人教版高中数学选修2-1知识 点小结
最新人教版高中数学选修2-1第一章《且(and)或(or)非(not)》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学1.“且”（1）定义：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”.（2）“p且q”的真假的判断方法是：知识拓展①有些命题在字面上不含有“且”，要注意把握关键词的含义.②知二求一，含义是已知其中两个命题的真假，便可求得另一个命题的真假.③同真亦真，有假亦假.2.“或”（1）定义：用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”.（1）定义：对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作⌝p，读作“非p”或“p的否定”.（2）“非p”的真假判断方法是：②有些命题在字面上不含有“非”，要注意把握关键词的含义.③已知p、q的真假时,常用下列表格判断p且q、p或q、非p的真假.问题·探究问题1 如何判断一个命题是简单命题还是复合命题？若是复合命题,应如何判断它的真假？探究:判断一个语句是否为命题的关键在于能否判断其真假,一个命题是简单命题还是复合命题,不能只从字面上看有没有“或”“且”“非”,如“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合”,此命题字面上无“且”,但可写成“等腰三角形的顶角平分线既是底面上的中线又是底边上的高线”,所以它是复合命题.又如“5≥5”虽字面上无“或”,但它也是复合命题.判断复合命题的真假,可按下面步骤进行:（1）确定复合命题的形式；（2）判断其中简单命题的真假；（3）根据真值表判断复合命题的真假.问题2 如何从集合中的“并集”“交集”“补集”的角度理解“或”“且”“非”的含义？探究:（1）对“或”的理解，可联想到集合中“并集”的概念.A∪B={x|x∈A,或x∈B}中的“或”,它是指x∈A或x∈B中至少有一个是成⒌模杭磝∈A且x∉B；也可以x∈B且x∉A;也可以x∈A且x∈B.逻辑联结词“或”的含义与“并集”中“或”的含义是一致的，它们都不同于生活中“或”的含义，生活中的“或”的含义表示“不兼有”，而在数学中“或”的含义则表示“可兼有但不必须兼有”.由“或”联结两个命题p、q构成的复合命题“p或q”，在“p真q假”“p假q真”“p 真q真”时，都真.（2）对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念.A∩B={x|x∈A,且x∈B}中的“且”，它是指“x∈A”“x∈B”都要满足的意思：即ｘ既属于集合Ａ又属于集合Ｂ.由“且”联结两个命题p、q构成的复合命题“p且q”，当且仅当“p真q真”时，“p且q”真.（3）对“非”的理解，可联想到集合中“补集”的概念.“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非p”，当p真时，则“非p”假，当p假时，则“非p”真.典题·热题例1 分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题:（1）李明是老师,赵山也是老师；（2）1是合数或质数；（3）他是运动员兼教练员；（4）这些文学作品不仅艺术上有缺点,而且政治上有错误.思路分析：根据上述复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，“或”“且”“非”进行命题结构的判断.解：（1）这个命题是“p∧q”的形式,其中p:李明是老师,q:赵山是老师.（2）这个命题是“p∨q”的形式,其中p∶1是合数,q∶1是质数.（3）这个命题是“p∧q”的形式,其中p:他是运动员,q:他是教练员.（4）这个命题是“p∧q”的形式,其中p:这些文学作品艺术上有缺点,q:这些文学作品政治上有错误.方法归纳正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解题的关键.应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式.例2 指出下列命题的真假:（1）命题:“不等式|x+2|≤0没有实数解”；（2）命题:“-1是偶数或奇数”；（3）命题:“2属于集合Q,也属于集合R”；（4）命题:“A（A∪B）”.思路分析：先确定复合命题的构成形式以及构成它的简单命题的真假，然后再根据真值表判断复合命题的真假.解：（1）此命题是“⌝p”的形式,其中p:不等式|x+2|≤0有实数解.因为x=-2是该不等式的一个解,所以命题p为真命题,即⌝p为假命题,所以原命题为假命题.（2）此命题是“p或q”的形式,其中p:-1是偶数,q:-1是奇数.因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以“p∨q”为真命题,故原命题为真命题.（3）此命题为“p∧q”的形式,其中p:2∈Q,q:2∈R.因命题p为假命题,命题q为真命题,所以,命题“p∧q”为假命题,故原命题为假命题.（4）此命题为“⌝p”的形式,其中p:A⊆（A∪B）.因为p为真命题,所以“⌝p”为假命题,故原命题为假命题.方法归纳为了正确判断复合命题的真假,首先要确定复合命题的构成形式,然后指出其中简单命题的真假,再根据真值表判断这个复合命题的真假.例3 已知p:方程x 2+mx+1=0有两个不等的负根；q:方程4x 2+4（m-2）x+1=0无实根.若p 或q 为真,p 且q 为假,求m 的取值范围.思路分析：该题是方程与命题的综合题，涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系，一元二次不等式与不等式组，集合的补集，p 或q ，p 且q 两类复合命题的真假的判断.若p 或q 为真,p 且q 为假，说明一真一假.可列不等式组求解.解：若方程x 2+mx+1=0有两个不等的负根,则⎩⎨⎧>>-=∆.0,042m m解得m>2,即p:m>2.若方程4x 2+4（m-2）x+1=0无实根,则Δ=16（m-2）2-16=16（m 2-4m+3）<0,解得1<m<3,即q:1<m<3.因p 或q 为真,所以p 、q 至少有一个为真.又p 且q 为假,所以p 、q 至少有一个为假.因此,p 、q 两命题应一真一假,即p 为真,q 为假,或p 为假,q 为真. 所以⎩⎨⎧≥≤>3m 1m 2,m 或或⎩⎨⎧<<≤.31,2m m解得m≥3或1<m≤2.方法归纳 由简单命题的真假可根据真值表来判断复合命题的真假.反过来,由复合命题的真假也应能准确判定构成此复合命题的简单命题的真假情况,简单命题的真假也应由真值表来判断.如“p 且q”为假,应包括“p 真q 假”“p 假q 真”“p 假q 假”这三种情况.例4 已知a>0,a≠1,设P:函数y=log a （x+1）在x ∈（0,+∞）内单调递减；Q:曲线y=x 2+（2a-3）x+1与x 轴交于不同的两点.如果P 和Q 有且只有一个正确,求a 的取值范围. 思路分析：本题是函数与命题的综合题，涉及到函数的单调性和一元二次函数对应的方程的根的问题，P 和Q 有且只有一个正确，应分两种情况讨论分析. 解：当0<a<1时,函数y=log a （x+1）在（0,+∞）内单调递减；当a>1时,y=log a （x+1）在（0,+∞）内不是单调递减.曲线y=x 2+（2a-3）x+1与x 轴交于两点等价于（2a-3）2-4>0,即21<a 或25>a . （1）若P 正确,且Q 不正确,即函数y=log a （x+1）在（0,+∞）内单调递减,曲线y=x 2+（2a-3）x+1与x 轴不交于两点,因此a ∈（0,1）∩（［21,1）∪（1,25］）,即a ∈［21,1）. （2）若P 不正确,且Q 正确,即函数y=log a （x+1）在（0,+∞）内不是单调递减,曲线y=x 2+（2a-3）x+1与x 轴交于两点,因此a ∈（1,+∞）∩（（0,21）∪（25,+∞））,即a ∈（25,+∞）. 综上,a 的取值范围为［21,1）∪（25,+∞）. 例5 已知c>0,设P:函数y=c x 在R 上单调递减,Q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R .如果P 和Q有且仅有一个正确,求c 的取值范围.思路分析：本题是函数与命题的综合题，涉及到函数的单调性和绝对值不等式的解法，P 和Q 有且只有一个正确，应分两种情况讨论分析. 解：函数y=c x 在R 上单调递减⇔0<c<1.不等式x+|x-2c|>1的解集为R ⇔函数y=x+|x-2c|在R 上恒大于1. 因为x+|x-2c|=⎩⎨⎧<≥-,2,2,2,22c x c c x c x所以函数y=x+|x-2c|在R 上的最小值为2c. 所以不等式x+|x-2c|>1的解集为R ⇔2c>1⇔c>21. 若P 正确,且Q 不正确,则0<c≤21；若P 不正确,且Q 正确,则c≥1.所以c 的取值范围为（0, 21］∪［1,+∞）.。
高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析
高中数学选修2-1抛物线知识点与典例精析知识点一抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．知识点二抛物线的标准方程与几何性质O(0,0)规律与方法：解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．例1已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为()A.172B．3C.5D.92例2(2015年10月学考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，若F到直线y＝3 x的距离为3，则p等于()A．2B．4C．23D．43例3(2016年10月学考)已知抛物线y2＝2px过点A(1,2)，则p＝________，准线方程是________________．例4已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(4，－22)，则它的标准方程为________．例5已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．例6已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．例7 过抛物线y 2＝2x 的顶点作互相垂直的两条弦OA ，OB . (1)求AB 的中点的轨迹方程； (2)求证：直线AB 过定点．一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A ．(12，0) B ．(14，0) C ．(0，18)D ．(0，14)2．已知抛物线y ＝4x 2上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716B ．1516C ．78D ．03．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A ．－18B ．18C ．8D ．－84．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为( ) A ．5B ．10C ．20D.155．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18B ．24C ．36D ．486．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( ) A ．(0,0)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2,2)7．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－1，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝2x －3 B ．y ＝－2x ＋5 C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －18．设抛物线C ：y 2＝16x ，斜率为m 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，O 为坐标原点，则直线l 恒过定点( ) A ．(8,0) B ．(4,0) C ．(16,0) D ．(6,0)二、填空题9．