2015年湖南高中学业水平考试数学试卷真题

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-2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案(可编辑修改word版)

⎪ 2013 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分.1．已知集合 M = {0,1, 2}， N = {x }，若 M N = {0,1, 2, 3} ，则 x 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0⎧ 1, (x ≥ 1)f (x ) = x 2.设 ⎨ ⎪⎩2, (x < 1)，则 f (1) 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）. A.圆柱 B. 三棱柱 C. 球D.四棱柱4. 函数 y = 2 c os x , x ∈ R 的最小值是（）侧侧侧侧侧侧侧侧侧A ．-3B ．-1 C.1D ．35. 已知向量a = (1, 2), b = (x , 4) ，若a ∥ b ，则实数 x 的值为（）侧侧 3侧侧侧A. 8B. 2C ．-2D ．-8 6. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取 45 名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（） A ．15, 5, 25B ．15,15,15C ．10, 5, 30D ．15,10, 207. 某袋中有 9 个大小相同的球，其中有 5 个红球，4 个白球，现从中任意取出 1 个，则取出的球恰好是白球的概率为（）A. 1 5B. 14C.49D.598. 已知点(x , y ) 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则 z = x + y 的最大值是（） A ．1B ．2C ．3D ．59. 已知两点 P (4, 0), Q (0, 2) ，则以线段 PQ 为直径的圆的方程是（）y(1,2)(3,2)A ． (x + 2)2 + ( y +1)2 = 5(x - 2)2 + ( y -1)2 = 5B ． (x - 2)2 + ( y -1)2 oD ． (x + 2)2 + ( y +1)2 = 10C ．(1,0) x侧侧 8侧侧侧10. 如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A ,B 到点C 的距离 AC = BC = 1 km ，且∠ACB = 1200 ，则 A , B 两点间的距离为（）B= 10A 1km C3 2 ) A.km B ． km C ．1.5 kmD ． 2 km二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分． 11．计算： log 2 1+ log 2 4 =.．12. 已知1, x ,9 成等比数列，则实数 x = ．13.经过点 A (0, 3) ，且与直线 y = -x + 2 垂直的直线方程是．14. 某程序框图如图所示，若输入的 x 的值为 2 ，则输出的 y 值为 .15.已知向量 a 与 b 的夹角为， a = 4.，且 a b = 4 ，则 b =（第 14 题图）三、解答题：本大题共 5 小题，满分 40 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 6 分）已知cos = 1,∈(0,) 2 2（1）求tan 的值；（2）求sin(+的值. 6开始输入 xx > 0 ?否是输出结束y = xy = 2x -12某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了 100 位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注 a 的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求 a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有 1000 名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于 8 元？18．（本小题满分 8 分）侧侧 17侧侧侧如图，在三棱锥 A - BCD 中， AB ⊥平面 BCD ， BC ⊥ BD ， BC = 3， BD = 4 ，直线AD 与平面 BCD 所成的角为450 ，点 E , F 分别是 AC , AD 的中点.（1）求证： EF ∥平面 BCD ； A（2）求三棱锥 A - BCD 的体积.DC侧侧 18侧侧侧FEB已知数列{a n}满足： a3=-13 ，a n=a n-1+ 4 (n >1, n ∈N ) .（1）求a1 , a2 及通项a n ；（2）设S n是数列{a n}的前n项和S n，则数列S1，S2，S3，…中哪一项最小？并求出这个最小值.20．（本小题满分10 分）已知函数 f (x) = 2x+⋅ 2-x(∈R)（1）当=-1 时，求函数f (x) 的零点；（2）若函数f (x) 为偶函数，求实数的值;（3）若不等式1≤ f (x) ≤4 在x ∈[0,1] 上恒成立，求实数的取值范围. 22 2 ⎩2013 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABCABDCDCA二、填空题 11、 2； 12、 ±3 ； 13、 x - y + 3 = 0 ；14、； 15 、 4三、解答题：16、（1） ∈(0, ),∴cos > 0 ，从而cos = 21 - sin 2= 2 （2） s in 2+ c os 2= 2sincos + 1 - 2sin 2 =3 + 1 217、（1）高一有：200⨯1200 = 120 （人）；高二有200 -120 = 80 （人） 2000（2）频率为0.015 ⨯10 + 0.03⨯10 + 0.025 ⨯10 + 0.005 ⨯10 = 0.75∴人数为0.75 ⨯ 2000 = 1500 （人）⎧f (0) = b = 6 18、（1）⇒ ⎧a = -2⇒ f (x ) = x 2 - 2x + 6 ⎨ f (1) = a + b + 1 = 5 ⎨ = 6 ⎩ ⎩b（2） f (x ) = x 2 - 2x + 6 = (x -1)2 + 5, x ∈[-2, 2]∴ x = 1时， f (x ) 的最小值为 5， x = -2 时， f (x ) 的最大值为 14.19、(1) a 1 = 2, a n = 2a n -1 ,∴a 2 = 4, a 3 = 8a n= 2(n ≥ 2, n ∈ N *) ，∴{a } 为首项为 2，公比为 2 的等比数列，∴a = 2 ⋅ 2n -1 = 2n a n -1(2) b n= log 2 a n n= log 2n= n ，∴ S n= 1 + 2 + 3 + + n = n (n + 1)220、（1） C : (x + 1)2 + ( y - 2)2 = 5 - k ，∴C (-1, 2) （2）由5 - k > 0 ⇒ k < 5⎧x - 2 y + 4 = 0 （3）由⎨(x + 1)2 + ( y - 2)2= 5 - k ⇒ 5 y 2 -16 y + 8 + k = 0 3n设M (x , y ), N (x , y ), 则 y +y =16, y y =8 +k，∆= 162 - 20(8 +k ) > 0 ⇒k <241 12 2 1 2 5 1 2 5 54k -16x1 =2 y1- 4, x2= 2 y2- 4,∴x1x2= (2 y1- 4)(2 y2- 4) = 4[ y1y2- 2( y1+y2) + 4] =5OM ⊥ON ,∴x x +y y = 0, 即 4k -16+8 +k= 0 ⇒k =8(满足k <24)1 2 1 2 5 5 5 52014 年湖南省普通高中学业水平考试试卷数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页时量120 分钟，满分100 分.一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，满分40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A.圆柱B.圆锥C.圆台D.球2.已知元素a ∈{0,1, 2, 3}，且a ∉{0,1, 2}，则a 的值为A.0B.1C.2D.33.在区间[0, 5] 内任取一个实数，则此数大于3 的概率为A.1 5 B.25C.3 5 D.454.某程序框图如图所示，若输入x 的值为1，则输出y 的值是A.2B.3C.4D.5ABC5.在△中，若AB ⋅AC = 0 ，则△ABC 的形状是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形6.sin120 的值为A.22 B.-1 C.32D.-227.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，异面直线BD 与A1C1的位置关系是A.平行B.相交C.异面但不垂直D. 异面且垂直8.不等式(x +1)(x - 2) ≤ 0 的解集为A.{x | -1 ≤x ≤ 2}B. {x | -1 <x < 2}C. {x | x ≤-1或x ≥ 2}D. {x | x <-1或x > 2}= ,9. 点 P (m ,1) 不在不等式 x + y - 2 < 0 表示的平面区域内，则实数 m 的取值范围是A. m < 1B. m ≤ 1C. m ≥ 1D. m > 110. 某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽误了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分. 11. 样本数据-2, 0, 6, 3, 6 的众数是.12. 在∆ABC 中, 角 A 、 B 、C 所对应的边分别为 a 、b 、c ，已知 a = 1, b = 2, sin A = 1，则3 sin B ＝.13. 已知a 是函数 f ( x ) = 2 - log 2 x 的零点, 则实数 a 的值为 .14. 已知函数 y = sin x (> 0) 在一个周期内的图像如图所示，则的值为.15. 如图 1，矩形 ABCD 中， AB = 2BC , E , F 分别是 AB , CD 的中点，现在沿 EF 把这个矩形折成一个二面角 A - EF - C （如图 2）则在图 2 中直线 AF与平面 EBCF 所成的角为 .三、解答题：本大题共 5 小题，满分 40 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.（本小题满分 6 分）⎧x , ⎪ 已知函数 f (x ) ⎨ 4 ⎪⎩ xx ∈[0, 2], x ∈(2, 4].（1）画出函数f (x) 的大致图像；（2）写出函数f (x) 的最大值和单调递减区间.17.（本小题满分8 分）某班有学生50 人，期中男同学300 人，用分层抽样的方法从该班抽取5 人去参加某社区服务活动.（1）求从该班男、女同学中各抽取的人数；（2）从抽取的5 名同学中任选2 名谈此活动的感受，求选出的2 名同学中恰有1 名男同学的概率.18.（本小题满分8 分）已知等比数列{a n }的公比q = 2 ，且a2 , a3 +1, a4 成等差数列.（1）求a1及a n ；（2）设b n =a n +n ，求数列{b n }的前5 项和S5 .19.（本小题满分8 分）已知向量 a = (1, sin), b = (2,1).（1）当=时，求向量2a +b 的坐标；6（2）若a ∥b，且∈(0, ) ，求sin(+2) 的值. 420.（本小题满分10 分）已知圆C : x2+y2+ 2x - 3 = 0 .（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) 两点，求证：1 +1 为定值；x 1 x 2（3）斜率为1 的直线m 与圆C 相交于D, E 两点，求直线m 的方程，使△CDE 的面积最大.n ⎩2014 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题 4 分，满分 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C D B BACDACA二、填空题（每小题 4 分，满分 20 分） 11.6 12. 23 13.4 14.2 15. 45 （或）4三、解答题（满分 40 分）16. 解：(1)函数 f (x ) 的大致图象如图所示; ............................................ 2 分 (2)由函数 f ( x ) 的图象得出,f ( x ) 的最大值为 2, ........................ 4 分其单调递减区间为[2, 4] ........... 6 分17. 解: (1) 30 ⨯ 5 = 3 (人), 50 20⨯ 5 = 2 (人),50所以从男同学中抽取 3 人, 女同学中抽取 2 人; ......................................................... 4 分 (2)过程略.P ( A ) = 3 ........................................................................................................................8 分518. 解 : (1) a = 2n -1; ....................................................................................................... 4 分(2) S 5 = 46 ...................................................................................................................... 8 分19. 解: (1) (4, 2) ; ........................................................................................................... 4 分(2)2 + 6 .....................................................................................................................8 分420. 解: (1)配方得( x + 1)2+ y 2 = 4 , 则圆心 C 的坐标为(-1, 0) , .............................. 2 分圆的半径长为2 ; ............................................................................................................ 4 分(2) 设直线l 的方程为 y = kx ,⎧x 2 + y 2 + 2x - 3 = 0 联立方程组⎨ y = kx ,b - 1 2b - 1 2 2 4 - d 2 2 b - 1 2 2 消去 y 得(1 + k 2 ) x 2 + 2x - 3 = 0 , .................................................................................... 5 分⎧x + x = - 2则有: ⎪ 1 2 ⎨ 1 + k 2 3 ………………………………………………6 分 ⎪x x⎪⎩ 1 2 = - 1 + k 2 所以 1 + 1 = x 1 + x 2 = 2为定值 .............................................................................. 7 分x 1 x 2 x 1 x 2 3(3) 解法一设直线 m 的方程为 y = kx + b , 则圆心 C 到直线 m 的距离d =, 所以 DE = 2= 2(4 - d 2 ) + d 2, ....................................................... 8 分S ∆CDE =DE ⋅ d = ⋅ d ≤ = 2 ,2当且仅当 d = ,即 d = 时, ∆CDE 的面积最大, ......................................... 9 分从而 = , 解之得b = 3 或b = -1 ,故所求直线方程为 x - y + 3 = 0 或 x - y - 1 = 0 ........................................................ 10 分解法二由(1)知 CD = CE = R = 2 ,所以 S ∆CDE =CD ⋅ CE ⋅ sin ∠DCE = 2sin ∠DCE ≤ 2 ,当且仅当CD ⊥ CE 时, ∆CDE 的面积最大, 此时 DE = 2 , .......................................................................................... 8 分设直线 m 的方程为 y = x + b则圆心 C 到直线 m 的距离 d =, .......................................................................... 9 分由 DE = 2 = 2 = 2 , 得 d = ,由 = ,得b = 3 或b = -1 ,故所求直线方程为 x - y + 3 = 0 或 x - y - 1 = 0 ........................................................ 10 分R 2 - d 24 - d 2124 - d 2 4 - d 2 2 122 b - 1 2R 2 - d 2 2b b a2015 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量 120 分钟，满分 100 分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。

