必修一函数的基本性质单调性周末小练习
高一数学必修一函数练习题
高一数学必修一函数练习题函数是高中数学中非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
下面为高一学生准备了一系列函数练习题，以帮助学生更好地理解和掌握函数的基本概念和性质。
练习题一：函数的定义域与值域1. 给定函数 \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \)，求其定义域。
2. 对于函数 \( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)，找出其值域。
练习题二：函数的单调性1. 判断函数 \( h(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x \in (-\infty,\infty) \) 上的单调性。
2. 若函数 \( k(x) = 2x - 1 \) 在 \( x \in [0, 2] \) 上单调递增，求 \( k(x) \) 在 \( x \in [2, 4] \) 上的单调性。
练习题三：函数的奇偶性1. 判断函数 \( f(x) = |x| \) 是否为奇函数或偶函数。
2. 若函数 \( g(x) = x^2 + 1 \) 是偶函数，求证。
练习题四：复合函数1. 已知 \( f(x) = x^2 \) 和 \( g(x) = x + 3 \)，求复合函数\( (f \circ g)(x) \)。
2. 若 \( h(x) = \sqrt{x} \) 和 \( k(x) = x - 1 \)，求 \( (h \circ k)(x) \)。
练习题五：反函数1. 若 \( f(x) = 2x + 1 \)，求其反函数 \( f^{-1}(x) \)。
2. 对于函数 \( g(x) = x^2 \)，讨论其反函数的存在性。
练习题六：函数的图像与性质1. 画出函数 \( y = |x - 1| \) 的图像，并标出其顶点坐标。
2. 对于函数 \( y = x^3 \)，描述其在 \( x = 0 \) 附近的图像变化趋势。
练习题七：函数的实际应用1. 某工厂生产的产品数量与时间的关系为 \( P(t) = 100t - 5t^2 \)，求出生产量达到最大时的时间。
高一数学函数的基本性质试题答案及解析
高一数学函数的基本性质试题答案及解析1.若函数是偶函数,则的增区间是．【答案】或【解析】由条件，得，即，所以原函数为，所以函数的增区间为．【考点】函数的奇偶性与单调性．2.（12分）已知是定义在R上的奇函数，当时，，其中且. （1）求的值；（2）求的解析式；【答案】（1）0（2）【解析】（1）因是奇函数，所以有，所以=0.……4分（2）当时，，，由是奇函数有，，……12分【考点】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数值和函数解析式的求取，考查学生对函数性质的应用能力.点评：对于分段函数，当已知一段函数的表达式要求另一段时，要利用函数的性质，并且要注意“求谁设谁”的原则.3.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是A．B．C．D．【答案】A【解析】令，可得，令，得所以，令，得，同理令可得，所以【考点】本小题主要考查函数的奇偶性和抽象函数的求值问题，考查学生的运算求解能力.点评：解决抽象函数问题，常用的方法是“赋值法”.4.已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，则当时，的递减区间是．【答案】【解析】因为为奇函数，所以的图象关于对称，当时，，所以当时，函数的单调递减区间为，因为图象关于对称，所以当时，的递减区间是.【考点】本小题主要考查函数图象和性质的应用，考查学生数形结合思想的应用和推理能力.点评：解决本小题的关键是分析出函数的图象关于对称，在关于对称的两个区间上单调性相同.5.（本小题12分）已知函数，（1）判断函数在区间上的单调性；（2）求函数在区间是区间［2,6］上的最大值和最小值.【答案】（1）函数是区间上的减函数；（2），【解析】（1）设是区间上的任意两个实数,且,则-==.由得,,于是,即.所以函数是区间上的减函数. ……6分（2）由（1）知函数函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值,即当时,;当时,. ……12分【考点】本小题主要考查利用定义判断函数的单调性和利用函数的单调性求函数的最值，考查学生对定义的掌握和利用能力以及数形结合思想的应用.点评：利用单调性的定义判断或证明函数的单调性时，要把结果划到最简，尽量不要用已知函数的单调性判断未知函数的单调性.6.设偶函数的定义域为，当时是增函数，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是偶函数，所以，而当时是增函数，所以.【考点】本小题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用，考查学生的逻辑推理能力.点评：函数的奇偶性和单调性经常结合考查，要熟练准确应用.7.已知是偶函数，且当时，，则当时，【答案】【解析】由题意知，当时，，所以，又因为是偶函数，所以，所以当时，.【考点】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查学生的运算求解能力.点评：此类问题要注意求谁设谁.8.（本小题满分13分）已知定义域为的函数是奇函数。
函数的基本性质练习(含答案)
函数的基本性质练习(含答案)基础训练A组1.若函数f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)，代入函数f(x)，得到：m-1)x^2+(m-2)x+(m^2-7m+12) = (m-1)(-x)^2+(m-2)(-x)+(m^2-7m+12)化简得到：(m-1)x^2+(m-2)x+(m^2-7m+12) = (m-1)x^2-(m-2)x+(m^2-7m+12)移项得到：4x=0，因此m=2，选B。
2.偶函数在[-∞,-1]上是增函数，说明在[1,+∞)上也是增函数，因此f(-3/2)<f(-1)<f(2)，选A。
3.因为f(x)是奇函数，所以在[-7,-3]上也是增函数，最小值为-5，因此选A。
4.F(x) = f(x) - f(-x)，代入f(-x)得到：F(x) = f(x) - (-f(x)) = 2f(x)因此F(x)是偶函数，选B。
5.对于y=x，有y'=1>0，在(0,1)上是增函数，选A。
6.化简得到f(x)=-x^2+x，因此在[0,1]上是减函数，但f(-x)=-f(x)，因此是奇函数，选B。
填空题1.因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，不等式化简得到f(x)<0，解为(-5,0)U(0,5)。
2.值域为(-∞,+∞)，因为2x+x+1可以取到任意大的值。
3.y=x+1，因此值域为(1,2]。
4.f(x)的导数为2(k-2)x+(k-1)，当x(k-1)/(2(k-2))时导数小于0，因此f(x)的递减区间为(-∞,-(k-1)/(2(k-2)))U((k-1)/(2(k-2)),+∞)。
5.命题(1)和(2)正确，命题(3)和(4)错误，因此正确的命题个数为2.解答题1.一次函数y=kx+b的单调性取决于k的符号，当k>0时单调递增，当k0时单调递减，当k0时开口向上，单调递增，当a<0时开口向下，单调递减。
2.因为定义域为(-1,1)，所以f'(x)=2x-1<0当x<1/2时，f(x)单调递减，因此f(x)在(-1/2,1/2)上取得最大值，最小值为f(1)=3.x0时，f(x)为正数。
高一数学必修一函数的基本性练习题
函数的基本性质综合练习一．选择题：（本大题共10题，每小题5分，共50分）1．若函数ax y =与x b y -=在(0，＋∞)上都是减函数，则bx ax y +=2在),0(∞上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增2．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设)(x f 是(－∞，＋∞)上的增函数a 为实数，则有 ( )A ．)2()(a f a f <B ．)()(2a f a f <C ．)()(2a f a a f <+D ．)()1(2a f a f >+ 4．如果奇函数)(x f 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[－7，－3]上是( )A ．增函数且最小值是－5B ．增函数且最大值是－5C ．减函数且最大值是－5D ．减函数且最小值是－55．已知定义域为}0|{≠x x 的函数)(x f 为偶函数，且)(x f 在区间(－∞，0)上是增函数，若0)3(=-f ，则0)(<xx f 的解集为( ) A ．(－3,0)∪(0,3) B ．(－∞，－3)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－3,0)∪(3，＋∞) 6．当]5,0[∈x 时，函数c x x x f +-=43)(2的值域为( )A ．[c,55＋c ]B ．[－43＋c ，c ]C ．[－43＋c,55＋c ] D ．[c,20＋c ] 7．设)(x f 为定义在R 上的奇函数．当0≥x 时，b x x f x ++=22)((b 为常数)，则)1(-f 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－38．下列函数在(0,1)上是增函数的是( )A ．x y 21-=B ．1-=x yC ．x x y 22+-=D ．5=y9.下列四个集合：①}1|{2+=∈=x y R x A ；②},1|{2R x x y y B ∈+==；③},1|),{(2R x x y y x C ∈+==；④}1{的实数不小于=D ．其中相同的集合是( )A ．①与②B ．①与④C ．②与③D ．②与④ 10．给出下列命题：①xy 1=在定义域内为减函数；②2)1(-=x y 在),0(∞ 上是增函数；③x y 1-=在)0,(-∞上为增函数；④kx y =不是增函数就是减函数。
(新教材)新人教A版必修第一册培优练习：(10)函数的基本性质Word版含答案
精英同步卷(10 )函数的基本性质1奇函数f(x)的定义域为R ，若f(x 2)为偶函数，且f ⑴=1,则f(8) f(9)=()3、设函数f(x),g(x)的定义域都为 R ，且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，则下列结论中正确的C. f (x) g (x)|是奇函数 DJ f (x) g (x)是奇函数4、设偶函数 f(x)满足 f(x) =x 3 _8(x _0),则 fx|f(x_2) .0^-() A. & | x v -2或x >4} B. {x|x v0或x >4} C.f x|x ::0或x 6 /D.「X|X < -2 或x ：-2?5、 已知f(x)是定义域为(-：,；)的奇函数，满足f(1—x)=f(1 - x) .若 f(1)=2,则 f(1) f(2) - f (3) 曲(50)=()A.-50B.0C.2D.506、 已知函数f(X )是定义在区间1-2, 2止的偶函数，当 1.0,2 ］时,f(x)是减函数，若不等式 f (1 -m) ：：： f (m)成立,则实数m 的取值范围为() A. -1,1B.(1,2)C.(」：,0)D. (-：：,1)7、 已知偶函数f(x)在区间_：：,o ］上单调递减，则满足f(2x ，1)：：：f (3)的x 的取值范围是() A. (-1,2)B.(-2,1)C.(-1,1)D.(-2,2)8、 定义在R 上的函数f(x)是偶函数,且 f (x)二f(2 -x)若f(x)在区间1,2 ］上是减函数，则 ()A.在区间1-2, -1 ］上是增函数，在区间3,4 ］上是增函数A.-2B.-1C.OD.12、已知函数f(x)为奇函数，且当x 0时,2 1 j f x ]=x 2— . 0，则 f -1 =( xA. -2B. 0C. 1D. 2A. f(x)g(x)是偶函数B. | f (x) g (x)是奇函数B.在区间［-2, -1 ］上是增函数，在区间3,4 ］上是减函数C.在区间［_2, _1 ］上是减函数,在区间3,4 ］上是增函数D.在区间1-2, _1 ］上是减函数，在区间3,4 ］上是减函数9、若定义在R上的函数f (x)满足对任意的X i,X2 .二R，都有f (x i亠X2) = f (x i)亠f(X2)，且当x 0 时,f(x) <0,则()A. f(x)是奇函数，且在R上是增函数B. f(x)是奇函数，且在R上是减函数C. f(x)是奇函数，但在R上不是单调函数D. 无法确定f (x)的单调性和奇偶性10、定义在R上的偶函数f(x)在(0,匸：)上是增函数,则()A. f(3) f(4) ：：:f(Y)B.f(Y)：：:f(—4) ：：:f(3)C. f (3) ::: f(Y)：：： f(4)D. f O ：：: f (-二)：：:f (3)11、设奇函数f(x)在(0, •：：)上是增函数，且f(1)=0,则不等式x ［f (x) _ f (_x) .1 ：：：0的解集为12、已知偶函数f(x)在b,畑)单调递减,f(2) =0,若f(x—1)A0,则x的取值范围是__________________13、奇函数f(x)的定义域为1^,5 ］,若当x・［0,5 ］时,f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)：：:0,则不等式x f(x) <0的解集为x a为偶函数，则实数a16、已知偶函数f(x)在区间［0, •::上单调递增，则满足f(2x-1)：：:f I -的x的取值范围是答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：••• f(x 2)为偶函数，f(x)是奇函数，二设g(x)二f (x 2)，则g(_x)二g(x),即卩f ( _x 2) = f (x 2) .v f(x)是奇函数，••• f (_x 2) = f (x 2) = -f (x -2)，即f(x 4) = —f (x), f (x 8) = f (x 4 4) = —f (x 4) = f (x)，则f (8) = f(0) =0, f(9) = f(1)=1，•f(8) f(9) =0 1 =1，故选 D.2答案及解析：答案：A解析：3答案及解析：答案：C解析：v f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，• f (_x) --f(x),g(_x)二g(x)，•f ( -x) g(—x)二-f (x) g(x) ,• f (x)g(x)是奇函数,故A 错误;f (_x)g (_x) = f(x) g(x)为偶函数，故B 错误；f ( _x) • g ( _x) = _f (x) • g(x)是奇函数故C 正确；f ( _x)・g (—x) = f (x) g (x) 为偶函数，故D错误•故选C.4答案及解析：答案：B解析：v f (x) =x3 _8(x _0),•••令f(x) 0 ,得x 2.