第7讲(教师7)因式分解提高训练题型 - 副本

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北师大 8年级下册专题07 因式分解(知识点串讲)(教师版)

专题07 因式分解知识网络重难突破知识点一因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式．注意：(1)因式分解是针对多项式，而不是单项式；(2)因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；(3)因式分解与整式乘法的区别：①因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式；整式乘法是把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式；②因式分解是多项式的恒等变形；整式乘法是一种运算.典例1(2019春•光明区期末)以下由左到右的变形，属于因式分解的是()A．2+-=-B．242(4)2+-=+-x x x x(2)(2)4x x xC．24(2)(2)-+=+-+x x x x xx x x-=+-D．243(2)(2)3【解答】解：A 、2(2)(2)4x x x +-=-，是整式的乘法运算，故此选项错误；B 、242(4)2x x x x +-=+-，不符合因式分解的定义，故此选项错误；C 、24(2)(2)x x x -=+-，是因式分解，符合题意．D 、243(2)(2)3x x x x x -+=+-+，不符合因式分解的定义，故此选项错误；应选：C ．典例2(2019春•成华区期末)把多项式2x ax b ++分解因式，得(1)(3)x x +-，那么a ，b 的值分别是( )A ．2a =，3b =B ．2a =-，3b =-C ．2a =-，3b =D ．2a =，3b =- 【解答】解：2(1)(3)x ax b x x ++=+-，132a ∴=-=-，313b =-⨯=-，应选：B ．知识点二提公因式法1、公因式多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式．2、确定公因式的一般步骤：①如果多项式的第一项为哪一项负数时，应把多项式的符号“﹣〞提取；②提取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；③把多项式各项都含有的相同字母(或因式)的最低次幂的积作为公因式的因式．3、提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．典例1(2020春•宝安区校级月考)以下多项式中，不能用提公因式法因式分解的是( )A ．31x x -+B ．2()4()a b b a ---C ．22117a b b -D ．5()a m n +一23()b m n +【解答】解：A 、31x x -+，不能利用提公因式法分解因式，故此选项符合题意；B 、22()4()()4()a b b a a b a b ---=---，可以提公因式a b -，能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；C 、22117a b b -，可以提公因式b ，能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；D 、5()a m n +一23()b m n +可以提公因式m n +，能利用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；应选：A ．典例2(2019春•汨罗市期中)多项式2()()()x y a b xy b a y a b ---+-提公因式后，另一个因式为( )A ．21x x -+B ．21x x ++C ．21x x --D ．21x x +-【解答】解：原式2()(1)a b y x x =-++，公因式是()a b y -，应选：B ．典例3(2017春•市南区期末)把多项式2326x x +分解因式的结果是．【解答】解：232262(13)x x x x +=+．故答案为：22(13)x x +．知识点三公式法1、平方差公式：即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．注意：（1）公式特点公式左边是两项的平方差，右边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.(2)运用平方差公式分解因式的一般步骤：()()22a b a b a b -=+-①将多项式复原成平方差的形式；②运用公式写成两数和与两数差的积的形式；③分别在括号内合并同类项．2、完全平方公式：；即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．注意：完全平方公式的结构：等式的左边是一个完全平方式，右边是左边两个平方项的底数和(或差)的平方.典例1(2019春•宝安区期末)以下多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是( )A ．21x +B ．21x -+C ．2x x +D ．221x x ++【解答】解：A 、21x +，不能进行因式分解；B 、2211(1)(1)x x x x -+=-=+-，可以使用平方差公式进行因式分解；C 、2(1)x x x x +=+，可以使用提公因式法进行因式分解；D 、2221(1)x x x ++=+，可以使用完全平方公式进行因式分解；应选：B ．典例2(2019春•成华区期末)249y my ++是完全平方式，那么m 为( )A ．6B ．6±C ．12±D ．12【解答】解：249y my ++是完全平方式，22312m ∴=±⨯⨯=±．应选：C ．典例3(2019春•温江区期中)以下整式中能直接运用完全平方公式分解因式的为( )A ．21x -B ．221x x ++C ．232x x ++D ．22x y +()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-【解答】解：A 、21(1)(1)x x x -=+-，故此选项错误；B 、2221(1)x x x ++=+，故此选项正确；C 、232(1)(2)x x x x ++=++，故此选项错误；D 、22x y +，无法分解因式，故此选项错误；应选：B ．知识点四因式分解的简算及化简求值1、在要求的式子很复杂的情况下，如果各个项中有相同的因数，可以提取公因式简化运算．2、化简求值中常用整体思想，假设由条件先求得a ，b 的值再代入求值，那么解题过程比拟复杂，因此可通过因式分解，将所求整式整理成用a +b ，ab 表示的形式，然后整体代入计算。

因式分解练习提高班

因式分解例1. 计算：200020012001200120002000⨯-⨯例2. 已知：x bx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。

解：例3. 设x 为整数，试判断1052+++x x x ()是质数还是合数，请说明理由。

解：1. 证明：812797913--能被45整除。

2 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值。

2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式a ab b a b 2222±+=±()立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±⋅+()() 补充：欧拉公式：a b c abc a b c a b c ab bc ca 3332223++-=++++---()() =++-+-+-12222()[()()()]a b c a b b c c a 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

3. 在几何题中的应用。

例：已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。

题型展示：例1. 已知：a m b m c m =+=+=+121122123，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。

第7讲因式分解--满分班

第7讲因式分解⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩提公因式法公式法因式分解分组分解法十字相乘法7.1 提公因式法一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.知识网络图知识概述1．（2017秋•十堰期末）若m ﹣n=﹣2，mn=1，则m 3n +mn 3=（）A ．6B ．5C ．4D ．32．（2018春•柯桥区期中）多项式（x +2）（2x ﹣1）﹣（x +2）可以因式分解成2（x +m ）（ x +n ），则m ﹣n 的值是（）A ．0B ．4C ．3D ．13．（2018春•太仓市期中）（﹣8）2018+（﹣8）2017能被下列哪个数整除？（）A ．3B ．5C ．7D ．917．（2017秋•泸县校级期中）2x 3﹣24x 2+54x ．7.2公式法一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.二、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 小试牛刀再接再厉知识概述形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.1．（2018•威海）分解因式：﹣a 2+2a ﹣2= _______．2．（2018•成都）已知x +y=0.2，x +3y=1，则代数式x 2+4xy +4y 2的值为_____ ．3．（2017秋•沂水县期末）已知m=2n +1，则m 2﹣4mn +4n 2﹣5的值为______．4．（2017春•庆元县期末）先阅读材料，再回答问题：分解因式：（a ﹣b ）2﹣2（a ﹣b ）+1解：设a ﹣b=M ，则原式=M 2﹣2M +1=（M ﹣1）2再将a ﹣b=M 还原，得到：原式=（a ﹣b ﹣1）2上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：（1）分解因式：（x +y ）（x +y ﹣4）+4（2）若a 为正整数，则（a ﹣1）（a ﹣2）（a ﹣3）（a ﹣4）+1为整数的平方，试说明理由．小试牛刀再接再厉5．（2017秋•杜尔伯特县校级期中）分解因式：x 2﹣120x +3456分析：由于常数项数值较大，则采用x 2﹣120x 变为差的平方形式进行分解： x 2﹣120x +3456=x 2﹣2×60x +3600﹣3600+3456=（x ﹣60）2﹣144=（x ﹣60+12）（x ﹣60﹣12）=（x ﹣48）（x ﹣72）请按照上面的方法分解因式：x 2+86x ﹣651．7.3分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式1．（2017秋•西城区校级期中）分解因式：（1）x 2﹣y 2+4y ﹣4=_______；（2）x 2﹣4xy +4y 2﹣2x +4y ﹣3=______．2．（2018春•金牛区校级月考）因式分解（1）x 2（a ﹣1）+y 2（1﹣a ）知识概述小试牛刀（2）x 2﹣y 2+4x ﹣2y +33．（2016秋•昌江区校级期末）分解因式：a 2+4b 2+c 4﹣4ab ﹣2ac 2+4bc 2﹣1．4．（2017秋•灵台县校级月考）把下列各式分解因式：（1）（a 2+a +1）（a 2﹣6a +1）+12a 2；（2）（2a +5）（a 2﹣9）（2a ﹣7）﹣91；（3）；（4）（x 4﹣4x 2+1）（x 4+3x 2+1）+10x 4；（5）2x 3﹣x 2z ﹣4x 2y +2xyz +2xy 2﹣y 2z ．7.4十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.1．（2017秋•醴陵市期末）计算（ax +b ）（cx +d ）=acx 2+adx +bcx +bd=acx 2+（ad +bc ）再接再厉知识概述小试牛刀x+bd，倒过来写可得：acx2+（ad+bc）x+bd=（ax+b）（cx+d）．我们就得到一个关于的二次三项式的因式分解的一个新的公式．我们观察公式左边二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果．这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法．如图1所示．示例：例如因式分解：12x2﹣5x﹣2解：由图2可知：12x2﹣5x﹣2=（3x﹣2）（4x+1）请根据示例，对下列多项式因式分解：①2x2+7x+6②6x2﹣7x﹣32．（2017秋•黔南州期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：解：原式=（ax+bx）+（ax+by）解：原式=（x+y）2﹣1=x（a+b）+y（a+b）=（x+y+1）（x+y﹣1）=（a+b）（x+y）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣2=（x+1+2）（x+l﹣2）=（x+3）（x ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（l）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．再接再厉3．（2017秋•临颍县期末）仔细阅读下面例题，解答问题；例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．4．（2017秋•阳泉期末）阅读与思考x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6=2×（﹣3），一次项系数﹣1=2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这样我们也可以得到x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．5．（2018春•慈利县期中）阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2﹣x﹣6；（3）x2﹣5xy+6y2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．6．（2018春•邗江区期中）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+7x+12=_____；（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值______．7.5因式分解的应用小试牛刀1．（2018春•苏州期中）已知a=+2012，b=+2013，c=+2014，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值_____．2．（2018•南岸区模拟）材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F （m，n），例如：F（12，345）=13+14=15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．（1）填空：F（16，123）=_____，并求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（2）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．再接再厉3．（2018•九龙坡区校级模拟）定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．4．（2018•重庆模拟）有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后，能被x0+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．5．（2018•江津区一模）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）（2）若一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）；（3）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．2018暑期领跑班·初二数学11。

中考数学专题训练第7讲一元二次方程(原卷版)