【原创】2015年湖南省学业水平测试模拟试题---数学（4-4）

【原创】2015年湖南省学业⽔平测试模拟试题---数学（4-4）原创★绝密2015年湖南省⾼中学业⽔平测试（4-4）数学科试题命题：tangzhixin 考试范围：⾼⼀、⾼⼆所学内容本试题卷分选择题和⾮选择题两部分，共8页。

时量90分钟，满分100分。

⼀、选择题：本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，满分40分. 1．设集合{1,0,1}A =-，{|0}B x R x =∈>，则A B =（）A.{1,0}-B.{1}-C.{0,1}D.{1}2. 函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最⼩值是( )A. 1-B. 0C. 1D. 23. 已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且//a b , 则x 等于 ( )A ．－1B ．－9C ．9D ．14. 不等式(1)0x x -<的解集是( )A.{}|0x x <B. {}|1x x <C.{}|01x x <<D. {}|01x x x <>或5. 如图，⼀个空间⼏何体的正视图和侧视图都是边长为1的正⽅形，俯视图是⼀个圆，那么这个⼏何体的侧⾯积．．．为（） A. 4π B. 2πC. πD. 32π6. 式⼦cos cossinsin126126ππππ-的值为（）A.12B.22C. 32D. 17. 已知数列{}n a 是公⽐为2的等⽐数列，若416a =，错误！未找到引⽤源。

则1a = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（）A.2xy = B.1y x=C.2y x = D. tan y x = 学校班级姓名考号----------------------------------------密-------------------------------封------------------------------线------------------------------------------9．在ABC ?中，内⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若135A =?,30B =?,2=a ,则b 等于( )A. 1D. 210．下表是某⼚1—4⽉份⽤⽔量(单位：百吨)的⼀组数据：⽉份x1 2 3 4 ⽤⽔量y4.5 4 3 2.5 由散点图可知，⽤⽔量与⽉份之间有较好的线性相关关系，其线性回归⽅程为y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于( )A ．10.5B ．5.15C ．5.2D ．5.25⼆、填空题：本⼤题共5个⼩题，每⼩题4分，共20分。

2015年湖南省学业水平考试试题

湖南省2015年学业水平考试试题图1为长沙市某中学地理兴趣小组绘制的某住宅建筑在二分二至日的正午太阳光线入射示意图．读图完成1—2题．1.当正午太阳入射光线为①时，有关该日湖南省地理现象的描述，正确的是A．各地昼夜等长 B．正值梅雨季节c．盛行东南信风 D．湘江正处汛期2．有关图中太阳光线的叙述，正确的是A．②时节气为冬至，③时节气为夏至 B．该地⑧节气时昼长比@节气时短c．从①到③，入射屋内的光照面积增大 D．从③到②，地球公转速度逐渐加快图2为2015年某日14时东亚海平面气压分布田(单位：百帕)。

读图完成3—4题．3．此时，P地的风向可能是A．西北风 B 正南风C．东南风 D．西南风4．下列叙述，正确的是A．K地受冷气团控制 B. M地受亚洲高压控制c．N地盛行下沉气流 D．P、K之间锋面为暖锋图3为北太平洋局部海域图。

读图完成5—6题．5.若以洋流模式图(图4)来表示该海域洋流分布状况，则甲、乙、丙、丁四图中表示正确的是A．甲 B．乙 C．丙 D.丁6．测潮数据表明，２０世纪全球海平面升高了０．１－０．２米。

下列措施有利于抑制海乎面升高的是A充分利用可再生能源B.改变农业耕作方式C.大规模砍伐森林资源D.过量使用煤炭资源图5为某地水循环及地质构造示意图。

读图完成7-8题。

7．“海绵城市”是指遇到降雨时能就近吸收、存蓄、渗透雨水，在干旱缺水时将蓄存的水释放出来并加以利用的生态城市模式之一。

目前，长沙市正在加快“海绵城市”的建设，引起变化最大的水循环环节是A.①B.②C.③D.④8根据图示信息判断，正确的是A.甲处为背斜山B乙处为良好的储水构造C.丙处岩石年龄最新D丁处为流水沉积地貌图6为横断山区高黎贡山南段西侧蝶类分布示意图。

读图完成9-10题。

9．下列古诗词所反映的地域分异规律与图中蝶类优势种群分布反映的地域分异规律相似的是A.羌笛何须怨杨柳，春风不渡玉门关B.一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来C人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开D.才从塞北踏冰雪，又向江南看杏花１０．与该山麓东侧相比，山麓西侧水热条件好，植被丰富，蝶类色彩艳丽，种类数量较多，这反映了自然地理环境的A.脆弱性B.差异性C.有限性D.整体性交通拥堵指数是指根据道路通行情况设置的综合反映道路网拥堵情况的概念性指数值。

