高等数学课件D11_习题课
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经典高等数学课件D11-7斯托克斯公式
19
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.
A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz
4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y
3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.
A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz
4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y
3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .
高数同济六版课件D11总复习
f(x,y)ds bf(x,(x)) 12(x)dx
L
a
• 对光滑曲线弧 L :r r ()( ),
L f (x, y)ds f(r()c o,rs ()sin ) r2()r2()d
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（二）、 对坐标的曲线积分
总复习
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
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一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 第二类
( (
对弧长 对坐标
) )
转化
定积分
用参数方程
(1) 选择积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
2、性质: P d y d z Q d z d x R d x d y P d y d z Q d zd x R d x d y
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3、计算法
定理: 设光滑曲面 :z z (x ,y ),(x ,y ) D x y
R(x,y,z)是 上的连续函数, 则
Q [(t),(t), (t)](t)
R [( t),( t), ( t)] (t)dt
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4、两类曲线积分的联系
LPdxQdy L P c o Q sc od s
PdxQdy R d zP c o Q s c o R s co d s s
Q(x,y,z)dzdxD zxQ(x,y(z,x),z)dzdx
(右正左负)
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4、两类曲面积分的联系
高数第11章 线性代数PPT课件
• 本章重点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法 2.利用克莱姆法则解线性方程 3.矩阵各种运算，矩阵的初等变换 4.矩阵秩的求法，用初等变换求逆矩阵的方法
5.高斯消元法解线性方程组 6. 层次分析法
• 本章难点：
1. 利用行列式的性质计算n阶行列式的方法
2.用矩阵的初等变换求矩阵的秩，逆矩阵
1111213215321213132111163631316??????????????按第一行展开1612106?????21111226121111111111112111126120211211226120261200313100212????????????1111200011111111111112102110211224261200310031????????????11111111211123001212031031???????按第一行展开211111134131124??????????按第二行展开例例2用行列式的性质计算下列行列式
3.高斯消元法解线性方程组
4.层次分析法
第一节 二、三阶行列式的概念与计算方法
1.引理：
对于二元线性方程组
aa2111xx11
a12x2 a22x2
b1 b2
解得
x1
x
2
b1a 22 b2 a12 a11a22 a12a21 b2 a11 b1a 21 a11a22 a12a21
河北机电职业技术学院
线 性代数课件
整体概述
概述一
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相关文本内容
概述二
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相关文本内容
概述三
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相关文本内容
2
第十一章 线性代数
高等数学 第十一章 电子课件
第一节
概率论
一、随机事件
（一）随机事件的概念
引例1 如果问“苹果从树上脱落，会往地上落吗？”，答案是“会”． 引例2 如果问“掷一枚骰子，能否出现7点？”，答案是“不能”． 引例3 抛掷一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上， 且事先无法确定抛掷的结果是什么． 引例4 在400 m短跑比赛前，运动员需通过抽签决定自己所在的跑道，且每 次抽签前都无法预测自己会在哪条跑道．
（二）概率的古典定义
在某些情况下，随机试验具有以下特征． 有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． 等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． 具有以上两个特点的概率模型是大量存在的，这种概率 模型称为古典概率模型，简称古典概型，也称等可能概型．
（二）概率的古典定义
定义 3 对于古典概型，设试验含有 n 个基本事件，若事件 A 包含 m 个基本事件，则事件 A
第十一章
概率统计基础
导学
概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的重要工具，其应用已 遍及自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等各领域，因 此掌握一定的概率统计知识十分必要．
本章主要介绍随机事件及其概率，随机变量及其分布，随机变量的期 望与方差，数理统计的基础知识，参数估计，假设检验及回归分析．
随机试验的一切可能结果所组成的集合称为样本空间，记作 ．随机试验的每
一个可能结果称为样本点，样本空间就是全体样本点的集合．
（一）随机事件的概念
定义1 随机试验的每一种可能的结果称为随机事件，简称事件．它通常用大写 英文字母A, B, C… 表示．
随机事件可分为基本事件和复合事件． 基本事件：在随机试验中，不可再分解的事件． 复合事件：在随机试验中，由若干个基本事件组合而成的事件．
经典高等数学课件D11-6高斯公式
P Q R 0 x y z
P , Q, R在 所围区域内偏导，不连续(因在原点不连续)
添加曲面1：x 2 y2 z 2 a 2取外侧
13
添加曲面1：x y z a 取外侧
2 2 2 2
则I （
1
)
1
xd yd z yd zd x zd xd y ( x2 y2 z2 )
3 2
，
1 0 3 a
1 3 a
x d y d z y d z d x z d x d y，
1
3d v
3
是1所围区域
z o x x
z
n
yy
1 4 a 3 3 4 a 3
o
1
14
1.分面投影法 I Pdydz Qdzdx Rdxdy的计算方法 2.合一投影法 3.高斯公式法
I ( x 3 z x )d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y.
