2019年四川内江市中考数学试卷

2019 年四川内江市中考数学试卷副标题题号 得分一 二 三 总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 11.- 的相反数是（ ）61616A. 6B. -6C. D. - 【答案】C1 1【解析】解：- 的相反数是 ， 66 故选：C ．根据相反数的定义即可得到结论．本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解题的关键． 2.-268000 用科学记数法表示为（A. -268×103B. -268×104 【答案】D） C. -26.8×104 D. -2.68×105 【解析】解：数字-268000 用科学记数法表示应为：-2.68×105， 故选：D ．科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a |＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要 看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原 数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10n 的形式，其中 1≤|a | ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3. 下列几何体中，主视图为三角形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：A 、主视图是三角形，故此选项正确； B 、主视图是矩形，故此选项错误； C 、主视图是圆，故此选项错误； D 、主视图是矩形，故此选项错误； 故选：A ．分别找出从图形的正面看所得到的图形即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从几何体的正面看所得到的 图形．4. 下列事件为必然事件的是（）A. 袋中有 4 个蓝球，2 个绿球，共 6 个球，随机摸出一个球是红球B. 三角形的内角和为 180°C. 打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告D. 抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上【答案】B【解析】解：A．袋中有 4 个蓝球，2 个绿球，共 6 个球，随机摸出一个球是红球是不可能事件；B．三角形的内角和为 180°是必然事件；C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告是随机事件；D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上是随机事件；故选：B．一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答．本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，属于基础题．6. 下列运算正确的是（A. m2•m3=m6）B. （m4）2=m6C. m3+m3=2m3D. （m-n）2=m2-n2【答案】C【解析】解：A．m2•m3=m5，故选项A 不合题意；B．（m4）2=m8，故选项B 不合题意；C．m3+m3=2m3，故选项C 符合题意；D．（m-n）2=m2-2mn+n2，故选项D 不合题意．故选：C．分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项的法则以及完全平方公式化简即可判断．本题主要考查了幂的运算法则、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．17. 在函数y= +√4−푥中，自变量x 的取值范围是（）푥+3A. x＜4B. x≥4且x≠-3C. x＞4D. x≤4且x≠-3【答案】D【解析】解：由题意得，x +3≠0，4-x ≥0， 解得，x ≤4 且 x ≠-3， 故选：D ．根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列出不等式，计算即可．本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 是解题的关键．8. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD =9，DB =3，CE =2，则 AC 的长为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】解：∵DE ∥BC ， 퐴퐷 퐴퐸= 9 퐴퐸2∴ ，即 = ， 퐷퐵 퐸퐶 3 ∴AE =6，∴AC =AE +EC =6+2=8． 故选：C ．利用平行线分线段成比例定理得到퐴퐷퐴퐸 퐸퐶，利用比例性质求出 AE ，然后计算 AE +EC 即 = 퐷퐵可．本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 9. 