数学教师讲解习题的四种境界
说题的步骤
说题的步骤
说题步骤主要有如下几步:
第一步,说题目的来源、背景和前后知识的联系,说命题立意。
指明试题属于哪一能力层级立意,是了解、理解、掌握、常识性介绍哪一层面的,所考查的知识能力,是低阶思维还是高阶思维,试题在整个试卷中的难易程度是较易的还是适中的还是偏难的,重点是要区分哪个群体的学生——如果有试卷的区分度等相关统计数据更好了。
第二步,说知识考点。
主要是分析考试大纲。
分析试题是怎样体现考纲要求的,反过来说明考纲对这个问题是如何要求的。
试题所要考查知识点属于哪种类型的知识,哪些是学生熟悉的,哪些是学生不熟悉的,学生现有的知识发展区是什么,有待提高的发展区是什么。
第三步,说如何分析讲解。
这是说题过程中最重要的一个环节,教师明确讲题的基本方法,具体操作流程,如:说题目大致意思。
数学学习：数学题求解的三个不同境界
数学学习：数学题求解的三个不同境界境界一：先不求最快，但求准确解读：这个境界是学生想学好数学必须要先到达的境界，好多学生自认为聪明，总想快快做完，得到老师的认可，这个小小的愿望老师可以理解，但是一味的图快，难免正确率下降，得不偿失，这是学习数学的大忌。
很多学生难达到这一点，原因是有的小聪明的学生往往犯了眼高手低的毛病，对所学知识没有真正深入掌握，浮于知识的表面，所以准确率低下，而对自己定位太高（也是受家庭的影响，在家里就是说一不二的主，唯我独尊型的人物），所以不能正视自己的缺点。
如果你此境界过了，我保证150分的数学卷，你不会低于120分（80%）。
境界二：在准确的前提下，提高做题速度解读：要想达到此境界，先过前一境界，然后积累知识到一定境界，所谓量变到一定程度导致质变，解释一下，不是让你泡到题海里做题，这个方法事倍功半，效率极低，最好是上课跟随老师的思路，优秀的教师往往善于剖析做题的心路历程，如何入手？那个地方是切入点？这要学生和老师的思维一定同步共振，进行思维对话。
作为一份试卷来讲，提高速度的一个很重要的战场是选择填空题，在数学卷里，这一部分占了76分，什么概念？一半的分值还多一分，如何提高选择填空的做题速度呢？三个字：巧、快、准。
其中三者之间，巧字首当其冲，数学的选择题有且只有一个答案，可以有排除法、特殊值验证法、数形结合法、直接法、经验法等等，这要积累，当达到对高中知识掌握的易如反掌的程度时，提高速度才是可能。
如果你此境界过了，我保证150分的数学卷，你不会低于135分（90%）。
境界三：准确速度没问题，就追求完美解读：还是那句话，先依次过前两个境界，才能谈这个境界。
这个境界就是在没有不会做的数学题了，那么就关注书写的步骤的连贯、简洁，逐步完善一些做题的细枝末节问题，使得一个雕塑的艺术品更加完美。
当然，这问题的训练不是等到最后才关注，这个能力的培养其实在一开始学数学时老师就渗透，不过这个方面在开始阶段不是重点，开始的重点是如何讲理论搞懂、弄明白、会用理论解决问题。
不同的习题设计 不同的境界
不同的习题设计不同的境界义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。
新课标指出，小学数学教学，就是要让学生通过亲身参与生动具体的数学学习活动（包括解题活动），在获取数学知识，形成相关技能的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面都能得到进步和发展。
那么，如何在课堂教学过程中体现新课标的精神，如何卓有成效地启发引导，促进学生思维活动的持续发展，我是从习题设计中实践探索的。
一、练习形式要具有多样性和趣味性课改伊始，我在教学三年级上册：“混合运算”后，出示了这样一组巩固练习题：80-18×4 （603-596）×314 650÷5-115650+308×4 876-67×4 304÷8×5 （218+86）×8 496×4×5 300÷2÷6 练习完了这一组题后，我紧接着又出示了另一组同样形式的混合运算练习题，学生埋头于这些题目中，苦苦地与混合运算“奋战”着。
反思：虽然计算能力的培养离不开适度的练习，但如果像上面这样，让学生自始至终进行形式单一的练习，只会使学生产生厌倦心理，如果一味地进行高密度的练习，学生注意力很难集中，练习的效果也是低效的。
我痛苦着、挣扎着、思索着，我为何不在练习形式的多样性和趣味性方面下功夫呢？在多样化上下功夫，增强练习的游戏性、挑战性和趣味性，达到寓学于乐，寓练于乐，不是最佳境界吗？于是，我又尝试着重新设计了下面一组巩固练习题：1、填空有加法，又有乘法，先算（），再算（）；有加法，又有除法，先算（），再算（）；只含有乘除法或只含有加减法，要（），在混合运算中，有小括号的，要先算（）。
2、先说说下面2题的运算顺序，再计算58－23+9 50－（25＋7）3、我是森林小医生（改错）4、我是智慧星（在下面的数中添上十、－、×、÷和（ ），使算式成立）。
讲题的四种境界
讲题的四种境界江西省临川二中黄金声（344100）讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题.笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点.一、什么是“讲题的四种境界”？第一种境界：就题讲题，把题目讲清（达成目标：一听就能懂）第二种境界：发散试题的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透（达成目标：一点就能透）第三种境界：理清试题的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活（达成目标：一时忘不了）第四种境界：探究试题之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做试题的主人（达成目标：一用真有效）二、“讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释1.会解题≠会讲题会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对试题所反映的信息进行处理.其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题.讲题后情景①教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂！－－基础太差了！？