讲题的四种境界

讲题的四种境界

江西省临川二中黄金声（344100）

讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题.笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点.

一、什么是“讲题的四种境界”？

第一种境界：就题讲题，把题目讲清

（达成目标：一听就能懂）

第二种境界：发散试题的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透

（达成目标：一点就能透）

第三种境界：理清试题的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活

（达成目标：一时忘不了）

第四种境界：探究试题之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做试题的主人

（达成目标：一用真有效）

二、“讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释

1.会解题≠会讲题

会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对试题所反映的信息进行处理.其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题.

讲题后情景①教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂！－－基础太差了！？

②学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题？教师：这就奇

怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢？－－悟性有问题！？

③教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布

置学生做题.－－不信教不会（再不会就没救）！？

会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对试题所反映的信息进行处理.其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用.

讲题前情景①教师认真做题②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的？做题过程中遇到哪些障碍？③学生在思考过程中会遇到哪些障碍？怎样讲才会使

学生更容易接受？

在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：

题1如图，将一张长方形纸片翻折，

则图中重叠部分是三角形.

答案很简单：等腰三角形.

由此引发了我的疑问：答案为什么不可以是钝角三角形？是等腰三角形吗？是不是随便一折都是等腰三角形？

于是，我拿了一张长方形纸片动手折了起来.结果发现，重叠部分可以是钝角三角形、

锐角三角形、直角三角形，但都是等腰三角形，

当然，还可以折出等边三角形.如图所示：

而要判断三角形形状的变化，只要抓住图中∠α的变化就轻松搞定，即：

①当45＜α＜90时，△ABC是锐角三角形；

②当0＜α＜45时，△ABC是钝角三角形；

③当α＝45时，△ABC是等腰直角三角形，当α＝60时，△ABC是等边三角形.

在讲题时，如果把这些变化融进去，不是更能体现本题的价值吗？从思想方法上看，

三角形形状变化体现“分类思想”，而三角形形状发生变化的原因是由∠ 的变化引起的，这又体现了“转化思想”，还有“从特殊到一般思想”、“空间观念”、“图形的轴对称”等等.

2007年1月10日和9月20日，我以“一张长方形纸片：折出你的思维”为题，分别在抚州市金溪县第二中学和赣州市崇义县横水中学上了这节课，从课后教师的点评看，反映还是不错的.这说明，我对这道填空题的探究得到了同行的肯定.

2.清楚≠懂≠会

清楚：是“分得开”，是教师的讲解可以使学生把事理“分开”了，但是还没有“连上”，即没有把 “分开”的东西和学生已知的、熟悉的、可接受的东西连接起来.其讲题效果达到了第一种境界或第二种境界.

懂：是“连得上”，是教师的讲解能使学生把题目中所涉及的综合的、不熟悉的“知识结”分解为已知的、熟悉的、可接受的“点”，又能在这些点之间找到已知的、熟悉的、可接受的“线”.其讲题效果达到了第二种境界或第三种境界.

会：是通过教师的讲解能使学生在“连得上”的基础上对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养了学生思维的广阔性和深刻性，并使学生具备了较强的自主探究能力.其讲题效果达到了第三种境界或第四种境界.

题2 （2007·常州）已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 边AB 、CD 、DA 上，AH ＝2，连接CF ． （1）当DG ＝2时，求△FCG 的面积； （2）设DG ＝x ，用含x 的代数式表示△FCG 的面积；

（3）判断△FCG 的面积能否等于1，并说明理由．

讲题分析： 第（1）问中“DG ＝2”寓意于DG ＝AH ，即△HAE ≌△GDH ，且∠GHE ＝90°．又由菱形EFGH 可得点F （或CF ）此时位于BC 边上，由此可知，四边形（菱形）EFGH 已特殊化为正方形，所以，△FCG 的面积等于△GDH 的面积． 第（2）问中“DG ＝x ”是让菱形EFGH 一般化．由于可推知 △FCG 中，CG ＝6－x ，所以，作出CG 边上的高FM 就成为一种 必然．由图形的对称性可知，应连接GE ，通过证明△HAE ≌△FMG ， 得FM ＝AH ＝2．

第（3）问是借助试题中“菱形E F G H 的两个顶点E 、G 分别在正方形A B C D 边A B 、C D 上”的限制作用．由第（2）问可知，FM ＝AH ＝2，是一个定值，则x 的大小就限制了△FCG 的面积．因为HD ＞AH ，所以HC ＞HB ，即①点E 不可能与点A 重合（x 的最小值为0，即HG 的最小值等于HD ）②点G 不能与点C 重合（即HG 的最大值等于HB ）．这样通过求出x 的值并由此求出HG （或AE ）的值就可以正确判断△FCG 的面积能否等于1了．

讲题反思：

1.第（1）问中证明“四边形（菱形）EFGH 为正方形”非常困难，原答案也只用同理可证△GDH ≌△FCG 模糊了事，能否消除这个逻辑性障碍？

2.第（2）问中“连接GE ”是学生解题的一个难点，但这一难点的突破没有在试题（或解题）中得到暗示．同时，试题中连接CF 有些不流畅．

3.研究发现：由于点F 是随着点G 、E 的位置变化而变化的，虽然点F 到DC 的距离FM ＝AH ＝2，是一个定值，但点F 到AD 的距离却在一定范围内发生变化．

为了彰显本题图形背景中的核心思想“特殊～一般～特殊”，可将本题图形置于平面直角坐标系的背景中，以探究动态菱形E F G H 中点F 的位置变化为主线，改编成下题：

题3 如图，正方形ABCD 的边长为6.以直线AB 为x 轴、AD 为y 轴建立坐标系.菱形EFGH 的三个顶点H 、E 、G 分别在正方形ABCD 边DA 、AB 、CD 上，已知AH ＝2. A B

C D

E F G H A B C D E F G H M