一个等腰三角形的底边长是 6，腰长是一元二次方程 x 2-8x +15=0 的一根，则此三角形的周长是（ ）A. 16B. 12C. 14D. 12 或 16【答案】A【解析】解：解方程 x 2-8x +15=0，得：x =3 或 x =5，若腰长为 3，则三角形的三边为 3、3、6，显然不能构成三角形； 若腰长为 5，则三角形三边长为 5、5、6，此时三角形的周长为 16， 故选：A ．先利用因式分解法解方程求出 x 的值，再根据三角形三边关系得出三角形的三边长度， 继而相加即可得．本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能 求出符合的所有情况是解此题的关键．10. 如图，在△ABC 中，AB =2，BC =3.6，∠B =60°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转度得到△ADE ，当点 B 的对应点 D 恰好落在BC 边上时，则 CD 的长为（） A. 1.6B. 1.8C. 2D. 2.6【答案】A【解析】解：由旋转的性质可知，AD =AB ， ∵∠B =60°，AD =AB ， ∴△ADB 为等边三角形， ∴BD =AB =2，∴CD =CB -BD =1.6， 故选：A ．根据旋转变换的性质得到 AD =AB ，根据等边三角形的性质解答即可．本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题 的关键．푥푥+13 +＞011. 若关于 x 的代等式组{2 恰有三个整数解，则 a 的取值范3푥 + 5푎 + 4＞4(푥 + 1) + 3푎围是（）A. 1≤a ＜3B. 1＜a ≤ 3C. 1＜a ＜ 32D. a ≤1 或 a ＞ 3222【答案】B푥 푥+12【解析】解：解不等式 + ＞0，得：x ＞- ， 2 3 5 解不等式 3x +5a +4＞4（x +1）+3a ，得：x ＜2a ， ∵不等式组恰有三个整数解，∴这三个整数解为 0、1、2， ∴2＜2a ≤3， 3解得 1＜a ≤ ， 2故选：B ．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解，求出实数 a 的取值范围． 此题考查的是一元一次不等式的解法和特殊解，求不等式组的解集，应遵循以下原则： 同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．12. 如图，将△ABC 沿着过 BC 的中点 D 的直线折叠，使点 B落在 AC 边上的 B 1 处，称为第一次操作，折痕 DE 到 AC 的 距离为 h 1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过 BD 的中点 D 1 的直线折叠，使点 B 落在 DE 边上的 B 2 处，称为第二次操 作，折痕 D E 到 AC 的距离记为 h ；按上述方法不断操作 1 1 2下去……经过第 n 次操作后得到折痕 D n -1E n -1，到 AC 的距离记为 h ．若 h =1，则 h 的值为（ ） n 1n 12푛−112푛12푛−112푛A. 1+B. 1+C. 2-D. 2- 【答案】C【解析】解：∵D 是 BC 的中点，折痕 DE 到 AC 的距离为 h 1∴点 B 到 DE 的距离=h 1=1， ∵D 是 BD 的中点，折痕 D E 到 AC 的距离记为 h ， 1 1 1 2 11∴点 B 到 D E 的距离=h =1+ h =1+ ， 1 1 2 12 2 11 1同理：h =h + h =1+ + ， 3 2 14 2 41 1 1 18 h =h + h =1+ + + 4 3 18 2 4 ……1 1 1 1 2푛−1 12푛−1 h =1+ + + +…+ =2- n2 4 8故选：C ．1根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出 h = ，依次得出 h 、h 、h 、……h ， 2 3 4 5 n 2 再对 h n 进行计算变形即可．考查图形变化规律的问题，首先根据变化求出第一个、第二个、第三个……发现规律得 出一般性的结论．二、填空题（本大题共 8 小题，共 44.0 分） 13. 分解因式：xy 2-2xy +x =______． 【答案】x （y -1）2【解析】解：xy 2-2xy +x ， =x （y 2-2y +1）， =x （y -1）2．先提公因式 x ，再对剩余项利用完全平方公式分解因式．本题考查提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式，本题要进行二次分解因式，分 解因式要彻底．14. 一组数据为 0，1，2，3，4，则这组数据的方差是______． 【答案】2【解析】解：这组数据的平均数是：（1+2+3+4）÷5=2， 1则方差 S 2= [（0-2）2+（1-2）2+（2-2）2+（3-2）2+（4-2）2]=2；5 故答案为：2．1 − − −先求出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式 S 2= [（x -푥）2+（x -푥）2+…+（x -푥）2] 1 2n 푛代入计算即可．− 1 −本题考查了方差：一般地设 n 个数据，x ，x ，…x 的平均数为푥，则方差 S 2= [（x -푥） 1 2 n 1 푛 − −2+（x -푥）2+…+（x -푥）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大， 2n 反之也成立．