析] 本题考查算术—几何平均不等式在实际问
题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利 用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几 何平均不等式求最大值．
1 1 12 1 1 故 a ＋b ＋c ＋(a＋b＋ c) ≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋
2 2 2
三个正数的算术-几何平均不等式
的内接圆柱体的高 h 为何值时，圆柱的体积最大？
并求出这个最大的体积． 解 设圆柱体的底面半径为r，如图，
H－h r 由相似三角形的性质可得 ＝ ， H R R ∴r＝ (H h)． H
πR 2 ∴V 圆柱＝πr h＝ 2 (H h) h(0＜h＜H)． H
2
2
根据三个正数的基本不等式可得
4πR2 H－h H－h 4πR2H3 4 2 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ＝ πR H. H 2 2 H 3 27
3
x yz 证明：因为 3
3
x yz，所以
（x + y+ z） xyz， 27
3
即（x y z） 27 x yz
3
例2: ( 1 ) 当 0 < x < 1时，求函数 y = x2( 1 – x ) 的最大值 解: 0 x 1, 1 x 0,
x x y x (1 x) 4 (1 x) 2 2 构造三个数相 x x 1 x 加等于定值 . 4 3 2 2 4( ) 3 27 x 2 4 当 1 x, x 时, ymax . 2 3 27
3 xx 1 3 1 x x 1 解析 y＝x＋ 2＝ ＋ ＋ 2≥3 ·· 2 ＝ . 2 2 2x 2 2x 2 2 2x
1 2 3 4
x 1 当且仅当 ＝ 2，即 x＝1 时等号成立． 2 2x
H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
课堂练习：
3 4 4 2 2 A．y＝x ＋2x＋x3≥3 x · 2x· 3＝6，∴ymin＝6 x
1 2 3 4
1．已知x为正数，下列求最值的过程正确的是( C )
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
解：y＝x2(1－x)＝x· x(1－x) 1 ＝x· (2－2x)× x· 2 1x＋x＋2－2x3 1 8 4 ≤ ＝2×27＝27. 2 3 2 当且仅当 x＝2－2x，即 x＝ 时取等号． 3 4 此时，ymax＝ . 27
[研ห้องสมุดไป่ตู้题]
[例 2] 设 a、b、c∈R＋，求证：
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a
2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
[悟一法]
(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用
“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只
能含一个变量，否则是无法求最值的．
[通一类] 3．制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它 的尺寸，才能使所用的材料最少？
解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r， 高为 h，表面积为 S. V 则 V＝πr h，∴h＝ 2. πr
[研ห้องสมุดไป่ตู้题]
[例 2] 设 a、b、c∈R＋，求证：
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a
2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
[悟一法]
(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用
“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只
能含一个变量，否则是无法求最值的．
[通一类] 3．制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它 的尺寸，才能使所用的材料最少？
解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r， 高为 h，表面积为 S. V 则 V＝πr h，∴h＝ 2. πr
三个正数的算术几何平均不等式
当且仅当a=b=c时，等号成立.
所以 (
1 1 1 2 )(a b c) 27. 2 2 2 a b c
用平均不等式解应用题
【典型例题】
1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点，则P到这个
三角形三边距离乘积的最大值是_______. 2.制造容积为 立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板
【拓展提升】
1.用不等式解决实际问题的方法与技巧 应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等 量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是 解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.
2.利用平均不等式解决应用题的一般步骤 (1)理解题意，设变量，设变量时一般要把所求最大值或最小 值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大 值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最值. (4)验证相等条件，得出结论.
【证明】1.因为a,b,c∈R+,
所以(a+b)+(b+c)+(a+c)
3 3 (a b)(b c)(a c)，
所以 a b c 3 3 (a b)(b c)(a c).
