高中数学人教版必修4教案 2.1平面向量的实际背景及基本概念(教＼学案)

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高中数学必修四学案：2.1平面向量的实际背景及基本概念Word版

⑷零向量只能与零向量平行 . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
3、下列说法中正确的是
①若 a // b ，则 a b ；
②若 a b ，则 a b ；
③若 a b ，则 a // b ；
④若 a b ，则 a b .
4、下列说法中正确的一向量平行；
③向量就是有向线段；
④若 AB DC ，则 A , B , C , D 是一个平行四边形的四个顶点 . 3、在正方体 ABCD A'B'C'D ' 中，与 AB 平行的向量有哪些？
）.
A．向量 AB 与向量 BA 的长度不等 B ．两个有共同起点长度相等的向量 , 则终点相同
C．零向量没有方向
D
．任一向量与零向量平行
D
C
2、在四边形 ABCD 中， AB DC ，则相等的向量是 ( ) .
A. AD 与 CB B. OB 与 OD
C. AC 与 BD
D. AO 与 OC
O
3、边长为 3 的等边 ABC 的底边 BC 上的中线
b 平行，记作： a // b . 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量
问题 3：如何理解零向量的方向？
探究四：相等向量：长度相等且的向量叫做相等向量，用有向线段表示的向量 a 与
b 相等，记作： a b .
二、合作探究
1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：
变式：（ 1）与 AB 相等的向量有哪些？
（ 2） OA 与 EF 相等吗？ OB 与 AF 相等吗？
三、交流展示
1、下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功

高中数学必修四《平面向量的实际背景及基本概念》优秀教学设计

平面向量的实际背景及基本概念教材分析本节课的内容是选自人教A版普通高中课程标准实验教科书数学（必修4）第二章第一节”平面向量的实际背景及基本概念”．向量是沟通代数，几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学中具有广泛的应用.平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的力，位移，速度，加速度等矢量概念的基础上，进一步对向量的深入学习. 为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础。

二、课标的分析《课程标准》的表述与《教学大纲》的要求对比《课程标准》的表述——通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.《教学大纲》的要求——理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量.可以看出，《课程标准》注重了概念的产生及发展形成的过程，更关注相等向量，对向量的几何表示在要求上有所降低.所以我将本节课的教学目标确定为：1.从生活实例和物理素材中感受向量以及研究向量的必要性.2 . .理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模3.理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量.4.从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点三、学情分析1、学生的知识、技能的基础。

学生通过本节的学习，让学生感受向量的概念，方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣。

2、学生认知心理特点及认知发展水平。

高一学生对于物理向量有一定的了解，因此创设教学情境，激发学习兴趣显得尤为重要，但学生的动机水平往往较低，意志力不强，学习主动性还有待于调动。

3、学生的社会背景。

我们的学生数学的学习基础较差，没有形成好的学习习惯，还有的初中没有培养成良好的数学思维，给教学上带来一定困难。

在教学中要多注重培养学生良好的数学思维。

四、教学目标的设计知识与技能：了解向量的物理背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

人教A版高中数学必修4 精选优课教案 2.1 平面向量的实际背景及基本概念(通用)1

《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计一、教学设计平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。

本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。

其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。

同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

二、教学目标1知识与技能：阐明平面向量的数量积及其几何意义.会算一个向量在另一个上投影的概念，运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

3情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想，类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。

三、学情分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。

这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。

但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.1平面向量的实际背景及基本概念》教案(4)

平面向量的实际背景及基本概念教学目标 1．了解向量的物理背景及在物理中的意义2．理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会用字母表示向量，能读写已知图中的向量；3．掌握向量的几何表示，明确向量的长度、零向量、单位向量的几何意义； 4．了解共线向量、平行向量的概念，会根据图形判定是否平行、共线、相等．本节重点向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等本节难点向量的概念教学模式教学过程主要内容及板书摘要与反思一、提出问题，引入新课：（1）我们已学了哪些既有大小又有方向的量？（2）角的正弦线、余弦线、正切线是怎样的图形？强调已学的位移、力、速度、加速度及三角函数线等都是既有大小又有方向的量．这种量就是我们本章所要研究的向量．1．向量：既有大小，又有方向的量；2．数量：只有大小，没有方向的量。