又f(x)为偶函数且 f (x - 2) 0 ,• f ( x -2) 0 ,• x -2 . 2 ,解得x 4或X ：：0.5答案及解析：答案：C解析：v f(x)是奇函数,f ( -x) - -f (x) , • f (1 - x) - - f (x -1).f(1 _x) = f(1 x)，二_f(x _1) = f (x 1),二 f (x • 2) = _f (x),二 f (x • 4) = _f (x • 2) - _ 丨_f (x) I - f (x),•••函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数得f(0) =0.又••• f(1 _x)二f(1 x),•- f(x)的图象关于直线x =1对称，• f (2) =f (0) =0, • f(-2) =0.又f(l)=2,「. f (_1)二―2,•f(1) f(2) f(3) f(4)=f(1) f(2) f(-1) f (0)-2 0 -2 0=0,•f(1) f (2) f(3) f(4)—幕f(49) f(50)=0 12 f(49) f (50) = f(1) f(2) =2 0=2.6答案及解析:答案：A 解析：T f(x)是定义在区间丨_2,2止的偶函数f(1 — m) ：：: f(m) ,• f(1 -m^：： f ( m).又T当X • 0,2 ］时,f(x)是减函数,T-2-^-m<2二"-2 _m _21-旳|m7答案及解析：答案：B解析：T f (x)为偶函数,• f (2x ■ 1^ f (2x 1).由f(2x 1) ：：: f (3), 得 f (2x - 1) ::: f (3).T偶函数f(x)在一:：,0 ］上单调递减，•••偶函数f(X)在0,；上单调递增，则2x 1 ：：：3,解得-2 ： X ：：:1,故选B.8答案及解析：答案：B解析：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称•又因为f(x)在区间1,2 ］上是减函数所以在区间|_2, _1 ］上是增函数•在f (x) = f(2 — x)中，以X • 1代替x,得f (1 • x) = f (1—x)，所以f (x)的图象关于直线X=1对称,选一个满足以上所有性质的函数的代表并作出其图象如图所示•4 _3 J 士】0■12 3 4 ^因为函数f(x)在区间［_2, _1 ］与3,4 上的图象关于直线X=1对称，所以函数在区间|3,4 ］上是减函数，故选B.9答案及解析：答案：B解析：T f区• X2) = f (xj • f化)对任意X1,X2 ：=R都成立,•••令X1 =X2 =0 ,可得 f (0)=0，令X2 =-为，则 f (xj • f ( —xj = f (0) =0 ,即f(_x) - -f (x) ,• f(x)为奇函数•令X2 X! • 0 ,则X2「X1 . 0 .f (x)2 -f(X1) = f(X2 -X1 • X1) -f(X1 ) = f(X2 -X1) • f(X1 ) - f(X1) = f(X2 -X1) ：：: 0• f(X2)：：: f (xj ,• f(x)在(0,：：)上为减函数.又f(x)为奇函数，• f(x)在R上是减函数• 10答案及解析:答案：C解析：•/ f(x)在R 上是偶函数，••• f(-蔥)=f(J f (V) =f (4).而4,且f(x)在(0,v)上是增函数,• f ⑶：::f(J ：：: f(4)，即 f ⑶：::f(Y)::：—11答案及解析:答案：:x | -1... x：：：0或0 ：：：x ：：1解析：由题知f (丄)=_f(x),•••不等式x |f (x) —f (_x) | ：：：0 可化简为xf (x) ::: 0 .又f ⑴=0 ,••• f( _1) =0.•••奇函数f(x)在(0, •：:)上是增函数，从而函数f(x)的大致图象如图所示，则不等式x f (x) _ f ( _x) | ：：:0 的解集为‘ X1-仁：X ：0或0:：X :::1.12答案及解析：答案：(-1,3)解析：•••偶函数f(x)在0,；上单调递减，f(2)=0,「.不等式f(x-1) .0等价于f(x -1) f (2) , ••f(x -1) ■ f (2) ,• x -1 ::: 2，解得-1 ：：X ：313答案及解析：答案：(-2,0) 一2,5 ]解析：由于奇函数的图象关于原点对称故函数f(x)在定义域匚5,5 ]上的图象如图所示.由图象知不等式f(X)£0的解集是(-2,0) u(2,5 ].14答案及解析：答案：(-2,-1) 一(1,2)解析：••• x f(x) <0,•①当x 0时,f(x) :::0，结合函数的图象可得1：x：：2;②当x：：：0时，f (x) .0 ,根据奇函数的图象关于原点对称，可得-2 ：：：x ：：： -1,二不等式x f(x) <0的解集为(-2,-1) 一(1,2).1?15答案及解析:答案：0 解析：•••函数 f(x) =X -x a 为偶函数，••• f (_X )=f (X ),即(_x)2「_X • a =x 2 _ X - a J_x a = x a ,• a =0.16答案及解析:解析：偶函数f(x)在区间［0,； 上单调递增，所以函数f(x)在区间 ：,0 ］上单调递减•由于f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f _丄二f 1 .由13丿2丿I 2x~11 2 1 1 12 { 1②,解①得丄兰XC 2,解②得1 vx<—综上，得」<xc 22x -1 •-1 2 3 3 2 333答案: 1,22x -1 _ 0 ! 1 ,①或 2x -仁:- I 3,故x 的取值范围是。
高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.2函数的基本性质Word版含答案
【新教材】3.2.1 单调性与最大（小）值（人教A版）1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义；2、会根据单调定义证明函数单调性；3、理解函数的最大（小）值及其几何意义；4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点：1、函数单调性的定义及单调性判断和证明；2、利用函数单调性或图像求最值.难点：根据定义证明函数单调性．一、预习导入阅读课本76-80页，填写。
1．增函数、减函数的定义2、单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)________，区间D叫做y＝f(x)的________．[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“,”连接．如函数y＝1x在(－∞，0),(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．3、函数的最大（小）值1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( )(3)任何函数都有最大值或最小值．( )(4)函数的最小值一定比最大值小．( )2.函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )A．[－4,4] B．[－4，－3]，[1,4]C．[－3,1] D．[－3,4]3．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．－1,0B ．0,2C ．－1,2 D.12，2 4．下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)的是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝2x ＋15．函数f (x )＝2x，x ∈[2,4]，则f (x )的最大值为______；最小值为________． 题型一 利用图象确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:(1)y=3x-2;(2)y=-1x . 跟踪训练一1. 已知x ∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.题型二 利用函数的图象求函数的最值例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.跟踪训练二1.已知函数f(x)={1x ,0<x<1,x,1≤x ≤2.(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.题型三 证明函数的单调性 例3 求证:函数f(x)=x+1x 在区间(0,1)内为减函数. 跟踪训练三1.求证：函数f(x)＝21x在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数． 题型四 利用函数的单调性求最值例4 已知函数f(x)=x+ 4x .(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.跟踪训练四1.已知函数f(x)＝6x−1(x∈[2,6]，)求函数的最大值和最小值．题型五函数单调性的应用例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f34⎛⎫⎪⎝⎭的大小.跟踪训练五1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.题型六单调性最值的实际应用例6“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h（t）=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？跟踪训练六1. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?1.f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)−f(b)a−b>0，则必有( )A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增C．函数f(x)是R上的增函数 D．函数f(x)是R上的减函数2.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )A．－1 B．0C．1 D．23．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( ) A．[160，＋∞) B．(－∞，40]C．(－∞，40]∪[160，＋∞) D．(－∞，20]∪[80，＋∞)4.若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f (1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是。
函数的单调性·基础练习
函数的单调性·基础练习函数的单调性(一)选择题[ ]A ．增函数B ．既不是增函数又不是减函数C ．减函数D ．既是增函数又是减函数2．函数(1) ,(2) ,(3) ,(4) 中在上围增函数的有[ ]A ．(1)和(2)B ．(2)和(3)C ．(3)和(4)D ．(1)和(4)3．若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有[ ]A 、B 、C 、D 、4．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是[ ]A ．a ≥－3B ．a ≤－3C ．a ≤5D ．a ≥35．函数y ＝3x －2x 2＋1的单调递增区间是[ ]1y ()．函数＝－在区间－∞，＋∞上是x 2x y =x x y =x x y 2-=x xx y +=)0,(-∞21>k 21<k 21->k 21-<kA 、B 、C 、D 、6．若y ＝f (x )在区间(a ，b)上是增函数，则下列结论正确的是[ ]A ．在区间上是减函数B ．y ＝－f (x )在区间(a ，b)上是减函数C ．y ＝|f (x )|2在区间(a ，b)上是增函数D ．y ＝|f (x )|在区间(a ，b)上是增函数7．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则[ ]A ．f (a)＞f(2a)B ．f (a 2)＜f (a)C ．f (a 2＋a)＜f (a)D ．f (a 2＋1)＜f (a)(二)填空题1．(1)函数的单调区间是 (2)函数的单调区间是 2．函数y ＝4x 2－m x ＋5，当x ∈(－2，＋∞)时，是增函数，当x ∈(－∞，－2)时是减函数，则f (1)＝________．3．(1)函数的增区间是(2)函数的减区间是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-43,⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43⎦⎤ ⎝⎛-∞-43,⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,43)(1x f y =()b a ,xy -=11xx y +-=11245x x y --=322-+=x x y4．函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2，0]，则f (x )的单调递减区间是________．5．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与之间的大小关系是 。
人教A版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷含答案解析(60)
