讲古代故事与解中考数学题

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2022年河北中考数学试卷分析

2022年河北中考数学试卷分析2022年河北中考再次落下帷幕，今年的中考数学试卷再次延续了“稳中求新，关注数学本质”的特点，又以“新颖灵活，别具一格”在全国各地中考试题中独树一帜。

第一部分、试卷整体评价知识考查全面，重基础层分明试题几乎涵盖了初中数学所有知识点，其中数与代数、图形与几何、统计与概率所占比例约为5:4:1，与教学所占课时分配大致相当，试题难度较2021年更均衡更平滑，比2020年难度略高，试题注重四基，强化基础，选择题前8道，填空题前2道，解答题前3道难度均不大，考查基础而全面。

同时，各题组均按照梯度进行设置，基础题每题设置一个或两个知识点，中档题设置每题两个左右知识点，综合题每题设置两个以上知识点，层层递进，起到了良好的区分度。

贴近生活情景，有传承有创新试题的命题方式减少了学生的陌生情景，消除了学生的阅读障碍和审题障碍，增加了题目解决方式的多样性。

凡是涉及的生活情景都是学生熟悉见过的，确保学生不因生活情景陌生而影响审题。

同时，减少题目文字量，避免与数学无关的内容影响学生，增加阅读负担。

试卷整体体现“稳中求新”的风格，题目设置背景与近两年试题均有联系，又有创新，试题很多方面都在渗透2022版数学新课程标准下的知识及能力素养的考查，比如：课标中增加了理解角平分线的概念，尺规作图过直线外一点做这条直线的平行线，理解中位数、众数的意义等，这些内容在试题中均有所体现。

第二部分、试卷试题解读选填试题分析2022年的数学总分仍是120分，选择题仍是16道，1-10每题3分，11-16每题2分与2021年保持一致，填空题变化较大，由2021年的12分降低到2022年的9分，第17题一空3分，第18题第一空2分，第二空1分，第19题三个空，每空1分，这样调整，目的是尽可能让学生应该得到的分能得到，能得够。

第7题考查立体图形的拼接，深层考查学生的空间想象，由于整体难度的考虑，此题所给图形比较简单，学生很容易根据个数确定1、4或2、3，再根据长方体的要求确定1、4。

2022年湖北省鄂州市中考数学试卷(解析版)