二、新课教学（１）有向线段及有关概念一般，在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，终点B 一个为起点，一个为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段．起点A以A 为起点，B 为终点的有向线段，记作，线段AB 的长度也叫做有向线段．有向线段的三要素：起点、方向、长度．（２）向量的表示及模的概念①表示：向量通常用一条有向线段来表示，也可以用字母,,等来表示，或用表示有向线段的起点和终点的字母表示，如．②模：有向线段的长度表示向量的大小，也就是向量的长度（或称模），摘要与反思主要内容及板书③零向量：长度为０的向量叫做零向量，记作； ④单位向量：长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量．（３）平行向量（共线向量）与相等向量的概念 ①平行向量：方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量．如图中，,,就是一组平行向量，记作 ∥∥．任作一条与所在直线平行的直线l ,在l 上取一点Ｏ，则可在l 上分别作出===,,．这就是说，任一组平行向量都可移到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．规定：与任一向量平行．②相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．（４）例题与练习例１（课本P84例1）例２（课本P85例2）例３．有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定相等？解：有下列两种情况之一，这两个向量一定相等．①两个长度相等的向量，方向也相同；②两个向量的长度都为零．练习：1．课本P86，练习1，2，3，42．回答下列问题（１）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（２）不相等的向量一定不平行吗? （不一定）（３）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（４）与任何向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（５）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行（或共线向量）3．下列各种情况中，向量的终点各构成什么图形？（１）把所有单位向量平移到同一个起点．（一个半径为１的圆）（２）把平行于某一直线的所有单位向量平移到同一个起点．（两个点）（３）把平行于某一直线的所有向量平移到同一个起点．（一条直线）三．小结：作业Ｐ86 习题 2.1/A 组5；B 组2 abc abc。

高中数学必修四《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计

2. 1平面向量的实际背景及基本概念一、教学目标：1、知识目标：⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；⑶理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2、能力目标：培养用联系的观点，类比的方法研究向量；获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；3、情感目标：使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

二、教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.三、教学难点：向量概念的理解，平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.四、学法：引入向量概念之后，随之带来一系列相关概念是比较多的，如零向量，单位向量，相等向量，平行向量，共线向量。

对于它们要抓住本质特征，让学生分析比较这些概念的区别与联系。

由于向量同时具有几何图象的特征，在学习时还要辩清它们在图形中表现相等、平行的意义，且图形还可以从简单到复杂逐步分清向量所对应的有向线段的身份，地位和作用。

对于单位向量与以前的单位长度的区别要给学生讲解清楚，单位向量不止一个，因为要表示不同的方向。

讲清基本概念后，可让学生归纳数量和向量的区别和联系．五、教具：多媒体或实物投影仪，尺规六、授课类型：新授课七、教学过程：情境创设问题1：一只老鼠和一只猫相距６米，老鼠以每秒４米的速度逃窜,猫以每秒７米的速度追,猫在多少时间里会追上老鼠？结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.问题2：美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉克的军事目标距“小鹰”号1200公里。

试问只知道这一信息导弹是否能击中目标？结论：不能，因为没有给定发射的方向.问题3：新华网东京3月30日电日本部署“爱国者－3”型拦截导弹拟拦截可能落入日本境内的朝鲜发射物。

不考虑其他因素，导弹击中拦截目标取决于导弹运行的路程还是位移？结论：位移，位移是有大小和方向的量问题提出请指出与位移具有同样特征的量：速度、重力、浮力、弹力……力、速度也是有大小和方向的量。

高中数学第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念教案新人教A版必修4(1)

2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.知识与技能(1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示.(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.过程与方法通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.难点:向量的概念,平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.(1)重点的突破:从向量的物理背景、几何背景等入手,从学生熟悉的矢量概念引出向量概念;还要注意与数量概念的比较,使学生在区分相似概念的过程中把握向量的概念.(2)难点的突破:借助信息技术,通过向量平移来说明向量的相等与起点无关.让学生体会,只要表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合,这两个向量就是共线向量.向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学,被称为矢量,很多物理量,如力、速度、位移、电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384—前322)就知道力可以表示成向量.向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton,1642—1727).向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向,线段长表示大小的有向线段来表示它.1806年,瑞士人阿尔冈(R.Argand,1768—1822)以AB表示一个有向线段或向量.1827年,莫比乌斯(Mobius,1790—1868)以AB表示起点为A,终点为B的向量,这种用法被数学家广泛接受.另外,哈密尔顿(W.R.Hamilton,1805—1865)、吉布斯(J.W.Gibbs,1839—1903)等人则以小写希腊字母表示向量.1912年,兰格文用表示向量,以后,字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行,尤其在手写稿中.为了方便印刷,用粗黑小写字母a,b等表示向量,这两种符号一直沿用至今.向量进入数学并得到发展,是从复数的几何表示开始的.1797年,丹麦数学家威塞尔(C.Wessel,1745—1818)利用坐标平面上的点(a,b)来表示复数a+b i,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数表示、研究平面中的向量.。