若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是__________．10．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________. 11．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________． 12．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________. 三、解答题13．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．答案精析知识条目排查知识点一相等焦点准线题型分类示例例1A如图，由抛物线定义知|P A|＋|PQ|＝|P A|＋|PF|，则所求距离之和的最小值转化为求|P A|＋|PF|的最小值，则当A、P、F三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值．又A(0,2)，F(12，0)，∴(|P A|＋|PF|)min＝|AF|＝(0－12)2＋(2－0)2＝172.]例2B由抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(p2，0)．F到直线y＝3x的距离为3，可得|3p2|(3)2＋(－1)2＝3，解得p＝4，故选B.]例32x＝－1例4y2＝2x解析由题意可知抛物线的焦点在x轴上，设方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．若方程为y 2＝2px (p >0)，则8＝2p ×4，得p ＝1，故方程为y 2＝2x ；若方程为y 2＝－2px (p >0)，则8＝－2p ×4，得p ＝－1，不符合条件，故不成立． 所以抛物线的标准方程为y 2＝2x . 例5 x 2＝－12y解析 设动圆圆心M (x ，y )，半径为r ，根据题意可得⎩⎨⎧y <2，r ＝|y －2|，x 2＋(y ＋3)2＝1＋r ，解得x 2＝－12y .例6 解 方法一 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ， 则|AB |＝2p <52p ，∴直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝52p ，解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)． 方法二如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 设A ，B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知， |AF |＝d A ＝x 1＋p 2，|BF |＝d B ＝x 2＋p2， 于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ，x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，|AB |＝2p <52p ， ∴直线AB 与Ox 不垂直． 设直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0，x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2，∴直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p2)．例7 (1)解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1k x . 联立直线OA 与抛物线的方程知，点A 的坐标为(2k 2，2k )， 联立直线OB 与抛物线的方程知，点B 的坐标为(2k 2，－2k )，则AB 的中点M 的坐标为(1k 2＋k 2，1k －k )，故点M 的轨迹方程为x ＝y 2＋2.(2)证明 由(1)可知k AB ＝－k －1kk 2－1k 2＝－1k －1k＝－k k 2－1，则直线AB 的方程为y －(1k －k ) ＝－k k 2－1x －(1k 2＋k 2)]，整理，得y ＝－kk 2－1(x －2)．所以直线经过定点(2,0)． 考点专项训练1．C 抛物线y ＝2x 2的标准形式为x 2＝12y ， ∴p ＝14，则p 2＝18， ∴焦点坐标是(0，18)．]2．B 抛物线y ＝4x 2的标准形式为x 2＝14y ， ∴其准线方程为y ＝－116， 设点M 的纵坐标是y 0，由抛物线的定义，得y 0＋116＝1， ∴y 0＝1516.] 3．A4．B 设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线准线方程为x ＝－1， ∴x 0＝5－1＝4，∴|y 0|＝4×4＝4， ∴△MPF 的面积为12×5×4＝10.]5．C 不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，依题意，l ⊥x 轴，且焦点F (p2，0)， ∵当x ＝p2时，|y |＝p ，∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6， 又点P 到直线AB 的距离为p 2＋p2＝p ＝6， 故S △ABP ＝12|AB |·p ＝12×12×6＝36.]6．D 由题意得F (12，0)，准线方程为x ＝－12. 设点M 在准线x ＝－12上的射影为P ， 则M 到准线的距离为d ＝|PM |，则由抛物线的定义得|MA |＋|MF |＝|MA |＋|PM |，故当P 、A 、M 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值为|AP |＝3－(－12)＝72. 把y ＝2代入抛物线y 2＝2x ，得x ＝2，故点M 的坐标是(2,2)．] 7．A ∵抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为x ＝－1， ∴－p2＝－1，∴p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得 (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即y ＝2x －3.]8．C 设直线l ：x ＝my ＋b (b ≠0)，代入抛物线y 2＝16x ，可得y 2－16my －16b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝16m ，y 1y 2＝－16b ， ∴x 1x 2＝(my 1＋b )(my 2＋b )＝b 2， ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0， 可得b 2－16b ＝0，∵b ≠0，∴b ＝16，∴直线l ：x ＝my ＋16， ∴直线l 过定点(16,0)．] 9．y 2＝16x解析 点P 到点F 的距离与到x ＝－4的距离相等，由抛物线定义，知点P 轨迹为抛物线，设y 2＝2px ，由p2＝4，知p ＝8.10．1或0解析 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.因此若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或k ＝1. 11．(18，±24)解析 设抛物线上点的坐标为(x ，±x )，此点到准线的距离为x ＋14，到顶点的距离为x 2＋(x )2，由题意有x ＋14＝x 2＋(x )2，∴x ＝18， ∴此点坐标为(18，±24)． 12．8 解析如图所示，直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，与准线方程x ＝－2联立得A (－2,43)．设P (x 0,43)，代入抛物线y 2＝8x ，得8x 0＝48，∴x 0＝6， ∴|PF |＝x 0＋2＝8.13．证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)． 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p (my ＋p2)，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)因为y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．。
高中数学选修2-1-抛物线的方程及性质
抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|＝＝＝，∴当x＝，即P（）时，|PQ|取最小值．故答案为：．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，求动圆圆心C的轨迹．'例2.'平面内哪些点到直线l：x=-2和到点P（2，0）距离之比小于1．'例3.'点M到点F（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写出它的方程吗？能画出草图吗？'抛物线的标准方程知识讲解1．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y 2＝2px ，焦点在x 轴上，焦点坐标为F（，0），（p 可为正负）（2）x 2＝2py ，焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，），（p 可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y 2＝2px （p ＞0），焦点在x 轴上x 2＝2py （p ＞0），焦点在y 轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x 轴焦点在x 轴长上y 轴焦点在y 轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e ＝1e ＝1准线x ＝﹣y ＝﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q（1，1）是抛物线x2=2py（p>0）上一点，过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A，B．在点A处作抛物线的切线l1，在点B处作抛物线的切线l2，直线l1、l2交于P 点．（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；（Ⅱ）求证PA⊥PB．'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）；（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。
人教版B版高中数学选修2-1(B版)直线的方向向量与直线的向量方程
[答案] B
3．已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(4,1,3)，B(2， －5,1)，C(3,7，λ)，若A→B⊥A→C，则 λ 等于( )
A．λ＝28 C．λ＝14 [答案] D
B．λ＝－28 D．λ＝－14
[解析] 由A→B⊥A→C⇔A→B·A→C＝0 可求得．
二、填空题
4．已知a＝(2，－2,3)，b＝(4,2，x)，且a⊥b，则x＝
求角或距离等有关问题时要用到，希望注意．
l，m是两条直线，方向向量分别是a＝(x1，y1，z1)，b
＝(x2，y2，z2)，若l∥m，则
()
A．x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2
B．x1＝kx2，y1＝py2，z＝qz2
C．x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
D．x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2
5．设两条直线所成角为θ(锐角)，则直线方向向量的 夹角与θ相等或互补，设直线l1和l2的方向向量分别为v1和
v2，则l1⊥l2⇔_v__1_⊥__v_2_，___c_o_s_θ_＝___c_o_s_<__v_1_,_v_2_>__.