②学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题？教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢？－－悟性有问题！？③教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布置学生做题.－－不信教不会（再不会就没救）！？会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对试题所反映的信息进行处理.其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用.讲题前情景①教师认真做题②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的？做题过程中遇到哪些障碍？③学生在思考过程中会遇到哪些障碍？怎样讲才会使学生更容易接受？在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：题1如图，将一张长方形纸片翻折，则图中重叠部分是三角形.答案很简单：等腰三角形.由此引发了我的疑问：答案为什么不可以是钝角三角形？是等腰三角形吗？是不是随便一折都是等腰三角形？于是，我拿了一张长方形纸片动手折了起来.结果发现，重叠部分可以是钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，但都是等腰三角形，当然，还可以折出等边三角形.如图所示：而要判断三角形形状的变化，只要抓住图中∠α的变化就轻松搞定，即：①当45＜α＜90时，△ABC是锐角三角形；②当0＜α＜45时，△ABC是钝角三角形；③当α＝45时，△ABC是等腰直角三角形，当α＝60时，△ABC是等边三角形.在讲题时，如果把这些变化融进去，不是更能体现本题的价值吗？从思想方法上看，三角形形状变化体现“分类思想”，而三角形形状发生变化的原因是由∠ 的变化引起的，这又体现了“转化思想”，还有“从特殊到一般思想”、“空间观念”、“图形的轴对称”等等.2007年1月10日和9月20日，我以“一张长方形纸片：折出你的思维”为题，分别在抚州市金溪县第二中学和赣州市崇义县横水中学上了这节课，从课后教师的点评看，反映还是不错的.这说明，我对这道填空题的探究得到了同行的肯定.2.清楚≠懂≠会清楚：是“分得开”，是教师的讲解可以使学生把事理“分开”了，但是还没有“连上”，即没有把 “分开”的东西和学生已知的、熟悉的、可接受的东西连接起来.其讲题效果达到了第一种境界或第二种境界.懂：是“连得上”，是教师的讲解能使学生把题目中所涉及的综合的、不熟悉的“知识结”分解为已知的、熟悉的、可接受的“点”，又能在这些点之间找到已知的、熟悉的、可接受的“线”.其讲题效果达到了第二种境界或第三种境界.会：是通过教师的讲解能使学生在“连得上”的基础上对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养了学生思维的广阔性和深刻性，并使学生具备了较强的自主探究能力.其讲题效果达到了第三种境界或第四种境界.题2 （2007·常州）已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 边AB 、CD 、DA 上，AH ＝2，连接CF ． （1）当DG ＝2时，求△FCG 的面积； （2）设DG ＝x ，用含x 的代数式表示△FCG 的面积；（3）判断△FCG 的面积能否等于1，并说明理由．讲题分析： 第（1）问中“DG ＝2”寓意于DG ＝AH ，即△HAE ≌△GDH ，且∠GHE ＝90°．又由菱形EFGH 可得点F （或CF ）此时位于BC 边上，由此可知，四边形（菱形）EFGH 已特殊化为正方形，所以，△FCG 的面积等于△GDH 的面积． 第（2）问中“DG ＝x ”是让菱形EFGH 一般化．由于可推知 △FCG 中，CG ＝6－x ，所以，作出CG 边上的高FM 就成为一种 必然．由图形的对称性可知，应连接GE ，通过证明△HAE ≌△FMG ， 得FM ＝AH ＝2．第（3）问是借助试题中“菱形E F G H 的两个顶点E 、G 分别在正方形A B C D 边A B 、C D 上”的限制作用．由第（2）问可知，FM ＝AH ＝2，是一个定值，则x 的大小就限制了△FCG 的面积．因为HD ＞AH ，所以HC ＞HB ，即①点E 不可能与点A 重合（x 的最小值为0，即HG 的最小值等于HD ）②点G 不能与点C 重合（即HG 的最大值等于HB ）．这样通过求出x 的值并由此求出HG （或AE ）的值就可以正确判断△FCG 的面积能否等于1了．讲题反思：1.第（1）问中证明“四边形（菱形）EFGH 为正方形”非常困难，原答案也只用同理可证△GDH ≌△FCG 模糊了事，能否消除这个逻辑性障碍？2.第（2）问中“连接GE ”是学生解题的一个难点，但这一难点的突破没有在试题（或解题）中得到暗示．同时，试题中连接CF 有些不流畅．3.研究发现：由于点F 是随着点G 、E 的位置变化而变化的，虽然点F 到DC 的距离FM ＝AH ＝2，是一个定值，但点F 到AD 的距离却在一定范围内发生变化．为了彰显本题图形背景中的核心思想“特殊～一般～特殊”，可将本题图形置于平面直角坐标系的背景中，以探究动态菱形E F G H 中点F 的位置变化为主线，改编成下题：题3 如图，正方形ABCD 的边长为6.以直线AB 为x 轴、AD 为y 轴建立坐标系.菱形EFGH 的三个顶点H 、E 、G 分别在正方形ABCD 边DA 、AB 、CD 上，已知AH ＝2. A BC DE F G H A B C D E F G H M（1）如图甲，当点F在边BC上时，求点F的坐标；（2）设DG=x.请在图乙中探索：用含x的代数式表示点F的坐标；（3）设点F的横坐标为m.问:m有无最大值和最小值？若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由.(ABCD置换成矩形可以吗？平行四边形呢？梯形呢？)3.应该有＝想有＋可能有一般说来，教师不会把学生完全没有学的、学生现有知识能力水平无法企及的题目拿给学生做，那么为何有的学生却可能对题目（难题）无从下手呢？此时学生的心态是怎样的呢？教师面对这种情况又该怎样做呢？想有：人的需要、欲望、感情是普遍存在的，学生也不例外，此时教师应该尽其所能激发起学生的需要和突破难题的欲望，并使他们初步感受到这种需要所能带来的那种快感.