人教A版高中数学必修四 2.1平面向量的实际背景及基本概念学案

2.1向量的实际背景及基本概念（学案）一、学习目标1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.二、自主学习1．向量的概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等．注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小．2．向量的几何表示(1)有向线段：带有________的线段叫做有向线段，其方向是由________指向________，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定．(2)向量的有关概念：向量AB →的________，也就是向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.长度为______的向量叫做零向量，记作0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量．(3)向量的表示法：①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向；②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的________和______的字母表示．(4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量a 与b 平行，通常记为a ∥b .规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量a ，都有0∥a .3．相等向量与共线向量(1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a 与b 相等，通常记为a ＝b .任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量．(2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫共线向量．三、合作探究知识点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0；⑤若a ＝b ，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.回顾归纳：对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．知识点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．(1)作出向量AB→、BC→、CD→；(2)求|AD→|.回顾归纳：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．知识点三相等向量与共线向量例3如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→的模大小相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．回顾归纳：(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．四、学以致用练习1.判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．练习2.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？练习3.如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，(1)写出与BC→相等的向量：________.(2)写出与BC→共线的向量：________.五、自主小测1．下列说法正确的有()①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个B．3个C．4个D．5个2．下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bB．向量的模一定是正数C．起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量D．向量AB→与CD→是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上3．下列四个命题①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b，或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．44．下列命题正确的是()A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D．有相同起点的两个非零向量不平行5．在四边形ABCD中，AB→＝DC→且|AB→|＝|AD→|，则四边形为________．6．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．7．下列各种情况下，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.8.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．参考答案1．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]2．C [A 错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系．B 错误.0的模|0|＝0.C 正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．D 错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上，即A 、B 、C 、D 四点不一定共线．]3．B [②③错，①④正确．]4．C [若b ＝0，则a 与c 不共线，A 不正确；两个相等的非零向量的始点和终点可能共线，B 不正确；若a ，b 中有一个是零向量，则a 与b 一定共线，C 正确；有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行，D 不正确．]5．菱形解析∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．6．①③④解析相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④能使a ∥b .7．①单位圆②相距为2个单位的两个点③一条直线8．解(1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，FA →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.。

人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念教案(1)

第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念教学设计一、内容和内容解析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，它有着丰富的现实背景和物理背景。

向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。

向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具，它体现了数学和物理的天然联系。

向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。

在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较，得出抽象的数学模型，所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。

在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。

本节课是一节概念课，在向量基本概念的形成过程中，需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点，在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示，位移的表示，速度的表示为起点，归纳并确定向量的几何表示以及符号表示，而在探索向量间的特殊关系时，引导学生借助图形进行，这样不仅使研究有序，同时更锻炼学生的直观想象能力，有助于感受向量集数与形于一身的特性。

通过类比学习数量的过程，让学生自然的获得新知识的探究方向，在基本概念的学习中，要让学生体验概念的生成过程，获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象，认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。

二、目标和目标解析1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，了解平面向量的实际背景；2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3. 理解平面向量的几何表示和基本要素，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，能做一个向量和已知向量相等，能根据图形判定向量是否是平行，共线，相等向量。

4.通过类比“学习数量的过程”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路．学生已经学习过数量，但是形如确定位置的问题，只用数量是无法满足需要的，这就使得学习新知识是自然的有必要的，同时可以引导学生类比“学习数量的过程”明确研究向量概念的基本方向，因此，复习回顾数量的相关知识是有必要的。