[例1] 设a，b分别是直线l1、l2的方向向量，根据下列 条件判断l1、l2的位置关系．
∴l1∥l2(或l1与l2重合)． (2)观察知a≠b，又a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝－2 ＋6－4＝0，
∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然b＝－3a，即a∥b，故l1∥l2(或l1与l2重合)．
[说明] 首先根据a，b的坐标，对a，b的关系(平行、垂直 或其他情况)作出初步判断，然后再用有关知识给予验证，从 而得到相关结论．直线的方向向量在研究线线、线面位置关系，
() B．(9,1,1) D．(－9，－1，－1)
人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_命题及其关系_基础
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人教版高中数学选修2-1知识点梳理）巩固练习重点题型（常考知识点命题及其关系【学习目标】1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论；2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假；3．能熟练判断命题的真假性.【要点梳理】要点一、命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.要点诠释：1.不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“x>2”，“2不一定大于3”.2.只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等.3.语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性.要点二、命题的结构命题可以改写成“若p，则q”的形式，或“如果p，那么q”的形式.其中p是命题的条件，q是命题的结论.要点诠释：1.一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论.2.有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式.要点三、四种命题原命题：“若p，则q”；逆命题：“若q，则p”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；. 否命题：“若非 p ，则非 q ”，或“若 ⌝p ，则 ⌝q ”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；逆否命题：“若非 q ，则非 p ”，或“若 ⌝q ，则 ⌝p ”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定.要点诠释：对于一般的数学命题，要先将其改写为“若 p ，则 q ”的形式，然后才方便写出其他形式的命题.要点四、四种命题之间的关系四种命题之间的构成关系原 命题若p 则q互互 互 逆为 逆否逆命题 若q 则p互 否否 命 题互为逆否否逆 否命 题若⌝p 则⌝q四种命题之间的真值关系互 逆若⌝q 则⌝p原命题真真 假假逆命题真假 真假否命题真假 真假逆否命题真真 假假要点诠释：（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系.【典型例题】类型一：命题的概念例 1.判断下列语句中哪些是命题，是命题的判断其是真命题还是假命题（1）末位是 0 的整数能被 5 整除；（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；（3）两直线平行，则斜率相等；（△4）ABC中，若∠A=∠B，则sinA=sinB；（5）余弦函数是周期函数吗？【思路点拨】依据命题的定义判断。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线及其标准方程》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学一、抛物线1.抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.（1）定义的“双向运用”，即：一方面，符合定义的条件的动点轨迹为抛物线；另一方面，抛物线上点有定义中条件的性质.（2）两个定义的综合运用是解决有些抛物线问题的捷径.（3）求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.2.抛物线的方程（1）抛物线的标准方程（a ＞b ＞0）①y 2=2px(p ＞0)；②y 2=-2px(p ＞0)；③x 2=2py(p ＞0)；④x 2=-2py(p ＞0).抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p 等于焦点到抛物线顶点的距离.二次函数y=ax 2(a≠0)方程满足抛物线的定义，所以它的图象是抛物线，它的焦点坐标为（2a ,0），准线方程x=2p . （2）中心在(x 0,y 0)的抛物线方程(a ＞b ＞0)利用平面向量的平移可得到上述标准方程中对应的形式，如顶点在（x 0,y 0）有对称轴为y=y 0,开口向右的抛物线方程为(y-y 0)2=2p(x-x 0)(p ＞0).要点提示 在求抛物线的方程的时候一定要考虑焦点在哪个轴上，开口方向两个方面.此外，因为抛物线有四个标准方程，确定了焦点在哪个轴上和开口方向，这个抛物线的方程大致形状也就确定了.问题·探究问题1 抛物线在现实生活中有哪些应用？探究:抛物线在现实生活中的应用很广泛，我们熟悉的汽车前灯，太阳灶，有的大桥也设计成抛物线形状，抛物线最重要的应用还是在物理学上，根据抛物线的运行轨迹，人们把它运用到了军事上的大炮、导弹.问题2 学习抛物线方程，要注意些什么？探究:抛物线的标准方程有四个，在学习它们的时候一定要注意区分，焦点在x 轴上两个，焦点在y 轴上两个，焦点坐标与准线方程都于一次项的系数有关，抛物线的方程在确定了焦点位置和一次项的系数，抛物线的形状也就确定了下来.典题·热题例1 已知点M （3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点p 在该抛物线上移动，当|PM|+|PF|取最小值时，点P 的坐标为______________________.思路分析：本题若建立目标函数来求|PM|+|PF|的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决.解：如右图所示，由定义知|PF|=|PE|，故|PM|+|PF|=|PF|+|PM|≥|ME|≥|MN|=213.取等号时，M,P,E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P 点坐标为(2,2).方法归纳 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离.要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换. 例2 求过点（-3，2）的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程.思路分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=-2px 或x 2=2py （p ＞0），∵过点（-3，2），∴4=-2p （-3）或9=2p·2.∴p=32或p=49. ∴所求的抛物线方程为y 2=x 34-或x 2=y 29.前者的准线方程是x=31，后者的准线方程是y=89-. 误区警示 这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.思路分析：可设抛物线方程为y 2=2px(p ＞0).如右图所示，只须证明2||AB =|MM 1|，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切.证明:作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1.M 为AB 中点，作MM 1⊥l 于M 1，则由抛物线的定义，可知|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|.在直角梯形BB 1A 1A 中：|MM 1|=21（|AA 1|+|BB 1|）=21（|AF|+|BF|）=21|AB|. ∴|MM 1|=21|AB|.故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切. 方法归纳 类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.例4 如右图所示，直线l 1和l 2相交于点1M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.思路分析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x 、y 的取值范围. 解：如图以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段.其中A 、B 分别为曲线段C 的端点. 设曲线段C 的方程为y 2=2px （p>0）（x A ≤x≤x B ，y>0），其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p=|MN|，所以M （2p -，0）、N （2p ，0）. 由|AM|=17，|AN|=3，得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A -2p ）2+2px A =9. ② ①②联立解得x A =p4，代入①式，并由p>0， 解得⎩⎨⎧==1,4A x p 或⎩⎨⎧==.2,2Ax p 因为△AMN 为锐角三角形，所以A x p >2. 故舍去⎩⎨⎧==.2,2A x p 所以⎩⎨⎧==.1,4Ax p 由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN|-2p =4. 综上，曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x≤4，y>0）.。
人教版【高中数学】选修2-1第三章直线与平面的夹角讲义