可能有：当学生感觉到利用已有知识能做而又做不出来的时候，此时教师的启发和点拨就显得至关重要.根据本人的思考，教师的启发与点拨可从以下几方面入手：1.从学生已有知识中“启”：温故而知新，以达承前启后、承上启下的目的；2.从学生知识的盲点处“启”：盲即模糊，或遗忘，此时善意的提醒、引导就成为解决问题的必要手段；3.从知识的关键点“启”：一语点醒梦中人，顿悟、恍然大悟、大彻大悟由此产生；4.从知识的最近发展区“启”：因势利导，顺水推舟，正所谓“唯有源头活水来”；5.有时教师的一个手势、一幅表情、一点鼓励、一种暗示就会使学生冲破迷雾，思如泉涌，此时师生之思之想已如水乳交融，浑然天成.应该有：当学生取得成功后，其喜悦的心情是难以言表的，在今后的学习中，就会更加主动地去透视题目中的各种潜在因素，即使在遇到困难时，也会坚定必胜的信念，这便是教师讲题应达到的成功境界.题4（2006·安徽）如图，直线l过正方形ABCD点A、C到直线l的距离分别是 1 和 2 ,讲题分析：1.利用AB＝BC和∠ABC两个已知条件，证明△Rt AEB≌Rt△BFC，得EB＝FC.2.利用勾股定理求出正方形的边长AB讲题反思：1.正方形ABCD 的顶点D看起来是否“很孤单” ？如图1，能否求出点D到直线l的距离DG？（DG＝3）2.正方形ABCD是否“摇摇欲坠”？将图形特殊化：如图2，令AE＝CF，且ABl图1 B （G ）图2图3 图4 l 图5则AE ＝CF DG 3.观察、比较上面两题中AE 、CF 、DG 的大小，你发现了什么？（AE ＋CF ＝DG ）如图3，你能证明这个结论具有一般性吗？作AM ⊥DG 于点M ，可证：①四边形AEGM 是矩形，则AE ＝MG ；②由△ADM ≌△BCF ，可得AE ＋CF ＝DG .4.让直线 l 动起来！如图4，可证△ADE ≌△CBF ，得DE ＝BF ，即点A 、D 到直线 l 的距离之和与点B 、C 到直线 l 的距离之和相等.思考：直线 l 的位置若再发生变化，还有类似的结论吗？你能总结出一般规律吗？5.如图5，连接AC ，你能利用图形证明勾股定理吗？4.讲题的最高境界＝授之以法＋培之以能＋强之以心对应于“讲题的四种境界”，一个合格的教师，其讲题的效度大致有以下四种水平层次： 正确：内容正确熟练，进度适中切贴，板书工整得当，讲话清晰从容.易懂：外在关系注意铺垫呼应，内在联系注意区分主次，化难为易注意方式方法，关键突破注意把握时机.独到：说之以理见技巧，动之以情见门道，感之以美见艺术，启之以需见奥妙.固顶：授之以法，培之以能，强之以心.①授之以法：关注通性通法，做到深入浅出，让学生易学.②培之以能：引导数学思考，激发学习欲望，让学生想学.③强之以心：鼓励提出问题，强调自主探究，让学生会学.题5 正方形ABCD 中，M 是边AB 上任意一点（不与点B 重合），E 是AB 延长线上一点，连接DM ，作MN ⊥DM ，交∠CBE 的平分线BN 于点N .（1）如图1，当M 是AB 的中点时，求证：DM ＝MN ；（2）如图2，当M 不是AB 的中点时，（1）中的结论还成立吗？说明理由.证法探究：①作N F ⊥A E ，证R t △D A M ≌R t △M F N ；②在A D 上取一点H ，满足D H =M B ，证R t △D H M ≌R t △M B N .逆向思维：若D M =M N ，则M N ⊥D M 成立吗？类比拓展：在正多边形中，类似本题的结论是否也成立？（类比联想）问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：①如图1，两个全等正三边形的其中一边AC 完全重合，点M 是边BC 上任意一点（不与点C 重合）.若∠AMN = 60°，则AM = MN .②如图2，两个全等正方形的其中一边CD 完全重合，点M 是边BC 上任意一点（不与点C 重合）.若∠AMN = 90°，则AM = MN .A B C D E M N 图1 A B C D E M N 图2然后运用类比的思想提出了如下的命题：③如图3，两个全等正五边形的其中一边CD 完全重合，点M 是边BC 上任意一点（不与点C 重合）.若∠AMN = 108°，则AM = MN .任务要求（1）请你从①、②、③三个命题中任意选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：①如图4，两个全等正n （n ≥3）边形其中一边CD 完全重合，点M 是边BC 上任意一点（不与点C 重合）.问：当∠AMN 等于多少度时，结论AM = M N 成立（不要求证明）？②如图5，两个全等正六边形的其中一边CD 完全重合，点M 是边BC 的中点.当∠AMN= 120°时，点N 是PC 的中点吗？说明理由.（拓展延伸）如图，正方形ABCD 与正方形CDEF 中，边CD 完全重合，连接CE .将直角三角形的直角顶点M 在直线．．BC 上滑动(不与点B 、C 重合)，其中一条直角边始终经过点A ，另一条直角边交直线．．CE 于点N .（1）如图1，顶点M 是BC 的中点.①求证：AM ＝MN ；②求证：点N 是CE 的中点.（2）设正方形的边长为1，CM ＝m . 求CNNE 的值.综上所述，教师在讲题前既要从自己做题的角度去揣摩习题，还要以学生做题的角度去思考习题，更要以命题者的角度去审视试题，只有这样，才能最大限度的挖掘习题的潜能，提高讲题的效率.能把复杂的问（习）题简单化就是完美，能把简单的问（习）题深刻化就是杰出！让我们共同努力，使自己体验讲题的快乐，让学生在倾听讲题的快乐中享受数学之美！参考文献杜和戎.讲授学〔M 〕. 华语教学出版社，2007 A B C M N P 图1 A B D N E P 图2 A B C D M NE PFG 图3 A B C D M N E P F G H I 图5 A B C D N F E 图1 A B D F E 备用图。
教学的四重境界
教学的四重境界教师的专业发展会有不同的阶段，也就表现为不同的教学境界。
根据教师对教学内容传授的情况，可以把教师的教学境界分为四重境界：人云我教阶段，人我混教阶段，自创自教阶，我说人教阶段。
教师的专业发展会有不同的阶段，也就表现为不同的教学境界。
根据教师对教学内容传授的情况，可以把教师的教学境界分为四重境界。
一、人云我教——学习积累期教师专业发展的第一个阶段是学习他人的知识与见解，按照他们的说法进行教学，大多表现为对教材的依赖，对他人教学设计（教案）的依重。