人教A版数学必修四教案：2.1平面向量的实际背景及基本概念

第二章平面向量本章教材分析1．丰富多彩的背景,引人入胜的内容.教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识.学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础,从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示.向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来,这样为解决有关的几何问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题.最后介绍了平面向量的应用.2．教学的最佳契机,全新的思维视角.向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的.反过来,向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题.这一章的内容虽然概念多,但大都有其物理上的来源,虽然抽象,却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的.全新的思维视角,恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣,而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机.3．本章充分体现出新教材特点.以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容,注重向量运算与数的运算的对比,特别注意知识的发生过程.对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论.这一章中的一些例题,教科书不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法.解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法,有的还让学生进一步考虑相关的问题.对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式,从而培养学生的思维能力.向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题,同时也可以用几何的观点处理某些代数问题.§2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、教学分析本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用,可通过几个具体的例子说明它的应用.位移是物理中的基本量之一,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.二、教学目标1、知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。

高中数学人教A版必修4教案-2.1_平面向量的实际背景及基本概念_教学设计_教案_1

教学准备
1. 教学目标
向量及向量的基本运算
2. 教学重点/难点
向量及向量的基本运算
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
③单位向量：模为1个单位长度的向量。

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

4)实数与向量的积
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。

5)两个向量共线定理
6)平面向量的基本定理
7)特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算。

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。

（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。

（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

【例题选讲】
例1、判断下列各命题是否正确。

人教A版高中数学必修4 精选优课学案 2.1 平面向量的实际背景及基本概念(通用)2.doc

《2.2.1 平面向量基本定理》学案【教材】人教版数学必修4（B 版）第96-99页【课时安排】 1个课时【教学对象】高一学生【目标分析】知识与技能1. 理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；2. 了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。

过程与方法1. 通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；2. 通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。

情感态度价值观1. 培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；2. 与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点、难点、关键】重点：平面向量基本定理的理解与应用。

难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程。

关键：分层次设计探究问题并让学生进行操作实践。

【教学方法】引导探究、讨论交流。

【教学手段】计算机、PPT 、几何画板。

【教学过程设计】一、【情景导入】让我们来玩游戏吧：（一）在图一中同桌两人为一组，每位同学把平面上的两个向量分别乘以一个数再相加（减）如： 1232 e e ,图一（二）在图二中现在每位同学在平面内任意画一个向量，再互相交换，另一名同学能否用形如12e e λμ+的形式表示出来所画向量？图二【合作探究】探究一任意画出的向量是否一定可以用“一个”已知的非零向量表示？探究二任意画出的向量是否一定可以用“两个”已知的不共线向量表示？如图1，设21e e ，,是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量。

1e ，a2e ，请你将向量a 分解成图中所给的两个方向上的向量。

小组对照，比较分解成的两个向量的方向和长度是否一致？探究结果【提炼升华】平面向量基本定理：探究三探究二中的向量a 可否用其他两个不共线的向量表示出来？教师在黑板上另画出向量a 和不共线的向量34e e ，，请一位同学板演出新分解。

数学必修4教学案：2.1平面向量的实际背景及基本概念(教＼学案)

平面向量的实际背景及根本概念教材分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。

向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。

因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的局部运算法那么，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法那么等。

之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。

本章共分五大节。

第一节是“平面向量的实际背景及根本概念〞，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。

本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等根本概念。

在“向量的物理背景与概念〞中介绍向量的定义；在“向量的几何表示〞中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量〞中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。