2022年湖北省鄂州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）1．（3分）（2022•鄂州）实数9的相反数等于（）A．﹣9B．+9C．D．﹣2．（3分）（2022•鄂州）下列计算正确的是（）A．b+b2＝b3B．b6÷b3＝b2C．（2b）3＝6b3D．3b﹣2b＝b 3．（3分）（2022•鄂州）孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）（2022•鄂州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（）A．B．C．D．5．（3分）（2022•鄂州）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA 长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°6．（3分）（2022•鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（）A．8B．6C．4D．27．（3分）（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b （k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（）A．x＞3B．x＜3C．x＜1D．x＞18．（3分）（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm10．（3分）（2022•鄂州）如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（）A．24B．24C．12D．12二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）11．（3分）（2022•鄂州）计算：＝．12．（3分）（2022•鄂州）为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是．13．（3分）（2022•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为．15．（3分）（2022•鄂州）如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝（k为大于零的常数，且x ＞0）交于点A，若OA＝，则k的值为．16．（3分）（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为．三、解答题（本大题共8小题，共计72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（2022•鄂州）先化简，再求值：﹣，其中a＝3．18．（8分）（2022•鄂州）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：（1）表中a＝，C等级对应的圆心角度数为；（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T1，T2，T3，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．等级成绩x/分人数A90≤x≤10015B80≤x＜90aC70≤x＜8018D x＜70719．（8分）（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF ＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求证：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．20．（8分）（2022•鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；（2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号）21．（8分）（2022•鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：（1）小明家离体育场的距离为km，小明跑步的平均速度为km/min；（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．22．（10分）（2022•鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tan A＝，求△OCD的面积．23．（10分）（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O 为FH的中点，FH＝2OF＝．例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l 于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．24．（12分）（2022•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．（1）请直接写出点B的坐标；（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当P A′⊥OB时，求此时点P的坐标；（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．2022年湖北省鄂州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）1．（3分）（2022•鄂州）实数9的相反数等于（）A．﹣9B．+9C．D．﹣【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：实数9的相反数是：﹣9．故选：A．【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．2．（3分）（2022•鄂州）下列计算正确的是（）A．b+b2＝b3B．b6÷b3＝b2C．（2b）3＝6b3D．3b﹣2b＝b【分析】按照整式幂的运算法则和合并同类项法则逐一计算进行即可得答案．【解答】解：∵b与b2不是同类项，∴选项A不符合题意；∵b6÷b3＝b3，∴选项B不符合题意；∵（2b）3＝8b3，∴选项C不符合题意；∵3b﹣2b＝b，∴选项D符合题意，故选：D．【点评】此题考查了整式幂与合并同类项的相关运算能力，关键是能准确理解并运用相关计算法则．3．（3分）（2022•鄂州）孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．（3分）（2022•鄂州）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据三视图的定义解答即可．【解答】解：该几何体的主视图为：一共有两列，左侧有三个正方形，右侧有一个正方形，所以A选项正确，故选：A．【点评】本题主要考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解答本题的关键．5．（3分）（2022•鄂州）如图，直线l1∥l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA 长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【分析】由题意可得AC＝BC，则∠CAB＝∠CBA，由∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，可得∠CAB＝∠CBA＝15°，再结合平行线的性质可得∠1＝∠CBA＝15°．【解答】解：由题意可得AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，∴∠CAB＝∠CBA＝15°，∵l1∥l2，∴∠1＝∠CBA＝15°．故选：B．【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行线的性质、三角形内角和定理，能根据题意得出BC＝AC是解答本题的关键．6．（3分）（2022•鄂州）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（）A．8B．6C．4D．2【分析】通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则22022与22的尾数相同，即可求解．【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，∴2的乘方的尾数每4个循环一次，∵2022÷4＝505…2，∴22022与22的尾数相同，故选：C．【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给式子，探索出尾数的规律是解题的关键．7．（3分）（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b （k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（）A．x＞3B．x＜3C．x＜1D．x＞1【分析】根据题意和函数图象，可以写出当kx+b＜x时，x的取值范围．【解答】解：由图象可得，当x＞3时，直线y＝x在一次函数y＝kx+b的上方，∴当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3，故选：A．【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（3分）（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm【分析】连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，由矩形的判断方法得出四边形ACDB是矩形，得出AB∥CD，AB＝CD＝16cm，由切线的性质得出OE⊥CD，得出OE⊥AB，得出四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），进而得出EF ＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，由勾股定理得出方程r2＝82+（r﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．