6.3：相对论总结与习题

所求时间(两个阶段共同)： t t1 t2 12.5 25 37.5s
例10 一短跑选手在地球上以10s的时间跑完100m，在飞行 速度为0.98c的飞船上观察者看来，这选手跑了多长时间和 多长距离？(设飞船S′系沿地球S系的负向运动)有人作出如下 解答： 已知： t0 10s,
例4 宇宙飞船相对地面以速度u作匀速直线运动。某时刻位于飞 船头部的光信发生器向飞船尾部发出一光脉冲，宇航员测得 经过t时间尾部接收器收到此信号，则可知飞船的固有长度 为[ A ]： (A) ct (B) ut (C)
u ct 1 c
2
(D)
ct u 1 c
例12（作业6） 列车和隧道静止时的长度相等，当列车以u的高 速通过隧道时，分别在地面和列车上测量，列车长度L与隧道长 度L'的关系如何？若地面观测者发现当列车完全进入隧道时，隧 道的进、出口处同时发生了雷击，当然并未击中列车，按相对论 的理论，列车上的旅客会测得列车遭雷击了吗？为什么？ 1.列车隧道相对静止 2.在地面测量 3.在车上测量
第六章 相对论基础
一、狭义相对论的基本假设 • 相对性原理：在一切惯性系中所有的物理规律都一样；
• 光速不变原理：在所有惯性系中测得真空中的光速不变。 二、洛仑兹变换
u t 2 x x ut c t ， x ，y y ，z z u2 u2 1 2 1 2 c c
2
例5 把一静止质量为m0的粒子，由静止加速到v=0.6c， 所需作的功为[ D ]： (A) 0.18m0c2 (B) 0.36m0c2 (C) 1.25m0c2 (D) 0.25m0c2
A Ek Ek 2 Ek1 ( mc 2 m0c 2 ) 0 m0c 2 ( 1 1- v 2 c 2 1) 0.25m0c 2
解：(1) 介子在自身参照系中平均寿命t0= 2x10-6s为固有时 间。地球上观测者，由于时间膨胀效应，测得介子的寿命为：
t t 0 1 (v c )2
即在地球观测者看来， 介子一生可飞行距离为 L=vt≈9460m>6000m 所以判断结果， 介子能达到地球。
例8解：(2) 在与介子共同运动的参考系中， 介子是静止的， 地球以速率v=0.998c接近介子。从地面到介子产生处为 H0=6000m是在地球参考系中测得的，由于空间收缩效应，在 介子参考系中，这段距离应为
m m0 1 v2 c2
2、相对论动量
P mv m0 v v2 1 2 c
3、相对论力学基本方程
dp d m0 v F ( ) 2 dt dt v 1 2 c
4、相对论动能
5、质量与能量
2
Ek mc m0c
2
E mc2
m0 c 2 v2 1 2 c
则第一阶段所用时间(从地面时钟测量)：
t1 t 1 (u c)
2

10 1 (0.6)
2
12.5s
此阶段飞行距离(从地面测量)： h v t1 0.6c 12.5 7.5c(m) 第二阶段导弹飞行时间(从地面时钟测量)：
t2 h 7.5c 25s v2 0.3c
这里的x'是从飞船上看跑道的长度。这并不是同时测量 跑道两端(不满足同时测量的条件)，所以如果想从飞船上 同时测量跑道的长度，还要减去这t'时间内飞船走过的 距离：
l x u t u u( t 2 x ) x u t c u2 u2 1 2 1 2 c c u u x 1 2 l 0 1 2 20m c c
例6 观测者乙以 3c 5 的速率相对观测者甲运动，若 甲携带质量为1kg的物体，则 m m 0 1 ( u c ) 2 1.25 kg (1)乙测得物体的质量为____________________；
E m0c 2 9 1016 J (2)甲测得物体的总能量为_______________；
3)、空间收缩效应
L：在相对静止的参考系S中测得物体的长度； L′：在沿物体长度方向以u 的速度运动的另一个 惯性系S‘中测得物体的长度；
u2 L L 1 2 c
L 为静长度(或称固 有长度)，静长最长。
四、狭义相对论质点动力学 1、质量
狭义相对论认为测得物体的质量值与参考 系的运动状态有关。 m0 : 静止参考系测得的物体的质量； m : 相对物体以v 的速度运动的参考系测得的物体质量。
当外力对物体做功，物体能量增加E，质量也相应 增加m，满足
E mc
2
9 1016 倍的能量 质量亏损必伴随着
释放，这是关于原子能的一个基本方程。
6、动量与能量关系
2 E 2 P 2c 2 m0 c 4
例1 下列几种说法： (1) 所有惯性系对物理基本规律都是等价的； (2) 在真空中，光的速度与光的频率、光源的运动状态有关； (3) 在任何惯性系中，光在真空中沿任何方向的传播速度与参考 系的选择有关；其中说法正确的是[ (1)]：
l0 100m, u 0.98c, 则
t
t 0 u2 1 2 c