在教学中，基本上是按照他人的学说进行教授。
教学很大程度上就是把他人的观点通过自我的解说传授给学生，教师起到把他人学说或知识运输给学生的传送作用。
在这个阶段，教师也可以把学教，而且可能会赢得学生喜爱与大家的赞誉。
汤一介刚参加工作时，曾在北京市委党校工作，那是他上课就上得很好，很受学生的欢迎与大家的认同，但他所讲授的内容都是人家的内容，没有自己的思考与自己的内容。
（参见汤一介的《我的哲学之路》）可见，教学教得是否受学生喜欢有时并不与教学内容是否与教师有自己的独特见解有直接的关系。
在现实的教学中，确实有许多教师以教教材和教别人的学说为主，也安然度过了自己一生的教书生涯，而且有许多颇受学生欢迎。
这个阶段是教师教学内容发展的学习阶段、积累阶段。
从教学内容是否具有教师自主开发的内容的角度看，相比于其他发展阶段的教学境界而言，教师在不断学习他人的学说与教学内容中，积累着经验，积累着开发自我教学内容的力量。
二、人我混教——探索酝酿期随着对教学内容的熟悉和对教学革新的需求的增长，教师开始在教学中加入自己对教学开发的内容，包括教学内容和教学方式等方面。
这个时候，教学进入既教他人的东西，也教自己的东西的人我混教阶段。
这个阶段，根据所教内容中自我内容所占比例的多少，又可分为两个阶段。
一是以他人内容为主，自我内容为辅。
这个时期，他人的内容仍然占教学内容的主流，自我点滴的认识开始进入教学，然后是更多的自我认识进入教学，成为教学的组成部分。
把握好四个度,数学课堂更有效
把握好四个度，数学课堂更有效
第一，把握好难度度。
数学课堂中的难度度要适中，不宜过于简单也不宜过于困难。
如果教师在教学中选择了过于简单的题目，那么学生可能会感到无聊，认为数学很简单，从而失去对数学学习的兴趣；如果教师在教学中选择了过于困难的题目，那么学生可能会感到沮丧，产生抵触情绪，导致对数学学习的恐惧。
教师在设计课堂内容的时候，要根据学生的实际水平，把握好难度度，让学生既能够挑战自己，又能够感到有所收获。
第二，把握好深度度。
数学课堂中的深度度同样非常重要，教师需要在教学中把握好深度度，让学生在学习中不仅仅是了解表面知识，更要深入理解数学的内涵和本质。
为了把握好深度度，教师可以在教学中多引导学生思考，提出一些有启发性的问题，让学生可以通过自己的思考和探索，逐渐理解数学知识的深层含义，培养学生的数学思维能力。
第四，把握好节奏度。
数学课堂的节奏度同样非常重要，教师需要在教学中把握好节奏度，让学生在学习中不感到枯燥乏味，保持一种积极的学习状态。
为了把握好节奏度，教师可以在教学中设计一些生动有趣的教学活动，增加教学的趣味性，引起学生的兴趣和好奇心，激发学生学习的动力。
把握好四个度，数学课堂就会更加有效。
教师在数学课堂教学中要不断提高自己的教学水平，不断积累教学经验，不断探索教学方法，从而让数学课堂变得更加有效，让学生更容易理解和掌握数学知识。
希望所有的数学教师都能够把握好四个度，让数学课堂变得更加有趣，让学生在数学学习中取得更好的成绩。
漫谈数学课堂教学的四重境界
认识到不等关系来 自于生活 ， 认识到学习不等式 的 重要性 和必然性 ， 激发他们 的求知欲望 ， 从而让他 们经历 、 感受 概念形成 的过程 ， 正确抓住不等式 的 本质特征 ， 乃至形成概念。可见 ， 初中数学课堂教学
要“ 实” ， 即内容真实 、 形式朴实、 运用务实 ， 且要凸显
Ｘ
的对“ 实” 的提炼与升华 。这种 “ 虚” 是思维 ， 是情感 ， 是态度 ， 是价值 观 ， 是从课堂教学 中培养 的能力和
激发 的情感 ， 是课 堂中学生展现 的态度 ， 是我们通
过数学教学希望学生树立 的人生观 、 价值观 、 世界 观 。形而上的“ 虚” ， 虽然看不到 ， 摸不着 ， 但能够感
生 的畏难情绪 ， 增强其解决 问题的信 心和决心 。
在学以致用 ， 解决问题 的环节 中继续 以 Ｐ Ｍ２ ． ５ 社会热点 பைடு நூலகம்题 为背景 ， 用不等式表示空气质量状况
属 于各级标 准的 Ｐ Ｍ ２ ． ５日均值的范围 ， 并 把它表示 在数轴上 。同时提出， 若不采取有效措施改善环境 ， Ｐ Ｍ２ ． ５ 的 日均值增大 ， 空气质量将发生什么变化 ？ 作 为一个市民， 你认为可从哪些方面减少空气污染？ 通
教学之“ 实” 的基础上 的， 是凸显教师风格和学生学 情 的“ 不俗” 。
３ ６ 基础教育参考 ・ ２ ０ １ ３ ／ ２ ０
到成功的循环中产生 “ 顿悟” 。这样 的数学学习过 程充满观察 、 实验 、 猜想等探 索性活动 ， 有切磋 琢 磨， 有智力角逐 ， 有思维碰撞 。而且这会使学生在 原有知识基 础上 的认知逐 步增加 ， 有利 于消除学
的速度 ， 怎样表示 ｖ 与６ Ｏ 之间的关系？
做题的四种境界
• （4）若何（if）一些表示情境条件变化的问题，当条件发生变化
时，“如果”“要是”“是否”“即使”等情况下的问题
• （5）由何（where/when/who）表示问题发生的条件、
来历、起因，通常可以通过分析问题产生的情境，并由此进一步确定问题的性质以及问 题解决的方式。
例 如图，AB=AC，BD、CE分别是 AC、AB上的高，求证：BD=CE。
做（讲）题的四种境界
寇元朝
• 第一种境界：就题讲（做）题，把题目弄 清； • 第二种境界：发散试题的（多种）解法， 拓展解题思路，把题目弄透； • 第三种境界：理清试题的诸多变化，以求 探源奠基，把题目弄活； • 第四种境界：探究试题立意（即设计意 图），将试题玩弄于股掌之间，做试题的 主人.
关注知识技能，让数学复习基础化
活动二
• 如图，点O是等边△ABC内一点， ∠AOB= 110° ,∠BOC=α，将△BOC绕点C 按顺时 针方向旋转得△ADC，连接OD • 探究：当α为多少度时， △AOD△是等腰三 A 角形？
D
110°
O
B
α
C
A
D
O
B
α
C
若CB=CA
A
D
O
110 °
B
α
C
关注解决问题能力，让数学复习实践化
关于高
• 1.等腰三角形一腰上的高与腰之比为 1：2， 则顶角的度数等于 30°或 150° • 2.等腰三角形一腰上的高与腰之比为 1 ： 2 ，则顶角的度数等于 45°或 135°.
• 画图
证明:等腰三角形两底角相等
关注数学思考，让数学复习思维化
活动一
• （1）如图1在等腰△ABC中，AB=AC=5， BC=6，P点为底边的中点，PD+PE= . • （2）如图2在等腰△ABC中，若P点为底 边上任意一点，你认为PD+PE是定值吗？ 说明理由.