【解答】解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD＝4cm，∴四边形ACDB是平行四边形，∴四边形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD，∴OE⊥AB，∴四边形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），∴EF＝BD＝4cm，设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，切线的性质，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键．10．（3分）（2022•鄂州）如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（）A．24B．24C．12D．12【分析】沿BC的方向将PQ和MN平移重合，即B和C点重合，点D平移至T，连接AT，即AB+CD最小，进一步求得结果．【解答】解：如图，作DL⊥PQ于L，过点A作PQ的垂线，过点D作PQ的平行线，它们交于点R，延长DF至T，使DT＝BC＝12，连接AT，AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，则当BC在B′C′时，AB+CD最小，最小值为AT的长，可得AK＝AE•sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6，∴AR＝2+6+4＝12，∵AD＝24，∴sin∠ADR＝＝，∴∠ADR＝30°，∵∠PFD9＝60°，∴∠ADT＝90°，∴AT＝＝＝12，故答案为：C．【点评】本题考查了平移性质和平移的运用，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，将B和C两地变为“一个点”．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）11．（3分）（2022•鄂州）计算：＝2．【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解．【解答】解：∵22＝4，∴＝2．故答案为：2【点评】此题主要考查了学生开平方的运算能力，比较简单．12．（3分）（2022•鄂州）为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是3．【分析】根据众数的概念求解即可．【解答】解：因为这组数据中3出现3次，次数最多，所以这组数据的众数是3，故答案为：3．【点评】本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．13．（3分）（2022•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为．【分析】由实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，知a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，据此可得a+b＝4，ab＝3，将其代入到原式＝即可得出答案．【解答】解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，则a+b＝4，ab＝3，则原式＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据方程的特点得出a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根及韦达定理．15．（3分）（2022•鄂州）如图，已知直线y＝2x与双曲线y＝（k为大于零的常数，且x ＞0）交于点A，若OA＝，则k的值为2．【分析】由点A在直线y＝2x上，且OA＝，可求得A点坐标为（1，2）把已知点的坐标代入解析式可得，k＝2．【解答】解：设A（x，y），∵点A在直线y＝2x上，且OA＝，∴A点坐标为（1，2），∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，∴2＝k，故答案为：2．【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数、反比例函数的图象与性质，是数形结合题．16．（3分）（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为．【分析】根据SAS证△ABD≌△BCE，得出∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，证△APB∽△BFE，根据比例关系设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，利用勾股定理列方程求解即可得出BP和AP的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案为：．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共计72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（2022•鄂州）先化简，再求值：﹣，其中a＝3．【分析】根据同分母分式加法的法则计算即可，然后将a的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：﹣＝＝＝a﹣1，当a＝3时，原式＝3﹣1＝2．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法的运算法则和因式分解的方法．18．（8分）（2022•鄂州）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：（1）表中a＝20，C等级对应的圆心角度数为108°；（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T1，T2，T3，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．等级成绩x/分人数A90≤x≤10015B80≤x＜90aC70≤x＜8018D x＜707【分析】（1）由A的人数除以所占比例得出抽取的学生人数，即可解决问题；（2）由全校参加此次竞赛共有的人数乘以成绩为A等级的学生所占比例即可；（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中恰好抽到T1，T2的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）抽取的学生人数为：15÷＝60（人），∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等级对应的圆心角度数为：360°×＝108°，故答案为：20，108°；（2）600×＝150（人），答：估计该校成绩为A等级的学生共有150人；（3）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中恰好抽到T1，T2的结果有2种，∴恰好抽到T1，T2的概率为＝．【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了统计表和扇形统计图．19．（8分）（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF ＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求证：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）由矩形的性质得OC＝OD，得∠ACD＝∠BDC，再证∠CDF＝∠DCF，即可得出结论；（2）证△CDF是等边三角形，得CD＝DF＝6，再证△OCD是等边三角形，得OC＝OD ＝6，则BD＝2OD＝12，然后由勾股定理得BC＝6，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，∴∠CDF＝∠DCF，∴DF＝CF；（2）解：由（1）可知，DF＝CF，∵∠CDF＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF＝6，∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴OC＝OD＝6，∴BD＝2OD＝12，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴BC＝＝＝6，∴S矩形ABCD＝BC•CD＝6×6＝36．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．20．（8分）（2022•鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；（2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号）【分析】（1）根据斜坡CF的坡比＝1：3，可得GC＝3DG＝90米，然后在Rt△DGC中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）过点D作DH⊥AB，垂足为H，则DG＝BH＝30米，DH＝BG，设BC＝x米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数定义求出AB的长，从而求出AH，DH的长，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵斜坡CF的坡比＝1：3，DG＝30米，∴＝，∴GC＝3DG＝90（米），在Rt△DGC中，DC＝＝＝30（米），∴两位市民甲、乙之间的距离CD为30米；（2）过点D作DH⊥AB，垂足为H，则DG＝BH＝30米，DH＝BG，设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC•tan45°＝x（米），∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣30）米，在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝60+30，经检验：x＝60+90是原方程的根，∴AB＝（60+90）米，∴此时飞机的高度AB为（60+90）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．