福建省厦门市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题及答案
2019-2020学年福建省厦门市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设A ＝{x |2x ＞1}，B ＝{x |﹣2≤x ≤2}，则A ∪B ＝（ ） A ．[0，2]B ．（0，2]C ．（0，+∞）D ．[﹣2，+∞）2．（5分）已知向量a →=（1，2），a →+b →=（m ，4），若a →⊥b →，则m ＝（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．33．（5分）已知扇形的圆心角为2π3，面积为4π3cm 2，则扇形的半径为（ ） A ．12cmB ．1cmC ．2cmD ．4cm4．（5分）已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N ，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（ ） A ．100NB ．50√3NC ．50ND ．50√33N5．（5分）已知a ＝0.20.3，2b ＝0.3，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b6．（5分）已知点（m ，n ）在函数y ＝log 2x 的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（ ） A ．（m 2，n 2）B ．（2m ，2n ）C ．（m +2，n +1）D ．(m2，n −1)7．（5分）已知函数f （x ）＝sin x +|sin x |，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x +π）＝f （x ）B ．f （x ）的值域为[0，1]C ．f （x ）在[π2，π]上单调递减D ．f （x ）的图象关于点（π，0）对称8．（5分）若函数f （x ）＝x 2+a |x ﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，0] B ．（﹣∞，0]C ．（﹣∞，﹣4]D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．（5分）如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系式为y ＝ka t （k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1）．则下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过30m 2C ．浮萍面积从2m 2蔓延到64m 2只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到4m 2，6m 2，9m 2所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1+t 3＝2t 2 10．（5分）已知函f （x ）＝ln （√x 2+1+1），则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）是偶函数 B ．f （x ）有最小值 C ．f （x +2）＞f （x +1）D ．方程f （x ）+|x |﹣3＝0有两个不相等的实数根E ．方程f （x ）+|x |﹣3＝0有两个不相等的实数根 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11．（5分）如图，全集U ＝N *，A 是小于10的所有偶数组成的集合B ＝{x ∈N *|x ≥5}，则图中阴影部分表示的集合为 ．12．（5分）已知函数y ＝a x ﹣2+3（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数y ＝f （x ）的图象上，则f （x ）＝ ．13．（5分）已知tan α＝3，π＜α＜3π2，则cos α﹣sin α＝ ．14．（5分）在四边形ABCD 中，若AC →+CB →+CD →=0→，且|AB →|=|AC →|=|AD →|＝4，则△BCD 的面积为 ．15．（5分）若函数f(x)=1x−1，g(x)=2cos(π3x +π6)，则f （x ）+f （2﹣x ）＝ ：当x ∈[﹣7，7]时，方程f （x ）＝g （x ）的所有实数根的和为 ．（本题第一空2分，第二空3分）16．（5分）高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y ＝[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|（3﹣[x ]），x ∈[0，2），若f(x)=52，则x ＝ ；不等式f （x ）≤x 的解集为 ． 四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(√32，12)为单位圆上一点，射线OA 绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为y ＝f （θ）． （1）求函数y ＝f （θ）的解析式，并求f(π2)+f(2π3)； （2）若f(θ)=13，求cos(θ−π3)−sin(θ+7π6)的值．18．（12分）设函数f(x)=x +1x ，x ∈（1，+∞）． （1）判断函数f （x ）的单调性，并用定义证明；（2）若关于x 的方程x 2﹣ax +1＝0在[2，3]上有解，求实数a 的取值范围．19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝1，AD ＝3，△ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点设AB →=a →，AD →=b →． （1）用a →，b →表示AC →，AE →； （2）求AE →与AB →夹角的余弦值．20．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．。
2019-2020学年福建省高一(上)期中数学试卷试题及答案(PDF版 含答案)
2019-2020学年福建省高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．现有四个判断：2{1⊆，2}；{0}∅∈；{5}Q ⊆；{0}∅Ü，其中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．32．设全集{|4}U x Z x =∈ ，{|025}A x N x =∈<+ ，则(U A =ð)A ．{|2}x Z x ∈-B ．{|2}{4}x Z x ∈-C ．{|0}{4}x Z x ∈<D ．{|0}x Z x ∈ 3．函数()32x f x =-的零点为()A ．3log 2B ．123C ．132D ．2log 34．函数1()(2)4f x ln x x =-+-的定义域是()A ．[2，4)B ．(2,)+∞C ．[2，4)(4⋃，)+∞D ．(2，4)(4⋃，)+∞5．如图，函数()f x 的图象是两条线段AB ，BC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则((f f f （3）))的值为()A ．0B ．1C ．2D ．326．下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是()A ．2()3f x x x=--B ．()14xf x =+C ．()(2)f x lg x =+D ．()|21|f x x =-+7．已知0.950.92, 1.1,2a log b log c ===，则()A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．b c a<<8．设()f x 为定义在实数集上的偶函数，且()f x 在[0，)+∞上是增函数，(3)0f -=，则(36)0x f -<的解集为()A ．(1,2)B ．3(,1)[log 6-∞ ，2)C ．(,2)-∞D ．(-∞，1)(2⋃，)+∞9．函数3()(2)||f x x x ln x =+的部分图象大致为()A ．B ．C．D．10．已知函数()25x f x e x -=--的零点位于区间(,1)m m +上，则整数m 的值为()A ．2-B ．1-C ．0D ．111．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12800万元的年份是()（参考数据： 1.20.079lg ≈，20.301)lg ≈A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年12．已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩ ，若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===．现有结论：①121x x +=-；②341x x =；③412x <<；④123401x x x x <<．这四个结论中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分答案填在答题卡中的横线上.13．已知幂函数()a f x x =的图象经过点(64,2)，则a =；14．满足{0M⋃，2}{0=，2}的集合M 共有个；1523x +<的解集为．16．知函数123,1()log (1),1x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩ ，若关于x 的方程()20f x m +=有两个不同的实根，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知集合{|04}A x x =<<，{|1}B x m x m =-<<+（1）当2m =时，求()R A B ð；（2）若A B A = ，求m 的取值范围．18．（1（2）求值221log 31388log 42()1)27lg +-+-．19．已知函数31()log 1xf x x+=-．（1）判断()f x 在(1,1)-上的奇偶性并加以证明；（2）判断()f x 在14[,]25-上的单调性不需要证明，并求()f x 在14[,25-上的值域．20．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段．已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机(010)x x 万台，其成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足24004200,05()20003800,510x x x R x x x ⎧-+=⎨-<⎩，（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？21．已知函数()()()()()22,2(01),04x x x a f x k g x log f x a a f -=+⋅=->≠=且且．（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0g x >的解集；（3）若()42xtf x +对x R ∈恒成立，求t 的取值范围．22．已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>在[2，3]上的值域为[1，4]．（1）求a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，若存在[2x ∈，4]，使得不等式22(log )2log 0g x k x - 成立，求k 的取值范围．2019-2020学年福建省高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．现有四个判断：2{1⊆，2}；{0}∅∈；Q ⊆；{0}∅Ü，其中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．3【解答】解：元素与集合之间不能用包含关系，故2{1⊆，2}错误；∅与{0}是集合之间的关系，不能用“∈“，故{0}∅∈错误；Q ，∴Q ⊆错误；空集是任何非空集合的真子集，故{0}∅Ü正确．故选：B ．2．设全集{|4}U x Z x =∈ ，{|025}A x N x =∈<+ ，则(U A =ð)A ．{|2}x Z x ∈-B ．{|2}{4}x Z x ∈-C ．{|0}{4}x Z x ∈< D ．{|0}x Z x ∈ 【解答】解：{|4}U x Z x =∈ ，{|23}{0A x N x =∈-<= ，1，2，3}，{|0}{4}U A x Z x ∴=∈< ð．故选：C ．3．函数()32x f x =-的零点为()A ．3log 2B ．123C ．132D ．2log 3【解答】解：根据题意，函数()32x f x =-，若()320x f x =-=，解可得3log 2x =，即函数()f x 的零点为3log 2x =，故选：A ．4．函数1()(2)4f x ln x x =-+-的定义域是()A ．[2，4)B ．(2,)+∞C ．[2，4)(4⋃，)+∞D ．(2，4)(4⋃，)+∞【解答】解：函数1()(2)4f x ln x x =-+-中，令2040x x ->⎧⎨-≠⎩，解得2x >且4x ≠；所以函数()f x 的定义域是(2，4)(4⋃，)+∞．故选：D ．5．如图，函数()f x 的图象是两条线段AB ，BC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则((f f f （3）))的值为()A ．0B ．1C ．2D ．32【解答】解：根据题意，点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2,2)，(3,0)，则f （3）0=，(f f （3）)(0)1f ==，同时有11,02()226,23x x f x x x ⎧+⎪=⎨⎪-+<⎩ ，则((f f f （3）))f =（1）32=；故选：D ．6．下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是()A ．2()3f x x x=--B ．()14xf x =+C ．()(2)f x lg x =+D ．()|21|f x x =-+【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2()3f x x x =--，为二次函数，其开口向下且对称轴为32x =-，在[1-，)+∞上单调递减，符合题意；对于B ，()14x f x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于C ，()(2)f x lg x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于D ，121,2()|21|121,2x x f x x x x ⎧---⎪⎪=-+=⎨⎪+<-⎪⎩ ，在1(1,2--上为增函数，不符合题意；故选：A ．7．已知0.950.92, 1.1,2a log b log c ===，则()A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．