教学目标：1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学过程：一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？〔画图〕结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：〔一〕向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量〔二〕请同学阅读课本后答复：〔可制作成幻灯片〕1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向一样或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不A B C D是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？〔三〕探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进展代数运算、比拟大小；向量有方向，大小，双重性，不能比拟大小.2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ〔黑体，印刷用〕等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：〔1〕向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向一样，那么这两个向量就是一样的向量；〔2〕有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向一样，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：A(起 B〔终a①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向一样或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：〔1〕综合①、②才是平行向量的完整定义；〔2〕向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向一样的向量叫相等向量.说明：〔1〕向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；〔2〕零向量与零向量相等；〔3〕任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上〔与有向线段的起点无关〕．．．．．．．．．．．.说明：〔1〕平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；〔2〕共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.〔四〕理解和稳固：例1 书本86页例1.例2判断：〔1〕平行向量是否一定方向一样？〔不一定〕〔2〕不相等的向量是否一定不平行？〔不一定〕〔3〕与零向量相等的向量必定是什么向量？〔零向量〕〔4〕与任意向量都平行的向量是什么向量？〔零向量〕〔5〕假设两个向量在同一直线上，那么这两个向量一定是什么向量？〔平行向量〕〔6〕两个非零向量相等的当且仅当什么？〔长度相等且方向一样〕〔7〕共线向量一定在同一直线上吗？〔不一定〕例3以下命题正确的选项是〔〕A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，那么ａ与c也共线的四顶点ａ与ｂ不共线，那么ａ与ｂ都是非零向量解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向一样或相反即可，与起点是否一样无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否认形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假假设ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？〔11个〕变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？〔存在〕变式三：与向量共线的向量有哪些？〔FE,〕DOCB,课堂练习：1．判断以下命题是否正确，假设不正确，请简述理由.①向量AB与CD是共线向量，那么A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，假设起点不同，那么终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向一样或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却一样.2．书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题平面向量的实际背景及根本概念课前预习学案一、预习目标通过阅读教材初步了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.二、预习内容〔一〕、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？〔画图〕结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？〔二〕、新课预习：1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2、请同学阅读课本后答复：〔可制作成幻灯片〕1)数量与向量有何区别？ 2)如何表示向量？ 3) 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4)长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 5) 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6)有一组向量，它们的方向一样或相反，这组向量有什么关系？ 7) 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各A B C D向量的终点之间有什么关系？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标1、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、学习过程1、数量与向量的区别？？ ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作。

人教A版高中数学必修4 精选优课教案 2.1 平面向量的实际背景及基本概念(通用)2

平面向量的实际背景及基本概念教学设计教学目标• 1、知识与技能• （1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；• （2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；• （3）学会区分平行向量、相等向量和共线向量.• 2、过程与方法• 通过对向量的学习，初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.• 3、情感、态度与价值观• 通过对向量与数量的识别能力的训练，提高认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解向量的有关概念及向量的几何表示。

教学难点：向量的含义教学过程：一、向量的概念情景设置：如图，老鼠由A 向东北逃窜，猫在B 处向东南追去，问：猫能否追到老鼠？结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量. 意图：向量概念不是凭空产生的。

用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容，学生会有亲切感，有助于激发学习兴趣。

问题1 你能否再举出一些既有大小又有方向的量？意图：激活学生的已有相关经验。

进一步直观演示，加深印象。

追问：生活中有没有只有大小没有方向的量?请举例。

意图：形成区别不同量的必要性。

概念抽象需要典型丰富的实例，让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备。

1、类比数的概念获得向量概念的定义（板书）。

2、向量的表示方法问题2 数学中，定义概念后，通常要用符号表示它。

怎样把你举例中的向量表示出来呢？意图：让学生板演力的表示，让错误呈现，激发认知冲突，最后自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量。

（教师引导学生进一步完善）几何表示法：记作A B |A B|为AB 的长度(又称模)。

字母表示法：a 、b 、c ……或a 、b 、c ……3、单位向量、零向量的概念：问题3数量中有很特殊的数“0”，“1”，向量中有没有类似的特殊向量，如果有，怎样定义？意图：这样过渡学生不会感觉新的概念是从天而降，而是进一步学习的需要让演板学生回到座位之后利用这个情境提出问题，他位移的大小是什么？归纳小结：零向量——长度（模）为0的向量，记作0，它的方向是任意的。

平面向量的实际背景及基本概念教案-人教A版数学必修4第二章平面向量2.1

第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念第三课时 2.1.3相等向量与共线向量1 教学目标[1]掌握相等向量,共线向量的概念。