1 1 5푚+5푛−2푚푛−푚−푛15. 若 + =2，则分式 的值为______．푚 푛 【答案】-4【解析】解： + =2，可得 m +n =2mn ， 1 1푚 푛5푚+ 5푛− 2푚푛−푚− 푛5(푚+푛)−2푚푛 −(푚+푛)= 10푚푛−2푚푛 −2푚푛==-4；故答案为-4；115푚+5푛−2푚푛10푚푛−2푚푛由+ =2，可得m+n=2mn；化简= ，即可求解；’푚푛−푚−푛−2푚푛本题考查分式的值；能够通过已知条件得到m+n=2mn，整体代入的思想是解题的关键；16. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB＜AD，∠A=150°，CD=4，以CD 为直径的⊙O交AD 于点E，则图中阴影部分的面积为______．2휋【答案】+√33【解析】解：如图，连接OE，作OF⊥DE 于点F，∵四边形ABCD 是平行四边形，且∠A=150°，∴∠D=30°，则∠COE=2∠D=60°，∵CD=4，∴CO=DO=2，13√∴OF= OD=1，DF=OD cos∠ODF=2×=√3，22∴DE=2DF=2√3，60⋅휋⋅22 36012휋∴图中阴影部分的面积为+ ×2√3×1= +√3，232휋故答案为：+√3．31连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE=2∠D=60°、OF= OD=1，DF=OD cos∠ODF=√3，2DE=2DF=2√3，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．푛휋푟2本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S= 是解题的360关键．17. 若|1001-a|+√푎−1002=a，则a-10012=______．【答案】1002【解析】解：∵a-100≥0，∴a≥1002．由|1001-a|+√푎−1002=a，得-1001+a+√푎−1002=a，∴√푎−1002=1001，∴a-1002=10012．∴a-10012=1002．故答案是：1002．由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a 的值，代入求值即可．考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．218. 如图，点A、B、C 在同一直线上，且AB= AC，点D、E3分别是AB、BC 的中点，分别以AB，DE，BC 为边，在AC 同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作S 、S 、S ，若S =√5，则S +S =______．1 2 3 1 2 33√5【答案】4【解析】解：设BE=x，则EC=x，AD=BD=2x，∵四边形ABGF 是正方形，∴∠ABF=45°，∴△BDH 是等腰直角三角形，∴BD=DH=2x，∴S1=DH•AD=√5，即 2x•2x=√5，√5푥2=，4∵BD=2x，BE=x，∴S2=MH•BD=（3x-2x）•2x=2x2，S3=EN•BE=x•x=x2，3√5∴S +S =2x2+x2=3x2= ，2 343√5故答案为：．4设BE=x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S ，S ，S ，根据题1 2 3意计算即可．本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是 90°是解题的关键．푥+2푦−푧=419. 若x、y、z 为实数，且{，则代数式x2-3y2+z2 的最大值是______．푥−푦+2푧=1【答案】26【解析】解：，①-②得，y=1+z，把y=1+z 代入①得，x=2-z，则x2-3y2+z2=（2-z）2-3（1+z）2+z2=-z2-10z+1=-（z+5）2+26，当z=5 时，x2-3y2+z2 的最大值是 26，故答案为：26．解三元一次方程组，用z 表示出x、y，根利用配方法计算即可．本题考查的是二次函数的最值、三元一次方程组的解法，掌握配方法求二次函数最大值 的一般步骤是解题的关键．420. 如图，在菱形 ABCD 中，simB = ，点 E ，F 分别在边 AD 、BC 上，将四边形 AEFB 5沿 EF 翻折，使 AB 的对应线段 MN 经过顶点 C ，当 MN ⊥BC 时，퐴퐴퐷퐸的值是______．【答案】29【解析】解：延长 CM 交 AD 于点 G ，∵将四边形 AEFB 沿 EF 翻折，∴AE =ME ，∠A =∠EMC ，BF =FN ，∠B =∠N ，AB =MN ∵四边形 ABCD 是菱形∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D ，∠A +∠B =180° 4퐶퐹∵simB = =sin N = ， 5 퐹푁∴设 CF =4x ，FN =5x ，∴CN =√퐹푁2 − 퐶퐹2=3x ， ∴BC =9x =AB =CD =AD ， 4퐺퐶퐶퐷 ∵simB = =sin D = 5 36푥 ∴GC = 536푥 6∴GM =GC -（MN -CN ）= -6x = x 5 5 ∵∠A +∠B =180°，∠EMC +∠EMG =180° ∴∠B =∠EMG4 퐸퐺∴sin B =sin ∠EMG = = 5 퐸푀 3 퐺푀퐸푀 ∴cos ∠EMG = = 5 ∴EM =2x ， ∴AE =2x ，퐴퐸 퐴퐷 2푥 9푥 29∴ = = 故答案为：29由折叠的性质可得 AE =ME ，∠A =∠EMC ，BF =FN ，∠B =∠N ，AB =MN ，设 CF =4x ，FN =5x ，BC =9x ，由勾股定理可得 CN =3x ，GM = x ，AE =EM =2x ，即可求퐴퐸的值．