根式与分式

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数学知识点二次根式与分式的运算

数学知识点二次根式与分式的运算数学知识点：二次根式与分式的运算在数学中，二次根式与分式是常见的运算形式。

二次根式表示被开方数的平方根，而分式则表示数之间的比值。

正确地运用二次根式与分式的运算规则，能够更高效地解决问题。

本文将详细介绍二次根式与分式的运算方法和规则。

一、二次根式的运算二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。

在运算二次根式时，常见的操作有合并同类项、分解因式、有理化等。

1. 合并同类项合并同类项是将同一根号内的数合并，然后再进行开方。

例如：√9 + √4 = √(9+4) = √132. 分解因式分解因式是将根号内的数按照倍数的形式分解，以便于提取出根号外的因式。

例如：√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√33. 有理化有理化是将二次根式中含有根号的分母进行处理，使其变为分母不含根号的形式。

例如：1/√2 = (1/√2) × (√2/√2) = √2/2二、分式的运算分式是形如a/b的表达式，其中a为分子，b为分母。

分式的运算包括四则运算、化简、通分、约分等。

1. 四则运算分式的四则运算与整数的四则运算类似，根据需要进行加、减、乘、除的操作。

例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/62. 化简化简是将分式的分子与分母进行约分，使其达到最简形式。

例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/23. 通分通分是将分式的分母化为相同的公共分母，以便于进行加减运算。

例如：(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/64. 约分约分是将分数的分子与分母进行化简，使其达到最简形式。

例如：4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/2三、综合运算在实际问题中，常常需要综合运用二次根式与分式的运算。

例如：例1：计算√(5+2√6) × √(5-2√6) 的值。

有理式、无理式、整式、分式、根式、实数

根式是整式还是分式？
1、根式是指含有开方运算的算式或代数式。

整式是指没有除法运算，或有除法运算但除式中不含字母的有理式。

分式是指有除法运算，而且除式中含有字母的有理式。

有开方运算，而且被开方数含有字母的代数式叫无理式。

而有理式是指没有开方运算，或有开方运算但被开方数不含字母的代数式。

所以根式既不是整式，也不是分式。

2、根式既不是分式也不是整式,
像无理数既不是分数也不是整数一样!
3、
根式有时属于整式，如：
根号4；有时属于分式，如：
被开方是9/a2；有时属于无理式，如:
被开方数是a的平方加1。

代数式分为有理式和无理式，有理式分为整式和分式。

而根式的含义有两个：
一是含有根号，二是被开方数不小于0.它们之间的分类标准不一致。

4、圆周率π是整式，根号2是整式，根号a平方是整式，根号a平方加1不是整式.
5.二次根式是无理式，而整式和分式是有理式，因而二次根式既不是整式也不是
6.分式分母上没有字母，根号内没有字母的。

7.凡是根号下字母的，某数除以字母的都不是整式.
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分式与根式

