数学奥林匹克小丛书高中卷《面积与面积方法》第二版前言

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初三到高二数学竞赛规划

中考后我该如何规划数学竞赛之路？很多家长担心，高中学习竞赛会不会耽误孩子课内学习，最后鸡飞蛋打。

的确，高中数学竞赛内容多、难度大，要想取得好成绩，且平衡课内学习，就必须要有一整套合理的学习规划，而且，越早开始规划，时间越充裕。

目前不少中学已经推行2+4学制，初一、初二学习初中课内知识，初三就可以提前学习高中基础知识，并开始竞赛学习、训练，如果你囿于学制和中考的压力也没关系，中考后就是你开始竞赛学习的最佳时机，本文将针对竞赛各个模块的特点，按照时间顺序给大家梳理一条可操作的学习路径，望各位摘取有用信息，对号入座。

一、高中数学竞赛简介在讲学习规划之前，先跟还不太了解竞赛的家长、同学简单介绍一下高中数学竞赛的体系。

我们常说的高中数学竞赛一般指的是全国高中数学联赛，简称高联，每年9月第二个周日举行，分别设置一二三等奖，即省一二三等奖，也是高校自招认可的奖项。

各个省市会从高联一等奖中选拔出省队选手参加中国奥林匹克数学竞赛（CMO），每年十一月举行，设立一二三等奖，也叫金牌银牌铜牌，也是我们说的国奖，清北自招一般要求五大学科竞赛获得国奖。

CMO一等奖中前60名同学入选国家集训队，并通过两次选拔，选拔出6名国家队队员参加国际奥林匹克数学竞赛（IMO）。

60名国家集训队队员具有保送清北等名校的资格。

除了上面说的高联、CMO和IMO外，还有一些比较重要的数学竞赛，如中国女子数学奥林匹克、中国西部数学奥林匹克、中国东南地区数学奥林匹克、北方希望之星数学邀请赛等，这些赛事，一方面可以练手，一方面获得的奖项可作为清北竞赛营及高校自招的参考。

二、学习路径规划初三暑假这个暑假，你最重要的目标是学习高中数学竞赛中的平面几何模块，以及快速学习高中数学必修课本。

1、平面几何很多基础知识在初中就学过，高中课内涉及很少，而高联只是额外补充了一些定理、概念和方法，尤其明显加强了圆这部分内容的考核。

所以这个暑假最适合先从中考压轴的平几题入手，然后补充竞赛知识。

苏教版高中学案数学必修第二册精品课件第13章立体几何初步空间图形的表面积

（1）求组合体的表面积的基本步骤
①弄清楚它是由哪些简单几何体构成的,组成形式是什么;
②根据组合体的组成形式设计计算思路;
③根据公式计算求值.
（2）求组合体的表面积的解题策略:
①对于由简单几何体拼接成的组合体,要注意拼接面重合对组合体表面积的影响;
②对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合体,要注意新产生的截面和原几何
棱长都相等,侧面均为全等的等腰梯形.
知识点2. 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
几何体
直棱柱
正棱锥
直观图
侧面展开图
侧面积
直棱柱侧 = ℎ
正棱锥侧
1
= ℎ′
2
续表
几何体
正棱台
直观图
侧面展开图
侧面积
正棱台侧
1
=
+ ′ ℎ′
2
知识点3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积
几何体
直观图
侧面展开图
侧面积

× × = ,
圆柱的侧面积为 × = ,圆柱的一个底面面积为 × = ,
所以组合体的表面积为 + + =
+ .故选A.
[解析]由该几何体的组合形式可知,其表面积应该是正方体的表面积减
去中间圆柱的两个底面的面积,再加上圆柱的侧面积,
故其表面积
= × − × . × + × . × = − . + = + . .
规律方法怎样求组合体的表面积
正四棱锥 − 的斜高为 + = ,
∴正四棱锥 − 的侧面积

= × × × = ,∴

攻略高中数学联赛赛程、时间安排、25本数竞书单

攻略⾼中数学联赛赛程、时间安排、25本数竞书单挤进清北等优质名校是众多⾼中⽣的梦想，有梦想是好的，但现实很残酷，这些⾼校招⽣名额有限！尤其在招⽣⽅式改⾰后，⾼考裸分被录取的可能性更⼩。

因此，通过学科竞赛拿奖牌获得降分优惠或直接被保送，成为许多考⽣的必然选择。

但你知道，学科竞赛应该如何备考才能拿到⾼含⾦量的奖牌吗？学科竞赛⽹（jingsai985）根据多年经验，总结出⼀份⾼含⾦量的数学竞赛备考秘籍。

我们从不轻易告诉外⼈，但今天很⾼兴与你分享，因为我们是⾃家⼈！（⼀）先看赛程数学预选赛（初赛）在各地市学校举⾏，评选出的奖项分为市⼀、市⼆、市三，考核优秀的学⽣晋级参加数学联赛。

数学联赛（⼀试、⼆试）全省在指定的⼀个或⼏个地⽅进⾏选拔考试，评选出的奖项分为省⼀（含省队）、省⼆、省三，考核优秀的学⽣晋级参加全国数学决赛，即冬令营（CMO）。

冬令营全国统⼀指定⼀个地⽅进⾏选拔考核，评选出的奖项分为国⼀（含集训队）、国⼆、国三，考核优秀的学⽣晋级参加国家集训队。

最终选出6名优秀选⼿代表中国参加IMO。

IMO全世界在指定的⼀个地⽅进⾏选拔考核，评选出国际⾦牌，国际银牌，国际铜牌。

（⼆）重点看时间安排和阶段备考内容⾼中学业较之前本来就繁重，还要挤出时间备战数竞，因此，进⾏科学规划显得尤为重要。

从初赛到国决⼤略可分为以下五个阶段：1、第⼀阶段：初三暑假到⾼⼀上学期⼤部分学⽣的竞赛之路是从初三毕业那个暑假开始的，虽然某些省份呈低龄化趋势，但并⾮主流。

这个阶段多数竞赛⽣学习必备知识，由于预选赛（初赛）和⼀试的内容均是⾼中知识，且初赛难度较⼩，所以，⽆需单独备考初赛，准备⼀试即可。

此阶段，你需要配合⽼师的课堂教学，以最短时间尽可能⾃学完成⾼考要求掌握的数学知识，同时要注意做题训练。

可以从数学53（五年⾼考三年模拟）【⽂末附详细书单】开始练习，若做起来⽐较顺⼿，就跳过直接刷浙⼤版《⾼中数学竞赛培优教程：⼀试》（第四版），偶尔选53重要题型练⼿感；若做起来有难度，还是要坚持先把53弄懂吃透，奠定⾼考基础。