10 1 0.982
50.25s
l l0
u2 1 2 100 1 0.982 20m c
试分析此解答是否正确，如有错误请指出，并叙述出正确的 解题思路。
解(1)： 地面的100米跑道是静止在地面上，从地面参考 看，这是静长(原长)。从飞船上看，这静长为100米的跑 道收缩为：
l l0
u 1 2 100 1 0.982 20m c
2
从飞船上看，人跑完这段路程的时间为：
u ( 0.98c ) t 2 x 10 100 2 c c t 50.25s u2 1 0.982 1 2 c
解(2)： 也可以直接从两个事件和洛伦兹变பைடு நூலகம்出发：
S系中： x1 ，x2 且 t1 ， t2 x2 - x1=100m t2 –t1=10s
S'系中： x'1 ，x'2 t'1 ， t'2
由洛伦兹坐标变换：
x
x ut u2 1 2 c

100 ( 0.98c ) 10 1 0.982
1.48 1010 m
u ( 0.98c ) t 2 x 10 100 2 c c t 50.25s u2 1 0.982 1 2 c
2 2
例11 地球上的观察者发现一艘以速率0.60c向东航行的宇宙飞船 将在5s后同一个以0.8c速率向西航行的彗星相撞。 (1) 问：在飞船参考系测量彗星以多大速率接近； (2) 按照飞船的钟，最多还有多少时间允许他们离开原来的航线避 免碰撞？ 解:(1) 把飞船看做是S‘参考系，则已知： u 0.6c, v x 0.8c, t 5s 由洛仑兹速度变换： vx u 0.8c 0.6c v 0.95c x uv x 0.6c ( 0.8c ) 1 1 2 c2 c (2) 以地球上观察者发现5s前、后相撞为事件1和事件2，对 飞船来说，这两个事件发生在同一地点，则飞船上测得 的时间为固有时间： t u2 由： t 可得： t t 1 2 5 1 ( 0.6c )2 4s 2 c c u 1 2 c
2)、时间膨胀效应 t：在相对静止参考系S中测得的(用一只相对事件静止的钟 测量)两事件的时间间隔(同一地点先后发生的两个事件的时 间间隔； t：相对事件以u 速度运动的另一个参考系S‘中测得(用一 系列在S‘系中校对好的钟测量)两事件的时间间隔；
t
t 1 u 2 c2
这里t 原时(或称固 有时间)，原时最短。
例2 如图所示，在地面上同时发生的两个事件A、B，在相对地面 以u速度运动的火箭上测得[ B ]： （A）A先于B发生 （B） B先于A发生 （C） A、B同时发生 （D） 不同时发生，但不能确定哪个在先
u A B
例3 根据狭义相对论理论，下列说法正确的是[ D ]： (1) 相对于任何惯性系，一切运动物体的速度都不可能 达到真空中的光速； (2)质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观测者 相对运动状态而改变； (3)在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事 件，在其他相对此惯性系运动的任何惯性系中一定 不是同时发生的； (4)在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事 件，在其他相对此惯性系运动的惯性系中，可能不 是同时发生的。 A、 (1)(2)(3) C、 (2)(3)(4) B、(1)(3)(4) D、(1)(2)(4)

L
没被击中！
L

L

问题：车上测，列车是否遭雷击？
客观事实不会改变。只是洞口 两端雷击事件不是同时发生的。



E mc 2 1.125 1017 J (3)乙测得物体的总能量为_________________。
h h c2 例7 频率为的光子的能量为_____，质量为_____， h h 动量为______，动能为______。 c
例8 离地面6000m的高空大气层中，产生一介子以v=0.998c 的速度飞向地球。假定介子在自身参照系中的平均寿命为 2x10-6s,根据相对论理论，问： (1) 地球上的观测者判断介子能否到达地球： (2) 与介子一起运动的参照系中的观测者的判断结果又如何？
三、相对论时空观
• 绝对时空观：与经典力学理论相应，它认为时间 和空间是相互独立的物理量，而且两者都不因为 参考系的运动而改变。 • 相对时空观：与狭义相对论相应，它认为对两个 事件的时间间隔、空间间隔的测量值与参考系的 运动有关。 1)、“同时”的相对性：在一个惯性系测得同时 异地发生的两个事件，在相对两事件连线方向 运动的另一个惯性系中测得两个事件一定不是 同时发生的。