解: 补充曲面 1 : z 1, 下侧
z
2
1
( x , y ) D x y : x 2 y 2 1，则
I
1 1
1
用柱坐标
则 xdydz 2 ydzdx 3( z 1)dxdy
.
2006研
2.计算 2 x 3dydz 2 y 3dzdx 3( z 2 1)dxdy，
其中是z 1 x y（z 0）的上侧.
2 2
2004研
11
z 2 x 2 y 2 , 1 z 2 取上侧, 求 练习：设 为曲面
P , Q, R在 所围区域内偏导，不连续(因在原点不连续)
添加曲面1：x 2 y2 z 2 a 2取外侧
13
添加曲面1：x y z a 取外侧
2 2 2 2
则I （
1
)
1
xd yd z yd zd x zd xd y ( x2 y2 z2 )
3 2
，
1 0 3 a
1 3 a
x d y d z y d z d x z d x d y，
1
3d v
3
是1所围区域
z o x x
z
n
yy
1 4 a 3 3 4 a 3
o
1
14
1.分面投影法 I Pdydz Qdzdx Rdxdy的计算方法 2.合一投影法 3.高斯公式法
I ( x 3 z x )d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y.
解: 补充曲面 1 : z 1, 下侧
z
2
1
( x , y ) D x y : x 2 y 2 1，则
I
1 1
1
用柱坐标
则 xdydz 2 ydzdx 3( z 1)dxdy
.
2006研
2.计算 2 x 3dydz 2 y 3dzdx 3( z 2 1)dxdy，
其中是z 1 x y（z 0）的上侧.
2 2
2004研
11
z 2 x 2 y 2 , 1 z 2 取上侧, 求 练习：设 为曲面
高等数学课件--D11_习题课
y O
r
t
ax
d s x2 y2 d t
2013-8-9 同济版高等数学课件
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P244 3(3). 计算
其中L为摆线
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
提示:
原式 a
2
0 t sin t d t
2π 0
2π
a t cos t sin t
D
上页
O
y
结束
x
下页 返回
2 I (4 x 2 y 3z )dS 3
y
2 ( x y 6) dxd y
D
O
1 D
1x
12 dxd y
D
24
D 的形心
x y0
2013-8-9
同济版高等数学课件
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二、曲面积分的计算法
2 2 2
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2
结束
同济版高等数学课件
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例8. 计算曲面积分
中 是球面 x 2 y 2 z 2 2 x 2 z .
解:
I
( x 2 y 2 z 2 ) 2x y 2 y z dS
(2 x 2 z ) d S 2 ( x z ) y dS
(2) 确定积分上下限
练习题: P244
2013-8-9
题 3 (1), (3), (6)
同济版高等数学课件
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解答提示: P244 3 (1)
计算 提示: 利用极坐标 , 其中L为圆周
ds
原式 =
高等数学教学课件：w-11-习题课
(或
lim n
n
an
)
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
高等数学
§11 习题课
(2)幂级数的运算
a.代数运算性质
b.和函数的分析运算性质
幂级数 an xn 的和函数s( x) 在收敛区间 n0
( R, R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
幂级数 an xn 的和函数s( x)在收敛区间 n0
( R, R)内可导, 并可逐项求导和求积.
高等数学
§11 习题课
6、幂级数展开式
(1) 直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
( x)cos nxdx, ( x)sin nxdx,
(n 0,1,2,) (n 1,2,)
高等数学
§11 习题课
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x) 是以2 为周期的周期函数.如果它满足 条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级 数收敛,并且
(1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2) 当x 是 f ( x)的间断点时,
收敛于
f (x
0)
f (x
0)
;
2
(3) 当 x为端点 x 时,收敛于 f ( 0) f ( 0) .