一元二次方程易错点梳理易错点01 忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。

易错点02 利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。

易错点03 利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定c b a ,,，然后再代入公式。

易错点04 根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定c b a ,,。

易错点05 列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。

考向01 一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是例题分析易错点梳理5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0考向02 一元二次方程的解法例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2+=可转化为两个一元一次方x616+=，则另一个一元一次方程是（）程，其中一个一元一次方程是x64A．x64+=-+=D．x64 -=-B．x64-=C．x64例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820--=，配方后可形为（）x xA．()2418x-=x-=B．()2414C．()2864x-=x-=D．()241考向03 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x的一元二次方程220+--=的根的情x mx m况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m，n是一元二次方程220210+-=的两个x x实数根，则代数式22++的值等于（）m m nA．2019 B．2020 C．2021 D．2022考向04 列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？例题8：（2021·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法： ①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（）A ．0B ．±3C ．3D ．－33．（2021·广西玉林·一模）关于x 的一元二次方程：24ax bx c ++=的解与方程2540x x -+=的解相同，则a b c ++=（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★，例如()2373372428=+⨯-+=★，若方程0x m =★的一个根是1-，则此方程的另一个根是（）A ．2-B ．3-C ．4-D ．5-5．（2021·广东·惠州一中一模）若m ，n 为方程2310x x --=的两根，则m n +的值为（）A ．1B ．1-C ．3-D ．3 微练习6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A ．2x 2﹣4x +3＝0B ．x 2+4x ﹣1＝0C ．x 2﹣2x ＝0D ．3x 2＝5x ﹣27．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）抛物线222y x x a =++-与坐标轴有且仅有两个交点，则a 的值为（）A ．3B ．2C ．2或3-D ．2或38．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限，则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都有可能9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（）A ．0.2%B ．－2.2%C ．20%D ．220%10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）每年春秋季节流感盛行，极具传染性如果一人得流感，不加干预，则经过两轮后共有81人得流感，则每人每轮平均会感染几人？设每人每轮平均感染x 人，则下列方程正确的是（）A ．2181x x ++=B ．()2181x += C ．()21181x x +++= D ．()()211181x x ++++= 11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（）A ．50元B ．60元C ．70元D ．50元或70元12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1，则关于x 的值，下列说法正确的是（）A ．不存在这样x 的值B ．有两个相等的x 的值C ．有两个不相等的x 的值D ．无法确定二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解，则c 的值是___________．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，则26152a a ++=______．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解，求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________． 16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为 ___．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数，则整数m 的最大值是________．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =321．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+ 22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x ，请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时，代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时，求x 的值．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）取12k =-，用配方法解这个一元二次方程．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a %，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a%，黄冠梨的进价减少了2a%，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a的值．25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x（元），日销售量为y（个）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？。

因式分解培优提高训练-.doc

因式分解提高训练——添项拆项法、待定系数法及运用一、知识梳理1、添项拆项法有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。

但如果它们进行适当的添项或拆项后利用分组分解法又可以分解了，那么添项和拆项有没有标准？一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。

如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。

2、待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。

然后再把积乘出来。

用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。

二、典例精讲专题一：添项拆项法例题1、分解因式：（1）x3-3x+2 （2）x4+4 (3) 2x2+x-1变式训练：（1）x4+x2+1 (2)x4+64 (3)x4-7x-2专题二：待定系数法例3、分解因式：6x 2+7xy+2y 2-8x-5y+2变式训练：用待定系数法分解 x 2+2xy-8y 2+2x+14y-3 的因式例4、已知多项式 x 4+x 3+6x 2+5x+5能被x 2+x+1整除，请分解前者的因式。

变式训练：已知x 2+2x+5是x 4+ax 2+b 的一个因式，则a+b=专题三：在实数范围内分解因式例5、在实数范围内分解因式（1）3-22 （2）3+10-6-15 （3） x 2-(3+2) x +6（4）4x 2－3 (5) x-21 x变式训练（在实数范围内分解因式）： (1)7+210 (2)9-220 (3)x 2-(2+7)x+14(4) 14-10-21+15 (5)a 4-6a 2+8课堂作业1、分解下列各式的因式①x 4+2534x 2+1 ②x 3+6x 2+11x+6 ③x 3+2x 2+2x+1④x 4+x 3-3x 2-4x-4 ⑤(1-a 2)(1-b 2)-4ab2、已知多项式x 4-3x 2+6x+8有一个因式是x 2-3x+4，把这个多项式分解因式.3、若多项式x 2-6x+5和多项式x 2+2x-k 有公因式，则k=4、如果a 、b 是整数，且是x 2-x-1是ax 3+bx 2+1的因式，则b=5、若2x 3-10x 2+mx-15能被x-5整除，则m=6、若3x 2-kx+4被3x-1除余3，则k=7、已知a 、b 、c 为实数，且多项式x 3+ax 2+bx+c 能被x 2+3x-4整除,①求4a+c ②求2a-2b-c 的值。

八年级数学暑假同步讲义第7讲因式分解法及配方法求解元二次方程(解析版)

