线性卷积和线性相关的FFT算法 数字信号处理第四章9
吉林大学考研考试大纲0506
作者: 吉大长青藤时间: 2006-10-29 07:31 标题: 2005-2006通讯专业课考试范围《电路》科目考试大纲一、主要内容（一）基础知识和电阻电路分析1．电路模型和电路定律（第一章）1）了解实际电路和电路模型的关系。
理解电压、电流参考方向的概念。
理解各种元件的功率和能量的关系。
2）掌握电阻、电容、电感元件的定义。
理解这三种无源元件的性质。
3）掌握电压源、电流源及受控源性质。
4）掌握基尔霍夫的两个定律。
2．电阻电路的等效变换（第二章）1）了解电路的串联、并联及混联。
掌握等效的概念。
2）掌握电阻串联和并联的等效变换，以及电阻的Y形连接与△形连接的等效变换。
3）掌握电压源、电流源的串联和并联的等效变换，能够进行含源电路的等效化简。
4）掌握输入电阻的求解方法。
3．电阻电路的一般分析（第三章）1）掌握电路的图的概念，能够画出电路的图。
2）掌握网孔电流法、回路电流法及结点电压法的分析方法。
4．电路定理（第四章）1）掌握叠加定理、戴维宁定理、诺顿定理，理解最大功率传输定理并掌握应用。
2）了解替代定理、特勒根定理、互易定理。
（二）动态电路分析（第六章）1．动态元件了解状态的概念，掌握初始条件的求解方法。
2．一阶电路的瞬态分析1）掌握一阶电路微分方程的建立和时间常数的求解方法。
2）掌握电路的零输入响应、零状态响应及全响应。
3）掌握求解一阶电路的三要素法。
4）了解单位阶跃响应、冲激响应。
（三）电路的正弦稳态分析1．相量法（第八章）1）了解周期信号，掌握正弦信号的表示方法。
掌握平均值、有效值的概念。
2）掌握正弦信号的相量表示法。
3）掌握基尔霍夫定律的相量形式。
元件伏安关系的相量形式。
2．正弦稳态电路的分析（第九章）1）掌握阻抗与导纳的定义及正弦电路的计算。
2）掌握电路的相量模型、相量图。
能够将电阻电路的分析方法运用于正弦稳态分析。
3）了解正弦稳态电路中电阻元件及动态元件的功率、能量的关系。
4）掌握平均功率、视在功率、功率因数、最大功率传输定理。
实验3 利用FFT计算线性卷积
实验3 利用FFT计算线性卷积一、实验目的1.掌握利用FFT计算线性卷积的原理及具体实现方法。
2.加深理解重叠相加法和重叠保留法。
3.考察利用FFT计算线性卷积各种方法的适用围。
二、实验设备与环境计算机、matlab软件环境。
三、实验基础理论1.线型卷积和圆周卷积设x(n)为L点序列，h(n)为M点序列，x(n)和h(n)的线性卷积为的长度为L+M-1。
x(n)和h(n)的N点圆周卷积为圆周卷积与线性卷积相等而不产生交叠的必要条件为圆周卷积定理：根据DFT的性质，x(n)和h(n)的N点圆周卷积的DFT 等于它们DFT的乘积2.快速卷积快速卷积算法用圆周卷积实现线性卷积，根据圆周卷积定理利用FFT算法实现圆周卷积。
可以将快速卷积的步骤归纳如下：(1)为了使线性卷积可以用圆周卷积来计算，必须选择;同时为了能使用基-2FFT完成卷积运算，要求。
采用补零的办法使x(n)和h(n)的长度均为N。
(2)计算x(n)和h(n)的N点FFT(3)组成乘积(4)利用IFFT计算Y(K)的IDFT，得到线性卷积y(n)3.分段卷积我们考察单位取样响应为h(n)的线性系统，输入为x(n),输出为y(n)，则当输入序列x(n)极长时，如果要等x(n)全部集齐时再开始进行卷积，会使输出相对输入有较大的延时，再者如果序列太长，需要大量存贮单元。
为此我们把x(n)分段，分别求出每段的卷积，合在一起得到最后总的输出。
这种方法称为分段卷积分段卷积可细分为重叠保留法和重叠相加法。
重叠保留法：设x(n)的长度为，h(n)的长度为M。
我们把序列x(n)分成多段N点序列(n),每段与前一段重叠M-1个样本。
由于第一段没有前一段保留信号，为了修正，我们在第一个输入端前面填充M-1个零。
计算每一段与h(n)的圆周卷积，则其每段卷积结果的前M-1个样本不等于线性卷积值，不是正确的样本值。