2
高等数学第11章D11_7斯托克斯公式
cos
1 , 2 2 1 f x f y
cos
fy 1
O x
,
Dx y
y C
f x2 f y2
cos fy cos
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此
P P cos cos d S P d x y z cos P P cos cos d S z y P P dzdx d xd y z y
(0, 0, ), r ( x, y, z )
点 M 的线速度为
l
M
i j k v r 0 0 x y z
rot v
x
( y, x, 0)
O x
r
y
i
y x 0
y
j
z
k
(0, 0, 2 ) 2
(此即“旋度”一词的来源)
通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕 注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
同理
2
Q R P yR (3) 在G内存在某一函数 R使 d u P d x Q d证毕 d z u, z y (4) 在G内处处有P y ,
Q x Q , x z
zR ,
y
R x
P z
定理2
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例3. 验证曲线积分 ( y z ) d x ( z x) d y ( x y ) d z 与路径无关, 并求函数
同济大学《高等数学》第六版：D11_习题课PPT共35页
同济大学《高等数学》第六版：D11_ 习题课
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
高数同济六版课件D11总复习
制定任务清单
将需要掌握的知识点细化成具体的任务，每天按照任务清单进行复习， 确保每个任务都能得到落实。
有效利用时间，提高复习效率
集中注意力
在复习过程中，要尽量避免分散注意力，保持专注，提高复习效 率。
采用科学的学习方法
针对不同的知识点，采用不同的学习方法，如归纳总结、对比分析、 练习巩固等，以提高学习效果。
积分计算错误
积分计算中常见的错误包括积分公式选择不当、 积分上下限处理不当等。
概念理解不清导致错误剖析
函数概念理解不清
如对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等概念理解不透彻， 导致在解题过程中出现错误。
极限概念理解不清
如对极限的定义、性质等理解不透彻，导致在求极限时出现错误。
积分概念理解不清
如对定积分、不定积分的概念、性质等理解不透彻，导致在积分计 算中出现错误。
反思与总结
针对自我评价中发现的问题，进行深入的反思和总结，制定相应的学习计划和 复习策略，以便更好地备战考试。
06 备考建议与时间规划
制定合理的备考计划
确定复习目标
明确自己在高数同济六版课件D11中的薄弱环节，以及需要重点掌 握的知识点。
制定时间表
根据自己的时间安排，合理分配每个知识点的复习时间，确保有充 足的时间进行总复习。
解，形成完整的知识体系。
提高综合运用能力
02
能够综合运用所学知识解决问题，提高解题的准确性和速度。
为考试做好准备
03
针对考试要求和题型，进行有针对性的复习和准备，提高应试
能力。
掌握基本要求
准确理解概念
注重计算方法和技巧
对高数中的概念要准确理解，避免似 是而非、一知半解的情况。
掌握常见的计算方法和技巧，提高计 算效率和准确性。
将需要掌握的知识点细化成具体的任务，每天按照任务清单进行复习， 确保每个任务都能得到落实。
有效利用时间，提高复习效率
集中注意力
在复习过程中，要尽量避免分散注意力，保持专注，提高复习效 率。
采用科学的学习方法
针对不同的知识点，采用不同的学习方法，如归纳总结、对比分析、 练习巩固等，以提高学习效果。
积分计算错误
积分计算中常见的错误包括积分公式选择不当、 积分上下限处理不当等。
概念理解不清导致错误剖析
函数概念理解不清
如对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等概念理解不透彻， 导致在解题过程中出现错误。
极限概念理解不清
如对极限的定义、性质等理解不透彻，导致在求极限时出现错误。
积分概念理解不清
如对定积分、不定积分的概念、性质等理解不透彻，导致在积分计 算中出现错误。
反思与总结
针对自我评价中发现的问题，进行深入的反思和总结，制定相应的学习计划和 复习策略，以便更好地备战考试。
06 备考建议与时间规划
制定合理的备考计划
确定复习目标
明确自己在高数同济六版课件D11中的薄弱环节，以及需要重点掌 握的知识点。
制定时间表
根据自己的时间安排，合理分配每个知识点的复习时间，确保有充 足的时间进行总复习。
解，形成完整的知识体系。
提高综合运用能力
02
能够综合运用所学知识解决问题，提高解题的准确性和速度。
为考试做好准备
03
针对考试要求和题型，进行有针对性的复习和准备，提高应试
能力。
掌握基本要求
准确理解概念
注重计算方法和技巧
对高数中的概念要准确理解，避免似 是而非、一知半解的情况。
掌握常见的计算方法和技巧，提高计 算效率和准确性。