（8分）（2022•鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：（1）小明家离体育场的距离为 2.5km，小明跑步的平均速度为km/min；（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．【分析】（1）根据图象可以直接看到小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为：路程÷时间；（2）是分段函数，利用待定系数法可求；（3）小明离家2km时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家2km，利用路程÷速度可得此时间，第二个时间利用BC段解析式可求得．【解答】解：（1）小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为＝km/min；故答案为：2.5，；（2）如图，B（30，2.5），C（45，1.5），设BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴BC的解析式为：y＝﹣x+4.5，∴当15≤x≤45时，y关于x的函数表达式为：y＝；（3）当y＝2时，﹣x+4.5＝2，∴x＝，2＝12，∴当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或min．【点评】本题考查了函数的图象，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键，注意他所用的时间单位是min．22．（10分）（2022•鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tan A＝，求△OCD的面积．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，进而得出∠OAC+∠OBC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，结合已知得出∠PCB+∠OCB＝90°，得出OC⊥PC，即可得出PC是⊙O的切线；（2）由tan A＝，得出＝，由△PCB∽△P AC，得出＝＝＝，进而求出PB＝2，P A＝8，OC＝3，由平行线分线段成比例定理得出，进而求出CD＝6，即可求出△OCD的面积．【解答】解：（1）PC是⊙O的切线，理由如下：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠OBC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠PCB＝∠OAC，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∴∠PCO＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线；（2）在Rt△ACB中，tan A＝，∵tan A＝，∴＝，∵∠PCB＝∠OAC，∠P＝∠P，∴△PCB∽△P AC，∴＝＝＝，∵PC＝4，∴PB＝2，P A＝8，∴AB＝P A﹣PB＝8﹣2＝6，∴OC＝OB＝OA＝3，∵BC∥OD，∴，即，∴CD＝6，∵OC⊥CD，∴＝×3×6＝9．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形面积的计算公式是解决问题的关键．23．（10分）（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O 为FH的中点，FH＝2OF＝．例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：（0，），y＝﹣．【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l 于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．【分析】（1）根据焦点的坐标公式和准线l的方程直接得出结论即可；（2）可求出点P的纵坐标，从而确定P点的横坐标；（3）作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，由BK∥FH∥AG得△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，从而，，进一步求得结果；（4）设点M（m，m2），根据＝2列出方程，求得m的值，进一步求得结果．【解答】解：（1）∵a＝2，∴＝，故答案为：（0，），y＝﹣；（2）∵a＝，∴﹣＝﹣4，∴准线为：y＝﹣4，∴点P的纵坐标为：2，∴＝2，∴x＝±4，∴P（4，2）或（﹣4，2）；（3）如图，作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，∴AG＝AF＝4，BK＝BF，FH＝，∵BK∥FH∥AG，∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，∴，，∴＝＝，，∴a＝；（4）设点M（m，m2），∵＝，∴＝2，∴＝2，∴m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴M（﹣2，1），∵E为线段HF的黄金分割点，∴EH＝＝﹣1或EH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，当EH＝﹣1时，S△HME＝＝＝﹣1，当EH＝3﹣时，S△HME＝3﹣，∴△HME的面积是﹣1或3﹣．【点评】本题考查了阅读运用新知识能力，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解决问题的关键是充分利用新知识的结论．24．（12分）（2022•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．（1）请直接写出点B的坐标；（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当P A′⊥OB时，求此时点P的坐标；（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可；（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．设PH＝OH＝x，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质求出PB即可；（3）如图2中，设P A′交OB于点T．利用相似三角形的性质求出ET，再求出PB，可得结论；（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．证明△AFP≌△KFG（SAS），推出∠P AF＝∠GKF＝90°，推出点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小．【解答】解：（1）如图1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，∴AB＝＝＝8，∴B（8，6）；（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．∵∠POH＝45°，∴PH＝OH，设PH＝OH＝x，∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°，∴△BHP∽△BAO，∴＝＝，∴＝＝，∴PH＝x，PB＝x，∴x+x＝10，∴x＝，∴PB＝×＝，∴P A＝AB＝PB＝8﹣＝，∴P（，6）；（3）如图2中，设P A′交OB于点T．∵∠OAB＝90°，OE＝EB，∴EA＝EO＝EB＝5，∴∠EAB＝∠B，由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′，∴∠A′＝∠B，∵A′P⊥OB，∴∠ETA′＝∠BAO＝90°，∴△A′TE∽△BAO，∴＝，∴＝，∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，∵cos B＝＝，∴＝，∴PB＝，∴AP＝AB＝PB＝8﹣＝，∴P（，6）；（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．∵∠AFK＝∠PFG＝60°，∴∠AFP＝∠KFG，∵F A＝FK，FP＝FG，∴△AFP≌△KFG（SAS），∴∠P AF＝∠GKF＝90°，∴点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小，∵KJ⊥OA，KQ⊥OR，∴∠KJO＝∠JOQ＝∠OQK＝90°，∴四边形JOQK是矩形，∴OJ＝KQ，JK＝OQ，∵KA＝KF，KJ⊥AF，∴AJ＝JF＝1，KJ＝，∴KQ＝OJ＝5，∵∠KRQ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∴QR＝KQ＝，∴OQ＝+＝，∴OW＝OR•sin60°＝4，∴OG的最小值为4，∵OF＝OW＝4，∠FOW＝60°，∴△FOW是等边三角形，∴FW＝4，即FG＝4，∴线段FP扫过的面积＝＝．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，。