奥林匹克数学 90年代教材

奥林匹克数学 90年代教材
90年代的奥林匹克数学教材可能因地区和出版机构的不同而有所差异。

但是，通常来说，奥林匹克数学教材的内容一般涵盖了从小学到高中的所有数学知识点，并且难度较高，注重培养学生的数学思维和解题能力。

以下是一些可能有用的奥林匹克数学教材：
1. 《数学奥林匹克小丛书》（小学卷、初中卷、高中卷），由单�元复主编，华东师范大学出版社出版。

2. 《数学奥林匹克基础》（小学版、初中版、高中版），由王元、丁石孙主编，北京师范大学出版社出版。

3. 《数学奥林匹克教程》（小学版、初中版、高中版），由朱华伟、李志强主编，湖北科学技术出版社出版。

这些教材通常包含了大量的例题和练习题，并且有详细的解答过程和注释，有助于学生深入理解数学知识和提高解题能力。

此外，这些教材通常也会介绍一些数学竞赛的考试内容和技巧，对于参加数学竞赛的学生来说也很有帮助。

三年级数学下册《面积和面积单位》教案4

《面积和面积单位》教案4教学目标1．让学生经历探索物体表面和封闭图形a小的实际问题的过程，理解面积的含义。

2．在观察、比较、拼摆、测量等建立常用面积单位表象的活动中，理解面积的含义。

3．通过自主学习，获得成功体验，感受数学的价值。

重点难点重点：初步建立面积的概念，形成常用的面积单位的表象。

难点：面积单位与相应的长度单位间的联系与区别。

知识解析知识点一面积的含义问题导入观察数学教材的封面和桌面，比一比，哪个大？过程讲解1．观察比较：教材有漂亮的封面，课桌有平滑的桌面，这些都是物体表面的一部分。

通过观察可以看出课桌的桌面要比教材的封面大得多。

2．认识物体表面的面积：教材封面的大小是教材封面的面积，课桌桌面的大小是课桌桌面的面积。

可以得出：课桌桌面的面积比教材封面的面积大。

3．认识封闭图形的面积：将教材封面和桌面抽象出平面图形，如下：教材的封面和桌面抽象出来的图形都是长方形，观察这两个长方形可以得出：右边的长方形远远大于左边的长方形。

这些长方形的大小就是长方形的面积。

比较这两个长方形的面积得出：右边长方形的面积大于左边长方形的面积。

4．意义点拨：生活中很多物体的表面是有大有小的，我们接触到的封闭图形，也是有大有小的。

这些物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。

归纳总结物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。

拓展提高周长与面积的区别：意义不同，周长与面积是两个不同的概念，周长是指封闭图形一周的长度；面积是指物体所占平面的大小。

例如：长方形的周长是长方形一周的长度（四条边的总长度）；长方形的面积是指长方形所占平面的大小。

典例剖析[例1] 判断：图a的面积大于图6的面积。

( )解析图以不是封闭图形，不能确定面积的大小。

图6是个封闭图形，面积的大小是固定的。

所以二者不能进行比较。

答案×点拨面积是指物体表面或封闭图形的大小。

在计算平面图形的面积时，必须是封闭图形。

[类题突破1] 判断：下图的面积是a+b+c+d+e+f+g。

数学竞赛书目

高中各学科竞赛同步辅导培训教材
s004 高中数学竞赛培训教材高一分册浙江大学 22
s005 高中数学竞赛培训教材高二分册浙江大学 23
s006 高中数学竞赛培训教材高三分册浙江大学 26
高中各科竞赛实战演练丛书
s015 国内高中数学竞赛真题库浙江大学 14
s016 国外数学竞赛真题库浙江大学 25
s017 高中数学竞赛2000题浙江大学 40
特级教师解密
s064 奥赛小丛书.高中卷14 组合几何华东师大 7
s065 奥赛小丛书.高中卷15 图论华东师大 9
s066 奥赛小丛书.高中卷16 组合极值.论证与构造华东师大 10
s052 奥数小丛书.高中卷2 函数与函数方程华东师大 12
s053 奥数小丛书.高中卷3 三角函数华东师大 13
s054 奥数小丛书.高中卷4 平均值不等式与柯西不等式华东师大 11
s055 奥数小丛书.高中卷5 不等式的解题方法与技巧华东师大 12
《赛前集训》系列
s049 高中数学联赛专题辅导华东师大 15
s050 高中数学联赛考前集训华东师大 7
《数学奥林匹克小丛书》
s051 奥数小丛书.高中卷1 集合华东师大 12
高中各学科竞赛丛书国家数学奥林匹克竞赛学会审定
s001 高中数学竞赛培优教程(一试) 浙江大学 26
s002 高中数学竞赛培优教程(专题讲座) 浙江大学 26
s003 高中数学竞赛题典浙江大学 14
《高中奥赛试题评析》丛书
s029 高中数学奥赛试题评析南京师大 18
启东中学奥赛训练教程
s030 启东中学奥赛训练教程.高中数学南京师大 24

数学竞赛-学习规划及书单推荐

目录一、数学竞赛介绍 (1)二、数学竞赛学习路径 (1)高联一试备考路径 (2)高联二试备考路径 (3)三、数学竞赛书单推荐 (4)一、数学竞赛介绍一、高中数学竞赛介绍数学竞赛分为高中数学联赛（CMO）高中数学联赛（CMO）中国数学奥林匹克竞赛，英文简称CMO，你也可以叫它冬令营（全国中学生数学冬令营）。