分式与二次根式—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．要点诠释：约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质；2.；(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 积的算术平方根的性质：00)a b =≥≥，； 5. 商的算术平方根的性质：00)a b =≥>，. 6.若0a b >≥>.要点诠释： 0(0)a ≥≥2(0)a a =≥与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，43==+(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：221-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.【典型例题】类型一、分式的意义1．使代数式有意义的的取值范围是（）A. B. C.且 D.一切实数【答案】C；【解析】解不等式组得且，故选C．【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数，即需中的x0；分母中的2x-10.举一反三：【变式】当x取何值时，分式12922---xxx有意义?值为零?【答案】当2120x x--≠时，分式12922---xxx有意义，即-34x x≠≠且时，分式12922---xxx有意义.当29=0x-且2120x x--≠时，分式12922---xxx值为零，解得=3x±，且-34x x≠≠，，即=3x时，分式12922---xxx值为零.类型二、分式的性质12-xxx≥x21≠x0≥x21≠x210xx≥⎧⎨-≠⎩≥x21≠x≥≠2．已知,求下列各式的值. (1); (2). 【答案与解析】(1)因为,所以. 即.所以. (2), 所以. 【点评】观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.举一反三：【变式】已知求的值. 【答案】由得所以即.所以.类型三、分式的运算3．（2015•眉山）计算：．【答案与解析】14x x+=221x x +2421x x x ++14x x +=2214x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭221216x x ++=22114x x +=4242222222111114115x x x x x x x x x x ++=++=++=+=2421115x x x =++111,a b a b +=+b a a b +111,a b a b +=+1,a b ab a b+=+2(),a b ab +=22a b ab +=-221b a a b ab a b ab ab+-+===-解：=•= ．【点评】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.举一反三：【变式】（2015•宁德）化简：•．【答案】解：原式=：•=．类型四、分式方程及应用4．如果方程有增根, 那么增根是 . 【答案与解析】因为增根是使分式的分母为零的根,由分母或可得.所以增根是.答案:【点评】使分母为0的根是增根.5．为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．【答案与解析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．11322x x x-+=--20x -=20x -=2x =2x =2x =根据题意得：．方程两边同乘以x （x+25），得30（x+25）+30x=x （x+25），即x 2﹣35x ﹣750=0．解之，得x 1=50，x 2=﹣15．经检验，x 1=50，x 2=﹣15都是原方程的解．但x 2=﹣15不符合题意，应舍去．∴当x=50时，x+25=75．答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天．（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．方案一：由甲工程队单独完成．（所需费用为：2500×50=125000（元）．方案二：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间．（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x 天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天”，得出乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天完成该工程的工作量=1．（2）首先根据（1）中的结果，排除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．举一反三：【变式】莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨．（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每天售出多少吨？（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润．【答案】303015x x ++2（1）设原计划零售平均每天售出x 吨．根据题意，得，解得x 1=2，x 2=﹣16．经检验，x=2是原方程的根，x=﹣16不符合题意，舍去．答：原计划零售平均每天售出2吨．（2）．实际获得的总利润是：2000×6×20+2200×4×20=416000（元）．类型五、二次根式的定义及性质6．当x的值最小？最小值是多少？【答案与解析】，∴当9x +1=0，即3有最小值，最小值为3. 【点评】≥0（a ≥0）.的最小值为0，因为3是常数，的最小值为3.类型六、二次根式的运算7．计算：1(46438)222-+÷；【答案与解析】原式22)262264(÷+-= .232+=5)2(62006200=++-+x x ()天20226200=++913x +0，33≥19x =-03【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．分式与二次根式—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列各式与相等的是( ) A ． B. C. 2xy y D. 2x y x+ 2．（2015•泰安）化简：（a+）（1﹣）的结果等于（）A ．a ﹣2B ．a+2C ．D ．3．若分式的值是0，则x 为（） A ．0 B.1 C.-1 D.±14．下列计算正确的是（）5．在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个甲型包装箱可装x 个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（）A ．－＝10B ．－＝10C ．－＝10D ．－＝10 6．函数中自变量x 的取值范围是（） A. x ≤2 B. x =3 C. x ＜2且x ≠3 D. x ≤2且x ≠3x y22x y 22y x ++211x x -+13=====x 100005010000+x 5010000-x x 10000x 100005010000-x 5010000+x x1000013y x =-二、填空题7．（2014春•张家港市校级期末）下列分式中，不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打“√”．①② ③ ④ ⑤ ．8．化简的结果是__________. 9.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时.10中，是最简二次根式的有个. 11. 若最简二次根式是同类二次根式，则x 的值为 .12．（1化简的结果是 . （2）估计的运算结果应在之间.（填整数）三、解答题13．（2015•南京）计算：（﹣）÷．14.（1）已知：12a +=，求5361a a a a +++的值. （22=+.15．在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元，乙班共挡捐款232 元.212293m m +-+信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的. 信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.16.已知.分式与二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•合水县期末）二次根式、、、、、中，最简二次根式有（）个．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个2．分式有意义的条件是（） A ．x ≠2 B.x ≠1 C.x ≠1或x ≠2 D.x ≠1且x ≠23．使分式等于0的x 的值是（） A.2 B.-2 C.±2 D.不存在4．计算201220131)1)的结果是（）5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A ．B ． 45282x x y x ++=+，求(1)(2)(2)(1)x x x x +---224x x +-128002800304-=x x 28002800304-=x xC ．D ． 6．化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲的解法正确，乙的解法不正确C ．乙的解法正确，甲的解法不正确D ．甲、乙的解法都不正确二、填空题7．若a 2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子÷（a+b ）的值为_______________.9. ；②；③；④其中正确的是（填序号）.10．当x =__________时，分式的值为0.11．（1，则的值为. （2）若5,3,x y xy +==+的值为 . 12．（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式：①==﹣128002800305-=x x 2800280030-=5x xa b b a-===0,0).a b =＞≥33x x -+2()x y =+x y -②==﹣③==﹣… 回答下列问题：（1）化简：= ；（n 为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++= ．三、解答题13．（1）已知,求的值. （2）已知和,求的值.14.（2015春•东莞期末）设a=，b=2，c=．（1）当a 有意义时，求x 的取值范围．（2）若a 、b 、c 为Rt △ABC 三边长，求x 的值．15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？13x x +=2421x x x -+2510x x -+=0x ≠441x x+16.阅读下列材料，然后回答问题.我们可以将其进一步化简.；（一）；（二）；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：221.====（四）；（1）请用不同的方法化简= ；= ；（2分式与二次根式—巩固练习（基础解析）【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；==3=1===…【解析】化简2xy y = . 2.【答案】B ；【解析】•=•=a+2．故选B ．3.【答案】B ；【解析】分式的值为0，则解得.4.【答案】A ；【解析】根据具体选项，应先进行化简，再计算. AB，C 选项逆用平方差公式可求得，而D 选项.故选A. 5.【答案】B ；【解析】设每个甲型包装箱可装x 个鸡蛋，－＝10．故选B ．6.【答案】A ；【解析】2-x ≥0，∴x ≤2，3不在x ≤2的范围内.二、填空题7．【答案】×，√，×，×，√；【解析】①=；②是最简分式；③==；④=﹣1；x y 210,10,x x ⎧-=⎨+≠⎩1x ====2+（=4-5=-1=5010000-x x10000⑤是最简分式；只有②⑤是最简分式．故答案为：×，√，×，×，√．8．【答案】；【解析】找到最简公分母为（m+3）(m-3)，再通分.]9．【答案】4.8；【解析】平均速度=总路程÷总时间，设从学校到家的路程为s,则. 10．【答案】3；.11．【答案】-1；【解析】根据题意得x+3=3x+5，解得x=-1.12．【答案】（1；（2）3和4；【解析】（1）（2三、解答题13.【答案与解析】解：（﹣）÷=[﹣]×=[﹣]×=×=．14.【答案与解析】23m-22424244.8325546s s ss s s s s====++===21232 4.=++因为，∴＜（1）∵233,122a a +=+= ∴a 2=a +1 原式=5326a a a a ++=526(1)a a a a ++=546a a a +=46(1)a a a +=66a a=1 （2）∵10•=1052+==.15.【答案与解析】设甲班平均每人捐款x 元,则乙班平均每人捐款x 元. 根据题意, 得,解这个方程得. 经检验,是原方程解.答：甲班平均每人捐款5元.16.【答案与解析】由二次根式的定义及分式性质，得分式与二次根式—巩固练习（提高解析）【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】二次根式、、、、、中，最简二次根式有、、共3个．故选：C ． 2.【答案】D ；45300232245x x =+5x =5x =2240,4,2,20,x x x x ⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠22287,222y ++∴==+∴===【解析】分式有意义，则且.3.【答案】D ；【解析】令得，而当时，，所以该分式不存在值为0的情形.4.【答案】D ；【解析】本题可逆用公式（ab ）m =a m b m 及平方差公式，将原式化为20121)1) 1.⎡⎤--=⎣⎦故选D.5.【答案】A ；【解析】设小玲步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的速度为4x 米/分，依题意，得．故选A ．6.【答案】A ；【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化为+了.二、填空题7．【答案】；【解析】由已知得且，解得，，再代入求值.故答案为：0．9．【答案】③④；【解析】提示：①，.10．【答案】3；【解析】由得±3.当时，，当时，，所以当时，分式的值为0.20x -≠10x -≠20x +=2x =-2x =-240x -=28002800304-=x x 232269(3)0a a a -+=-=10b -=3a =1b =0a ≥0b ＞30x -=x =3x =360x +=≠3x =-3330x +=-+=3x =11．【答案】（1）2；（2；【解析】（1，知x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x-y =2.（2）12．【答案】；【解析】（1）=；故答案为：；20101-. （2）+++…++ =…+1.三、解答题13.【答案与解析】（1）因为，所以用除所求分式的分子、分母.原式. （2）由和 ,提, 所以14.【答案与解析】解：（1）∵a 有意义，∴8﹣x≥0，∴x≤8；（2）方法一：分三种情况：5,3,0,0,x y xy x y +==∴∴=+==＞＞原式0x ≠2x 22221111113361()21x x x x ====--++--2510x x -+=0x ≠15x x +=24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当a 2+c 2=b 2，即8﹣x+6=4，得x=10，③当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2，又∵x≤8，∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c ＞b∴存在两种情况，①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2，∴x=6或﹣2．15.【答案与解析】（1）设甲公司单独完成此工程x 天，则乙公司单独完成此项工程1.5x 天，根据题意，得，解之得，x=20, 经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30,答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.（2）设甲公司每天的施工费y 元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元，根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000.甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元），乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元），故甲公司的施工费较少.16.【答案与解析】（1（2112-1111.512x x +===22====+++…=121)2n ++=.。