利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础．1、因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．2、因式分解法理论依据①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当0A B⋅=时，必有0A=或0B=；当0A=或0B=时，必有0A B⋅=）．因式分解法及配方法解一元二次方程知识结构模块一：因式分解法解一元二次方程知识精讲内容分析班假暑级年八2/16②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题． 3、因式分解法解一元二次方程一般步骤①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例1】已知x 、y 是实数，若0xy =，则下列说法正确的是（）．A 、x 一定是0B 、y 一定是0C 、0x =或0y =D 、0x =且0y =【答案】C【解析】xy =0 只需要xy 其中一个为零整个乘式就为零，故选C ．【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．【例2】口答下列方程的根：（1）(8)0x x +=；（2）(4)(3)0x x --=；（3）(7)(6)0x x ++=；（4）(51)(2)0x x +-=；（5）()()0x a x b -+=．【答案】（1） 0x =或8x =-；（2）3x =或4x =；（3） 6x =-或7x =-；（4）15x =-或2x =；（5） x a =或x b =-．【解析】两数相乘为零其中一个为零即可，所以只要满足每一项分别为零，即可求解．【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．【例3】解下列方程：（1）25+60x x =；（2）2340x x -=．例题解析【答案】（1）15x =，265x =-；（2）10x =，243x =．【解析】（1）由2560x x +=，得(56)0x x +=，解得：15x =，265x =-，所以原方程的解为：15x =，265x =-；（2）由2340x x -=，得340x x -=（），解得：10x =，243x =，所以原方程的解为：10x =，243x =．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例4】解下列方程：（1）5(32)(1)(32)0x x x x --+-=；（2）()()3254520x x x ---=．【答案】（1）123x =，214x =；（2）152x =，243x =-．【解析】（1）由5(32)(1)(32)0x x x x --+-=，得()32510x x x ---=（），即 ()324 10x x --=（），所以原方程的解为：123x =，214x =；（2）由()()3254520x x x ---=，得()()25340x x -+=，所以原方程的解为：152x =，243x =-．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例5】解下列方程：（1）()()22231x x +=-；（2）229(21)16(2)0x x +--=；（3）24410x x -+=；（4）21236x x =--．【答案】（1）1 32x =，214x =-；（2）1112x =-，212x =；（3）1212x x ==；（4）126x x ==-．【解析】（1）由()()22231x x +=-，得231x x +=-或者2(31)x x +=--，所以原方程的解为：1 32x =，214x =-；（2）由229(21)16(2)0x x +--=，得229(21)16(2)x x +=-，(21)4(23)x x +=±-，解得：112x =-或12x =，所以原方程的解为：1112x =-，212x =；（3）由24410x x -+=，得2(21)0x -=，解得：12x =．所以原方程的解为：1212x x ==；（4）由21236x x =--，得212360x x ++=，即2(6)0x +=，所以原方程的解为：126x x ==-．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例6】解下列方程：（1）27120x x -+=；（2）2421x x +=．【答案】（1）13x =，24x =；（2）17x =-，23x =．【解析】（1）由27120x x -+=，得(3)(4)0x x --=，解得：3x =或者4x =，所以原方程的解为：13x =，24x =；（2）由2421x x +=，得24210x x +-=，即(7)(3)0x x +-=，解得：7x =-或者3x =，所以原方程的解为：17x =-，23x =．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例7】解下列方程：（1）23180x x -++=；（2）20.1 1.20.4x x -=．【答案】（1）16x =，23x =-；（2）16x =，22x =-．【解析】（1）由23180x x -++=，得23180x x --=，即(6)(3)0x x -+=，解得：6x =或者3x =-，所以原方程的解为：16x =，23x =-；（2）由20.1 1.20.4x x -=，得24120x x --=，即(6)(2)0x x -+=，解得：6x =或者2x =-，所以原方程的解为：16x =，22x =-．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程，注意符号的变化．【例8】解下列方程：（1）()2225x x x -=+；（2）()()315x x +-=．【答案】（1）15x =，21x =-；（2）14x =-，22x =．【解析】（1）由()2225x x x -=+，得22245x x x -=+，即2450x x --=，解得：5x =或者1x =-，所以原方程的解为：15x =，21x =-；（2）由()()315x x +-=，得2280x x +-=，即(4)(2)0x x +-=，解得：4x =-或者2x =，所以原方程的解为：14x =-，22x =．【总结】本题要先化成一般形式后再用十字相乘法进行求解，注意计算过程中的符号．【例9】解方程：()()25258x x +-+=．【答案】11x =-，27x =-．【解析】由()()25258x x +-+=，得()()252580x x +-+-=，即(54)(52)0x x +-++=，解得：1x =-或者7x =-，所以原方程的解为：11x =-，27x =-．【总结】本题必须把x +5看成一个整体，利用整体思想进行因式分解．【例10】解方程：20x x -+=．【答案】1x =2x【解析】由20x x -+=，得(0x x =，解得：x 或者x所以原方程的解为：1x =2x =【总结】本题主要考查将一个无理数化成两个无理数的乘积的形式．【例11】解方程：2(1(30x x -++=．【答案】1x =21x =．【解析】由2(1(30x x +-+=，得[(11](0x x -=，解得：x或者x =，所以原方程的解为：1x =21x =．【总结】本题需要仔细观察之后利用十字相乘法进行因式分解．【例12】已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程．【答案】260x x +-=．【解析】由(2)(3)0x x -+=，得260x x +-=．【总结】本题考查一元二次方程根的运用．【例13】学生A 在解一元二次方程(1)x x x -=时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由解：等式两边同时消去相同的数x ，得到11x -=解得2x =所以原方程的根为：2x = 【答案】不正确．【解析】不正确，因为等式两边同除的数不能为零，所以当0x =时，此算法是错误的．因此学生A 的做法完全错误的．【总结】本题主要考查等式的性质，注意两边同乘和同除的数不能为零．1、配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 2、配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±． 3、配方法解一元二次方程一般步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； ②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成2()x m n +=的形式； ④当0n ≥时，用直接开平方的方法解变形后的方程．【例14】构造完全平方式，完成下列填空：（1）2226()()x x x ++=+；例题解析知识精讲师生总结1、含有字母系数的一元二次方程如何求解？2、若二次项系数含有字母，求解时应注意哪些问题？模块二：配方法解一元二次方程（2）2228()()x x x ++=+；（3）22210()()x x x -+=-；（4）2221()()2x x x -+=-．【答案】（1）9 、3；（2）16、4；（3）25、5；（4）116、14．【解析】当二次项系数为1时，配方时，方程两边同加一次项系数一半的平方．【总结】本题考查对配方法的理解及运用．【例15】用配方法解方程：2210x x +-=．【答案】11x =-21x =--．【解析】由2210x x +-=，得2212x x ++=，即2(1)2x +=，所以原方程的解为：11x =-+，21x =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例16】用配方法解方程：2220x mx m +-=．【答案】1x m =-+，2x m =-．【解析】由2220x mx m +-=，得22222x mx m m ++=，即22()2x m m +=，所以原方程的解为：1x m =-+，2x m =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例17】用配方法解方程：21099750x x --=．【答案】195x =-，2105x =．【解析】由21099750x x --=，得2102510000x x -+=，即2(5)10000x -=，所以5100x -=±，所以95x =-或者105x =，所以原方程的解为：195x =-，2105x =．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例18】用配方法解方程：220130y --=．【答案】145y =，245y =-．【解析】由220130y --=，得2122025y -+=，即2(2025y -=，所以45y -±，所以原方程的解为：145y =，245y =．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例19】用配方法解方程：225200x x --+=．【答案】154x =-，254x =-．【解析】由225200x x --+=，得225200x x +-=，即251002x x +-=，配方，得：2525251021616x x ++=+，即25185()416x +=，解得：54x =-所以原方程的解为：154x =-，254x =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．【例20】用配方法解方程：210.30.2030x x -+=．【答案】1213x x ==．【解析】由210.30.2030x x -+=，得213203x x -+=，即221039x x -+=，所以21()03x -=，所以原方程的解为：1213x x ==．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．【例21】用配方法解方程：2(1)2(1)10x x -+--=（要求用整体法的思想求解）．【答案】12x x == 【解析】由2(1)2(1)10x x -+--=，得2(1)2(1)12x x -+-+=，即2(11)2x -+=，所以原方程的解为：12x x == 【总结】本题考查整体思想的运用，把1x -看成一个整体进行配方．【例22】用配方法解关于x 的方程：222240x ax b a --+=．【答案】1222x a b x a b =+=-，．【解析】由222240x ax b a --+=，得22224x ax a b -+=，即22()4x a b -=，解得：2x a b =±，所以原方程的解为：1222x a b x a b =+=-，．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例23】若把代数式223x x --化为2()x m k --的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=．【答案】5．【解析】因为2223(1)4x x x --=--，所以14m k ==，，所以5m k +=．【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m 和k 的值．【例24】已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式，则262x x q -+=可以配方成下列的（）．A 、2()5x p -=B 、2()9x p -=C 、2(2)9x p -+=D 、2(2)5x p -+=【答案】B【解析】因为260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式，所以262x x q -+=可写成2()72x p -=+的形式，即2()9x p -=．故选B ．【习题1】完成下列填空：（1）方程22x x =的根为；（2）方程(1)(2)0y y -+=的根为；（3）方程(2)4(2)x x x -=-的根为．【答案】（1）12x =，20x =；（2）11y =，22y =-；（3）12x =，24x =．【解析】（1）由22x x =，得(2)0x x -=，解得：2x =或者0x =，所以原方程的解为：12x =，20x =；（2）由(1)(2)0y y -+=，得1y =或者2y =-，所以原方程的解为：11y =，22y =-；（3）由(2)4(2)x x x -=-，得(2)(4)0x x --=，解得2x =或者4x =，所以原方程的解为：12x =，24x =．【总结】本题考查特殊的一元二次方程的解法．随堂检测师生总结1、一元二次方程各项系数满足什么关系时，配方法能求出实数根？2、用配方法解一元二次方程时先要考虑什么因素？【习题2】完成下列填空：（1）224()()x x x ++=+；（2）2225()()4y y y ++=-．【答案】（1）42、；（2） 552-、．【解析】利用完全平方公式的概念完成填空．【总结】本题考查配方法的基本概念．【习题3】用因式分解法解下列方程，并写出是因式分解法中哪类方法：（1）2540x x -=；（2）224(32)0x x -+=；（3）2690x x ++=；（4）260x x --=．【答案】（1）12405x x ==，；（2）12225x x =-=-，；（3）123x x ==-；（4）1223x x =-=，．【解析】（1）由2540x x -=，得(54)0x x -=，解得：12405x x ==，；（2）由224(32)0x x -+=，得(52)(2)0x x ++=，解得：12225x x =-=-，；（3）由2690x x ++=，得2(3)0x +=，解得：123x x ==-；（4）由260x x --=，得(3)(2)0x x -+=，解得1223x x =-=，．【总结】本题考查利用因式分解求解特殊的一元二次方程的根．【习题4】已知一个一元二次方程的两个根分别为3和6-，那么这个方程可以是（）．A 、23180x x --=B 、23180x x +-=C 、23180x x -+=D 、23180x x ++=【答案】B【解析】直接将两个根分别为3和6-代入原方程，即可验证，结果为B ．【总结】考查一元二次方程的根的概念，直接代入即可．【习题5】用适当的方法解下列方程：（1）2421x x -=-；（2）(2)(2)2(2)x x x -+=-；（3）2230x x +-=；（4）23180x x --=；（5）22570x x --=；（6）224(3)25(2)0x x +--=．【答案】（1）1273x x =-=，；（2）1202x x ==，；（3）1213x x ==-，；（4）1263x x ==-，；（5）12712x x =-=，；（6）126437x x ==，．【解析】（1）由2421x x -=-，得(7)(3)0x x +-=，解得：1273x x =-=，；（2）由(2)(2)2(2)x x x -+=-，得(2)0x x -=，解得：1202x x ==，；（3）由2230x x +-=，得(3)(1)0x x +-=，解得：1213x x ==-，；（4）由23180x x --=，得(6)(3)0x x -+=，解得：1263x x ==-，；（5）由22570x x --=，得(27)(1)0x x -+=，解得：12712x x =-=，；（6）由224(3)25(2)0x x +--=，得2(3)5(2)2(3)5(2)x x x x +=-+=--或，即31674x x ==或，解得：126437x x ==，．【总结】本题主要考查用适当的方法求解一元二次方程的解，注意方法的选择．【习题6】解方程：2228x --=+．【答案】12218x x =-=--，【解析】由2228x --+，得22)80x +++=，分解因式，得：2)42)0x x +++=，解得：12218x x =-=--，【总结】本题主要考查利用因式分解求一元二次方程的根，注意准确计算．【习题7】如果222(1)5x m x m -+++是一个完全平方式，求m 的值．【答案】2m =．班假暑级年八14/16【解析】因为222(1)5x m x m -+++是一个完全平方式，所以225(1)m m +=+，解得：2m =．【总结】本题主要考查学生对完全平方公式的理解及运用．【作业1】已知方程2222(3)(2)0a b a b ++--=，则22a b +的值为（）．A 、2B 、3-C 、2或3-D 、以上都不对【答案】C【解析】将22a b +看作一个整体，解得22a b +的值为2或3-，因为22a b +是一个非负数，所以22a b +的值为2，故选A ．【总结】本题一方面考查整体代入思想的运用，另一方面考查非负数的概念．【作业2】用因式分解法及配方法解下列方程：（1）2(4)5(4)x x +=+；（2）25240x x --=；（3）21042000x x --=；（4）2240x x --=；（5）23410x x -+=；（6）2650x x ++=．【答案】（1）1214x x ==-，；（2）1283x x ==-，；（3）127060x x ==-，；（4）1242x x ==-，；（5）12113x x ==，；（6）1215x x =-=-，．【解析】（1）由2(4)5(4)x x +=+，得(4)(45)0x x ++-=，解得：1214x x ==-，；（2）由25240x x --=，得(8)(3)0x x -+=，解得：1283x x ==-，；（3）由21042000x x --=，得(70)(60)0x x -+=，解得：127060x x ==-，；（4）由2240x x --=，得：(4)(2)0x x -+=，解得：1242x x ==-，；课后作业（5）由23410x x -+=，得：(1)(31)0x x --=，解得：12113x x ==，；（6）由2650x x ++=，得：(1)(5)0x x ++=，解得：1215x x =-=-，．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程的解．【作业3】用适当的方法解下列方程：（1）3(1)33x x x +=+；（2）2723200x x --=；（3）22(2)5x x x -=+；（4）(3)(4)8x x -+=；（5）(32)(21)(32)0x x x x -+--=；（6）222(1)5(1)40x x ---+=；（7）220y y -=．【答案】（1）1211x x ==-，；（2）12547x x ==-，；（3）1251x x ==-，；（4）1254x x =-=，；（5）12213x x ==-，；（6）1234x x x x ====（7）12y y = 【解析】（1）由3(1)33x x x +=+，得21x =，解得：1211x x ==-，；（2）由2723200x x --=，得(75)(4)0x x +-=，解得：12547x x ==-，；（3）由22(2)5x x x -=+，得(5)(1)0x x -+=，解得：1251x x ==-，；（4）由(3)(4)8x x -+=，得2200x x +-=，即(5)(4)0x x +-=，解得：1254x x =-=，；（5）由(32)(21)(32)0x x x x -+--=，得(32)(21)0x x x -+-=，解得：12213x x ==-，；（6）由222(1)5(1)40x x ---+=，得22(11)(14)0x x ----=，解得：1234x x x x ===（7）由220y y -=，得：(20y y -=，解得：12y y =．【总结】本题主要考考查用适当的方法求解一元二次方程的根，注意在用十字相乘法分解时，先将方程化为一般形式再分解．【作业4】若△ABC 的三边a 、b 、c 的长度是2760x x -+=的解，求△ABC 的周长．【答案】3或18或13．【解析】由2760x x -+=，得(6)(1)0x x --=，解得16x x ==或．当1a b c ===时，成立；当6a b c ===时，成立；当61a b c ===，时，成立；当16a b c ===，时，不成立．所以周长为3或18或13．【总结】本题一方面考查因式分解解一元二次方程的根，另一方面考查三角形的三边关系．【作业5】求证：无论x 为何值，代数式245x x -+的值总是大于零．【答案】略．【解析】因为245x x -+2(2)1x =-+，所以无论x 取何值，代数式245x x -+的值总是大于零．【总结】本题主要考查利用配方法判定代数式的取值范围．。

因式分解全章教案和练习题

因式分解全章教案和练习题一、教学目标1. 让学生掌握因式分解的基本概念和方法。

2. 培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学逻辑思维和运算能力的培养。

二、教学内容1. 因式分解的定义和意义2. 提公因式法3. 公式法4. 交叉相乘法5. 分解因式的应用三、教学重点与难点1. 重点：掌握因式分解的方法和步骤。

2. 难点：灵活运用因式分解解决实际问题。

四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索因式分解的方法。

2. 通过例题讲解，让学生逐步掌握因式分解的技巧。

3. 设计练习题，巩固所学知识，提高学生应用能力。

五、教学过程1. 导入：回顾整式的相关知识，引出因式分解的概念。

2. 讲解：讲解因式分解的定义、意义及基本方法。

3. 示范：举例子，演示因式分解的步骤和技巧。

4. 练习：让学生独立完成练习题，检验掌握程度。

5. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点和难点。

6. 作业布置：布置课后练习题，巩固所学知识。

教案练习题：1. 请简述因式分解的意义和作用。

3. 分解因式：x^2 5x + 64. 分解因式：x^2 + 2x + 15. 分解因式：x^2 46. 分解因式：3x^2 97. 分解因式：2x^3 8x8. 分解因式：x^2 + 3x + 29. 分解因式：4x^3 16x10. 分解因式：x^2 2x 3答案：1. 因式分解的意义和作用：将一个多项式表示为几个整式的乘积形式，便于理解和计算，可以用来解决一些实际问题，如求解多项式方程等。

2. 因式分解方法：a. 提公因式法：适用于多项式中存在公因式的情况。

b. 公式法：适用于能够运用公式进行分解的情况，如平方差公式、完全平方公式等。

c. 交叉相乘法：适用于两组数或多组数交叉相乘后能够得到原多项式的情况。

3. 分解因式：x^2 5x + 6 = (x 2)(x 3)4. 分解因式：x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^25. 分解因式：x^2 4 = (x + 2)(x 2)6. 分解因式：3x^2 9 = 3(x^2 3) = 3(x + √3)(x √3)7. 分解因式：2x^3 8x = 2x(x^2 4) = 2x(x + 2)(x 2)8. 分解因式：x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)9. 分解因式：4x^3 16x = 4x(x^2 4) = 4x(x + 2)(x 2)10. 分解因式：x^2 2x 3 = (x 3)(x + 1)因式分解全章教案和练习题（续）六、教学内容1. 结合公式法与十字相乘法2. 提公因式与公式法的综合运用3. 分解因式在实际问题中的应用4. 因式分解的进一步拓展七、教学重点与难点1. 重点：掌握不同因式分解方法的组合运用。

因式分解提高题（5篇）

因式分解提高题(5篇)以下是网友分享的关于因式分解提高题的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一一、填空：1. 若x 2+2(m -3) x +16是完全平方式，则m 的值等于_____。