案例（二）----精析精练课堂 合作 探究重点难点突被知识点一 公式cos θ=cos θ1·cos θ 2如右图,已知OA 是平面a 的一条斜线,AB⊥a,则OB 是OA 在平面a 内的射影,设OM 是a 内通过点O的任意一条直线,OA 与OB 所成的角为θ1,OB 与OM 所成的角为θ2,OA 与OM 所成的角为θ,则有cos θ=cos θ1·cos θ2,我们简称此公式为三余弦公式,它反映了三个角的余弦值之间的关系.在上述公式中,因为0≤cos θ2≤1，所以cos θ<cos θ1,因为θ1和θ都是锐角,所以θ1≤0,由此我们可以得到最小角定理:斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.知识点二 斜线和平面所成的角(1)定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).(2)斜线和平面所成角的范围:(0,2π). (3)直线和平面所成角的范围:[O,2π],其中当一条直线与一个平面垂直时,这条直线与平面的夹角为,当一条直线与个平面平行或在平面内时,这条直线与平面的夹角为0.(4)直线和平面所成角的求法:①几何法:用几何法求直线和平面所成角的步骤:i)找(或作)出直线和平面所成的角；ii)计算,即解三角形；iii)结论,即点明直线和平面所成角的大小.②向量法:若直线AB 与平面a 所成的角为θ,平面a 的法向量为n,直线与向量n 所成的角为ϕ，则θ+ϕ=2π,利用向量的夹角公式求出cos ϕ再根据sin θ=|cos ϕ|求出θ③利用公式cos θ=cos θ1cos 2求解.典型例题分析题型1 几何法求直线和平面的夹角【例1】 如下图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=3,AA 1=5,试求B 1D 1与面A 1BCD 1所成角的正弦值解析 作出B 1点在平面A 1BCD 1上的射C 影,从而得到B 1D 1在平面上的射影.又因为平面 A 1B 1D⊥面A 1BCD 1,故只要过B 1作A 1B 的垂线,垂足就是B 1的射影.答案 作B 1E⊥A 1B,又因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1,∴A 1D 1⊥B 1E.由B 1E⊥A 1B 及B 1E⊥A 1D 1得知B 1E⊥面A 1BCD 1,所以,D 1E 就是D 1B 1在平面A 1BCD 1上的射影,从而∠B 1D 1E 就是D 1B 1与面A 1BCD 1所成的角.在Rt△B 1D 1E 中,有sin∠B 1D 1E=111B D EB 上的射影. 但D1B1=211211D A B A +=915+=5,又11BB A S ∆=21A 1B 1·EB 1=21A 1B 1·BB 1,A 1B=1625+=14,∴EB 1=4154⨯=420,∴sin∠B 1D 1E=54120=41414. 方法指导 如果随意地在直线B 1D 1上取一点,然后过这一点向平面A 1BCD 1作垂线,虽然也可以找出直线B 1D 1和平面A 1BCD 1所成的角,但面临的一个问题是如何求出这个角,因此“作、证、求”三者是紧密联系在一起的,必须系统地统筹考虑.【变式训练1】 已知直角三角形ABC 的斜边BC 在平面a 内,直角边AB,AC 分别和a 成30°和45°角.求斜边BC 上的高AD 与平面a 所成角的大小.答案 如下图,作AO⊥a,O 为垂足,连结OB,OC,OD,则∠ABO,∠ACO,∠ADO 分别为AB,AC,AD 与a 所成的角,则∠ABO=30°,∠ACO=45°.设AO=h,则AC=2h,AB=2h.∴BC=6h,∴AB=32=∙BC AB AC h. ∴Rt△AOD 中,sin∠ADO=23=AD AO ,∠ADO=60°. ∴AD 与平面a 所成的角的大小为60°.【例2】 如下图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求直线AA 1与平面A 1BD 所成的角.解析 在确定A 在平面上的射影时,既可以利用线面垂直,也可以分析四面体A 1-ABD 的性质.答案 解法一:连结AC,设AC∩BD=O,连结A 1O,在△A 1AO 内作AH⊥A 1O,H 为垂足. ∵A 1A⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴A 1A⊥BD .又BD⊥AC,AC∩A 1A=A,∴BD⊥平面A 1AD,∴BD⊥AH .又AH⊥A 1O,A 1O∩BD=O,∴AH⊥平面A 1BD,∴∠AA 1H 为斜线A 1A 与平面A 1BD 所成的角.在Rt △A 1AO 中,A 1A=1,AO=22,∴A 1O=26. ∵:A 1A·AO=A 1O·AH,∴AH=332622111=⨯=∙O A AO A A . ∴sin∠A A 1H=331=A A AH .∠AA 1H=arc sin 33. ∴A 1A 平面A 1BD 所成角的大小为arc sin33. 解法二:∵AA 1=AD=AB,∴点A 在平面A 1BD 上的射影H 为△A 1BD 中心,连结A 1H,则A 1H 为正△A 1BD 外接圆半径, ∵正△A 1BD 边长为2,∴A 1H=33·2=36. Rt△AHA 1中,cos∠AA 1H=A A H A 11=36. ∵∠AA 1H 为AA 1与平面A 1BD 所成的角,∴A 1A 与平面A 1BD 所成角的大小为 arc sin 33. 解法三:同解法二分析,A 1H 为∠BA 1D 的平分线,∴∠BA 1H=30°,又∠AA 1B=45°,∴由最小角原理公式cos∠AA 1B=cos∠AA 1H·cos∠BA 1H,得cos∠AA 1H=︒︒=∠∠30cos 45cos cos cos 11H BA B AA =36 ∴∠AA 1H=arc cos 36方法指导 在研究空间图形时,基本元素的位置关系和数量关系是密不可分、相互转化的.解法二在数量关系AA 1=AD=AB 的基础上,得到A 在平面A 1BD 上的射影的性质,解法三在找到基本图形-----三棱锥A 1-ABD 后,利用最小角原理公式,最小角原理公式是立体几何的重要公式之一,解法三利用该公式,解法简捷明了.【变式训练2】 如下图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD⊥DC,E 是PC 的中点.(1) 证明PA∥平面EDB ；(2) 求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值.答案 (1)连结AC,AC 交BD 于O.连结EO.∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点.在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO .而EOC ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.(3) 作EF⊥DC 交DC 于F,连结BF,设正方形ABCD 的边长为a.∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥DC .∴EF∥PD,F 为DC 的中点∴EF⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影,故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的 角.在Rt △BCF 中,BF=a a a CF BC 25)2(2222=+=+. ∴EF=21PD=2a ,∴在Rt △EFB 中,tan ∠EBF=55252==a aBF EF . 所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为题型2 向量法求直线与平面的夹角【例3】 在以边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 和F 分别是BC 和C 1D 1上的点,BE=C 1F= 31，试求EF 与平面A 1BD 所成的角的余弦值. 解析 如下图建立恰当的空间直角坐标系,用坐标向量及平面的法向量求解. 答案 以A 为原点,分别以AB ,AD ,1AA 方向为x轴,y 轴,z 轴的正方向而建立坐标系,如上图所示,则A 1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,1),E(1,31,0),F(32,1,1). 1AC =(1,1,1),B A 1=(1,0,-1),D A 1(0,1,-1).由于1AC ·B A 1=(1,1,1)·(1,0,-1)=1-1=0,∴1AC ⊥B A 1,1AC .D A 1=(1,1,1)·(0,1,-1)=1-1=0,∴1AC ⊥D A 1,∴1AC ⊥平面A 1BD,故1AC 是平面A 1BD 的法向量.又EF =(-31,32,1),EF ·1AC =(-31,32,1)·(1,1,1)=34,|EF |=314,|1AC |=3. 记ϕ为EF 与1AC 之间所成之角则cos ϕ=11AC EF =424331443=∙.以θ记EF 与平面A 1BD 所成之角,则θ=ϕπ-2,∴cos=θ=cos(2π-ϕ)=sin ϕ=21273211342161cos 12==-=-ϕ. 规律总结 利用向量法求直线与平面所成角的解题步粟可以分解为:①根据题设条件,图形特征建立适当的空间直角坐标系；②得到相关点的坐标,进而求出相关向量的坐标；③利用分式cos<a,b>=b a b a ∙,进行计算,其中向量a 是直线的方向向量,b 可以是平面的法向量,可以是直线在平面内射影的方向向量；④将(a,b)转化为所求的线面角.这里要注意的是:平面的斜线的方向向量与平面法向量所成的锐角是平面的斜线与平面所成角的余角.【变式训练3】 如下图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC 且AS=AB.求直线SC 与底面ABCD 的夹角的余弦值.答案 由题设条件知,可建立以AD 为x 轴,AB 为y 轴,AS 为z 轴的空间直角坐标系,如下图所示,设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(21,0,0),S(0,0,1).∴AS =(0,0,1),CS =(-1,-1,1).显然AS 是底面的法向量,它与已知向量CS 的夹角β=90°-θ,故有sin θ=cos β33311=⨯=,于是 cos θ=36sin 12=-θ. 【例4】 如下图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA 1=2,D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解析 求线面角关键在于找到平面的一个法向量,法向量与直线所在的向量夹角的互余的角,即为所求的角,因此结合图形的特征,可以先建立空间直角坐标系,求出平面ABD 的法向量,再按公式求解.答案 以C 为原点,CA 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系,设AC 的长为a,则A(a,0,0),B(0,a,0)D(0,0,1)A1(a,0,2,)则点G(3a ,3a ,31),E(2a ,2a ,1).由于E 在面ABD 内的射影为G 点,所以GE⊥面ABD.又DA =(a,0,-1),AB =(-a,a,0)=(6a ,6a ,32),,由AB ·=0及 ·=0可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-,066,0326222a a a 解得a=2. 取=(6a ,6a ,32)=(31,31,32,)为平面ABD 的法向量,B A 1=(-2,2,-2).设A 1B 和平面ABD 所成的角为θ,则sin θ=32222949191|343232|222=++++-+-. 故所求A1B 和平面ABD 所成的角为arin2方法指导 本题也可以不用向量方法求解,而用传统的几何方法求解,但处理的过程不像向量法简单直接.请读者用传统方法试着处理一下.规律 方法 总结(1)利用平面a 的法向量n 求斜线AB 与平面a 的夹角θ时,应注意关系,sin θ=|cos<AB ,n>),其中θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，不要认为<AB ,n>或<BA ,n>就是θ角； (2)求直线与平面夹角的常见方法:①当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为90°,当直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角为0°；②当直线与平面斜交时,用以下三种方法求角：方法一:定义法:在直线上任取不同于斜足的一点作面的垂线,确定射影,找出斜线与平面所成的角,通过解三角形求得；方法二:向量法:建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,由向量夹角公式,求出法向量n 与斜线对应向量的夹角θ(锐角),则所求线面角为2π-θ； 方法三:由公式cos θ=cos θ1·cos θ2,求斜线与平面所成的角.定时 巩固 检测基础训练1.平面的一条斜线和这个平面所成角θ的范围是 （ ）A.0°<θ<90°B.0°≤θ≤90°C.0°<θ≤90D.0°<θ<180°【答案】 A(点拨:由与平面相交但不垂直的直线为平面的斜线知0°<θ<90°.)2.一条直线与平面a 所成的角为30°,则它和平面a 内所有直线所成的角中最小的角是 （ ）A.30°B.60°C.90°D.150°【答案】 A(点拨:本题考查最小角定理,斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中最小的角.)3.