2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(湖南卷)(含答案全解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试湖南文科数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015湖南,文1)已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i 答案:D解析:由已知得z=(1-i)2=-2i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i=-1-i.2.(2015湖南,文2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组,每组5人.然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间[139,151]上的运动员恰好是第2,3,4,5组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4.3.(2015湖南,文3)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:由x>1能推得x3>1,充分性成立.由x3>1得(x-1)(x2+x+1)>0,∵x2+x+1>0恒成立,∴x>1,∴“x>1”是“x3>1”的充要条件.故选C.4.(2015湖南,文4)若变量x,y满足约束条件x+y≥1,y-x≤1,x≤1,则z=2x-y的最小值为()A.-1B.0C.1D.2答案:A解析:画出满足约束条件的平面区域如图.作直线y=2x,平移直线y=2x,当x=0,y=1,即直线过点A(0,1)时,z取得最小值,此时z min=2×0-1=-1.故选A.5.(2015湖南,文5)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.67B.37C.89D.49答案:B解析:由题意得,输出的S 为数列1(2n -1)(2n +1)的前3项和,而1(2n -1)(2n +1)=112n -1-1,即S n =1 1-1=n .故当输入n=3时,S=S 3=3,故选B . 6.(2015湖南,文6)若双曲线x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )A. 73B.54C.43D.53答案:D解析:∵双曲线的渐近线方程为y=±b ax ,且过点(3,-4),∴-4=-b ×3,∴b a =43.∴离心率e= 1+ b 2= 1+ 4 =5,故选D .7.(2015湖南,文7)若实数a ,b 满足1a +2b=ab ,则ab 的最小值为( ) A. B.2C.2D.4答案:C解析:由已知1+2= ab ,可知a ,b 同号,且均大于0.由 =1a +2b ≥2 2ab,得ab ≥2 2.即当且仅当1=2,即b=2a 时等号成立,故选C .8.(2015湖南,文8)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( )A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数答案:A解析:要使函数有意义,应满足 1+x >0,1-x >0,解得-1<x<1,即函数f (x )定义域为(-1,1),关于原点对称.此时f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又f (x )=ln 1+x 1-x=ln 21-x-1 ,由复合函数的单调性可知f (x )在(0,1)上是增函数.故选A .9.(2015湖南,文9)已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC ,若点P 的坐标为(2,0),则|PA +PB +PC|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:B解析:设坐标原点为O ,则PA +PB +PC =PO +OA +PO +OB +PO +OC =3PO +OB +(OA +OC ),由于AB ⊥BC ,所以AC 是圆的直径,因此OA +OC =0,于是|PA +PB +PC |=|3PO +OB |= (3PO +OB )2= 9|PO |2+6PO ·OB +|OB |2= 9×22+12-6OP ·OB= 37-6|OP ||OB |cos ∠POB= 37-12cos ∠POB ,故当∠POB=π时,cos ∠POB 取最小值-1,此时|PA +PB +PC |取最大值7.10.(2015湖南,文10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积()A.89πB.8 27πC.24(2-1)3D.8(2-1)3答案:A解析:由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径r=1,母线长l=3,所以其高h=l2-r2=32-12=22.故该圆锥的体积V=πr2h=π×12×22=22π.由题意可知,加工后的正方体是该圆锥的一个内接正方体,如图所示.正方体ABCD-EFGH的底面在圆锥的底面内,下底面中心与圆锥底面的圆心重合,上底面中心在圆锥的高线上,设正方体的棱长为x.在轴截面SMN中,由O1G∥ON可得,O1G=SO1,即22x=22-x22,x=22.所以正方体的体积为V1=2233=16227.所以该工件的利用率为V1=1622722π3=8.故选A.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015湖南,文11)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁U B)=.答案:{1,2,3}解析:∁U B={2},A∪(∁U B)={1,2,3}.12.(2015湖南,文12)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为.答案:x2+y2-2y=0解析:∵ρ=2sin θ,且ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,∴ρ2=2ρsin θ,∴x2+y2=2y.∴曲线C的直线坐标方程为x2+y2-2y=0.13.(2015湖南,文13)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=.答案:2解析:如图所示,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离|OC|=3+(-4)=1,故圆的半径r=1cos60°=2.14.(2015湖南,文14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是. 答案:(0,2)解析:函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|2x-2|=2x-2,x≥1,2-2x,x<1的图象与直线y=b的交点个数.如图,分别作出函数y=g(x)与直线y=a的图象,由图可知,当0<a<2时,直线y=a与y=g(x)有两个交点.所以a 的取值范围为(0,2).15.(2015湖南,文15)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=.答案:π解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象.A,B为符合条件的两交点.则Aπ4ω,2,B-3π4ω,-2,由|AB|=23,得πω+(22)2=23,解得πω=2,即ω=π2.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015湖南,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解:(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为4=1,不中奖的概率为1-1=2>1.故这种说法不正确.17.(本小题满分12分)(2015湖南,文17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A.(1)证明:sin B=cos A;(2)若sin C-sin A cos B=3,且B为钝角,求A,B,C.解:(1)由a=b tan A及正弦定理,得sin A=a=sin A,所以sin B=cos A.(2)因为sin C-sin A cos B=sin[180°-(A+B)]-sin A cos B=sin(A+B)-sin A cos B=sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B=cos A sin B,所以cos A sin B=3.由(1)sin B=cos A,因此sin2B=3.又B为钝角,所以sin B=32,故B=120°.由cos A=sin B=3知A=30°.从而C=180°-(A+B)=30°.综上所述,A=30°,B=120°,C=30°.18.(本小题满分12分)(2015湖南,文18)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形,E ,F 分别是BC ,CC 1的中点.(1)证明:平面AEF ⊥平面B 1BCC 1;(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°,求三棱锥F-AEC 的体积. 解:(1)证明:如图,因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点,所以AE ⊥BC. 因此,AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ,所以,平面AEF ⊥平面B 1BCC 1. (2)设AB 的中点为D ,连结A 1D ,CD. 因为△ABC 是正三角形,所以CD ⊥AB.又三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1,于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角.由题设,∠CA 1D=45°,所以A 1D=CD= 3AB= 3.在Rt △AA 1D 中,AA 1= A 1D 2-AD 2= 3-1= 2,所以FC=1AA 1=2.故三棱锥F-AEC 的体积V=1S △AEC ·FC=1×3×2=6.19.(本小题满分13分)(2015湖南,文19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n+2=3S n -S n+1+3,n ∈N *. (1)证明:a n+2=3a n ; (2)求S n .解:(1)由条件,对任意n ∈N *,有a n+2=3S n -S n+1+3,因而对任意n ∈N *,n ≥2,有a n+1=3S n-1-S n +3.两式相减,得a n+2-a n+1=3a n -a n+1,即a n+2=3a n ,n ≥2. 又a 1=1,a 2=2,所以a 3=3S 1-S 2+3=3a 1-(a 1+a 2)+3=3a 1, 故对一切n ∈N *,a n+2=3a n .(2)由(1)知,a n ≠0,所以an +2n=3,于是数列{a 2n-1}是首项a 1=1,公比为3的等比数列;数列{a 2n }是首项a 2=2,公比为3的等比数列.因此a 2n-1=3n-1,a 2n =2×3n-1.于是S 2n =a 1+a 2+…+a 2n =(a 1+a 3+…+a 2n-1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)=3(1+3+…+3n-1)=3(3n -1), 从而S 2n-1=S 2n -a 2n =3(3n -1)-2×3n-1=3(5×3n-2-1). 综上所述,S n = 32(5×3n -22-1),当n 是奇数,3(3n2-1),当n 是偶数. 20.(本小题满分13分)(2015湖南,文20)已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 22+x 2b2=1(a>b>0)的一个焦点.C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC 与BD同向. (1)求C 2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率.解:(1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b 2=1. ① 又C 1与C 2的公共弦的长为2 6,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y ,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为 ± 6,32,所以94a 2+6b2=1.②联立①,②得a 2=9,b 2=8,故C 2的方程为y 2+x 2=1. (2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).因AC 与BD 同向,且|AC|=|BD|,所以AC =BD ,从而x 3-x 1=x 4-x 2,即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4,③ 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y=kx+1. 由 y =kx +1,x 2=4y ,得x 2-4kx-4=0,而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4. ④由 y =kx +1,x 2+y 2=1得(9+8k 2)x 2+16kx-64=0,而x 3,x 4是这个方程的两根, 所以x 3+x 4=-16k9+8k2,x 3x 4=-649+8k2.⑤将④,⑤代入③,得16(k 2+1)=162k2(9+8k 2)2+4×649×8k2,即16(k 2+1)=162×9(k 2+1)(9+8k 2)2,所以(9+8k 2)2=16×9,解得k=± 6,即直线l 的斜率为± 64.21.(本小题满分13分)(2015湖南,文21)已知a>0,函数f (x )=a e x cos x (x ∈[0,+∞)).记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点.(1)证明:数列{f (x n )}是等比数列;(2)若对一切n ∈N *,x n ≤|f (x n )|恒成立,求a 的取值范围. 解:(1)f'(x )=a e x cos x-a e x sin x= 2a e x cos x +π4.令f'(x )=0,由x ≥0,得x+π=m π-π, 即x=m π-3π,m ∈N *.而对于cos x +π4 ,当k ∈Z 时,若2k π-π2<x+π4<2k π+π2,即2k π-3π4<x<2k π+π4,则cos x +π4>0;若2k π+π2<x+π4<2k π+3π2,即2k π+π4<x<2k π+5π4,则cos x +π4<0.因此,在区间 (m -1)π,mπ-3π 与 mπ-3π,mπ+π 上,f'(x )的符号总相反,于是当x=m π-3π(m ∈N *)时,f (x )取得极值,所以x n =n π-3π(n ∈N *).此时,f (x n )=a e nπ-34πcos nπ-3π =(-1)n+1 2a e nπ-34π.易知f (x n )≠0,而f (x n +1)n )=(-1)n +2 2a 2e (n +1)π-34π(-1)n +1 22a enπ-34π=-e π是常数,故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)=2a e π4,公比为-e π的等比数列.(2)对一切n ∈N *,x n ≤|f (x n )|恒成立,即n π-3π4≤2a 2enπ-34π恒成立,亦即2a≤enπ-34πnπ-3π4恒成立(因为a>0).设g (t )=e t (t>0),则g'(t )=e t (t -1)t 2.令g'(t )=0得t=1.当0<t<1时,g'(t )<0,所以g (t )在区间(0,1)上单调递减.当t>1时,g'(t )>0,所以g (t )在区间(1,+∞)上单调递增.因为x 1∈(0,1),且当n ≥2时,x n ∈(1,+∞),x n <x n+1,所以[g (x n )]min =min{g (x 1),g (x 2)}=min g π ,g 5π =g π =4e π4,因此,x n ≤{f (x n )}恒成立,当且仅当 2≤4e π4.解得a ≥2πe -π4,故a 的取值范围是2πe -π4,+∞ .。