人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知不等式 ax 2−x +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，则函数 y =ax 2+x +c 的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．2. 已知函数 f (x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=x (x −1)，则 f (2)= ( ) A ． −6 B ． 6 C ． −2 D ． 23. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 a,b,c ∈R ，则下列命题正确的是 ( ) A ．若 ab ≠0 且 a <b ，则 1a >1b B ．若 a >b >0，则b+1a+1>baC ．若 a +b =2，则 ab <1D ．若 c <b <a 且 ac <0，则 cb 2<ab 24. 定义全集 U 的子集 A 的特征函数 f A (x )={1,x ∈A0,x ∉A ，对于任意的集合 A,B ⊆U ，下列说法错误的是 ( )A ．若 A ⊆B ，则 f A (x )≤f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立B ． f A∩B (x )=f A (x )f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立C ． f A∪B (x )=f A (x )+f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立D ．若 A =∁U B ，则 f A (x )+f B (x )=1，对于任意的 x ∈U 成立5. 已知 −π2<α<0，sinα+cosα=15，则 1cos 2α−sin 2α= ( )A ． 75B ．257C ．725D ．24256. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]7. 设 a ，b ，c 是实数，下列条件中可以推出“a =b ”的是 ( ) A ．1a=1bB ． a 2=b 2C ． ac =bcD ． a −c =c −b8. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：f (x −2) 的对称轴为 x =2，f (x +1)=4f (x )(f (x )≠0)，且 f (x ) 在区间 (1,2) 上单调递增，已知 α，β 是钝角三角形中的两锐角，则 f (sinα) 和 f (cosβ) 的大小关系是 ( ) A ． f (sinα)>f (cosβ) B ． f (sinα)<f (cosβ) C ． f (sinα)=f (cosβ)D ．以上情况均有可能9. 若函数 f (x ) 为定义在 D 上的单调函数，且存在区间 [a,b ]⊆D ，使得当 x ∈[a,b ] 时，f (x ) 的取值范围恰为 [a,b ]，则称函数 f (x ) 是 D 上的正函数．若函数 g (x )=x 2+m 是定义在 (−∞,0) 上的正函数，则实数 m 的取值范围为 ( ) A ． (−54,−1) B ． (−54,−34) C ． (−1,−34)D ． (−34,0)10. 定义函数 [x ] 为不大于 x 的最大整数，对于函数 f (x )=x −[x ] 有以下四个结论：① f (2019.67)=0.67；②在每一个区间 [k,k +1)，k ∈Z 上，f (x ) 都是增函数； ③ f (−15)<f (15)；④ y =f (x ) 的定义域是 R ，值域是 [0,1)．其中正确的个数是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题（共6题）11. 关于函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣，给出以下四个命题：（1）当 x >0 时，y =f (x ) 单调递减且没有最值；（2）方程 f (x )=kx +b (k ≠0) 一定有实数解；（3）如果方程 f (x )=m ，（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；（4）y =f (x ) 是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ．12. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．13. 给出下列四个命题：① f (x )=sin (2x −π4) 的对称轴为 x =kπ2+3π8，k ∈Z ；②函数 f (x )=sinx +√3cosx 的最大值为 2； ③ ∀x ∈(0,π)，sinx >cosx ；④函数 f (x )=sin (π3−2x) 在区间 [0,π3] 上单调递增． 其中正确命题的序号为 ．14. 设函数 f (x )=sin2x +2cos 2x ，则函数 f (x ) 的最小正周期为 ；若对于任意 x ∈R ，都有f (x )≤m 成立，则实数 m 的最小值为 ．15. 若对任意 x >3，x >a 恒成立，则 a 的取值范围是 ．16. 若 log a (a +1)<log a (2√a)<0（a >0 且 a ≠1），则实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 求下列函数的定义域与值域．(1) y =21x−1；(2) y =3√5x−1； (3) y =(12)x−1．18. 已知函数 f (x )=2x +2−x ．(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 设a∈R，求关于x的函数y=22x+2−2x−2af(x)在x∈[0,+∞)时的值域g(a)的表达式；(3) 若关于x的不等式mf(x)≤2−x+m−1在x∈(0,+∞)时恒成立，求实数m的取值范围．19.定义：若函数f(x)的定义域为R，且存在实数a和非零实数k（a，k都是常数），使得f(2a−x)=k⋅f(x)对x∈R都成立，则称函数f(x)是具有“理想数对(a,k)”的函数．比如，函数f(x)有理想数对(2,−1)，即f(4−x)=−f(x)，f(4−x)+f(x)=0，可知函数图象关于点(2,0)成中心对称图形．设集合M是具有理想数对(a,k)的函数的全体．(1) 已知函数f(x)=2x−1，x∈R，试判断函数f(x)是否为集合M的元素，并说明理由；(2) 已知函数g(x)=2x，x∈R，证明：g(x)∉M；(3) 数对(2,1)和(1,−1)都是函数ℎ(x)的理想数对，且当−1≤x≤1时，ℎ(x)=1−x2．若正比例函数y=mx(m>0)的图象与函数ℎ(x)的图象在区间[0,12]上有且仅有5个交点，求实数m的取值范围．20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，∣φ∣<π2）的部分图象如图所示．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 设π12<x<11π12，且方程f(x)=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．21.某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？22.化简1−cos4α−sin4α．1−cos6α−sin6α答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】因为 不等式 ax 2−x +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}， 所以 a <0，故 x 2−1ax +ca<0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，所以 −2 和 1 是方程 x 2−1ax +c a=0 的两个根，故 −2+1=1a，−2×1=ca，解得 a =−1，c =2．故函数 y =ax 2+x +c =−x 2+x +2=−(x +1)(x −2)，其图象大致为 C ． 【知识点】二次函数的性质与图像2. 【答案】A【知识点】函数的奇偶性3. 【答案】B【解析】对于A ，取 a =−2，b =1，可知1a>1b不成立，因此选项A 不正确；对于B ，因为 a >b >0，所以 b+1a+1−ba =a−ba (a+1)>0，所以 b+1a+1>ba ，因此选项B 正确； 对于C ，取 a =b =1 时，ab =1，因此选项C 不正确； 对于D ，取 b =0 时，cb 2<ab 2 不正确，因此选项D 不正确． 【知识点】不等式的性质4. 【答案】C【知识点】函数的表示方法5. 【答案】B【解析】因为 sinα+cosα=15， 所以 1+2sinαcosα=125，所以 2sinαcosα=−2425，(cosα−sinα)2=1+2425=4925，又因为 −π2<α<0， 所以 cosα>0>sinα， 所以 cosα−sinα=75， 所以1cos 2α−sin 2α=1(cosα+sinα)(cosα−sinα)=115×75=257.故选B ．【知识点】同角三角函数的基本关系6. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．7. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件8. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性9. 【答案】C【解析】因为函数 g (x )=x 2+m 是定义在 (−∞,0) 上的正函数，所以存在 a <b <0，使得当 x ∈[a,b ] 时，g (x )∈[a,b ]，且函数单调递减， 则 g (a )=b ，g (b )=a ， 即 a 2+m =b ，b 2+m =a ， 两式左右分别相减得 a 2−b 2=b −a ， 即 b =−(a +1)，代入 a 2+m =b 得 a 2+a +m +1=0， 因为 a <b <0，且 b =−(a +1)， 所以 a <−(a +1)<0， 解得 −1<a <−12．故关于 a 的方程 a 2+a +m +1=0 在区间 (−1,−12) 内有实数根，把新定义的正函数问题转化为方程有解问题，采用了转化与化归思想．记 ℎ(a )=a 2+a +m +1，则 ℎ(−1)=1−1+m +1>0 且 ℎ(−12)=14−12+m +1<0，解得 m >−1 且 m <−34，即 −1<m <−34． 【知识点】函数的单调性、抽象函数10. 【答案】C【解析】 f (2019.67)=2019.67−2019=0.67，故①正确；设 k ≤x 1≤x 2<k +1，则 f (x 1)−f (x 2)=x 1−k −x 2+k =x 1−x 2<0， 所以 f (x 1)<f (x 2)，所以 f (x ) 在 [k,k +1)，k ∈Z 上是增函数，故②正确； 因为 f (−15)=−15−(−1)=45，f (15)=15−0=15，所以 f (−15)>f (15)，故③错误； 因为 x −[x ]∈[0,1)， 所以④正确． 故选C ．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的单调性二、填空题（共6题） 11. 【答案】（1）、（3）【解析】（1）当 x >1 时，y =f (x )=xx−1=1+1x−1 在区间 (1,+∞) 上是单调递减函数，当 0<x <1 时，y =f (x )=−xx−1=−1−1x−1 在区间 (0,1) 上是单调增函数．所以（1）是假命题． （2）函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，当 x >0 时，y =f (x ) 在区间 (0,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减．当 k >0 时，函数 y =f (x ) 与 y =kx 的图象在第一象限内有交点，由对称性可知，当 x <0 且 k <0 时，函数 y =f (x ) 与 y =kx 的图象在第二象限内有交点．所以，方程 f (x )=kx +b (k ≠0) 一定有解．所以（2）是真命题．（3）因为函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，且最小值 f (0)=0，举例：当 m =0 时，函数 y =f (x ) 与 y =m 的图象只有一个交点．此时方程 f (x )=m 的解是奇数．所以（3）是假命题． （4）函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，y =f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 在区间 (0,1) 上单调递增，(1,+∞) 上单调递减．且 f (0)=0,x >0 时，f (x )>0 恒成立，由对称性可知，函数 f (x ) 有最小值 f (0)=0．所以( 4 )是真命题．【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、函数的单调性12. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1， 当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点， 若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞)上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10， 此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时， 只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点， 因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点， 所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点； ② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， 所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点， 综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布13. 【答案】①②【解析】① y =sinx 的对称轴为 x =kπ+π2(k ∈Z )，故 f (x )=sin (2x −π4) 的对称轴由 2x −π4=kπ+π2(k ∈Z )，解得 x =kπ2+3π8(k ∈Z )，故①正确；②函数f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)，故该函数的最大值为2，故②正确；③ ∀x∈(0,π)，sinx>cosx；当x=π4时，sinx=cosx，故③错误；④函数f(x)=sin(π3−2x)在区间[0,π3]上单调递减，故④错误．故答案为：①②．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】π；√2+1【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】a≤3【知识点】恒成立问题16. 