《高等数学A习题课》课件
在线习题库与练习册
提供在线习题库，包含大量高等数学A习题和练习册，供学生巩固和拓展知识。
网上学习资源
提供数学教学视频、讲解音频、参考资料等网上学习资源，方便学生灵活学习，提升自主学 习能力。
课程评估
1 考核
采用期中考试、期末考试和日常作业等综合评估方式，全面考察学生对高等数学A习题的 理解与应用能力。
教学内容 (续)
第四章：定积分
• 不定积分 • 定积分的概念 • 定积分的性质 • 应用：曲线长度、定
积分的几何应用
第五章：微分方程
• 常微分方程 • 一阶线性微分方程 • 高阶线性微分方程 • 混合类型的微分方程
其他章节
• 微分中值定理 • 积分中值定理 • 无穷级数 • 多重积分
课堂互动
1
知识巩固练习
采用启发式教学方法，鼓励学生主动参与， 培养自主学习能力。学生需要具备扎实的数 学基础和良好的逻辑思维能力。
教学内容
第一章：基本概念 和基本性质
• 集合 • 映射 • 函数 • 数列
第二章：函数、极 限和连续性
• 数列极限 • 函数极限 • 连续性 • 洛必达法则
第三章：导数与微 分
• 导数的概念 • 求导法则 • 应用：最优化问题 • 微分与近似
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探索高等数学A习题，培养数学思维能力，提高解题技巧。全面介绍高等数学 基本概念，函数与极限，导数与微分，定积分等知识点。让数学习题更加有 趣、容易理解等数学A习题，培养学生分析问题、 解决问题的能力，并提高数学思维方法的灵 活运用。
教学方法和学习要求
通过解答高等数学A习题，巩固课堂知识，增加对数学概念和运算方法的理解与 掌握。
2
案例分析与解答
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第四章：定积分
• 不定积分 • 定积分的概念 • 定积分的性质 • 应用：曲线长度、定
积分的几何应用
第五章：微分方程
• 常微分方程 • 一阶线性微分方程 • 高阶线性微分方程 • 混合类型的微分方程
其他章节
• 微分中值定理 • 积分中值定理 • 无穷级数 • 多重积分
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知识巩固练习
采用启发式教学方法，鼓励学生主动参与， 培养自主学习能力。学生需要具备扎实的数 学基础和良好的逻辑思维能力。
教学内容
第一章：基本概念 和基本性质
• 集合 • 映射 • 函数 • 数列
第二章：函数、极 限和连续性
• 数列极限 • 函数极限 • 连续性 • 洛必达法则
第三章：导数与微 分
• 导数的概念 • 求导法则 • 应用：最优化问题 • 微分与近似
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2
案例分析与解答
高等数学2019.11.19-习题课 16页PPT文档
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二、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题
3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等.
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提示: 根据 f(x)的连续性及导函数
的正负作 f (x) 的示意图.
x1 o x2 x
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(2) 设函数 f(x)在( , )上可导，y
f (x)的图形如图所示, 则函数 f (x) 的图 形在区间 (x 1 ,0 )(,x2, )上是凹弧;
在区间 (,x 1 )(,0 ,x 2)上是凸弧 ;
令t1 x
tl i0m arctatat2narcb ttan
lin m 2 (aa r c at ra c a) n t( a a 0 n )
n
n n 1
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谢谢！
x [l1 n x ) ( lx n ]
f( x ) ( 1 1 )x [l1 n x )( lx n 1]
x
1 x
令 F(t)lnt,在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 得
l1 n x ) ( lx n 1 1 (0 x x 1 ) 1 x
f (x) x1 o x2 x
拐点为
( x 1 ,f ( x 1 ) ,( x ) 2 ,f ( x 2 ) ,( 0 ) ,f ( 0 ). ) f (x)
提示: 根据 f(x)的可导 f(性 x) 及x1 o x 2 x
二、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题
3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等.