2011-2015年湖南省普通高中学业水平考试真题及答案

2011年湖南省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{,}M a b =，{,}N b c =，则M N 等于（） A ．{,}a b B ．{,}b cC ．{,}a cD ．{}b2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）. A.圆柱 B. 三棱柱C.球D.四棱柱下列函数中， 3．函数()sin ,f x x x R =∈的最小正周期是（） A ．πB ．2πC ．4πD ．2π4．已知向量(2,1),(1,).x ==a b 若⊥a b ，则实数x 的值为（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1 5．在区间(0,]+∞为增函数的是（） A ．()f x x =-B ．1()f x x=C ．()lg f x x =D ．1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6．某检测箱中有10袋食品，其中由8袋符合国际卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（）A ．18B ．15C ．110 D ．167．在平面直角坐标系中，O 为原点，点P 是线段AB 的中点，向量(3,3),(1,5),OA OB ==-则向量OP =（）A ．(1,2)B ．(2,4)C ．(1,4)D ．(2,8)8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11B D 与平面1BC D 的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．直线11B D 在平面1BC D 内9．函数()23x f x =-的零点所在的区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60,45,A B ==b =，则a =（） A． B ．2 C ．3 D ．6正视图侧视图俯视图ABCD1A 1B 1C 1D二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．样本数据3,9,5,2,6的中位数是 .．12．已知某程序框图如图所示，若输入的x 的值为3，则输出的值为 .13．已知0,x >则函数1y x x=+的最小值是． 14．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是 .．15．已知点(,)x y 在如图所示的阴影部分内运动，且3Z x y m =-+的最大值为2，则实数m = ．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1sin ,(0,)22παα=∈（1）求cos α的值；（2）求sin 2cos 2αα+的值.第12题图第15题图17．（本小题满分8分）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.(1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；(2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.18．（本小题满分8分）已知二次函数2()f x x ax b =++，满足(0)6f =，(1)5f =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当[2,2]x ∈-，求函数()y f x =的最小值与最大值.19．（本小题满分8分）在数列{}n a 中，已知*112,2(2,)n n a a a n n N -==≥∈. （1）试写出23,a a ，并求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．已知关于,x y 的二元二次方程22240()x y x y k k R ++-+=∈表示圆.C（1）求圆心C 的坐标；（2）求实数k 的取值范围（3）是否存在实数k 使直线:240l x y -+=与圆C 相交于,M N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）？若存在，请求出k 的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题二、填空题11、 5 ； 12、 3 ； 13、 2 ； 14、45 ； 15、 2三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴> ，从而cos α= （2）2sin 2cos 22sin cos 12sin ααααα+=+-= 17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人）（2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人）18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩（2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n === ，(1)1232n n n S n +∴=++++= 20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=- ，(1,2)C ∴- （2）由505k k ->⇒<（3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩ 设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒< 112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+= 即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{n a }的前3项分别为2、4、6，则数列{n a }的第4项为A ．7B ．8C ．10D ．122．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A ．球B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥3．函数)2)(1()(+-=x x x f 的零点个数是A ．0B ．1C ．2D ．34．已知集合}2,0,1{-=A ，}3,{x =B ，若}2{=B A ，则x 的值为 A ．3 B ．2 C ．0 D ．-15．已知直线1l ：12+=x y ，2l ：52+=x y ，则直线1l 与2l 的位置关系是 A ．重合 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．平行6．下列坐标对应的点中，落在不等式01<-+y x 表示的平面区域内的是 A ．（0，0） B ．（2，4） C ．（-1，4） D ．（1，8）7．某班有50名同学，将其编为1、2、3、…、50号，并按编号从小到大平均分成5组．现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第2组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为 A ．14 B ．23 C ．33 D ．43 8．如图，D 为等腰三角形ABC 底边AB 的中点，则下列等式恒成立的是A ．0=⋅B ．0=⋅C ．0=⋅D ．0=⋅ 9．将函数x y sin =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为A ．)3sin(π+=x yB ．)3sin(π-=x yC ．)32sin(π+=x yD ．)32sin(π-=x y （第2题图）俯视图（第8题图）C ABD10．如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为A ．32B ．54C ．56D ．34二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．比较大小：5log 2 3l o g 2 （填“＞”或“＜”）． 12．已知圆4)(22=+-y a x 的圆心坐标为)0,3(，则实数=a ．13．某程序框图如图所示，若输入的c b a ,,值分别为3，4，5，则输出的y 值为．14．已知角α的终边与单位圆的交点坐标为（23,21），则αcos = ．15．如图，A ，B 两点在河的两岸，为了测量A 、B 之间的距离，测量者在A 的同侧选定一点C ，测出A 、C 之间的距离是100米，∠BAC=105º，∠ACB=45º，则A 、B 两点之间的距离为米．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知函数)(x f y =（]6,2[-∈x ）的图象如图．根据图象写出：（1）函数)(x f y =的最大值；（2）使1)(=x f 的x 值．（第10题图）（第13题图）（第15题图）（第16题图）一批食品，每袋的标准重量是50g ，为了了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：g ），并得到其茎叶图（如图）．（1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数；（2）若某袋食品的实际重量小于或等于47g ，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率．18．（本小题满分8分）如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且AB=1，D 1D=2．（1）求直线D 1B 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求证：AC ⊥平面BB 1D 1D ．4 5 6 6 95 0 0 0 1 1 2（第17题图）（第18题图）ABCD A 1B 1C 1D 1已知向量a =（x sin ，1），b =（x cos ，1），∈x R ．（1）当4π=x 时，求向量a + b 的坐标；（2）若函数=)(x f |a + b |2m +为奇函数，求实数m 的值． 20．（本小题满分10分）已知数列{n a }的前n 项和为a S n n +=2(a 为常数，∈n N *)．（1）求1a ，2a ，3a ；（2）若数列{n a }为等比数列，求常数a 的值及n a ；（3）对于（2）中的n a ，记34)(112-⋅-⋅=++n n a a n f λλ，若0)(<n f 对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．2012年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案二、填空题（每小题4分，满分20分） 11．＞； 12． 3； 13．4； 14． 21； 15． 2100．三、解答题（满分40分）16．解：（1）由图象可知，函数)(x f y =的最大值为2； …………………3分（2）由图象可知，使1)(=x f 的x 值为-1或5． ……………6分 17．解：（1）这10袋食品重量的众数为50（g ）， ………………2分因为这10袋食品重量的平均数为491052515150505049464645=+++++++++（g ），所以可以估计这批食品实际重量的平均数为49（g ）； ……………4分（2）因为这10袋食品中实际重量小于或等于47g 的有3袋，所以可以估计这批食品重量的不合格率为103，故可以估计这批食品重量的合格率为107． 8分 18．（1）解：因为D 1D ⊥面ABCD ，所以BD 为直线B D 1在平面ABCD 内的射影，所以∠D 1BD 为直线D 1B 与平面ABCD 所成的角， …………………2分又因为AB=1，所以BD=2，在Rt △D 1DB 中，1tan 11==∠BDDD BD D ，所以∠D 1BD=45º，所以直线D 1B 与平面ABCD 所成的角为45º； 4分（2）证明：因为D 1D ⊥面ABCD ，AC 在平面ABCD 内，所以D 1D ⊥AC ，又底面ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ， …………………6分因为BD 与D 1D 是平面BB 1D 1D 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面BB 1D 1D ． …………………………8分19．解：（1）因为a =（x sin ，1），b =（x cos ，1），4π=x ，所以a + b )2,2()2,cos (sin =+=x x ； …………………4分（2）因为a + b )2,cos (sin x x +=，所以m x m x x x f ++=+++=52sin 4)cos (sin )(2， ……………6分因为)(x f 为奇函数，所以)()(x f x f -=-，即m x m x ---=++-52sin 5)2sin(，解得5-=m ． ……………8分注：由)(x f 为奇函数，得0)0(=f ，解得5-=m 同样给分．20．解：（1）211+==a S a ， ……………………1分由212a a S +=，得22=a ， ……………………2分由3213a a a S ++=，得43=a ； …………………3分（2）因为21+=a a ，当2≥n 时，112--=-=n n n n S S a ，又{n a }为等比数列，所以11=a ，即12=+a ，得1-=a ， …………5分故12-=n n a ； …………………………………6分（3）因为12-=n n a ，所以3242)(2-⋅-⋅=n n n f λλ， ………………7分令n t 2=，则2≥t ，34)2(34)(22---=-⋅-⋅=λλλλt t t n f ，设34)2()(2---=λλt t g ，当0=λ时，03)(<-=n f 恒成立， …………………8分当0>λ时，34)2()(2---=λλt t g 对应的点在开口向上的抛物线上，所以0)(<n f 不可能恒成立， ……………9分当0<λ时，34)2()(2---=λλt t g 在2≥t 时有最大值34--λ，所以要使0)(<n f 对任意的正整数n 恒成立，只需034<--λ，即43->λ，此时043<<-λ，综上实数λ的取值范围为043≤<-λ． …………………………10分说明：解答题如有其它解法，酌情给分．（第3题图）俯视图侧视图正视图2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N = ，则x 的值为（） A ．3 B ．2C ．1D ．02．设1,(1)()2,(1)x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（）A ．8B ．2C ．-2D ．-86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（） A ．15,5,25B ．15,15,15C ．10,5,30D ．15,10,207．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（）A ．15B ．14C ．49D ．598．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．59．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（） A ．22(2)(1)5x y +++= B ．22(2)(1)10x y -+-=C ．22(2)(1)5x y -+-=D ．22(2)(1)10x y +++=10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,A B 到点C 的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（）A B C ．1.5km D ．2km（第14题图）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log 4+= .．12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x = ．13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是．14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 为 .15．已知向量a 与b 的夹角为4π，a = ，且4a b = ，则b =.三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1cos ,(0,)22παα=∈（1）求tan α的值；（2）求sin()6πα+的值.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．（本小题满分8分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ；（2）求三棱锥A BCD -的体积.a （第17题图）FEDCBA（第18题图）已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. 20．（本小题满分10分）已知函数()22x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值; （3）若不等式12≤()f x ≤4在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题二、填空题11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=； 14； 15、 4 三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴> ，从而cos α=（2）2sin 2cos 22sin cos 12sin ααααα+=+-=17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人）（2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人）18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩（2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n === ，(1)1232n n n S n +∴=++++= 20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=- ，(1,2)C ∴- （2）由505k k ->⇒<（3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩ 设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒< 112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+= 即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足2014年湖南省普通高中学业水平考试试卷数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 (理科)解析版