1、举办时间：每年9月的第2个星期日2、周期：一般为期5天左右，2019年为7天3、参与国家：中国内地、中国香港、澳门、俄罗斯、新加坡等国外代表队4、考试时间一共考2天：DAY1-高联一试：8:00-9:20，共80分钟。

试题分为填空题和解答题两部分。

满分120分。

DAY2-高联二试：9:40-12:30，共170分钟。

试题共4道解答题，满分120分。

5、考试难度题目难度接近IMO，奖项与IMO类似，CMO最终成绩与正式获奖名单在决赛结束后的一周左右公布，前60名将组成备战当年IMO 的中国国家集训队，可获得保送清北的资格。

二、数学竞赛学习路径第一轮为高联一试基础知识的系统化学习，提炼高联所需所有知识技巧，重新梳理课程逻辑，且先前全无竞赛经历也可同步学习。

第二轮为高联二试，分为基础课和进阶课，一共8个专题模1块。

第三轮为联赛冲刺，系统复习并讲解提分技巧，原创模拟题及真题分析讲解。

高联一试备考路径：1、学习目标：系统、扎实地学完高联一试要求的知识点，并且会做题2、内容：高联一试，高联考纲涉及所有知识点扎实的过一轮。

3、知识点组成：高中课内数学＋高联一试：集合、函数、数列、导数、不等式、向量、解析几何、立体几何、三角、复数、概率、计数4、学习时间：大约一年下面我们以新高一入坑为例，给出一版通用的第一年时间规划。

以2020年9月入学的新高一同学为例，一轮数竞学习可做如下规划：初三升高一暑假建议学习时间：30小时竞赛学习任务：高中课内数学+集合与函数、三角达成目标：了解所有高中课内知识点+掌握【集合、函数、三角】知识并会做题高一上学期-秋季建议学习时间：45小时竞赛学习任务：数列、计数、概率、向量、立体几何达成目标：掌握【数列、计数、概率、向量、立体几何】知识并会做题高一寒假建议学习时间：30小时竞赛学习任务：解析几何、不等式2达成目标：掌握【解析几何、不等式】知识并会做题高一下学期-春季建议学习时间：21小时知识点+最少24小时刷题竞赛学习任务：复数、函数与导数+刷套题达成目标：掌握【复数、函数、导数】知识并会做题，同时开始刷题，刷套题，不懂的知识点进行专项专练高联二试备考路径：1、内容：高联二试，高联考纲涉及所有知识点扎实的全部学习一遍2、知识点组成：代数、几何、数论、组合学习目标：3、学习目标：【目标省一】系统、扎实地学完高联二试代数、几何、数论、组合的全部定理及知识点，深度掌握代数和几何的解题技巧。

数学奥林匹克小丛书(第三版)高中卷13：复数与几何

中国数学奥林匹克高级教练倪明华东师范大学出版社教辅分社社长、编审、《数学奥林匹克小丛书》总策划瞿振华第59届IMO中国队领队、国家集训队教练、华东师范大学副教授单墫第30、31届IMO中国队领队、南京师范大学教授、博士生导师吴建平中国数学会普及工作委员会原主任、中国数学奥林匹克委员会原副主席熊斌华东师范大学教授、博士生导师、多届IMO中国队领队姚一隽第55、58届IMO中国队领队、复旦大学教授、博士生导师余红兵国家集训队教练、苏州大学教授、博士生导师张景中中国科学院院士、中国教育数学学会名誉理事长朱华伟第50届IMO中国队领队、中国教育数学学会常务副理事长、博士生导师
欢迎广大师生加入相应的群中。
华东师大社主办的 QQ 群（部分）： 1. 华师－小学奥数教练 2 群，群号：689181206 2. 华师－初中数学教师 2 群，群号： 112892422 3. 华师－中学奥数教练群，群号： 545921244 4. 华师－高中数学教师群，群号： 319118349 5. 华师－初中理科学生群，群号： 609160454 6. 华师－高中理科学生群，群号： 455685245
数学奥林匹克小丛书 (第三Fra bibliotek) 编委会冯志刚国家督学、上海中学特级教师、正高级教师、多届IMO中国队副领队葛军博士、中国数学奥林匹克高级教练、南京师范大学兼职教授、
江苏省中学数学教学研究会副理事长孔令志华东师范大学出版社教辅分社副社长、《数学奥林匹克小丛书》项目编辑冷岗松国家集训队教练、上海大学教授、博士生导师李胜宏第44届IMO中国队领队、浙江大学教授、博士生导师李伟固国家集训队教练、北京大学教授、博士生导师刘鸿坤第31、32届IMO中国队副领队、华东师范大学教授刘诗雄华南师范大学中山附属中学校长、中学数学特级教师、

初中数学重点梳理：面积问题与面积方法(二)

面积问题与面积方法知识定位能够用正确的方法求解几何的有关面积，并且能够巧算面积，化难为易，化复杂为简单；要熟练的应用几何求几何面积的几种模式，其中主要有等积变换模型、鸟头定理（共角定理）模型、蝴蝶定理模型、相似模型、燕尾定理模型。

知识梳理1、等面积变化模型：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如下图12::S S a b =（3）夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。

（4）正方形的面积等于对角线长度平方的一半；（5）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；2、鸟头定理（共角定理）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

（1）共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

（2）如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△1S 2S3、蝴蝶定理模型：任意四边形中的比例关系。

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

① 1243::S S S S =1324S S S S ⨯=⨯ ② ()()1243::AO OC S S S S =++ 4、相似模型：相似三角形：相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