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提示: 根据 f(x)的连续性及导函数
的正负作 f (x) 的示意图.
x1 o x2 x
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(2) 设函数 f(x)在( , )上可导，y
f (x)的图形如图所示, 则函数 f (x) 的图 形在区间 (x 1 ,0 )(,x2, )上是凹弧;
在区间 (,x 1 )(,0 ,x 2)上是凸弧 ;
令t1 x
tl i0m arctatat2narcb ttan
lin m 2 (aa r c at ra c a) n t( a a 0 n )
n
n n 1
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x [l1 n x ) ( lx n ]
f( x ) ( 1 1 )x [l1 n x )( lx n 1]
x
1 x
令 F(t)lnt,在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 得
l1 n x ) ( lx n 1 1 (0 x x 1 ) 1 x
f (x) x1 o x2 x
拐点为
( x 1 ,f ( x 1 ) ,( x ) 2 ,f ( x 2 ) ,( 0 ) ,f ( 0 ). ) f (x)
提示: 根据 f(x)的可导 f(性 x) 及x1 o x 2 x
高数上D11映射与函数课件
函数的单调性
如果对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则称函数在区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，有f(x1)>f(x2) ，则称函数在区间内单调递减。单调性是函数的一个重要性质，它可以帮助我们判断函数的趋势和变化 规律。
函数的表示方法
解析表示法
通过数学表达式来表示函数，如f(x)=x^2+2x+1。解析表示法能够 精确地描述函数的对应关系，但有时难以理解和操作。
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和 的极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中 值定理等性质。
定积分的几何意义
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积，即曲线 下方的面积。
微积分基本定理
微积分基本定理的内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则定积分∫(上限b，下限
函数极限的精确定义
对于任意小的正数$epsilon$，存在 一个正数$delta$，当自变量满足$0 < |x - x_0| < delta$时，函数值的差 的绝对值小于$epsilon$，即$|f(x) L| < epsilon$。
函数极限的性质
唯一性
若函数在某点的极限存在，则该极限值是唯 一的。
表格表示法
通过表格的形式来表示函数，将输入值和对应的输出值列出。表格 表示法直观易懂，但难以表示复杂的函数关系。
图象表示法
通过绘制函数图象来表示函数。图象表示法直观地展示了函数的形态 和变化规律，但有时难以精确描述复杂的函数关系。
03
函数的极限与连续性
函数极限的定义
函数极限的描述性定义
如果对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则称函数在区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，有f(x1)>f(x2) ，则称函数在区间内单调递减。单调性是函数的一个重要性质，它可以帮助我们判断函数的趋势和变化 规律。
函数的表示方法
解析表示法
通过数学表达式来表示函数，如f(x)=x^2+2x+1。解析表示法能够 精确地描述函数的对应关系，但有时难以理解和操作。
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和 的极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中 值定理等性质。
定积分的几何意义
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积，即曲线 下方的面积。
微积分基本定理
微积分基本定理的内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则定积分∫(上限b，下限
函数极限的精确定义
对于任意小的正数$epsilon$，存在 一个正数$delta$，当自变量满足$0 < |x - x_0| < delta$时，函数值的差 的绝对值小于$epsilon$，即$|f(x) L| < epsilon$。
函数极限的性质
唯一性
若函数在某点的极限存在，则该极限值是唯 一的。
表格表示法
通过表格的形式来表示函数，将输入值和对应的输出值列出。表格 表示法直观易懂，但难以表示复杂的函数关系。
图象表示法
通过绘制函数图象来表示函数。图象表示法直观地展示了函数的形态 和变化规律，但有时难以精确描述复杂的函数关系。
03
函数的极限与连续性
函数极限的定义
函数极限的描述性定义
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0
2012-9-27 高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法2 利用斯托克斯公式 设三角形区域为 , 方向向上, 则
1 3 x 1 3 y 1 3 z
z
B
o
A
dS
n C
y
x
: x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
y
1 3
返回
结束
练习5 设在右半平面 x > 0 内, 力 构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场
中场力所作的功与所取的路径无关。
提示: F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为
令 P 易证
kx
3
, Q
ky
3
所以结论成立。
2012-9-27 高等数学课件
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利用对称性
0
2012-9-27
高等数学课件
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例7. 设L 是平面
与柱面
的交线,
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 为平面
上 L 所围部分的上侧,
z
L
dS
2
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
I
1 3
x
1 3
D
2