如下图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是 （ ）A.∠C 1BB 1 B∠C 1BD C.∠C 1BD 1 D.∠C 1BO【答案】 D(点拨:∵O 是点C 1在平面BB 1D 1D 上的射影,∴BO 为BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影.∵∠C1BO 为所求.)4.PA,PB,PC 是从P 点引出的三条射线,每两条夹角都为60°,则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值为 （ ）A. 21 B.36 C.33 D.23 【答案】 C(点拨,设PC 与平面APB 所成角为θ,则由cos60°=cos θ·cos30°得cos θ=33.) 5.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为侧面BCC 1B 1的中心,则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( ) A.33 B.21 C.66 D.23 【答案】 C(点拨:取BC 中点M,连AM,OM,易知∠OAM 即为AO 与平面ABCD 所成的角,可求得sin∠OAM=66.) 能力提升 6.如右图所示,点P 是△ABC 所在平面外的一点,若PA 、PB 、PC 与平面a 所成的角均相等,则点P 在平面a 上的射影P′是△ABC 的 （ ）A.内心B.外心C.重心D.垂心【答案】 B(点拨:由于PA 、PB 、PC 与平面a 所成的角均相等,所以这三条由点P 出发的平面ABC 的斜线段相等,故它们在平面ABC 内的射影P ′A 、P ′B 、P ′C 也都相等,故点P 是 △ABC 的外心,因此,应选B.)7.从同一点O 引出不共面的三条射线OA,OB,OC 且两两成60°角,OA 与平面BOC 的夹角为 .【答案】 arc cos 33(点拨:设OA 与平面BOC 的夹角为θ,由上述分析可得co s60°=c os θ·c o s30°,即cos θ=33,所以OA 与.平面BOC 的夹角为arc cos 33.) 8.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是AB 、C 1D 1的中点,求A 1B 1与平面A 1MCN 所成角的大小.【答案】 法一:分别以DA,DC,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如上图,设正方体的棱长为1,则A 1(1,0,1),M(1,21,1),N(0,21,1),B 1(1,1,1),所以11B A =(0,1,0),M A 1=(0,21,-1),N A 1=(-1,21,0).设平面A 1MCN 的一个法向量为n=(x,y,z),则有⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,11M A n A n 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-.021,021z y y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y z y x 2121， 令y=2,则x=z=1,所以n=(1,2,1).cos<11B A ,n)=6121111⨯=∙∙n B A n B A =36. 所以直线A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角为arc cos 36. 法二:连接MN,B 1C,A 1D,A 1C,如右图、所示,由三垂线定理可得MN⊥A 1B 1,MN⊥B 1C,所以MN⊥平面A 1B 1CD,又MN ⊂平面A 1MCN,所以平面A 1MCN⊥平面A 1B 1CD,又平面A 1MCN 与平面A 1B 1CD 的交线是A 1C,故点B 1在平面A 1MCN 内的射影在直线A 1C 上,所以∠B 1A 1C 就是A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角,在Rt△B 1A 1C 中,tan∠B 1A 1C=111B A C B =2,即A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角的大小是arc tan 2.9.如右图在矩形ABCD 中,2AB=BC,沿对角线AC 将△ACB 折起到ACB ′的位置,使平面ADB ′⊥平面ACD.(1)求证:平面ACB ′⊥平面CBD ；(2)求AD 与平面ACB ′所成角的大小. 【答案】 (1) ⎪⎭⎪⎬⎫='⊥'⊥AD ACD B AD ACD B AD ADCD 平面平面平面平面 ⇒CD ⊥平面ADB ′⎪⎭⎪⎬⎫=''⊥'⇒⊥'C C B CD C B B A CD B A ⇒⎭⎬⎫'⊂''⊥'B AC B A D B C B A 平面平面 ⇒平面ACB ′⊥平面CB ′D.(2) 作DE ⊥B ′C 于E,连接AE.如图,由(1)知平面ACB ′⊥平面CB ′D,所以DE ⊥平面ACB ′.所以∠DAE 为AD 与平面ACB ′所成的角.设CD=1,则BC=2,在Rt △B ′DC 中,∠CDB ′=90°,B ′C=BC=2,CD=1,所以B ′D=3,所以DE=′CD BD ′CB ∙=23所以在R △AED 中,sin ∠DAE=AD DE =223=43,故直线AD 与平面ACB ′所成的角为 arcsin=43. 10.P 是△ABC 所在平面外一点,PA,PB,PC 两两互相垂直,且PA=10,PB=8,PC=6,求PA 与平面ABC 所成的角.【答案】∵AP ⊥PB,PA ⊥PC,∴PA ⊥平面PBC,PA ⊥BC,过A 作AD⊥BC 于D,连接PD,那么BC ⊥平面PAD,过P 作PO ⊥AD 于O.∴PO ⊥AD;BC ⊥PO,∴PO ⊥面ABC,∠PAO 就是PA 与面ABC 所成的角,∵PB=8,PC=6,∴BC=10,PD=BC PC PB ∙=524,tan ∠PAD=10524=2512, 因此PA 与面ABC 所成的角为arctan 2512. 11.如下图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点.求:CD 与平面ADMN 所成的角.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz,设PA=2,则P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0),则=(2,0,-2),=(0,2,0),=(2,-1,0).因为PB ·AD =(2,0,-2)·(0,2,0)=0,所以PB ⊥AD.又因为由三垂线定理可得PB ⊥DM,所以PB ⊥平面ADMN.因此<,>的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角.因为cos(,=510,所以CD 与平面ADMN 所成的角为arcsin 510.。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《抛物线及其标准方程》知识导学
2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程第一课时课标解读1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程,掌握其定义、标准方程及几何图形. 学会思考1.把一根直尺固定在图板上直线l 的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A ,取绳长等于点A 到直角顶点C 的长(即点A 到直线l 的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F .用铅笔尖扣着绳子,使点A 到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.请问此曲线上任意一点到定点F 的距离与到l 的距离有何关系?此曲线为何曲线?2.抛物线的标准方程y 2=2px (p >0)中,p 具有一定的几何意义,它表示__________________. 答案:1.相等,抛物线.2.抛物线的焦点到准线的距离自学导引1.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离_________的点的轨迹叫做抛物线点F 叫做抛物线的_________，直线l 叫做抛物线的_________.2.方程y 2=±2px ,x 2=±2py (p >0)叫做抛物线的_________方程.3.抛物线y 2=2px (p >0)的焦点坐标是_________,它的准线方程是_________,它的开口方向_________.4.抛物线y 2=-2px (p >0)的焦点坐标是_________,它的准线方程是________,它的开口方向 ________.5.抛物线x 2=2py (p >0)的焦点坐标是_________,它的准线方程是_________,它的开口方向_________.6.抛物线x 2=-2py (p >0)的焦点坐标是_________,它的准线方程是_________,它的开口方向_________.答案:1.相等 焦点 准线2.标准3.(2p ,0) 2p x -= 向右 4.(2p -,0) 2p x = 向左 5.(0,2p ) 2p y -= 向上 6.(0,2p -) 2p y = 向下典例启示知识点1求抛物线的标准方程【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，-4)；(2)焦点在直线x +3y +15=0上.解:(1)∵点(3，-4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y 2=2px (p ＞0)或x 2=-2p 1y (p 1＞0).把点(3，-4)的坐标分别代入y 2=2px 和x 2=-2p 1y ，得(-4)2=2p ·3，32=-2p 1·(-4)， 即3162=p ,4219=p . ∴所求抛物线的方程为x y 3162=或y x 492-=. (2)令x=0,得y=-5；令y=0,得x=-15.∴抛物线的焦点为(0，-5)或(-15，0).∴所求抛物线的标准方程为y 2=-60x 或x 2=-20y .启示:求抛物线的标准方程需要：(1)求p ；(2)判断焦点所在坐标轴的位置.【例2】 分别求适合下列条件的抛物线方程.(1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点A (2,3);(2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为25. 解:(1)由题意,方程可设为y 2=mx 或x 2=ny ,将点A (2,3)的坐标代入,得32=m •2或22=n •3,∴29=m 或34=n . ∴所求的抛物线方程为x y 292=或y x 342=. (2)由焦点到准线的距离为25,可知25=p , ∴所求抛物线方程为y 2=5x 或y 2=-5x 或x 2=5y 或x 2=-5y .启示:(1)抛物线的标准方程有四种形式,主要看其焦点位置或开口方向.(2)抛物线的标准方程只有一个参数p ,即焦点到准线的距离,常称为焦参数.知识点2抛物线定义及标准方程的应用【例3】 已知抛物线的焦点为(3，3)，准线为x 轴，求抛物线的方程解:设M (x ,y )为抛物线上的任意一点， 则由抛物线的定义，得||)3()3(22y y x =-+-. 平方整理，得3612+-=x x y 为所求抛物线的方程. 启示:当抛物线不在标准位置时，只有利用其定义来求方程.【例4】 平面上动点P 到定点F (1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,求动点P 的轨迹方程.解法一:设P 点的坐标为(x ,y ),则有1||)1(22+=+-x y x ,两边平方并化简得y 2=2x +2|x |.