又 1 1 1 33 1 1 1 ,
ac ab bc ac 1 1 1 9 所以 (a b c)( ) . ab bc ac 2 ab bc
2.由y=sin θcos2θ得，y2=sin2θcos4θ
1 2sin 2 cos 2 cos 2 2 1 2sin 2 cos 2 cos 2 3 4 ( ) , 2 3 27
2 3 . 9
当且仅当2sin2θ=cos2θ，即 sin 3 时取等号，此时
人教版高中选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式教学设计
人教版高中选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式教学设计一、教学目标1.掌握三个正数的算术平均和几何平均的概念及其计算方法，理解三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想；2.运用几何平均不等式解决实际问题，提高数学思维能力和解决实际问题的能力；3.培养学生良好的合作精神和创造性思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点•算术平均与几何平均的概念与计算方法；•三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想。
2. 教学难点•如何运用几何平均不等式解决实际问题。
三、教学内容和教学步骤1. 教学内容1.算术平均与几何平均的概念及其计算方法；2.三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想；3.几何平均不等式的应用。
2. 教学步骤第一步：导入1.引入本节课的主题，介绍生活中有关于三个数的问题。
2.让学生思考：如何求三个数的平均数？是否有大小之分？为什么？第二步：概念讲解1.讲述算术平均与几何平均的概念及其计算方法。
2.提出三个正数的算术平均大于等于几何平均的基本思想，并进行简单的证明。
第三步：示例演练1.让学生自己推导一下证明，加深理解。
2.解析一道具体的例子，引导学生掌握应用几何平均不等式解决实际问题的方法。
第四步：作业1.布置课后作业，包括书面练习、思考题、拓展练习等多种形式。
2.留出时间让学生在小组合作中讨论问题，提高学生的合作精神和创造性思维能力。
四、教学方式和教学手段1. 教学方式采用讲授、讨论、实例演练、小组合作等多种教学方式，注重学生的参与和交流。
2. 教学手段1.录制教学视频，让学生自主学习；2.设计多元化的书面练习，既注重知识的考查，也注重学生的应用能力；3.设计一些互动性强的思考题和拓展练习，帮助学生扩展视野，拓展思路。
五、教学评价1. 教学效果•通过考察学生的课余作业和课堂互动表现，综合评价本节课的教学效果。
2. 学生评价•通过问卷调查的形式，征求学生对本节课教学内容、教学方式、教学手段、教学效果等方面的评价，反馈教学情况，为今后的教学改进提供依据。
三个正数的算数-几何平均不等式
三个正数的算术-几何平均不等式求证：如果),0(,,+∞∈c b a ，那么abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
证明：因为abc c ab b a b a abc c b a 333)(33223333-+--+=-++ ①abc ab b a c b a 333)(2233---++= ②)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= )32)((222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=))((222ac bc ab c b a c b a ---++++= ])()())[((21222c a c b b a c b a +++++++=0≥ 所以abc c b a 3333≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
注意：（1）三个整数的积为定值，则和有最小值；三个正数的和为定值，则积有最大值。
与常用的基本不等式类似，求解过程中要注意“一正、二定、三相等”。
（2）几个简单的变形：33abc c b a ⋅≥++；27)(3c b a abc ++≤；3311133333c b a c b a abc cb a ++≤++≤≤++。
以上三个式子都是当且仅当c b a ==时，等号成立。
（3）公式的证明过程中，①式应用了公式3223333)(y xy y x x y x +++=+。
②式应用了公式))((2233y xy x y x y x +-+=+。
对上述结果做简单的恒等变形，就可以得到定理：如果),0(,,+∞∈c b a ，那么33abc c b a ≥++，当且仅当c b a ==时，等号成立。
这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
1，已知),0(,,+∞∈z y x ，求证xyz z y x 27)(3≥++。
证明：因为033>≥++xyz z y x ，所以xyz z y x ≥++27)(3，即xyz z y x 27)(3≥++。
高中数学新人教A版选修4-5 三个正数的算术—几何平均不等式
[思路点拨]
根据题设条件建立r与θ的关系式