复习初中数学揭秘根式与分式的运算技巧

复习初中数学揭秘根式与分式的运算技巧数学作为一门基础学科，对于学习者来说是必不可少的。

在初中阶段，根式与分式的运算是一个重要的知识点，掌握好这些技巧将为后续的学习打下坚实的基础。

本文将揭秘根式与分式的运算技巧，帮助学生在复习中掌握这些知识点。

一、根式的运算技巧根式是数学中常见的一种表达形式，其中包含有根号符号，以及被开方的数或字母。

在根式的运算中，我们常见到的技巧有合并同类项、提取因子等。

1. 合并同类项当根式相同并且运算符号相同时，我们可以通过合并同类项的方式进行简化。

例如，√2 + √2 =2√2，这里我们合并了两个根式相同的项，并保留了根号下的数。

2. 提取因子当根号下的数可以分解为多个因子的乘积时，我们可以利用提取因子的技巧进行简化。

例如，√18 = √9 × √2 = 3√2，这里我们提取了根号下9的因子，并将根号下的数分解成了两个较小的因子的乘积。

二、分式的运算技巧分式是数学中常见的一种表达形式，其中包含了分子和分母两部分。

在进行分式的运算时，我们经常需要进行分子分母的通分、约分等操作。

1. 分子分母的通分当进行分式相加、相减等运算时，我们常需要将分子分母进行通分，使其具有相同的分母。

例如，1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6，这里我们将1/2和1/3的分母通分为6，然后进行相加得到5/6。