b c a<<【解答】解：5log 2(0,1)a =∈，0.9log 1.10b =<，0.921c =>．b a c ∴<<．故选：B ．8．设()f x 为定义在实数集上的偶函数，且()f x 在[0，)+∞上是增函数，(3)0f -=，则(36)0x f -<的解集为()A ．(1,2)B ．3(,1)[log 6-∞ ，2)C ．(,2)-∞D ．(-∞，1)(2⋃，)+∞【解答】解：()f x 为定义在实数集上的偶函数，f ∴（3）(3)0f =-=，又()f x 在[0，)+∞上是增函数，则由(36)0x f -<可得，3363x -<-<，解可得，12x <<，故选：A ．9．函数3()(2)||f x x x ln x =+的部分图象大致为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，33()[()2()]||(2)||()f x x x ln x x x ln x f x -=-+--=-+=-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，当x →+∞，()f x →+∞，排除D ，故选：C ．10．已知函数()25x f x e x -=--的零点位于区间(,1)m m +上，则整数m 的值为()A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解答】解：函数()25x f x e x -=--是连续减函数，2(2)10f e -=->，(1)30f e -=-<，(2)(1)0f f ∴--< ，函数()25x f x e x -=--的零点位于区间(2,1)--即(,1)m m +上，所以2m =-．故选：A ．11．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过12800万元的年份是()（参考数据： 1.20.079lg ≈，20.301)lg ≈A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年【解答】解：设经过n 年后的投入资金为y 万元，则5000(120%)5000 1.2n n y =+=⨯，令5000 1.212800n ⨯>，即1.2 2.56n >，两边取对数可得81.2 2.56228220.408nlg lg lg lg >=-=-=，0.4085.160.079n ∴>≈，故第6年即2025年的投资开始超过12800万元．故选：C ．12．已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩ ，若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===．现有结论：①121x x +=-；②341x x =；③412x <<；④123401x x x x <<．这四个结论中正确的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．3【解答】解：函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩ 的图象如图：若1234x x x x <<<且1234()()()()f x f x f x f x ===．由图象可知：122x x +=-；所以①不正确；341x x =所以②正确；由图象412x <<所以③正确；121x -<<-，221211111(2)2(1)1(0,1)x x x x x x x =--=--=-++∈，所以123401x x x x <<④正确．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分答案填在答题卡中的横线上.13．已知幂函数()a f x x =的图象经过点(64,2)，则a =16；【解答】解：由幂函数()a f x x =的图象过点(64,2)，则642a =，解得16a =．故答案为：16．14．满足{0M⋃，2}{0=，2}的集合M 共有4个；【解答】解：{0M ⋃ ，2}{0=，2}，{0M ∴⊆，2}，又集合{0，2}的子集共有224=个，∴满足{0M⋃，2}{0=，2}的集合M 共有4个．故答案为：4．1523x +<的解集为[0，1)．【解答】解：由于函数2x y =+的定义域为[0，)+∞，且是增函数，当0x =23x +<成立，当1x =时，23x y =+=，23x >的的解集为[0，1)，故答案为：[0，1)．16．知函数123,1()log (1),1x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩ ，若关于x 的方程()20f x m +=有两个不同的实根，则m的取值范围是1(,)2-∞-．【解答】解：由题意作出函数123,1()log (1),1x x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩ 的图象，关于x 的方程()20f x m +=有两个不同的实根等价于函数()y f x =与2y m =-有两个不同的公共点，f （1）1=，由图象可知当21m ->，解得1(,2m ∈-∞-时，满足题意，故答案为：1(,2-∞-．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知集合{|04}A x x =<<，{|1}B x m x m =-<<+（1）当2m =时，求()R A B ð；（2）若A B A = ，求m 的取值范围．【解答】解：（1）当2m =时，{|23}B x x =-<<．∴{|2U C B x x =- 或3}x ，{|04}A x x =<< ，(){|34}U A C B x x ∴=< ．（2）由A B A = ，得B A ⊆，①当B =∅时，1m m -+ ，解得12m - ．②当B ≠∅时，由B A ⊆，得：0141m m m m -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩，解得102m -< ，综上，m 的取值范围是(-∞，0]．18．（1（2）求值221log 31388log 42()1)27lg +-+-．【解答】解：（1）原式3(0.25)40.25x x x ---===．（2）原式22362324224532()16183399log log log ⨯=-+-=-+-=-．19．已知函数31()log 1x f x x+=-．（1）判断()f x 在(1,1)-上的奇偶性并加以证明；（2）判断()f x 在14[,]25-上的单调性不需要证明，并求()f x 在14[,25-上的值域．【解答】解：（1） 31()log 1x f x x +=-，3311()log ()11x x f x log f x x x-+∴-==-=-+-，()f x ∴在(1,1)-上为奇函数；（2）()f x 在14[,25-上的单调递增，1()(12min f x f ∴=-=-，4()()25max f x f ==，()f x ∴在14[,25-上的值域[1-，2]．20．2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段．已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机(010)x x 万台，其成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足24004200,05()20003800,510x x x R x x x ⎧-+=⎨-<⎩ ，（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？【解答】解：（1）()1000800G x x =+，24003200800,05()()()10004600,510x x x f x R x G x x x ⎧-+-∴=-=⎨-<⎩．（2）当05x 时，2()400(4)5600f x x =--+，故当4x =时，()f x 取得最大值5600；当510x < 时，()10004600f x x =-为增函数，故当10x =时，()f x 取得最大值10001046005400⨯-=．综上，当产量为4万台时，公司利润最大，最大利润为5600万元．21．已知函数()()()()()22,2(01),04x x x a f x k g x log f x a a f -=+⋅=->≠=且且．（1）求k 的值；（2）求关于x 的不等式()0g x >的解集；（3）若()42x t f x + 对x R ∈恒成立，求t 的取值范围．【解答】解：（1）由00(0)2214f k k =+=+= ，得3k =；（2）由（1）得()232x x f x -=+ ，3()log 2ax g x ∴=，∴不等式()0g x >即3()log 02a x g x =>当1a >时，由3log 0log 12a a x >=，∴31232x x >∴<，2log 3x ∴<；当01a <<时，由3log 0log 12aa x >=，∴31232x x <∴>，2log 3x ∴>；故当1a >时，不等式()0g x >的解集2(,log 3)-∞；当01a <<时，不等式()0g x >的解集2(log 3，)+∞；（3）由（1）及()42x t f x + 得23242x x x t -++ ，2(2)423x x t ∴-⨯+ ，而22(2)423(22)1x x x -⨯+=--，∴当1x =时，2(2)423x x -⨯+取得最小值1-，1t ∴- ，∴()42x t f x + 对x R ∈恒成立时，t 的取值范围是(-∞，1]-．22．已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>在[2，3]上的值域为[1，4]．（1）求a ，b 的值；（2）设函数()()f x g x x=，若存在[2x ∈，4]，使得不等式22(log )2log 0g x k x - 成立，求k 的取值范围．【解答】解：（1）函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>开口向上，对称轴方程为1x =；()f x ∴在[2，3]上单调递增；则f （2）441a a b =-+=，f （3）964a a b =-+=；所以3a =，1b =；（2）()1()36f x g x x x x==--；存在[2x ∈，4]，使得不等式22(log )2log 0g x k x - 成立；设2log t x =，[2x ∈，4]，则[1t ∈，2]；即1362t kt t-- 在[1t ∈，2]上有解；21123k t t∴-- ；设211()3h t t t =--，当[1t ∈，2]时，()h t 的最大值为14-；所以18k - ；故k 的取值范围：18k - ；。
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福建省厦门一中高一上学期期中考试（数学）【答卷说明】 选择题的答案填到答题卡上，填空题与解答题的答案，写在答题卷上，交卷时交答题卡与．．．．．答题卷．．．. 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1、设实数集为R ，若{|02},{|12}A x x B x x =<<=≤<，则()R A B =I ðA 、 {|2}x x <B 、{|2}x x ≥C 、{|12}x x ≤<D 、{|22}x x <≤2、下列关系正确的是①23{|,}y y x x R π∈=-∈ ②{,}x y ={,}y x ，其中x ≠ y③22{(,)|0,,}x y x y x R y R +=∈∈2{(,)|}x y y x = A 、①②B 、①③C 、②③D 、①②③ 3、如果函数221y x ax =++在[－1, 2]上递增，则a 满足的条件是A 、a ≥1B 、2a ≥C 、a ≤１D 、a ≤－24、函数2()4log f x x x =-+的零点所在的区间是A 、（0，1）B 、（1，2）C 、（2，3）D 、（3，4）5、计算2(lg 2)lg 2lg5lg5+⋅+所得结果是A 、1B 、2C 、lg2D 、lg46、如果22log 2x x x <<，那么x 的取值范围是 A 、（1，2） B 、(1，3) C 、（1, 4） D 、（2, 4）7、下列各式关系正确的是A 、0.80.71133> B 、0.50.5log 0.4log 0.6> C 、0.10.10.750.75-< D 、lg1.6lg1.4<8、若函数(2)(2)()2(2)x f x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩，则f (－2)的值等于 A 、18 B 、12 C 、14D 、2 9、函数()f x ＝x 2 -2mx+m 2 -1的两个零点都在区间（-2，4）内，则实数m 的取值范围是A 、（－2，2）B 、(－1，3)C 、（1, 4）D 、（－2, 3）10、函数3()lg(21)x f x x -=-的定义域是A 、1(,3)2B 、1(,3]2C 、1(,1)(1,3)2UD 、1(,1)(1,3]2U二、填空题（共5小题，每小题4分，共11、已知()22x f x ax =⋅+，若(2)15,f -= 则(2)f 等于12、设01,x <<若16x x-+=，则1122x x --＝ 13、方程1303x --=实根的个数是 14、若偶函数)(x f 在(],0-∞上是增函数，那么3()(1)(2)2f f f --、、中最大的是15、已知a >0, a ≠1，如果5log 14a<，那么a 的取值范围是三、解答题（6题，共80分）16、（13分）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()2f x x =-，(1)用分段函数写出()f x 在R 上的解析式；(2)求不等式1()2f x <的解集。
福建省厦门第一中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题(原卷版)
（1）求证： 是⊙O的切线；
（2）求证： ；
（3）若 求 的值.
22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点 在抛物线上.
15.如图，直线y＝ 3x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A，以线段AB为边，在第一象限内作正方形ABCD，点C落在双曲线y＝ (k≠0)上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在双曲线y＝ (k≠0)上的点D1处，则a＝_____．
16.已知 中，点 ， ， .则 面积为________.
①
④
②
⑤
③
A.①或③B.②或③C.①或④D.以上选项都可以
7.如图，平面直角坐标系中.直线 分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为一边向右作等边 ，以AO为边向左作等边 ，连接DC交直线l于点E.则点E的坐标为（）
A. B. C. D.
8.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan15°时，可构造如图的Rt△ACB，∠C=90°.∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以 类比这种方法，若已知锐角α的正弦值为 锐角β的余弦值为 则α+β=（）
20.如图，斜坡AB长130米，坡度 现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.