2015年高考湖南卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（） A. 1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.2.设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C.【考点定位】1.集合的关系；2.充分必要条件.【名师点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件，属于容易题，高考强调集合作为工具与其他知识点的结合，解题的关键是利用韦恩图或者数轴求解，充分，必要条件的判断性问题首要分清条件和结论，然后找出条件和结论之间的推出或包含关系.3.执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( )A.67 B.37 C.89 D.49【答案】B.【考点定位】1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.4.若变量x ，y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.而可知当2-=x ，1=y 时，min 3(2)17z =⨯--=-的最小值是7-，故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.5.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（）A .奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A.【考点定位】函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函数单调性的判断，即可求解.6.已知5x x 的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）33- D .-6【答案】D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解.7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A.2386B.2718C.3413D.4772 附：若2(,)XN μσ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμX P【答案】C.【考点定位】1.正态分布；2.几何概型.【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给出的数据，结合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关注正态分布等相对冷门的知识点的基本概念.8.已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则P A P B P C ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.9.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（）A.512π B.3π C.4π D.6π【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以 )sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（）A.89πB.169πC.34(21)πD.321)π【答案】A.【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.20(1) x dx⎰-= .【答案】0.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .【答案】4.【考点定位】1.系统抽样；2.茎叶图.【名师点睛】本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念，属于容易题，高考对统计相关知识的考查，重点在于其相关的基本概念，如中位数，方差，极差，茎叶图，回归直线等，要求考生在复习时注意对这些方面的理解与记忆.13.设F是双曲线C：22221x ya b-=的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 . 【答案】5.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222b a c +=，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.14.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = . 【答案】13-n .【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.15.已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞ .【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（Ⅰ）如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）180MEN NOM ∠+∠=；（2）FE FN FM FO ⋅=⋅【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.垂径定理；2.四点共圆；3.割线定理.【名师点睛】本题主要考查了圆的基本性质等知识点，属于容易题，平面几何中圆的有关问题是高考考查的热点，解题时要充分利用圆的性质和切割线定理，相似三角形，勾股定理等其他平面几何知识点的交汇.（Ⅱ）已知直线35:132x l y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值. 【答案】（1）0222=-+x y x ；（2）18.的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义即知，1821==⋅|t |t |MB||MA|. 【考点定位】1.极坐标方程与直角坐标方程的互相转化；2.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系，属于容易题，在方程的转化时，只要利用θρcos =x ，θρsin =y 进行等价变形即可，考查极坐标方程与参数方程，实为考查直线与圆的相交问题，实际上为解析几何问题，解析几何中常用的思想，如联立方程组等，在极坐标与参数方程中同样适用.（Ⅲ）设0,0a b >>，且11a b a b+=+. （1）2a b +≥；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法.【名师点睛】本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解，第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）9]8. 【解析】【考点定位】1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）107；（2）详见解析.【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.19.如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.【答案】（1）详见解析；（2）24.【考点定位】1.空间向量的运用；2.线面垂直的性质；3.空间几何体体积计算. 【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的性质以及空间几何体体积计算，属于中档题，由于空间向量工具的引入，使得立体几何问题除了常规的几何法之外，还可以考虑利用向量工具来解决，因此有关立体几何的问题，可以建立空间直角坐标系，借助于向量知识来解决，在立体几何的线面关系中，中点是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线而线线平行是平行关系的根本，在垂直关系的证明中线线垂直是核心，也可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直.20.已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形【答案】（1）22198y x+=；（2）（i）6±，（ii）详见解析.【考点定位】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此类问题的关键：（1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，222c b a +=等；（2）当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.21.已知0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点，证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列（2）若21a e ≥-，则对一切*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

