整式的乘法与因式分解复习教学设计

第14章整式的乘法与因式分解复习教学设计

知识与技能：记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则。

过程与方法： 会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式

情感态度与价值观： 培养学生的独立思考能力和合作交流意识 教学重点：记住公式与法则

教学难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解 教学过程

一、知识网络结构图

二、典型例题

整式的乘法

整

式的乘除与因式公解

幂的运算法则

同底数幂的乘法法则：a m ·a n ＝a m ＋

n (m ，n 都是正整数)

幂的乘方法则：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数) 积的乘方法则：(ab )n ＝a n b n (n 是正整数)

单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分

别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式

单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式

的每一项，再把所得的积相加

多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项

去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加

同底数幂的除法法则：a m ÷a n ＝a m －

n (a ≠0，m ，n 都是正整数且m ＞n )

零指数幂的意义：a 0＝1(a ≠0)

单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商

的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同 它的指数作为商的一个因式

多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把

所得的商相加

乘法公式

平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2

完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2

整式的除法

因式分解

概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这

个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式

方法

公式法

平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )

完全平方公式

a 2＋2a

b ＋b 2＝(a ＋b )2

a 2－2a

b ＋b 2＝(a －b )2

幂的运算法则及其逆运用

例1 计算2x 3

·(－3x )２

＝ ． 例2 计算[a 4

(a 4

－4a )－(－3a 5)2

÷(a 2)3

]÷(－2a 2)2

整式的混合运算

例3 计算[(a －2b )(2a －b )－(2a ＋b )2

＋(a ＋b )(a －b )－(3a )2

]÷(－2a )． 因式分解

例4 分解因式．

(1)m 3

－m ； (2)(x ＋2)(x ＋3)＋x 2

－4． 转化思想

例5 分解因式a 2

－2ab ＋b 2

－c

2

整体思想

例6 (1)已知x ＋y ＝7，xy ＝12，求(x －y )2

； (2)已知a ＋b ＝8，a －b ＝2，求ab 的值． 开放型题

例7 （2009·吉林中考）在三个整式2

2

2

2,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两 个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解 规律探究题

例8 如图15－5所示，摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要 枚棋子，摆第3个需 枚棋子，按这种方式摆下去，摆第n 个这样的 “小屋子”需要 枚棋子．

例9 (1)计算．

①(a －1)(a ＋1)； ②(a －1)(a 2

＋a ＋1)； ③(a －1)(a 3

＋a 2

＋a ＋1)； ④(a －1)(a 4

＋a 3

＋a 2

＋a ＋1)． (2)根据(1)中的计算，你发现了什么规律?用字母表示出来． (3)根据(2)中的结论，直接写出下题的结果．

①(a －1)(a 9

＋a 8

＋a 7

＋a 6

＋a 5

＋a 4

＋a 3

＋a 2

＋a ＋1)＝ ； ②若(a －1)·M ＝a 15

－1，则M ＝ ；

③(a －b )(a 5

＋a 4

b ＋a 3b 2

＋a 2b 3

＋ab 4

＋b 5

)＝ ； ④(2x －1)(16x 4

＋8x 3

＋4x 2

＋2x ＋1)＝ ；

三、训练题

一、选择题

1．计算(a3)2的结果是 ( )

A．a5B．a6C．a8D．a9

2．下列运算正确的是 ( )

A．a2·a3＝a4B．(－a)4＝a4

C．a2＋a3＝a5D．(a2)3＝a5

3．已知x－3y＝－3，则5－x＋3y的值是 ( )

A．0 B．2 C．5 D．8

4．若m＋n＝3，则2m2＋4mn＋2n2－6的值为 ( )

A．12 B．6 C．3 D．0

5．如图15－4所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分拼成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 ( ) A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2

C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)

D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2

6．下列各式中，与(a－b)2一定相等的是 ( )

A．a2＋2ab＋b2B．a2－b2

C．a2＋b2D．a2－2ab＋b0

7．已知x＋y＝－5，xy＝6，则x2＋y2的值为 ( )

A．1 B．13 C．17 D．25

8．下列从左到右的变形是因式分解的是 ( )

A．ma＋mb－c＝m(a＋b)－c

B．(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3

C．a2－4ab＋4b2－1＝a(a－4b)＋(2b＋1)(2b－1)

D．4x2－25y2＝(2x＋5y)(2x－5y)

9．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 ( )

A．－a2＋b2B．－a2－b2C．a2＋b2D．a3－b3

10．如果(x－2)(x－3)＝x2＋px＋q，那么p，q的值是 ( )

A．p＝－5，q＝6 B．p＝1，q＝－6

C．p＝1，q＝6 D．p＝5，q＝－6

二、填空题

11．已知10m＝2，10n＝3，则103m＋2n＝．

12．当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2的值是．