∴⎩⎨⎧<≥=,0,0,0,42x x x y 即点P 的轨迹方程为y 2=4x (x ≥0)或y=0(x <0).解法二:由题意,动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1,由于点F (1,0)到y 轴的距离为1,故当x <0时,直线y=0上的点适合条件;当x ≥0时,原命题等价于点P 到点F (1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P 在以F 为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y 2=4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2=4x (x ≥0)或y=0(x <0).启示:求动点的轨迹方程时,可用定义法列等量关系,化简求解;也可判断后,用类似于公式法的待定系数法求解,但要判断准确,注意挖掘题目中的隐含条件,防止重、漏解.随堂训练1.已知抛物线过点(-11，13)，则抛物线的标准方程是( ) A.x y 221692= B.x y 111692-= C.x y 111692-=或y x 131212= D.y x 131212-= 解析:∵点(-11,13)在第二象限,∴抛物线的张口向左或向上.当抛物线的张口向左时,设抛物线的方程为y 2=-2px ,把点 (-11,13)的坐标代入方程得 132=-2p ·(-11),∴111692=p . ∴抛物线的标准方程为x y 111692-=. 当抛物线的张口向上时,设抛物线的方程为x 2=2p 1y ,把点(-11,13)的坐标代入得(-11)2=2p ·13, ∴131212=p . ∴抛物线的方程为y x 131212=. 答案:C2.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是( )A.x 2=-28yB.y 2=28xC.y 2=-28xD.x 2=28y解析:∵72=p , ∴p =14.∵抛物线的焦点在x 轴上,∴抛物线的方程是y 2=28x .答案:B3.已知抛物线的焦点在直线3x -y +36=0上，则抛物线的标准方程是( )A.x 2=72yB.x 2=144yC.y 2=-48xD.x 2=144y 或y 2=-48x解析:令x =0得y =36,令y =0得x =-12,∴抛物线的焦点为(0,36)或(-12,0).答案:D4.抛物线y 2=-4px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( )A.F 到l 的距离B.F 到y 轴的距离C.F 点的横坐标D.F 到l 的距离的41 解析:在抛物线的标准方程y 2=-2px (p >0)中,p 是焦点到准线的距离,2p 是焦点到y 轴的距离或y 轴与准线间的距离,所以在抛物线方程y 2=-4px (p >0)中,p 为焦点到y 轴或y 轴与准线间的距离.答案:B5.已知点(-2,3)与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离是5,则p 的值为( )A.4B.3C.2D.1解析:抛物线的焦点为(2p ,0), 由5)03()22(22=-+--p ,得p =4. 答案:A6.若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x +5=0的距离小1,则点P 的轨迹方程是( )A.y 2=-16xB.y 2=-32xC.y 2=16xD.y 2=16x 或y=0(x <0)解析:∵点F (4,0)在直线x +5=0的右侧,且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x +5=0的距离小1,∴点P 到F (4,0)的距离与到直线x +4=0的距离相等,故点P 的轨迹为抛物线,且顶点在原点,开口向右,p =8,故P 点的轨迹方程为y 2=16x .答案:C。
人教版【高中数学】选修2-1第二章抛物线-抛物线的几何性质讲义
③抛物线的开口大小：在抛物线 中，对于同一个 值， 越大， 也越大，也就是说抛物线的开口也越大。
④给出各种标准形式的抛物线方程，能熟练说出开口方向、燕点坐标、准线方程、对称轴；反过来，要能根据抛物线的几何性质，求出抛物线的方程。看到抛物线的标准方程，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向。
题型2 抛物线的焦点弦问题
【例2】 如图，过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 、 两点， 点在 轴上方，求 。
解析设直线 的方程，由直线方程和抛物线方程可得到 ， 两点的坐标，然后再根据坐标的意义和平面几何中相似三角形的知识就很容易求出 。
答案 直线 的倾斜角为 ，且过焦点 ，
∴可设直线 。
【例4】 已知定点 ，试在抛物线 上求一点，使得 最小。
解析在抛物线上任取一点 ，然后利用两点间的距离公式表示出 ，这样可得到 关于 的函数，然后对这个函数进行探讨。
答案设抛物线 上任一点为 ，则有 ，
。
(1)当 时， 使 最小，则
；
(2)当 时， 使 最小，则 。
规律总结在含有参数时，要注意对参数不同取值进行讨论。
析，一般需确定 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论。
【变式训练1】已知抛物线 的一个内接三角形的一顶点在原点 ，三
条高线都通过抛物线的焦点，求这个三角形的外接圆的方程。
答案由题意，三条高都通过抛物线的焦点，则此三角形为以原点为顶点的等腰三角形，如图。设 ，则 。
，
，
又 。
。
设 的中点为 ，则 点坐标为 ， 的中垂线方程为： ，当 时， 外接圆圆心坐标为 ，由正弦定理： ， 外接圆方程： 。
高中选修数学知识点
高中选修数学知识点由于您没有给出具体的高中选修数学的板块内容（例如选修1 - 1、选修2 - 2等），以下为人教版高中数学选修2 - 1知识点整理：一、常用逻辑用语。
1. 命题及其关系。
- 命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。
- 四种命题：原命题“若p，则q”；逆命题“若q，则p”；否命题“若¬p，则¬q”；逆否命题“若¬q，则¬p”。
原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。
2. 充分条件与必要条件。
- 充分条件：如果p⇒q，则p是q的充分条件。
- 必要条件：如果q⇒p，则p是q的必要条件。
- 充要条件：如果p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件，记作p⇔q。
3. 简单的逻辑联结词。
- “且”：命题p∧q，当p、q都为真时，p∧q为真，否则为假。
- “或”：命题p∨q，当p、q至少有一个为真时，p∨q为真，当p、q都为假时，p∨q为假。
- “非”：命题¬p，p为真时，¬p为假；p为假时，¬p为真。
4. 全称量词与存在量词。
- 全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示。
含有全称量词的命题叫做全称命题，例如∀x∈M,p(x)。
- 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示。
含有存在量词的命题叫做特称命题，例如∃x∈M,p(x)。
- 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
二、圆锥曲线与方程。
1. 椭圆。
- 定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
- 标准方程：- 当焦点在x轴上时，frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，其中c^2=a^2-b^2，焦点坐标为(± c,0)。
- 当焦点在y轴上时，frac{y^2}{a^2}+frac{x^2}{b^2}=1(a > b>0)，焦点坐标为(0,± c)。
高中数学必修二 选修2-1 知识点归纳
必修二 知识点归纳： 第一章 空间几何体1. 棱柱 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。
（正棱柱: 底面为正多边形的直棱柱。
）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。
（平行六面体：底面为平行四边形的斜棱柱。
） 棱锥 正棱锥：底面为正多边形，顶点在底面的投影为底面的中心的棱锥。
斜棱锥：以上条件之一不满足的棱锥。
棱台 正棱台：由平行于底面的平面截正棱锥得到的棱台。
斜棱台：由平行于底面的平面截斜棱锥得到的棱台。
四面体：三棱锥正四面体：六条棱均相等的三棱锥。
空间四边形ABCD ：三棱锥，其中有四条边：AB 、BC 、CD 、DA ；两条对角线：AC 、BD 。
2. 三视图（会识别，会画图）3. 斜二测画法画直观图：见《名师面对面》P10：3题；P12：6、7题4. S 圆柱侧=2πrl S 圆柱表=2πrl+2πr 2S 圆锥侧=πrl S 圆锥表=πrl+πr 2S 圆台侧=π(r +r ′)l S 圆台表=π(r +r ′)l +πr 2+πr′2 其中r 为底面半径，l 为母线长 5. V 柱体=Sh V 锥体=13Sh V 台体=13(S+√SS′+S’)h 其中S ，S’为底面积，h 为高 6. S 球表=4πR 2 V 球=43πR 37. 球内接正方体棱长a 与球半径R 关系：2R=√3a 注意：将《名师面对面》P12-21重做一遍。
第二章：点、直线、平面之间的位置关系１．平面的概念，画法，与点的属于关系，与直线的包含关系。
２．三个公理：（１）如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（２）不共线三点确定一个平面。
推论：①一条直线与直线外一点确定一个平面。
②两条平行直线确定一个平面。
③两条相交直线确定一个平面。
（３）如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
注意：将《名师面对面》P22-24重做一遍。
３．空间两直线的位置关系：＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿。