所以我们将每段卷积结果的前M-1个样本社区，只保留后面的N-M+1个正确输出样本，把这些输出样本合起来，得到总输出。
数字信号处理FFT
数字信号处理FFT数字信号处理中的FFT算法数字信号处理（Digital Signal Processing, DSP）是一门研究如何以数字方式对信号进行处理和分析的学科。
其中，FFT（Fast Fourier Transform）算法是数字信号处理中最为重要和常用的算法之一。
本文将介绍FFT算法的原理、应用以及一些常见的优化方法。
一、FFT算法原理FFT算法是一种高效地计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）的方法。
DFT是将一个离散信号从时域（time domain）变换到频域（frequency domain）的过程。
在频域中，我们可以分析信号的频率成分和振幅，从而得到信号的频谱图。
FFT算法的原理是利用对称性和重复计算的方式，将一个需要O(N^2)次乘法运算的DFT计算降低到O(N*logN)的时间复杂度。
通过将N个点的DFT分解成多个规模较小的DFT计算，最终得到原始信号的频域表示。
二、FFT算法应用FFT算法在信号处理领域有着广泛的应用，其中包括但不限于以下几个方面：1. 信号的频谱分析：通过FFT算法，可以将时域信号转化为频域信号，进而分析信号的频率成分和振幅，为后续的信号处理提供依据。
例如，在音频处理中，我们可以通过FFT算法分析音频信号的频谱，用于音乐合成、音频降噪等应用。
2. 图像处理：图像信号也可以看作是一种二维信号，通过对图像的行、列分别进行FFT变换，可以得到图像的频域表示。
在图像处理中，FFT算法被广泛应用于图像增强、滤波、压缩等方面。
3. 通信系统：FFT算法在OFDM（正交频分复用）等通信系统中被广泛应用。
在OFDM系统中，多个子载波信号通过FFT变换合并在一起，实现信号的同时传输和接收。
4. 音频、视频压缩：在音频、视频等信号的压缩算法中，FFT算法也扮演着重要的角色。
通过对音频、视频信号进行频域分析，可以找到信号中能量较小的部分，并将其抛弃从而达到压缩的效果。
数字信号处理课件第四章资料
5、时间抽取蝶形运算流图符号
X1(k)
X1(k) WNk X 2 (k)
X 2 (k )
WNk
1 X1(k) WNk X 2 (k)
返回DIF 返回例题
设 N 23 8
X1(k)
X 2 (k )
WNk
k 0
W80
1
W81
2
W82
3
W83
X (k)
k 0,1,,7
l0
l 0
X1(k) X 3(k) WNk X 4 (k)
2
X1(k
N 4
)
X 3 (k )
W Nk
2
X
4
(k)
k 0,1,..., N 1 4
x2(r)也进行同样的分解：
x5 (l) x2 (2l)
x6 (l) x2 (2l 1)
l 0,1,..., N 1 4
)
N
/ 21
x1(r)WNrk/ 2
X1(k)
r 0
r 0
X2(k N / 2) X2(k) X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
W (kN N
/
2)
WNkWNN
/
2
WNk
N点X(k)可以表示成前 N点和后 点N 两部分：
2
2
前半部分X(k)：
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
N 1
X (k) x(n)WNnk k = 0, 1, …, N-1
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n = 0, 1, …, N-1
二者的差别只在于WN 的指数符号不同，以及差一 个常数因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算量。
《数字信号处理》第四章 相关分析