提升数学课中例题教学“境界”,培养学生思维能力论文
提升数学课中例题教学的“境界”,培养学生的思维能力内容摘要：数学课上，我们要善于利用例题教学，提高学生的解题能力、思维能力。
到底怎样才能使我们的例题教学更有效，更有利于提高学生的思维能力？本文斗胆借“境界”一词，分析了初中数学三种不同境界的例题教学，真诚希望借此引发广大老师们的共鸣。
关键词：例题教学、培养、思维、境界第一种境界：利用例题的变式教学、培养学生思维的广阔性变式教学是指变换问题的条件和结论，变换问题的形式，而不变换问题的本质，使本质的东西更全面。
使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题，同时使学生学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可克服和减少思维中的绝对化而呈现的思维僵化及思维惰性。
通过变式教学，不断改变问题的呈现形式，常给人以新鲜感，能够唤起学生好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情。
如图1，△abc和△cde都是正三角形，求证ae=bd变式1：如图2 △abe和△acd都是正三角形。
求证bd=ce.变式2：如图3四边形acde和四边形abfg都是正方形。
求证bd=ce 变式3:△abd和△ace是等腰三角形，且两顶角∠dab=∠cae。
求证：cd=be其实上面的几个变式是对数学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的探究，以暴露问题的本质特征：都是通过三角形全等达到解决。
变式训练的核心是利用构造一系列变式的方法,来展示知识的发生、发展过程；“万变不离其宗”,从变中加深对不变的理解,从而使学生灵活掌握基础知识,提高解决问题的能力,培养良好的思维品质。
第二种境界：探究题目的源头，找寻变化的规律，培养学生思维的深刻性通过数学例题教学，引导学生对例题的解题过程、例题特点、例题结论等方面进行反思，提炼解题经验，学生在练习中以例题为默会对象，领悟来自于例题的解题反思和启示。
随着练习的不断深入，理解能力的提高，综合能力、分析问题解决问题能力、概括能力的逐渐提高，学生不仅能概括或抽象出例题的解决原理，抓住其变化规律，找到其变化线索，把例题的原理方法迁移到其它同类问题或相似问题的解决上，形成有效地数学正迁移，提高数学学习效率。
数学教师讲解习题的四种境界
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
讲题的四种境界讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题．笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点．1 什么是“讲题的四种境界”?第一种境界：就题讲题，把题目讲清；(达成目标：一听就能懂)第二种境界：发散题目的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透；(达成目标：一点就能透)第三种境界：理清题目的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活；(达成目标：一时忘不了)第四种境界：探究题目之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做题目的主人(达成目标：一用真有效)2 “讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释2．1会解题≠会讲题会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题．讲题后情景①教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂!——基础太差了!?②学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题?教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢?——悟性有问题!?③教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布置学生做题．——不信教不会(再不会就没救)!?会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用．讲题前情景①教师认真做题；②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的?做题过程中遇到哪些障碍?③学生在思考过程中会遇到哪些障碍?怎样讲才会使学生更容易接受?在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
精解·探规·寻根·迁移：数学教师研题的四重境界
精解·探规·寻根·迁移：数学教师研题的四重境界作者：曾荣来源：《江苏教育·中学教学版》2020年第12期【摘要】研究习题是高中数学教师的基本教学任务，也是必备素养与能力。
教师研题有四重境界：第一，多思精解，比较不同解法的效率差异;第二，探求规律，理解试题内在的本质属性;第三，探寻题根，挖掘试题背后的命题思路;第四，有效迁移，开发试题蕴含的教学价值。
【关键词】高中数学;多思精解;探求规律;探寻题根;有效迁移【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2020）91-0033-05【作者简介】曾荣，江苏省南通市教育科学研究院（江苏南通，226001）数学教研员，正高级教师，江苏省特级教师。
习题是课堂教学内容的巩固与深化，应当为学生发展数学学科核心素养提供助力。
优质的数学习题教学，有利于帮助学生理解数学知识的本质，感悟数学的基本思想，积累数学思维的经验，提升数学学科核心素养。
研究习题是高中数学教师的基本教学任务，也是他们的必备素养与能力。
笔者认为，教师研究习题，不能局限于会解、能讲，而应该依托优秀的试题，追求更高境界——多思精解、探求规律、探寻题根、有效迁移。
教师研题的基本模式如图1所示。
本文结合江苏省南通市2020年高三第一次模拟考试第17题谈谈教师研题的四重境界。
一、第一重境界：多思精解，比较不同解法的效率差异教师研题的基础是解题，用合适的方法、广阔的思维进行解题，要善于进行一题多解、多题一解、解法提炼。
一道优秀的试题往往讲究解法的多样性和不同解法效率的差异性，这种差异性体现出解题人思维品质和数学素养的差异。
教师研题时要从学生能力基础、知识本质体现、思想方法渗透等多角度进行思考，探求不同的解法，深入比较不同解法效率的差异性。
在精解一道题的基础上，教师要善于举一反三，向解一类题、一组题方向发展。
题1（南通市2020年高三一模第17题）：如图2，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：[x2a2] + [y2b2]=1（a>b>0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆<f：＼教育8本书＼江苏教育2020＼江苏教育12期＼中学12期＼中学12期图片＼2.（曾荣2稿，2020.8.9）精解_探规_寻根_迁移：数学教师研题的四重境界-4D99＼image7.pdf>的左、右顶点。
例说数学解题教学四境界与四误区