（1）若修建 斜坡BE的坡角为 求平台DE的长；（结果保留根号）
（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M的仰角为 他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向继续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为 此时小明距大楼底端Q处30米.已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度.（参考数据:sin 3）
2019-2020学年福建省厦门一中高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年福建省厦门一中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A ＝{x|1≤x ≤4, x ∈N}，B ＝{x|6<2x <33, x ∈N}，则(∁U A)∩B ＝（ ） A.{0, 5, 6} B.{0, 5} C.{1} D.{5} 【答案】 D【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行补集、交集的运算即可． 【解答】∵ U ＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}，A ＝{1, 2, 3, 4}，B ＝{3, 4, 5}， ∴ ∁U A ＝{0, 5, 6}，(∁U A)∩B ＝{5}．2. 下列函数中，是偶函数的是（ ）A.f(x)=1xB.f(x)＝lgxC.f(x)＝e x−e −x D.f(x)＝|x|【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】容易看出选项A ，C 的函数为奇函数，选项B 的函数为非奇非偶函数，偶函数的只能选D ． 【解答】f(x)=1x 和f(x)＝e x −e −x 都是奇函数，f(x)＝lgx 为非奇非偶函数，f(x)＝|x|为偶函数．3. 设函数f(x)={x 2+1,x ≤12x,x >1 ，则f （f(3)）＝（ ）A.139B.3C.23D.15【答案】 A【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】求出f(3)=23，从而f （f(3)）＝f(23)＝(23)2+1，由此能求出f （f(3)）． 【解答】∵ 函数f(x)={x 2+1,x ≤12x ,x >1 ，∴ f(3)=23，f （f(3)）=f(23)=(23)2+1=139．4. 函数f(x)＝x 3+lgx −18的零点所在的区间为（ ） A.(0, 1) B.(1, 2) C.(2, 3) D.(3, 4) 【答案】 C【考点】函数零点的判定定理 【解析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点． 【解答】∵ 函数f(x)＝x 3+lgx −18在定义域内是连续增函数；f(2)＝8−18+lg2<0，f(3)＝27−18+lg3＝9+lg3>0； ∴ f(2)f(3)<0， 根据零点存在性定理，f(x)的零点在区间(2, 3)上，5. 设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 50.4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a <b <c B.c <b <a C.c <a <b D.b <c <a 【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】利用指数与对数函数的单调性即可得出． 【解答】a ＝60.4>1，0<b ＝log 0.40.5<log 0.40.4＝1，c ＝log 50.4<0， 则a ，b ，c 的大小关系是c <b <a ．6. 若4m ＝3n ＝k ，且2n +1m =1，则k ＝（ ） A.18B.26C.36D.42【答案】 C【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求出k 的值． 【解答】∵ 4m ＝3n ＝k ，∴ m ＝log 4k ，n ＝log 3k ， ∴ 2n +1m =2log 3k+1log 4k=2log k 3+log k 4＝log k 9+log k 4＝log k 36＝1，∴ k ＝36，7. 已知幂函数f(x)＝x n 的图象过点(3, 13)，则函数g(x)＝(2x −1)f(x)在区间[12, 2]上的最小值是（ ） A.−1B.0C.−2D.32【答案】 B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由幂函数f(x)＝x n 的图象过点(3, 13)，求出f(x)=x −1=1x ，从而函数g(x)＝2−1x ，进而g(x)在区间[12, 2]上是增函数，由此能求出函数g(x)在区间[12, 2]上的最小值． 【解答】∵ 幂函数f(x)＝x n 的图象过点(3, 13)， ∴ 13=3n ，解得n ＝−1， ∴ f(x)=x −1=1x ， ∴ 函数g(x)＝(2x −1)f(x)=2x−1x=2−1x，∴ g(x)在区间[12, 2]上是增函数，∴ 函数g(x)在区间[12, 2]上的最小值是g(12)＝2−112=0．8. 若f(x)是奇函数，当x <0时，f(x)的解析式是f(x)＝x(1−x)，当x >0时，f(x)的解析式是（ ） A.−x(1−x) B.x(1−x) C.−x(1+x) D.x(1+x) 【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质与判断 函数解析式的求解及常用方法 【解析】当x >0时，−x <0，利用函数是奇函数，代入即可求函数的解析式． 【解答】任取x >0，−x <0，则f(−x)＝−x(1+x)，因为f(x)是奇函数，所以f(−x)＝−x(1+x)＝−f(x)， 解得f(x)＝x(1+x)，即当x >0时，f(x)＝x(1+x)，9. 已知函数f(x)＝|log 2(x +1)|，若f(m)＝f(n)，m ≠n ，则1m +1n 等于（ ） A.1 B.−1 C.0D.2【答案】 B【考点】对数函数的图象与性质【解析】由已知可知，|log2(m+1)|＝|log2(n+1)|，结合m≠n，及对数的运算性质可知(m+ 1)(n+1)＝1，整理即可求解．【解答】f(x)＝|log2(x+1)|，且f(m)＝f(n)，∴|log2(m+1)|＝|log2(n+1)|，∵m≠n，∴log2(m+1＝−log2(n+1)，(m+1)(n+1)＝1即mn+m+n＝0，则1m +1n=−1．10. 函数f(x−4√x−2)的定义域为[3, 27]，则函数f(x)的定义域为（）A.[−2, 7]B.[−1, 7]C.[−2, −1]D.[3, 27]【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用换元法，结合复合函数的定义域之间的关系进行求解即可．【解答】设t＝x−4√x−2，s=√x−2，则x＝s2+2，则t＝s2+2−4s，∵x∈[3, 27]，∴s∈[1, 5]，则t＝(s−2)2−2∈[−2, 7]．即函数f(x)的定义域为[−2, 7]．二、多选题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的．多选不给分，少选给3分．已知函数f(x)＝lg(x2+ax−a−1)，给出下述论述，其中正确的是（）A.当a＝0时，f(x)的定义域为(−∞, −1)∪(1, +∞)B.f(x)一定有最小值C.当a＝0时，f(x)的值域为RD.若f(x)在区间[2, +∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥−4}【答案】A,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题是一道多选题，主要考查了复合函数的定义域，值域和单调性，属于中档题．【解答】对于B选项，令u(x)＝x2+ax−a−1，则复合函数y＝f(x)是由y＝lgu，u＝x2+ax−a−1复合而成的∵y＝lgu是单调递增的，而u＝x2+ax−a−1(u>0)无最小值，∴f(x)没有最小值．∴B选项错误（1）对于选项C，当a＝0时，f(x)＝lg(x2−1)中的u＝x2−1中的u能够取到所有的正数，∴f(x)的值域为R，∴C选项是正确的（2）对于选项D，∵复合函数y＝lg(x2+ax−a−1)是由y＝lgu，u＝x2+ax−a−1复合而成的，而y＝lgu在定义域内是单调递增的，又∵y＝f(x)在区间[2, +∞)上单调递增的，由复合函数的单调性可知，∴ u ＝x 2+ax −a −1在区间[2, +∞)上是单调递增的，则有−a2≤2，即a ≥−4．−−−−−(1)又∵ x 2+ax −a −1>0在区间[2, +∞)上是恒成立的，则有22+2a −a −1>0即a >−3−−−(2)∴ a >−3，所以，选项D 是错误的． 故选：AC ．已知函数f(x)={kx +1,x ≤0log 2x,x >0 ，下列是关于函数y ＝f[f(x)]+1的零点个数的4个判断，其中正确的是（ ） A.当k >0时，有3个零点 B.当k <0时，有2个零点 C.当k >0时，有4个零点 D.当k <0时，有1个零点 【答案】 C,D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】由y ＝0得f[f(x)]＝−1，利用换元法将函数分解为f(x)＝t 和f(t)＝−1，作出函数f(x)的图象，利用数形结合即可得到结论． 【解答】由y ＝f[f(x)]+1＝0，得f[f(x)]＝−1，设f(x)＝t ，则方程f[f(x)]＝−1等价为f(t)＝−1， ①若k >0，作出函数f(x)的图象如图： ∵ f(t)＝−1，∴ 此时方程f(t)＝−1有两个根其中t 2<0，0<t 1<1， 由f(x)＝t 2，<0，知此时x 有两解， 由f(x)＝t 1∈(0, 1)知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f[f(x)]+1有4个零点． ②若k <0，作出函数f(x)的图象如图： ∵ f(t)＝−1，∴ 此时方程f(t)＝−1有一个根t 1，其中0<t 1<1， 由f(x)＝t 1∈(0, 1)知此时x 只有1个解， 即函数y ＝f[f(x)]+1有1个零点．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.已知f(2x)＝4x 2+4x ，则f(x)＝________． 【答案】 x 2+2x ， 【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】由f(2x)＝4x 2+4x ＝(2x)2+2(2x)，即可求解f(x)． 【解答】∵ f(2x)＝4x 2+4x ＝(2x)2+2(2x)， 则f(x)＝x 2+2x ，计算(49)−12+3log 314−lg5+√(lg2)2−lg4+1，其结果是________．【答案】74【考点】对数的运算性质 【解析】利用指数与对数函数的运算性质即可得出． 【解答】原式=32+14−lg5+1−lg2=74．函数f(x)＝x|x −2|的单调减区间为________． 【答案】 [1, 2] 【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】根据所给的带有绝对值的函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间． 【解答】当x >2时，f(x)＝x 2−2x ， 当x ≤2时，f(x)＝−x 2+2x ，这样就得到一个分段函数f(x)={x 2−2x,x >2−x 2+2x,x ≤2． f(x)＝x 2−2x 的对称轴为：x ＝1，开口向上，x >2时是增函数； f(x)＝−x 2+2x ，开口向下，对称轴为x ＝1，则x <1时函数是增函数，1<x <2时函数是减函数． 即有函数的单调减区间是[1, 2]．已知f(x)＝9x−t ⋅3x，g(x)=2x −12x +1，若存在实数a ，b 同时满足g(a)+g(b)＝0和f(a)+f(b)＝0，则实数t 的取值范围是________． 【答案】 [1, +∞) 【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】先求出g(a)+g(b)＝0满足的条件，然后利用常见函数的性质即可得到结论． 【解答】若g(a)+g(b)＝0，则 2a −12a +1+2b −12b +1=(2a −1)(2b +1)+(2a +1)(2b −1)(2a +1)(2b +1)=0，整理得2a+b+1＝2，即a +b +1＝1，则a+b＝0，即b＝−a，∴f(a)+f(b)＝0等价为f(a)+f(−a)＝0有解，即9a−t⋅3a+9−a−t⋅3−a＝0，则t=32a+3−2a3a+3−a =(3a+3−a)−23a+3−a，设m＝3a+3−a，则m≥2，则t＝m−2m，在m≥2时，单调递增，即t≥2−1＝1，∴要使t=32a+3−2a3+3有解，则t≥1，四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知y＝2x，x∈[2, 4]的值域为集合A，y＝log2[−x2+(m+3)x−2(m+1)]定义域为集合B，其中m≠1．(Ⅰ)当m＝4，求A∩B；(Ⅱ)设全集为R，若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【答案】（1）∵y＝2x，x∈[2, 4]的值域为A＝[4, 16]，当m＝4，由−x2+7x−10>0，解得B＝(2, 5)，∴A∩B＝[4, 5)．（2）若m>1，则∁R B＝{x|x≤2或x≥m+1}∴m+1≤4，∴1<m≤3若m<1，则∁R B＝{x|x≤m+1或x≥2}，此时A⊆∁R B成立．综上所述，实数m的取值范围为(−∞, 1)∪(1, 3)．【考点】对数函数的定义域交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）欲求A∩B，先分别求出集合A，B，再求它们的交集即可；（2）由题目中条件：“A⊆∁R B，”得集合A是∁R B＝{x|x≤2或x≥m+1}的子集，结合端点处的不等关系，可得m的取值范围．【解答】（1）∵y＝2x，x∈[2, 4]的值域为A＝[4, 16]，当m＝4，由−x2+7x−10>0，解得B＝(2, 5)，∴A∩B＝[4, 5)．（2）若m>1，则∁R B＝{x|x≤2或x≥m+1}∴m+1≤4，∴1<m≤3若m<1，则∁R B＝{x|x≤m+1或x≥2}，此时A⊆∁R B成立．综上所述，实数m的取值范围为(−∞, 1)∪(1, 3)．已知函数f(x)=x−1x（1）讨论并证明函数f(x)）在区间(0, +∞)的单调性；（2）若对任意的x∈[1, +∞)，f(mx)+mf(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．【答案】函数f(x)在(0, +∞)上单调增．证明：任取0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)＝(x1−1x1)−(x2−1x2)＝(x1−x2)(1+1x1x2)，∵0<x1<x2，∴x1−x2<0，x1x2>0∴(x1−x2)(1+1x1x2)<0∴f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(0, +∞)上单调增；原不等式等价于2mx−1mx −mx<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，整理得，2mx2−m−1m<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立若m>0，则左边对应的函数，开口向上，故x∈[1, +∞)时，必有大于0的函数值，∴m<0，且2m−m−1m<0，∴m<0，且m2−1m<0，∴m<−1．