[2]会区分相等向量，共线向量，平行向量。

[3]理解零向量与任何向量平行。

[4]通过学习对相等向量与平行向量的区别的学习，更加深刻的理解好向量与数量的关系，提高数学思维能力和认识新事物的能力。

2教学重点/难点教学重点：相等向量，共线向量的概念。

教学难点：区分相等向量与共线向量。

3专家建议通过介绍相等向量、共线向量概念，给学生渗透平移变换及数形结合的思想4 教学方法类比探究→归纳讲解→总结→练习提高。

5 教学过程5.1 复习引入【师】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答，我们上节课学了什么内容？【板书】向量：既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中常称为矢量）数量：只有大小，没有方向有向线段：带有方向的线段叫做有向线段有向线段的三要素：起点、方向、长度模：向量的长度零向量：长度为0的向量叫做零向量单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量5.2 新知介绍[1]相等向量【师】我们知道，速度是矢量，有大小和方向，那么怎样的两个速度才是相等的呢？【生】讨论回答【师】总结“大小相等，方向相同”才能说速度相等【板书】速度相等：大小相等，方向相同【师】那么相等向量要具备什么条件呢？【生】讨论回答【师】总结“长度相等，方向相同”的向量叫做相等向量【板演/PPT】相等向量：长度相等，方向相同如图，在平行四边形ABCD中，能找出相等向量吗？向量与是相等向量吗？向量与是相等向量吗？向量与CB是相等向量吗？【师】同学们拿出三角板，在练习本上画出长度分别为3cm和4cm的两组相等向量【生】动手画图【师】请大家注意，一定要满足两个条件哦，长度相等，方向相同。

（然后，检查讲解）[2]共线向量【师】两个向量除了长度相等，方向相同，还有没有其它情况？【生】讨论回答【师】总结【板书】长度相等，方向相反长度不等，方向相同长度不等，方向相反【板书/PPT】长度相等，方向相反的两个向量可以平移到同一条直线上长度不等，方向相同的两个向量可以平移到同一条直线上长度不等，方向相反的两个向量可以平移到同一条直线上【师】让我们来总结一下【板书/PPT】方向相同或相反的非零向量ba,叫做平行向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量。

人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.1平面向量的实际背景及基本概念》教案(5)

2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习目标：1.通过对力、位移等实例的分析，了解向量的物理实际背景；2.掌握向量的几何表示，能用字母表示向量；3.理解平行向量、相等向量的概念。

二、学习重点与难点：重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

难点：向量的概念，对平行向量也叫做共线向量的理解。

三、知识链接：1.画示意图，分别表示一个竖直向下，大小为2N的力和一个水平向左、大小为2N的力（1cm的长表示1N）。

2.用上题中的两个力分别作用于同一个个物体，作用效果一样吗？这两个力________相同_________不同。

3.物理中，矢量和标量各指什么？试举例说明四学习过程（一）向量的有关概念阅读课本P74-75，回答下列问题：问题1：什么是向量？数量？试举例说明思考：时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？阅读课本P75-76,试回答：问题2：什么是有向线段？它的三要素是什么？问题3：向量是既有大小，又有方向的量，那么如何直观地描述“向量”呢？问题4：如何用字母表示向量？有几种表示方法？思考：AB 与BA 是同一个向量吗？问题5：向量的模、零向量、单位向量各是怎样定义的？思考：（1）零向量、单位向量的方向确定吗？（2）向量的模可以比较大小吗？向量可以比较大小吗？（二）向量的关系阅读课本P76，回答下列问题：问题6：平行向量是如何定义的？试作出示意图表示//，//问题7：关于平行向量，对零向量有什么特殊的规定？问题8：相等向量是如何定义的？AB 与 BA 相等吗？问题9：如图，a 、b 、c 为一组平行向量， l 与a 所在的直线平行，在l 上任取一点O 作出OA a = ,OB b = ,OC c =. 你能得出什么结论？a b c lO思考：.若向量 a 、b 共线， a 、b 所在的直线一定重合吗？（三）典型例题、习题自学例1，完成课本P77 练习3自学例2，思考：如何寻找与已知向量相等的向量？变式练习：设是正六边形的中心，分别写出图中（1）与AB 相等的向量（2）与AB 相等的向量（3）与AB 平行的向量想一想：相等向量一定是平行向量吗？反之，平行向量一定相等吗？五基础达标1. 给出下列命题：（1）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（2）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；（3）向量AB 与向量CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；（4）若向量a 、b 都是单位向量，则a b =；（5）若|| ||>，则a b >；A B C D E F O（6）若a b =，b c =则a c =其中假命题是。