【答案】(14,1)【解析】当0<a<1时，函数y=log a x单调递减，由题意得{a+1>2√a,2√a>1,解得a>14，所以14<a<1；当a>1时，函数y=log a x单调递增，由题意得{a+1<2√a,2√a<1,无解．综上可知，实数a的取值范围是(14,1)．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由x−1≠0，得x≠1．所以函数的定义域为{x∣ x∈R且x≠1}．又1x−1≠0，所以21x−1>0，且21x−1≠1．所以函数的值域为{y∣ y>0且,y≠1}．(2) 由5x−1≥0，得x≥15．所以函数的定义域为{x∣ x≥15}．因为 5x −1≥0，所以 3√5x−1≥1．所以函数的值域为 {y∣ y ≥1}．(3) y =(12)x−1 的定义域是 R ，值域是 {y∣ y >−1}．【知识点】函数的定义域的概念与求法、函数的值域的概念与求法18. 【答案】(1) 函数 f (x ) 的定义域为 R ，对任意 x ∈R ，f (−x )=2−x +2x =f (x )， 所以函数 f (x ) 是偶函数．(2) y =22x +2−2x −2a (2x +2−x )=(2x +2−x )2−2a (2x +2−x )−2， 令 2x +2−x =t ，因为 x ≥0，所以 2x ≥1，故 t ≥2， 原函数可化为 y =t 2−2at −2，t ∈[2,+∞)，y =t 2−2at −2=(t −a )2−a 2−2 图象的对称轴为直线 t =a ，当 a ≤2 时，函数 y =t 2−2at −2 在 t ∈[2,+∞) 时是增函数，值域为 [2−4a,+∞)；当 a >2 时，函数 y =t 2−2at −2 在 t ∈[2,a ] 时是减函数，在 t ∈[a,+∞) 时是增函数，值域为 [−a 2−2,+∞)．综上，g (a )={[2−4a,+∞),a ≤2[−a 2−2,+∞),a >2．(3) 由 mf (x )≤2−x +m −1 得 m [f (x )−1]≤2−x −1，当 x >0 时，2x >1，所以 f (x )=2x +2−x >2，所以 f (x )−1>1>0， 所以 m ≤2−x −1f (x )−1=2−x −12x +2−x −1=1−2x 22x +1−2x恒成立．令 t =1−2x ，则 t <0，1−2x 22x +1−2x=t (1−t )2+t=t t 2−t+1=1t+1t−1，由 t <0 得 t +1t≤−2，所以 t +1t−1≤−3，−13≤1t+1t−1<0．所以 m ≤−13，即 m 的取值范围为 (−∞,−13]．【知识点】函数的奇偶性、指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法19. 【答案】(1) 依据题意，知 f (x )=2x −1，若 f (2a −x )=k ⋅f (x )，即 2(2a −x )−1=k (2x −1)． 化简得 −2x +4a −1=2kx −k ，此等式对 x ∈R 都成立，则 {2k =−2,4a −1=−k,解得 {k =−1,a =12.于是，函数 f (x )=2x −1 有理想数对 (12,−1)．所以，函数 f (x )∈M ． (2) 用反证法证明 g (x )∉M ． 假设 g (x )∈M ，则存在实数对 (a,k )(k ≠0) 使得 g (2a −x )=k ⋅g (x ) 成立． 又 g (x )=2x ，于是，22a−x =k ⋅2x ， 即 22a =k ⋅22x ．一方面，此等式对 x ∈R 都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随 x 变化而变化的实数．两方面互相矛盾，故假设不成立．因此，函数 g (x ) 不存在理想数对 (a,k )(k ≠0) 使 g (x )∈M ， 即 g (x )∉M ．(3) 因为数对 (2,1) 和 (1,−1) 都是函数 ℎ(x ) 的理想数对， 所以 ℎ(4−x )=ℎ(x )，ℎ(2−x )=−ℎ(x )，x ∈R ， 所以ℎ(4+x )=ℎ(4−(4+x ))=ℎ(2−(2+x ))=−ℎ(2+x )=−ℎ(4−(2−x ))=−ℎ(2−x )=ℎ(x ).所以函数 ℎ(x ) 是以 4 为周期的周期函数．由 ℎ(2−x )=−ℎ(x )，ℎ(2−x )+ℎ(x )=0，x ∈R ，可知函数 ℎ(x ) 的图象关于点 (1,0) 成中心对称图形．又 −1≤x ≤1 时，ℎ(x )=1−x 2，所以 1<x ≤3 时，−1≤2−x <1，则 ℎ(x )=−ℎ(2−x )=(2−x )2−1．先画出函数 ℎ(x ) 在 [−1,3] 上的图象，再根据周期性，可得到函数 ℎ(x ) 的图象如图： 所以 ℎ(x )={1−(x −2k )2,k 为偶数,2k −1≤x <2k +1(x −2k )2−1,k 为奇数,2k −1≤x <2k +1，所以 ℎ(x )=1−(x −8)2，7≤x ≤9；ℎ(x )=1−(x −12)2，11≤x ≤13．由 {ℎ(x )=1−(x −8)2,y =mx (7≤x ≤9) 有且仅有一个交点，解得 m =16−6√7（m =16+6√7，舍去）．由 {ℎ(x )=1−(x −12)2,y =mx (11≤x ≤13) 有且仅有一个交点，解得 m =24−2√143（m =24+2√143，舍去）．所以函数 y =mx (m >0) 的图象与函数 ℎ(x ) 的图象在区间 [0,12] 上有且仅有 5 个交点时，实数 m 的取值范围是 24−2√143<m <16−6√7．【知识点】恒成立问题、函数的零点分布、反证法、函数的周期性20. 【答案】(1) 由函数图象知，A =2．因为图象过点 (0,1)，所以 f (0)=1，所以 sinφ=12． 又因为 ∣φ∣<π2，所以 φ=π6． 由函数图象知T 2=2π3−π6=π2，所以 T =π，得 ω=2．所以函数 f (x ) 的解析式为 f (x )=2sin (2x +π6)．(2) 由（1）知，函数 y =2sin (2x +π6)，若 π12<x <11π12，在原图中标出 (π12,√3) 和 (11π12,0)，如图所示： 当 −2<m <0 或 √3<m <2 时，直线 y =m 与曲线 y =2sin (2x +π6) 有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根． 所以 m 的取值范围为 (−2,0)∪(√3,2)． 由对称性可知，当 −2<m <0 时，两根和为 4π3；当 √3<m <2 时，两根和为 π3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】设矩形的一边长为 x ，广告牌面积为 S ，则 S =−(x −l 4)2+l 216，x ∈(0,l 2)． 当 x =l4 时，S 取得最大值，且 S max =l 216，所以当广告牌是边长为 l4 的正方形时，广告牌的面积最大．【知识点】函数模型的综合应用22. 【答案】 1−cos 4α−sin 4α1−cos 6α−sin 6α=(sin 2α+cos 2α)2−cos 4α−sin 4α(sin 2α+cos 2α)3−cos 6α−sin 6α=2sin 2αcos 2α3sin 4αcos 2α+3sin 2αcos 4α=2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α=23.【知识点】同角三角函数的基本关系。
高中数学必修一同步练习题库：函数的基本性质(简答题：较难)
函数的基本性质（简答题：较难）1、已知函数且）.（1）求的定义域；（2）讨论函数的单调性.2、（满分16分）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.3、已知幂函数（）在是单调减函数，且为偶函数.（1）求的解析式；（2）讨论的奇偶性，并说明理由.4、已知函数.（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）判断函数的奇偶性；（Ⅲ）若，求的取值范围.5、（1）不等式对一切R恒成立，求实数的取值范围；（2）已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式．6、定义在上函数，且，当时，．（1）求的解析式；（2）当时，求的最大值和最小值．7、已知函数，．（1）证明：为奇函数，并求的单调区间；（2）分别计算和，并概括出涉及函数和对所有不为0的实数都成立的一个等式，并加以证明．8、已知函数．（1）判断的奇偶性；（2）用单调性的定义证明为上的增函数；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．9、已知函数．（1）判断的奇偶性；（2）用单调性的定义证明为上的增函数；（3）求满足不等式的实数的取值范围．10、定义在上的函数满足对任意，，恒有，且不恒为0．（1）求和的值；（2）试判断的奇偶性，并加以证明；（3）若，恒有，求满足不等式的的取值集合．11、已知定义域为R的函数是奇函数．(1)求实数a的值；(2)用定义证明：f(x)在R上是减函数．12、已知函数（1）用定义证明在上单调递增；（2）若是上的奇函数，求的值；（3）若的值域为D，且，求的取值范围.13、讨论函数在定义域上的单调性.14、已知函数是定义在区间上的奇函数，且若对于任意的有（1）判断并证明函数的单调性；（2）解不等式；（3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．15、已知函数的定义域为，其中为常数；（1）若，且是奇函数，求的值；（2）若，，函数的最小值是，求的最大值；（3）若，在上存在个点，满足，，，使得，求实数的取值范围；16、已知函数；（1）当时，若，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；17、已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）猜测的单调性，并用定义证明；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．18、已知函数在上有意义，且对任意满足.（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；（2）若时，，则能否确定在的单调性？若能，请确定，并证明你的结论，若不能说明理由.19、设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．20、已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.(1)求f(9)，f(27)的值；(2)若f(3)＋f(a－8)<2，求实数a的取值范围．21、已知函数，（且），（1）求函数的定义域；（2）求使的的取值范围.22、已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围.23、已知定义域为的函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）判断并证明在上的单调性；（3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．24、已知定义在R上的函数是奇函数,函数的定义域为. （1）求的值；（2）若在上单调递减，根据单调性的定义求实数的取值范围；（3）在(2)的条件下，若函数在区间上有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围.25、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．26、设函数的定义域是R，对于任意实数，恒有，且当时，。
(完整)高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案),推荐文档
24高中数学必修 1第二章 函数单调性和奇偶性专项练习一、函数单调性相关练习题1、（1）函数 f (x )＝x －2 ， x ∈｛0，1，2，4｝的最大值为.3（2） 函数 f (x )＝2x －1在区间[1，5]上的最大值为 ，最小值为.12、利用单调性的定义证明函数 f (x )＝ x 2 在（－∞，0）上是增函数.3、判断函数 f (x )＝x ＋1在（－1，＋∞）上的单调性，并给予证明. 4、画出函数 y ＝－x 2＋2丨x 丨＋3的图像，并指出函数的单调区间.5、已知二次函数 y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为 x ＝3 的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与 f(4)； (2)f(2)与f( 15)6、已知 y ＝f (x ) 在定义域（－1，1）上是减函数，且 f (1－a )＜f (3a －2) ，求实数 a 的取值范围.7、求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|x 2 - 2x(2) y＝1-|x - 1|(3)y ＝ （4） y ＝- x 2 - 2x + 31x 2－x －208、函数 f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2 在[1，＋∞]上是增函数，求实数 a 的取值范围．ax9、 【例4】 判断函数f(x)＝x 2 - 1(a ≠0)在区间(－1，1)上的单调性．10、求函数 f (x )＝x ＋ x在[1，3]上的最大值和最小值.二、函数奇偶性相关练习题11、判断下列函数是否具有奇偶性.（1） f (x )＝(x －； （2） f (x )＝a（ x ∈ R ）； （3） f (x )＝3 (2x ＋5)2－3 (2x －5)212、若 y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋3 是偶函数，则 m ＝．13、 已知函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋c （ a ≠ 0 ）是偶函数，那么 g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是 （ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数14、已知函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[ a －1, 2a ]，则 （）1A ． a = ，b ＝0B ．