6 5퐴퐷本题考查翻折变换，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解 决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 80.0 分） 121. 计算：（-1）2019+（- ）-2+|√3-2|+3tan30°． 21【答案】解：（-1）2019+（- ）-2+|√3-2|+3tan30° 2 =-1+4+（2-√3）+3×√3 3=3+2-√3+√3 =5；13√【解析】化简每一项为（-1）2019+（- ）-2+|√3-2|+3tan30°=-1+4+（2-√3）+3× ； 23本题考查实数的运算；掌握实数的运算，负整数指数幂的运算，牢记特殊三角函数值是 解题的关键．22. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一点，点 F 是CD 延长线上的一点，且 BE =DF ，连结 AE 、AF 、EF ．（1）求证：△ABE ≌△ADF ；（2）若 AE =5，请求出 EF 的长．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB =AD ，∠ABC =∠ADC =∠ADF =90°， 在△ABE 和△ADF 中，퐴퐵 = 퐴퐷 {∠퐴퐵퐸 = ∠퐴퐷퐹， 퐵퐸 = 퐷퐹∴△ABE ≌△ADF （SAS ）； （2）解：∵△ABE ≌△ADF ， ∴AE =AF ，∠BAE =∠DAF ， ∵∠BAE +∠EAD =90°， ∴∠DAF +∠EAD =90°，即∠EAF =90°， ∴EF =√2AE =5√2．【解析】（1）根据正方形的性质得到 AB =AD ，∠ABC =∠ADC =∠ADF =90°，利用 SAS 定 理证明结论；（2）根据全等三角形的性质得到 AE =AF ，∠BAE =∠DAF ，得到△AEF 为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质整式解题的关键．23. “大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校 20 个班中随机抽取了A、B、C、D4 个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．（1）王老师采取的调查方式是______（填“普查”或“抽样调査”），王老师所调查的 4 个班共征集到作品______件，并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，表示C 班的扇形周心角的度数为______；（3）如果全校参展作品中有 4 件获得一等奖，其中有 1 名作者是男生，3 名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）【答案】抽样调査 6 150°【解析】解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调査，604÷=24，360所以王老师所调查的 4 个班共征集到作品 24 件，B 班的作品数为 24-4-10-4=6（件），条形统计图为：10（2）在扇形统计图中，表示C 班的扇形周心角=360°×=150°；24故答案为抽样调査；6；150°；（3）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为 6，61所以恰好抽中一男一女的概率= = ．122（1）根据题意可判断王老师采取的调查方式，再利用A 班的作品数除以它所占的百分比得到调查的总作品件数，然后计算出B 班的作品数后补全条形统计图；（2）用 360°乘以C 班的作品件数所占的百分比得到在扇形统计图中，表示C 班的扇形周心角的度数；（3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．24. 如图，两座建筑物DA 与CB，其中CB 的高为 120米，从DA 的顶点A 测得CB 顶部B 的仰角为 30°，测得其底部C 的俯角为 45°，求这两座建筑物的地面距离DC 为多少米？（结果保留根号）【答案】解：作AE⊥BC 于E，则四边形ADCE 为矩形，∴AD=CE，设BE=x，퐵퐸在Rt△ABE 中，tan BAE=퐴퐸，퐵퐸则AE= =√3x，푡푎푛∠퐵퐴퐸∵∠EAC=45°，∴EC=AE=√3x，由题意得，BE+CE=120，即√3x+x=120，解得，x=60（√3-1），∴AD=CE=√3x=180-60√3，∴DC=180-60√3，答：两座建筑物的地面距离DC 为（180-60√3）米．