2. x 2+x +m =(x -n ) 2则m n 若x m -y n =(x +y 2)(x -y 2)(x 2+y 4) ，则m=_______，n=_________。

x 2+(_____)x +2=(x +2)(x +_____)223. 4. 5. 若x +4x -4的值为0，则3x +12x -5的值是________。

22若x +y =4, x +y =6则xy = 6.二、选择题：1、多项式-a (a -x )(x -b ) +ab (a -x )(b -x ) 的公因式是（）A 、－a 、B 、-a (a -x )(x -b )C 、a (a -x )D 、-a (x -a ) 222、若mx +kx +9=(2x -3) ，则m ，k 的值分别是（）A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=-12、3、下列名式：x -y , -x +y , -x -y , (-x ) +(-y ) , x -y 中能用平方差公式分解因式的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、计算(1-[1**********]111)(1-) (1-)(1-) 的值是（）232223910A 、11111, C . , D . ，B 、2010202三、分解因式：1 、x -2x -35x2 、3x -3x223 、x -4xy -1+4y 4、x -1 3432625、ax -bx -bx +ax +2b -2a6、x -18x +81四、代数式求值1、2、3、五、计算：22222已知a +b =2，求(a -b ) -8(a +b ) 的值2242已知2x -y =1，xy =2，求2x 4y 3-x 3y 4的值。

浙教版七年级下数学辅导七因式分解培优提高提

七年级下数学辅导七因式分解培优提高提一、填空题：〔每题 2 分，共 24 分〕1、把以下各式的公因式写在横线上：① 5x 225x 2 y =〔15y) ；②4x2 n6x 4n=23x 2n.2、填上适当的式子，使以下等式成立：〔1〕2xy 2 2y xy xy( ) ；〔〕nan 2a2nan( ) .x 2 a3、在括号前面填上“＋〞或“－〞号，使等式成立：〔1〕 ( y x)2( x y) 2；〔2〕(1x)(2 x)(x 1)( x2) 。

4、直接写出因式分解的结果：〔1〕 x2 y2y 2；〔2〕3a26a 3。

5、假设 a 2 b 22b 1 0，那么 a，b＝。

6、假设x2mx 16x 4 2，那么m=。

7、如果 x y 0, xy7 ,那么x2y xy2，x2y 2。

8、简便计算： 2 － 2. 9、已知a13 ，那么 2 1 的值是.10 、如果 2a+3a a a23-4a-6b= .11、假设x2mx n 是一个完全平方式，那么m、 n 的关12、正方形的面积是9x 2 6 xy y2〔x>0，y>0〕,利用分解因式，写出表示该的边长的代数式.二、选择题：〔每题 2 分，共 20 分〕1、以下各式从左到右的变形中，是因式分解的为〔〕A、x( a b) ax bxB、x21 y 2( x 1)( x 1)y 2C、 2 1 ( 1)( 1) 、x x x D ax bx c x(a b) c2、一个多项式分解因式的结果是(b32)( 2 b3 ) ，那么这个多项式是〔〕A、 6 4 、 6 、 6 、 6b B 4 b C b 4 D b 43、以下各式是完全平方式的是〔〕A、x2 x 1B、1 x2C、x xy 1D、x2 2x 144、把多项式m2(a 2) m(2 a) 分解因式等于〔〕A ( 2)( 2 )B ( a2m) C、m(a-2)(m-1)、a m m 2)(m D m(a-2)(m+1)5、9( a b) 212(a 2b2 ) 4( a b) 2因式分解的结果是〔〕A、(5a b) 2、 2 、、 2B (5a b)C (3a 2b)(3a 2b)D (5a 2b)6、以下多项式中，含有因式( y 1) 的多项式是〔〕A、y22xy 3x 2B、 ( y 1) 2( y 1) 2C 、( y1)2( y21) D、( y 1)22( y 1) 17、分解因式x4 1 得〔〕A、( 2 1)( 2 1) 2 2 、 2 、 3x x B、( x 1) ( x 1) C (x 1)( x 1)( x 1) D ( x 1)( x 1)8、多项式2x2bx c 分解因式为 2(x 3)( x 1) ，那么 b, c 的值为〔〕A、b3, c 1B、 b6, c 2C、b6, c4D、b4, c 69、a、b、c是△的三边，且 a2 b2 c2 ab ac bc，那么△的形状是〔〕ABC ABCA、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、等边三角形10、在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形〔 a>b〕。

因式分解专项练习题(含答案)

因式分解专项练习题(含答案)1. 二次多项式的因式分解问题描述给定一个二次多项式ax2+bx+c，请将其进行因式分解。

解答步骤1.首先确定二次多项式的系数a、b和c。

2.接着，我们需要找到两个因子，使得它们的乘积等于ac，并且它们的和等于b。

3.最后，将多项式按照因子的形式进行因式分解。

示例问题：将二次多项式2x2+3x−2进行因式分解。

解答：1.确定系数a=2，b=3和c=−2。

2.找到两个因子，它们的乘积等于ac=−4，并且它们的和等于b=3。

在本例中，-2 和 2 是满足要求的因子。

3.将多项式进行因式分解：2x2+3x−2=(x−2)(2x+1)。

因此，二次多项式2x2+3x−2的因式分解结果为(x−2)(2x+1)。

答案(x−2)(2x+1)2. 完全平方式的因式分解问题描述给定一个完全平方式a2−b2，请将其进行因式分解。

解答步骤1.首先确定完全平方式的两个因子a和b。

2.接着，根据公式(a−b)(a+b)进行因式分解。

示例问题：将完全平方式9x2−4进行因式分解。

解答：1.确定完全平方式的两个因子a=3x和b=2。

2.根据公式进行因式分解：9x2−4=(3x−2)(3x+2)。

因此，完全平方式9x2−4的因式分解结果为(3x−2)(3x+2)。

答案(3x−2)(3x+2)3. 其它特殊情况的因式分解问题描述除了二次多项式和完全平方式外，还有一些特殊情况需要进行因式分解。

下面是几个例子：1.差平方式：形式为a2−b2的差平方式可以利用公式(a−b)(a+b)进行因式分解。

2.特殊二次多项式：形式为ax2+bx+c的二次多项式，如果不能直接进行因式分解，可以尝试使用求根公式进行因式分解。

3.多项式的公因式提取：对于多项式ax2+bx，可以提取公因式得到x(ax+b)进行因式分解。

示例问题：将差平方式16x2−9进行因式分解。

解答：根据公式(a−b)(a+b)进行因式分解：16x2−9=(4x−3)(4x+3)。

因式分解专项提升训练(原卷)

4.1 因式分解专项提升训练一．选择题1．（2021秋•建安区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x2+2x+4＝（x+1）2+32．（2022•沙坪坝区校级开学）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）B．2xy2＝2x•yC．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2+2x+2＝x（x+2）+23．（2021秋•南阳期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2C．x2﹣2x+1＝x（x﹣1）+1 D．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）4．（2021秋•青神县期末）下列各式：①x2﹣x2y4＝（x﹣xy2）（x+xy2），②x2﹣1+2x＝（x﹣1）（x+1）+2x，③﹣a2+2ab ﹣b2＝﹣（a﹣b）2，④．属于正确的因式分解的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2021秋•东莞市期末）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）B．x2﹣4x+4＝x（x﹣4）+4C．a（x+y）＝ax+ay D．x2﹣16+3x＝（x+4）（x﹣4）+3x6．（2021秋•莱州市期末）已知多项式ax2+bx+c因式分解的结果为（x﹣1）（x+4），则abc为（）A．12 B．9 C．﹣9 D．﹣127．（2021秋•洪洞县期中）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是乘法运算，②是因式分解D．①是因式分解，②是乘法运算8．（2021•碑林区校级开学）若2x﹣5是多项式4x2+mx﹣5（m为系数）的一个因式，则m的值是（）A．8 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣109．（2021春•永年区期末）对于等式12xy2＝3xy•4y有下列两种说法：①从左向右是因式分解；②从右向左是整式乘法，关于这两种说法正确的是（）A．①、②均正确B．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①、②均错误10．（2022春•新华区月考）若x2+kx+25＝（x﹣5）2，那么（）A．k＝10，从左到右是因式分解B．k＝﹣10，从左到右是因式分解C．k＝10，从左到右是乘法运算D．k＝﹣10，从左到右是乘法运算二．填空题11．（2021秋•钢城区期末）多项式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），则m＝．12．（2021春•锦江区校级期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的有.（填序号）①a（x+y）＝ax+ay；②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）；③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2；④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t．13．（2021春•崂山区期末）若x2+ax+b＝（x+3）（x﹣4），则a＝，b＝．14．（2020•乳山市一模）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝．15．（2021春•安丘市期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是．A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+zD．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2三．解答题16．（2021秋•奉贤区期中）小红准备完成题目：计算（x2x+2）（x2﹣x）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？17．（2021秋•洛阳期末）阅读理解：阅读下列材料：已知二次三项式2x2+x+a有一个因式是（x+2），求另一个因式以及a的值．解：设另一个因式是（2x+b），根据题意，得2x2+x+a＝（x+2）（2x+b）．展开，得2x2+x+a＝2x2+（b+4）x+2b．所以，，解得所以，另一个因式是（2x﹣3），a的值是﹣6．请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式是（x+4），求另一个因式以及m的值．18．若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．19．已知多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式．试求：m、n的值？。

《因式分解法》同步提升训练

《因式分解法》提升训练1.一元二次方程(3)30x x x -+-=的根是（）和3 和22.已知等腰三角形的腰和底边的长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该三角形的周长为（）或103.方程2||x x =的根是 .4.若分式2562x x x +++的值为0，则x 的值为 . 5.若正数a 是一元二次方程25=0x x m -+的一个根，－a 是一元二次方程2x 50x m +-=的一个根，则a 的值是 .6.已知2215500(0)x xy y xy -+=≠，则x y的值是 . 7.用因式分解法解下列方程：（1）222(3)9x x -=-；（2）22(32)40x x +-=；（3）5(23)1015x x x -=-. 8.【类比思想】（滨州中考）（1）根据要求，解答下列问题：①方程2210x x -+=的解为；②方程2320x x -+=的解为；③方程2430x x -+=的解为 ....（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程2980x x -+=的解为；②关于x 的方程的解为11x =，2x n =；（3）请用配方法解方程2980x x -+=，以验证猜想结论的正确性.【微专题4】运用十字相乘法解一元二次方程【注重阅读理解】阅读下列材料：（1）将2235x x +-分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：2x x x =⋅，35(5)(7)-=-⨯+.②交叉相乘，验中项：.③横向写出两因式：2235(7)(5)x x x x +-=+-.我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.（2）根据乘法原理：若0ab =，则=0a 或0b =.试用上述方法和原理解下列方程（1）2540x x ++=；（2）2670x x --=；（3）2680x x -+=；（4）2260x x +-=.参考答案：，±14.－3或107.（1）解：13x =，29x =.（2）解：125x =-，22x =-.（3）解：11x =，232x =. 8.（1）121x x == 11x =，22x = 11x =，23x =（2）①11x =，28x = ②2(1)0x n x n -++=（3）解：由298x x -=-，配方，得2949()24x -=，即9722x -=±，所以11x =，28x =. 微专题4（1）解：11x =-，24x =-.（2）解：17x =，21x =-.（3）解：12x =，24x =（4）解：132x =，22x =-.。

因式分解( 能力提升练)-【单元测试】七年级数学下册分层训练AB卷(湘教版)(解析版)