最新人教版高中数学选修2-1第一章《命题》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学1.命题的概念（1）一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.①并非所有的语句都是命题，命题首先为一陈述句,并且一般由条件和结论两部分组成.条件是已知项,结论是由已知项推出的项，是对客观存在事物的肯定或否定的思维形式.②用语言、符号、式子表达的含义是：可以用文字语言叙述或数学符号表达或数学关系式如（方程、不等式、函数关系式）等.构成命题的两个要素：一是陈述句，其它的语句如疑问句、感叹句、祈使句均不行；二是必须可以判断真假，两者缺一不可.联想发散在数学和其他科学技术中，还有一类陈述句经常出现，如“每一个不小于6的偶数都是两个奇数的和”（歌德巴赫猜想），“在2020年前，将有人登上火星”等，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假，人们把这一类猜想仍算为命题.（2）判断为真的语句叫做真命题.判断为假的语句叫做假命题.要点提示判断为真或假的语句是指陈述句，真或假是指该句正确还是错误.2.命题的条件和结论在数学中,“若p则q”是命题的常见形式,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.所有命题都可表示为“若p则q”的形式.“若p则q”的形式的命题也可以写成“如果p，那么q”，“只要p，就有q”等形式.如命题“对顶角相等”，“直角都相等”这两个命题都采用简略式，完整表达式为：（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）如果有一些角是直角，那么这些角都相等.方法点拨①在把命题改写成“若p则q”的形式时，应分清命题的条件和结论分别是什么，然后将条件写在前，结论写在后即可.注意命题形式的改变并不改变命题的真假，只是表述形式上的变化.②在改写时一定要分清命题的条件和结论，产生错误的原因一般是分不清条件和结论.若在命题中含有大前提，大前提应单独给出，不能把大前提放在命题的条件内.问题·探究问题1 如何判断一个语句是否为命题呢？若是命题，如何判断其真假呢？探究:判断一个语句是否是命题的关键是看它是否符合命题的两个基本要素，即是否符合是“陈述句”和“可以判断真假”，只有同时满足这两个条件的才是命题.一个语句如果是命题，那么它要么是真命题，要么是假命题，但不能同时既真又假，也不能模棱两可无法判断其真假.把一个命题改写成“若p则q”的形式后，判断真假的方法是：①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p则q”是真；要确定“若p则q”为假，则只需举一个反例说明即可;②如果将含有大前提的命题改写成“若p则q”的形式，大前提要保持不变，仍作为大前提，不能写在条件p中.问题2 从集合的角度看命题的真假与集合间有什么关系？探究:从集和的角度看，建立集合A、B与命题之间的特殊联系：设集合A=｛x|p（x）成立｝，B=｛x|q（x）成立｝.就是说，A是全体能使条件p成立的对象x所构成的集合，B是全体能使条件q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p则q”为真（意思就是“使p成立的对象也使q成立”），当且仅当A⊆B时满足.命题“若p则q”为假（意思就是“使p成立的对象不能使q成立”）当且仅当A⊄B时满足.典题·热题例1 下列语句中是命题的是__________________，是真命题的是___________________. （1）末位是0的整数能被5整除；（2）平行四边形的对角线相等且互相平分；（3）两直线平行则斜率相等；（4）△ABC中,若∠A=∠B,则sinA=sinB；（5）余弦函数是周期函数吗？思路分析：（1）如10，20，30，100等都是5的倍数可判断为正确；（2）是陈述句，但其陈述的不正确，平行四边形的对角线不一定相等；（3）是陈述句，但其陈述的不正确，平行直线也有不存在斜率的，就谈不上相等了；（4）是用表达式表示的语句，根据三角函数的性质可证是正确的；（5）是个疑问句，不能判断对错.答案：（1），（2），（3），（4）（1），（4）方法归纳判断是否是命题一要是陈述句，可以用符号、表达式、语言表示；二要能判断真假.例 2 设A、B为两个集合,下列四个命题:①A B⇔对任意x∈A,有x∈B；②A B⇔A∩B=∅；③A B⇔A B；④A B⇔存在x∈A,使得x∉B.其中真命题的序号是____________________.（把符合要求的命题的序号都填上）思路分析：依据A⊆B的定义.①A B存在x∈A,有x∉B;②A B，A，B可以有部分相同元素;③A B有可能A⊇B;④同①的分析，正确.答案：④例3 已知a、b为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,且a⊥α,b⊥β,则下列命题中的假命题是（）A.若a∥b,则α∥βB.若α⊥β,则a⊥bC.若a、b相交,则α、β相交D.若α、β相交,则a、b相交思路分析：如右图,因为α、β为两个不同的平面,所以若α∩β=c,但平面α、β不会重合.因为a⊥α,b⊥β,所以a与b不一定相交而是异面直线.故“α、β相交,则a、b相交”是假命题.答案：D例4 指出下列命题的条件p和结论q:（1）若空间四边形为正四面体,则顶点在底面上的射影为底面的中心；（2）若两条直线a和b都和直线c平行,则直线a和直线b平行.思路分析：“若p则q”是命题的常见形式，其中p是条件，q是结论.解：（1）条件p:空间四边形为正四面体.结论q:顶点在底面上的射影为底面的中心.（2）条件p:两直线a和b都和直线c平行.结论q:直线a和b平行.例5 将下列命题改写成“若p则q”的形式,并判断真假:（1）偶数能被2整除；（2）奇函数的图象关于原点对称；（3）同弧所对的圆周角不相等.思路分析：此题较简单，找出条件，结论即可.解：（1）若一个数是偶数,则它能被2整除.真命题.（2）若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称.真命题.（3）若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等.假命题.深化升华要从简略句中准确地找出条件和结论，就是要补充完整这个句子.。
高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案
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∣→∣ ∣ ∣ →
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④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数是（ ）
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→ →
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中，必有 AC = A 1 C1 ；
−→ −
− − −→
A．4 B．3 C．2 D．1 解：C． 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相 等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要 考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ， 但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2
高中数学选修2-1、2-2知识点小结
高中数学选修2-1、2-2知识点小结高中数学选修2-1、2-2知识点小结一、函数的概念和性质1. 函数的定义：函数是一个集合，它与另一个集合之间建立了一种特殊的对应关系，其中每一个输入元素对应唯一的输出元素。
2. 函数的性质：a. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
b. 奇偶性：函数的奇偶性取决于其对称性，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。
c. 单调性：函数单调递增或单调递减等取决于导数的符号。
d. 周期性：函数的周期是指输入变量在一个范围内发生改变，输出值也以某种规律重复出现。
e. 增减性：函数增减性是指函数的导数的正负性质，导数大于0时函数增加，导数小于0时函数减少。
二、函数的基本类型1. 幂函数：y = x^a，其中a为常数，a>0时为增函数，a<0时为减函数。
2. 指数函数：y = a^x，其中a为常数，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数。
3. 对数函数：y = loga(x)，其中a为对数底，a>0且a≠1，a>1时为增函数，0<a<1时为减函数。
4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
三、函数的图像与性质1. 函数的图像：通过计算函数的各个点的坐标，可以绘制出函数的图像。
2. 函数的对称性：可以通过判断函数的定义域和图像是否关于某条直线对称来确定函数的对称性。
3. 函数的周期性：可以通过计算函数在一个周期内的取值来确定函数的周期。
4. 函数的最值：可以通过计算函数的导数来确定函数的最值点。
四、函数的运算1. 函数的四则运算：可以通过加减乘除四则运算来得到新的函数。
2. 函数的复合：可以将多个函数合并成一个新函数，合并后的函数相当于依次将原函数的输出作为下一个函数的输入。
五、函数的导数1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h，表示函数的变化速率。
人教版高中数学选修21知识点小结
选修2-1知识点选修2-1第一章 常用逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”：p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4、若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、p 是q 的充要条件：p q ⇔p 是q 的充分不必要条件：q p ⇒，p q ≠> p 是q 的必要不充分条件：p q q p ⇒≠>,p 是q 的既不充分不必要条件：,q p ≠>p q ≠>8、逻辑联结词：（1）用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．全真则真，有假则假。
（2）用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．全假则假，有真则真。
（2）对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．真假性相反 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题．第二章 圆锥曲线与方程1、椭圆定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程 ()222210x y a b a b+=>> ()222210y x a b a b+=>> 范围 a x a -≤≤且b y b -≤≤b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．4、双曲线的几何性质：焦点的位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上 图形标准方程 ()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率()2211c b e e a a==+>渐近线方程 b y x a =±a y x b=± 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．6、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．7、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 8、焦半径公式：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02pF x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02pF x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02pF y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02pF y P =-+．9、抛物线的几何性质：标准方程22y px = ()0p > 22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-()0p >图形顶点()0,0对称轴 x 轴y 轴焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭准线方程 2px =-2p x =2p y =-2p y =离心率 1e =范围0x ≥ 0x ≤0y ≥ 0y ≤解题注意点：1、“回归定义” 是一种重要的解题策略。
人教版高中数学选修(2-1)-3.2知识拓展：带你走进法向量
