讲题的四种境界

讲题的四种境界江西省临川二中黄金声（344100）讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题.笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点.一、什么是“讲题的四种境界”？第一种境界：就题讲题，把题目讲清（达成目标：一听就能懂）第二种境界：发散试题的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透（达成目标：一点就能透）第三种境界：理清试题的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活（达成目标：一时忘不了）第四种境界：探究试题之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做试题的主人（达成目标：一用真有效）二、“讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释1.会解题≠会讲题会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对试题所反映的信息进行处理.其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题.讲题后情景①教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂！－－基础太差了！？②学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题？教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢？－－悟性有问题！？③教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布置学生做题.－－不信教不会（再不会就没救）！？会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对试题所反映的信息进行处理.其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用.讲题前情景①教师认真做题②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的？做题过程中遇到哪些障碍？③学生在思考过程中会遇到哪些障碍？怎样讲才会使学生更容易接受？在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：题1如图，将一张长方形纸片翻折，则图中重叠部分是三角形.答案很简单：等腰三角形.由此引发了我的疑问：答案为什么不可以是钝角三角形？是等腰三角形吗？是不是随便一折都是等腰三角形？于是，我拿了一张长方形纸片动手折了起来.结果发现，重叠部分可以是钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，但都是等腰三角形，当然，还可以折出等边三角形.如图所示：而要判断三角形形状的变化，只要抓住图中∠α的变化就轻松搞定，即：①当45＜α＜90时，△ABC是锐角三角形；②当0＜α＜45时，△ABC是钝角三角形；③当α＝45时，△ABC是等腰直角三角形，当α＝60时，△ABC是等边三角形.在讲题时，如果把这些变化融进去，不是更能体现本题的价值吗？从思想方法上看，三角形形状变化体现“分类思想”，而三角形形状发生变化的原因是由∠ 的变化引起的，这又体现了“转化思想”，还有“从特殊到一般思想”、“空间观念”、“图形的轴对称”等等.2007年1月10日和9月20日，我以“一张长方形纸片：折出你的思维”为题，分别在抚州市金溪县第二中学和赣州市崇义县横水中学上了这节课，从课后教师的点评看，反映还是不错的.这说明，我对这道填空题的探究得到了同行的肯定.2.清楚≠懂≠会清楚：是“分得开”，是教师的讲解可以使学生把事理“分开”了，但是还没有“连上”，即没有把 “分开”的东西和学生已知的、熟悉的、可接受的东西连接起来.其讲题效果达到了第一种境界或第二种境界.懂：是“连得上”，是教师的讲解能使学生把题目中所涉及的综合的、不熟悉的“知识结”分解为已知的、熟悉的、可接受的“点”，又能在这些点之间找到已知的、熟悉的、可接受的“线”.其讲题效果达到了第二种境界或第三种境界.会：是通过教师的讲解能使学生在“连得上”的基础上对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养了学生思维的广阔性和深刻性，并使学生具备了较强的自主探究能力.