sin θ → 将它代入E＝k 2 r → 得到以θ为自变量，E为因变量的函数关系式 → 用平均不等式求函数的最值 → 获得问题的解
[ 解]
2 ∵r＝ ， cos θ
π sin θcos2θ 0<θ< . ∴E＝k· 2 4
2 2 2 k k k ∴E2＝ · sin2θ· cos4θ＝ · (2sin2θ)· cos2θ· cos2θ≤ · 16 32 32 2 2sin2θ＋cos2θ＋cos2θ k 3 ＝108. 3
5．已知圆锥的底面半径为 R，高为 H，求圆锥的内接圆柱体的 高 h 为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．
解：设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三 H－ h r R 角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． 2 π R ∴V圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0<h<H)． H 4πR2 H－h H－h 4πR2H3 根据平均不等式可得V圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 3 H 2 2 H H－ h 4 2 ＝ πR H.当且仅当 ＝ h， 27 2 1 4 2 即h＝ H时，V圆柱max＝ πR H. 3 27
“应用创新演练”见“课时跟踪检测（三）” (单击进入电子文档)
1 当且仅当 a－b＝b－c＝ 时等号成立， a－bb－c 1 所以当 a－b＝b－c＝ 时， a－bb－c 1 a－c－ 2 取得最小值 3. b －ab＋ca－b
用平均不等式解应用题
[例 3]
如图所示， 在一张半径是 2 m 的圆桌的正中央上
空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮 度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学 知道，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光 线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点到光源的距离 sin θ r 的平方成反比，即 E＝k 2 . r 这里 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎 样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？
三个正数的算术几何平均不等式
几何平均数
三个正数的乘积的平方根，记作 GM。即GM = sqrt(a*b*c)。
算术几何平均不等式的形式
算术几何平均不等式
对于任意三个正数a、b、c，有AM >= GM，即(a+b+c)/3 >= sqrt(a*b*c)。
等号成立条件
当且仅当a=b=c时，算术几何平均不 等式的等号成立。
02
算术几何平均不等式的 证明
05
算术几何平均不等式的 局限性与挑战
算术几何平均平均不等式的局限性
01
适用范围有限
算术几何平均不等式仅适用于三 个正数的情况，对于其他数量或 非正数的情况则不适用。
02
无法处理负数
03
无法处理非整数
算术几何平均不等式不适用于负 数，因为负数没有算术和几何平 均数的定义。
算术几何平均不等式不适用于非 整数，因为算术和几何平均数的 定义仅适用于整数。
算术几何平均不等式的研究挑战与前景
寻找更广泛的不等式
为了解决算术几何平均不等式的局限性，需要寻找适用于更广 泛情况的不等式，例如适用于任意数量的正数或非正数的情况
。
深入研究不等式的性质
为了更好地应用算术几何平均不等式，需要深入研究其性 质和特点，例如其与凸函数、Jensen不等式等的关系。
探索实际应用
利用AM-GM不等式的几何解释
总结词
这种方法通过几何图形来解释算术几何平均不等式，将抽象的数学概念可视化， 有助于深入理解不等式的本质。
详细描述
首先，在三维空间中，以$a, b, c$为边长构造一个正方体。然后，根据AM-GM 不等式，正方体的体积大于等于其外接球体的体积。最后，通过观察正方体和外 接球体的关系，我们可以直观地理解算术几何平均不等式的意义。
三个正数的乘积的平方根，记作 GM。即GM = sqrt(a*b*c)。
算术几何平均不等式的形式
算术几何平均不等式
对于任意三个正数a、b、c，有AM >= GM，即(a+b+c)/3 >= sqrt(a*b*c)。
等号成立条件
当且仅当a=b=c时，算术几何平均不 等式的等号成立。
02
算术几何平均不等式的 证明
05
算术几何平均不等式的 局限性与挑战
算术几何平均平均不等式的局限性
01
适用范围有限
算术几何平均不等式仅适用于三 个正数的情况，对于其他数量或 非正数的情况则不适用。
02
无法处理负数
03
无法处理非整数
算术几何平均不等式不适用于负 数，因为负数没有算术和几何平 均数的定义。
算术几何平均不等式不适用于非 整数，因为算术和几何平均数的 定义仅适用于整数。
算术几何平均不等式的研究挑战与前景
寻找更广泛的不等式
为了解决算术几何平均不等式的局限性，需要寻找适用于更广 泛情况的不等式，例如适用于任意数量的正数或非正数的情况
。
深入研究不等式的性质
为了更好地应用算术几何平均不等式，需要深入研究其性 质和特点，例如其与凸函数、Jensen不等式等的关系。