例说数学解题教学四境界与四误区作者：邵贤虎来源：《中学数学杂志(高中版)》2010年第03期解题教学是数学教学的重要组成部分,是培养学生分析问题和解决问题能力的主要途径.通过对一道典型问题充分挖掘和利用,让学生熟练基本知识和方法,提升解题能力,进而大大提高学习效率,同时应有效防止解题教学的一些误区.境界一一题多问,以点窥面误区2 片面追求多解,冲淡通性通法一题多解是培养学生解题能力以及发散性思维的好方法,但应把握度.其前提是必须考虑到学生的可接受性,全体学生在教学计划规定的时间内能够掌握的方法必须讲,而且要讲清讲透.某些入口窄、思路独特的方法、特殊技巧方法只适合个别优生学懂的,可少讲或在课堂上不讲.教学力求体现层次性,开展一题多解教学时,要兼顾不同层次的学生,给学生构建一条“能走的走、能跑的跑、能飞的飞”的多维发展轨道.本例中7种解法都是好方法,站在教师的角度想,巴不得每种解法都让学生学好,从学生学的角度想,其中有的解法是有难度的.对此,需要教师仔细推敲,到底哪些方法的思路自然些?哪些方法该向全体学生讲,哪些方法在课外讲,哪些方法不讲,留给学生作课外思考题,这些问题需要教师三思.我们认为:解法4必须讲而且要讲透,因为消元思想是重要的数学思想方法,而且学生容易接受.消元之后的裂项(分离整式)也是典型的方法,需全体学生学会.至于解法1和解法6,应略作介绍,学生量力而行.解法1中需学生联想到a+b中的看不见的1,然后作1代换;解法6需学生从结构的相似性,由数的等式联想到三角公式,也需较高的想象力,一般不易想到.尽管解法7中的判别式是通法,但需用到实根分布知识,也可不讲,对于其它解法完全可交给学生课后思考. 境界三一题多答,思维开放例3 复习基本不等式时,根据课后的一个习题改编得到一个开放性的问题:设a、b为两个正实数,且a+b=1,试给出含有a和b两个元素的不等式,并加以证明.学生摩拳擦掌,精神振奋,得到了一些力所能及的结论:课堂上变式教学,通过改变题目的条件或结论或描述方式,使学生做到举一反三,最终达到窥一点,晓一类,通一片,不仅如此,学生还能感受到原来自己也可以编题目,收获学习的快乐.误区4 变化杂乱无章削弱教学重点变化并非越多越好,越杂越好,仍然应有明确的方向和目的,这样才能有效地提高课堂的效率,提升学生的思维能力. 如果变化杂乱无章,必定缺乏重点,学生的思维也不会有条理,课堂效率将大打折扣. 因此教师应适时引导学生对问题的变化,突出教学重点和难点.作者简介邵贤虎,男, 1975年9月出生,江苏省江浦高级中学,中学高级教师,南京市优秀青年教师,二十多篇文章在省级以上杂志发表.。
小学数学教材解读的四重境界
小学数学教材解读的四重境界作者：刘志彪来源：《教学与管理(小学版)》2020年第10期摘要研读教材是教师备课的应有之义。
对于教材，教师不仅要读懂，更要读透、读通、读活。
解读教材，不仅仅是对教材的深刻理解，也是对教材内容的梳理及深度耕犁。
作为教师，只有站到更高的立场上，明晰教材编排体系，顺应儿童思维，才能深度解读教材，才能让教师的教学抵达思维通透、运筹帷幄的境界。
关键词教材解读读懂读透读通读活小学数学教材是数学课程理念的直接体现和具体化，是教师教学的主要依据。
教材是学习材料的范本，为绝大多数教师教学提供了一个有效的载体。
研读教材是教师备课的应有之义。
对于教材，教师不仅要读懂，更要读透、读通、读活。
作为教师，只有站到更高的立场上，明晰教材编排体系，顺应儿童思维，才能深度解读教材。
一、读懂教材读懂教材是教材解读的第一步，是教材解读的基础。
对于教材，读懂不仅意味着读出教材的显性知识，更意味着读出教材的隐性知识（包括思想方法等）。
教材的内容是广泛的，它不仅包括那些重要的定理、公式、法则等，也包括不起眼的旁白、提示等。
有时候，教材的旁白内容、提示内容更有助于激发学生思考、探究。
读懂教材，在笔者看来就是要抓住两点：其一是“是什么”，其二是“为什么”。
对于数学概念、定义等内容，教师不能简单地局限于表层的文字表述，更应当引导学生咀嚼、回味，体味这些数学概念、定义背后的意义。
读懂教材，要求教师厘清数学知识的上位知识，把握学生的学习目标，从而有效地设计学生的学习活动。
这样的教材解读，是一种线性化的教材解读。
线性化的教材解读，能让学生把握数学知识的来龙去脉、前世今生。
比如对分数的认知，在小学阶段的教材中是螺旋安排的，在三年级安排了“分数的初步认识（一）”“分數的初步认识（二）”，在五年级安排了“分数的意义和基本性质”“分数的加减法”，在六年级则安排了“分数的乘除法以及混合运算”，对这些内容的教学，教师不仅要明确“认识什么”，更要明确“达到怎样的目标”“积累怎样的数学活动经验”“渗透怎样的数学思想方法”等等。
浅谈学习高等数学的四种境界
浅谈学习高等数学的四种境界大学的高等数学课程包括大量的概念、定义和定理，通过学习来获取美妙的宇宙结构，深入了解它们之间的联系，丰富学生的知识结构。
想要学好高等数学课程，要掌握跨越不同境界的学习技巧。
接下来，就以“浅谈学习高等数学的四种境界”为标题，就学习高等数学的四种境界进行详细阐述。
第一种境界是记忆。
这是最基本也是最重要的一个境界，是数学学习的基础，是其他境界的基础。
记忆就是记住所学的知识，比如：定义、公式、定理、证明等。
这个过程除了直接记忆外，还要通过理解以及结构化来深入记忆，例如：利用数学定理推导出数学公式；学习一些数学定理，同时记忆实际意义；记忆一些典型的例子，以便理解抽象概念，以及其它一些记忆技巧。
第二种境界是理解。
在记忆完知识点之后，就要开始理解它们之间的联系，理解所学知识的实际意义，理解抽象概念。
虽然这个过程的重点是复习和理解，但是要牢记记忆的技巧，结合反复的练习，才能够真正理解所学的知识。
第三种境界是概括。
这种境界的重点是将所学知识概括出一些准确的定义，熟悉它们之间的联系，例如：熟悉定义、公式、定理、证明等数学思想，理解数学结构；熟悉数学证明的最佳结构，以及数学直观思维；熟悉数学解决问题的步骤；熟悉数学抽象思维。
第四种境界是实践。
实践是掌握数学知识最好的方法。
实践是练习，是将所学知识付诸实践，实践中不仅要记住所学的知识点，还要理解它们的联系，发现新的知识，解决新的问题，学会分析问题，掌握新的知识，把所学知识扎根于脑海中。
实践是掌握数学知识最有效的方式。
以上就是关于学习高等数学的四种境界的介绍，我们应该清楚地认识这些境界，理解它们之间的联系，逐步提高自己的学习能力，不断的练习，只有这样，才能学好高等数学。
高等数学作为一门学科，其学习具有严谨的理论框架，也有科学的学习方法，学习者可以根据各自的情况，结合四种境界，实施分阶段学习，这样才能有效地掌握所学的知识。
只有通过反复记忆、理解、概括、实践，深入地学习，才能学好高等数学。
老师要让学生通过四个阶段学会解题
老师要让学生通过四个阶段学会解题
第一阶段：简单模仿。
即模仿老师或辅导书上的示范去解决一些问题，获得问题的表象，通过模仿：当堂会做，过几天又不会做，是一种正常情况。
人会遗忘，遗忘是一种心理规律，除非它已升华成了思想和精神，
或者获得的过程伴随难以忘怀的故事，所以说“兴趣是最好的老师”，有了兴趣自然会重复。
第二阶段：变式练习。
即在简单模仿的基础上再主动实践，主要是做数量足够、形式变化的干扰性习题，其作用通过变换方式或添加次数而增强效果。
巩固记忆、熟悉技能，学习数学不能缺少这两个阶段又不能单靠这两个阶段，没有亲身的体验、没有足够的过程、没有过硬的“双基”，数学理解就被架空了，就会出现“一看就会，一听就懂，但一做就错”。
第三阶段：自发领悟。
在模仿与干扰练习的基础上加理解——解题知识的内化（包括结构化、网络化和丰富联系），主要表现为从事实到规律的领悟，从实践到理论的提升。
但在这一阶段，领悟常常从直觉开始，表现为豁然开朗、恍然大悟，而又“只可意会，不可言传”，当然这与一个人的综合素质、数学素养等先天智力因素有关也与后天的努力、勤奋、自信心、顽强的意志力等非智