专题42 中考数学史类试题解法(解析版)

专题42 中考数学史类试题解法初中阶段了解一些著名的中外数学家的事迹及其贡献，可以激发学生学习数学的积极性和主动性，通过学习数学家研究问题的思想，提升学生数学观念、科学思维、科学探究、科学态度等核心素养的是十分重要的举措。

1.秦九韶秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家.著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。

他在1247年著成《数书九章》十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。

在世界数学史上占有崇高的地位。

2.杨辉杨辉，字谦光，中国南宋（1127～1279）末年钱塘（今杭州市）人。

其生卒年月及生平事迹均无从详考。

据有关著述中的字句推测，杨辉大约于13世纪中叶至末叶生活在现今浙江杭州一带，曾当过地方官，到过苏州、台州等地。

是当时有名的数学家和数学教育家，他每到一处都会有人慕名前来请教数学问题。

杨辉一生编写的数学书很多，被称为《杨辉算法》。

杨辉继承中国古代数学传统，他广征博引数学典籍，引用了现已失传的宋代的许多算书，使我们才得知其部分内容。

其中，刘益的“正负开方术”，贾宪的“增乘开方法”与“开方作法本源”图（即误传为“杨辉三角”），就是极其宝贵的数学史料。

3.刘徽三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一。

他是魏晋时代山东邹平人。

终生未做官。

他在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。

《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。

在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。

他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。

在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则改进了线性方程组的解法。

中考数学复习考点知识专题讲解---借马分马”思想在数学解题中的妙用

中考数学复习考点知识专题讲解“借马分马”思想在数学解题中的妙用大家知道，古代有一个“借马分马”的故事，现在我们细细品味这个故事，能认识到借来的一匹马在分配问题中起到了关键作用，而在解数学问题时，我们也往往需要借助一个媒介量，进行铺路架桥，沟通已知与结论之间的关系，达到解题的目的．下面举例说明“借马分马”思想在数学解题中的妙用．一、借数例1 计算23201311112222+++．例2 若a ＝2011201120122012，b ＝2011201220122013，c ＝2011201320122014，则a 、b 、c 由小到大的排列顺序是_______．∴a<b<c ．例3 设A ＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(264＋1)，求A 的末位数字．分析已知式结构优美，整体和谐，变化有序，但计算困难，可谓美中不足，联想到平方差公式，借因数(2－1)，配对相乘，使之出现公式化的结构形式，获得优美的解法．解根据分析，易得A ＝(264)2－1＝1632－1．故A 的末位数字为5．2、借图例4 同例1．分析和解为了求23201311112222++++的值，我们可以设计如图1所示的几何图形（图形为从正方形中每次截取剩余面积的一半）．由图可知，截取2013次后剩余部分的面积为201312． ∴23201311112222++++＝1－201312．例5 在大连到烟台160千米的航线上，某轮船公司每天上午8点到下午16点每隔2小时有一只轮船从大连开往烟台，同时也有一只轮船从烟台开往大连，轮船在途中花费8小时，求：今天上午8点从大连开往烟台的轮船在航行途中（不包括大连和烟台）遇到几只从对面开来的本公司的轮船，在遇到第三只从对面开来的本公司轮船时的时间及离大连的距离．