r12 ( )
x1
(t
)
x2
(t
)dt
x1 (t
)x2 (t)dt
r21( )
x1
(t
)x2 (t)dt
x1
(t
)
x2
(t
)dt
以及
rxx ( )
x(t)x (t )dt x (t)x(t )dt
一、自相关函数的性质
1、自相关函数rxx(τ)的极大值在τ=0处，是实数。
rxx ( ) rxx (0)
证明：
rxx ( )
x(t)x (t )dt
x2 (t)dt x2 (t )dt
x2 (t)dt
x2 (u)du
y2 (t)dt
将其代入均方误差，得到这种近似的最小均方误差为
min
xe2 (t)
x2 (t)dt
x(t
)
y(t
)dt
2
y2 (t)dt
第一节 相关
式中右边第一项 x2 (t)dt表示了原信号x(t)的能量。
若将上式用原信号能量归一化成为相对误差，则有
第二节 相关函数的性质
这是由于：
① r(τ)完全由它的能量谱或功率谱P(f )来决定； ② P(f ) =∣X(f )∣2
具有相同的振幅谱而不同相位谱的信号，可以 有相同的自相关函数。
第一节 相关
此时，相关函数r(τ)具有如下性质：
r12 ( ) r21( )
数字信号处理第四章 fft
第四章 快速傅立叶变换（FFT)
基2FFT算法
FFT的基本思想 长为N的序列x(n)的) N
N 1
x ( n )W N
nk
0 k N 1
nk
n0 N 1
X ( k )W N
0 n N 1
x ( n )
n0
N 2
x(
N 2
rn
N 2
1
x1 ( n )W N
2
rn
n0
基2频域抽取FFT(Sande-Tukey算法 ，DIF-FFT)
X ( 2 r 1)
x ( n ) x ( N 2
n0 1
N 2
N 2
1
n ) W N
( 2 r 1) n
nk
将k分成偶和奇数，即将X(k)分解成奇偶两组，在偶数组中k=2r, e 则 ； jk 1 在奇数组中k=2r+1,则 e 1；有：
jk
X (2r )
x ( n )
n0 1
N 2
1
x ( N n ) W N 2 n) N W
2
2 rn
实序列的FFT算法
Z(k)与H(k)、G(k)的关系 一般而言，H(k)，G(k)均是复函数，因此，关键是怎样从Z(k)中分 离出H(k)和G(k)。Z(k)可写作：
WN W
N 2
N 2
k N
e
j
2 N N 2
W N W N
k
k
) X 1 (k
) WN
k
(k
N 2
)
X 2 (k
第四章9线性卷积和线性相关的FFT算法 同济大学数字信号处理课件
y (n )
m 0
h(m ) x(n m )
需运算量： m d L M 若系统满足线性相位，即：
h(n) h(M 1 n)
则需运算量： m d L M / 2
2012-8-29 信号处理
FFT法：以圆周卷积代替线性卷积
令 N 2
m
M L 1
2） H ( k ) F F T [ h ( n )]
4） y i ( n ) IF F T [Y i ( k )]
5） y ( n )
i
yi (n )
3） Y i ( k ) X i ( k ) H ( k )
2012-8-29
信号处理
2012-8-29
信号处理
2）重叠保留法
3） R x y ( k ) X ( k ) Y ( k )
*
4） rx y ( n ) IF F T [ R x y ( k )]
N 1 N 1 *
rx y ( n )
1 N
R
k 0
xy
( k )W
nk N
1 * nk R x y ( k )W N N k 0
2012-8-29
则N M L 1 L
M 2 3 lo g 2 L
Km
重 叠 相 加 法 需采用分段卷积 信号处理 重 叠 保 留 法
1）重叠相加法
对 长 序 列 x ( n ) 分 段 ， 每 段 L点 ， L 与 h ( n )的 长 度 M 等 数 量 级
x(n) xi ( n ) 0
右移序列