力因素有关。
第四阶段：自觉分析。
即对解题过程进行自觉的反思，使理解进入到深层结构，是一个通过已知、通过分析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”的过程，也是一个理解从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从基础到创新、从内隐到外显的飞跃阶段。
实际上，反思是一种非常有益的思维活动和再学习方式。
教师和学生不能仅仅满足于获得经验而不对经验进行深入的思考。
罗增儒：数学解题的四个水平
罗增儒：数学解题的四个水平文/罗增儒回顾我从当学生到当教师的几十年解题实践（特别是当教师以来的40年），我看到了一条清晰的“学解题、教解题”线路：由“记忆模仿、变式练习”开始，经过长期的“自发领悟”，已经进入到“自觉理解”的阶段。
这里的四个关键词：模仿、练习、领悟、理解，正好体现为数学解题的四个水平。
如果题目不会解、解不出来那就还没有显示出水平。
从能得出题目答案开始算，如果只会记忆模仿那是水平1，如果能够完成变式练习那是水平2，如果能够通过解题获得思维感悟那是水平3，如果能自觉通过解题分析去增强数学理解、提高数学素养那是水平4。
趁此《高中数学解题研究》（第10辑：2019高考精彩压轴题）出版的机会，我将其作为“一个中国解题者的学习案例”或“一个中国学习者的解题案例”总结为经验性的认识（辅有具体案例），就教于广大数学同行。
1、学解题四个水平的认识。
（1）数学解题的记忆模仿阶段（水平1）。
这一阶段的表现是，模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题，能套定理公式，但稍一变化就会思维受阻；解题常常只是为了完成任务，解题的目的就是获得答案；题目解完之后没有反思自己是怎么想的，也说不清用了哪些知识、哪些方法。
这一步中，记忆是一项重要的内容，由记到忆，是指信息的巩固与输出的流畅，要解决好：记忆的敏捷性（记得快），记忆的持久性（记得牢或忘得慢），记忆的准确性（记得准），记忆的准备性（便于提取）。
停留在这一阶段的记忆主要是机械记忆，缺少自觉的理解记忆。
记忆和模仿都是必要的，学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿开始，学音乐舞蹈也都从模仿开始，每节课后的数学作业基本上都是模仿性练习。
波利亚在《数学的发现》序言中说：解题“只能通过模仿和实践来学到它”，张景中在《帮你学数学》（第46页）中说“摹仿是学习的开始”。
至于“不要死记硬背”的告诫，也不是要否定“记”而是要否定“死”。
但是，仅仅停留在记忆模仿阶段是不够的，还需要领悟和理解，有些同学“课堂上讲的还能够听懂，课后作业常常遇到困难”，个别老师“课堂上讲过的题目，过上几周学生来问，自己都不会了”，就是停留在记忆模仿的水平上。
数学解题的五层境界
数学解题的五层境界
第一层境界：正确解题
兵来将挡，水来土掩，见招拆招
很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界。
第二层境界：一题多解
多点开花，条条大道通罗马；似倚天剑轻灵无双，剑招千变万化，虚实相间，谁与争锋
我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题。
一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单。
对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释。
第三层境界：多题一解
以静制动，以不变应万变，一招制敌；似玄铁神器，重剑无锋，却刚猛异常，一剑挥下，纵它千百变，亦必摧之
完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或者把其中的数字换成字母，或者把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目。
第四层境界：发现定理
无招胜有招，渐成大家；至此境界，草木皆为利刃，随心所欲，敌未动，已毙于无形
到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。
这些结论、定理规律都是解题的有用工具。
解题高手都有自己的定理库。
第五层境界：自己编题
自成一派，独孤求败；高处不胜寒，自己跟自己玩
解题的最高境界是能够编题。
不是所有的人都具备编题的能力。
解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。
即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏。
摘自网络。
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5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
讲题的四种境界讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题．笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点．1 什么是“讲题的四种境界”?第一种境界：就题讲题，把题目讲清；(达成目标：一听就能懂)第二种境界：发散题目的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透；(达成目标：一点就能透)第三种境界：理清题目的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活；(达成目标：一时忘不了)第四种境界：探究题目之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做题目的主人(达成目标：一用真有效)2 “讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释2．1会解题≠会讲题会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题．讲题后情景①教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂!——基础太差了!?②学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题?教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢?——悟性有问题!?③教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布置学生做题．——不信教不会(再不会就没救)!?会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对题目所反映的信息进行处理．其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用．讲题前情景①教师认真做题；②教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的?做题过程中遇到哪些障碍?③学生在思考过程中会遇到哪些障碍?怎样讲才会使学生更容易接受?在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