a a ( a ) 3 3
3 2
2
(2) I 2 ( x y y ) d x ( y x) d y L
2
2
2
( x y ) d x ( y x)d y y d x
2 2 2 L L
L : x a cos t , y a sin t , t : 0
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 对面积 ) 第二类( 对坐标 )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2) 积分元素投影
第一类: 始终非负 第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
2012-9-27 高等数学课件
y
1 3
z
y z
2012-9-27
2
2
2z x
2
2
3x y
2
2
(4 x 2 y 3z )dS 3
高等数学课件
公式 目录
D
o x
y
上页
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返回
结束
I
2
(4 x 2 y 3z )dS 3
z
L
2 ( x y 6) dxd y
ห้องสมุดไป่ตู้习题课
第十一章
线面积分的计算
一、曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
2012-9-27
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) 用参数方程 转化 定积分
(1) 统一积分变量
用直角坐标方程
用极坐标方程 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终
(常向量)
则
cos( n , a ) d S n a dS
0
cos cos cos cos cos cos d S
cos dzdx cos dxd y
cos d ydz
0
注意公式使用条件 添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
2012-9-27
高等数学课件
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练习7 计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中 为半球面
的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用 高斯公式有 原式 =
高等数学课件
2
2
……
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练习2 计算
y
其中L为摆线
M
t
a x
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
o
提示:
原式
2 2 a 0
t sin t d t
a
2012-9-27
2
2 t cos t sin t 0
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(2) 利用积分与路径无关的等价条件;
(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
2012-9-27
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例1. 计算
其中 为曲线
z
y
解: 利用轮换对称性 , 有
o
2
x d s y d s z d s
L AB
AB
2 yd x
L
y L
x a (1 cos t ) L: t :0 y a sin t
D
o A
a
B
2
x
D
0d x d y
2a 0
0d x 2a
高等数学课件
2
0
sin t d t a
2
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2012-9-27
2 2
x
(的重心在原点)
利用重心公式知
I 2
3
(x y z ) ds
2 2 2
2012-9-27
4 3
a
3
高等数学课件
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例2. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周. 解法1 令 P x 2 y, Q y 2 x, 则 这说明积分与路径无关, 故
多少 ?
(2) 在
T 3
z
1.25R
的时间内 , 卫星监视的地球
o x
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表面积是多少 ?
解: 如图建立坐标系.
cos
2012-9-27
R
y
4 5
,
arccos 0.8
(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为
2 5 R
2
1
z
1
第二项添加辅助面, 再用高斯公式
计算, 得
I 1 ( 2
3
o 2
x
)
I
y
3
2
2012-9-27
x d y d z y d z d x zdx d y (x y z )
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2
2
2
3 2
高等数学课件
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例6. 计算曲面积分
2 2
z c
2 2
1时, 应如何
计算 ?
内侧, 然后用高斯公式 .
2012-9-27
提示: 在椭球面内作辅助小球面 x 2 y 2 z 2 2 取
高等数学课件
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例5. 设 是曲面
取上侧, 计算 I
3 2
( z 0) ,
x d y d z y d z d x zdx d y (x y z )
z
x
( 3) d S
3 2
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练习7
z
n
解
则
o
y
x
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即
z
n
o
y
x
x y
3 2
D xy
x y 1 2
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I
AB
a
y
2
( x y ) d x ( y x)dy
x dx
2
2
C
L B
o
a
A x
解法2 求出全微分
2012-9-27
高等数学课件
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解法3 添加辅助线段 BA , 它与L所围区域为D, 则
I
L BA
( x y ) d x ( y x) d y ( x y ) d x ( y x) d y
中 是球面 x 2 y 2 z 2 2 x 2 z .