湖南普通高中学业水平测验数学模拟试题及参考答案

湖南普通高中学业水平测验数学模拟试题及参考答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2015年湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试题一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、已知等差数列{}n a 的前3项分别为2，4，6，则数列{}n a 的第4项为（） A 、7 B 、8 C 、10 D 、122、如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（） A 、球 B 、圆柱 C 、圆台 D 、圆锥3、函数()()()21+-=x x x f 的零点个数是（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、34、已知集合{}{}3,,2,0,1x B A =-=，若{}2=⋂B A ，则x 的值为（） A 、3 B 、2 C 、0 D 、-15、已知直线12:1+=x y l ，52:2+=x y l ，则直线1l 与2l 的位置关系是（） A 、重合 B 、垂直 C 、相交但不垂直 D 、平行6、下列坐标对应的点中，落在不等式01<-+y x 表示的平面区域内的是（） A 、()0,0 B 、()4,2 C 、()4,1- D 、()8,17、某班有50名同学，将其编为1、2、3、、、50号，并按编号从小到大平均分成5组，现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第二组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为（）A 、14B 、23C 、33D 、438、如图，D 为等腰三角形ABC 底边AB 的中点，则下列等式恒成立的是（） A 、0=⋅CB CA B 、0=⋅AB CD C 、0=⋅CD CA D 、0=⋅CB CD 9、将函数x y sin =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为（）A 、⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin πx y B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πx y C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx y D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y 10、如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为（） A 、32 B 、54 C 、56 D 、34二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）ADBC开始cb a ,,输入3cb a y ++=y输出结束11、比较大小：5log 2 3log 2（填“>”或“<”）12、已知圆()422=+-y a x 的圆心坐标为()0,3，则实数=a13、某程序框图如图所示，若输入的c b a ,,值分别为3，4，5，则输出的y 值为14、已知角α的终边与单位圆的交点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321，，则=αcos15、如图，A ，B 两点在河的两岸，为了测量A 、B 之间的距离，测量者在A 的同侧选定一点C ，测出A 、 C 之间的距离是100米，︒=∠105BAC ，︒=∠45ACB ，则A 、B 两点之间的距离为米。

2009_2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)

2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。

时量120分钟，满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{1,2}M =，集合{0,1,3}N =，则MN =A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D. {1,2,3}2．化简()()001cos301cos30-+得到的结果是 A.34 B.14C.0D.1 3．如图，一个几何体的三视图都是半径为1的圆，则该几何体的表面积等于A.πB.2πC.4πD.43π 4．直线30x y -+=与直线40x y +-=的位置关系为A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直 5．如图，ABCD 是正方形，E 为CD 边上一点，在该正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影部分的概率为 A.14 B.13 C.12 D.346．已知向量()1,2a =，()3,6b =--，若b a λ=，则实数λ的值为 A.13 B.3 C.13- D.3- 7．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均分成5组，现从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样方法，从第1组抽取学生的号码为5，则抽取5名学生的号码是A.5，15，25，35，45B.5，10，20，30，40C.5，8，13，23，43D.5，15，26，36，46 8．已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数()f x 一定存在零点的区间是A.()1,0-B.()0,1C.()1,2D.()2,39．如图，点(),x y 在阴影部分所表示的平面区域上，则z y x =-的最大值为A.2-B.0C.1D.2 10．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了1个伙伴；第2天，2只蜜蜂飞出去，各自找回了1个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第n 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂的只数为A.12n -B.2nC.3nD.4n二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.11．函数()()lg 3f x x =-的定义域为 . 12．函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 . 13．某程序框图如图所示，若输入x 的值为4-，则输出的结果为 .14．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知2c a =，1sin 2A =，则sin C = .15．已知直线:20l x y -+=，圆()222:0C x y r r +=>，如直线l 与圆C 相切，则圆C 的半径r =三、解答题：本大题共5小题，满分40分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16．（本小题满分6分）学校举行班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录的茎叶图如下. （1）求该运动员得分的中位数和平均数；（2）估计该运动员每场得分超过10分的概率.已知函数()2()2f x x m =-+.（1）若函数()f x 的图象过点()2,2，求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值. 18．（本小题满分8分）已知正方体1111ABCD A B C D -. （1）证明：1D A 平面1C BD ；（2）求异面直线1D A 与BD 所成的角.已知向量()2sin 1a x ，=，()2cos 1b x ，=，x R ∈. （1）当4x π=时，求向量a b +的坐标；（2）设函数()f x a b =⋅，将函数()f x 图象上的所有点向左平移4π个单位长度得到()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的最小值.20．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=+，其中n N *∈.（1）写出2a ，3a 及n a ；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，设12111n nT S S S =+++，试判断n T 与1的大小关系；（3）对于（2）中的n S ，不等式()11410n n n n S S S n S λ--⋅+-+≥对于任意大于1的整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。

2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

D1
C1
A1
B
1
D A
C B
19. (本小题满分 8 分)
已知向量 a ＝(2sinx,1)， b ＝( 2 cos x,1 ), x R
(1)当＝时，求向量 a b 的坐标； 4
(2)设函数 f ( x) a b ，将函数 f x 图象上所有点向左平移
个单位长度得到 g x 的图象，当
4
x 0, 时，求函数 g x 的最小值。 2
A．5，15，25，35，45
B ．5，10，20，30，40
C．5，8， 13，23，43
D ．5，15，26，36，46
8. 已知函数 f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：
x
-1
0
1
2
3
f(x)
8
4
-2
0
6
则函数 f(x)一定存在零点的区间是
（
）
A.（-1，0） B.（0，1）
C.(1,2)
３
20. (本小题满分 10 分)
在正项等比数列 { an} 中， a1 2 , an 1 an 2 ，其中 n N * .
(1) 写出 a2 ， a3 及 an ;
11 (2) 记数列 an 的前 n 项和 Sn ，设 Tn S1 S2
1 Sn ，试判断 Tn 与 1 的大小关系 ;
(3) 对于（2）中的 Sn ，不等式 Sn Sn 1 4Sn (n 1) Sn 1 0 对任意大于 1 的整数 n
D. (2,3)
9. 如图，点（ x, y ）在阴影部分所表示的平面区域上，则 z y x 的最
大值为（）
A. －2
B. 0
C.1

2015年湖南省普通高中学业水平考试试卷

2015年湖南省普通高中学业水平考试试卷思想政治本试题卷包括选择题和非选择题（简答题、分析说明题和综合题）两部分，共六页。

时量90分钟，满分100分。

第Ⅰ卷选择题一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一个选项是最符合题意的，本大题30小题，每题2分，共60分）1. 2014年10月20日至23日，中国共产党第十八届中央委员会第四次全体会议在北京召开，会议通过了《中共中央关于全面推进_____若干重大问题的决定》。

A. 依德治国B. 小康社会C. 依法治国D. 改革开放2. 2014年8月16日至28日，第二届夏季青年___在江苏省南京市举行。

来自世界各地的3700多名运动员参加了28个大项222个小项的比赛。

A. 亚运会B. 奥运会C. 全运会D. 残奥会3. 2015年1月9日，中共中央、国务院在北京隆重举行国家科学技术奖励大会。

中国科学院院士、中国工程物理研究院高级科学顾问于敏获得2014年度国家最高____奖。

A. 自然科学B. 社会科学C. 信息技术D. 科学技术4. 2015年4月8日，国务院印发《关于同意设立湖南____新区的批复》，该新区成为中部地区首个国家级新区。

A. 长株潭B. 洞庭湖C. 贸易D. 湘江5. 2015年2月26日，第六十九届联合国大会一致通过了关于纪念世界反法西斯战争胜利____周年的决议。

A. 60B. 65C. 70D. 756. 价值尺度和流通手段是货币的两种基本职能，下列经济现象中能够反映货币执行价值尺度职能的是A. 一次性付清商品房款150万元B. 一台新款三星手机标价5288元C. 小明在教育书店刷卡购买书籍D. 张林林同学用支付宝在网上购物7. 近年来，我国国有企业在“保质提效”基础上加快了战略性调整，有序实施国有企业混合所有制改革，国有经济垄断经营的范围将逐步限制在少数自然垄断和关系国民经济命脉的重要行业和关键领域，这些改革举措有利于①淘汰国有企业和发展非公有制经济②限制公有制经济在我国的主体地位③不断增强国有经济的活力和竞争力④各种所有制经济公平参与市场竞争A. ①③B. ①④C. ②③D. ③④8. 国家发展改革委员会宣布，2015年我国将全面建立居民生活用气阶梯价格制度，水、电、气三大公共资源品都将进入阶梯价格时代。

15-16年湖南省普通高中学业水平考试试卷

2015年湖南省普通高中学业水平考试试卷物理本试题卷分选择题和非选题两部分，时量90分钟，满分100分一、选择题（本题包括16小题，每小题3分，共48分。

每小题只有一个选项符合题意） 1．发现万有引力定律的科学家是A ．爱因斯坦B ．卡文迪许C ．开普勒D ．牛顿 2．下列物理量属于矢量的是A ．质量B ．功C ．重力势能D ．力 3．列车员说“火车9点20分到站，停车10分。