a ＝－1，b ＝0C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝3，b ＝0315、已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f (x )＝x 2－2x ，则 f (x ) 在 R 上的表达式是 （ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）16、函数 f (x ) =）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数17、若(x ) ， g (x ) 都是奇函数， f (x )＝a(x )＋bg (x )＋2 在（0，＋∞）上有最大值 5，则 f (x ) 在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－318、函数 f (x ) = 的奇偶性为（填奇函数或偶函数） ．⎪ x 3－3x 2＋1， 19、判断函数 f (x )＝ ⎨⎩ x 3＋3x 2－1， x ＞0x ＜0的奇偶性. 20、f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且 f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断 f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．121、已知 f (x ) 是偶函数， g (x ) 是奇函数，若 f (x ) + g (x ) =g (x ) 的解析式为.x -1，则 f (x ) 的解析式为，22、已知函数 f （x ）满足 f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且 f （0）≠0.试证 f （x ）是偶函数．23、设函数 y ＝f （x ）（x ∈R 且x≠0）对任意非零实数 x 1、x 2 满足 f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）.求证 f （x ）是偶函数．1 + x2 + x -11 + x2 + x +1x - 2 - 21 - x 2高中数学必修 1第二章函数单调性和奇偶性专项练习答案11、【答案】（1）2 （2）3，32、略3、【答案】减函数，证明略.4、【答案】分为x ≥ 0 和x＜0 两种情况，分段画图.单调增区间是（－∞，－1）和[0，1]；单调减区间是[－1，0)和（1，＋∞）5、【答案】（1）f(6)＜f(4) ；（2）∴f( 15)＞f(4)，即f( 15)＞f(2)．1 36、【答案】实数a 的取值范围是（，）3 47、【答案】（1）递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]（2）增区间是(－∞，0)和(0，1)；减区间是[1，2)和(2，＋∞)（3）∴函数的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．1 1（4）函数的增区间是（－∞，－4）和（－4，）；减区间是[ ，5)和（5，＋∞）2 28、【答案】a 的取值范围是0≤a≤1．9、【答案】当a＞0 时，f(x)在(－1，1)上是减函数；当a＜0 时，f(x)在(－1，1)上是增函数．10、【答案】先判断函数在[1，2]上是减函数，在（2，3]上是增函数，可得f (2) ＝4 是最小值，f (1) ＝5 是最大值.二、函数奇偶性相关练习题11、【答案】（1）定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；（2）a＝0 ，f (x) 既是奇函数又是偶函数；a ≠ 0 ，f (x) 是偶函数；（3）f (x) 是奇函数.12、【答案】013、【答案】选A14、【答案】选B15、【答案】选D16、【答案】选B17、【答案】选C18【答案】奇函数19、【答案】奇函数【提示】分x＞0 和x＜0 两种情况，分别证明f (－x)＝－f (x) 即可.20、【答案】解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）⇒f（x1）＜－f（x2）⇒f（x1）＞f（x2），即单调减函数．21、【答案】 f (x) =1x 2 -1 ，g(x)＝xx 2－122、证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）⇒f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．23、证明：由x1，x2∈R 且不为 0 的任意性，令x1＝x2＝1 代入可证，f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴f（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
人教A版高中数学必修一《函数的基本性质》试题
人教A版高中数学必修一《函数的基本性质》试题【夯实基础】一、单选题1.（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】直接由二次函数的单调性求解即可.【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.故选：B.2.（2022·全国·高一课时练习）定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可.【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为.故选：B3.（2022·全国·高一课时练习）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用二次函数单调性，列式求解作答.【详解】函数的单调递增区间是，依题意，，所以，即实数的取值范围是.故选：D4.（2022·全国·高一）已知在为单调函数，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】求出的单调性，从而得到.【详解】在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，故选：D5.（2022·湖北武汉·高一期末）已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】结合图像讨论对称轴位置可得.【详解】由题知，当或，即或时，满足题意.故选：A6.（2022·甘肃庆阳·高一期末）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由单调性可直接得到，解不等式即可求得结果.【详解】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为.故选：C.7.（2022·全国·高一课时练习）下列四个函数在是增函数的为（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可【详解】对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对.对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对.对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对.对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对.故选：D8.（2021·河南南阳·高一阶段练习）已知函数，对于任意的恒成立，则实数的最小值是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】利用换元法将函数的最值转化为二次函数的最值，即可求得实数的最小值.【详解】对于任意的使恒成立，令（），则，即，设，则，故，即实数m的最小值是.故选：.二、多选题9.（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】AD【分析】画出各选项的函数图像，利用函数的图象来研究函数的单调性判断即可.【详解】画出函数图象如图所示，由图可得A，D中的函数在上单调递增，B，C中的函数在上不单调.故选:AD.10.（2021·江西·高一期中）如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】BC【分析】根据单调性的定义即可由图知道f(x)的增区间﹒【详解】图像从左往右上升的区间有：(－6，－4)，(－1，2)，(5，8)，∴f(x)在(－6，－4)，(－1，2)，(5，8)上单调递增﹒故选：BC﹒三、填空题11.（2022·全国·高一课时练习）写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意可得函数在为减函数，且再写出即可.【详解】因为对任意，都有，所以函数在上减函数.又，故函数可以为.（注：满足题目条件的函数表达式均可.）故答案为：（答案不唯一）12.（2022·浙江丽水·高一开学考试）设函数，其中，.若在上不单调，则实数的一个可能的值为______.【答案】内的任意一个数.【分析】由对勾函数的性质判断出函数的单调区间，假设在上单调，即可求出的取值范围，其补集即为在上不单调时实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，由对勾函数的性质可得函数在和上是单调递增，在和上是单调递减，若在上单调，则或，解得或，则在上不单调，实数的范围是,故答案为：内的任意一个数.13.（2022·全国·高一课时练习）函数的单调减区间为__________.【答案】##【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.【详解】函数是由函数和组成的复合函数，，解得或，函数的定义域是或，因为函数在单调递减，在单调递增，而在上单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间.故答案为：.四、解答题14.（2022·全国·高一）已知，函数.(1)指出在上的单调性（不需说明理由）；(2)若在上的值域是，求的值.【答案】(1)在上是增函数(2)2【分析】（1）由于，利用反比例函数的性质，即可得到结果；（2）根据（1）的函数单调性，可知，，解方程即可求出结果.(1)解：因为，所以在上是增函数.(2)解：易知，由（1）可知在上为增函数.，解得，由得，解得.15.（2022·湖南·高一课时练习）设函数的定义域为，如果在上是减函数，在上也是减函数，能不能断定它在上是减函数？如果在上是增函数，在上也是增函数，能不能断定它在上是增函数？【分析】根据反例可判断两个结论的正误.【详解】取，则在上是减函数，在上也是减函数，但，，因此不能断定在上是减函数.若取，则在上是增函数，在上也是增函数，但，，因此不能断定在上是增函数.16.（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为.(1)求的定义域；(2)对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）的定义域可以求出，即的定义域；（2）令，若，使得成立，即可转化为成立，求出即可.（1）∵的定义域为，∴.∴，则.（2）令，，使得成立，即大于在上的最小值.∵，∴在上的最小值为，∴实数的取值范围是.【能力提升】一、单选题1.（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【分析】根据函数单调性的定义判断出在上单调递减,再利用把转化为，最后利用的单调性判断即可.【详解】因为，所以，因此，即，所以在上单调递减，又因为，所以，又因为，所以，所以.故选：B.2.（2021·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中）函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】探讨函数的定义域、单调性，再逐一分析各选项判断作答.【详解】函数的定义域为，选项C，D不满足，因，则函数在，上都单调递增，B不满足，则A满足.故选：A【点睛】方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性.3.（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据函数关系式可知，由此可确定在上的解析式，并确定每段区间上的最小值；由时，可确定在此区间内的两根，结合函数图象可确定的范围.【详解】由知：，；当时，，则；当时，，，则；当时，，，则；令，解得：或；作出函数的大致图象如图所示.对任意恒成立，，则，即实数的取值范围为.故选：B.二、多选题4.（2021·安徽·高一期中）下列命题正确的是（）A.的定义城为，则的定义域为B.函数的值域为C.函数的值域为D.函数的单调增区间为【答案】AB【分析】根据抽象函数的定义域求法，可判断A;利用换元法求得函数值域，可判断B;利用基本不等式可判断C;单调区间之间不能用并集符号，可判断D.【详解】对于A选项，由于函数的定义域为，对于函数，，解得，所以函数的定义域为，A选项正确；对于B选项，令，则，，且时，取得等号，所以函数的值域为，B选项正确；对于C选项，，当且仅当时，即等号取得，但等号取不到，所以C选项错误；对于D选项，，所以函数的单调增区间为和，单调区间之间不能用并集符号，D选项错误，故选：AB.5.（2021·辽宁实验中学高一期中）下列命题，其中正确的命题是（）A.函数在上是增函数B.函数在上是减函数C.函数的单调区间是D.已知在上是增函数，若，则有【答案】AD【分析】根据函数单调性的定义和复合函数单调性法则依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A选项，函数的对称轴为，开口向上，所以函数在上单调递增，故A正确；对于B选项，因为当时，，当时，，所以函数在上不是减函数，故B错误；对于C选项，解不等式得，函数的定义域为，故C错误；对于D选项，由得，由于在上是增函数，故，所以，故D正确.故选：AD6.（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（）A.B.函数在上是减函数C.D.不等式的解集为【答案】ABD【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.【详解】对于A，令，得，所以，故A正确；对于B，令，得，所以，任取，且，则，因为，所以，所以，所以在上是减函数，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，且，所以，所以，所以等价于，又在上是减函数，且，所以，解得，故D正确,故选:ABD.7.（2022·广东深圳·高一期末）（多选）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如.已知，，则函数的值可能为（）A.0B.1C.2D.3【答案】BCD【分析】利用常数分离法知，根据x的取值范围结合不等式的性质求出的取值范围，进而得到函数的值.【详解】，当时，，，，此时的取值为1；当时，，，，此时的取值为2，3.综上，函数的值可能为.故选：BCD.三、填空题8.（2022·全国·高一专题练习）点、均在抛物线（，a、b为常数）上，若，则t的取值范围为________.