【解析】作AE⊥BC 于E，设BE=x，利用正切的定义用x 表示出EC，结合题意列方程求出x，计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．푘25. 如图，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象交于第二、푥四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C，△AOC 的面积为 4．（1）分别求出a 和b 的值；푘（2）结合图象直接写出mx+n＜的解集；푥（3）在x 轴上取点P，使PA-PB 取得最大值时，求出点P 的坐标．【答案】解：（1）∵点A（a，4），∴AC=4，1∵S△AOC=4，即푂퐶⋅퐴퐶=4，2∴OC=2，∵点A（a，4）在第二象限，∴a=-2 A（-2，4），푘将A（-2，4）代入y= 得：k=-8，푥8∴反比例函数的关系式为：y=−，푥把B（8，b）代入得：b=-1，∴B（8，-1）因此a=-2，b=-1；푘（2）由图象可以看出mx+n＜的解集为：-2＜푥x＜0 或x＞8；′′B′（3）如图，作点B 关于x 轴的对称点B′，直线AB′与x 轴交于P，此时PA-PB 最大，∵B（8，-1）∴B′（8，1）设直线AP 的关系式为y=kx+b，将A（-2，4），B′（8，1）代入得：−2푘+푏=4{8푘+푏=1317解得：k=−，b= ，105317∴直线AP 的关系式为y=−x+ ，10531734当y=0 时，即−x+ =0，解得x= ，105334∴P（，0）3【解析】（1）由△AOC 的面积为 4，可求出a 的值，确定反比例函数的关系式，把点B 坐标代入可求b 的值，（2）根据图象观察当自变量x 取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的下方即可，注意由两部分．（3）由对称对称点B 关于x 轴的对称点B′，直线AB′与x 轴交点就是所求的点P，求出直线与x 轴的交点坐标即可．考查反比例函数的图象和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数的关系式等知识，理解作点B 关于x 轴的对称点B′，直线AB′与x 轴交于P，此时PA-PB 最大．26. 某商店准备购进A、B 两种商品，A 种商品毎件的进价比B 种商品每件的进价多 20元，用 3000 元购进A 种商品和用 1800 元购进B 种商品的数量相同．商店将A 种商品每件的售价定为 80 元，B 种商品每件的售价定为 45 元．（1）A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元？（2）商店计划用不超过 1560 元的资金购进A、B 两种商品共 40 件，其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？（3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A 种商品售价优惠m（10 ＜m＜20）元，B 种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方案．【答案】解：（1）设A 种商品每件的进价是x 元，则B 种商品每件的进价是（x-20）元，3000푥1800푥−20由题意得：=，解得：x=50，经检验，x=50 是原方程的解，且符合题意，50-20=30，答：A 种商品每件的进价是 50 元，B 种商品每件的进价是 30 元；（2）设购买A 种商品a 件，则购买B 商品（40-a）件，50푎+30(40−푎)≤1560由题意得：{40−푎，푎≥240解得：≤푎≤18，3∵a 为正整数，∴a=14、15、16、17、18，∴商店共有 5 种进货方案；（3）设销售A、B 两种商品共获利y 元，由题意得：y=（80-50-m）a+（45-30）（40-a），=（15-m）a+600，①当 10＜m＜15 时，15-m＞0，y 随a 的增大而增大，∴当a=18 时，获利最大，即买 18 件A 商品，22 件B 商品，②当m=15 时，15-m=0，y 与a 的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同，③当 15＜m＜20 时，15-m＜0，y 随a 的增大而减小，∴当a=14 时，获利最大，即买 14 件A 商品，26 件B 商品．【解析】（1）设A 种商品每件的进价是x 元，根据用 3000 元购进A 种商品和用 1800 元购进B 种商品的数量相同，列分式方程，解出可得结论；（2）设购买A 种商品a 件，根据用不超过 1560 元的资金购进A、B 两种商品共 40 件，A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，列不等式组，解出取正整数可得结论；（3）设销售A、B 两种商品共获利y 元，根据y=A 商品的利润+B 商品的利润，根据m 的值及一次函数的增减性可得结论．本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程可不等式组求解，分式方程要注意检验．27. AB 与⊙O 相切于点A，直线l 与⊙O 相离，OB⊥l 于点B，且OB=5，OB 与⊙O 交于点P，AP 的延长线交直线l 于点C．