高中数学人教A版必修4第二章2.1平面向量实际背景及基本概念教案设计

平面向量的物理背景及根本概念教学目标：1 .了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示.2 .掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量和单位向量等概念.3 .通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中向量和数量的区别.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学方法：自主学习，合作探究.教学过程：一、新课引入在物理学中，位移是既有大小又有方向的量.那么，你还能举出一些这样的量吗？解析：教材图示：重力，浮力，弹力，速度，加速度.阅读教材74—76面，完成?世纪金榜?自主预习局部二、根底知识讲解向量与数量的概念向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.提问：时间，路程，功是向量吗？速度，加速度是向量吗？有向线段概念：带有方向的有向线段.〔在三角函数线那里提到过〕三要素：起点，方向和长度.uuur uuur示范：有向线段AB，CD向量的有关概念〔1〕向量的表示方法：uuur uuur①有向线段：AB，CDrr r②小写英文字母：a，b，c，......注意：在字母上方打〔2〕向量的模长：〔3〕用模长定义的r1①单位向量：a图示：长度为1的一r②零向量：b图示：一个点.注意：零向量的方向是任意的，r arb三、课堂练习即时小测：有以下物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速.其中可以看成是向量的有( )个个个个2.向量a 如下列图，以下说法不正确的选项是 ()uuuurB.方向是由M 指向NA.也可以用MN 表示C.起点是MD.终点是M uuuuruuuur uuuur3.假设点M 是△ABC的外心，那么向量 AM ，BM ，CM 是()A.有共同起点的向量B.相等向量C.共线向量D.模相等的向量知识点4概念〔1〕平行向量：方向相同或相反的两个非零向量叫做平行向量.rrr r式子：假设向量a 与b 平行，记作：a//b.r r规定：零向量与任一向量平行，即：0//a.〔2〕相等向量：长度相等且方向相同两个向量叫做相等向量.rrr rrrr r式子：假设向量a 与b 相等，记作：ab.〔a//b ，a b 〕.注意：相等向量一定是平行向量，反之不一定成立 .3〕共线向量：因为任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以，平行向量也叫做共线向量.练习1如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心.分别写出图中与uuuruuuruuurOA ，OB ，OC 相等的向量.〔教材76面例2〕uuur uuur uuur uuur 思考：向量OA与FE相等吗？向量OB与AF相等吗？补充：1.假设四边形ABCD为平行四边形，那么uuur〔1〕与AB平行的向量有.uuur.〔2〕与AB相等的向量有2.四边形ABCD，那么uuuruuur uuuruuur①四边形ABCD为平行四边形AB//DC，BC//AD.②四边形ABCD为平行四边形uuur uuur uuur uuur AB DC〔或BC AD〕.作业：教材77面A组，第2,3题。