0 x(n) x [ n ( M 1)] 0 n M 2 M 1 n 0 n N 1 其它n
数字信号卷积常用关系
数字信号卷积常用关系数字信号处理中，卷积是一种基本的操作，常常用于信号滤波、系统分析、信号处理等领域。
数字信号卷积常用关系是指常见的数字信号卷积公式或定理，下面将介绍几种常用的数字信号卷积关系。
1. 离散时间序列卷积离散时间序列卷积是指对两个离散时间序列进行卷积。
设序列x[n]和h[n]长度分别为N和M，则它们的卷积y[n]的长度为N+M-1，且有如下式子：$$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k] \quad \quad\quad (1)$$其中，k的取值范围是无限的，但由于卷积的性质，可以将k的取值范围缩小到0~N-1。
2. 离散时间序列卷积的对称性离散时间序列卷积具有对称性，即：$$x[n] * h[n] = h[n] * x[n] \quad \quad \quad (2)$$这个定理可以推广到多个序列的卷积中。
3. 线性卷积与循环卷积对于离散时间序列x[n]和h[n]，它们的长度分别为N和M。
当N≠M时，它们的卷积称为线性卷积。
当N=M时，它们的卷积称为循环卷积，记为x[n]⊙h[n]，也可以表示为：$$x[n]\circledast h[n]=\sum_{k=0}^{N-1}x[k]h[(n-k)\bmod N] \quad \quad \quad (3)$$循环卷积的性质很多，比如可以用卷积定理、分解成快速傅里叶变换（FFT）等方法来实现。
4. 卷积定理卷积定理是指卷积与傅里叶变换之间的关系。
设序列x[n]、h[n]的傅里叶变换分别为X(k)、H(k)，则它们的卷积y[n]的傅里叶变换为：$$Y(k)=X(k)\cdot H(k) \quad \quad \quad (4)$$其中，k表示频率，它取值范围是0~N-1，N是信号的长度。
卷积定理的重要性在于，可以通过傅里叶变换把卷积变成乘法，从而简化计算和提高效率。
5. 卷积的性质除了以上介绍的关系外，卷积还具有一些重要的性质，比如：（1）卷积满足结合律和交换律；（2）卷积具有分配律，即a(x[n]+y[n])=ax[n]+ay[n]，其中a 为常数；（3）卷积对时间颠倒是不变的，即x[n]*h[n]=x[-n]*h[-n]；（4）序列中的一次旋转对应于频谱上的一次相位旋转；（5）时域相乘对应于频域的卷积，时域卷积对应于频域相乘。
数字信号处理第四章9 线性卷积和线性相关的FFT算法
比较直接计算和FFT法计算的运算量
Km md mF ML 2 N (1 3 / 2 * lo g 2 N )
讨论：
1）当
M L
则 N M L 1 2M
Km
M
2
4 M [1 3 / 2 * (1 lo g 2 M )]
M 1 0 6 lo g 2 M
4） y i ( n ) IF F T [ Y i ( k )]
2） H ( k ) F F T [ h ( n )]
3） Y i ( k ) X i ( k ) H ( k )
2012-10-11
5） y ( n )
i
yi (n )
数字信号处理
2012-10-11
数字信号处理
N 1
2012-10-11
数字信号处理
思考题：
下列DFT应用中，能否将x(n)补零点使
1）频谱分析 2）计算线性卷积
3） 计 算 X ( z )
z re
j 2 N k
N 2
m
2012-10-11
数字信号处理
md LM / 2
数字信号处理
FFT法：以圆周卷积代替线性卷积
令 N 2
m
M L 1
x(n) x(n) 0 h(n) h(n) 0
0 n L 1 L n N 1 0 n M 1 M n N 1
则 y (n ) x(n ) * h (n ) x (n ) N h (n )
舍弃yi(n)的前M-1个点，再将yi(n)顺次连接， 即得y(n)。
2012-10-11 数字信号处理
数字信号处理 第四章
线性相关的FFT算法
1. 2. 3. 4.