班级姓名学号分数第3章因式分解（B 卷·能力提升练）（时间：120分钟，满分：150分）一、单选题(共40分)1．(本题4分)下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）A ．222()x y x y B ．2(1)x x x xC ．26(3)(2)x x x x D ．22()()x y x y x y【答案】C【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据因式分解的定义分析判断即可．【详解】解：A.222()y y x x ，原变形错误，不符合题意；B.2(1)x x x x ，是单项式乘多项式，不是因式分解，故不符合题意；C.26(3)(2)x x x x ，是因式分解，故符合题意；D.22()()x y x y x y ，是多项式乘多项式，不是因式分解，故不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了因式分解，理解因式分解的定义是解题关键．2．(本题4分)下列因式分解正确的是（）A ．222x xy y x y B ． 25623x x x x C ．3244x x x x D ．22943232m n m n m n 【答案】D【分析】根据因式分解的方法进行逐一判断即可．【详解】解：A 、22x xy y 不能进行因式分解，不符合题意；B 、 25661x x x x ，原因式分解错误，不符合题意；C 、 324422x x x x x x x ，原因式分解错误，不符合题意；D 、 22943232m n m n m n ，因式分解正确，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．3．(本题4分)将下列多项式因式分解，结果中不含因式(2)x 的是（）A ．224x xB ．2312x C ．26x x D ．2(2)8(2)16x x 【答案】C【分析】将四个选项的式子分别进行因式分解，即可作出判断．【详解】A 、2242(2)x x x x ，故该选项不符合题意；B 、223123(4)3(2)(2)x x x x ，故该选项不符合题意；C 、26(2)(3)x x x x ，故该选项符合题意；D 、222(2)8(2)16242x x x x ，故该选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．4．(本题4分)一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：41x ，请问正确的结果为（）A ． 2211x x B ．2211x x C ．2111x x x D ．311x x 【答案】C【分析】根据平方差公式分解因式即可．【详解】解：4222111111x x x x x x ，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后结果．5．(本题4分)已知23a b ，224311a ab b ，则222a b ab 的值为（）A ．3B ．6C ．8D ．11【答案】B【分析】将23a b 变形为23a b ，同时将224311a ab b 化为 2211a b ab ，可得出ab 的值，再将222a b ab 分解因式，最后将ab 和2a b 的值代入即可求解．【详解】解：∵23a b ，∴23a b ，∵224311a ab b ，∴224411b a a b a b ，即 2211a b ab ，∴2311ab ，∴2ab ，∴222a b ab2ab a b 236 ．故选：B ．【点睛】本题考查因式分解的应用，求代数式的值，运用完全平方分式变形求值．灵活运用所学知识进行恒等变形是解题的关键．6．(本题4分)已知1xy ，2x y ，则32231122x y x y xy （）A ．2 B ．2C ．4D ．4【答案】A【分析】先对所求的式子进行因式分解，再整体代入计算即可．【详解】解：1xy ∵，2x y ，32231122x y x y xy 22122xy x xy y 212xy x y211222 ．故选：A ．【点睛】本题考查了整式的因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解决本题的关键．．本题分若22m 的值为（）A ．1B ．1C ．1D ．2【答案】C【分析】首先设原式 x y a x y b ，进而求出即可．【详解】解：原式x y a x y b 22x y a b x a b y ab故a b m ，5a b ，6ab ，解得：2a ，3b ，1m 或3a ，2b ，1m ，∴1m ．故选C ．【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键．8．(本题4分)在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式44x y ，因式分解的结果是 22x y x y x y ，若取9x ，9y 时，则各个因式的值是： 0x y ， 18x y ， 22162x y ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式329x xy ，取10x ，1y 时，用上述方法生成的密码可以是（）A ．101001B ．1307C ．1370D ．10137【答案】D【分析】首先对多项式提公因式，再利用平方差公式分解因式，然后把数值代入计算，即可确定出密码．【详解】解：329x xy229x x y 33x x y x y ，当10x ，1y 时，10x ，310313x y ，31037x y ，∴上述方法生成的密码可以是10137．故选：D【点睛】本题考查了因式分解的应用，涉及分解因式的方法有：提公因式法，以及平方差公式法，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出产生密码的方法是解本题的关键．9．(本题4分)已知120212022a x，120222022b x，120232022c x ，那么，代数式222a b c ab bc ac 的值是（）A ．2022B ．2022C ．3D ．3【答案】D【分析】先求解1a b ，1b c ，2a c ，再把原式化为22212a b b c a c，再代入求值即可．【详解】解：∵120212022a x，120222022b x ，120232022c x ，∴1a b ，1b c ，2a c ，∴222a b c ab bc ac22212222222a b c ab bc ac22212a b b c a c111423 ；故选D ．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．10．(本题4分)将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（1）可得等式： 2x p q x pq x p x q ．将图（2）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式2232a ab b 分解因式为（）A ． 2a b a bB ． 3a b a bC ． 2a b a bD ．3a b a b 【答案】C【分析】画出图形，根据图形因式分解即可．【详解】解：如下图：22322a ab b a b a b ，故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，利用等积法进行因式分解是解题的关键．二、填空题(共32分)11．(本题4分)因式分解3222472x x x ______．【答案】226x x 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可【详解】解：3222472x x x 221236x x x 226x x ．故答案为： 226x x ．【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．灵活运用因式分解的方法是解题的关键．12．(本题4分)已知多项式4x mx n 能分解为 2223x px q x x ，则p ______，q ______．【答案】2 ；7．【分析】把 2223x px q x x 展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．【详解】解：∵2223x px q x x 432322222333x px qx x px qx x px q 432223233x p x q p x q p x q4x mx n ．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p，解得：27p q ．故答案为：2 ，7．【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．13．(本题4分)已知长方形两条邻边的长分别为x 和y ，其周长为14，面积为10，其代数式22x y xy 的值为______．【答案】70【分析】根据长方形的周长及面积得到7x y ，10xy ，将代数式利用提公因式法分解因式后代入计算即可．【详解】解：∵长方形两条邻边的长分别为x 和y ，其周长为14，面积为10，∴ 214,10x y xy ，∴7x y ，∴ 2210770xy x x y xy y ，故答案为：70．【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握因式分解的方法及长方形的周长、面积计算公式是解题的关键．14．(本题4分)若多项式2x ax b 因式分解的结果是 23x x ，则a b ______．【答案】5【分析】此题主要考查了多项式乘法，正确利用多项式乘以多项式运算法则将原式展开是解题关键．首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a ，b 的值，即可得出答案．【详解】解：∵多项式2x ax b 分解因式的结果为(2)(3)x x ，∴22(2)(+3)6 x ax b x x x x ，故1a ，6b ，则5a b ．故答案为：5 ．【点睛】本题考查了因式分解，整式的乘方运算，熟练掌握多项式乘多项式法则是解本题的关键．15．(本题4分)已知 2237x ay x by x xy y ，则22a b ab 的值为________________．【答案】21【分析】根据多项式乘以多项式进行计算，根据等式得出系数相等，进而求得37a b ab，将代数式因式分解然后整体代入即可求解．【详解】解：∵ 22x ay x by x a b xy aby ， 2237x ay x by x xy y ，∴37a b ab∴22a b ab 3721ab a b ，故答案为：21．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解，正确的计算是解题的关键．16．(本题4分)甲、乙两个同学分解因式2x mx n 时，甲看错了m ，分解结果为(9)(2)x x ；乙看错了n ，分解结果为(5)(2)x x ，则正确的分解结果为_____．【答案】(6)(3)x x 【分析】根据题意分别运算(9)(2)x x 和(5)(2)x x ，确定m 、n 的值，然后进行因式分解即可．【详解】解：∵甲看错了m ，分解结果为(9)(2)x x ，∴由2(9)(2)718x x x x ，可知18n ，又∵乙看错了n ，分解结果为(5)(2)x x ，∴由2(5)(2)310x x x x ，可知3m ，∴22318x mx n x x ，∵ 231863x x x x ，∴正确的分解结果为(6)(3)x x ．故答案为：(6)(3)x x ．【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出m 、n 的值．17．(本题4分)若a ，b 都是有理数，且满足22542 a b a b ，则2022()a b _____________．【答案】1【分析】由22542 a b a b ，可得 22210,a b 可得2a ，1b =-，再代入求解即可．【详解】解：∵22542 a b a b ，∴2244210a a b b ，∴ 22210a b ，∴20a ，10b ，解得：2a ，1b =-，∴ 20222022()21 1.a b 故答案为：1．【点睛】本题考查的是非负数的性质，因式分解的应用，乘方运算的符号的确定，求解2,1a b 是解本题的关键．18．(本题4分)如图，边长为4的正方形ABCD 中放置两个长宽分别为a ，b 的长方形AEFG 与长方形CHIJ ，如图阴影部分的面积之和记为1S ，长方形AEFG 的面积记为2S ，若123544S S ，:3:2a b ，则长方形AEFG 的周长为________．【答案】253【分析】根据:3:2a b 可设a ＝3x ，b ＝2x ，由此可表示出相关线段长，进而可表示出S 1＝38x 2－80x ＋48，S 2＝6x 2，再根据123544S S 即可列出等式化简整理可得（6x －5）2＝0，由此可求得x ＝56，最后根据长方形的周长公式即可求得答案．【详解】解：∵:3:2a b ，∴设a ＝3x ，b ＝2x ，则AG ＝EF ＝CJ ＝HI ＝3x ，AE ＝FG ＝CH ＝IJ ＝2x ，∵正方形ABCD 的边长为4，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝4，∴BH ＝BE ＝4－2x ，DG ＝DJ ＝4－3x ，IP ＝IQ ＝3x －(4－2x )＝5x －4，∴S 1＝S 正方形BEPH ＋S 正方形IPFQ ＋S 正方形DGQJ＝（4－2x ）2＋（5x －4）2＋（4－3x ）2＝16－16x ＋4x 2＋25x 2－40x ＋16＋16－24x ＋9x 2＝38x 2－80x ＋48，S 2＝ab ＝3x ·2x ＝6x 2，又∵123544S S ，∴3（38x 2－80x ＋48）＋5×6x 2＝44，∴114x 2－240x ＋144＋30x 2＝44，∴144x 2－240x ＋100＝0，∴36x 2－60x ＋25＝0，∴（6x －5）2＝0，解得：x ＝56，∴C 长方形AEFG ＝2（a ＋b ）＝2（3x ＋2x ）＝10x＝10×56＝253，故答案为：253．【点睛】本题考查了整式的混合运算以及用完全平方公式进行因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．三、解答题(共78分)19．(本题8分)因式分解(1) 2294a x y b y x (2) 2222214x y x y 【答案】(1)3232a b a b x y (2) 2211xy xy 【分析】（1）先提取公因式 x y ，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：2294a x y b y x2294a x y b x y2294a b x y 3232a b a b x y ；（2）解： 2222214x y x y22221212x y xy x y xy 2211xy xy ．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．20．(本题8分)利用因式分解计算(1)2900894906(2)2.6815.731.415.7 1.32【答案】(1)36(2)31.4【分析】（1）先将894906 变形为()()a b a b 的形式，再利用平方差公式求解；（2）先提取公因式15.7，再进行计算即可．【详解】（1）解：2900894906222222290090(9006)(9006)(9006)9609000630 （2）解：2.6815.731.415.7 1.3215.7(2.682 1.32)15.7231.4【点睛】本题考查通过因式分解进行简化计算，解题关键是提取公因式或根据数字特点将所求式子进行变形后利用公式求解．21．(本题8分)下面是乐乐同学把多项式22164my mx 分解因式的具体步骤：22164my mx 22416mx my ……第一步22416m x y ……第二步22(2)(4)m x y ……第三步(24)(24)m x y x y ……第四步(1)事实上，乐乐的解法是错误的，造成错误的原因是________．(2)请给出这个问题的正确解法．【答案】(1)分解因式不彻底，没有把公因式提尽（意思对即可）(2)422m x y x y 【分析】（1）观察同学的解法，找出错误原因即可；（2）写出正确解法即可．【详解】（1）解：造成错误的原因是：分解因式不彻底，没有把公因式提尽；（2）解：22164my mx 22416mx my2244m x y 2242m x y422m x y x y ．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．22．(本题10分)已知：x 、y 满足：（x+y ）2=5，（x ﹣y ）2=41；求x3y+xy3的值．【答案】-207【详解】试题分析：直接利用已知将原式变形得出x 2+y 2=23，xy=-9，进而求出答案．试题解析：∵（x+y ）2=5，（x ﹣y ）2=41，∴（x+y ）2+（x ﹣y ）2=46，则x2+2xy+y2+x2﹣2xy+y2=46，2（x2+y2）=46，故x2+y2=23，（x+y ）2﹣（x ﹣y ）2=﹣36，则x2+2xy+y2﹣x2+2xy ﹣y2=﹣36，故4xy=﹣36，则xy=﹣9，x3y+xy3=xy （x2+y2）=﹣9×23=﹣207．23．(本题10分)试说明： 2275n n (n 为正整数)能被24整除．【答案】见解析【分析】利用平方差公式分解因式，得出 2275241n n n ，即可证明 2275n n 能被24整除．【详解】解：2275n n7575n n n n 2212n 241n ，∵n 为正整数，∴1n 为正整数，∴ 241n 能被24整除，∴ 2275n n 能被24整除．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式22a b a b a b ．24．(本题10分)常用的分解因式的方法有提取公因式法、运用公式法．有些多项式分解因式时，需要先分组，然后再提取公因式或运用公式．如分解因式：2222424424x y x y x y x y 2222222x y x y x y x y x y 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决以下问题：ABC 三边,,a b c 满足20a ab ac bc ，判断ABC 的形状．【答案】等腰三角形【分析】根据分组分解法对整式20a ab ac bc 的左边进行因式分解，由此可确定ABC 的三边的关系．【详解】解：由20a ab ac bc ，得20a ab ac bc ，∴ 0a a b c a b ， 0a b a c ，∴0a b ，或者0a c ，即a b ，或者a c ，∴ABC 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查因式分解的方法，理解题目中分组分解法进行因式分解是解题的关键．25．(本题12分)我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如： 2222222424222x xy y x xy y x y x y x y ．②拆项法：例如： 22222321412121213x x x x x x x x x ．仿照以上方法分解因式：(1)22441x x y ；(2)268x x ．【答案】(1)()()2121x y x y +++-(2)24x x 【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将原式先变形为2268691x x x x ，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：22441x x y 22441x x y =++- 2221x y ()()2121x y x y =+++-；（2）解：268x x 2691x x 231x ()()3131x x =-+-- 24x x ．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．26．(本题12分)(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式 20ax bx c a 分解因式呢？我们已经知道：2211221212211212122112a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ．反过来，就得到： 2121221121122a a x a c a c x c c a x c a x c ．我们发现，二次三项式 20ax bx c a 的二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c ，如果1221a c a c 的值正好等于2ax bx c 的一次项系数b ，那么2ax bx c 就可以分解为 1122a x c a x c ，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子26x x 分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111 ，把常数项6 也分解为两个因数的积，即 623 ；然后把1，1，2，3 按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到 13121 ，恰好等于一次项的系数1 ，于是26x x 就可以分解为 23x x ．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：26x x __________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①2257x x __________；②22672x xy y __________．(3)【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f 的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列，如果mq np b ，pk pj e ，mk nj d ，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式 mx py j nx qy k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①分解因式2235294x xy y x y __________；②若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my 可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．【答案】(1)(3)(2)x x (2)(27)(1)x x (2)(32)x y x y(3)(34)(21)x y x y ②43或78【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111 ，把常数项6 也分解为两个因数的积，即63 （-2)，写出结果即可．（2）①把二次项系数2写成212 ，常数项写成717 ，满足17(1)25 ，写出分解结果即可．②把2x 项系数6写成623 ，把2y 项系数2写成221（），满足22(1)37 ，写出分解结果即可．（3）①把2x 项系数3写成313 ，把2y 项系数-2写成221 （），常数项-4写成41 （）4满足条件，写出分解结果即可．②把2x 项系数1写成111 ，把2y 项系数-18写成1829 ，常数项-24写成243( 8)或243 （）8满足条件，写出分解结果，计算即可．【详解】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111 ，把常数项6 也分解为两个因数的积，即63 （-2)，所以26x x (3)(2)x x ．故答案为：(3)(2)x x ．（2）①把二次项系数2写成212 ，717 ，满足17(1)25 ，所以2257x x (27)(1)x x ．故答案为：(27)(1)x x ．②把2x 项系数6写成623 ，把2y 项系数2写成212（），满足22(1)37 ，所以22672x xy y (2)(32)x y x y ．故答案为：(2)(32)x y x y ．（3）①把2x 项系数3写成313 ，把2y 项系数-2写成221 （），常数项-4写成41 （）4满足条件，所以2235294x xy y x y (34)(21)x y x y ．故答案为：(34)(21)x y x y ．②把2x 项系数1写成111 ，把2y 项系数-18写成1829 ，常数项-24写成243( 8)或248 （）3满足条件，所以m =39(2)(8)43 或m =9(8)(2)378 ，故m 的值为43或-78．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键．。