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）利用单调性的定义，根据步骤：取值，作差，变形，定号下结论，即可得到结论；（2）原不等式等价于2mx−1mx −mx<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，等价于2mx2−m−1m <0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，从而可得m<0，且2m−m−1m<0，进而可求实数m的取值范围．【解答】函数f(x)在(0, +∞)上单调增．证明：任取0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)＝(x1−1x1)−(x2−1x2)＝(x1−x2)(1+1x1x2)，∵0<x1<x2，∴x1−x2<0，x1x2>0∴(x1−x2)(1+1x1x2)<0∴f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(0, +∞)上单调增；原不等式等价于2mx−1mx −mx<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立，整理得，2mx2−m−1m<0对任意的x∈[1, +∞)恒成立若m>0，则左边对应的函数，开口向上，故x∈[1, +∞)时，必有大于0的函数值，∴m<0，且2m−m−1m<0，∴m<0，且m2−1m<0，∴m<−1．已知函数f(x)=log2019(3+x)−log12019(3−x)．（1）判断f(x)的奇偶性并加以证明；（2）判断f(x)的单调性（不需要证明）；（3）解关于m的不等式f(m)−f(m+1)<0．【答案】函数的定义域为(−3, 3)，∵f(−x)＝log2019(3+x)(3−x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，f(x)＝log2019(3+x)(3−x)在(−3, 0)上单调递增，(0, 3)上单调递减∵f(m)−f(m+1)<0，∴f(m)<f(m+1)，∴{−3<m<3−3<m+1<3 |m|>|m+1|，解可得，−3<m<−12，故不等式的解集为(−3, −12)．【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】利用对数的运算性质进行化简可得f(x)＝log2019(3+x)(3−x)，（1）求出函数的定义域为(−3, 3)，然后检验f(−x)与f(x)的关系即可判断；（2）结合二次函数及复合函数的性质即可判断；（3）结合（1）（2）的奇偶性及单调性即可求解不等式．【解答】函数的定义域为(−3, 3)，∵f(−x)＝log2019(3+x)(3−x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，f(x)＝log2019(3+x)(3−x)在(−3, 0)上单调递增，(0, 3)上单调递减∵f(m)−f(m+1)<0，∴f(m)<f(m+1)，∴{−3<m<3−3<m+1<3 |m|>|m+1|，解可得，−3<m <−12， 故不等式的解集为(−3, −12)．已知二次函数f(x)＝mx 2−2x −3，关于实数x 的不等式f(x)≤0的解集为[−1, n]． （1）当a ≥0时，解关于x 的不等式：ax 2+n +1>(m +1)x +2ax ；（2）是否存在实数a ∈(0, 1)，使得关于x 的函数y ＝f(a x )−3a x+1(x ∈[1, 2])的最小值为−92？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由． 【答案】由不等式mx 2−2x −3≤0的解集为[−1, n]知关于x 的方程mx 2−2x −3＝0的两根为−1和n ，且m >0 由根与系数关系，得{−1+n =2m−1×n =−3m ，∴ {m =1n =3 ， 所以原不等式化为(x −2)(ax −2)>0，①当a ＝0时，原不等式解集为{x|x <2}；②当0<a <1时，原不等式化为(x −2)(x −2a )>0，且2<2a ，解得x >2a 或x <2； ③当a ＝1时，原不等式化为(x −2)2>0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a >1时，原不等式化为(x −2)(x −2a )>0，且2>2a ，解得x <2a 或x >2； 综上所述a ＝0时，原不等式解集为{x|x <2}；当0<a ≤1时，原不等式的解集为{x|x >2a 或x <2}； 当1<a <2时，原不等式的解集为{x|x >2或x <2a }． 假设存在满足条件的实数a ， 由（1）得：m ＝1， ∴ f(x)＝x 2−2x −3， ∴ y ＝f(a x )−3a x+1 ＝a 2x −2a x −3−3a x+1 ＝(a x )2−(3a +2)a x −3， 令a x ＝t ，(a 2≤t ≤a)， 则y ＝t 2−(3a +2)t −3 ∴ 对称轴为：t =3a+22，又0<a <1， ∴ a 2<a <1，1<3a+22<52，∴ 函数y ＝t 2−(3a +2)t −3在[a 2, a]递减， ∴ t ＝a 时，y 最小为：y ＝−2a 2−2a −3=−92， 解得：a =−32（舍）或a =12，【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】（1）根据韦达定理得方程组求出m ，n 的值，再通过讨论a 的范围，从而求出不等式的解集；（2）把m ＝1代入方程，得出y ＝(a x )2−(3a +2)a x −3，令a x ＝t ，(a 2≤t ≤a)，则y ＝t 2−(3a +2)t −3，得出函数的单调性，从而表示出y ＝f(t)的最小值，进而求出a 的值． 【解答】由不等式mx 2−2x −3≤0的解集为[−1, n]知关于x 的方程mx 2−2x −3＝0的两根为−1和n ，且m >0 由根与系数关系，得{−1+n =2m−1×n =−3m ，∴ {m =1n =3 ， 所以原不等式化为(x −2)(ax −2)>0，①当a ＝0时，原不等式解集为{x|x <2}；②当0<a <1时，原不等式化为(x −2)(x −2a )>0，且2<2a ，解得x >2a 或x <2； ③当a ＝1时，原不等式化为(x −2)2>0，解得x ∈R 且x ≠2；④当a >1时，原不等式化为(x −2)(x −2a )>0，且2>2a ，解得x <2a 或x >2； 综上所述a ＝0时，原不等式解集为{x|x <2}；当0<a ≤1时，原不等式的解集为{x|x >2a 或x <2}； 当1<a <2时，原不等式的解集为{x|x >2或x <2a }． 假设存在满足条件的实数a ， 由（1）得：m ＝1， ∴ f(x)＝x 2−2x −3， ∴ y ＝f(a x )−3a x+1 ＝a 2x −2a x −3−3a x+1 ＝(a x )2−(3a +2)a x −3， 令a x ＝t ，(a 2≤t ≤a)， 则y ＝t 2−(3a +2)t −3 ∴ 对称轴为：t =3a+22，又0<a <1， ∴ a 2<a <1，1<3a+22<52，∴ 函数y ＝t 2−(3a +2)t −3在[a 2, a]递减， ∴ t ＝a 时，y 最小为：y ＝−2a 2−2a −3=−92， 解得：a =−32（舍）或a =12，某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m 2，三月底测得覆盖面积为36m 2，凤眼莲覆盖面积y （单位：m 2）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)与y =px 12+q(p >0)可供选择．(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (Ⅱ)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份． （参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771） 【答案】 本小题满分．（1）两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y ＝ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，而函数y =px 12+q(p >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．由题意可知，x ＝2时，y ＝24；x ＝3时，y ＝36，所以{ka 2=24ka 3=36解得{k =323a =32所以该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x (x ∈N ∗)．(2) x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2， 由323⋅(32)x >10×323得(32)x >10， 所以x >log 3210=lg101g 32=1lg3−lg2，因为1lg3−lg2=10.4770−0.3010≈5.7，所以x ≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份． 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】(Ⅰ)判断两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)的单调性，说明函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．然后列出方程组，求解即可． (Ⅱ)利用 x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，元旦放入凤眼莲面积是323m 2，列出不等式转化求解即可． 【解答】本小题满分．（1）两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y ＝ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，而函数y =px 12+q(p >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．由题意可知，x ＝2时，y ＝24；x ＝3时，y ＝36，所以{ka 2=24ka 3=36解得{k =323a =32所以该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x (x ∈N ∗)．(2) x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2， 由323⋅(32)x >10×323得(32)x >10， 所以x >log 3210=lg101g 32=1lg3−lg2，因为1lg3−lg2=10.4770−0.3010≈5.7，所以x ≥6，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．已知a ∈R ，函数f(x)=log 2(1x +a)．(1)当a =5时，解不等式f(x)>0；(2)若关于x 的方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a >0，若对任意t ∈[12, 1]，函数f(x)在区间[t, t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围． 【答案】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)， 由f(x)>0得log 2(1x +5)>0， 即1x +5>1，则1x >−4，则1x +4=4x+1x>0，则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}．(2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0， 得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]， 即1x +a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1， 若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−tt(t+1)， 设1−t =r ，则0≤r ≤12，1−t t(t+1)=r (1−r)(2−r)=rr 2−3r+2，当r =0时，rr 2−3r+2=0， 当0<r ≤12时，r r 2−3r+2=1r+2r−3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减， ∴ r +2r ≥12+4=92， ∴ r r −3r+2=1r+2r−3≤192−3=23，∴ 实数a 的取值范围是a ≥23． 【考点】指、对数不等式的解法 函数恒成立问题对数函数图象与性质的综合应用 【解析】（1）当a =5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f(t)−f(t +1)≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：(1)当a =5时，f(x)=log 2(1x +5)， 由f(x)>0得log 2(1x +5)>0， 即1x +5>1，则1x >−4，则1x +4=4x+1x>0，则x >0或x <−14，即不等式的解集为{x|x >0或x <−14}． (2)由f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0， 得log 2(1x +a)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0． 即log 2(1x +a)=log 2[(a −4)x +2a −5]， 即1x +a =(a −4)x +2a −5>0，①则(a −4)x 2+(a −5)x −1=0， 即(x +1)[(a −4)x −1]=0，②当a =4时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a =3时，方程②的解为x =−1，代入①，成立， 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x =−1或x =1a−4， 若x =−1是方程①的解，则1x +a =a −1>0，即a >1， 若x =1a−4是方程①的解，则1x +a =2a −4>0，即a >2，则要使方程①有且仅有一个解，则1<a ≤2．综上，若方程f(x)−log 2[(a −4)x +2a −5]=0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1<a ≤2，或a =3或a =4． (3)函数f(x)在区间[t, t +1]上单调递减， 由题意得f(t)−f(t +1)≤1， 即log 2(1t +a)−log 2(1t+1+a)≤1，即1t +a ≤2(1t+1+a)，即a ≥1t −2t+1=1−tt(t+1)， 设1−t =r ，则0≤r ≤12， 1−tt(t+1)=r(1−r)(2−r)=r r 2−3r+2， 当r =0时，rr 2−3r+2=0，当0<r ≤12时，r r 2−3r+2=1r+2r−3，∵ y =r +2r 在(0, √2)上递减， ∴ r +2r ≥12+4=92， ∴ r r 2−3r+2=1r+2r−3≤192−3=23，∴ 实数a 的取值范围是a ≥23．。
福建省厦门市厦门第一中学2023届数学高一上期末综合测试试题含解析
解，得到答案
【详解】由题意，函数 f x ln 1 x2 x 1，
f
lg2
f
lg
1 2
ln
1 (lg2)2 lg2
ln
1
(lg
1)2 2
lg
1 2
2
ln 1 (lg2)2 lg2 ln 1 (lg2)2 lg2 2 ln1 2 2
故选 C 【点睛】本题主要考查了函数值的求法，函数性质等基础知识的应用，其中熟记对数的运算性质是解答的关键，着重
A.1
B. 1
C. 3 2
D.
