有关直线与圆的几个典型例题

有关直线与圆的几个典型例题

本节内容在高考题中通常是通过选择题、填空题进行考查，在解 答题中往往是出现在第(1)小题中，考查的热点是求直线的方程， 两直线平行、垂直的关系，关于直线的对称问题，直线与圆的位置关 系及圆与圆的位置关系等。要熟练掌握求直线方程的方法，注意根据 已知条件灵活选择方程形式；在解决圆的有关问题时，要注意圆的儿 何性质的应用。

例1：在A ABC 中，已知顶点A(3,-l),过点B 的内角平分线所在 直线的方程为x-4y+10=0,过点C 的中线所在直线的方程为 6x+10y-59=0,求顶点B 的坐标及BC 边的方程。 A + 3 J -1

解：设B 点坐标为(x,y),则AB 的中点E 的坐标为(丁'丁)， 因 E 在直线 6x+10y-59=0±,

乳 + 3

・•・ 6 ・ 2 +10 ・ 2 -59=0,整理得 3x+5y-55=Oo 乂过点B 的内角平分线所在直线方程为x-4y+10=0o

戸+ "-55 = 0, |x = 10,

解方程组仍10丸得卜"

・•・B 点坐标为(10,5)。

6

设BC 边所在直线斜率为k, AB 边所在直线斜率k AB = 7，角B 平

_1

分线的斜率为忆。

例2：已知过点A(1J),且斜率为的直线/与x,y 轴分别 交于P 、Q 点，过P 、Q 作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R, S,

2 - 9 - = k ・•・BC 边所在直线方程为2x+9y-65=0o

评注：本题是关于求直线方程的例

题。 6 一 7 6

一

7

求四边形PRSQ 的面积的最小值。

丄

解:设直线1的方程为y-l=-m(x-l),则P 、Q 的坐标分别为(1 +也,0),

(0,1 +m) o

1 m +1 m +1

/• PR 所在直线方程为y=2（x ・m ）,即x ・2y ・朋=0

丄

QS 所在直线方程为 y= 2 x+m+1,即 x-2y+2(m+l)=0。

| 2加十2十1十丄| 3十2眈十丄

m = m m +1

乂IPRI=怎,IQSI=品, •••四边形PRSQ 的面积为

(2 + -+m + 1) 3+2忍十丄2(购+丄尸十9⑻+丄)+ 10 .

〔。 〔 S=- • ———•—

=——世 ------------ 世—丄［(时丄)+分-丄, 2 75 10 5 4 80

丄

*.* m>0,・*. m+m

$2, ・°・、勺 m=l 时，Smin=3.6。

故四边形PRSQ 面积的最小值为3.6o

评注：本题是关于直线的平行、垂直问题的例题

例3：根据下列条件求圆的方程：

(1) 圆心在直线/］： 5x-3y=O 上，并且圆与直线伍：x-6y-10=0 相切于点P(4,・l)；

(2) 圆过点P(-2,4), Q(3,-l),并且在x 轴上截得的弦长等于6；

(3) 圆心在曲线y 2=-18x ±,并且既与y 轴相切乂与圆 (x+2)2+(y-

3)2=l 外切。

解：(1)设圆心为C(3t,5t),

主十1 . 1

T PR//QS, |RS| = 75

•嘉=1,即3—4 6 =_1,则匸1,

••• PC 丄沧••• krc

・•・圆心C(3,5),又圆半径r=|PC|=®,

故所求圆的方程为(x-3)2+(y-5)2=37«

(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=O,

(2D-4E-F - 20, (1)

将P、Q的坐标分别代入，得Vz)-£+F--10 (2)

又令y=0,得X2+D X+F=0O 由己知|X1-X2|=6(XI, X2为方程两根)，・・・ D2-4F=36 .. (3)

由(1),(2),⑶解得D=-2, E=-4, F=-8 或D=-6, E二& F=0。故所求圆的方程为：x2+y2-2x-4y-8=0 或x2+y2-6x-8y=0o

(3)设圆心C(a,b),由题意知r=|a|,且阿2)2+@・夕=(1+1",

\b2 = -18a.

2

显然a<0,解得a=- 2 , b=3 或a=-2, b=6,

2 _i

故所求圆的方程为：(X+2 )2+(y_3)2=4 或(x+2)2+(y・6)2=4。

评注：求圆的方程应注意依据所给条件，恰当选择方程形式，用待定系数法求解。

例4：已知圈C： x2+(y-l)2=5,直线/： mx-y+l-m=Oo

(1)求证：对mUR,直线1与圆C总有两个不同的交点；

(2)设/与圆C交于A、B两点，若|AB|=J讦，求/的倾斜角大小：

(3)求弦AB的中点M的轨迹方程；

AP= 1_

(4)若定点P(l,l)分弦AB为刘2,求此时直线1的方程。

解：(1)证法1：由己知/： y-l=m(x-l),

・•・直线/恒过定点P(l,l),又圆C的圆心为(0,1),

•・• (1-0)2+(1-1)2=1<5,

・•・P在圆C内，则直线1与圆C总有二个不同交点。

证法2：圆心C(O,1)到直线/的距离

d 二曲+1曲+ 1 <]<焉对mER 成立，

・・・对meR, /与圆C 总有二个不同的交点。 证法3:将y-l=m(x-l)代入圆C 方程，消去y,得

(1 +m 2)x 2-2m 2x+m 2

-5=0 (1)

A = 16m 2+20>0 恒成立， ・•・对meR, /与圆C 总有二个不同的交点。 评注：判断直线与圆相交，一般有以下三种方法：

① 直线过圆内一定点；

② 圆心到直线的距离小于半径；

③ 直线与圆的方程组成的方程组有二个不等实根。

(2)解法1：设A(xi,yJ, B(x2,y2),则xg 为方程⑴的两实根, ____

. . J16艸 2 + 20

・•・ IABI 二 Jl+沪 Ixiwl 二Jl + < ・

1+临$ , _____ J16艸2 十 20 则 J1

+ / . ____ 1+旳2 二历， 跖 2冗

••• /的倾斜角为a=5或T 。

____ 17

解法 2： ••TABIpJ/-/2 ,••• T =5-d\

阳 2冗

••• /的倾斜角为a = 3或T 。

评注：求圆的弦长一般有两种方法：

(1) 用两点间距离公式求；

(2) 利用圆中半径、弦心距、弦长间的关系求。即半径2=弦心 距2+半弦2。

(3) I CM 丄MP, ••• M 点轨迹是以CP 为直径的圆，圆心为 丄 丄

(2,1),半径为r 二㊁,

・•・m 二土內,

3 溶2 ••• d 2=4，贝IJ1 + / 丄 "

4 m=±