七年级秋季班-第7讲：因式分解(二)-教师版

本节课继续学习因式分解的另外两种方法——十字相乘法和分组分解法．理解十字相乘法和分组分解法的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法．1、二次三项式：多项式2ax bx c ++，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c为常数项．2、十字相乘法的依据利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则．如在多项式乘法中有：2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，反过来可得：2()()()x a b x ab x a x b +++=++．因式分解（二）内容分析知识结构模块一：十字相乘法知识精讲3、十字交叉法的定义一般地，22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++可以用十字交叉线表示为：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． 4、用十字相乘法分解的多项式的特征（1）必须是一个二次三项式；（2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积，且这两个因数的和a b +正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”；（3）对于二次项系数不是1的二次三项式，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定． 5、用十字相乘法因式分解的符号规律（1）当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号；（2）当常数项是“-”号时，分解的两个一次二项式的因式中间是异号；（3）当二次项系数为负数是，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项．【例1】下列各式不能用十字相乘法分解因式的是（）．A ．223x x --B ．22x x -+C ．22x x --D ．232x x -+【难度】★ 【答案】B【解析】2可以分解成12⨯和1(2)-⨯-，但两种情况相加均不为1-．【总结】考察十字相乘法的方法．【例2】因式分解225148x xy y -+正确的是（）．A ．()()58x y x y --B ．()()58x y x y --C ．()()524x y x y --D ．()()542x y x y --【难度】★ 【答案】C例题解析5x -4yx -2y【解析】225148x xy y -+可以用十字交叉线表示为：【总结】考察十字相乘法的方法．【例3】分解因式：（1）256___________x x -+=；（2）26___________x x --=；（3）2231___________x x -+=；（4）2321__________a a --=．【难度】★【答案】(1) (3)(2)x x --；(2) (3)(2)x x -+；(3) (21)(1)x x --；(4) (31)(1)a a +-．【解析】(1)(2)直接“拆常数项，凑一次项”；(3)(4)需要画十字交叉线．【总结】考察十字相乘法的方法．【例4】分解因式：（1）()()21024_______________a b a b ----=；（2）22222566_______________a x a xy a y --=．【难度】★【答案】(1) (12)(2)a b a b ---+；(2) 2(11)(6)a x y x y -+．【解析】(1) 中可将a b -看成一整体；(2) 中需要先提取公因式．【总结】考察十字相乘法的方法．【例5】对于一切x ，等式2(1)(2)x px q x x -+=+-均成立，则24p q -的值为__________．【难度】★ 【答案】9．【解析】22(1)(2)2x px q x x x x -+=+-=--，所以12p q ==-，，249p q -=．【总结】考察求代数式的值，本题中需先根据等式成立条件求出p 、q ．【例6】若二次三项式215x ax -+在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值为_________．【难度】★★【答案】8，-8，16，-16．【解析】151151(15)353(5)=⨯=-⨯-=⨯=-⨯-，所以a 的值有四种情况．【总结】考察二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数的积的几种情况．【例7】分解因式：（1）23148x x -+；（2）21166a a --+；（3）()225()6a b c a b c ---+；（4）4224109x x y y -+；（5）()()222812x x x x +-++．【难度】★★【答案】(1) 11()()24x x --； (2) 11()()23a a -+-； (3) (3)(2)abc a b c ----；(4) ()()(3)(3)x y x y x y x y +-+-； (5) (1)(2)(2)(3)x x x x --++．【解析】(1)直接用十字相乘法分解；(2) 先提取符号在因式分解；(3)(5)先将小括号里看成一整体再分解；(4)中422422(),()x x y y ==．【总结】考察十字相乘法分解因式的方法，注意分解因式要彻底，如(5)．【例8】分解因式：（1）220920x x --+；（2）539829x x x -+；（3）()22234x x --；（4）()()22247412x x x x ++++；（5）()()2223234x x x x ---+．【难度】★★【答案】(1)(45)(54)x x -+-； (2) (3)(3)(31)(31)x x x x x +-+-；(3) (1)(1)(3)(3)x x x x +-+-； (4) 2(1)(2)(3)x x x +++； (5) (1)(1)(4)(2)x x x x -+--．【解析】(1) 先提取负号；(2) 先提取公因式x ；(3) 先将小括号看成一整体，利用平方差公式分解；(4)(5)将小括号里的代数式看成一整体，(5)需先将常数项放在括号外面来．【总结】考察十字相乘法分解因式的方法，注意分解因式要彻底．【例9】用简便方法计算：2998998016++．【难度】★★ 【答案】1006000．【解析】229989980169989981016++=+⨯+(9988)(9982)=++10061000=⨯ 1006000=．【总结】考察利用十字相乘法进行简便计算．【例10】已知()()22223540x y xy +++-=，试求22x y +的值．【难度】★★ 【答案】6【解析】令22x y +=a ，则a >0．原式可化为()3540a a +-=，所以2354(9)(6)0a a a a +-=+-=，所以a =6，即226x y +=．【总结】考察利用十字相乘法求代数式的值，本题中注意22x y +的符号．【例11】试判断：当k 为大于等于3的正整数时，5354k k k -+一定能被120整除．【难度】★★★ 【答案】成立．【解析】534254(54)k k k k k k -+=-+22(4)(1)k k k =--(2)(1)(1)(2)k k k k k =--++为5个连续自然数的乘积．5个连续自然数中，至少有一个能被3整除，至少有一个能被5整除，至少有一个能被4整除，另外(除了能被4整除的这个)还至少有一个能被2整除，3542120⨯⨯⨯=，所以5个连续自然数的乘积一定能被120整除，即k 为大于等于3的正整数时，5354k k k -+一定能被120整除．【总结】考察代数式的因式分解，及被某数整除的条件．（1）()()22323416x x x x +-++-；（2）()()()()312424x x x x --+++；（3）()22214(1)y x yx y ----．【难度】★★★【答案】(1) 2(36)(4)(1)x x x x +++-； (2) 2(3)(2)(8)x x x x +-+-； (3) (1)(1)x y xy x y xy -++---．【解析】(1) ()()22323416x x x x +-++-222(3)2(3)24x x x x =+++- 22(36)(34)x x x x =+++- 2(36)(4)(1)x x x x =+++-；(2) ()()()()312424x x x x --+++22(12)(2)24x x x x =+-+-+222(2)10(2)24x x x x =+--+-+ 22(24)(26)x x x x =+--+-- 2(3)(2)(8)x x x x =+-+-；(3) ()22214(1)y x yx y ----222241x x y xy y =---+ 2222(2)(21)x xy y x y xy =-+-++ 22()(1)x y xy =--+(1)(1)x y xy x y xy =-++---．【总结】考察较复杂的代数式因式分解的方法．（1）2231092x xy y x y --++-；（2）222456x xy y x y +--+-．【难度】★★★【答案】(1) (21)(52)x y x y +--+；(2) (22)(3)x y x y -++-．【解析】(1) 2231092x xy y x y --++-(5)(2)2452x y x y x y x y =-+++-+- (5)(2)2(2)(52)x y x y x y x y =-+++--+ (52)(2)(52)x y x y x y =-++--+ (52)(21)x y x y =-++-；(2) 222456x xy y x y +--+-(2)()63226x y x y x y x y =-+-+++- (2)()3(2)2()6x y x y x y x y =-+--++- (2)(3)2(3)x y x y x y =-+-++-(22)(3)x y x y =-++-．【总结】考察较复杂代数式因式分解的方法，本题还可以用双十字相乘法．1、分组原则：（1）分组后能直接提取公因式；（2）分组后能直接运用公式． 2、分组分解法分解因式的几点注意（1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解；（2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组；（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解；（4）五项式一般采用三项、两项分组；（5）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组；（6模块二：分组分解法知识精讲【例14】把多项式2242x x y y ---用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（）．A ．()()2242x y x y --+ B ．()224(2)x y x y --+C ．224(2)x x y y -++D ．()()2242x x y y --+【难度】★ 【答案】B【解析】B 中分组之后还可以继续分解，其余不行．【总结】考察分组的原则．【例15】把多项式2221xy x y --+分解因式（）．A ．()()11x y y x -+-+B ．()()11x y y x ---+C ．()()11x y x y ---+D ．()()11x y x y -+-+【难度】★ 【答案】A【解析】2222211(2)xy x y x xy y --+=--+21()x y =--(1)(1)x y x y =+--+．【总结】考察分组的方法．【例16】将多项式2a ab ac bc -+-分解因式，分组的方法共有________种．【难度】★ 【答案】2【解析】一二分组或一三分组．【总结】考察分组的方法．例题解析【例17】（1）若3223a a b ab b --+有因式()a b -，则另外的因式是____________．（2）若多项式3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，则m 的值为____________．【难度】★★【答案】(1) ()()a b a b +-；(2) -9．【解析】(1) 322322()()a a b ab b a a b b a b --+=---22()()a b a b =--2()()a b a b =+-； (2) 32233(3)3()3m x x x m x x x +-+=+--，由题意，393mm -==-，．【总结】考察分组的方法．【例18】分解因式：（1）221448x y xy --+；（2）2222242a x a y a xy -+-；（3）234416x x x +--；（4）3223x x y xy y +--．【难度】★★【答案】(1) (122)(122)x y x y +--+；(2) (2)(2)ax ay ax ay -+--；(3) (14)(2)(2)x x x ++-； (4) 2()()x y x y +-．【解析】(1) 后三项一组提取公因式4；(2) 一三四一组提取a 2；(3)一二、三四分组；(4) 一二、三四分组．【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底．【例19】分解因式：（1）222ax ay x xy y --+-；（2）22222x x xy y y --+-．【难度】★★【答案】(1) ()()x y a x y --+；(2) ()(22)x y x y -+-．【解析】(1) 一二、三四五分组；(2) 22222x x xy y y --+-22222x x xy y x y =--++-，然后按顺序两两分组．【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底．【例20】分解因式：（1）54321x x x x x +++++；（2）222212x y z yz x ---+-．【难度】★★【答案】(1) 22(1)(1)(1)x x x x x +++-+；(2) (1)(1)x y z x y z ++----．【解析】(1) 54321x x x x x +++++322(1)(1)x x x x x =+++++23(1)(1)x x x =+++22(1)(1)(1)x x x x x =+++-+；(2) 222212x y z yz x ---+-222(21)(2)x x y z yz =-+-++ 22(1)()x y z =--+(1)(1)x y z x y z =++----．【总结】考察分组的方法，注意分解因式要彻底．【例21】分解因式：（1）243(34)x y x y +-+；（2）2222()()ab c d cd a b +++．【难度】★★【答案】(1) (1)(43)x x y --；(2) ()()ac bd bc ad ++．【解析】(1) 小括号展开后一四、二三分组；(2) 小括号展开后一四、二三分组；或者一三、二四分组．【总结】考察分组的方法．【例22】请将下列多项式因式分解，并求值：（1）2214129x xy y -+-，其中1823x y ==，；（2）22446125x xy y x y -+-++，其中28x y =+．【难度】★★【答案】(1) (123)(123)x y x y +--+，-48；(2) (21)(25)x y x y ----，21．【解析】(1) 2214129x xy y -+-21(23)x y =--(123)(123)x y x y =+--+，把1823x y ==，代入上式得值为-48； (2) 22446125x xy y x y -+-++2(2)6(2)5x y x y =---+(21)(25)x y x y =----，把28x y =+代入上式得值为21．【总结】考察先因式分解再求值，注意方法的合理选择及运用．【例23】当2a c b +=时，求式子22244a c b bc --+的值．【难度】★★【答案】0．【解析】22244a c b bc --+222(44)a c bc b =--+22(2)a c b =--(2)(2)a c b a c b =+--+当2a c b +=时，代入上式第二个因式为0，所以原式值为0．【总结】考察先因式分解再求值．【例24】用因式分解的方法说明当n 为任意正整数时，代数式23232n +-+-的值一定是 10的整数倍．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】223232n n n n ++-+-223(31)2(21)n n =+-+10352n n =⨯-⨯110(32)n n -=-．当n 为任意正整数时，132n n --必为整数，所以代数式223232n n n n ++-+-的值一定是10的整数倍．【总结】考察分组分解法分解因式及倍数的概念．【例25】求证：无论x y 、为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】 2241293035x x y y -+++224129930251x x y y =-+++++22(23)(35)1x y =-+++>0所以：无论x y 、为何值，2241293035x x y y -+++的值恒为正．【总结】考察将代数式化成完全平方的形式．