”在这句话中 A ．“9点20分”是指时刻，“停车10分”是指时间间隔 B ．“9点20分”是指时间间隔，“停车10分”是指时刻 C ．“9点20分”与“停车10分”均指时刻 D ．“9点20分”与“停车10分”均指时间间隔4．将一个物体从地球上送到月球上，该物体在球上的惯性与在月球上的惯性相比 A ．在月球上惯性大 B ．在地球上惯性大 C ．惯性一样大 D ．大小关系无法确定5．有两个共点力，其中一个力的大小为3N ，另一个力的大小是4N ，这两个力的合力的最大值为 A ．1N B ．5N C ．7N D ．12N6．一位同学从操场中心A 点出发，先向北走了6m 到达C 点，然后向东走了8 m 到达B 点，可以算出A 、B 两点间的距离为10 m ，如图所示，则该同学的位移大小和路程分别是 A ．10 m ，14 m B ．14 m ，10 m C ．10 m ，10 m D ．14 m ，14 m 7．在同一平直公路上有A 、B 两辆汽车，它们的v-t 图象分别为a 、b ，如图所示，a 线平行于时间轴，b 线为过原点的倾斜直线，根据图象可知A ．A 车静止，B 车做匀速直线运动 B ．A 车静止，B 车做匀加速直线运动C ．A 车做匀速直线运动，B 车做匀加速直线运动D ．A 车做匀速直线运动，B 车做加速直线运动 8．下列关于质点的说法正确的是/t s8A．研究跳水运动员在空中的翻转动作时，运动员可当做质点B．研究航天器绕地理运动的运行轨道时，航天器可当做质点C．研究地球自转时，车轮可当做质点D．研究火车车轮的转动时，车轮可当做质点9．开普勒第二定律告诉我们：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，如图所示，某行星绕太阳运动轨道为椭圆，该行星在近日点A时的速度大小为v A，在远日点B时的速度大小为v B，则v A、v B的大小关系为A．v A>v BB．v A=v BC．v A<v BD．无法确定10．如图所示，光滑水平面上一个小球由细线牵引，绕桌面上的图钉O做匀速圆周运动，小球在运动过程中A．动能变化B．速度变化C．周期变化D．角速度变化11．在光滑水平面上有一根轻质弹簧，将弹簧一端固定，另一端施以水平拉力F时，弹簧伸长量为x1，如图所示；当水平拉力2F时，弹簧伸长量为x2，弹簧始终处在弹性限度内，则A．x2= x1B．x2=2x1C．x2=3x1D．x2=4x112．如图所示，用恒力F将质量为m的物体从地面竖直向上提升高度为h，力F对物体做功为w1，用同样的恒力F将质量为2m的物体从地面竖直向上提升高度为h，力F对物体做功为w2，则w1：w2等于A．1：1 B．1：2C．1：3 D．2：113．在距水平地面同一高度时，同时水平抛出甲、乙两小球，且甲的初速度大于乙的初速度，不计空气阻力，下列说法正确的是A．两球同时落地B．甲球比乙球先落地C．两球落地的速度大小相同D．两球落地时乙速度较大14．某同学在做“探究加速度与力、质量的关系”的实验中，当保持物体所受的力相同时，测量不同质量的物体在这个力作用下的加速度，设物体的质量为m ，加速度为a ，得到如图所示的1a m-A ．a 与m 成正比B ．a 与m 成反比C ．a 与m 2成正比D ．a 与m 2成反比 15．一个圆盘绕竖直转轴'OO 在水平面内匀速转动，盘面上距转轴有一定距离的地方放置一小物块，小物体随圆盘一起做匀速圆周运动，小物块所受力的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个 16．某同学用如图甲所示的装置做“验证机械能守恒定律”的实验，他在该实验中正确操作，用打点计时器打出了一条纸带，取该纸带中的一段，如图乙所示，其中O 点为释纸带时打点计时器在纸带上打出的一点，a 、b 、c 是打点计时器在纸带上打出的相邻三个点，x 1、 x 2分别为a 点、c 点到O 点的距离，T 为打相邻两点的时间间隔，则打b 点时物体运动速度大小的表达式为A ．122x x T + B．21x x T- C ．12x x T + D ．212x x T- 二、非选择题(本大题包括必做题和选做题两部分，共52分。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题(文科)解析版

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖南卷，含解析）2 2 由题（1宀=1i,. z 』—i ）— z 1+i 1+i考点：复数的运算2、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图 I 所示；0 0 3 斗 5 6 6 8 8 8 914 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 S 15 0 1 2 13 3 3若将运动员按成绩由好到差编为 1~35号，再用系统抽样方法从中抽取 7人，则其中成绩在区间上的运动员人数为（）A 3B 、4C 、5D 、6【答案】B【解析】试题分析；根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，目卩可求出正确的结论;根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间［1娥1订［上的运动员人数是瓯用系统抽样方法从跖人中抽取？20人，成绩在区间［1沙 ⑸］上的运动员应抽取“三二4 ；人二故选3.考点：茎叶图3、设 x ・ R ,则“ x>1 ”是“ x 2>1 ”的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：•由题根据明天的关系进行发现即可得到所给两个明天的关系；由题易知“x>1 ”可以推得“ x 2>1”，“ x 2>1 ”可以得到“ x>1 ”，所以“ x>1 ”是“ x 2>1 ”的充要条件，故选 C.考点：命题与条件l x y -1I y4、若变量x 、y 满足约束条件《 y-x 兰1 ，则z=2x-y 的最小值为（）i X^1A 、-1B 、0C 、1D 、2【答案】A一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分, 共50 分 •，在每小题给出的四个选项中,目要求的1、已知(1-i)24 ■ =1+1z（i 为虚数单位），则复数 z =()厶A 、1+iB、1-iC、- ■1+iD 、-1-i【答案】 D【解析】试题分析：•由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数z 的代数式;只有一项是符合题-2i(1 -i) 2，故选D.[139,151]9 97 7 试题分析：由釣束条件作出可行域，然后根据所得图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案+1->1 亠 4Y+1=1y = Q由约東条」1一左喳1作出可行域如图，由图可知，蛊阮解沟人，联立厂，二厂 ..\AiOA].Iv -x=l[,V<1「「-'-z*2x*y 在点A 处取得最小值为2X0-1--L 故选=&【答案】B5、执行如图2所示的程序框图，如果输入 /错入/i=l t s=o< -------s=s*— -- -----心 J (2MX2r-l)n=3,中输入的S=()考点：简单的线性规划试题分析：•由题根据所给程序框图不难得到所求S 值即是求递推数列的连续前3项的和;由题 ------ 1 -------- ---- -------- U …，古攵选J.1x3 3x5 5x7考点：程序框图故选D.考点：双曲线的简单性质1 2・7、若实数a , b 满足ab ，则ab 的最小值为()a bA 、2 B 、2 C 、2、、2 D 、4【答案】C【解析】试题分析：由题根据2+2二娱可得 J ・":二1 •.饕后'利用基础不等式—>二上■-—犬辭al- BWa b a b \ a b小值即可;T 一 + 二=应,a>Q t b>i), '：后= -*-> 2> - = 2」二打上3 仝二 JT ・(当且仅当 b=2a 时取等a b a bb ^(ab号)，所以曲的最小值为]JL 故选c.考点：基本不等式8、设函数 f (x ) =ln (1+x ) -In (1-x )，则 f (x )是() A 、奇函数，且在(0,1 )上是增函数 B 、奇函数，且在(0,1 )上是减函数 C 、偶函数，且在(0,1 )上是增函数D、偶函数，且在(0,1 )上是减函数【答案】A 【解析】试题分析：求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可.6、若双曲线2 22 2=1的一条渐近线经过点a 2b 2A7B 、-C34【答案】D【解析】3，-4)，则此双曲线的离心率为点，得到a 、b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可.2 2 23, -4 )，二 31^ 4a -”,9 C —a = )a 二 e ,c_5 a 3试题分析：由题利用双曲线的渐近线方程经过的2 2因为双曲线x _y _ =1的一条渐近线经过点( a 2 b 2函数f (x) =ln (1+x) -In (1-x )，函数的定义域为(-1，1)，函数f (-x ) =ln (1-x ) -In (1+x) =-[ln（1+x ） -In （1-x ） ]=-f （x ）,所以函数是奇函数.1 1 1f' x -- 飞，已知在（0,1 ）上f' x . 0，所以f （x ）在（0,1）上单调递增，故选 A.1+x 1-x 1-x考点：利用导数研究函数的性质9、已知点A,B,C 在圆x 2 +y 2 =1上运动，且 AB 丄BC,若点P 的坐标为（2，0），贝U PA + PB + PC 的最大值为（）A 、6最大值7,故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质10、某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）【答案】A【解析】*r 咸立”故禾I 厢率为了【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆一 PA PB PC j 2pO PB I PA + PB + PC ・=pPO+PB ,已知 B 为（-1 , 0）时，取得合向量的几何关系不难得到由题意，AC 为直径，所以 x 2 y 2 =1是一 AC 位直径的圆，然后根据所给条件结，4+PB ,易知当B 为（-1 , 0）时取得最大值.24( 2 -1)28( . 2 -1)2试题分析：由题可得，间题碱于圆蹴桶长和昭机如图看则暂=¥8二8侧视圏。