带你走进法向量一、法向量概念理解如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量．特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的；（2）一个平面的所有法向量一定是平行向量；（3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=；（4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的．二、法向量求解步骤若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤：（1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ；（3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组00=⎧⎨=⎩n a n b ；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）．三、用法向量可以解决的问题1．直线与平面成角直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ==||||l n l n ． 注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角．2．平面与平面成角设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12<n ,n >就是所求二面角的平面角或其补角的大小．且有12cos <n ,n >=1212|n n |n ||n ．注意：通过平面的法向量求二面角时，若二面角的两个面的法向量1n 、2n 方向相反时，则二面角的大小等于22<>n ,n ，若两个面的法向量1n 、2n 方向相同时，则二面角大小为22π-<>n ,n ．3．求点面距离点面距离的具体求解步骤是：（1）求出该平面的一个法向量；（2）求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；（3）求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．其中设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是''A B ，则有|''|||A B AB =e ，是求点到线，点到面的距离问题重要公式．四、法向量的具体应用例1如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=，PM ∥BC ，12PM BC ==，，又1AC =，120ACB AB PC ∠=，⊥，直线AM 与直线PC所成的角为60．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）求二面角M AC B --余弦值的大小．解：（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=∴PC ABC ⊥平面，又∵PC PAC ⊂平面∴平面PAC ⊥平面ABC ． （2）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -由题意有1,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，设()()000,0,0P z z >，则()()000310,1,,,,,0,0,2M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭， 由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得cos60AM CP AM CP =⋅⋅︒，即200z z =，解得01z =。
人教版高中数学选修(2-1)-1.1知识归纳：命题的四种否定形式
命题的四种否定形式一﹑对不含有基本逻辑联结词的命题的否定不含有基本逻辑联结词的命题的否定要同时对时量词(全称量词或特称量词)与判断词同时否定，例如命题“对任意实数x，都有x2＋4＞0”的否定是“存在一个实数x，使得x2＋4≤0”；命题“至少有一个锐角α，使cosα＝0”的否定是“对所有的锐角α，都有cosα≠0”．作命题否定时，不能把省略量词的全称命题的全称量词忽略了，例如命题“自然数的平方大于零”的否定不是“自然数的平方不大于零”，而是“存在一个自然数的平方不大于零”，因为此命题忽略了全称量词“所有的自然数”．二﹑对非命题⌝p的否定“⌝p”是对命题“p”的否定，命题“⌝p”与命题“p”的真假正好相反．对“⌝p”的否定，就是对命题“p”的否定之否定，因此，命题“p”与命题“⌝(⌝p)”具有相同的真值，逻辑学上称为逻辑等价或等价命题．故“p”可作为“⌝p”的否定（有特殊要求的除外）．例如命题“2不是有理数”的否定是“2是有理数”，命题“不是每个人都会上网”的否定是“并非不是每个人都会上网”即“每个人都会上网”．三﹑对命题p∧q的否定用联结词“且（∧）”联结两个命题p、q构成的新命题“p∧q”．当且仅当p、q皆真时为真．命题(p∧q)的否定可根据“⌝(p∧q)＝(⌝p)∨(⌝q)”来写，例如命题“2是质数且是偶数”的否定为“2不是质数或不是偶数”；命题“某小学至少有一个同学既不会打篮球又不会踢足球”的否定为“某小学所有的同学或者会打篮球或者会踢足球”，即“某小学没有一个同学既不会打篮球又不会踢足球”．四、对命题（p∨q）的否定用联结词“或（∨）”联结两个命题p、q，构成的新命题“p∨q”，当且仅当p、q皆假时p∨q为假．命题（p∨q）的否定可根据“⌝(p∨q)＝(⌝p)∧(⌝q)”来写，例如，命题“323是2的倍数或是3的倍数”的否定为“323不是2的倍数且不是3的倍数”；命题“全班同学都是优秀学生或共青团员”的否定是“全班同学中至少有一个同学不是优秀学生且不是共青团员”．。
人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_抛物线的方程与性质_基础
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人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习抛物线的方程与性质【学习目标】1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。
要点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-。
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原命题逆命题否命题逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
假
假选修2-1知识点
选修2-1
第1章常用逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若，则”：称为命题的条件，称为命题的结论.
3、若原命题为“若，则”，则它的逆命题为“若，则”.
4、若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.
5、若原命题为“若，则”，则它的逆否命题为“若，则”.
6、四种命题的真假性：
四种命
题的真
假性之
间的关
系：
两个命
题互为
逆否命
题，它
们有相
同的真
假性；
两个命
题为互
逆命题
或互否
命题，
它们的
真假性
没有关
系．7、是的充要条件：
是的充分不必要条件：，
是的必要不充分条件：
是的既不充分不必要条件：
8、 逻辑联结词：
（1）用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．全真则真，有假则假。
（2）用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．全假则假，有真则真。
（2）对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作．真假性相反
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对中任意一个，有成立”，记作“，”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，
用“”表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在中的一个，使成立”，记作“，”．
10、全称命题：，，它的否定：，．全称命题的否定是特称命题．
第二章圆锥曲线与方程
1、椭圆定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长
长轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴、
原点对称
离心率
3、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
4、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长
实轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于轴、轴
对称，关于
原点中心对
称
离心率
渐近线方程
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
6、平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．
7、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即．
8、焦半径公式：
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则；
若点在抛物线上，焦点为，则．
9、抛物线的几何性质：
标准方程
图形
顶点
对称轴
轴
轴
焦点
准线方程
离心率
范围
解题注意点：
1、“回归定义” 是一种重要的解题策略。
如：
（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。
2、直线与圆锥曲线的位置关系
（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.
应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)
常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；
②点差法
（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：）
（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）
①直线具有斜率，两个交点坐标分别为
②直线斜率不存在,则.
（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（）
注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.
3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）
（4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建—设—现（限）—代—化）、代入法（利用动点与已知轨迹上动点之间的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交轨法等。
例1.已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是（答：C）；
A． B． C． D．
例2已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程（答：）
例3 已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若由焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆分方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M,N，当|AM|=|AN|时，求m的取值范围。
（答：）
例4过点A（2，1）的直线与双曲线相交于两点P1、P2，求线段P1P2中点的轨迹方程。