学奥数,这里总有一本适合你

学奥数这里总有一本适合你奥数图书出版大事记2000年《奥数教程》（10种）第一版问世2001年《奥数教程》获优秀畅销书奖2002年《奥数教程》在香港出版繁体字版和网络版2002年《奥数测试》（第一版）出版2003年《奥数教程》（第二版）出版，并开展“有奖订正”、“巧解共享”活动2003年《奥数教程》（3~6年级）VCD出版2003年~ 陆续出版由IMO中国国家集训队教练组编写的《走向IMO：数学奥林匹克试题集锦》2005年 “奥数”图书累计销量近1000万册2005年出版《数学奥林匹克小丛书》（30种）2006年《奥数教程》（第三版）、《奥数测试》（第二版）出版2006年《数学奥林匹克小丛书》（12种）繁体字版在台湾出版2007~2008年《多功能题典》丛书中的小学、初中和高中数学竞赛相继出版2008年《日本小学数学奥林匹克（六年级）》出版2009年~ 《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》陆续出版2009年《Mathematical Olympiad in China》、《Problems of Number Theory in Mathematical Competitions》和《Graph Theory》相继与新加坡世界科技出版公司联合出版2010年《全俄中学生数学奥林匹克（1993~2006）》出版2010~2011年《高思学校竞赛数学课本》和《高思学校竞赛数学导引》（3~6年级）相继出版2011年《从课本到奥数》（1~9年级A、B版）出版2011年《初中数学联赛考前辅导》和《高中数学联赛考前辅导》出版学奥数，这里总有一本适合你2000年华东师范大学出版社出版了《奥数教程》丛书，首次在书名中使用“奥数”一词。

《奥数教程》由国家集训队教练组执笔联合编写，获得第十届全国教育图书展优秀畅销图书奖，深受读者喜爱，被奉为经典奥数蓝皮书。

自《奥数教程》出版以来，华东师范大学出版社聚集国内最顶尖的作者团队，陆续为不同层次、不同需求的读者打造了近200种奥数图书, 形成多品种、多层次、全系列的格局，“奥数”图书累计销量超1000万册，由此奠定了奥数品牌出版社的地位。

初中数学-面积问题与面积方法

∴P到BE及CF的距离相等
即的边BE上的高等于的边CF上的高
∴
评注：解决本题的关键是运用“平行得等积”。
例2（2003年德国数学竞赛）在平行四边形ABCD中，M、N分别在AB、BC上，且M、N不与端点重合，。设AN与CM相交于点Q。求证：DQ平分。
证明：设点Q到AB、BC、CD、DA的距离分别为a、b、c、d
2．中，设为a边上的高，R、r分别为外接圆、内切圆的半径，，则
三角形的面积公式形式多样，注意根据问题需要灵活选取。
3．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（2）等底（或等高）的三角形的面积比等于其所对应的高（或底）的比。
4．共角定理
若与相等或互补，则。
5．共边定理
如图，若直线AB与PQ相交于M，则。
又
∴
又∵
∴
∴
评注：本题涉及到圆内接四边形，其另一种解法是运用托勒密定理，请参考本章超级训练第3题。
例6（2000年全国高中数学联赛）如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N为垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D点。证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等。
作和的平分线，且交于点M。于是，BM是AK的中垂线，DM是EK的中垂线。特别地，有，即M是的外心。
因为
所以，
所以，即
又因为，
所以
故AE是的斜边，即M是AE的中点。
因为，，
所以
评注：巧妙地构造K点，采用“割补法”求解。
例8（2004年首届中国东南地区数学奥林匹克）设点D为等腰的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证：。

数学竞赛学习解读(自招收获篇)

数学竞赛学习之路——自招收获篇质心教育黄靖旻引言：本文写给那些有志向学习数学竞赛，但却没能攻克这座大山的同学。

数学竞赛毕竟是困难的，需要一点点天赋，更需要大量的努力和付出。

不是所有人都愿意拿出如此多的时间去学习竞赛，也不是所有人都能够面对难题有一颗想去攻克的心。

或许你是喜欢数学的，但却因为许多难题而望而却步。

那也不要紧，这段竞赛学习之路依然可以给你很大的收获。

你可以参加联赛，如果运气好拿了个省一便可以有降分或者降重本的机会。

如果拿个省二，你可以借此报名自主招生考试，自招的内容大体在高考与联赛一试之间，学过竞赛也会有优势。

再不济省三或者没有获奖，你也收获了一段开阔视野的经历，还可以回去参加高考，而这些数学学习经历对你的未来或多或少也会有帮助。

所以，不用害怕差距，也不用觉得自己比不上那些数竞大牛，每个人有每个人的天赋，也有每个人的机遇，总之，学习竞赛是提供了更多的机会，而机会是要自己去争取的。

比起一味高考一考定大学，比起整个高中都在学习高考知识，学习数竞都是一个更好的选择。

阶段1 准备阶段（初三放假至高一下结束）阶段解读：初中毕业后一些同学可能就解放自我了，而另一些同学则会抓住这个机会去努力。

对于学知识相对比较慢一些的同学，可以不要学的那么快，可以花一年的时间慢慢把高考数学的内容掌握清楚，同时也会对之后高考有帮助。

如果学有余力，建议这部分同学也可以同时学一学整个高中的物理化学生物课程，这样之后高二进入竞赛学习的节奏后，不会因为学习竞赛而落下常规。

目标1:快速完成高中数学内容，短时间达到高考要求目标解读：找到当地所用数学教材或通用人教版教材（可以在官网上找到电子课本），结合高中上课的一般顺序（也可以在网上查到）进行自学，当然这里需要参考一些教辅书籍（一般用高三复习的那种，要选讲的比较精细的）和有一些辅导课程最好（自己学习还是会有些重点不知道在哪儿）。

通过这个过程我们将掌握高中数学所需要的数学知识，这个过程要细，虽然高中还会更系统地学习一遍，但如果自己学的这一次不够细，那么将来自己的数学学习中将会有很多现在落下的毛病。