【例26】如果多项式2223352kx xy y x y --+-+能分解成两个一次因式乘积，求250.25k k ++的值．【难度】★★★【答案】 3.75-．【解析】2223352kx xy y x y --+-+22(32)(352)kx y x y y =+--+-2(32)(31)(2)kx y x y y =+---+因为接下来再用十字相乘法分解时，常数项可分为31y -和(2)y -+，两者之和正好为32y -，所以1k =-．所以250.25150.25 3.75k k ++=-+=-．【总结】本题综合性较强，主要考察将复杂代数式分解因式的方法．【例27】对于多项式32510x x x -++,我们把2x =代入多项式，发现2x =能使多项式32510x x x -++的值为0，由此可以断定多项式32510x x x -++中有因式()2x -．［注：把x a =代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式()x a -］，于是我们可以把多项式写成：32510(2)()x x x x x mx n -++=-++，分别求出m n 、后再代入 3510x x x -++=()()22x x mx n -++，就可以把多项式32510x x x -++因式分解．（1）求式子中m n 、的值．（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项32584x x x +++．【难度】★★★【答案】(1)35m n =-=-，；(2) 322584(1)(2)x x x x x +++=++．【解析】(1) 322510(2)()x x x x x mx n -++=-++32(2)(2)2x m x n m x n =+-+--根据系数对应相等得：25210m n -=-⎧⎨-=⎩，解得：35m n =-⎧⎨=-⎩．(2) 32584x x x +++()()21x x mx n =+++ (根据试根法可得多项式含因式x +1)32(1)()x m x m n x n =+++++根据系数对应相等得：154m n +=⎧⎨=⎩，解得：44m n =⎧⎨=⎩．所以32584x x x +++()()2144x x x =+++2(1)(2)x x =++【总结】主要考查对题目的理解能力．【习题1】下列多项式不能用十字相乘法分解因式的是（）． A ．22x x +- B ．223103x x x -+ C ．232x x -+D ．2267x xy y -- 【难度】★【答案】B【解析】B 中合并同类项之后变成两项，而十字相乘法分解因式的形式为二次三项式．【总结】考察能用十字相乘法分解因式的条件．【习题2】下列因式分解错误的是（）．A ．()()2a bc ac ab a b a c -+-=-+B ．5315(5)(3)ab a b b a -+-=-+C ．22619(31)(31)x xy y x y x y --+=+++-D ．2326(3)(2)x xy x y x y x +--=+-【难度】★【答案】C【解析】C 中正确答案应为22619(31)(31)x xy y x y x y --+=-+--．【总结】考察分解因式的方法，注意符号问题．【习题3】分解因式：25____(___)(4)x x x x ++=++．【难度】★【答案】4，1．【解析】由一次项系数可得后面小括号填1，那么常数项为4．【总结】考察二次项系数为1的二次三项式十字相乘法分解的方法．随堂检测【习题4】若()()23x x -+是二次三项式2x mx n -+的因式分解的结果，则m 的值是_______．【难度】★【答案】1-．【解析】()()2236x x x x -+=+-=2x mx n -+，利用系数对应相等可得1m =-．【总结】考察二次项系数为1的二次三项式十字相乘法分解的逆运算．【习题5】若()()215x kx x a x b --=++，则a b +的值不可能是（）． A ．14 B ．16 C ．2 D ．14-【难度】★★【答案】B【解析】15ab =-，151151513553-=-⨯=-⨯=-⨯=-⨯，所以a b +的值可能是14，-14，2，-2四种．【总结】考察二次项系数为1的二次三项式十字相乘法分解的方法．【习题6】分解因式：（1）3246____________ab a b -+-+=；（2）22____________a bx a cx bx cx --+=；（3）22244_____________a a b b --+=．【难度】★★【答案】(1) (23)(2)b a --；(2) ()(1)(1)x b c a a -+-；(3) (2)(22)a b a b -+-．【解析】(1) 一二、三四分组；(2) 一二、三四分组；(3) 一三、二四分组．【总结】考察分组分解法分解因式．（1）21024x +-；（2）2421x x --+；（3）22383x xy y +-；（4）42109x x -+．【难度】★★【答案】(1) (12)(2)x x +-； (2) (7)(3)x x -+-；(3) (3)(3)x y x y -+； (4) (1)(1)(3)(3)x x x x +-+-．【解析】(1)(3)直接十字相乘法分解；(2) 先提取负号；(4)先将422()x x =，注意分解彻底．【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法．【习题8】分解因式：（1）2365()()m n m n -+-+；（2）()229()20a b ac bc c +-++．【难度】★★【答案】(1) (9)(4)m n m n -+++-；(2) (4)(5)a b c a b c +-+-．【解析】(1) 2365()()m n m n -+-+ 2[()5()36]m n m n =-+++-[()9][()4]m n m n =-+++-(9)(4)m n m n =-+++-；(2)()229()20a b ac bc c +-++ ()229()20a b a b c c =+-++ (4)(5)a b c a b c =+-+-．【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法，本题在于将小括号里的因式看成一整体．（1）22444a ab b --+；（2）322x x y xy y x y -+-+-；（3）22446129x xy y x y -+-++；（4）221194n n x x y +-+．【难度】★★【答案】(1) (22)(22)a b a b -+--；(2) 2()(1)x y x y -++；(3) 2(23)x y --； (4) 1111()()2323n n x y x y +++-．【解析】(1) 一三四分组；(2) 两两顺次分组；(3) 一二三、四五、六分组；(4) 一二四分组．【总结】考察分组的方法．【习题10】若一个长方形的周长为32，长为x ，宽为y ，且满足32230x x y xy y +--=．求这个长方形的面积．【难度】★★【答案】64．【解析】3223x x y xy y +--22()()x x y y x y =+-+22()()x y x y =+-2()()0x y x y =+-=，由题意只有x y =，又2432864x x x ===，所以，所以．即这个长方形的面积为64．【总结】考察多项式的因式分解及实际问题中值为0的条件．【习题11】用两种不同的分组方法分解因式：54321x x x x x +----．【难度】★★【答案】42(1)(1)x x x +--．【解析】法一： 54321x x x x x +----42(1)(1)(1)x x x x x =+-+-+42(1)(1)x x x =+--；法二： 54321x x x x x +----5342()(1)x x x x x =--+--4242(1)(1)x x x x x =--+--42(1)(1)x x x =+--．【总结】考察分组的方法．【习题12】已知225302x x a a ++++=，求3x a +的值．【难度】★★【答案】-3．【解析】22532x x a a ++++2291344x x a a =+++++2231()()022x a =+++=，所以3122x a =-=-，，则33x a +=-．【总结】考察根据代数式求值的方法．【习题13】已知a b c d 、、、是整数，且7a b +=，7c d +=，判断ad bc -的值能否被7整除，并简要说明理由．【难度】★★★【答案】能，见解析【解析】因为7a b +=，所以()7a b d d += ①；因为7c d +=，所以()7b c d b += ②．两式相减得777()ad bc d b d b -=-=-，因为a b c d 、、、是整数，所以d b -也为整数，所以7()d b -能被7整除，即原题成立．【总结】考察能被7整除的条件．【习题14】分解因式：（1）2235294x xy y x y +-++-；（2）2232453x xy y x y +++++．【难度】★★★【答案】(1) (34)(21)x y x y -++-；(2) (23)(1)x y x y ++++．【解析】(1) 2235294x xy y x y +-++- 223(51)(294)x y x y y =++--+23(51)(21)(4)x y x y y =++---(34)(21)x y x y =-++-；(2) 2232453x xy y x y +++++22(34)(253)x y x y y =+++++2(34)(23)(1)x y x y y =+++++(23)(1)x y x y =++++．【总结】考察较复杂代数式分解因式的方法，本题可用双十字相乘法分解．【习题15】分解因式：（1）()()226824x x x x +-+--；（2）()1(2)(3)(6)20x x x x +---+．【难度】★★★【答案】(1) (4)(3)(2)(1)x x x x +-+-；(2) 2(54)(1)(4)x x x x ----【解析】(1) ()()226824x x x x +-+-- 222(6)2(6)24x x x x =+--+--22(66)(64)x x x x =+--+-+(4)(3)(2)(1)x x x x =+-+-；(2) ()1(2)(3)(6)20x x x x +---+22(56)(56)20x x x x =---++222(56)12(56)20x x x x =--+--+22(562)(5610)x x x x =--+--+2(54)(1)(4)x x x x =----．【总结】考察较复杂代数式分解因式的方法，本题主要考察整体思想．【作业1】分解因式：（1）22524__________x xy y --=；（2）2236_______________x ax bx ab +++=；（3）22993______________x x y y +--=．【难度】★【答案】(1) (8)(3)x y x y -+；(2) (2)(3)x a x b ++；(3) (3)(33)x y x y -++．【解析】(1) 直接用十字相乘法分解；(2)一二、三四分组；(3)一三、二四分组．【总结】考察较简单的因式分解的方法．【作业2】分解因式：（1）21220x x ++；（2）212x x +-；（3）2121115x x --．【难度】★【答案】(1) (2)(10)x x ++；(2) (4)(3)x x --+；(3) (43)(35)x x +-．【解析】(1)(3) 直接用十字相乘法分解；(2)先提取负号再用十字相乘法分解．【总结】考察用十字相乘法分解因式．课后作业【作业3】把下列各式因式分解：（1）222422x x y ++-；（2）22ax bx ax bx a b +--++．【难度】★【答案】(1) 2(1)(1)x y x y ++-+；(2) 2()(1)a b x x +-+．【解析】(1) 先提取公因式2，然后一二三、四分组；(2) 按顺序两两分组．【总结】考察用分组分解法分解因式．【作业4】请将下列多项式因式分解，并求值：2233a b a b ab -+-，其中83a =，2b =．【难度】★【答案】()(13)a b ab -+，343．【解析】2233a b a b ab -+- ()3()a b ab a b =-+-()(13)a b ab =-+，把83a =，2b =代入，得上式值为343．【总结】考察先分解因式后求值．【作业5】已知221547280x xy y -+=，求x y 的值．【难度】★★【答案】7435或．【解析】因为22154728x xy y -+(37)(54)0x y x y =--=，所以有3754x y x y ==或，所以7435x y =或．【总结】考察十字相乘法因式分解．【作业6】在因式分解多项式2x ax b ++时，小明看错了一次项系数后，分解得53x x ++，小华看错了常数项后，分解得()()42x x -+，求原多项式以及正确的因式分解的结果．【难度】★★【答案】2215(5)(3)x x x x -+=-+．【解析】小明的常数项正确，为5315⨯=；小华的一次项系数正确，为422-+=-，所以原多项式为2215x x -+．【总结】考察十字相乘法因式分解的方法和逆用．【作业7】已知多项式2212x xy y --．（1）将此多项式因式分解；（2）若多项式2212x xy y --的值等于6-，且x y 、都是正整数，求满足条件的x y 、的值．【难度】★★【答案】(1) 2212(4)(3)x xy y x y x y --=-+；(2) 31x y ==，．【解析】616612(3)23-=-⨯=-⨯=⨯-=-⨯，因为x y 、都是正整数，所以34x y +≥，所以只有3641x y x y +=⎧⎨-=-⎩符合，解得：31x y =⎧⎨=⎩．【总结】考察十字相乘法因式分解及根据已知条件求值．【作业8】分解因式：（1）()2222()()()a b a c c d b d +++-+-+；（2）42222222()()x a b x a b -++-．【难度】★★ 【答案】(1) 2()()a b c d a d +++-；(2) ()()()()x a b x a b x a b x a b +--+++--．【解析】(1)原式=()2222()()()a b b d a c c d +-+++-+=(2)()(2)()a b d a d a c d a d ++-+++-=()(2222)a d a b c d -+++=2()()a d a b c d -+++(2) 原式=4222222222()()4x a b x a b a b -+++-=22222(())(2)x a b ab -+-=222222(()2)(()2)x a b ab x a b ab -++-+-=2222(())(())x a b x a b ---+=()()()()x a b x a b x a b x a b +--+++--．【总结】考察复杂多项式的因式分解，注意分解要彻底．【作业9】分解因式：（1）22268x y x y -++-；（2）432433x x x x ++++．【难度】★★★【答案】（1）(2)(4)x y x y +--+；（2）22(1)(3)x x x +++．【解析】（1）原式=2221(69)x x y y ++--+=22(1)(3)x y +--=(2)(4)x y x y +--+；（2）原式=4322()(333)x x x x x +++++=222(1)3(1)x x x x x +++++=22(1)(3)x x x +++．【总结】考察复杂多项式的因式分解．【作业10】分解因式：（1）()22214()24x x x x +-++；（2）()2(1)1a b ab +-+；（3）(1)(1)(1)xy x y xy ++++；（4）()()22114x y xy --+．【难度】★★★ 【答案】（1）(1)(2)(3)(4)x x x x -+-+；（2）22(1)(1)a ab b ab +-+-；（3）(1)(1xy x xy ++++1)(1)x y xy x y -+-++【解析】（1）原式=22(2)(12)x x x x +-+-=(1)(2)(3)(4)x x x x -+-+；（2）原式22(2)(1)1a b ab ab =++-+22(1)(1)2(1)1a ab b ab ab ab =-+-+-+222222()(1)(21)a b a b ab a b ab =++-+-+22222()(1)(1)a b a b ab ab =++-+-22(1)(1)a ab b ab =+-+-；（3）原式(1)(1)xy xy x y xy =+++++2(1)(1)()xy xy x y xy =+++++(1)(1)xy x xy y =++++；（4）原式=222214x y x y xy --++=222221(2)x y xy x xy y ++--+．=22(1)()xy x y +--=(1)(1)xy x y xy x y +-+-++．【总结】考察复杂多项式的因式分解，注意方法的合理选择．【作业11】已知正有理数a b c 、、满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b c ++的值．【难度】★★★【答案】8．【解析】三个方程相加可得2()()720a b c a b c +++++-=，分解因式，得：(8)(9)0a b c a b c ++-+++=，所以a b c ++=8或者9-(舍)．【总结】考察根据已知条件求值，本题运用了2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++公式的逆用．。