2015年湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试卷

(1)试根据频率分布直方图求的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；
(2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？
18.（本小题满分8分）
如图所示，在三棱锥P-ABC中，E、F分别为AC、BC的中点。
（1）证明： ;
（2）若， ,求证：。
19.（本小题满分8分）
则 .
15. 若实数满足约束条件：，则的最大值等于.
三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分6分）
已知函数 .
（1）求函数的最小正周期；
（2）判断函数的奇偶性,并说明理由。
17．（本小题满分8分）
某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注的数字模糊不清.
A． B． C． D．
7．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（）
A． B． C． D．
8．等比数列{an}中，a3=16，a4=8，则a1=（）
(A)64(B)32(C)4(D)2
9．函数
(A)是奇函数，但不是偶函数(B)既是奇函数，又是偶函数
已知圆心为(1，1)的圆C经过点M(1，2)．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线x＋y＋m＝0与圆C交于A、B两点，且△ABC是直角三角形，求实数m的值
20．（本小题满分10分）
已知数列满足：， .
（1）求及通项；
（2）设是数列的前项和，则数列，，，…中哪一项最小？并求出这个最小值.

七、2009-2015年湖南学业水平测试真题卷

五、数学学业水平考试真题卷 20092009年湖南省普通高中学业水平考试数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页.时量120分钟.满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{1,0,1,2}A =-,{2,1,2}B =-，则A B = ( ) . A. {1} B. {2} C. {1,2} D. {2,0,1,2}-2. 若运行右图的程序，则输出的结果是（）.A. 4B. 13C. 9D. 223. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（）. A . 13 B. 14 C. 15 D. 164. sincos44ππ的值为（）.A.12 B.C.D.5. 已知直线l 过点（0，7），且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（）. A. 47y x =-- B. 47y x =- C. 47y x =-+ D. 47y x =+6. 已知向量(1,2)=a ,(,1)=-b x ,若⊥a b ,则实数x 的值为（）. A. 2- B. 2 C. 1- D. 17. 已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：图）在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（）.A .（1，2） B. （2，3） C.（3，4） D. （4，5） 8. 已知直线l ：1y x =+和圆C: 221x y +=，则直线l 和圆C 的位置关系为（）. A .相交 B. 相切 C .相离 D. 不能确定 9. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）. A.1()3=xy B.3log y x = C.1y x=D. cos =y x 10. 已知实数x y 、满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z y x =-的最大值为（）.A. 1B. 0C. 1-D. 2- 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 已知函数2(0)()1(0)x x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则(2)f =.12. 把二进制数101（2）化成十进制数为 .13. 在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a b 、, 60,A =︒30,a B ==︒则b = . 14. 如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为 .15. 如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，若AB AC AM λ+=,则实数λ= . 三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分6分) 已知函数()2sin()3π=-f x x ，∈x R .（1）写出函数()f x的周期；（第14题图）（第15题图）（2）将函数()f x 图象上的所有的点向左平行移动3π个单位,得到函数()g x 的图象,写出函数()g x 的表达式,并判断函数()g x 的奇偶性.17. (本小题满分8分)某市为节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，为了较为合理地确定居民日常用水量的标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：吨），右表是100位居民月均用水量的频率分布表，根据右表解答下列问题：（1）求右表中a 和b 的值；（2）请将频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数. 18. (本小题满分8分) 如图,在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ,且PA=AB. （1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求异面直线BC 与PD 所成的角.19. (本小题满分8分)如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米 (26)x ≤≤.2,3) [3,4) [4,5) [5,6] 合计（第17题图）（1）用x 表示墙AB 的长；（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y （元）表示为x(米)的函数；（3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？20. (本小题满分10分)在正项等比数列{}n a 中，14a =, 364a =. (1) 求数列{}n a 的通项公式n a ;(2) 记4log =n n b a ,求数列{}n b 的前n 项和n S ;(3) 记24,y m λλ=-+-对于（2）中的n S ，不等式n y S ≤对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围.（第19题图）湖南省普通高中学业水平考试数学测试卷参考答案二、填空题（每小题4分，共20分） 11.2； 12. 5； 13.1 ；14. 3π；15. 2 三、解答题16.解：(1)周期为2π………………………3分 (2)()2sin =g x x ,………………………5分()2sin()2sin -=-=-g x x x ()()∴-=-g x g x所以g(x)为奇函数……………………6分 17.解：(1) a =20; ………2分b =0.20.………4分 (2)根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数为2.5 ………………8分（说明：第二问中补充直方图与求众数只要做对一个得2分，两个全对的4分.）18.（1）证明：∵PA ABCD ⊥平面，BD ABCD ⊂平面，PA BD ∴⊥，……………………1分又ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，……………2而,PA AC 是平面PAC 内的两条相交直线，（第16题图）BD PAC ∴⊥平面……………………4分(2)解： ∵ABCD 为正方形，BC ∴∥AD ， PDA ∴∠为异面直线BC 与AD 所成的角，…6分由已知可知，△PDA 为直角三角形，又PA AB =， ∵PA AD =， 45PDA ∴∠=︒，∴异面直线BC 与AD 所成的角为45º.……………………8分 19.解：（1）24,⋅== AB AD AD x 24∴=AB x…………………2分（2）163000()(26)y x x x=+≤≤………………5分（没写出定义域不扣分）（3）由163000()3000224000x x +≥⨯ 当且仅当16=x x，即4=x 时取等号 4∴=x (米)时，墙壁的总造价最低为24000元.答：当x 为4米时，墙壁的总造价最低.……………8分 20.解：(1). 23116a q a == ，解得4q = 或4q =-(舍去) ∴4q =……2分111444n n n n a a q --∴==⨯=……………3分 (4q =-没有舍去的得2分)（2） 4log ==n n b a n ，………5分∴数列{}n b 是首项11,=b 公差1=d 的等差数列(1)2+∴=n n n S ………7分 (3)解法1：由（2）知，22+=n n nS ，当n=1时，n S 取得最小值min 1=S ………8分要使对一切正整数n 及任意实数λ有n y S ≤恒成立，即241λλ-+-≤m即对任意实数λ，241λλ≥-+-m 恒成立，2241(2)33λλλ-+-=--+≤ ,所以3≥m ,故m 得取值范围是[3,).+∞……………10分解法2：由题意得：2211422λλ≥-+--m n n 对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，即221133(2)(),228λ≥---++m n 因为2,1λ==n 时，221133(2)()228λ---++n 有最小值3，所以3≥m ,故m 得取值范围是[3,).+∞……………10分20102010年湖南省普通高中学业水平考试卷数学本试题卷包括选择题，填空题和解答题三部分，时量120分钟，每分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1已知集合M ={1,2}，N ={2,3}，则MUN =（） A {1,2}； B {2,3} ；C {1,3} ； D {1,2,3} 2 已知a 、b 、c R ∈,则（ …）A, a+c>b+c B a c b c +<+ C a c b c +≥+ D a+c b c ≤+ 3,下列几何体中，正视图。

2013-2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案.pdf

位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注 a 的数字模糊不清. (1) 试根据频率分布直方图求 a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；
(2) 已知该公司有 1000 名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于 8 元？
频率组距 a
0.10
0.05
0
2
4
6
8 10 12 早餐日平均费用（元）
sin B ＝
.
13. 已知 a 是函数 f ( x) = 2 − log2 x 的零点, 则实数 a 的值为
.
14.已知函数 y = sinx( 0) 在一个周期内的图像如图所示，则
的值为
.
15. 如图 1，矩形 ABCD 中，AB = 2BC, E, F 分别是 AB,CD 的中
点，现在沿 EF 把这个矩形折成一个二面角 A − EF − C （如图 2）则在图 2 中直线 AF 与
）
2, (x 1)
A．0
B．1
C．2
D．-1
3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）.
A.圆柱
B. 三棱柱
正视图侧视图
C.球
D.四棱柱
4．函数 y = 2cos x, x R 的最小值是（）
A．-3
B．-1
C．1
D．3
俯视图（第3题图）
5．已知向量 a = (1, 2),b = (x, 4) ，若 a ∥ b ，则实数 x 的值为（）
（第17题图）
18．（本小题满分 8 分）
如图，在三棱锥 A − BCD 中，AB ⊥平面 BCD ，BC ⊥ BD ，BC = 3，BD = 4，直线 AD
与平面 BCD 所成的角为 450 ，点 E, F 分别是 AC, AD 的中点.