初中数学竞赛：面积问题与面积方法

(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．
(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S△ABO=p2，S△CDO=q2，则SABCD=____．
△ABC=40．若BE，CD相交于F，则S△DEF=______．
所以
同理可得
从①，②，③中可以解得
所以
例5在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰
解如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故
证首先，同例2类似，容易证明
说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．
例8如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．
5．在直角三角形ABC中，∠A=90°，AD，AE分别是高和角平分线，且△ABE，△AED的面积分别为S1=30，S2=6，求△ADC的面积S．
6．设P是△ABC内一点，AD，BE，CF过点P并且交边BC，CA，AB于点D，E，F．求证：
7．已知△ABC中，DE∥BC交AB于D，交AC于E，AM为BC边上的中线，与DE相交于N，求证：DN=NE．
初中数学竞赛：面积问题与面积方法
几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．

高中数学奥林匹克竞赛讲座：07面积问题和面积方法

比赛讲座 07--面积问题和面积方法基础知识1．面积公式因为平面上的凸多边形都能够切割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不一样场合下选择最正确形式使用．设△ ABC ，a, b, c分别为角A, B,C的对边，h a为a的高， R 、r分别为△ ABC 外接圆、内切圆的半径，（1）S ABC（2）S ABC（3）S ABC（4）S ABC（5）S ABC（6）S ABC（7）S ABC（8）S ABC1p( a b c) ．则△ ABC 的面积有以下公式：21ah a；21b c sin A2p( p a)( p b)( p c)1r ( a b c)pr2abc4R2R 2 sin Asin B sin Ca2 sin B sin C2 sin( B C )1r a(b c)2a（9）12(sin 2sin 2sin 2 )R A B C S ABC22．面积定理（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；（2）两个全等形的面积相等；（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；（5）两个相像三角形的面积的比等于相像比的平方；（ 6 ）共边比率定理：若△PAB 和△QAB的公共边 AB 所在直线与直线PQ 交于M，则S PAB:S QAB PM :QM ；（ 7 ）共角比率定理：在△ABC 和△ A B C 中，若A A 或A A 180 ，则SABC AB AC．SABC A B A C3．张角定理：如图，由P 点出发的三条射线PA, PB , PC ，设APC， CPB，APB180，则 A, B, C 三点共线的充要条件是：sin sin sin()．PB PA PC例题剖析例 1．梯形ABCD 的对角线AC,BD订交于O ，且S AOB m ， S COD n ，求S ABCD例 2．在凸五边形ABCDE 中，设S ABC S BCD S CDE S DEA S EAB1，求此五边形的面积．例 3．G是△ABC内一点，连接AG , BG, CG并延伸与BC, CA, AB分别交于D, E, F，△AGF、△BGF、△BGD 的面积分别为40， 30， 35，求△ABC 的面积．例 4．P,Q,R分别是△ABC 的边AB, BC和 CA 上的点，且BP PQ QR RC1，求△ABC 的面积的最大值．例5．过△ABC内一点引三边的平行线DE∥BC，FG∥CA，HI∥AB，点D , E, F ,G , H , I 都在△ABC的边上， S1表示六边形DGHEFI的面积， S2表示△ ABC 的面积．求证： S12S2．3例 6．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，过△ABD的心里与△ACD的心里的直线分别交边 AB 和 AC 于 K 和 L ，△ ABC 和△ AKL 的面积分别记为S和T ．求证： S2T ．例 7．锐角三角形ABC中，角A均分线与三角形的外接圆交于一点A1，点 B1、 C1与此近似，直线 AA1与B、C两角的外角均分线将于一点A0，点 B0、 C 0与此近似．求证：（ 1）三角形A0B0C0的面积是六边形AC1BA1CB1的面积的二倍；（ 2）三角形A0B0C0的面积起码是三角形ABC的四倍．SPQR 2 ．例 8．在△ABC中，P,Q , R将其周长三均分，且P,Q在边AB上，求证：SABC9例 9．在锐角△ABC的边BC边上有两点E、F，知足BAE CAF ，作 FM AB ，FM AC （M , N是垂足），延伸 AE 交△ ABC 的外接圆于点 D ，证明四边形 AMDN 与△ ABC 的面积相等．三．面积的等积变换等积变换是办理相关面积问题的重要方法之一，它的特色是利用间面积相等而进行相互变换证（解）题．例 10．凸六边形ABCDEF内接于⊙O，且AB BC DC31，DE EF FA 1，求此六边形的面积．例11．已知ABC 的三边 a b c ，此刻AC 上取 AB AB ，在 BA 延伸线上截取BC BC，在 CB 上截取 CA CA ，求证：S ABC S ABC．例 12．A B C在ABC内，且ABC∽ AB C ，求征：S ABC SBCASCABSABC例13．在ABC 的三边BC ,CA, AB上分别取点 D , E, F，使BD 3DC , CE3EA ，AF3FB ，连AD , BE, CF订交得三角形PQR，已知三角形ABC 的面积为13，求三角形PQR 的面积．例 14．E为圆内接四边形ABCD的AB边的中点，EF AD于F ，EH BC于H ，EG CD于G，求证： EF均分 FH ．例 15．已知边长为a, b, c,的ABC，过其心里I任作向来线分别交AB,AC 于 M ,N 点，求证： MI a c ．IN b例 16．正△PQR正△PQR ，AB a1， BC b1， CD a2， DE b2，EF a3， FA b3．求证： a 2 a 2 a 2 b 2 b 2 b 2．123123例 17．在正ABC内任取一点O，设O点对于三边BC ,CA, AB 的对称点分别为A,B,C ，则 AA , BB ,CC 订交于一点P．例 18．已知AC, CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M , N 分别内分ACCE，且使AM CN AC k ，假如B, M , N三点共线，试求 k 的值．CE例 19．设在凸四边形ABCD中，直线CD以AB为直径的圆相切，求证：当且仅当BC∥AD 时，直线 AB 与以 CD 为直径的圆相切．训练题1 ．设ABC的面积为10cm2， D , E, F 分别是 AB, BC, CA 边上的点，且AD2cm, DB 3cm, 若 S ABE S DBEF，求ABE 的面积．2．过ABC 内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将ABC 分红六部份，此中，三部份为三角形，其面积为 S1 , S2 , S3，求三角形ABC 的面积．3．在ABC 的三边 AB, BC , CA 上分别取不与端点重合的三点M ,K,L ，求证：AML ，BKM , CLK 中起码有一个的面积不大于ABC 的面积的 1 ．44．锐角 ABC 的顶角 A 的均分线交 BC 边于 L ，又交三角形的外接圆于N ，过 L 作 AB 和AC 边的垂线 LK 和 LM ,垂足是 K , M ，求证：四边形 AKNM 的面积等于 ABC 的面积．5．在等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上取一点 D ，使 DC1BC ，作 BE AD 交 AC 于 E ， 3求证： AE EC ．6．三条直线 l , m, n 相互平行， l , n 在 m 的双侧，且 l , m 间的距离为 2 ， m, n 间的距离为 1，若正ABC 的三个极点分别在 l ,m, n 上，求正ABC 的边长．7 ．已知P 1P 2 P 3 及其内任一点P ，直线 P i P 分别交对边于 Q i （ i1,2,3 ），证明：在P 1P P 2 P P 3 P这三个值中，起码有一个不大于2，而且起码有一个不小于2．PQ 1 ,,PQ 3PQ 28．点 D 和E 分别在ABC 的边 AB 和 BC 上，点 K 和 M 将线段 DE 分为三均分，直线BK和 BM 分别与边 AC 订交于点 T 和 P ，证明： TP1AC ．39．已知P 是 ABC 内一点，延伸 AP, BP, CP 分别交对边于 A,B,C，此中 APx ，BP y, CP z, PA PB PCw ，且 x yz 23, w3 ，求 xyz 之值．10．过点 P 作四条射线与直线l, l分别交于 A, B,C, D 和 A , B ,C ,D ，求证：AB CD A B C D ． AD BC A DB C11．四边形 ABCD 的两对对边的延伸线分别交K , L ，过 K , L 作直线与对角线 AC, BD 的延长线分别 G, F ，求证：LFLG ．KFKG12．G 为 ABC 的重心，过 G 作直线交 AB, AC 于 E, F ，求证： EG 2GF ．。