2. 分子分母的约分当分数的分子和分母有公因数时，我们可以进行约分操作，将分子分母的公因数约去。

例如，4/8 = 2/4 = 1/2，这里我们约去了4和8的公因数2，最终得到了简化的分数形式。

三、根式与分式的综合运算技巧在实际问题中，我们常会遇到同时涉及根式与分式的运算情况。

此时，我们可以先将根式进行化简，再按照分式的运算规则进行计算。

1. 根式的化简当根式中包含有分式时，我们可以先将它进行化简。

例如，√(1/4) = √1/√4 = 1/2，这里我们将√(1/4)的根号下的分式进行了分子和分母的分别开根，然后得到了最简分数形式。

根式与分式的运算乐乐学园

根式与分式的运算乐乐学园根式和分式是数学中常见的两种运算形式。

根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

分式是指形如a/b的表达式，其中a和b都是实数且b不等于0。

首先，我们来看一下根式的运算。

根式的运算包括开方、化简、合并等。

开方是指将一个数分解成两个相同的数的乘积，即√a = b，其中a和b都是非负实数。

例如，√9 = 3，因为3 × 3 = 9。

开方可以用于求解平方根、立方根等。

化简是指将一个根式进行简化，使其表达式更加简洁。

例如，√8可以化简为2√2。

合并是指将两个根式进行合并，可以通过化简或者变形来实现。

例如，√3 + √5可以合并为√3 + √5。

其次，我们来看一下分式的运算。

分式的运算包括四则运算、合并、约分等。

四则运算是指对分式进行加减乘除的运算。

例如，1/2 + 1/3 = 5/6，1/2 × 1/3 = 1/6，1/2 ÷ 1/3 = 3/2。

合并是指将两个分式进行合并，可以通过通分或者简单的分数运算来实现。

例如，1/2+ 1/3可以合并为5/6。

约分是指将一个分数化简为最简分数。

例如，6/9可以约分为2/3。

在运算根式和分式时，需要注意一些规则和技巧。

在根式的运算中，可以利用根式的性质进行化简和合并，例如√a × √b = √(a × b)，√a ÷ √b = √(a ÷ b)。

在分式的运算中，需要注意分数的四则运算法则，以及约分时要找到最大公约数。

另外，分式的加减运算需要先找到两个分数的最小公倍数，然后进行通分。

分式的乘除运算可以直接对分子和分母进行相应的乘除运算。

在实际问题中，根式和分式的运算经常被用来描述和解决问题。

例如，在几何中，根式可以用来求解边长或者面积；在物理中，分式可以用来表示速度、密度等物理量。

因此，掌握根式和分式的运算方法对于解题和理解数学概念是非常重要的。

总之，根式和分式的运算是数学中常见的运算形式。

2.分式方程与根式方程

3、解无理方程的注意点
在解根式方程后必需检验,这是因为从根式方程到有理方程的转化有时不是等价的.
典
例4（1）解方程 x 7 x 1
型
例
x 7 (x 1)2 *
解： x 7 0
x 1 0
题
为什么会产生增根？
解得 x 2 （ x 3 为增根）
此题也可先解出方程*的根，再代回原方程检验.
例
解：移项得 3x 2 3 x 3
题
两边平方，整理得 3 x 3 7 x
再两边平方，化简得 x2 23x 22 0
解得 x1 1, x2 22 经检验 x1 1 为原方程的根，
x2 22 是增根. 方程一边出现两个根号时要先移项.
解无理方程的思路是：
无理方程
去根号
有理方程
新高一数学
第二讲分式方程与根式方程
内容概况
两边同乘以最简公分母、
分式方程
换元
整式方程
两边平方、换元
根式方程
有理方程
一、分式方程的解法
知
1、什么是分式方程
识
要
分母中含有未知数的方程叫分式方程. 点
2、分式方程的解法
我们可通过将方程两边同乘以最简公分母或者换元将分式方程转化为整式方程.
3、解分式方程的注意点
一化二解三检验
课
堂
小
1.两种方程分式、根式方程的解法
结
2.一个方法——换元
3.一个思想——等价转化的数学思想
新高一数学
原方程可化为
t 3 2 t
题
即 t 2 2t 3 0
解得 t1 3, t2 1
所以
x2 2 2x2 1

2.分式方程与根式方程

2、解这个整式方程.
3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根. 一化二解三检验
例2 解方程
x2 2 2x2 1

3(2x2 1) x2 2

2
典型例
解：令
x2 2x
型
例
x 7 (x 1)2 *
解：

x

7

0

x

1

0
题
为什么会产生增根？
解得 x 2 （ x 3 为增根）
此题也可先解出方程*的根，再代回原方程检验.
典
例4（2）解方程 2x 2x 1 5
型
例
此题也可令 2x 1 t (t 0)
题
转化为 t 的一元二次方程
t 2 1 t 5 即 t 2 t 6 0 求解.
解得 t 3 或 t 2 （舍去）
即 2x 1 3 解得 x 4
典
例5 解方程 3x 2 x 3 3
型
例
解：移项得 3x 2 3 x 3
题
两边平方，整理得 3 x 3 7 x
典型例
解：两边同乘以最简公分母 x2 x
题
得 (5x 2)( x 1) 3(x2 x)
化简为 (x 1)2 0
解得 x 1
为什么会产生增根？
经检验 x 1 是增根，原方程无解.
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的·不·适·合·于·原·方程·的·根·.

高一数学教案《分式、根式》_教学设计

高一数学教案《分式、根式》_教学设计
1．分式的意义
形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；。

上述性质被称为分式的基本性质。

2．繁分式：分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。

一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如，等是无理式，而，，等是有理式。

3、分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式。

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式。

因式分解、分式和根式

专题复习：因式分解、分式和根式【知识梳理】一、因式分解：1、常用的公式：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22；完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±； ()2222222c b a ca bc ab c b a ++=+++++； ()2222222c b a ca bc ab c b a -+=--+++； ()2222222c b a ca bc ab c b a --=-+-++；立方和（差）公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+；()()2233b ab a b a b a ++-=-；2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：（1）()()111±±=+±±b a a b ab ；（2）()()111±=-±b a b a ab ；（3）()()22224224+-++=+a a a a a ；（4）()()12212214224+-++=+a a a a a ；（5）()2222222c b a ac bc ab c b a ++=+++++；（6）()()ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2223333。

二、分式：1、分式的意义形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。

当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。

2、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。

（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

（3）倒数的性质：()()011011>=⋅≠=⋅a a a a a a ，；若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅nn a a （0≠a ，n 是整数）； ()021>≥+a a a 。