探索实际应用
利用AM-GM不等式的几何解释
总结词
这种方法通过几何图形来解释算术几何平均不等式，将抽象的数学概念可视化， 有助于深入理解不等式的本质。
详细描述
首先，在三维空间中，以$a, b, c$为边长构造一个正方体。然后，根据AM-GM 不等式，正方体的体积大于等于其外接球体的体积。最后，通过观察正方体和外 接球体的关系，我们可以直观地理解算术几何平均不等式的意义。
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
[小问题· 大思维]
a＋b＋c 3 1．满足不等式 ≥ abc成立的 a，b，c 的范围是什么？ 3
提示：a，b，c的范围为a≥0，b≥0，c≥0. 2．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意 什么？ 提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，
和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
1 1 1 (1)( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2≥27； a b c 1 1 1 9 (2)(a＋b＋c)( ＋ ＋ )≥ . a＋b b＋c a＋c 2
[精讲详析]
本题考查平均不等式的应用，解答本题
需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均 不等式证明的问题．
(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3 abc＞0， 从而(a＋b＋c) ≥9 a2b2c2＞0， 3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 ＞0， a b c a2b2c2 1 1 1 ∴( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2 a b c ≥3 3 1 3 2 2 2 · a b c ＝27. 9 a2b2c2
的条件是否保持一致．
[通一类] 2．设0<a<1,0<b<1,0<c<1，
13 求证：abc(1－a)(1－b)(1－c)≤( ) . 4 证明：∵0<a<1，∴1－a>0.
a＋1－a 2 1 ∴0<a(1－a)≤[ ]＝ . 2 4 1 1 同理 0<b(1－b)≤ ，0<c(1－c)≤ 4 4 将以上三个不等式相乘得 13 abc(1－a)(1－b)(1－c)≤( ) . 4
[读教材· 填要点]
1．三个正数的算术—几何平均不等式 a＋b＋c 3 如果 a，b，c∈R＋，那么 ≥ abc ，当且仅当 a＝b 3
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
解：y＝x2(1－x)＝x· x(1－x) 1 ＝x· (2－2x)× x· 2 1x＋x＋2－2x3 1 8 4 ≤ ＝2×27＝27. 2 3 2 当且仅当 x＝2－2x，即 x＝ 时取等号． 3 4 此时，ymax＝ . 27
[研一题]
[例 2] 设 a、b、c∈R＋，求证：
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
[悟一法]
(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用
“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只
能含一个变量，否则是无法求最值的．
[通一类] 3．制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它 的尺寸，才能使所用的材料最少？
解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r， 高为 h，表面积为 S. V 则 V＝πr h，∴h＝ 2. πr
2 － 3
.
2 － 3
② .
2 1 1 12 故 a2＋b2＋c2＋(a＋b＋ c) ≥3(abc) 3 ＋9(abc)
又 3(abc) ＋9(abc)
2 3
2 － 3
≥2 27＝6 3， ③
所以原不等式成立．
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当 3(abc)
[研一题]
[例 2] 设 a、b、c∈R＋，求证：
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
[悟一法]
(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用
“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只
能含一个变量，否则是无法求最值的．
[通一类] 3．制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它 的尺寸，才能使所用的材料最少？
解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r， 高为 h，表面积为 S. V 则 V＝πr h，∴h＝ 2. πr
2 － 3
.
2 － 3
② .
