2016年湖北省重点高中联考协作体高三(下)期中数学试卷含解析答案(理科)

2015-2016学年湖北省重点高中联考协作体高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．104．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．67.7万元C．65.5万元D．72.0万元5．（5分）为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A． B． C． D．7．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．408．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．4 C．6 D．411．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．14．（5分）函数f（x）=log 2•log（2x）的最小值为．15．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）16．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）已知=（sinx，sin（x﹣）），=（sinx，cos（x+）），f（x）=•．（1）求f（x）的解析式及周期；（2）求f（x）在x∈[﹣，]上的值域．18．（12分）双“十一”结束之后，某网站针对购物情况进行了调查，参与调查的人主要集中在[20，50]岁之间，若规定：购物600（含600元）以下者，称为“理智购物”，购物超过600元者被网友形象的称为“剁手党”，得到如下统计表：若参与调查的“理智购物”总人数为7720人．（1）求a的值；（2）从年龄在[20，35）的“剁手党”中按照年龄区间分层抽样的方法抽取20人；①从这20人中随机抽取2人，求这2人恰好属于同一年龄区间的概率；②从这20人中随机抽取2人，用ζ表示年龄在[20，25）之间的人数，求ξ的分布列及期望值．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．20．（12分）如图已知椭圆C：+y2=1，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0）．设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求•的最小值；（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：丨OR丨•丨OS丨为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）．（1）a=时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）存在两个不同的极值x1，x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求f（x）在（0，a]上的最小值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。

做答时请写清题号。

[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线，（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若f（x）﹣2f（）≤k恒成立，求k的取值范围．2015-2016学年湖北省重点高中联考协作体高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选：C．2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．4．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．67.7万元C．65.5万元D．72.0万元【解答】解：由表中数据得：=3.5，==42，又回归方程=x+中的为9.4，故=42﹣9.4×3.5=9.1，∴=9.4x+9.1．将x=6代入回归直线方程，得y=9.4×6+9.1=65.5（万元）．∴此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5（万元）．故选：C．5．（5分）为得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得y=sin2（x+）=sin（2x+）=cos（2x+）的图象，故选：A．6．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A． B． C． D．【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选：A．7．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【解答】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x﹣）5故其常数项为﹣22×C53+23C52=40．故选：D．8．（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．4 C．6 D．4【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴BC=CD==2．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：C．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意可得，f（x 0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]14．（5分）函数f（x）=log 2•log（2x）的最小值为．【解答】解：∵f（x）=log 2•log（2x）∴f（x）=log（）•log（2x）=log x•log（2x）=log x（log x+log2）=log x（log x+2）=，∴当log x+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是．故答案为：﹣15．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有36种．（用数字作答）【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种．16．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵•=1，•=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）已知=（sinx，sin（x﹣）），=（sinx，cos（x+）），f（x）=•．（1）求f（x）的解析式及周期；（2）求f（x）在x∈[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin2x+sin（x﹣）cos（x+）=sin2x﹣sin2（x）=﹣=[cos（2x﹣）﹣cos2x]=（sin2x﹣cos2x）=sin（2x﹣）．∴f（x）的周期T==π．（2）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值=﹣．当2x﹣=时，f（x）取得最大值=．∴f（x）在x∈[﹣，]上的值域是[﹣，]．18．（12分）双“十一”结束之后，某网站针对购物情况进行了调查，参与调查的人主要集中在[20，50]岁之间，若规定：购物600（含600元）以下者，称为“理智购物”，购物超过600元者被网友形象的称为“剁手党”，得到如下统计表：若参与调查的“理智购物”总人数为7720人．（1）求a的值；（2）从年龄在[20，35）的“剁手党”中按照年龄区间分层抽样的方法抽取20人；①从这20人中随机抽取2人，求这2人恰好属于同一年龄区间的概率；②从这20人中随机抽取2人，用ζ表示年龄在[20，25）之间的人数，求ξ的分布列及期望值．【解答】解：（1）由“理智购物”者总人数为7720人，可得：1000+1800×+1200+a×+300×+200×=7720，解得a=880．…（4分）（2）①年龄在[20，35）的“剁手党”共有1000+1800+1200=4000人，则年龄在区间[20，25）的应该抽取5人，年龄在区间[25，30）的应该抽取9人，年龄在区间[30，35）的应该抽取6人．…（6分）从这20人中随机抽取2人，这2人属于同一年龄区间的概率为：P==．…（8分）②由题意可知ξ的取值可能为0，1，2．P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，故ξ的分布列为：E（ξ）==．…（12分）19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA ∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…（2分）可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．（4分）∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）（8分）设平面PCD的一个法向量为=（x 0，y0，z0），，由，，得到，令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）（10分）∴cos＜，（11分）由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．（12分）20．（12分）如图已知椭圆C：+y2=1，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0）．设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求•的最小值；（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：丨OR丨•丨OS丨为定值．【解答】（1）解：依题意，得a=2，b=1，c==，T（﹣2，0）．点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，∴=1﹣，（*）=（x1+2，y1），=（x1+2，﹣y1），∴•=（x1+2）2﹣==﹣，由于﹣2＜x1＜2，故当时，•取得最小值为﹣．（2）证明：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：y﹣y0=（x﹣x0），令y=0，得x R=，同理：x S=，故x R•x S=，（**）又点M与点P在椭圆上，故，=4，代入（**）式，得：x R•x S===4．∴丨OR丨•丨OS丨=|x R•x S|=4为定值．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）．（1）a=时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）存在两个不同的极值x1，x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求f（x）在（0，a]上的最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x（lnx﹣ax），∴f′（x）=lnx﹣2ax+1，…（1分）当a=时，f′（1）=0，且f（1）=﹣，∴过点（1，f（1））的切线方程为y=﹣．…4 分（2）令g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+1，则，当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）与X轴只有一个交点即f（x）只有一个极值点，不合题意．…（5分）当a＞0时，x∈（0，）时，g′（x）＞0，g（x）在（0，）上递增，x∈（）时，g′（x）＜0，g（x）在（）上递减，只需g（）=ln＞0，即0＜a＜时，f（x）有两个极值点故0＜a＜．…（8分）（3）由（2）知0＜a＜时，f（x）有两个极值点x1，x2，f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减，又f′（1）=1﹣2a＞0，则0＜x1＜1，且lnx1﹣2ax1+1=0，解得a=，此时a﹣x 1=，…（10分）令h（x）=lnx+1﹣2x2，（0＜x＜1），，从而h（x）在（0，）上递增，（，1）上递减，故h（x）≤h（）=ln，所以a＜x1，又f（x）在（0，x1）上递减，从而f（x）的最小值为f（a）=a（lna﹣a2）．…（12分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。