【答案】【分析】根据，可知抛物线开口向下，根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为，当P、Q 两点关于抛物线对称轴对称时，可求出，根据根据，，即可求出t的取值范围.【详解】根据，可知抛物线开口向下，根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为，则有时，y随x的增大而增大；当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，则有，解得，∵，，又∵时，y随x的增大而增大；∴可知当P、Q在对称轴的左侧是肯定满足要求，P、Q均在对称轴的右侧时肯定不满足要求，当P、Q分别在对称轴x=1的两侧时，随着P、Q向x轴正向移动，P的纵坐标在逐渐增大，Q的纵坐标逐渐减小，当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时有，继续正方向移动，则有，∴满足的t的取值范围：，故答案为：.四、解答题9.（2022·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性.【答案】单调递增，证明见解析【分析】利用单调性的定义证明，先任取，，且，然后作差，变形，判断符号，即可得结论. 【详解】在区间上单调递增，理由如下：任取，，且，.因为，所以，，，所以所以，所以，即，所以函数在区间上单调递增.10.（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，.求证：函数是上的增函数.【分析】任取、，且，可得出，结合已知条件可出、的大小关系，即可证得结论成立.【详解】证明：任取、，且，则.因为，所以，所以，即，所以函数是上的增函数.11.（2022·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)；(2).【答案】(1)图象见解析;单调递增区间为和，无单调递减区间(2)图象见解析;单调递增区间为，单调递减区间为和【分析】（1）根据函数的解析式可作出其图象，即可得单调区间；（2）化简函数的解析式为，结合二次函数性质可作出其图象，即可得单调区间.（1）画出的图象如图所示，可得其单调递增区间为和，无单调递减区间.（2），作出该函数的图象如图所示，观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.12.（2020·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数.(1)求证：在上是增函数；(2)当时，求不等式的解集.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）利用函数单调性的定义与作差法即可证明；（2）将代入，然后求解不等式即可（1）任取，且，则，所以，所以，所以在区间上单调递增；（2）当时，，由可得，解得，故不等式的解集为13.（2021·广东广雅中学花都校区高一期中）设函数.（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）若函数在R上单调递增，求a的取值范围；（3）若对，不等式恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）去掉绝对值符号后根据一次函数、二次函数的单调性可得所求的单调减区间. （2）去掉绝对值符号可得，根据函数在R上单调递增可得关于的不等式组，从而可得其取值范围.（3）等价于且恒成立，前者可分类讨论，后者可结合一次函数的图象和性质，两者结合可得a的取值范围.【详解】（1）时，，故在上为增函数，在上为减函数，在为增函数，故函数的单调递减区间为.（2）因为函数在R上单调递增，故，解得.（3）等价于且恒成立，先考虑恒成立，则，故.再考虑恒成立，又，故，故，解得，综上，的取值范围为.【点睛】方法点睛：对于含绝对值符号的函数，可先去掉绝对值符号，从而把问题题转化为常见的一次函数、二次函数在给定范围上的恒成立问题，注意先讨论简单的一次函数的性质，从而参数的初步范围后再讨论二次函数的性质.14.（2021·重庆市清华中学校高一阶段练习）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“黄金区间”.（1）请证明：函数不存在“黄金区间”.（2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”.（3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）由为上的增函数和方程的解的情况可得证；（2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”；（3）化简得函数的单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值.【详解】解：（1）证明：由为上的增函数，则有，∴，无解，∴不存在“黄金区间”；（2）记是函数的一个“黄金区间”，由及此时函数值域为，可知而其对称轴为，∴在上必为增函数，令，∴，∴故该函数有唯一一个“黄金区间”；（3）由在和上均为增函数，已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增，则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根，又，则只要，∴或，而由韦达定理知，，所以，其中或，所以当时，取得最大值.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决.15.（2022·广东·普宁市第二中学高一期中）已知函数，，. 若不等式的解集为(1)求的值及；(2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论.(3)已知且，若.试证：.【答案】(1)；(2)函数在区间上的单调递增，证明见解析(3)见解析【分析】（1）根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值（2）定义法证明单调性，假设，若，则单调递增，若，则单调递减（3）单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大(1)，即，因为不等式解集为，所以，解得：，所以(2)函数在区间上的单调递增，证明如下：假设，则因为，所以，所以，即当时，，所以函数在区间上的单调递增(3)由（2）可得：函数在区间上的单调递增，在区间上的单调递减，因为，且，，所以，，证明，即证明，即证明，因为，所以即证明，代入解析式得：，即，令，因为在区间上的单调递增，根据复合函数同增异减的性质可知，在区间上的单调递减，所以单调递增，即，所以在区间上恒成立，即，得证：【点睛】小问1求解析式，较易；小问2考察定义法证明单调性，按照常规方法求解即可；小问3难度较大，解题过程中应用到以下知识点：（1）可以通过证明函数值的大小，结合函数的单调性，反推出变量的大小，即若，且单减，则；解题过程（2）单调性的性质，复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数16.（2021·江苏·高一单元测试）已知函数，(1)对任意的，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；(2)对任意的，若不等式任意（）恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，结合对勾函数的单调性与最值情况求参数范围；（2）由题意不等式可转化为函数在上单调递增，结合分段函数的单调性，分情况讨论. (1)由，由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，又函数在区间上的最大值为，所以，即，解得，所以；(2)不等式任意（）恒成立，即，设，在上单调递增，即在上单调递增，当时，，①当时，单调递增，成立；②当时，单调递增，成立，③当时，只需，即，当时，，①当时，在上递减，所以不成立；②当时，在上递减，所以不成立；③当时，只需，即，综上所述，.17.（2021·全国·高一专题练习）已知函数对一切实数都有成立，且(1)求的解析式；(2)，若存在，使得，有成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）赋值法，令y＝1，求出，进而求出；（2）根据题干中的条件，只需，先求出函数的最大值，然后利用二次函数的性质求最值，进而求出a的取值范围.(1)∵函数对一切实数都有成立，且，令y＝1，则，(2)由题意，有，则，对于g(x)，当x＝0时，g(0)＝0，当时，，设，则在（0，1）单调递减，在单调递增，在x＝1处取到最小值，所以，所以，综上，，当且仅当x＝1时取到，所以；设，则h(x)为开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，下面通过对称轴的位置对h(x)的最值情况进行分类讨论：当时，对称轴距离区间右侧x＝2更远，故，∴，即；2）当时，对称轴距离区间左侧x＝－1更远，故，∴，即；综上，.。
函数单调性教案练习题
函数单调性教案练习题第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义介绍函数单调性的概念，让学生理解函数单调递增和单调递减的定义。
通过具体例子解释函数单调性的含义，让学生能够判断简单函数的单调性。
1.2 函数单调性的性质讲解函数单调性的性质，包括单调性的继承性和局部性。
通过示例说明函数单调性的一些基本性质，让学生能够运用这些性质解决问题。
第二章：函数单调性的判定方法2.1 导数法判定单调性介绍导数法判定函数单调性的基本思路，让学生理解导数与函数单调性的关系。
通过具体例子讲解如何利用导数判断函数的单调性，让学生能够运用导数法解决问题。
2.2 图像法判定单调性介绍图像法判定函数单调性的方法，让学生能够通过观察函数图像来判断单调性。
通过绘制不同函数的图像，让学生理解图像法判定单调性的原理。
第三章：函数单调性的应用3.1 函数单调性在函数值估计中的应用介绍如何利用函数单调性来估计函数值的大小，让学生掌握这一方法。
通过具体例子讲解如何利用函数单调性来估计函数值，让学生能够运用这一方法解决问题。
3.2 函数单调性在最大值和最小值问题中的应用介绍如何利用函数单调性来解决最大值和最小值问题，让学生掌握这一方法。
通过具体例子讲解如何利用函数单调性来求解最大值和最小值问题，让学生能够运用这一方法解决问题。
第四章：函数单调性的进一步研究4.1 函数的单调区间介绍如何确定函数的单调区间，让学生能够判断函数在不同区间的单调性。
通过具体例子讲解如何确定函数的单调区间，让学生能够运用这一方法解决问题。
4.2 函数的单调性变化介绍函数单调性的变化规律，包括单调递增变为单调递减和单调递减变为单调递增的情况。
通过具体例子讲解函数单调性的变化规律，让学生能够判断函数单调性的变化。
第五章：函数单调性的综合应用5.1 函数单调性在实际问题中的应用介绍如何将函数单调性应用到实际问题中，让学生能够将理论知识与实际问题相结合。
通过具体例子讲解如何利用函数单调性解决实际问题，让学生能够运用这一方法解决问题。
高一数学《函数的基本性质》知识点及对应练习(详细答案)
函数的基本性质一、函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．概念重点疑点：对于定义域中任何x，都有唯一确定的y=f（x）与x相对应。
即在直角坐标系中的图像，对于任意一条x=a（a是函数的定义域）的直线与函数y=f（x）只有一个交点；例1、下列对应关系中，x为定义域，y为值域，不是函数的是（）A.y=x²+x³B.y=C.|y|=xD.y=8x解：对于|y|=x，对于任意非零x，都有两个y与x对应，所以|y|=x不是函数。
图像如下图，x=2的直线与|y|=x的图像有两个交点。
故答案选C例2、下列图象中表示函数图象的是（）解析：对于任意x=a的直线，只有C选项的图形与x=a的直线只有一个交点，即对于定义域中任何x，都有唯一确定的y=f（x）与x相对应。
故选C。
注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
人教B版高中数学必修一学第二章函数的单调性讲解与例题
2.1.3 函数的单调性1．函数单调性的概念一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间M ⊆A . 如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是增函数，如下图所示．当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称函数y ＝f (x )在区间M 上是减函数，如下图所示．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)．谈重点 对函数单调性的理解1．函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集．如函数y ＝x 2的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，0)时是减函数．2．函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性，即“任意取x 1，x 2”，“任意”二字决不能丢掉；二是有大小，即x 1＜x 2(x 1＞x 2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．3．单调性是一个“区间”概念，如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)函数，但不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数．如函数f (x )＝1x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．因为当x 1＝－1，x 2＝1时有f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝1，不满足减函数的定义．4．单调区间端点的写法：对于单独的一个点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减性变化，所以不存在单调问题，因此在写此单调区间时，包括端点可以，不包括端点也可以，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．