1 2
8．已知命题 p：x 为自然数，命题 q：x 为整数，则 p 是 q 的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9．已知函数 f x ln
1 x2 x
1，则1 2
A.1
B. lg2
C.2 10．已知函数
D.0
，则
（）
A.5
B.2
C.0
D.1
11．下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是
A. y x 1
B. y tan x
C. y x3
D. y 2 x
12．已知向量 a (1, 2) ， b (x,3y 5) ，且 a / /b ，若 x ， y 均为正数，则 xy 的最大值是
故 D 正确. 故选：D. 2、C 【解析】由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求 【详解】∵由已知可得 r 12 22 22 3 ，
而|AB| (1 2)2 (2 2)2 (2 1)2 3 2 ，
∴|AB| 2 r
福建省厦门市 2019-2020学年高一上学期期末质量检测(数学)含答案
16.偶函数 满足 ，在 时， ．若存在 ， ，… ，满足 ，且 ，则 最小值为__________．
2019-2020学年度厦门市第一学期高一年级质量检测数学试题
满分为150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将白己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题下对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
22.设 是定义在 上的函数，若存在 ，使得 在 单调递增，在 上单调递减，则称 为 上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为： ．
（1）判断下列函数中，哪些是“ 上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因； ；
（2）若函数 是 上的单峰函数，求实数的取值范围；
（3）若函数 是区间 上的单峰函数，证明：对于任意的 ，若 ，则 为含峰区间；若 ，则 为含峰区间；试问当 满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．
19. 是边长为 等边三角形， , ,过点作 交 边于点，交 的延长线于点．
（1）当 时，设 ，用向量 表示 ；
（2）当为何值时， 取得最大值，并求出最大值．
20.如图，已知单位圆（圆心在坐标原点）上一点， ，作 轴于 ， 轴于 ．
（1）比较 与 的大小，并说明理由；
（2） 的两边交矩形 的边于，两点，且 ，求 的取值范围．
2019-2020学年福建省高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年福建省高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 给出下列四个关系式：①√3∈R ；②Z ∈Q ；③0∈⌀；④⌀⊆{0}.其中正确的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 已知全集U ={−2,−1,0，1，2}，A ={y|y =|x|,x ∈U}，则∁U A =( )A. {0,1，2}B. {−2,−1,0}C. {−1,−2}D. {1,2} 3. 已知函数f (x )={3x −1,x ≤11+log 2x,x >1，则函数f(x)的零点为( ) A. 12，0B. −2，0C. 12D. 0 4. 函数f(x)=11−2x +lg(1+3x)的定义域是( ) A. (−∞ ,−13)B. (−13 ,12)∪(12,+∞)C. (12,+∞)D. (13 ,12)∪(12,+∞) 5. 已知f(x)=，则f[f(−3)]等于( ) A. 0B. πC. π2D. 9 6. 下列函数中，在(−∞,0)上单调递减的是( ) A. y =x x+1B. y =1−xC. y =x 2+xD. y =1−x 2 7. 已知x =log 52，y =log 2√5，z =3−12，则下列关系正确的是( ) A. x <z <yB. x <y <zC. z <x <yD. z <y <x 8. 设函数f(x)满足：①y =f(x +1)是偶函数；②在[1,+∞)上为增函数，则f(−1)与f(2)大小关系是( ) A. f(−1)>f(2) B. f(−1)<f(2) C. f(−1)=f(2) D. 无法确定9. 函数f(x)=1+ln (x 2+2)的图象大致是( )A. B.C. D. 10. 若x 0是函数f(x)=log 2x −1x 的零点，则( )A. −1<x 0<0B. 0<x 0<1C. 1<x 0<2D. 2<x 0<411. 某地新能源汽车工厂2017年生产新能源汽车的年产量为260万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的产量都比上一年产量提高25％，那么该工厂到哪一年的产量才能首次超过800万辆(参考数据：lg1.25≈0.097，lg1.3≈0.11，lg4≈0.60)( )A. 2021年B. 2022年C. 2023年D. 2024年12. 已知函数f (X )={log 5(1−x )(x −1)−(x −2)2+2(x ≥1)，则关于x 的方程f (x +1x −2)=a ，当1<a <2时实根个数为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若幂函数y ﹦x a 的图象经过点(4,2)，则f(16)的值是___________．14. 已知集合A ={a,b}，B ={a,b ，c ，d ，e}，满足条件A ⊆M ⊆B 的集合M 的个数为______．15. 已知函数f(x)=12x +1−x ，则f(12)+f(−12)=__________，f(x)+f(1−2x)⩽1的解集为________． 16. 函数，若方程f(x)=a 恰有三个不同的解，记为x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|−3<2x +1<11}，B ={x|m −1≤x ≤2m +1}(1)当m =3时，求A ∩∁R B ；(2)若A ∪B =A ，求m 的取值范围．18. 求值：log 23⋅log 34+(log 224−log 26+6)23．19. 函数f(x)=(12x −1+12)x 3．(1)判断并证明f (x )的奇偶性；(2)求证：在定义域内f(x)恒为正．20.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5t2(万元)，(0<万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销售收入为R(t)=6t−12 t≤5)，其中t是产品售出的数量(单位：百台)．(说明：①利润=销售收入−成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润．)(1)把年利润y表示为年产量x(x>0)的函数；(2)当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？21.已知k∈R，函数f(x)=x−k(1)若f(f(x))=x−4，求实数k的值；(2)设函数g(x)=f(x)−√x+1，若g(x)≥0在区间[0,3]上恒成立，求实数k的取值范围．22.已知函数f(x)=(m−1)x2+x+1，(m∈R)．(1)函数ℎ(x)=f(tanx)−2在[0,π2)上有两个不同的零点，求m的取值范围；(2)当1<m<32时，f(cosx)的最大值为94，求f(x)的最小值；(3)函数g(x)=√2sin(x+π4)+m+1，对于任意x∈[−π2,0]，存在t∈[1,4]，使得g(x)≥f(t)，试求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查元素与集合、集合与集合之间的关系及集合的特点，是基础题．利用元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系，逐一判断即可．【解答】解：①，元素与集合之间应用符号“∈，∉”，故√3∈R，正确；②，集合与集合之间是包含关系，故Z∈Q，错误；③，空集中没有一个元素，{0}有一个元素0，故0∈⌀，错误；④，空集是任何非空集合的真子集，故⌀⊆{0}，正确；其中正确的个数是2．故选B．2.答案：C解析：解：A={0,1，2}；∴∁U A={−2,−1}．故选：C．可求出集合A，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及补集的运算．3.答案：D解析：【分析】本题考查了分段函数的应用，属于基础题．【解答】解：当x≤1时，3x−1=0；解得，x=0；(舍去)；当x>1时，1+log2x=0，解得，x=12故函数f(x)的零点为0；故选D．4.答案：B解析：【分析】本题考查函数的定义域．由函数解析式有意义，得不等式组，求解．【解答】解：∵函数为f(x)=11−2x +lg(1+3x)，∴{1−2x ≠01+3x >0， ∴x >−13且x ≠12， ∴函数的定义域为(−13 ,12)∪(12,+∞)．故选B ． 5.答案：B解析：∵−3<0∴f(−3)=0∴f[f(−3)]=f(0)=π故选：B6.答案：B解析：解：A 中，y ==1−1x+1在(−∞,−1)和(−1,+∞)上是增函数，∴不满足条件；B 中，y =1−x 在R 上是减函数，∴在(−∞,0)上单调递减，满足条件；C 中，y =x 2+x 在(−∞,−12)上是减函数，在(−12,+∞)上是增函数，∴不满足条件；D 中，y =1−x 2在(−∞,0)上是增函数，∴不满足条件；故选：B ．根据基本初等函数在某一区间上的单调性质，判定各选项中的函数是否满足条件．本题考查了基本初等函数在某一区间上的单调性问题，是基础题．7.答案：A解析：【分析·】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：x =log 52<log 5√5=12，y =log 2√5>1，z =3−12=√3∈(12,1)． ∴x <z <y ．故选：A ． 8.答案：A解析：【分析】本题重点考查学生对于函数性质的理解，属于中档题．【解答】由y =f(x +1)是偶函数，得到y =f(x)的图象关于直线x =1对称，∴f(−1)=f(3)，又f(x)在[1,+∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(−1)>f(2)，故选A ．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的图象，属于基础题.利用特殊点即可求解．【解答】解：因为f(0)=1+ln 2>0，即函数f(x)的图象过点(0,ln 2)，所以排除A 、B 、C ，故选D ．10.答案：C解析：【分析】利用函数的连续性，结合零点判定定理推出结果即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．【解答】解：f(x)=log 2x −1x ，函数在x >0时，是增函数，可得：f(1)=−1<0，f(2)=1−12>0，所以f(1)f(2)<0，∴函数的零点所在区间为：(1,2)．故选：C．11.答案：C解析：【分析】本题考查了函数模型的应用，考查了指数不等式和对数不等式，属于中档题．根据题意列出不等式，求解即可．【解答】解：设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过800万辆，根据题意，得260(1+25%)n>800，即1.25n>4013，两边取对数，得nlg1.25>lg4013，∴n>lg4−lg1.3lg1.25≈5.05，∴n=6，即2017+6=2023．∴该工厂到2023年的产量才能首次超过800万辆．故选：C．12.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的图象的作法及基本不等式的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题．【解答】解：由基本不等式可得，x+1x −2≥0或x+1x−2≤−4；作函数f(x)={log5(1−x)(x<1)−(x−2)2+2(x≥1)的图象如下，①当a>2时，x+1x −2<−24或0<x+1x−2<1，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为4；②当a=2时，x+1x −2=−24或0<x+1x−2<1或x+1x−2=2，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为6；③当1<a<2时，−24<x+1x −2<−4或0<x+1x−2<1或1<x+1x−2<2或2<x+1x−2<3，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为8；④当a=1时，x+1x −2=−4或0<x+1x−2<1或1=x+1x−2或x+1x−2=3，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为7；⑤当0<a<1时，−4<x+1x −2<0或3<x+1x−2<4，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为6；⑥当a=0时，x+1x −2=0或3<x+1x−2<4，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为3；⑦当a<0时，x+1x −2>3，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为2．故选B．13.答案：4解析：【分析】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．根据幂函数的图象过点(4,2)，求出f(x)的解析式，再计算f(16)的值．【解答】解：∵幂函数f(x)=x a的图象经过点(4,2)，∴4a=2，解得a=12，∴f(x)=√x，∴f(16)=√16=4．故答案为4．14.答案：8解析：【解答】解：∵A={a,b}，B={a,b，c，d，e}，A⊆M⊆B，∴M={a,b}，{a,b，c}，{a,b，d}，{a,b，e}，{a,b，c，d}，{a,b，c，e}，{a,b，d，e}，{a,b，c，d，e}，共8个，故答案为：8．【分析】列举出满足条件的集合M ，从而判断其个数即可．本题考查了集合的子集和真子集的定义，是一道基础题．15.答案：1，(−∞,1]解析：【分析】本题主要考查了函数值的求解，以及利用函数的增减性解不等式，得出f(x)+f(−x)=1，将不等式变形是解题的关键.利用f(x)+f(1−2x)≤f(x)+f(−x)以及函数单调性去掉函数f ，得到不等式求得解集．【解答】解：∵f (x )=12x +1−x ，∴f (x )+f (−x )=12x +1−x +12−x +1+x =12x +1+2x 1+2x =1， ∴f(12)+f(−12)=1．不等式f(x)+f(1−2x)≤1，即f(x)+f(1−2x)≤f(x)+f(−x)，∴f(1−2x)≤f(−x)，显然f(x)在定义域R 上是减函数，∴1−2x ≥−x ，解得：x ≤1，∴f(x)+f(1−2x)≤1的解集为(−∞,1]．故答案为1，(−∞,1]．16.答案：(5π3−1,5π3)解析：【分析】本题主要考查函数与方程的应用，难度一般．【解答】解：∵x 1,x 2,x 3是方程的三个不同的根，∴方程f(x)=a 有三个不同的解，∴1<a <2，设x 1<x 2<x 3，∵0<x <π，，，，结合图象可知：，∵1<2−x<2，∴−1<x<0，∴−1<x1<0，则x1+x2+x3∈(5π3−1,5π3)．故答案为(5π3−1,5π3)．17.答案：解：(1)由题意可知A={x|−2<x<5}，当m=3时，B={x|2≤x≤7}，∁R B={x|x<2或x>7}，∴A∩∁R B={x|−2<x<2}；(2)∵A∪B=A，∴B⊆A．