数学奥林匹克小丛书高中卷数论

数学奥林匹克小丛书高中卷数论
《数学奥林匹克小丛书·高中卷10:数论(第2版)》是一本结合高中数学竞赛的数论教材，主要介绍了初等数论中的一些基础知识，如整除、最大公约数与最小公倍数、同余、不定方程等。

此外，书中还介绍了一些著名的数论定理，如素数及唯一分解定理、中国剩余定理、费马小定理等。

此书通过数学竞赛问题来介绍初等数论的一些基本概念和方法，希望读者在阅读时能够亲自动手尝试解决问题，以真正体味出解题的窍门。

如需更多关于此书的介绍，可以阅读书评或咨询数学教育专业人士。

奥数小丛书面积与面积方法

奥数小丛书是指针对奥林匹克数学竞赛编写的一系列数学辅导书籍。

这些书籍主要涵盖了数学奥赛的各个领域和题型，并提供了详细的解题方法和答案解析。

通过学习奥数小丛书，学生可以系统地提高自己的数学解题能力和思维逻辑能力。

其中面积与面积方法指的是解决与面积相关的数学问题的方法。

在奥数小丛书中，面积与面积方法主要包括以下几个方面：
基本公式与性质：学生需要掌握计算各种几何图形的面积的基本公式，如矩形、三角形和圆形的面积公式等，以及这些公式的性质和推导过程。