根式与分式的加减乘除的应用

根式与分式的加减乘除的应用在数学中，根式和分式是常见的数学表达形式。

它们在实际应用中扮演着重要的角色，特别是在加减乘除运算中。

本文将从根式和分式的概念入手，探讨它们在实际问题中的应用。

1. 根式的加减乘除应用根式表示一个数的平方、立方或者更高次的根。

在实际应用中，根式经常用来表示长度、面积、容积等物理量。

现假设有一个正方形的边长为3根号2米，我们想要计算其面积。

根据正方形的面积公式，面积等于边长的平方，即A = 边长^2。

代入边长为3根号2，我们可以得到面积为(3根号2)^2 = 3^2 * 2 = 18平方米。

2. 分式的加减乘除应用分式由分子和分母组成，分子表示被除数，分母表示除数。

在实际应用中，分式常用来表示比例、速度、百分比等数值关系。

举个例子，假设小明每分钟可以吃掉1/4个苹果，那么他吃完8个苹果需要多少分钟？根据分式的乘法应用，我们可以将需要的分钟数表示为8个苹果除以每分钟吃掉的苹果数量，即8 ÷ 1/4 = 8 * 4/1 = 32分钟。

3. 根式和分式混合运算的应用根式和分式常常在实际问题中同时出现，并需要进行复合运算。

例如，假设有一个长方形的宽为2根号3米，长度为3/2米，我们想要计算其面积。

根据长方形的面积公式，面积等于长乘以宽，即A = 长 *宽。

代入长度和宽度的值，我们可以得到面积为(3/2) * 2根号3 = 3根号3平方米。

4. 实际应用中的解题方法在解决实际应用问题时，我们可以通过以下步骤来确定如何使用根式和分式进行加减乘除的运算：a. 仔细阅读问题，理解问题所描述的实际情境；b. 确定所需要计算的物理量，并用根式或分式表示出来；c. 根据问题的要求，运用根式和分式的加减乘除法则进行运算；d. 将计算结果转化为与问题相匹配的单位，完成最终解答。