计算步骤： X 求N点FFT， ( k ) DFT x ( n ) ； Y 求N点FFT， ( k ) DFT y ( n ) ； 求乘积，R ( k ) X ( k )Y ( k ) ； r 求N点IFFT， ( n ) IDFT R ( k ) 。 同样，可以利用已有的FFT程序计算IFFT， 求 1 1
mF 3 2 N log
2
3 N N N 1 log 2
2
N
线性卷积的FFT算法
[结论]：用线性相位FIR滤波器来比较直接计算 线性卷积和FFT法计算线性卷积这两种方法 的乘法次数，得
Km md mF ML 3 2 N 1 log 2 N 2 ML 3 2M L 11 log 2 M L 1 2
算法原理 运算量 按时间抽选的FFT算法的特点
按时间抽选的FFT算法的特点
原位运算（同址运算）
运算规律：每级（每列）计算都是由N/2个蝶形运 算构成，每一个蝶形结构完成下述基本迭代运算：
X m ( k ) X m 1 ( k ) X m 1 ( j )W Nr r X m ( j ) X m 1 ( k ) X m 1 ( j )W N
第4章 快速Fourier变换(FFT)
4.1 引言 4.2 直接计算DFT的问题及改进的途径 4.3 按时间抽选(DIT)的基－2FFT算法(库利－ 图基算法) 4.4 按频率抽选(DIF)的基－2 FFT算法（桑德 －图基算法） 4.5 离散Fourier反变换(IDFT)的快速计算方法 4.10 线性卷积与线性相关的FFT算法
吉林大学通信与信息系统900数字信号处理考试大纲
2）了解数字滤波器的分类。
3）掌握IIR数字滤波器的结构。
4）掌握FIR数字滤波器的结构。
2. IIR数字滤波器设计（第六章）
1）掌握三阶以下巴特沃思模拟低通滤波器的设计方法。
2）掌握冲激响应不变变换法。
3）掌握双线性变换法。
4）理解频带变换原理，掌握低通-低通，低通-高通变换方法。
3. FIR数字滤波器设计（第七章）
1）理解线性相位FIR数字滤波器的特性。
2）掌握窗口函数设计法原理。
3）掌握频率抽样法设计思想。
4）了解 IIR DF与FIR DF的不同特点。
（三）数字谱分析（第八章）
1）了解确定性信号谱分析，掌握谱分析参数选取关系式。
2）了解随机信号的基本概念，掌握其数字特征。
3）掌握随机信号谱估计及质量评价方法。
4）理解功率谱估计的自相关函数法。
5）掌握离散随机信号作用于线性时不变系统，系统产生的响应。
6）理解功率谱估计的周期图法。
二、参考书：
1.《数字信号处理原理及其MATLAB实现》，丛玉良，王宏志，电子工业出版社，2005
2《数字信号处理》，姚天任，华中科技大学出版社2000
3《数字信号处理教程》，程佩青，清华大学出版社，2001
4《数字信号处理基础及实验》，王树勋，机械工业出版社，1990年。
数字信号处理-填空题(160道)-1
题干数字信号处理是采用（数值计算）的方法完成对信号的处理。
题干信号处理包括数据的采集以及对（信号）进行分析、变换、综合、估值与识别等。
题干连续信号的（ 幅度 ）和（ 时间 ）都取连续变量。
题干时域离散信号是（ 幅度取连续变量，时间取离散值 ）信号。
题干数字信号其（ 幅度 ）和（ 时间 ）都取离散值。
题干数字信号处理的对象是（ 数字 ）信号，且采用（ 数值运算 ）的方法达到处理的目的。
题干数字信号处理的实现方法基本上可以分为（ 软件）实现方法和（ 硬件 ）实现方法。
题干如果信号仅有一个自变量，则称为（ 一维 ）信号。
题干如果信号有两个以上的自变量，则称为（多维 ）信号题干时域离散信号通常来源于对（ 模拟信号 ）信号的采样。
题干用有限位二进制编码表示的时域离散信号就是（ 数字信号 ）信号。
题干数字频率是表示相邻两个序列值之间（ 相位变化 ）的弧度数ω题干数字域频率与模拟角频率之间的关系是（ ）。
ωΩT ω=Ω题干对于任意序列x(n)，可以用单位采样序列的（移位加权和）表示，即。
()()()m x n x m n m δ∞=-∞=-∑题干系统的输入、输出之间满足（线性叠加）原理的系统称为线性系统。
题干系统对于输入信号的响应与信号加于系统的（ 时间 ）无关，则这种系统称为时不变系统。
题干同时满足（ 线性）和（时不变 ）特性的系统称为时域离散线性时不变系统。
题干单位脉冲响应是系统对于（ ）零状态响应。
()n δ题干线性卷积服从（ 交换 ）律、（ 结合 ）律、（ 分配 ）律。
题干因果系统是指系统n 时刻的输出只取决于n 时刻以及n 时刻以前的输入序列，而和 （ n 时刻以后的输入序列 ）无关。