其讲题效果达到了第三种境界或第四种境界.题2 （2007·常州）已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 边AB 、CD 、DA 上，AH ＝2，连接CF ． （1）当DG ＝2时，求△FCG 的面积； （2）设DG ＝x ，用含x 的代数式表示△FCG 的面积；（3）判断△FCG 的面积能否等于1，并说明理由．讲题分析： 第（1）问中“DG ＝2”寓意于DG ＝AH ，即△HAE ≌△GDH ，且∠GHE ＝90°．又由菱形EFGH 可得点F （或CF ）此时位于BC 边上，由此可知，四边形（菱形）EFGH 已特殊化为正方形，所以，△FCG 的面积等于△GDH 的面积． 第（2）问中“DG ＝x ”是让菱形EFGH 一般化．由于可推知 △FCG 中，CG ＝6－x ，所以，作出CG 边上的高FM 就成为一种 必然．由图形的对称性可知，应连接GE ，通过证明△HAE ≌△FMG ， 得FM ＝AH ＝2．第（3）问是借助试题中“菱形E F G H 的两个顶点E 、G 分别在正方形A B C D 边A B 、C D 上”的限制作用．由第（2）问可知，FM ＝AH ＝2，是一个定值，则x 的大小就限制了△FCG 的面积．因为HD ＞AH ，所以HC ＞HB ，即①点E 不可能与点A 重合（x 的最小值为0，即HG 的最小值等于HD ）②点G 不能与点C 重合（即HG 的最大值等于HB ）．这样通过求出x 的值并由此求出HG （或AE ）的值就可以正确判断△FCG 的面积能否等于1了．讲题反思：1.第（1）问中证明“四边形（菱形）EFGH 为正方形”非常困难，原答案也只用同理可证△GDH ≌△FCG 模糊了事，能否消除这个逻辑性障碍？2.第（2）问中“连接GE ”是学生解题的一个难点，但这一难点的突破没有在试题（或解题）中得到暗示．同时，试题中连接CF 有些不流畅．3.研究发现：由于点F 是随着点G 、E 的位置变化而变化的，虽然点F 到DC 的距离FM ＝AH ＝2，是一个定值，但点F 到AD 的距离却在一定范围内发生变化．为了彰显本题图形背景中的核心思想“特殊～一般～特殊”，可将本题图形置于平面直角坐标系的背景中，以探究动态菱形E F G H 中点F 的位置变化为主线，改编成下题：题3 如图，正方形ABCD 的边长为6.以直线AB 为x 轴、AD 为y 轴建立坐标系.菱形EFGH 的三个顶点H 、E 、G 分别在正方形ABCD 边DA 、AB 、CD 上，已知AH ＝2. A BC DE F G H A B C D E F G H M（1）如图甲，当点F在边BC上时，求点F的坐标；（2）设DG=x.请在图乙中探索：用含x的代数式表示点F的坐标；（3）设点F的横坐标为m.问:m有无最大值和最小值？若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由.(ABCD置换成矩形可以吗？平行四边形呢？梯形呢？)3.应该有＝想有＋可能有一般说来，教师不会把学生完全没有学的、学生现有知识能力水平无法企及的题目拿给学生做，那么为何有的学生却可能对题目（难题）无从下手呢？此时学生的心态是怎样的呢？教师面对这种情况又该怎样做呢？想有：人的需要、欲望、感情是普遍存在的，学生也不例外，此时教师应该尽其所能激发起学生的需要和突破难题的欲望，并使他们初步感受到这种需要所能带来的那种快感.可能有：当学生感觉到利用已有知识能做而又做不出来的时候，此时教师的启发和点拨就显得至关重要.根据本人的思考，教师的启发与点拨可从以下几方面入手：1.从学生已有知识中“启”：温故而知新，以达承前启后、承上启下的目的；2.从学生知识的盲点处“启”：盲即模糊，或遗忘，此时善意的提醒、引导就成为解决问题的必要手段；3.从知识的关键点“启”：一语点醒梦中人，顿悟、恍然大悟、大彻大悟由此产生；4.从知识的最近发展区“启”：因势利导，顺水推舟，正所谓“唯有源头活水来”；5.有时教师的一个手势、一幅表情、一点鼓励、一种暗示就会使学生冲破迷雾，思如泉涌，此时师生之思之想已如水乳交融，浑然天成.应该有：当学生取得成功后，其喜悦的心情是难以言表的，在今后的学习中，就会更加主动地去透视题目中的各种潜在因素，即使在遇到困难时，也会坚定必胜的信念，这便是教师讲题应达到的成功境界.题4（2006·安徽）如图，直线l过正方形ABCD点A、C到直线l的距离分别是 1 和 2 ,讲题分析：1.利用AB＝BC和∠ABC两个已知条件，证明△Rt AEB≌Rt△BFC，得EB＝FC.2.利用勾股定理求出正方形的边长AB讲题反思：1.