函数定义域的类型和求法

函数定义域的类型和求法

本文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。现举例说明。

一、常规型

即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1 求函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

由①解得或。③

由②解得或④

③和④求交集得且或x>5。

故所求函数的定义域为。

例2 求函数的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足

由①解得③

由②解得④

由③和④求公共部分，得

故函数的定义域为

评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？

二、抽象函数型

抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（1）已知的定义域，求的定义域。

其解法是：已知的定义域是［a，b］求的定义域是解，即为所求的定义域。

例3 已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。

解：令，得，即，因此，从而，故函数的定义域是。

（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。

其解法是：已知的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。

例4 已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为。

即函数f(x)的定义域是。

三、逆向型

即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例5 已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。

分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。

解：当m=0时，函数的定义域为R；

当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。

评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。

例6 已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。

解：要使函数有意义，则必须≠0恒成立，因为的定义域为R，即

无实数

①当k≠0时，恒成立，解得；

②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。

综上k的取值范围是。

四、实际问题型

这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。

例7 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。

解：设矩形一边为x，则另一边长为于是可得矩形面积。

。

由问题的实际意义，知函数的定义域应满足

。

故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。

例8 用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。

因为CD=AB=2x，所以，所以，

故

根据实际问题的意义知

故函数的解析式为，定义域（0，）。

五、参数型

对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。

例9 已知的定义域为［0，1］，求函数的定义域。

解：因为的定义域为［0，1］，即。故函数的定义域为下列不等式组的解集：

，即

即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知

（1）当时，F（x）的定义域为；

（2）当时，F（x）的定义域为；

（3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。

六、隐含型

有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。

例10 求函数的单调区间。

解：由，即，解得。即函数y的定义域为（－1，3）。

函数是由函数复合而成的。

，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间上是增函数；在区间上是减函数，而在其定义域上单调增；

，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。