总结：根式和分式在数学中是重要的数学表达形式，它们在实际应用中有广泛的应用。

通过加减乘除的运算，我们可以解决与长度、面积、体积、比例、百分比等实际问题有关的计算。

根式与分式的平方与约分

根式与分式的平方与约分在数学中，根式和分式是常见的数学表达形式。

根式表示一个数的平方根或者更高次的根，而分式表示一个数的整体部分与分数部分的组合。

在本文中，将探讨根式与分式的平方运算以及如何约分。

一、根式的平方运算根式是数的平方根或高次根的一种表示方式。

我们可以对根式进行平方运算，来得到其平方值。

以√a为例，其中a表示任意正整数。

对√a进行平方运算，则有：(√a)^2 = a这表示对根式√a进行平方后，得到的结果等于a。

例如，如果a=16，则√16=4，因此(√16)^2=16。

同样的道理可以应用到更高次的根式上。

例如，对于立方根式∛a，进行平方运算的结果是：(∛a)^2 = a^(2/3)其中a依然表示任意正整数，^表示幂运算，2/3表示2除以3的结果。

需要注意的是，对于负数的根式，进行平方运算存在复数的情况，超出了本文的范围。

在实际运算中，应该根据具体问题进行判断和处理。

二、分式的平方运算分式是一种表示一个数的整体部分与分数部分的组合。

我们同样可以对分式进行平方运算。

以分式a/b为例，其中a、b为任意整数，且b不等于0。

对分式a/b 进行平方运算，则有：(a/b)^2 = a^2 / b^2这表示对分式a/b进行平方后，分子上的a会被平方，分母上的b 也会被平方。

例如，如果a=2，b=3，则(2/3)^2=4/9。

同样的道理，我们可以对分式进行更高次的幂运算。

例如，对于立方分式a/b，进行平方运算的结果是：(a/b)^2 = a^2 / b^2其中a、b同样是任意整数。

需要注意的是，对于分式的平方运算，也需要注意分母不为0的限制，以及在具体问题中可能涉及到的约分等操作。

三、根式与分式的约分在进行根式和分式运算时，我们经常需要对其进行约分，以求得最简形式。

约分是指将一个分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使分式的分子和分母之间没有公约数。

以分式a/b为例，其中a、b为正整数。

我们可以通过求a和b的最大公约数，并将a和b同时除以最大公约数，来完成约分操作。

根式与分式的平方与约分的应用

根式与分式的平方与约分的应用一、根式的平方和平方根根式是代表一个数的平方根的符号，可以表示为√a，其中a是一个非负数，也叫被开方数。

根式的平方可以通过求被开方数的平方来实现。

1. 根式的平方对于一个根式√a，其平方表示为(√a)²，可进一步化简为a。

例如，对于√9，它的平方等于(√9)²=9。

2. 平方根一个数的平方根可以表示为√b，其中b是被开方数的平方。

例如，2²=4，那么√4=2。

二、分式的平方与约分分式是用分子和分母表示一个数的表达式，可以写为a/b，其中a 是分子，b是分母。

1. 分式的平方一个分式的平方可以通过分子和分母分别进行平方运算来实现。

例如，(a/b)² = (a²)/(b²)。

例如，(2/3)²=(2²)/(3²)=4/9。

2. 约分约分是将一个分式化简为最简形式的过程。

可以通过找到分子和分母的最大公约数，然后分别除以最大公约数来实现。

例如，8/12可以约分为2/3。

三、根式和分式在实际应用中的运用根式和分式的平方与约分在数学和实际生活中有广泛的应用，以下是一些例子：1. 平方根的应用平方根常用于测量、几何学和物理学中。

在测量中，可以使用平方根来计算长度、面积和体积。

在几何学中，平方根可以用来测量三角形、圆形和其他形状的一些属性。

在物理学中，平方根可以用来计算速度、加速度和力等物理量。

2. 分式的应用分式的应用非常广泛，例如在金融中用于计算利率、投资回报率和货币兑换。

在化学中，分式可以表示化学反应中的物质的比例。

在工程中，分式可以用于计算强度、功率和效率等。

在日常生活中，分式可以用于计算食谱的配料比例、车辆的油耗和时间的分配等。

结论综上所述，根式与分式的平方与约分有着广泛的应用。

通过对根式和分式进行平方运算和约分操作，我们可以得到更简单和有意义的结果。

在各个领域的实际应用中，根式和分式帮助我们解决各种问题，提高我们的计算效率和理解能力。

根式与分式的加减乘除运算

根式与分式的加减乘除运算根式和分式是数学中常见的数学表达式形式，它们在实际问题的求解中经常用到。

掌握根式和分式的加减乘除运算规则，对解决各种数学问题具有重要意义。

在本文中，我们将探讨根式和分式的加减乘除运算规则，并通过例题来进一步加深理解。

一、根式的加减运算根式的加减运算遵循以下规则：规则一：同底数的根式相加减时，保持底数不变，合并系数。

例如，√2 + √3 = √2 + 3√3。

规则二：不同底数的根式无法直接加减，需要进行有理化的处理。

例如，√2 + √3 = (√2 + √3) * (√2 - √3) / (√2 - √3) = (√2 * √2 - √3 * √2 + √2 * √3 - √3 * √3) / (√2 - √3) = (2 - √6 + √6 - 3) / (√2 - √3) = -1 / (√2 - √3)。

二、分式的加减运算分式的加减运算遵循以下规则：规则一：分母相同的分式相加减时，保持分母不变，合并分子。

例如，1/2 + 3/2 = 4/2 = 2。

规则二：分母不同的分式相加减时，需要进行通分的处理。

例如，1/2 + 1/3 = (1 * 3 + 2 * 1) / (2 * 3) = 5/6。

根式的乘法运算遵循以下规则：规则一：同底数的根式相乘时，保持底数不变，指数相加。

例如，√2 * √3 = √(2 * 3) = √6。

规则二：不同底数的根式无法直接相乘，需要进行有理化的处理。

例如，√2 * √3 = (√2 * √3) * (√2 / √2) = (√6 * √2) / (√2 * √2) = (√12) /2 = √12 / 2。

四、分式的乘法运算分式的乘法运算遵循以下规则：规则一：分式相乘时，分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。

例如，(1/2) * (3/4) = (1 * 3) / (2 * 4) = 3/8。

五、根式的除法运算根式的除法运算遵循以下规则：规则一：根式相除时，保持被除数的底数不变，指数相减。

初三数学下册分式与根式的混合运算

初三数学下册分式与根式的混合运算分式与根式是初中数学中的两个重要概念，它们在数学运算中起着重要的作用。

本文将针对初三数学下册的分式与根式的混合运算进行讨论，并提供一些解题方法和技巧。

一、分式的运算分式是指两个整数之间用分数线表示的数，有分子和分母两个部分。

对于分式的加减法运算，我们可以通过通分的方法将分式转化为相同分母的分式，然后进行分子的加减运算，并保持分母不变。

例如，计算以下分式的和：$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$解答：首先，将两个分式的分母取公倍数，本例中最小公倍数为4。

然后，将分子按照相同的倍数进行扩展。

因此，$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$可以转化为$\frac{2}{4}+\frac{3}{4}$。

最后，将两个分式的分子相加得到$\frac{5}{4}$。

因此，$\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$。

对于分式的乘法运算，我们只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘。

例如，计算以下分式的积：$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}$解答：将分子相乘得到2乘以4等于8，分母相乘得到3乘以5等于15。

因此，$\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}=\frac{8}{15}$。

对于分式的除法运算，我们将除法转化为乘法，并将第二个分式的分子与分母互换位置。

例如，计算以下分式的商：$\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}$解答：将除法转化为乘法，即$\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}$可以转化为$\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}$。