【例1－1】下列说法不正确的有( )①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数；②函数1=y x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在其上是减函数； ③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两个值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是增函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①函数y ＝x 2在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故其在(－∞，＋∞)上不具有单调性；②(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数1=yx的单调区间，在这两个区间上都是减函数，但1=yx在整个定义域上不是减函数；③当k＝0时，y＝b，此时函数是一个常数函数，不具有单调性；④因为x1，x2是定义域上的两个定值，不具有任意性，所以不能由此判定函数的单调性．答案：D【例1－2】若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A．32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)＜f(2)B．f(－1)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(2)C．f(2)＜f(－1)＜32 f⎛⎫-⎪⎝⎭D．f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)解析：∵函数f(x)对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜32-＜－1，∴f(－2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)，即f(2)＜32f⎛⎫-⎪⎝⎭＜f(－1)．答案：D【例1－3】定义在R上的函数f(x)是增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集为( )A．(－1,2) B．[3，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：∵A(0，－1)，B(3,1)是函数f(x)图象上的两点，∴f(0)＝－1，f(3)＝1.由|f(x＋1)|＜1，得－1＜f(x＋1)＜1，即f(0)＜f(x＋1)＜f(3)．∵f(x)是定义在R上的增函数，∴由单调函数的定义，可知0＜x＋1＜3.∴－1＜x＜2.答案：A2．函数单调性的判断方法(1)图象法对于简单函数或可化为简单函数的函数，由于其图象较容易画出，因此，可利用图象的直观性来判断函数的单调性，写出函数的单调区间．【例2－1】写出下列函数的单调区间： (1)y ＝|2x －1|；(2)y ＝|x 2－3x ＋2|；(3)2=3xy x -+. 分析：本题画出各个函数的图象后，就可以得出相应的单调递增或单调递减区间了．图1解：(1)y ＝|2x －1|＝121,,2121,<.2x x x x ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩ 如图1所示，函数的单调递增区间是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；单调递减区间是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.(2)y ＝|x 2－3x ＋2|＝2232,12321<<2.x x x x x x x ⎧-+≤≥⎨-(-+)⎩或，， 如图2所示，函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.图2图3(3)255==1=1333xyx x x-⎛⎫---+⎪+++⎝⎭.如图3所示，函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．谈重点由图象得出函数的单调区间对于函数求单调区间，可以根据图象及结合基本函数的单调性来寻找的．对于有些函数，如果能够画出函数的图象，那么寻找单调区间就比较容易了，此类题目通常是与基本函数(如一次函数、二次函数、反比例函数以及后面学的指数函数与对数函数等)有关的函数．【例2－2】已知四个函数的图象如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )解析：已知函数的图象判断其在定义域内的单调性，应从它的图象是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知选项B中的函数在定义域内为增函数．答案：B谈重点单调函数的图象特征函数的单调性反映在图象上是在指定的区间(也可以是定义域)从左到右图象越来越高或越来越低(注意一个点也不能例外，如本例C中的函数只有一个点例外，受此点影响，该函数在整个定义域上不具有单调性)，这是函数单调性在函数图象上的直观表现．【例2－3】画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图象，说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：含有绝对值符号的函数解析式，可根据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图象后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下降的，即可确定函数的单调区间及单调性．解：2223,0, ()=23,<0.x x xf xx x x⎧-++≥⎨--+⎩当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0，f(0)＝3；当x＜0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f(－3)＝0.作出函数的图象(如图)，由图看出，函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．辨误区写函数的单调区间易忽略的问题1．如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并集的符号“∪”连接；2．确定已知函数的单调区间要有整体观念，本着宁大勿小的原则，即求单调区间则应求“极大”区间．如虽然函数y＝x2在区间[2,3]，[5,9]，[1，＋∞)上都是递增的，但在写这个函数的递增区间时应写成[0，＋∞)，而不能写区间[0，＋∞)的任一子区间；3．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，若函数在区间端点处有定义且图象在该点处连续，则书写函数的单调区间时，既可以写成闭区间，也可以写成开区间；若函数在区间端点处没有定义，则书写函数的单调区间时必须写成开区间．(2)定义法如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：①取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以，在证题时不能用特殊值来代替它们)；②作差变形：作差Δy＝f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；③定号：确定差值Δy的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论(判断符号的依据是自变量的范围、假定的大小关系及符号的运算法则)；④判断：根据定义作出结论(若Δx＝x2－x1与Δy＝f(x2)－f(x1)同号，则给定函数是增函数；异号，就是减函数)．【例2－4】(1)证明函数()=f x在定义域上是减函数；(2)证明函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数；(3)证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．分析：证明函数的单调性，关键是对函数在某一区间上任意两个函数值f(x1)，f(x2)的差Δy＝f(x2)－f(x1)进行合理的变形，尽量变为几个最简单的因式的乘积或几个完全平方式的和的形式．证明：(1)()=f x的定义域为[0，＋∞)，任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝((--＝<0，由单调函数的定义可知，函数()=f x在定义域[0，＋∞)上是减函数．(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x23＋x2)－(x13＋x1)＝(x23－x13)＋(x2－x1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12)＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 12＋1)＝222121113()1024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由单调函数的定义可知，函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．(3)设x 1，x 2∈(0,1)，且x 1＜x 2，则Δx ＝x 2－x 1＞0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝212111x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝(x 2－x 1)＋1212x x x x -＝(x 2－x 1)1211x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2112121x x x x x x (-)(-).∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0.∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＜0.∴由单调函数的定义可知，函数1()=f x x x+在(0,1)上为减函数．辨误区 利用定义证明函数的单调性需谨慎在第(1)题中，有的同学认为由0≤x 1＜x 2，可得0≤x 1＜x 2，这种证明实际上利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性我们没作证明，因此不能使用；在第(1)题中还使用了“分子有理化”的变形技巧，要注意观察这类题目的结构特点．3．利用函数的单调性比较两个函数值的大小若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是增函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＜f (x 2)；若函数y ＝f (x )在给定的区间A 上是减函数，设x 1，x 2∈A ，且x 1＜x 2，则有f (x 1)＞f (x 2)．所以，当给定的两个自变量在同一单调区间上时，可直接比较相应的两个函数值的大小．否则，可以先把它们转化到同一单调区间上，再利用单调性比较大小．【例3】设函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与34f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为________．解析：∵a 2－a ＋1＝2133244a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭＞0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴当12a ≠时，a 2－a ＋1＞34，有f (a 2－a ＋1)＜34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当1=2a 时，a 2－a ＋1＝34，有f (a 2－a ＋1)＝34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上可知，f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.答案：f (a 2－a ＋1)≤34f ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．利用函数的单调性确定参数范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围时，要注意利用数形结合的思想，运用函数单调性的逆向思维思考问题．这类问题能够加深对概念、性质的理解．例如：已知函数f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2在(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．由于二次函数是我们最熟悉的函数，遇到二次函数就画图象，会给我们研究问题带来很大方便．要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，由二次函数的图象可知，只要对称轴x ＝1－a ≥4即可，解得a ≤－3.谈重点 对分段函数的单调性的理解求分段函数在定义域上的单调性问题时，不但要考虑各段上函数的类型及其单调性，而且还要考虑各段图象之间的上下关系．【例4】已知函数(3)4,<1,()=,1a x a x f x a x x-+⎧⎪⎨≥⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．分析：函数f (x )是一个分段函数，其图象由两部分组成．当x ＜1时，f (x )＝(3－a )x ＋4a ，其图象是一条射线(不包括端点)；当x ≥1时，()=af x x，其图象由a 的取值确定，若a ＝0，则为一条与x 轴重合的射线，若a ≠0，则为反比例函数图象的一部分(曲线)．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则在两段上必须都是递减的，且要保证x ＜1时的图象位于x ≥1时的图象的上方.解：由题意知，函数f (x )＝(3－a )x ＋4a (x ＜1)与()=af x x(x ≥1)都是递减的，且前者图象位于后者图象的上方(如图所示)．∴3<0,>0,34,a a a a a -⎧⎪⎨⎪(-)+≥⎩即>3,>0,3.2a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥-⎩ ∴a ＞3.∴实数a 的取值范围是{a |a ＞3}． 5．利用函数的单调性求函数的最值若函数在给定的区间上是单调函数，可利用函数的单调性求最值．