①若B=⌀，则m−1>2m+1，即m<−2；②若B≠⌀，则{m−1≤2m+1m−1>−22m+1<5，即−1<m<2，综上，m的取值范围是m<−2或−1<m<2．解析：(1)当m=3时，求出B={x|2≤x≤7}，∁R B={x|x<2或x>7}，即可求A∩∁R B；(2)若A∪B=A，则B⊆A，分类讨论求m的取值范围..本题考查集合的运算，考查集合关系的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．18.答案：解：原式=lg3lg2×2lg2lg3+(log2246+6)23=2+823=2+23×23=6．解析：本题考查了对数的运算法则、指数幂的运算性质，属于基础题．利用对数的运算法则、指数幂的运算性质即可得出．19.答案：(1)解：判断得到f(x)是偶函数．证明：f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称，对于任意x ∈{x|x ≠0}，有f(−x)=(12−x −1+12)(−x )3=−(2x 1−2x +12)x 3=(2x −1+12x −1−12)x 3=(12x −1+12)x 3=f(x)， 所以f(x)是偶函数；(2)证明：当x >0时，2x −1>0且x 3>0，所以f(x)=(12x −1+12)x 3>0，又因为f(x)是偶函数，所以当x <0时，f(x)>0也成立， 综上，在定义域内f(x)恒为正．解析：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查恒成立问题的求解，考查转化思想，定义是研究函数基本性质的常用方法，要熟练掌握．(1)先求函数定义域，然后判断f(x)与f(−x)的关系，根据奇偶性的定义可作出判断；(2)先利用指数函数的性质证明x >0时f(x)>0，然后利用偶函数的性质证明x <0时f(x)>0．20.答案：解：(1)当0<x ≤5时，f(x)=6x −12x 2−0.5−2.5x =−12x 2+3.5x −0.5，当x >5时，f(x)=6×5−12×52−0.5−2.5x =17−2.5x ，即f(x)={−0.5x 2+3.5x −0.5(0<x ≤5)17−2.5x(x >5), (2)当0<x ≤5时，f(x)=−12(x 2−7x +1)=−12(x −72)2+458， ∴当x =3.5∈(0,5]时，f(x)max =458=5.625，当x >5时，f(x)为(5,+∞)上的减函数，f(x)<f(5)=17−2.5×5=4.5．又5.625>4.5，∴f(x)max =f(3.5)=5.625．故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大．解析：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用二次函数性质求最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)利润函数y =销售收入函数R(x)−成本函数，讨论x 的大小，利用分段函数表示出年利润y 表示为年产量x(x >0)的函数；(2)由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x 的值，比较两段的最大值即可求出所求．21.答案：解：(1)∵f(x)=x −k ，∴f(f(x))=f(x −k)=x −k −k =x −2k =x −4 ，∴2k =4 ，∴k =2；(2)由题得g(x)=f(x)−√x +1=x −k −√x +1，∵g(x)⩾0在区间[0,3]恒成立 ，∴x −k −√x +1⩾0在区间[0,3]恒成立，∴k ⩽x −√x +1在区间[0,3]恒成立，即k ⩽(x −√x +1)min ，令t =√x +1∈[1,2] ，则x =t 2−1，∴ℎ(t)=t 2−1−t =(t −12)2−54，∴ℎ(t)在区间[1,2]上为单调增函数，所以ℎ(t)的最小值为ℎ(1)=−1，∴k ≤−1，∴实数k 的取值范围k ≤−1．解析：本题考查函数的解析式求法，以及不等式恒成立问题，属于中档题．(1)将f(x)=x −k 中x 换成x −k ，即可得到f(f(x))=x −k −k =x −4，求出k ；(2)将不等式恒成立问题转化为求函数的最值．22.答案：解：(1)ℎ(x)=f(tanx)−2=(m −1)tan 2x +tanx −1，∵x ∈[0,π2)，tanx ∈[0,+∞)，令tanx =t ∈[0,+∞)， 则(m −1)t 2+t −1=0在[0,+∞)上有2个不同的实数根，于是{▵=1+4(m −1)>0t 1t 2=−1m−1≥0t 1+t 2=−1m−1>0，解得：34<m <1； 所以m 的范围为(34,1);(2)f(x)=(m −1)x 2+x +1，f(cosx)=(m −1)[cosx +12(m−1)]2+1−14(m−1)，∵1<m <32，∴0<2(m −1)<1，12(m−1)>1，−12(m−1)<−1，∴当cosx =1时，即x =2kπ，k ∈Z 时取最大值，f(cosx)max =f(1)=m +1=94，∴m =54， ∴f(x)=14x 2+x +1，∴f(x)min =0；(3)由题意得：g(x)min ≥f(t)有解，∵−π2≤x ≤0，−π4≤x +π4≤π4，∴−√22≤sin(x +π4)≤√22， ∴m ≤√2sin(x +π4)+m +1≤m +2，故g(x)min =m ，而f(t)=(m −1)t 2+t +1，t ∈[1,4]，由题意(m −1)t 2+t +1≤m 有解，当t =1时，不等式不成立，当t ∈(1,4]时，m ≤t 2−t−1t 2−1=1−t t 2−1， 令ℎ(t)=1−t t 2−1=1−1t−1t ，ℎ(t)在(1,4]递增， 故ℎ(t)max =ℎ(4)=1115，故m ≤1115，综上，m 的范围是(−∞,1115].解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道综合题．(1)通过换元法以及二次函数的性质求出m的范围即可；(2)求出f(cosx)的解析式，根据函数的单调性求出f(cosx)的最大值，得到关于m的方程，求出m的值，从而求出函数的解析式，求出函数的最小值即可；(3)问题转化为g(x)min≥f(t)有解，求出g(x)的最小值，再分离参数m，根据函数的单调性求出m 的范围即可．。
【20套试卷合集】福建省厦门第一中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：1．集合{}{}(,),0,(,),M x y x R y N x y x R y x =∈>=∈=,则下列关系正确的是( ) A ．M NB ．N MC ．MN =D ．M 与N 之间无包含关系2．函数y =的定义域为( ) A ．(0,2) B ．(0,1)(1,2)⋃ C ．(0,2]D ．(0,1)(1,2]⋃3．设222,2()log (1),2x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则((5))f f =( )A ．1-B ．1C ．－2D ．24．函数2()21log f x x x =-+的零点所在区间是( )A ．11(,)84B ．11(,)42C ．1(,1)2D ．(1,2)5．已知函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，则此函数的单调递增区间是( )A ．(,3)-∞-B ．(1,)(,3)+∞⋃-∞-C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞6．33()35,()log (5)x f x g x x =+=-，则(())y f g x =是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数7．9831log ,log 24a b c ===，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．b c a >>8．已知函数2()log ()a f x ax x =-在区间[]2,4上是增函数，，则a 的取值范围是( )A ．1(,1)(1,)2⋃+∞ B ．(1,)+∞ C ．1(,1)4D ．1(0,)8二、填空题：9．已知集合{}{}2,,3,M x x t t R N x x t t R ==∈==-∈，则M N ⋂=__________．10．设{}{}25,121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-，若A B B ⋂=,则实数m 的取值范围是__________． 11．若方程0,(0xa x a a --=>且1)a ≠有两个实数根，则a 的取值范围是_______．12．已知函数2()21(0)f x kx kx k =++≠在[]3,2-上有最大值4，则实数k 的值是__________．13．已知函数()f x 满足：()()(),(1)2f a b f a f b f +=⋅=，则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(2010)(4020)(1)(3)(5)(4019)f f f f f f f f f f f f ++++++++=__________．14．已知函数()f x 在[)0,+∞上是增函数，()()g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，则x 的取值范围是________________． 三、解答题：15．已知集合{}{}22120,0A x x ax B x x bx c =+-==++=，且{}{},3,3,4A B A B A B ≠⋂=-⋃=- 求实数,,a b c 的值．16．已知关于x 的方程2212940x x aa ---+=有一个根是2．(1)求实数a 的值； (2)若01a <<，求不等式2212940x x a a ---+<的解集．17．已知2()(),(01x xa f x a a a a -=->-且1)a ≠ (1)判断函数()f x 的奇偶性并证明；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(3)当[]1,1x ∈-时，()f x b ≥恒成立，求b 的取值范围．18．已知()2log f x =(1)求)(x f 的解析式； (2)求()y f x =的单调区间； (3)比较(1)f x +与)(x f 的大小．19．已知函数4()log (41)()xf x kx k R =++∈是偶函数．(1)求实数k 的值；(2)证明：对任意实数b ，函数()y f x =的图象与直线 (3)有且只有一个解，求实数a 的取值范围．2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
福建省厦门市第一中学2020-2021学年高一上学期月考数学试题
福建省厦门市第一中学2020-2021学年高一上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}2,1,0,1,2M =--，211,R 2N y y x x ⎧⎫==-+∈⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}1,2D ．{}22．已知幂函数f(x)的图像经过点(9，3)，则f(2)－f(1)＝( )A ．3B ．1C －1D ．13．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．()2xf x =B ．3()f x x =C ．()1f x x=D ．()f x x x =-4．函数()21log f x x x=-+的一个零点落在下列哪个区间（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）5．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-B ．7-C ．5D ．76．已知 5.10.9m =，0.90.95.1,log 5.1n p ==，则这三个数的大小关系是( )A ．m<n<pB ．m<p<nC ．p<m<nD ．p<n<m7．已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >，若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()()()2log ,02,0x x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为（ ） A ．()2,+∞ B ．(),0-∞ C ．（0，2）D ．()(),02,-∞+∞9．一元二次方程2510x x m -+-=的两根均大于2，则实数m 的取值范围是（ ）A ．21,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(,5)-∞-C ．21,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．21,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．已知函数()()3log 1f x ax =-，若()f x 在(],2-∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．(),0-∞11．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）A ．(][),12,-∞+∞B ．[]1,2C ．()1,2D ．(],1-∞二、多选题12．（多选题）已知函数()()2220f x x x x =++<与()()2ln g x x x a =++（a R ∈且0a >）的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值可以是下列数据中的（ ）A ．21eB ．1eC ．eD ．3e三、填空题13．设集合{}1,2,4A =，{}2|40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =__________．14．计算：3112log 2221log 6log 334⎛⎫--+= ⎪⎝⎭______ 15．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－211x +，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________.16．已知函数()22log 1a a f x x x x =-+-在31,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒小于零，则实数a 的取值范围是_________.四、解答题17．已知()1ln 33x M x f x ⎧⎫⎛⎫==-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，{}12N x a x a =<<-（1）求M ；（2）若M N M ⋂=，求实数a 的取值范围18．已知函数()113xf x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）若0a =，画出函数()f x 的图象，并指出函数的单调区间； （2）讨论函数()f x 的零点个数. 19．已知函数()21log 1f x x =+． （1）用定义法证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式()f x x m <+恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知二次函数()g x 对一切实数x ∈R ，都有()()11g x g x -=+成立，且()10g =，()01g =，()()()1,h x g x bx c b c R =+++∈.（1）求()g x 的解析式；（2）记函数()h x 在[]1,1-上的最大值为M ，最小值为m ，若4M m -≤，当0b >时，求b 的最大值.21．