正方形ABCD 的顶点D看起来是否“很孤单” ？如图1，能否求出点D到直线l的距离DG？（DG＝3）2.正方形ABCD是否“摇摇欲坠”？将图形特殊化：如图2，令AE＝CF，且ABl图1 B （G ）图2图3 图4 l 图5则AE ＝CF DG 3.观察、比较上面两题中AE 、CF 、DG 的大小，你发现了什么？（AE ＋CF ＝DG ）如图3，你能证明这个结论具有一般性吗？作AM ⊥DG 于点M ，可证：①四边形AEGM 是矩形，则AE ＝MG ；②由△ADM ≌△BCF ，可得AE ＋CF ＝DG .4.让直线 l 动起来！如图4，可证△ADE ≌△CBF ，得DE ＝BF ，即点A 、D 到直线 l 的距离之和与点B 、C 到直线 l 的距离之和相等.思考：直线 l 的位置若再发生变化，还有类似的结论吗？你能总结出一般规律吗？5.如图5，连接AC ，你能利用图形证明勾股定理吗？4.讲题的最高境界＝授之以法＋培之以能＋强之以心对应于“讲题的四种境界”，一个合格的教师，其讲题的效度大致有以下四种水平层次： 正确：内容正确熟练，进度适中切贴，板书工整得当，讲话清晰从容.易懂：外在关系注意铺垫呼应，内在联系注意区分主次，化难为易注意方式方法，关键突破注意把握时机.独到：说之以理见技巧，动之以情见门道，感之以美见艺术，启之以需见奥妙.固顶：授之以法，培之以能，强之以心.①授之以法：关注通性通法，做到深入浅出，让学生易学.②培之以能：引导数学思考，激发学习欲望，让学生想学.③强之以心：鼓励提出问题，强调自主探究，让学生会学.题5 正方形ABCD 中，M 是边AB 上任意一点（不与点B 重合），E 是AB 延长线上一点，连接DM ，作MN ⊥DM ，交∠CBE 的平分线BN 于点N .（1）如图1，当M 是AB 的中点时，求证：DM ＝MN ；（2）如图2，当M 不是AB 的中点时，（1）中的结论还成立吗？说明理由.证法探究：①作N F ⊥A E ，证R t △D A M ≌R t △M F N ；②在A D 上取一点H ，满足D H =M B ，证R t △D H M ≌R t △M B N .逆向思维：若D M =M N ，则M N ⊥D M 成立吗？类比拓展：在正多边形中，类似本题的结论是否也成立？（类比联想）问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：①如图1，两个全等正三边形的其中一边AC 完全重合，点M 是边BC 上任意一点（不与点C 重合）.若∠AMN = 60°，则AM = MN .②如图2，两个全等正方形的其中一边CD 完全重合，点M 是边BC 上任意一点（不与点C 重合）.若∠AMN = 90°，则AM = MN .A B C D E M N 图1 A B C D E M N 图2然后运用类比的思想提出了如下的命题：③如图3，两个全等正五边形的其中一边CD 完全重合，点M 是边BC 上任意一点（不与点C 重合）.若∠AMN = 108°，则AM = MN .任务要求（1）请你从①、②、③三个命题中任意选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：①如图4，两个全等正n （n ≥3）边形其中一边CD 完全重合，点M 是边BC 上任意一点（不与点C 重合）.问：当∠AMN 等于多少度时，结论AM = M N 成立（不要求证明）？②如图5，两个全等正六边形的其中一边CD 完全重合，点M 是边BC 的中点.当∠AMN= 120°时，点N 是PC 的中点吗？说明理由.（拓展延伸）如图，正方形ABCD 与正方形CDEF 中，边CD 完全重合，连接CE .将直角三角形的直角顶点M 在直线．．BC 上滑动(不与点B 、C 重合)，其中一条直角边始终经过点A ，另一条直角边交直线．．CE 于点N .（1）如图1，顶点M 是BC 的中点.①求证：AM ＝MN ；②求证：点N 是CE 的中点.（2）设正方形的边长为1，CM ＝m . 求CNNE 的值.综上所述，教师在讲题前既要从自己做题的角度去揣摩习题，还要以学生做题的角度去思考习题，更要以命题者的角度去审视试题，只有这样，才能最大限度的挖掘习题的潜能，提高讲题的效率.能把复杂的问（习）题简单化就是完美，能把简单的问（习）题深刻化就是杰出！让我们共同努力，使自己体验讲题的快乐，让学生在倾听讲题的快乐中享受数学之美！参考文献杜和戎.讲授学〔M 〕. 华语教学出版社，2007 A B C N P 图1 A B D N E P 图2 A B C D M NE PFG 图3 A B C D M N E P F G H I 图5 A B C D N F E 图1 A B D F E 备用图。