若给定的单调区间是闭区间，函数的最值在区间的两个端点处取得，也就是说，若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是增函数，则最大值在右端点b 处取得，最小值在左端点a 处取得；若函数f (x )在某一闭区间[a ，b ]上是减函数，则最大值在左端点a 处取得，最小值在右端点b 处取得．解题时也可结合函数的图象，得出问题的答案．【例5－1】求()=f x x +的最小值．分析：求函数()=f x x +的最小值，可先利用单调函数的定义判断其在定义域上的单调性，再利用单调性求出最值．解：()=f x x +的定义域为[1，＋∞)，任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，Δx ＝x 2－x 1＞0，则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2)－(x 1＝(x 2－x 1)＋(－＝(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)·1⎛ ⎝.∵Δx ＝x 2－x 1＞0,1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＞0.∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1.【例5－2】已知函数2=1xy x +(x ∈[－3，－2])，求函数的最大值和最小值． 解：设－3≤x 1＜x 2≤－2，则f (x 1)－f (x 2)＝12122211x x x x -++＝122112212111x x x x x x (+)-(+)(+)(+)＝1212211x x x x (-)(+)(+).由于－3≤x 1＜x 2≤－2，则x 1－x 2＜0，x 1＋1＜0，x 2＋1＜0. 所以f (x 1)＜f (x 2)． 所以函数2=1xy x +在[－3，－2]上是增函数． 又因为f (－2)＝4，f (－3)＝3，所以函数的最大值是4，最小值是3. 6．利用函数的单调性解不等式函数的单调性具有可逆性，即f (x )在区间D 上是递增的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＞x 2〔事实上，若x 1≤x 2，则f (x 1)≤f (x 2)，这与f (x 1)＞f (x 2)矛盾〕．类似地，若f (x )在区间D 上是递减的，则当x 1，x 2∈D 且f (x 1)＞f (x 2)时，有x 1＜x 2.利用函数单调性的可逆性，可以脱去某些函数符号，把抽象的不等式化为具体的不等式．此时要特别注意处在自变量位置的代数式必须满足定义域要求，最后取几个不等式的解的交集即可．利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的大小，在解决比较函数值的大小问题时，要注意将对应的自变量放在同一个单调区间上．【例6】已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，求a 的取值范围．分析：由于函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )＜f (a 2－1)，所以由单调函数的定义可知1－a ∈(－1,1)，a 2－1∈(－1,1)，且1－a ＞a 2－1，解此关于a 的不等式组，即可求出a 的取值范围．解：由题意可得221<1<1,1<1<1,1>1,a a a a --⎧⎪--⎨⎪--⎩①②③由①得0＜a ＜2，由②得0＜a 2＜2，∴0＜|a |，∴a ，且a ≠0.由③得a 2＋a －2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， ∴1>0,2<0a a -⎧⎨+⎩或1<0,2>0,a a -⎧⎨+⎩∴－2＜a ＜1.综上可知0＜a ＜1， ∴a 的取值范围是0＜a ＜1.7．复合函数单调性的判断方法一般地，如果f(x)，g (x)在给定区间上具有单调性，则可以得到如下结论：(1)f(x)，g(x)的单调性相同时，f(x)＋g(x)的单调性与f(x)，g(x)的单调性相同．(2)f(x)，g(x)的单调性相反时，f(x)－g(x)的单调性与f(x)的单调性相同．(3)y＝f(x)在区间I上是递增(减)的，c，d都是常数，则y＝cf(x)＋d在I上是单调函数．若c＞0，y＝cf(x)＋d在I上是递增(减)的；若c＜0，y＝cf(x)＋d在I上是递减(增)的．(4)f(x)恒为正或恒为负时，y＝1f x与y＝f(x)单调性相反．(5)若f(x)＞0，则函数y＝f(x)与y＝f x具有相同的单调性．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调区间求解步骤：①将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)；②分别确定各个函数的定义域；③分别确定分解成的两个函数的单调区间；④若两个函数在对应区间上的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；若不同，则y＝f[g(x)]为减函数．该法可简记为“同增异减”．值得注意的是：在解选择题、填空题时我们可直接运用此法，但在解答题中不能利用它作为论证的依据，必须利用定义证明．【例7】求y的单调区间，并指明在该区间上的单调性．分析：这是一个复合函数，应先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断法则确定其单调性．解：要使函数y需满足x2＋2x－3≥0，即(x－1)(x＋3)≥0.∴10,30xx-≥⎧⎨+≥⎩或10,30.xx-≤⎧⎨+≤⎩∴x≥1，或x≤－3.∴函数y的定义域为{x|x≥1，或x≤－3}．令u＝x2＋2x－3，则=y u＝(x＋1)2－4，其开口向上，对称轴为x＝－1.∴当x≥1时，u是x的增函数，y是u的增函数，从而y是x的增函数；当x≤－3时，u是x的减函数，y是u的增函数，从而y是x的减函数．∴y的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，－3]．辨误区求函数的单调区间易忽略的问题由于函数的单调区间一定是函数定义域的子集，所以我们在求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，在函数的定义域内讨论函数的单调区间；在处理函数的相关问题时，往往会把函数问题转化成方程问题或简单不等式问题来处理，但要注意转化时应确保转化前后式子的等价性．8．抽象函数的单调性问题没有具体的函数解析式的函数，我们称为抽象函数，关于抽象函数的单调性，常见的有以下题型：(1)抽象函数单调性的证明．证明抽象函数的单调性，必须用单调函数的定义作出严格证明，而不能用几个特殊值的大小来检验，证明时要同时注意特殊值的应用．(2)抽象函数单调性的应用．如，利用抽象函数的单调性求函数的最值、解不等式等．解决抽象函数的有关问题，常采用赋值法．在解不等式时关键是将已知不等式转化为f(x1)≥f(x2)的形式，然后利用单调性结合定义域求解．【例8】已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，2 (1)=3f .求证：f(x)在R上是减函数；证明：令x＝y＝0，得f(0)＋f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0. 令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)，∴f(－x)＝－f(x)．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，Δx＝x2－x1＞0，则Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即Δy＜0.∴f(x)在R上是减函数．。
函数的基本性质(含答案)
x＋ ≥2 ＝ （当且仅当x= 即x= 时取“=”）.
∴当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160 a＋ a）元.
答案：y=12a（x+ ）+ a（0，+∞） 160 a+ a
【课堂小练】
1．已知 是定义 上的奇函数，且 在 上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )
A． B．
∴－ ≤x≤ .
∴不等式的解集为{x|－ ≤x≤ }.
（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，
∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.
由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q= ，
∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜－1.
教师辅导讲义
年 级： 高一辅导科目： 数学 课时数：3
课 题
函数的基本性质
教学目的
通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法
教学容
【知识梳理】
函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）
【典型例题分析】
例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.
（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.
人教版高中数学必修一函数的基本性质专题习题
人教版高中数学必修一函数的基本性质专题习题高考复专题：函数的基本性质定义域函数的定义域是指所有可以输入的自变量的取值范围。
求函数定义域的常用方法有：1.无论什么函数，优先考虑定义域是偶次根式的被开方式非负；分母不为零；指数幂底数不为零；对数真数大于且底数大于不等于1；tanx定义域为{x|x≠(2k+1)π/2,k∈Z}。
2.复合函数的定义域是x的范围，f的作用范围不变。
例如，下面是一些函数的定义域：1.y = log0.5(4x2-3x)，定义域为x>3/4或x<0.2.f(x)的定义域是[-1,1]，则f(x+1)的定义域是[-2,0]。
3.若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数f(log2x)的定义域是(1/4,1]。
4.已知f(x2)的定义域为[1,1]，则f(x)的定义域为[-1,1]或[0,1]。
5.已知函数y = f(x+1)3，定义域是[-5,4]。
值域和最值函数的值域是指函数所有可能的输出值的集合。
求函数值域的常用方法有：1.对于一次函数y = kx+b，当k>0时，值域为[XXX,ymax]，其中ymin = b，ymax = kx+b；当k<0时，值域为[XXX,XXX]。
2.对于二次函数y = ax2+bx+c，当a>0时，值域为[XXX,ymax]，其中ymin = c-Δ/4a，ymax = c；当a<0时，值域为[XXX,XXX]。
3.对于指数函数y = a^x，当a>1时，值域为(0,+∞)；当0<a<1时，值域为(0,1]。
4.对于对数函数y = loga(x)，当a>1时，值域为(-∞,+∞)；当0<a<1时，值域为(-∞,0]。
最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
求函数最值的常用方法有：1.对于一次函数y = kx+b，当k>0时，最小值为b，最大值为无穷；当k<0时，最小值为无穷，最大值为b。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）
A ．y =2x ＋1
B ．y =3x 2＋1
C ．y =
x
2 D ．y =2x 2＋x ＋1
2．函数()214,y x x x x Z =--≤≤∈的值域为（ ）
A ．[]0,12
B ．1124⎡⎤-⎢⎥
⎣⎦
，
C ．{}0,2,6,12
D ．{}2,6,12
3．已知2
2(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
，若()3f x =，则x 的值是（ ）
A ．1
B ．1或
32 C ．1，3
2
或 D
4．设⎩
⎨⎧<+≥-=)10()],6([)
10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
5．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，
N 为值域的函数关系的是（ ）.
6．下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）.
7．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x )
（ ）
A ．在区间(－1，0)上是减函数
B ．在区间(0，1)上是减函数
C ．在区间(－2，0)上是增函数
D ．在区间(0，2)上是增函数 8．函数x x
x y +=
的图象是（ ）
A. B. C. D.
9．函数2
22(03)
()6(20)
x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤≤⎪⎩的值域是（ ）
A ．R
B ．[)9,-+∞
C ．[]8,1-
D ．[]9,1-
10．函数)2
3
(,32)(-≠+=
x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于（ ） A ．3 B ．3- C ．33-或 D ．35-或
11．设函数.)().0(1),0(12
1
)(a a f x x
x x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 。
12．函数()[]2
2,2,1f x x x x =+∈-的值域是_______________________。
13．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = . 14、函数()()2
1
1
f x x R x =
∈+的值域是______________________。
15．函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞)上递减，则a 的取值范围是__ ． 16．已知2()f x ax bx c =++，(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++，求()f x 的表达式。
17．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．
18．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．
19．当]1,0[∈x 时，求函数2
2
3)62()(a x a x x f +-+=的最小值。