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是:当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立．） （1）判断函数() 1030x f x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．（参考结论：函数()()0af x x a x=+>的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为()、(） 22．设函数()()()212,xxk f x k x R k Z -=+-⋅∈∈.（1）若()k f x 是偶函数，求k 的值；（2）若存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立，求实数m 的取值范围； （3）设函数()()()0224g x f x f x λ=-+，若()g x 在[)1,x ∈+∞有零点，求实数λ的取值范围.参考答案1．A 【分析】求出二次函数2112y x =-+的值域即为集合N ，两集合取交集即可. 【详解】{}2,1,0,1,2M =--，{}211,R 12N y y x x y y ⎧⎫==-+∈=≤⎨⎬⎩⎭，M N ∴⋂={}2,1,0,1--.故选：A 【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及二次函数的值域，属于基础题. 2．C 【解析】设幂函数为f(x)＝x α，由f(9)＝9α＝3，即32α＝3，可得2α＝1，α＝12.所以f(x)＝12x故f(2)－f(1)－1. 3．D 【分析】根据基本初等函数的基本性质判断各选项中函数的单调性与奇偶性，即可得出合乎题意的选项. 【详解】对于A 选项，函数()2xf x =是非奇非偶函数且为增函数；对于B 选项，函数()3f x x =是奇函数且为增函数；对于C 选项，函数()1f x x=是奇函数，且在区间(),0-∞和()0,∞+上都是减函数，但在定义域()(),00,-∞⋃+∞上不单调；对于D 选项，函数()f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，且()()()f x x x x x f x -=--⋅-==-，此函数为奇函数，()22,0,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，所以，函数()f x x x =-在区间(),0-∞和[)0,+∞上都是减函数，且在R 上连续，则函数()f x x x =-在R 上为减函数. 故选D. 【点睛】本题考查基本初等函数的奇偶性和单调性，熟悉一些常见的基本初等函数的基本性质是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 4．B 【分析】求出()1f 、()2f ，由()()120f f ⋅<及零点存在定理即可判断. 【详解】()21log 111f =-+=-，()2112log 222f =-+=，()()120f f ∴⋅<，则函数的一个零点落在区间()1,2上.故选：B 【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题. 5．A 【解析】()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A.6．C 【分析】利用指数函数与对数函数的性质即可比较大小. 【详解】设函数f （x ）=0.9x ，g （x ）=5.1x ，h （x ）=log 0.9x 则f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，h （x ）单调递减 ∴0＜f （5.1）=0.95.1＜0.90=1，即0＜m ＜1 g （0.9）=5.10.9＞5.10=1，即n ＞1h （5.1）=log 0.95.1＜log 0.91=0，即p ＜0 ∴p ＜m ＜n 故选C ． 【点睛】本题考查对数值比较大小，可先从范围上比较大小，当从范围上不能比较大小时，可借助函数的单调性数形结合比较大小．属基础题 7．A 【分析】根据题意，易得()()0x a x b --=的两根为a 、b ，又由函数零点与方程的根的关系，可得()()()f x x a x b =--的零点就是a 、b ，观察()()()f x x a x b =--的图象，可得其与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(,1)-∞-与(0,1)上，又由a b >，可得1b <-，01a <<；根据函数图象变化的规律可得()xg x a b =+的单调性及与y 轴交点的位置，分析选项可得答案. 【详解】解：由二次方程的解法易得()()0x a x b --=的两根为a 、b ；根据函数零点与方程的根的关系，可得()()()f x x a x b =--的零点就是a 、b ，即函数图象与x 轴交点的横坐标；观察()()()f x x a x b =--的图象，可得其与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(,1)-∞-与(0,1)上，又由a b >，可得1b <-，01a <<；在函数()xg x a b =+可得，由01a <<可得其是减函数， 又由1b <-可得其与y 轴交点在x 轴的下方； 分析选项可得A 符合这两点，BCD 均不满足； 故选：A . 【点睛】本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a 、b 的范围.8．D 【分析】当0x >时求解不等式2log 1x >，当0x ≤时求解不等式21x，两段的x 的范围取并集即可. 【详解】当0x >时，不等式()1f x >为2log 1x >，解得2x >； 当0x ≤时，不等式()1f x >为21x，解得0x <.综上所述，()1f x >的解集为()(),02,-∞+∞.故选：D 【点睛】本题考查分段函数不等式，涉及对数不等式、指数不等式，属于基础题. 9．C 【分析】根据条件需满足0∆≥，(2)0f >，对称轴522x =>即可求出m 的取值范围. 【详解】关于x 的一元二次方程2510x x m -+-=的两根均大于2，则Δ25440(2)41010522m f m ⎧⎪=-+≥⎪=-+->⎨⎪⎪>⎩, 解得2154m -<-. 故选C. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题. 10．B 【分析】利用复合函数法可得知内层函数1u ax =-在(],2-∞上为减函数，且10u ax =-≥在(],2-∞上恒成立，由此列出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】函数()()3log 1f x ax =-的内层函数为1u ax =-，外层函数为3log y u =，由于函数()()3log 1f x ax =-在(],2-∞上为减函数，且外层函数3log y u =为增函数， 则内层函数1u ax =-在(],2-∞上为减函数，0a ∴-<，得0a >， 且10u ax =->在(],2-∞上恒成立，则min 120u a =->，解得12a <. 因此，实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选B. 【点睛】本题考查复合型对数函数的单调性问题，在利用复合函数法判断内层函数和外层函数的单调性时，还应注意真数在定义域上要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x-⋅≥，可得出()()232f xx f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x-⋅≥，可得()()232f xx f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．ABC 【分析】根据题意得出()()g x f x -=，可得出22x a e x +=+，于是将问题转化为实数a 的取值范围即为函数()22x h x ex +=+在(),0-∞上的值域，并利用单调性求出函数()y h x =在(),0-∞上的值域，可得出实数a 的取值范围，由此可得出正确选项. 【详解】由题意可得()()g x f x -=，则()()22ln 22x a x x x -+-=++，得()ln 22a x x -=+，22x a e x +∴=+，构造函数()22x h x ex +=+，则实数a 的取值范围即为函数()22x h x e x +=+在(),0-∞上的值域，由于函数()22x h x e x +=+在(),0-∞上单调递增，所以，()()20h x h e <=，2a e ∴<.又0a >，20a e ∴<<，因此，符合条件的选项有A 、B 、C.故选ABC. 【点睛】本题考查函数方程的应用，解题的关键就是将问题转化为函数的零点问题，另外就是利用参变量分离法将参数的取值范围转化为函数的值域问题，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 13．{}1,3 【解析】因为{}1A B ⋂=，所以1x =为方程240x x m -+=的解，则140m -+=，解得3m =，所以2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，集合{}1,3B =． 14．1 【分析】根据指数运算律、对数运算律直接计算. 【详解】原式22111log 3log 3122=+--+=. 故答案为：1 【点睛】本题考查指数、对数的运算律，属于基础题. 15．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】判断()f x 的奇偶性和单调性，据此等价转化不等式，则问题得解. 【详解】由f (x )＝ln(1＋|x |)－211x+()()()21ln 11x f x x =+--=-+-， 且其定义域为R ，故f (x )为R 上的偶函数， 于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|). 当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－211x+， ()21ln 1,1y x y x =+=-+在[)0,+∞均是单调增函数， 所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数， 则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|， 两边平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1. 故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及利用函数性质解不等式，属综合基础题.16．1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由题意得出()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，然后对底数a 分1a >和01a <<两种情况讨论，结合图象找出关键点得出关于a 的不等式（组）求解，可得出实数a 的取值范围.【详解】()()()()2222log 2log log 11log 11aa a a a f x x x x x a x x x x =-+=-+--=----， 则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1a >时，312x <<，则1012x <-<，此时()1log 1log log 102a a a x -<<=，则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不成立； 当01a <<时，如下图所示：由图象可知，若不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则20113log 122a a <<⎧⎪⎨⎛⎫≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1116a ≤<. 因此，实数a 的取值范围是1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查对数不等式恒成立问题，解题时要注意对底数的取值范围进行分类讨论，并利用数形结合思想得出一些关键点列不等式（组）求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 17．（1）{}12M x x =-<≤；（2）(],1-∞-. 【分析】（1）根据被开方数非负、对数型函数的定义域列出不等式组求解x ，x 的取值集合即为集合M ；（2）由两集合交集的结果可得M N ⊆，即可做出数轴求满足条件的a 的取值范围. 【详解】（1）2603211303x x x x x ⎧--+≥-≤≤⎧⎪⇒⎨⎨>-->⎩⎪⎩，解得12x -<≤， 所以{}12M x x =-<≤； （2）M N M ⋂=，M N ∴⊆，1211122a aa a a <-⎧⎪∴≤-⇒≤-⎨⎪->⎩，即a 的取值范围为(),1-∞-. 【点睛】本题考查函数的定义域、集合的基本运算、根据集合的包含关系求参数的范围，属于基础题. 18．（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）当0a =时作出函数()f x 的图像，并根据函数图像写出函数的单调区间；（2）原问题可转化为讨论函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数y a =的交点个数.【详解】（1）若0a =，则()113xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出函数图像如图所示：函数()f x 的单调增区间为()0,∞+，单调减区间为(),0-∞；（2）函数()113x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点个数即为方程113xa ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的解的个数，也即函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数y a =的交点个数，如图所示，当0a <时，函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数y a =没有交点，即()f x 有0个零点；当0a =时，函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数y a =有1个交点，即()f x 有1个零点；当01a <<时，函数113x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数y a =有2个交点，即()f x 有2个零点；当1a ≥时，函数113xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与函数y a =有1个交点，即()f x 有1个零点.综上所述，当0a <时()f x 有0个零点；当0a =或1a ≥时，()f x 有1个零点；当01a <<时()f x 有2个零点. 【点睛】本题考查函数的图像与性质、利用两函数图像的交点个数判断函数的零点个数，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2）()5,-+∞． 