然后，将第二个分式的分子与分母互换位置，得到$\frac{3}{4}\times\frac{5}{2}=\frac{15}{8}$。

二、根式的运算根式是指具有形式$\sqrt[n]{x}$的数，其中$n$表示根的次数，$x$表示被开方数。

根式分式章节知识点总结

根式分式章节知识点总结
1. 根式的定义和性质
- 根式是指表达具有平方根、立方根、n次根等形式的数的算式。

- 根式的性质包括：
- 根式的值必须是非负数；
- 平方根的运算结果可以是正数或负数，但常用的是正数；
- n次方根的运算结果只能是正数。

2. 根式的化简
- 化简根式是将根式写成最简形式的过程。

- 根式的化简原则包括：
- 化简根式中的因数，使其无根号；
- 化简分母的根式；
- 将根式化成同次数。

3. 根式的运算
- 根式的运算包括加减乘除四则运算。

- 根式的运算规则：
- 加减法：同次根号下的同类项可以相加或相减。

- 乘法：根式相乘，可以合并为一个根式。

- 除法：根式的除法可以化简为乘法。

4. 分式的定义和性质
- 分式是由分子和分母组成的有理数。

- 分式的性质包括：
- 分式的分母不能为零；
- 分式可以化简为最简形式；
- 分式可以约分。

5. 分式的四则运算
- 分式的四则运算包括加减乘除。

- 分式的运算规则：
- 加减法：分母相同的分式可以直接相加或相减。

- 乘法：分式相乘，分子相乘，分母相乘。

- 除法：分式的除法可以化简为乘法的倒数。

以上是关于根式和分式的基本知识点总结，希望对您有帮助。

高一数学分式与根式的运算精讲精练

x( 2 1) y( 3 2 2 ) = 4 2
(3)
x3
1 x3
(x
1 )(x2 x
x
1 x
1 x2
)
(2
5)(18 1) 34
5﹒
5.利用乘法公式﹐因式分解下列各式﹕(1)x6 y6﹒(2)9x4 5x2 1﹒ 【解答】(1)x6 y6 (x3)2 (y3)2 (x3 y3)(x3 y3) (x y)(x y)(x2 xy y2)(x2 xy y2)﹒
(5)（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x3＋（a＋b＋c）x2＋（ab＋bc＋ca）x＋abc。
※ a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca
1 2
a
b
c
a
b2
b
c2
c
a2
※ a4 a2b2 b4 a2 ab b2 a2 ab b2
77 7
77 11
(
11 7 )2 11 7
77 7
77 11
11
2
77 4
7
(
1 7
1 11
1 2
)
77
18 4
113 154
77
9 2
１８
9.设 x, yQ 且 x 3 2 2 y 17 12 2 18 8 2 ﹐则(x, y) = ____________﹒
【解答】原式 x( 2 1) y( 9 8 ) = 16 2
11 7
【解答】(1)
1 3
1 27
1 48
1 3
1 27
1 48
1 1 1 3 33 43
3 3
3 9
3 12
(13

分式与根式的字母举例

分式与根式的字母举例分式：分母中含有未知数及其表达式的代数式；根式：含有根号且最外层为根号的代数式。

分式的定义为：形如A/B,A、B是整式,B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式。

当A=0,B≠0时，式子A/B,还是不是分式?当A=0,B≠0时，式子显然A/B=0，而据整式的定义，自然数是整式。

那这里不就成了“整式=分式”?同样的，根式的定义：若x的n次方=a,则x叫作[1]a 的n次方根,记作n√a=x,n√a叫做根式。

那么√4算不算根式? 显然√4=2,而2是整式,那这里不就成了“整式=分式”?判定一个式子是不是分（根）式，是要求化到最简呢,还是不需要化简，直接判断?就算A=0，但是分母B中有未知数，所以还是分式。

只是这个分式恒等于0，可以化为整式。

根式是必须根号下是未知数，√4是常数，而不是根式，因为根号下没有未知数。

判定一个式子是不是分（根）式，不能化为最简，只能直接看。

例如x²/x这个式子，分母有未知数，所以是分式，但是你一化简，就成了x，就变成了整式了。

所以不能化简。

至于你说整式=分式，又或者根式=整式。

那其实是废话，分式只是形式，它的值完全可以等于某个整式的值。

根式也一样。

就好比整式x+3，如果x=2/5，那么结果就是17/5这样一个分数，不能因为x+3的值可能等于分数，就认为x+3不是整式啊。

这种区分主要还是方程的时候。

例如方程A=0的解和A/B=0的解可能有区别。

对于能使得A和B都等于0的未知数，在A=0中是解，在A/B=0就不是解了，这就叫增根。

所以无论A是否=0，A/B都只能算分式。

哪怕B是x²+1这种不为0的式子。

数学复习巩固根式与分式指数

数学复习巩固根式与分式指数1. 引言在数学学科中，根式与分式指数是一种常见且重要的数学知识点。

掌握了根式与分式指数的相关概念、性质和运算法则，将有助于我们解决各类数学问题，并为后续学习打下坚实的基础。

因此，本文将重点讨论根式与分式指数的复习巩固，以帮助读者深入理解与掌握这一知识点。

2. 根式的复习与巩固2.1 根式的基本概念根式是数学中的一种表达形式，它由根号和被开方数构成。

根式的基本概念包括被开方数、根指数和根式的值。

被开方数是指根式中的数，根号下的数字；根指数表示根式开放的次数，如平方根、立方根等；根式的值即为开方运算的结果。

2.2 根式的性质与运算法则（1）根式的乘法与除法：根式的乘法可以将根号下的数进行相乘，结果保持在同一根号下；根式的除法是将根号下的数进行相除，结果同样保持在同一根号下。

（2）根式的化简：对于一些可化简的根式，我们可以将其化简为最简形式，例如化简平方根中的质数。

3. 分式指数的复习与巩固3.1 分式指数的基本概念分式指数是指数的一种形式，其中指数是一个分式。

分式指数的基本概念包括分子指数、分母指数以及分式指数的计算方法。

3.2 分式指数的性质与运算法则（1）分式指数的乘法与除法：分式指数的乘法可以将分子指数和分母指数进行相乘；分式指数的除法是将分子指数和分母指数进行相除。

（2）分式指数的幂运算：通过分式指数的幂运算，我们可以得到具有分式指数的乘法。

4. 根式与分式指数的应用4.1 根式与分式指数在方程中的应用根式与分式指数在解方程中起到了关键作用，我们可以利用根式与分式指数的性质进行方程变形，进而得到方程的解。

在解方程的过程中，要注意运用根式与分式指数的运算法则，以简化方程的形式，方便求解。

4.2 根式与分式指数在几何中的应用根式与分式指数在几何学中也有广泛的应用。

例如，在计算三角形的边长、面积等问题中，我们经常需要运用根式与分式指数进行计算。

同时，在实际问题中，通过将问题抽象为几何形状，我们也可以应用根式与分式指数进行求解。

衔接点03 有意义的根式和分式及相关计算(解析版)

衔接点03 有意义的根式和分式及相关计算【基础内容与方法】1.分式有意义的条件对于分式，分母不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义。