因式分解的能力提升训练题(培优卷)

因式分解的能力提升训练题（培优卷）1、计算()2013×1.52012×(－1)2014的结果是( )A、B、C、－D、－2、下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（）A、B、C、D、3 把代数式ax²－4ax+4a²分解因式，下列结果中正确的是（）A、a(x－2) 2B、a(x+2) 2C、a(x－4)2D、a(x－2) (x+2)4、在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（）。

A、a2＋b2=(a＋b)(a－b)B、(a＋b)2=a2＋2ab＋b2C、(a－b)2=a2－2ab＋b2D、a2－b2=(a－b)25、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是：（）A．B．C．D．6 分解因式（1）(a－b)2+4ab(2) 4xy2－4x2y－y2（3）4a2bc－3a2c2＋8abc－6ac2；（4）（y2＋3y）－（2y＋6）2.（5）a(x-y)+b(y-x)+c(x-y) （6）（7）（m 2＋3m ）2－8（m 2＋3m ）－20；7．已知a +b ＝2，ab ＝2，求12a 3b +a 2b 2+12ab 3的值．8．先因式分解，然后计算求值：（1）9x 2+12xy +4y 2，其中x =43，y =−12；（2）（a+b 2）2﹣（a−b 2）2，其中a =−18，b ＝2．9．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x 2﹣2xy +y 2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x 2﹣2xy +y 2﹣16＝（x ﹣y ）2﹣16＝（x ﹣y +4）（x ﹣y ﹣4）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a 2+4b 2﹣25m 2﹣n 2+12ab +10mn ；（2）已知a 、b 、c 分别是△ABC 三边的长且2a 2+b 2+c 2﹣2a （b +c ）＝0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．10．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2，再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2．问题：（1）该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．11．阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．12．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：x 2﹣2xy +y 2﹣4＝（x 2﹣2xy +y 2）﹣4＝（x ﹣y ）2﹣22＝（x ﹣y ﹣2）（x ﹣y +2）． ②拆项法：例如：x 2+2x ﹣3＝x 2+2x +1﹣4＝（x +1）2﹣22＝（x +1﹣2）（x +1+2）＝（x ﹣1）（x +3）．（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）4x 2+4x ﹣y 2+1；②（拆项法）x 2﹣6x +8；（2）已知：a 、b 、c 为△ABC 的三条边，a 2+b 2+c 2﹣4a ﹣4b ﹣6c +17＝0，求△ABC 的周长．13．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax 2+bx +c （a ≠0）的多项式变形为a （x +m ）2+n 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax 2+bx +c （a ≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如x 2+4x ﹣5＝x 2+4x +（42）2﹣（42）2﹣5＝（x +2）2﹣9＝（x +2+3）（x +2﹣3）＝（x +5）（x ﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式：x 2+2x ﹣8；（2）求多项式x 2+4x ﹣3的最小值；（3）已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2+c 2+50＝6a +8b +10c ，求△ABC 的周长．14．阅读下列材料：材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）的形式，如x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3．15．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为20平方厘米，大长方形纸板的周长为24厘米，求图中空白部分的面积．。