数学物理方程第二章 傅里叶级数

（20141008）第二章 傅里叶级数

1. n a 和n b 的推导

如果以2π为周期的函数()f x 可以展开成三角级数，即

01

()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑ （1） 成立。在等式两边同时对x 积分有

0001()d d (cos sin )d 2022n n n a a f x x x a nx b nx x a ππππππππ∞--

-==++=+=∑⎰⎰⎰g 因此

01()d a f x x πππ-

=⎰ 将等式（1）左右两边同时乘以*cos ()kx k N ∈然后对x 积分有

01

()cos d cos d (cos sin )cos d 2n n n a f x kx x kx x a nx b nx kx x ππππππ∞---==++∑⎰⎰⎰ 利用三角函数的正交性，等式右边的第二项积分而言，当n k ≠时，积分为0，而当n k =时，积分为k a π，所以

()cos d 0k k

f x kx x a a ππππ-=+=⎰ 因此

*1()cos d , k a f x kx x k N πππ-

=∈⎰ 将等式（1）左右两边同时乘以*sin ()kx k N ∈然后对x 积分后同理可得

*1()sin d , k b f x kx x k N πππ-=

∈⎰

合并上述结果，可以得到

1

()cos d , (=0,1,2,3,)n a f x nx x n πππ

-=⎰L 1()sin d , (1,2,3,)n b f x nx x n π

ππ-==⎰L n a 和n b 即为()f x 的傅里叶系数，等式（1）的右边即为()f x 的傅里叶级数。记为：

01

()~(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 此处之所以没有使用“=”，是由于尚不清楚()f x 的傅里叶级数是否以()f x 为和函数，且其是否收敛也未可知。

对于()f x 的傅里叶级数而言，如果()f x 是奇函数，显然有

02

0, ()sin d n n a b f x nx x π

π==⎰

由于此时()f x 的傅里叶级数仅剩下正弦项，因此也成为正弦级数；

如果()f x 是偶函数，同理有

02()cos d , 0n n a f x nx x b π

π==⎰

且由于此时()f x 的傅里叶级数仅剩下余弦项，因此也成为余弦级数。

2. 关于傅里叶级数的一些重要结论

以2π为周期，定义于[,]ππ-上的函数()f x x =的傅里叶展开式为

2

141cos(21), (,)2(21)n n x x n π

π∞

=--∈-∞+∞-∑ 证明（应该不会考）如下：