（1）求证：AB=BC；（2）若⊙O 的半径为 3，求线段AP 的长；（3）若在⊙O 上存在点G，使△GBC 是以BC 为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径r 的取值范围．【答案】（1）证明：如图 1，连接OA，∵AB 与⊙O 相切，∴∠OAB=90°，∴∠OAP+∠BAC=90°，∵OB⊥l，∴∠BCA+∠BPC=90°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=∠BPC，∴∠BAC=∠BCA，∴AB=BC；（2）解：如图 1，连接AO 并延长交⊙O 于D，连接PD，则∠APD=90°，∵OB=5，OP=3，∴PB=2，∴BC=AB=√푂퐵2−푂퐴2=4，在Rt△PBC 中，PC=√푃퐵2+퐵퐶2=2√5，∵∠DAP=∠CPB，∠APD=∠PBC=90°，∴△DAP∽△PBC，퐴푃퐴퐷퐴푃26∴= 푃퐶，即= ，푃퐵2√56√55解得，AP= ；（3）解：如图 2，作BC 的垂直平分线MN，作OE⊥MN于E，111则OE= BC= AB= ×√52−푟2，222由题意得，⊙O 于MN 有交点，1∴OE≤r，即×√52−푟2≤r，2解得，r≥√5，∵直线l 与⊙O 相离，∴r＜5，则使△GBC 是以BC 为底边的等腰三角形，⊙O 的半径r 的取值范围为：√5≤r＜5．【解析】（1）连接 OA ，根据切线的性质得到∠OAB =90°，根据等腰三角形的性质、对 顶角相等得到∠BAC =∠BCA ，根据等腰三角形的判定定理证明结论；（2）连接 AO 并延长交⊙O 于 D ，连 接 PD ，根据勾股定理求出 BC ，PC ，证明△DAP ∽△PBC ， 根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（3）作 BC 的垂直平分线 MN ，作 OE ⊥MN 于 E ，根据勾股定理用 r 表示出 AB ，得到 DE 的长，根据题意计算，得到答案．本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股 定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定 定理和性质定理是解题的关键．28. 两条抛物线 C ：y =3x 2-6x -1 与 C ：y =x 2-mx +n 的顶点相同． 1 1 2 2（1）求抛物线 C 2 的解析式；（2）点 A 是抛物找 C 2 在第四象限内图象上的一动点，过点 A作 AP ⊥x 轴，P 为垂足，求 AP +OP 的最大值；（3）设抛物线 C 2 的顶点为点 C ，点 B 的坐标为（-1，-4），问在 C 2 的对称轴上是否存在点 Q ，使线段 QB 绕点 Q 顺时针旋转 90°得到线段 QB ′，且点 B ′恰好落在抛物线 C 2 上？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）y 1=3x 2-6x -1 的顶点为（1，-4），∵抛物线 C ：y =3x 2-6x -1 与 C ： 1 1 2y 2=x 2-mx +n 的顶点相同∴m =2，n =-3，∴y 2=x 2-2x -3；（2）作 AP ⊥x 轴，设 A （a ，a 2-2a -3），∵A 在第四象限，∴0＜a ＜3，∴AP =-a 2+2a +3，PO =a ，3 21 4∴AP +OP =-a 2+3a +3=-(푎 − )2 + 2 ∵0＜a ＜3，21∴AP +OP 的最大值为 ；4 （3）假设 C 2 的对称轴上存在点 Q ，过点 B '作 B 'D ⊥l 于点 D ，∴∠B 'DQ =90°，①当点 Q 在顶点 C 的下方时，∵B （-1，-4），C （1，-4），抛物线的对称轴为 x =1，∴BC ⊥l ，BC =2，∠BCQ =90°，∴△BCQ ≌△QDB '（AAS ）∴B 'D =CQ ，QD =BC ，设点 Q （1，b ），∴B 'D =CQ =-4-b ，QD =BC =2，可知 B '（-3-b ，2+b ），∴（-3-b ）2-2（-3-b ）-3=2+b ，∴b 2+7b +10=0，∴b =-2 或 b =-5，∵b ＜-4，∴Q （1，-5），②当点 Q 在顶点 C 的上方时，同理可得 Q （1，-2）；综上所述：Q （1，-5）或 Q （1，-2）；【解析】（1）y =3x 2-6x -1 的顶点为（1，-4）也是 y =x 2-mx +n 的顶点，即可求 m ，n ； 1 2（2）作 AP ⊥x 轴，设 A （a ，a 2-2a -3），所以 AP =-a 2+2a +3，PO =a ，可得3 214AP +OP =-a 2+3a +3=-(푎 − ) 2 + 由已知可知 0＜a ＜3，即可求； 2 （3）假设 C 2 的对称轴上存在点 Q ，过点 B '作 B 'D ⊥l 于点 D ，可得∠B 'DQ =90°； ①当点 Q 在顶点 C 的下方时，可证△BCQ ≌△QDB '，设点 Q （1，b ），所以 B 'D =CQ =-4-b ， QD =BC =2，可知 B '（-3-b ，2+b ），可得（-3-b ）2-2（-3-b ）-3=2+b ，可求 b =-5，Q （1， -5），②当点 Q 在顶点 C 的上方时，同理可得 Q （1，-2）．本题是二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，分类探索点的存在性，数 形结合解题是关键．。