分割与组合：通过将复杂的图形分割为简单的几何图形，再通过组合计算出整体图形的面积。

这个方法主要应用于复杂图形的面积计算，例如多边形、不规则图形等。

面积差与面积比：利用面积差和面积比的关系，求解给定图形的面积。

这个方法常用于比较两个图形的面积大小或推导出未知图形的面积。

应用题解析：通过解答一些实际问题或应用题，让学生将面积与实际场景相结合，进一步理解和应用面积与面积方法。

通过学习奥数小丛书中关于面积与面积方法的知识，学生可以深入理解几何图形的面积计算原理，掌握解决各类与面积相关的数学问题的方法，从而提高数学解题的能力。

2019-2020年高中数学《面积公式和体积公式的简单应用》教案北师大版必修2

2019-2020年高中数学《面积公式和体积公式的简单应用》教案北师大版必修2一、教学目标1．通过例题的学习形成应用数学的意识，将数学和实际生活密切联系，增强数学的趣味性，提高学习数学的兴趣，认识到学习数学的必要性和重要性.2．逐步提高将生活中一些具体问题转化为数学问题的能力.二、设计思路1．本小节首先通过一个计算“小魔方”中各种要求的小正方体的表面积来引入，此题虽然简单，但对于提高学生的学习兴趣很有帮助.2．通过例2，考查学生对本章知识的综合应用能力，在第3个小问题中，计算几何体的体积，考查学生用割补方法解决问题的能力.3．第3个例题，是一道几何与函数相结合的例题，利用函数知识求解，渗透了函数的思想和方法.三、教学建议本节的教学重点是立体几何初步知识的简单应用.本节的教学难点是将一些实际应用问题转化成数学问题，然后利用数学知识解答.图71．掌握本章学过的内容是学好本小节知识的前提．因此，在学习本节知识之前，可引导学生回顾一下本章有关的主要内容.2．例1是一道利用正方体表面积公式的简单计算题．对于正方体的表面积公式，学生并不陌生，关键是能正确计算出满足各种要求的小正方体的个数.3．例2是一道利用空间几何体有关知识的综合性题.在第2个小问题中，学生感觉比较困难，容易想到用分割法来做此题,而不易想到用再添补的方法来做此题.以下用添补法来做此题：用一个与该几何体体积完全相同的几何体，倒置其上，如图7所示，使它们拼接组合成一个以ABCD为底，高为17 cm的长方体，设原几何体的体积为V，所以2V＝3×4×17＝204（cm3）,即V=102 cm3.第3个小问题学生易错，通常只能得到平行四边形，教师应加以引导，让学生进一步得到截面为菱形.4.例3是一道几何与函数相结合的例题．学生首先应根据已知条件，结合几何知识，建立函数关系式，再利用函数知识根据函数关系式求解.以下给出另外两种解法，供教师参考．四、阅读材料阅读材料介绍蜜蜂为了储存蜂蜜，构造一种独特的几何体――蜂房，它是由许许多多的正六棱柱，一个挨一个，紧密排列着的，中间没有一点空隙.通过科学家对蜂房的仔细观察和计算，以及构成蜂房的几何图形中暗藏的众多数据，发现蜜蜂所选择的那些几何图形来构建的蜂房是最科学的.这篇阅读材料的内容来源于自然界，密切联系生活，不仅扩大了学生的知识面，更让学生感受到了数学在生活中无处不在.这只是列举了生活中一个小小的实例，实际上这样的实例还很多.教师在教学时，不妨让学生举例.例如，古埃及金字塔，在金字塔当中也隐藏着许多数学知识，可见数学的历史古老而久远，来源于生活并用之于生活.五、课题学习1．设计意图(1)按课标要求，在高中阶段至少要有一次数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐进的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究学习的过程，在本教科书中设计该课题，是为实施更完整的数学探究、数学建模活动作准备.(2)该课题学习涉及点、线、面的位置关系及直观图画法，涵盖了立体几何中相当多的概念、定理；本课题学习的过程是立体几何知识的一次全面的综合应用的过程.(3)该课题学习很好地体现了立体几何初步一章的基本要求：有助于认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力.(4)在本章末安排该课题学习，一方面给学生提供一个施展所学的舞台；另一方面，也达到了借此课题的研究促进学生对所学知识的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解.此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想像力和创造力.2．实施建议采用形式形式一(能有效节省课时，但要求学生已初步具备一些自主探索学习的经验和能力)：首先分组(2～3人)进行课后讨论研究，根据学生情况，可建议学生通过实验操作进行研究，最后形成小组的学习报告.然后，根据学生的学习报告完成情况，在课上让部分小组报告他们所得到的结果，阐述理由，并回答老师或其他学生提出的问题，共同研究讨论.形式二(需要较多课时，适合于没有自主探索学习的习惯和经验的学生，有利于他们初步认识、了解自主学习的开展):让学生课前准备几个正方体模型，课堂上教师引导学生探索、讨论、发现.可以让学生四人一组，对引导问题逐一研究讨论，分组报告研究结果，阐述理由，并接受老师和学生的质疑.对课上未能很好解决的问题，或是由此引发的新问题，可以布置给学生课后去探索、研究，并完成研究报告.根据情况，可以适当安排时间让学生报告.要注意的问题：(1)无论是课后指导还是课上教学实施，教师都要注意引导学生从直观、感性的猜测，到严密、理性的思考和推理论证上来，帮助学生认识到两者在数学研究中的关系；注意引导学生积极地发现、吸纳他人的长处和优点，使学生学会欣赏别人，并从中吸取有益经验；注意帮助学生清楚、一致地表述自己的观点；注意帮助学生对自己的思维活动进行反思，调节自己的思维活动??(2)采用形式一时，教师应注意及时了解学生研究的进展情况，加强对学生自主研究、学习的指导；对没能在课上进行报告的小组，要进行及时鼓励性评价，积极肯定其长处，并指出不足之处，做到关注每一个学生，让所有学生从中受益.(3)采用形式二时，教师除了要关注(1)中要点，还要特别注意引导学生进行主动研究、学习，而不是取而代之，自己给学生讲解.此外，在布置的课后任务中，可以适当拓展一些，不必仅局限于该课题学习内容本身.如：①对正方体棱上的点确定的截面的作图方法的了解，可利用几何画板制作课件，通过课件进行研究；②研究一些满足某些特定条件的截面形状及性质：与棱平行的截面，与正方体对角线垂直的截面，等分正方体的截面等；③一个装有定量液体(不满)的封闭中空的正方体随着位置的某种规则(如：以一棱为轴旋转)变化，液体与正方体各接触面的面积有怎样的性质，各接触面之间有怎样的关系，处于何位置时接触面最小，何位置时液面面积最小；④研究其他几何体截面形状.(4)要帮助、指导学生完成课题学习报告，特别是以下几个方面：课题学习中发现的新问题；可拓展的或与其相关的问题；课题研究的自我评价，包括探究方法或原理的合理性、特色或创新点、不足之处等；课题学习的反思和体会，包括他人的哪些工作、研究方法是值得你学习借鉴的，某种特别的感受等.附课题学习报告的结构形式：课题学习报告年级3．部分结论(1)多边形的种类：三角形，四边形，五边形，六边形.图8(2)截面三角形只能是锐角三角形(可以是等腰、等边).如图8，因为a^2＝b′^2+c′^2<b^2+c^2，由余弦定理cos A＝b^2+c^2-a^2/2bc>0，所以，边a所对角为锐角，同理可得其余角也为锐角.或由图8可知边a所对顶点在以a为直径的圆外，所以该角为锐角，同理其余角也为锐角.(3)因为正方体的六个面中，有三对平行面，截面多边形的边是平面与正方体各面的交线，所以截面多边形最多是六边形，其中四边形截面至少与一组平行面相交，所以四边形中至少有一对边平行，截面四边形可以是正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形、其他梯形；五边形截面至少与两组平行面相交，所以有两组平行边，所以必然有两内角相等；六边形截面一定与三组平行面都相交，所以必有三组平行边，所以有三组相等内角.(4)截面多边形可以是正三角形，正四边形和正六边形.(5)设正方体的棱长为1，则截面三角形面积的最大值S＝3／4×(2)^2＝3/2.4．引申问题(1)满足特定条件的截面多边形形状:①与正方体一棱垂直的平面，截得的截面多边形只能是正方形；②与正方体的一条棱平行的平面，截出的截面多边形只能有正方形、矩形；③与正方体的对角线垂直的平面，截得的截面多边形只能有正三角形、各内角相等的六边形；④过正方体中心的平面，截得的截面都是中心对称的多边形，具体的只能有正方形、矩形、菱形、平行四边形、对边相等的六边形；⑤与正方体的一面对角线平行的平面，截得的截面多边形只能是等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、正方形、矩形、菱形，可拆分成一个等腰三角形和等腰梯形的五边形、可拆分成两个等腰梯形的六边形.(2)截面一定不会是以下几种多边形：①不可能是直角三角形和钝角三角形.(证略)②不可能是直角梯形.图9证明如图9，若∠HEF＝90°，则由正方体性质可得AB⊥HE，所以HE⊥面ABD，所以HE ∥AA′，所以AA′∥面EFGH，所以AA′∥GF，所以HE∥GF，与EFGH是梯形矛盾.③不可能是正五边形.证明因为正方体有三对平行面，五条边是截面与正方体六个面中五个面的交线，其中至少有两组平行面，由“一平面与平行平面的两交线互相平行”知，至少有两组平行边，所以显然不可能是正五边形.(3)正方体水槽中的问题：①侧面多边形的种类：三角形，四边形，五边形??②侧面多边形性质：三角形只能是直角三角形；四边形是直角梯形或矩形；五边形必有且仅有相邻三内角为直角.③正方体位置与侧面形状的关系：正方体一面着地时：侧面多边形为矩形.正方体仅一条棱着地时：含该棱或与该棱平行的一组侧面为矩形，另一组侧面为全等直角三角形或直角梯形或五边形；若水体积不变，形状为直角三角形或直角梯形或五边形的侧面面积不随倾斜度的变化而变化(即使形状由梯形变到五边形也不变)；若水体积不变，且一组侧面为直角梯形时，另一组侧面面积之和为定值，定值等于直角梯形面积的两倍，或者说此时各侧面面积之和不变；若水体积不变且一组侧面为直角三角形时，另一组侧面面积的积为定值.正方体仅有一顶点着地；若过着地顶点的体对角线与地面垂直，则水侧面多边形仅有等腰直角三角形和五边形两种；若仅三个侧面，则三侧面都是直角三角形，且三个三角形的面积之积为定值(水体积不变条件下).5．拓展问题正四面体截面的形状:(1)正四面体的截面形状有三角形(锐角或直角)、四边形??(2)四边形截面只可以是正方形、矩形、等腰梯形、无平行边的四边形??(3)当截面与一对棱平行时，四边形截面面积的最大值问题：设正四面体棱长为a,截面一边长为m，则由比例关系可得另一边为a-m.所以截面面积＝m(a-m)=-(m-a^2)^2+a^2/4≤a^2/4,此时截面为正方形.(4)与四个定点距离相等的截面有7个：三个顶点在截面的同一侧有4个；截面两侧各两个有3个.2019-2020年高中数学《频率与概率》教案北师大版必修3教学目标：通过试验，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，由此给出概率的统计定义。