题干线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是（ ）。
()0,0h n n =<题干所谓稳定系统是指对于有界输入，系统的（ 输出 ）也是有界的。
题干系统稳定的充分必要条件是（ 系统的单位脉冲响应绝对可和。
（或） ）。
《数字信号处理》 第4章
右图为描述倒位序的树状图(N=8)
5 倒位序的实现
对照表
变址功能
产生倒序数的十进制运算规律 N=2M，用M位二进制数表示，则从左至右的十进制权值为：
N 1 4
x1(2l)WNk22l
N 1 4
x1(2l
1)WNk22l1
r0
l0
l0
N1
N1
4
4
x3(l)WN kl4WN k2 x4(l)WN kl4
l0
l0
X 3(k) W N k2X 4(k),k0 ,1 ,
,N 1 2
式中
N1 4
N1 4
X3(k)DFTx3(l) x3(l)WN kl4 X4(k)DFTx4(l) x4(l)WN kl4
47线性调频变换chirp变换算法471算法原理已知序列xn0nn1是有限长序列其z变换为为适应z可沿z平面更一般的路径取值就沿z平面上的一段螺线作等分角的采样z的这些采样点zk为因此有其中a决定起始采样点z0的位置a0表示z0的矢量半径长度通常取a010表示z0的相角0表示两相邻采样点之间的角度差w0一般为正值表示螺线的伸展率图471线性调频变换在平面的螺线采样当mn即时各采样点zk就均匀等间隔地分布在单位圆上这就是求序列的dft
N
W N k(N n)W N (N k)nW N kn,
W
2 N
1
N
k
WN 2
WNk
利用这些特性，使DFT运算中有些项可以合并，并且可以 将长序列的DFT分解为几个短序列的DFT，以减少DFT的运算 次数。
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L
Km
重叠相加法 需采用分段卷积 重叠保留法
1）重叠相加法
对长序列x(n )分段，每段L点， L与h(n )的长度M 等数量级
x(n) iL n (i 1) L 1 xi (n) 其它n 0
令N 2m M L 1
i 0,1,...
y ( n ) yi ( n ) [ xi ( n ) * h(n )] [ xi ( n ) (k ) FFT [ xi (n)]
2）H (k ) FFT [h(n )]
4）yi (n) IFFT [Yi (k )]
5）y ( n ) yi ( n )
FFT法：以圆周卷积代替线性卷积 令 N 2m M L 1 x ( n) 0 n L 1 x ( n) L n N 1 0
h( n) 0 n M 1 h( n) M n N 1 0 则 y ( n ) x ( n ) * h( n ) x ( n ) N h( n )
md ML Km mF 2 N (1 3/ 2*log 2 N )
讨论：
1）当 M L
则N M L 1 2 M
M2 M Km 4M [1 3/ 2*(1 log 2 M )] 10 6log 2 M
2）当 L
M
则N M L 1 L
M Km 2 3log 2 L
x ( n) 0 n L 1 x ( n) L n N 1 0 y ( n) 0 n M 1 y ( n) M n N 1 0
yi (n) xi (n) * h(n) xi (n)
N
h( n )
舍弃yi(n)的前M-1个点，再将yi(n)顺次连接， 即得y(n)。
2、线性相关的FFT算法
若L点x(n)，M点y(n)，计算线性相关：
rxy (n) x(n m) y* (m)
m 0 M 1
令N 2m M L 1
九、线性卷积和线性相关的FFT算法
1、线性卷积的FFT算法
若L点x(n)，M点h(n)， 则直接计算其线性卷积y(n)
y (n ) h(m) x (n m)
m 0
M 1
需运算量： md LM 若系统满足线性相位，即：
h( n) h( M 1 n)
则需运算量： md LM / 2
1) H(k) = FFT [h(n)]
2) X(k) =FFT [x(n)]
N /2*log2N
N /2*log2N
3) Y(k) = H(k)X(k)
4) y(n) = IFFT [Y(k)]
N
N /2*log2N
mF N (1 3/ 2*log 2 N )
比较直接计算和FFT法计算的运算量
i
3）Yi (k ) X i (k ) H (k )
2）重叠保留法
0 0 n M 2 右移序列 x(n) M 1 n x[n ( M 1)]
分段 卷积
x[n i( N M +1)] 0 n N 1 xi (n) 0 其它n