题1 如图，将一张长方形纸片翻折，则图中重叠部分是 三角形．答案很简单：等腰三角形．由此引起了我的疑问：答案为什么不可以是钝角三角形?是等腰三角形吗?是不是随便一折都是等腰三角形?于是，我拿了一张长方形纸片动手折了起来．结果发现，重叠部分可以是钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，但都是等腰三角形，当然，还可以折出等边三角形．如图所示：而要判断三角形形状的变化，只要抓住图中a ∠的变化就轻松搞定，即：①当︒45＜a ＜︒90时，ABC ∆是锐角三角形；②当︒0＜a ＜︒45时，ABC ∆是钝角三角形；③当a =︒45时，ABC ∆是等腰直角三角形，当a =︒60时，ABC ∆是等边三角形．在讲题时，如果把这些变化融进去，不是更能体现本题的价值吗?从思想方法上看，三角形形状变化体现“分类思想”，而三角形形状发生变化的原因是由a ∠的变化引起的，这又体现了“转化思想”，还有“从特殊到一般思想”、“空间观念”、“图形的轴对称”等等．2007年1月10日和9月20日，我以“一张长方形纸片：折出你的思维”为题，分别在抚州市金溪县第二中学和赣州市崇义县横水中学上了这节课，从课后教师的点评看，反映还是不错的．这说明，我对这道填空题的探究得到了同行的肯定．2．2 清楚≠懂≠会清楚：是“分得开”，是教师的讲解可以使学生把事理“分开”了，但是还没有“连上”，即没有把“分开”的东西和学生已知的、熟悉的、可接受的东西连接起来．其讲题效果达到了第一种境界或第二种境界．懂：是“连得上”，是教师的讲解能使学生把题目中所涉及的综合的、不熟悉的“知识结”分解为已知的、熟悉的、可接受的“点”，又能在这些点之间找到已知的、熟悉的、可接受的“线”．其讲题效果达到了第二种境界或第三种境界．5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
会：是通过教师的讲解能使学生在“连得上”的基础上对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养了学生思维的广阔性和深刻性，并使学生具备了较强的自主探究能力．其讲题效果达到了第三种境界或第四种境界．题2 (2007·常州)已知，如图，正方形ABCD 的边长为6，菱形EFGH 的三个顶点E 、G、H 分别在正方形ABCD 边AB 、CD 、DA 上，2=AH ，连接CF ．(1)当2=DG 时，求△FCG 的面积；(2)设x DG =，用含x 的代数式表示△FCG 的面积；(3)判断△FCG 的面积能否等于1，并说明理由．讲题分析第(1)问中“2=DG ”寓意于AH DG =，即△HAE ≌△GDH ，且︒=∠90GHE ．又由菱形EFGH 可得点F (或CF )此时位于BC 边上，由此可知，四边形(菱形) EFGH 已特殊化为正方形．所以，△FCG 的面积等于△GDH 的面积．第(2)问中“x DG =”是让菱形EFGH 一般化．由于可推知△FCG 中，x CG -=6，所以，作出CG 边上的高FM 就成为一种必然．由图形的对称性可知，应连接GE ，通过证明△HAE ≌△FMC ，得2==AH FM ．第(3)问是借助试题中“菱形EFGH 的两个顶点E 、G 分别在正方形ABCD 边AB 、CD 上”的限制作用．由第(2)问可知，2==AH FM ，是一个定值，则x 的大小就限制了△FCG 的面积．因为HD ＞AH ，所以HC ＞HB ，即①点E 不可能与点A 重合(x 的最小值为0，即HG 的最小值等于HD )②点G 不能与点C 重合(即HG 的最大值等于HB )．这样通过求出x 的值并由此求出HG (或AE )的值就可以正确判断△FCG 的面积能否等于1了．讲题反思1 第(1)问中证明“四边形(菱形) EFGH 为正方形”非常困难，原答案也只用同理可证△GDH ≌△FCG 模糊了事，能否消除这个逻辑性障碍?2 第(2)问中“连接GE ”是学生解题的一个难点，但这一难点的突破没有在试题(或解题)中得到暗示．同时，试题中连接GF 有些不流畅．5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
3 研究发现：由于点F 是随着点G 、E 的位置变化而变化的，虽然点F 到DC 的距离2==AH FM ，是一个定值，但点F 到AD 的距离却在一定范围内发生变化．为了彰显本题图形背景中的核心思想“特殊～一般～特殊”，可将本题图形置于平面直角坐标系的背景中，以探究动态菱形EFGH 中点F 的位置变化为主线，改编成下题：题3如图，正方形ABCD 的边长为6．以直线AB 为羽轴、AD 为y 轴建立坐标系．菱形EFGH 的三个顶点H 、E 、G 分别在正方形ABCD 边DA 、AB 、CD 上，已知2=AE ．(1)如图甲，当点F 在边BC 上时，求点F 的坐标；(2)设x DG =．请在图乙中探索：用含x 的代数式表示点F 的坐标；(3)设点F 的横坐标为m ．问：m 有无最大值和最小值?若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由．(思考：正方形ABCD 可以作怎样的改变?将正方形ABCD 置换成矩形可以吗?平行四边形呢?梯形呢?)2．3 应该有=想有+可能有一般说来，教师不会把学生完全没有学的、学生现有知识能力水平无法企及的题目拿给学生做，那么为何有的学生却可能对题目(难题)无从下手呢?此时学生的心态是怎样的呢?教师面对这种情况又该怎样做呢?想有：人的需要、欲望、感情是普遍存在的，学生也不例外，此时教师应该尽其所能激发起学生的需要和突破难题的欲望，并使他们初步感受到这种需要所能带来的那种快感．5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
可能有：当学生感觉到利用已有知识能做而又做不出来的时候，此时教师的启发和点拨就显得至关重要．根据本人的思考，教师的启发与点拨可从以下几方面人手：1 从学生已有知识中“启”：温故而知新，以达承前启后、承上启下的目的；2 从学生知识的盲点处“启”：盲即模糊，或遗忘，此时善意的提醒、引导就成为解决问题的必要手段；3 从知识的关键点“启”：一语点醒梦中人，顿悟、恍然大悟、大彻大悟由此产生；4 从知识的最近发展区“启”：因势利导，顺水推舟，正所谓“唯有源头活水来”；5 有时教师的一个手势、一副表情、一点鼓励、一种暗示就会使学生冲破迷雾，思如泉涌，此时师生之思之想已如水乳交融，浑然天成．应该有：当学生取得成功后，其喜悦的心情是难以言表的，在今后的学习中，就会更加主动地去透视题目中的各种潜在因素，即使在遇到困难时，也会坚定必胜的信念，这便是教师讲题应达到的成功境界．题4 (2006·安徽)如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 ．讲题分析1 利用BC AB =和︒=∠90ABC 两个已知条件，证明Rt △AEB ≌Rt △BFC ，得FC EB =．2 利用勾股定理求出正方形的边长5=AB ．讲题反思1 正方形ABC D 的顶点D 看起来是否“很孤单”如图l ，能否求出点D 到直线l 的距离DC ?(3=DC )2 正方形ABCD 是否“摇摇欲坠”?将图形特殊化：如图2，令CF AE =，且5=AB ．则210==CF AE ，10=DF ． 3 观察、比较上面两题中AE 、CF 、DG 的大小，你发现了什么?(DG CF AE =+)如图3，你能证明这个结论具有一般性吗?作DG AM ⊥于点M ，可证：5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。