吴正宪老师《面积和面积单位》观后感

吴正宪老师《面积和面积单位》观后感吴正宪老师《面积和面积单位》观后感走进吴正宪老师的课堂《面积和面积单位》，让我再一次领略了大师风范。

吴老师那全新的教学理念，精湛的教学技艺，爱生如子的教学情感，热情高雅的人格魅力，让我为之折服。

纵观一节课，整个设计水到渠成，没有丝毫矫揉造作，教师讲得轻松，学生学得快乐！边听课，我边反思：同样是教，为何吴老师对于同样的教学设计却能运用到极致呢？我细细比较，究其原因就是吴老师恰如其分地把握了一堂好的数学课所具备的标准：首先，吴老师安排的教学环节过渡自然，问题的引入由学生自己提出，“面积是什么？”、“面积是谁提出来的”、“面积到底有多大”、“面积能用尺子量吗？”……这既充分保证学生对问题解决的关注度，又保证问题贴近学生已有思维力和知识基础。

问题的解决由师生共同建构，实现两个主体作用的发挥。

问题的延伸亦使学生处于愤匪状态，实现使学生带着问题进入课堂，带着问题走出课堂的最佳教学状态。

第二，实现学生“我要学”、老师“帮你学”的师生共建课堂氛围。

吴老师一直通过循循善诱，使学生自主探索、互相倾听、彼此交流，从而了解到面积是什么、面积在哪里，体会到面积与周长的区别、掌握面积的比较方法，知识、技能与方法在参与中逐渐形成。

我们常常提倡的“精讲多练”在这节课上得到很好的示例。

第三，吴老师尊重每一个学生，她从不轻易否定学生的选择和判断，学生把“封闭图形”称为“缺口图形”，她尊从学生的思维，不强迫学生去改变称呼。

她以热情的鼓励、殷切的期待、巧妙的疏导与孩子们思维共振，情感共鸣，几乎每个学生都获得展示自己的机会。

她用那真诚的爱心关注每一个孩子，学生回答懒散时，她会纠正说“不拖长音，正常说话”；学生急于回答问题时，她会微笑着提醒“不着急，放下手，停下30秒再回答，印象更深刻”；当学生游离课堂之外时，她会紧盯着他说“就差一个小姑娘的眼睛”；学生有了新的发现，她会拍着他的头说“我发现这个女孩不一般”；对于课堂不发言的学生，她会把话筒放到他的嘴边说“你得多说两句”。

介绍《数学奥林匹克小丛书》

介绍《数学奥林匹克小丛书》
倪明
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2005(000)008
【摘要】这是一套分专题的奥数图书，全套分小学卷、初中卷、高中卷三个水平，共30种。

由国内最权威的奥数专家执笔撰写，多数作者或是中国数学奥林匹克委员会委员、国家队领队、教练或是学校的金牌教练。

书中的例题精选了各类数学竞赛题，不少解答出自作者或奥数优胜者之手，
【总页数】1页(PF0004)
【作者】倪明
【作者单位】华东师范大学出版社,200062
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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