解:
I
( x 2 y 2 z 2 ) 2x y 2 y z dS
( 2 x 2 z ) d S 2 ( x z ) ydS
用重心公式
2( x z ) d S
2012-9-27
I 2 ( x y y ) d x ( y x) d y
2
2
2
L
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返回
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方法2 利用斯托克斯公式 设三角形区域为 , 方向向上, 则
1 3 x 1 3 y 1 3 z
z
B
o
A
dS
n C
y
x
: x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
y
1 3
返回
结束
练习5 设在右半平面 x > 0 内, 力 构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场
中场力所作的功与所取的路径无关。
提示: F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为
令 P 易证
kx
3
, Q
ky
3
所以结论成立。
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利用对称性
0
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例7. 设L 是平面
与柱面
的交线,
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 为平面
上 L 所围部分的上侧,
z
L
dS
2
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
I
1 3
x
1 3
D
2
a a ( a ) 3 3
3 2
2
(2) I 2 ( x y y ) d x ( y x) d y L
2
2
2
( x y ) d x ( y x)d y y d x
2 2 2 L L
L : x a cos t , y a sin t , t : 0
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 对面积 ) 第二类( 对坐标 )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2) 积分元素投影
第一类: 始终非负 第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
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y
1 3
z
y z
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2
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2z x
2
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3x y
2
2
(4 x 2 y 3z )dS 3
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D
o x
y
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I
2
(4 x 2 y 3z )dS 3
z
L
2 ( x y 6) dxd y
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第十一章
线面积分的计算
一、曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
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一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) 用参数方程 转化 定积分
(1) 统一积分变量
用直角坐标方程
用极坐标方程 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终
(常向量)
则
cos( n , a ) d S n a dS
0
cos cos cos cos cos cos d S
cos dzdx cos dxd y
cos d ydz
0
注意公式使用条件 添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
2012-9-27
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练习7 计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中 为半球面
的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用 高斯公式有 原式 =
高等数学课件
2
2
……
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练习2 计算
y
其中L为摆线
M
t
a x
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.
o
提示:
原式
2 2 a 0
t sin t d t
a
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2
2 t cos t sin t 0
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(2) 利用积分与路径无关的等价条件;
(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
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例1. 计算
其中 为曲线
z
y
解: 利用轮换对称性 , 有
o
2
x d s y d s z d s
L AB
AB
2 yd x
L
y L
x a (1 cos t ) L: t :0 y a sin t
D
o A
a
B
2
x
D
0d x d y
2a 0
0d x 2a
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2
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sin t d t a
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2 2
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(的重心在原点)
利用重心公式知
I 2
3
(x y z ) ds
2 2 2
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4 3
a
3
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例2. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周. 解法1 令 P x 2 y, Q y 2 x, 则 这说明积分与路径无关, 故
多少 ?
(2) 在
T 3
z
1.25R
的时间内 , 卫星监视的地球
o x
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表面积是多少 ?
解: 如图建立坐标系.
cos
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R
y
4 5
,
arccos 0.8
(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为
2 5 R
2
1
z
1
第二项添加辅助面, 再用高斯公式
计算, 得
I 1 ( 2
3
o 2
x
)
I
y
3
2
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x d y d z y d z d x zdx d y (x y z )
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例6. 计算曲面积分
2 2
z c
2 2
1时, 应如何
计算 ?
内侧, 然后用高斯公式 .
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提示: 在椭球面内作辅助小球面 x 2 y 2 z 2 2 取
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取上侧, 计算 I
3 2
( z 0) ,
x d y d z y d z d x zdx d y (x y z )
z
x
( 3) d S
3 2
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z
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解
则
o
y
x
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即
z
n
o
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x
x y
3 2
D xy
x y 1 2
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y
2
( x y ) d x ( y x)dy
x dx
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A x
解法2 求出全微分
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解法3 添加辅助线段 BA , 它与L所围区域为D, 则
I
L BA
( x y ) d x ( y x) d y ( x y ) d x ( y x) d y
中 是球面 x 2 y 2 z 2 2 x 2 z .
解:
I
( x 2 y 2 z 2 ) 2x y 2 y z dS
( 2 x 2 z ) d S 2 ( x z ) ydS
用重心公式
2( x z ) d S
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I 2 ( x y y ) d x ( y x) d y
2
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