高中数学第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念教案新人教A版必修4

人教版高中必修42.1平面向量的实际背景及基本概念课程设计

人教版高中必修4-2.1 平面向量的实际背景及基本概念课程设计引言平面向量是高中数学中的重要知识点。

学习平面向量，可以帮助学生深入了解向量的概念、性质及其应用；同时，平面向量也是很多高等数学和物理学领域的基础。

本文旨在分析平面向量在现实世界中的实际背景，同时设计一堂高中必修4-2.1平面向量课程。

一、平面向量的实际背景1. 科技领域平面向量在科技领域有着广泛的应用，尤其是在计算机图形学、游戏开发和机器学习等领域。

例如，在计算机游戏中，平面向量可以用来表示角色的位置、速度和方向等信息；在图像处理中，平面向量可以用来表示图像的亮度和颜色。

2. 工程领域在工程领域，平面向量通常用于描述力的大小和方向，例如，机械工程中的受力分析、土木工程中的结构设计、电气工程中的电流、电压描述等等。

3. 数学和物理学对于学习数学和物理学的学生来说，平面向量也是很重要的基础知识。

在数学中，平面向量可以用于求解代数方程组、行列式的计算和向量空间的理解等等。

在物理学中，平面向量可以用于描述物理运动，例如力的合成、速度和位移的计算等。

二、课程设计1. 教学目标本节课通过对平面向量的介绍，旨在帮助学生：1.了解平面向量的基本概念和性质。

2.能够进行向量的加减、数量乘法和点乘运算。

3.了解平面向量在科技和工程领域的应用。

4.能够解决平面向量的简单应用问题。

2. 教学内容本节课的教学内容包括：1.平面向量的基本概念和性质。

2.向量的加减、数量乘法和点乘运算。

3.平面向量的应用。

4.平面向量的简单应用问题。

3. 教学方法本节课主要采用讲授和练习相结合的方法。

具体来说，可以采用以下教学方法：1.讲解：通过PPT等资料，讲解平面向量的基本概念和性质。

2.示范：通过简单的例题演示平面向量的加减、数量乘法和点乘运算。

3.练习：让学生进行相关练习，加深对平面向量的理解和应用能力。

4.展示：让学生展示自己对平面向量的理解和应用能力。

4. 教学过程本节课的教学过程可以分为以下几个步骤：1.介绍向量的基本概念和性质。

人教版高中数学必修4学案 2.1 平面向量的实际背景及基本概念

2．1 平面向量的实际背景及基本概念[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．[知识链接]1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中称为向量；而把那些只有大小，没有方向的量，在数学中称为数量，在物理学中常称为标量． 2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 3．向量与数量有什么联系和区别？答联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小． [预习导引]1．向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →. 3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b . ②规定：零向量与任一向量平行.要点一向量的概念例1 给出下列各命题： (1)零向量没有方向； (2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (7)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(8)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________．答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；(2)该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； (3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(6)该命题正确．由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ； (7)该命题不正确．因若b ＝0，则对两不共线的向量a 与c ，也有a ∥0，0∥c ，但a c 不成立；(8)该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.规律方法要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．跟踪演练1 下列命题中，正确的是( ) A ．a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等 B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 C ．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同 D ．共线的单位向量必是相等向量答案 B解析若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 是平行向量．要点二向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．规律方法在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解根据规则，画出符合要求的所有向量．马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示；马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三相等向量与共线向量例3 如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别为AB 和CD 的中点，在以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解不妨设正方形的边长为2，则以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的向量中：(1)模为2的相等向量共有8对，AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AD →＝MN →，DA →＝NM →，BC →＝MN →，CB →＝NM →.(2)模为1的相等向量有12对，其中与AM →同向的有MB →，DN →，NC →，这四个向量组成相等的向量有6对，即AM →＝MB →，AM →＝DN →，AM →＝NC →，MB →＝DN →，MB →＝NC →，DN →＝NC →，同理与AM→反向的也有6对．(3)模为5的相等向量共有4对，AN →＝MC →，NA →＝CM →，MD →＝BN →，DM →＝NB →.规律方法判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．跟踪演练3 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形． (1)写出与AO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？解 (1)与AO →相等的向量为：OC →、BF →、ED →.(2)与AO →共线的向量为：OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →. (3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等.1．下列说法正确的是( ) A ．零向量没有大小，没有方向 B ．零向量是唯一没有方向的向量 C ．零向量的长度为0D ．任意两个单位向量方向相同答案 C解析零向量的长度为0，方向是任意的，故A ，B 错误，C 正确．任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故D 错误．2．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( ) A.AD →与CB → B.OB →与OD → C.AC →与BD → D.AO →与OC →答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →. 3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中是共线向量的有________．答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →4．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________．答案梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可以将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种示意平行．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．一、基础达标 1．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中，正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．2．下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小答案 D解析向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小． 3．给出下列五个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k . 其中不正确的命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 B解析不正确的是①②③.4．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量答案 D解析这四个向量的模相等．5．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1，其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③ D ．②③ 答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a |＞0.6.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF → 答案 D解析由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同， ∴EP →＝PF →.7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →. 求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， ∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →. 二、能力提升8．下列结论中，正确的是( )A ．2 010 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B ．若O 是直线l 上的一点，单位长度已选定，则l 上有且仅有两个点A ，B ，使得OA →，OB →是单位向量C ．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D ．一个从A 点向东走500米到达B 点，则向量AB →不能表示这个人从A 点到B 点的位移答案 B解析一个单位长度取作2 010 cm 时，2 010 cm 长的有向线段刚好表示单位向量，故A 错误；B 正确；C 中两向量为平行向量；D 选项的AB →表示从点A 到点B 的位移． 9.如图，已知四边形ABCD 为正方形，△CBE 为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与AB →共线的向量有_____________________________________； (2)图中与AB →相等的向量有____________； (3)图中与AB →模相等的向量有____________．答案 (1)BA →，BE →，EB →，AE →，EA →，CD →，DC →(2)DC →，BE →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示：(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.11．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去．(注：至少转变两次方向)(1)按1∶100比例作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零； (2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？解 (1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，故有：n (180°－α)＝(n －2)180°.∴即α＝360°n，n 为不小于3的整数．12．如图平面图形中，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证： (1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→. 又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′綊BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|. ∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.三、探究与创新13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．解由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →. ∵集合中元素具有互异性，高中数学-打印版∴集合T中的元素共有12个.精校版。

人教A版高中数学必修4《二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》教案_14

向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。

平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。

一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。

所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。

由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。

2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。

但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。