2020年人教A版高中数学必修二课件：第一章 空间几何体 1.1 第二课时

(2)过任意两条母线的截面是等腰梯形．( √ ) 2．圆台的两条母线所在的直线一定相交吗？ [提示] 一定．由于圆台是由圆锥截得的，故两条母线所 在的直线一定相交．
知识点四|球的结构特征 1．定义：以半圆的 13 __直__径___所在直线为旋转轴，半圆 面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球． 2．相关概念(图4)．
考向2 有关球的简单计算问题 【例4】 已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面 积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是________ cm. [解析] 如图，设截面圆的半径为r， 球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径 为R.由示意图易构造出一个直角三角形，解 该直角三角形即可． 由已知，R＝10 cm，由πr2＝36π cm2，得r＝6 cm， 所以d＝ R2－r2＝ 100－36＝8(cm)．
1．给出下列说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2)经过圆柱任 意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的任意两条母线的延 长线可能相交，也可能不相交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几 何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．
解析：(1)正确，圆柱的底面是圆面； (2)正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个 矩形面；
3．表示法：圆锥用 7 _表_示__它_的__轴_的__字_母______表示，图中圆锥 表示为 8 _圆_锥__S_O____.
[思考探究]………………|辨别正误| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长 度相等．( √ )
(2)过轴的截面是全等的等边三角形．( × ) [提示] 不一定是等边三角形，但一定是等腰三角形． 2．圆锥过轴的截面叫做轴截面，那么圆锥的轴截面是什 么形状？ [提示] 等腰三角形．
[答案] 8
|方法总结| (1)旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体 问题平面化． (2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
5．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该 圆锥的高为________．
解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所 以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr ＝2π，所以底面圆半径r＝1，所以该圆锥的高为h＝ l2－r2 ＝
3．表示法：球常用 14 _表__示_球__心____的字母表示，图中的球 表示为 15 _球__O___.
[思考探究]………………|辨别正误| 1．半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成什么？ [提示] 半圆或圆绕它的直径所在直线旋转一周形成球 面． 2．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？ [提示] 不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包 括表面及其内部．
解析：h＝20 cos 30°＝10 3(cm)． 答案：10 3
5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 3，则这 个圆锥的母线长为________．
解析：如图所示，设等边△ABC 为圆锥的 轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC 的 边长，且 S△ABC＝ 43AB2，∴ 3＝ 43AB2，∴AB ＝2.故正确答案为 2.
[解析] 图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边 所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2 包括一个圆柱、两个圆锥．
[答案] D
|方法总结| 1．平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想 象所得旋转体的结构和组成． 2．解决简单组合体的结构特征相关问题，首先要熟练掌握各类几何体的特征， 其次要有一定的空间想象能力.
知识点三|圆台的结构特征 1．定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与 9 _截__面___之间的部分叫做 10 _圆__台___． 2．相关概念(图3)．
3．表示法：圆台用 11 _表__示__它_的__轴____的字母表示，图中圆 台表示为 12 __圆_台__O_′O______.
[思考探究]………………|辨别正误| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一 点．( × ) [提示] 延长后相交于一点．
答案：2
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[解析] (1)不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋 转得到的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；
(2)正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三 角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；
(3)正确，如图所示，经过圆锥任意两条母线的截面是等腰 三角形；
(4)正确，如图所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底 面圆半径的2倍(即直径)．
2．给出下列说法：
①直线绕直线旋转形成柱面；②曲线平移一定形成曲面；
③直角梯形绕一边旋转形成圆台；④半圆绕直径所在直线旋转
一周形成球．其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：选 A ①错，当两直线相交时，不能形成柱面；②
错，也可能形成平面；③错，若绕底边旋转，则形成组合体；
④根据球的定义知正确．
3．如图所示的简单组合体的组成是( )
A．棱柱、棱台
B．棱柱、棱锥
C．棱锥、棱台
D．棱柱、棱柱
解析：选B 由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而 成．
4．如图，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC＝45°.将这 个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个 组合体的结构特征．
解：如图所示，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体组 合而成的．
堂内归纳提升
知识归纳 自我测评
「规律方法」 1．一个关系——圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．两类思想 (1)处理台体问题常采用还台为锥的补体思想； (2)处理组合体问题常采用分割思想．
「自测检评」 1．下列几何体是台体的是( )
解析：选 D 台体包括棱台和圆台两种，A 的错误在于四 条侧棱没有交于一点，B 的错误在于截面与圆锥底面不平行，C 是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知 D 正确．
22－12＝ 3. 答案： 3
6．如图，一只蚂蚁沿着长 AB＝7，宽 BC ＝5，高 CD＝5 的长方体木箱表面的 A 点爬到 D 点，则它爬过的最短路程为________．
解析：蚂蚁去过的路程可按两种情形计算，其相应展开图 有 2 种情形如图所示，
在图 1 中 AD＝ AC2＋CD2＝ 122＋52＝13， 在图 2 中 AD＝ AB2＋BD2＝ 72＋102＝ 149， ∵ 149＜13，∴蚂蚁爬过的最短路程为 149. 答案： 149
知识点一|圆柱的结构特征 1．定义：以 1 _矩_形__的__一_边____所在直线为旋转轴，其余三边 旋转形成的面所围成的 2 _旋__转_体____叫做圆柱．
2．相关概念(图1)．
3．表示法：圆柱用 3 __表__示_它__的_轴__的_字__母______表示，图中圆 柱表示为 4 圆柱O′O.
3．向高为 水深 h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形 状是( )
解析：选 B 令 h＝H2 ，由图象知此时注水体积大于几何体 体积的一半，所以 B 正确．
4．一个圆锥的母线长为 20 cm，母线与轴的夹 角为 30°，则圆锥的高为________ cm.
解析：(1)错．由圆柱母线的定义知，圆 柱的母线应平行于轴．
(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一 周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合 体，如图所示．
(3)对． (4)错．应为球面． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
题型二 简单组合体的结构特征 【例2】 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋 转一周，所得的几何体包括( ) A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆锥 D．一个圆柱、两个圆锥
[答案] (2)(3)(4)
|方法总结| 1．判断简单旋转体结构特征的方法 (1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线． 2．简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征 的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化 思想.
题型三 旋转体的有关计算 考向1 有关圆柱、圆锥、圆台的计算问题 【例3】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截 得的圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线 长是3 cm，求圆台的母线长．
[解] 设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上 底面的半径为r cm.
根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm. 根据相似三角形的性质，得3＋3 l＝4rr.解得l＝9. 所以圆台的母线长为9 cm.
知识点五|简单组合体
1．概念：由 16 _简_单__几__何_体____组合而成的几何体叫做简单组 合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何 结构特征的物体组成的．
2．基本形式：一种是由简单几何体 17 _拼__接___而成，另一 种是由简单几何体 18 __截_去___或 19 __挖_去____一部分而成．
[思考探究]………………|辨别正误| 观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．
[提示] 图1是由圆柱中挖去圆台形成的，图2是由球、棱 柱、棱台组合而成的.
课堂互动探究
剖析题型 总结归纳
题型一 旋转体的结构特征 【例1】 给出下列说法：(1)以直角三角形的一条边所在 直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥； (2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形 成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截 面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆 直径，其中正确说法的序号是________．