【分析】（1）设121x x >>，利用对数的运算性质以及对数函数的单调性可得出()()12f x f x <，从而得出函数()y f x =在()1+∞，上为减函数； （2）由参变量分离法得出21log 1m x x >-+对任意的[]3,4x ∈上恒成立，然后构造函数()21log 1g x x x =-+，分析函数()y g x =在区间[]3,4上的单调性，求出该函数的最大值，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】（1）任取121x x >>，则()()212222121111log log log 111x f x f x x x x +-=-=+++， 121x x >>，则12112x x +>+>，211011x x +∴<<+，22211log log 101x x +∴<=+， 即()()12f x f x <，所以，函数()21log 1f x x =+在()1,+∞上为减函数； （2）对任意的[]3,4x ∈，()f x x m <+，即21log 1x m x <++，得21log 1m x x >-+. 构造函数()21log 1g x x x =-+，其中[]3,4x ∈，则函数()y g x =在区间[]3,4上为减函数， ∴函数()y g x =在区间[]3,4上的最大值为()()2max 13log 354g x g ==-=-，5m ∴>-.因此，实数m 的取值范围是()5,-+∞. 【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性，同时也考查了函数不等式恒成立问题，利用参变量分离法转化为函数的最值问题是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 20．（1）()()21g x x =-；（2）2.【分析】（1）由题意可得出二次函数()y g x =的对称轴为直线1x =，结合()10g =可得出该二次函数的顶点坐标为()1,0，可设()()21g x a x =-，再由()01g =求出实数a 的值，由此可得出函数()y g x =的解析式；（2）求出函数()y h x =的解析式()2h x x bx c =++，分析该二次函数图象的对称轴与区间[]1,1-的位置关系，分析函数()y h x =在区间[]1,1-上的单调性，求出M 和m ，然后解不等式4M m -≤，求出实数b 的取值范围，即可得出实数b 的最大值. 【详解】（1）对一切实数x ∈R ，都有()()11g x g x -=+成立，则二次函数()y g x =的对称轴为直线1x =，又()10g =，则二次函数()y g x =图象的顶点坐标为()1,0， 设()()21g x a x =-，则()01g a ==，因此，()()21g x x =-；（2）()()21h x g x bx c x bx c =+++=++，对称轴为直线2b x =-，0b >，则02b-<. 当12b-≤-时，即当2b ≥时，函数()y h x =在区间[]1,1-上单调递增， 则()11M h b c ==++，()11m h b c =-=-++，则24M m b -=≤，得2b ≤，此时2b =；当102b -<-<时，即当02b <<时，函数()y h x =在区间1,2b ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,12b ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，所以，224b b m f c ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，()11f b c =++，()11f b c -=-++，且()()11f f >-，()11M f b c ∴==++，则2144b M m b -=++≤，整理得24120b b +-≤，解得62b -≤≤，此时，02b <<.因此，02b <≤，则实数b 的最大值为2. 【点睛】本题考查二次函数解析式的求法，同时也考查了二次函数在定区间上最值的求法，当对称轴位置不确定时，需要分析对称轴与定义域的位置关系，结合单调性得出二次函数的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.21．（1）函数模型()1030xf x =+，不符合公司要求；详见解析；（2）[]1,2. 【分析】（1）研究函数()1030xf x =+的单调性与值域，验证该函数是否满足题中三个要求，即可得出结论；（2）先求出函数()y g x =的最大值()()max 1600405g x g a ==-，由40575a -≤求出实数a 的范围，在利用参变量分离法求出满足()5xg x ≤恒成立时实数a 的取值范围，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）对于函数模型()1030xf x =+， 当[]25,1600x ∈时，函数()y f x =是单调递增函数，则()()160075f x f ≤≤显然恒成立，若函数()5x f x ≤恒成立，即10305x x +≤，解得60x ≥，则()5xf x ≤不恒成立， 综上所述，函数模型()1030xf x =+，满足基本要求①②，但是不满足③， 故函数模型()1030xf x =+，不符合公司要求；（2）当[]25,1600x ∈时，()()51g x a =≥单调递增，∴函数()y g x =的最大值为()16005405g a ==-，由题意可得40575a -≤，解得2a ≤.设()55x g x =≤恒成立，2255x a x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭恒成立，即225225x a x ≤++， 对于函数2251252525x y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意可知，该函数在25x =处取得最小值， 即min 252522525y =+=，2224a ∴≤+=，1a ≥，12a ∴≤≤. 因此，实数a 的取值范围是[]1,2. 【点睛】本题考查函数模型的选择，本质上就是考查函数基本性质的应用，同时也考查了函数不等式恒成立问题，在求解含单参数的不等式恒成立问题，可充分利用参变量分离法转化为函数最值问题来求解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题. 22．（1）2k =；（2）54m ≤；（3）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）由()()k k f x f x -=代入即可求解k ；（2）由已知代入可得2422xxxm -⋅≤-+，分类可得()242242212x x x x xm ----+≤=⋅+-，换元后利用二次函数的性质可求；（3）结合已知，代入可求()g x ，然后结合()g x 在[)1x ∈+∞，有零点利用换元法，结合二次函数的性质可求. 【详解】（1）若()k f x 是偶函数，则()()k k f x f x -=，即()()212212xx x x k k --+-⋅=+-⋅，即()()()()221212122xx x x x x k k k ----=-⋅--⋅=--，则11k -=，即2k =；（2）存在]2[1x ∈，，使得()()014f mf x x +≤成立，即2422x x x m -≤-+， 则()242242212x x x x xm ----+≤=⋅+-， 设2x t -=，∵12x ≤≤， ∴1142t ≤≤， 设()22422141x x t t --⋅+-=+-，则()224125y t t t =+-=+-，∵ 1412t ≤≤，∴当12t =时，函数取得最大值152144y =+-=， 则54m ≤. （3）()022xxf x -=-，()222xxf x -=+， 则()()2222222222xxxx f x --=+=-+，则()()()()()2022422222x x x x g x f x f x λλ--=-+=---+，设22x x t -=-，当1≥x 时，函数22x x t -=-为增函数， 则13222t ≥-=， 若()g x 在[)1,x ∈+∞有零点， 即()()()222220222x x x x g x t t λλ--=---=+-=+在32t ≥上有解， 即22t t λ=-，即2t tλ=-， ∵2t t -在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭递增，∴341236λ≥-=， 即λ的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要综合考查了函数的性质及函数与方程思想的相互转化，培养了学生的逻辑思维能力，属于中档题.。
福建省厦门第一中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题
福建省厦门第一中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．x44415．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE V 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为.三、双空题16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫做图形C （注：不含AB 线段）．已知(1,0),(1,0)A B -，AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．①当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围为； ②已知平行四边形AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，则点M 的横坐标x 的取值范围为．四、解答题方案二：圆心O 1、O 2分别在CD 、AB 上，半径分别是O 1C 、O 2A ，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三： 沿对角线AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案四：锯一块小矩形BCEF 拼到矩形AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．(1)写出方案一中圆的半径；(2)通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？(3)在方案四中，设CE =x （0＜x ＜1），圆的半径为y ．①求y 关于x 的函数解析式；②当x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．21．已知：直角梯形OABC 中，BC ∥OA ，∠AOC =90°，以AB 为直径的圆M 交OC 于D ，E ，连结AD ，BD ，BE .(1)在不添加其他字母和线的前提下．．．．．．．．．．．．．．，直接．．写出图1中的两对相似三角形. (2)直角梯形OABC 中，以O 为坐标原点，A 在x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2）， 若抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点A ．B ．D ，且B 为抛物线的顶点.①求抛物线的解析式.②在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 作PN ⊥x 轴于N ，使得△P AN 与△OAD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.22．如图，在矩形ABCD 中，46AB AD E ==，，是AD 边上的一个动点，将四边形BCDE 沿直线BE 折叠，得到四边形BC D E ''，连接AC AD ''，.。
2019-2020学年福建省厦门市第二中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年福建省厦门市第二中学 高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}3,1,1,3=--M ，{}3,0,2,4=-N ，则=M N I （ ） A ．∅ B ．{}3-C ．{}3,3-D ．{}3,2,0,1,2--【答案】B【解析】根据交集的概念，即可得出结果. 【详解】因为集合{}3,1,1,3=--M ，{}3,0,2,4=-N ， 所以{}=3-I M N .故选：B 【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2．与角6π-终边相同的角是（ ） A ．3π B ．23π C ．56π D ．116π【答案】D【解析】由所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{|360,}S k k Z ββα==+⋅∈o 可得。
【详解】任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和，可得与角6π-终边相同的角是2,6k k Z πβπ=-+⋅∈，当1k =时，116πβ=，故选D 。
【点睛】本题考查任意角，是基础题。
3．函数()lg(1)f x x =+的定义域是（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2]-C ．(1,)-+∞D ．(,2]-∞【答案】B【解析】根据函数解析式，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】 由题意可得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得：12x -<≤.即函数()lg(1)f x x =+的定义域是(1,2]-.故选：B 【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.4．下列函数中，既是奇函数，在定义域内又是增函数的是（ ） A ．2()log f x x = B ．()1f x x =+C ．()lg f x x =D ．13()f x x =【答案】D【解析】根据函数奇偶性的概念，排除ABC ，再由幂函数的单调性，即可得出结果. 【详解】A 选项，函数2()log f x x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，因此函数2()log f x x =是非奇非偶函数，排除A ；B 选项，函数()1f x x =+的定义域为R ，但1(1)1-+≠-+≠+x x x ，因此函数()1f x x =+是非奇非偶函数，排除B ；C 选项，函数()lg f x x =的定义为()(),00,-∞⋃+∞，关于原点对称，又()lg lg ()-=-==f x x x f x ，所以函数()lg f x x =是偶函数，排除C ；D 选项，函数13()f x x =的定义域为R ，又1133()()()-=-=-=f x x x f x ，所以函数13()f x x =是奇函数，又103>，根据幂函数的性质，得到13()f x x =单调递增，满足题意；D 正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念，以及幂函数的单调性即可，属于常考题型.5．函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是 A ．（-2,-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）【解析】试题分析：()()()()2102220,1120,0020,1120f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+-Q()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上【考点】零点存在性定理6．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f (t )的图象如图所示，则杯子的形状是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有A 满足。