2 1 1 12 故 a2＋b2＋c2＋(a＋b＋ c) ≥3(abc) 3 ＋9(abc)
又 3(abc) ＋9(abc)
2 3
2 － 3
≥2 27＝6 3， ③
所以原不等式成立．
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当 3(abc)
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
2 － 3
时，③式等号成立．
1 4
即当且仅当 a＝b＝c＝3 时，原不等式等号成立． 法二：因为 a，b，c 均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2 1 1 1 1 同理 2＋ 2＋ 2≥ab＋bc＋ac， a b c ① ②
1 1 1 (1)( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2≥27； a b c 1 1 1 9 (2)(a＋b＋c)( ＋ ＋ )≥ . a＋b b＋c a＋c 2
[精讲详析]
本题考查平均不等式的应用，解答本题
需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均 不等式证明的问题．
(1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3 abc＞0， 从而(a＋b＋c) ≥9 a2b2c2＞0， 3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 ＞0， a b c a2b2c2 1 1 1 ∴( 2＋ 2＋ 2)(a＋b＋c)2 a b c ≥3 3 1 3 2 2 2 · a b c ＝27. 9 a2b2c2
[研一题] [例3] 已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内 接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最
大的体积．
[精讲详析] 本题考查算术—几何平均不等式在实际问
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∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
3 ≥3·
2a－2 b·b2·2a－4b·b＝3，
当且仅当2a－2 b＝b2＝2a－4 bb，
即 a＝b＝2 时取等号．
所以当 a＝b＝2 时， a＋2a－4b·b有最小值为 3.
无解，不能求出 y 的最小值．
利用平均不等式求最值
例 1 已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值．
【思路探究】为使数的“和”为定值，可以先平方，即 y2 ＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×12，求出最 值后再开方．
【解】 ∵y＝x(1－x2)， ∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.
2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等 号成立的条件是否一致．
变式训练 设 a，b，c 为正数，求证：(a13＋b13＋c13)(a＋b＋c)3≥81. 【证明】 因为 a，b，c 为正数， 所以有a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13＝a3bc＞0. 又(a＋b＋c)3≥(33 abc)3＝27abc＞0， ∴(a13＋b13＋c13)(a＋b＋c)3≥81， 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立.
即 E＝ksirn2 θ.这里 k 是一个和灯光强度有关的常数．那么 究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能使桌子边缘处最亮？
【思路探究】 根据题设条件建立 r 与 θ 的关系式，将 它代入 E＝ksirn2 θ，得到以 θ 为自变量，E 为因变量的函数关 系式，再用平均不等式求函数的最值．
【解答】∵r＝co2s θ， ∴E＝k·sin θ4cos2θ(0<θ<π2)．
a＝b＝c 时，和
a＋b＋c 有最小值．
1．利用不等式a＋3b＋c≥3 abc求最值的条件是什么？
【提示】 “一正、二定、三相等”,即(1)各项或各因式为
正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取到相等的值．
2．如何求 【提示】
y＝y＝x44x＋44＋x2x的2＝最x4小 4＋值x22？＋x22≥3
三元平均值不等式
1．三个正数的算术－几何平均不等式 (1)如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3 ≥ 3abc，当且仅 当 a＝b＝c 时，等号成立．
a＋b＋c (2)定理 3：如果 a，b，c∈R＋，那么 3
≥
3 abc，
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
即：三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均．
3
x44·x22·x22＝3，当且
仅当x44＝x22，即 x＝± 2时，等号成立，
∴ymin＝3.
其中把 x2 拆成x22和x22两个数，这样可满足不等式成立的条
件． 若这样变形：y＝x44＋x2＝x44＋x42＋34x2，虽然满足了乘积
是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为x44＝x42＝34x2 时 x
1．本题的关键是在获得了 E＝k·sin θ4cos2θ后，对 E 的函数 关系式进行变形求得 E 的最大值．
2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式， 若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等 式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．
又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0，
∴a12＋b12＋c12(a＋b＋c)23 ≥313 a2b Nhomakorabeac2·9
a2b2c2＝27，
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件， 即 a>0，b>0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积 式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式 试试看．
2．基本不等式的推广
对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于
它们的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当
a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
3．利用基本不等式求最值
若 a，b，c 均为正数，①如果 a＋b＋c 是定值 S，那么a_＝___b_＝_,c 时，积 abc 有 最大 值；②如果积 abc 是定值 P，那么当
证明简单的不等式
例 2 设 a，b，c 为正数，求证a12＋b12＋c12(a＋b＋c)2≥27. 【思路探究】 根据不等式的结构特点，运用 a＋b＋ c≥33 abc，结合不等式的性质证明．
【解】∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b＋c≥33 abc>0，
从而(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2>0，