即若0B≠,式子AB有意义；若0B=，则式子AB无意义；若A=0且0B≠，则0AB=，即分式的值为0的条件．2.对于根式，我们主要是指二次根式，一般地，的式子叫做二次根式，”称为二次根号，a≥．考点一：二次根式的概念例1 在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据二次根式的定义作答．【解答】解：（x＞0），，符合二次根式的定义．（y＝﹣2），（x＞0）无意义，不是二次根式．属于三次根式．x+y不是根式．故选B．【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．考点练习：1．在式子①②③x2④⑤（x≤1）中，二次根式有3个．【分析】根据二次根式的定义填空即可．【解答】解：因为形如（a≥0）叫二次根式，所以①②⑤都符合要求，而③二次根号，④中的被开方数小于0，即二次根式有3个.故答案为3．【点评】本题考查了二次根式的定义，比较简单．考点二：二次根式有意义的条件例2：（1）当x满足x＞0时，代数式有意义；【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不等于零可得x＞0．【解答】解：由题意得：x＞0，故答案为：x＞0．【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．（2）要使式子有意义，则x的取值范围是x≥﹣2，且x≠﹣1．【分析】首先保证被开方数x+2≥0，再保证分母x+1≠0，解出不等式即可．【解答】解：∵式子有意义，∴x+2≥0，且x+1≠0，解得x≥﹣2，且x≠﹣1．故答案为x≥﹣2，且x≠﹣1．【点评】此题主要考查了分式，二次根式有意义的条件，关键是把握：①二次根式中的被开方数是非负数；②分母≠0．考点练习：1.二次根式有意义，则x应满足的条件是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可列出不等式求解．【解答】解：根据题意得：1﹣2x≥0，解得：x≤．故选B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2.若二次根式有意义，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2B．m＞﹣2C．m≥﹣2且m≠﹣1D．m≤﹣2且m≠1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范围．【解答】解：由题意得，m+2≥0且m+1≠0，解得m≥﹣2且m≠﹣1．故选：C．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3.代数式有意义，则x的取值范围是x．【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴x≤且x≠2，∴x的取值范围为：x≤故答案为：x【点评】本题考查二次根式的有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．考点三：与二次根式有关的计算类型（一）1．已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2b﹣ab2的值．【分析】先计算出a﹣b和ab的值，再分解因式得到∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算；【解答】解：∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a﹣b＝4，ab＝9﹣8＝1，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝1×4＝4；【点评】本题考查了整体代入的思想．2．已知a＝+2，b＝2﹣，则a2020b2019的值为（）A．﹣﹣2B．﹣+2C．1D．﹣1【分析】由积的乘方与同底数幂的乘法，可得a2016b2015＝（ab）2015•a，然后由平方差公式求解即可求得答案．【解答】解：∵a＝+2，b＝2﹣，∴a2020b2019＝（ab）2019•a＝[（+2）（2﹣）]2019•（+2）＝﹣（+2）＝﹣﹣2．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的乘法以及积的乘方与同底数幂的乘法．注意掌握积的乘方与同底数幂的乘法公式的逆用．类型（二）阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：＝＝＝方法二：＝＝＝＝（1）请用两种不同的方法化简：；（2）化简：．【分析】（1）利用分母有理化和平方差公式计算；（2）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）方法一：原式＝＝﹣；方法二：原式＝＝﹣；（2）原式＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝﹣．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．类型（三）先阅读然后解答问题：化简解：原式＝根据上面所得到的启迪，完成下面的问题：（1）化简：（2）化简：．【分析】（1）把4写成2，把9写成4+5，根据完全平方公式配方即可求解；（2）把算式平方然后再求算术平方根即可得解．【解答】解：（1），＝，＝，＝﹣2；（2）∵（）2，＝4++2+4﹣，＝8+2，＝10，∴＝．【点评】本题考查了二次根式的化简，读懂并理解题目信息，根据完全平方公式把被开方数整理成完全平方的形式是解题的关键，难度较大．考点四：分式的意义例3：若分式的值为0，则x的取值为（）A．x≠1B．x≠﹣1C．x＝1D．x＝﹣1【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣1＝0，且x+1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，解得：x＝1，【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．考点练习：1．若分式的值为零，则x的值是（）A．2或﹣2B．2C．﹣2D．4【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．【解答】解：由x2﹣4＝0，得x＝±2．当x＝2时，x2﹣x﹣2＝22﹣2﹣2＝0，故x＝2不合题意；当x＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝（﹣2）2﹣（﹣2）﹣2＝4≠0．所以x＝﹣2时分式的值为0．故选：C．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．2．分式与都有意义的条件是（）A．x B．x≠﹣1C．x且x≠﹣1D．以上都不对【分析】根据分式的分母不能为零分式有意义，可得答案．【解答】解：由分式与都有意义，得2x﹣3≠0且x+1≠0，故选：C．【点评】本题考查了分式有意义的条件，分式的分母不等于零是分式有意义的条件．3．当x＝9时，分式的值等于零．【分析】分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．【解答】解：∵|x|﹣9＝0，∴x＝±9，当x＝9时，x+9≠0，当x＝﹣9时，x+9＝0，故答案为9．【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．考点五：分式的计算例4：先化简，再求值：，其中x＝1+，y＝1﹣．【分析】（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得．【解答】解：（2）原式＝•当x＝1+，y＝1﹣时，原式＝＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤．考点练习：1．已知a+＝1+，求a2+的值．【分析】根据题目中的式子，两边平方整理化简即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a+＝1+，∴∴∴a2+＝9+2．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．。