分析与解每天上午8点到下午16点往返大连与烟台的轮船往来状况可用如图2所示的图象形象地表示出来，OA 代表上午8点从大连开往烟台的轮船，BC 代表从烟台开往大连的第三只轮船．由图象可以看出，今天上午8点从大连开往烟台的轮船在航行途中（不包括大连和烟台）遇到4只从对面开来的本公司的轮船；A 点的坐标为(8，160)，B 点的坐标为(4，160)，C 点的坐标为(12，0)．由此可求直线OA 的解析式为），＝20x①，直线BC 的解析式为y ＝－20x ＋240②，由①、②两式组成方程组可求得OA 、BC 两直线的交点坐标为(6，120)，由此可得到上午8点从大连开往烟台的轮船在航行途中遇到第三只从对面开来的本公司轮船时的时间及离大连的距离分别为14点和120千米．3、借式例6 将x 4＋4分解因式．分析与解显然x 4＋4不是平方差的结构形式，要想把原式分解成两因式积的形式，必须配方（借式还式）．不妨去借4x 2这个式子来用一下，即x 4＋4＝x 4＋4x 2＋4－4x 2＝（x 2＋2）2－4x 2＝(x 2＋2x ＋2)（x 2－2x ＋2）．例7 化简248163212481632111111a a a a a a ++++-++++++．解由已知，得a ≠１．4、借体例8 如图3，一圆柱体形的物体，左边的高度为3厘米，右面的高为7厘米，底面圆的直径为8厘米，求此物体的体积．解我们不妨借同样的一个物体，组合成如图4所示的圆柱体，则此圆柱体的体积为V＝Sh＝3.14×42×10＝502.4．所以所求物体的体积为：502.4÷2＝251.2．5、借模型例9若()2222=++-+，当x为何值时，y的值最小，并求出3126y x x这个最小值．分析与解我们先来回顾一个数学模型：在直线l上找一点p，使点p到直线l的同侧两个定点A、B的距离之和最小的方法：由轴对称知识和“两点之间线段最短”，我们只要作出点A关于直线l的对称点A'，连结A'B，交直线l于p，则p即是所要求作的点（如图5）．构建如图6，设AC＝3，BD＝6，CD＝12，CP＝x，则DP＝12－x，且有AP＝223x+，BP＝()22-+126x即()2222=++-+y x x3126＝AP＋BP＝A'B．由△PCA'∽△PDB，得 x＝4时，y的最小值为15．注如果只求）y的最小值，我们可构造如图7所示的图形，由勾股定理，可求得A'B的值，即y的最小值．例10 当a>0，且b>a＋c时，求证：方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根．分析本题若用根的判别式来证明，比较繁琐，通过观察可以发现，条件b>a＋c，可变形为a＋b－c <0，其与方程ax2＋bx＋c＝0存在着何种关系呢？于是我们可联想到二次函数及其图象y＝ax2＋bx＋c，当x ＝－l时，y＝a＋b－c <0，问题简捷地得到解决．证明设y＝ax2＋bx＋c，当x＝－l时，y＝a＋b－c<0(b>a＋c)．又∵a>0，∴抛物线的开口向上，故y＝ax2＋bx＋c与x轴必定有两个交点（如图8），即原方程必定有两个不相等的实数根．。

2020年中考复习——代数类传统文化题专题训练(二)(有答案)

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2020 中考复习——代数类传统文化题专题训练（二）
班级：___________姓名：___________ 得分：___________
一、选择题
1. 我国古代数学巨著《孙子算经》中的“鸡兔同笼” 题为：“今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何”.正确答案是( )
− = 4.5
− = 4.5
− = 4.5
− = 4.5
A.
−
1 2
=1
B.
−
1 2
=1
C.
1 2
−
=1
D.
1 2
−
=1
2 / 13
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
10. 据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高．山去五十三里，木高九丈五尺，
人立木东三里，望木末适与山峰斜平．人目高七尺．问山高几何？”译文如下：如图，今有山 AB 位于树的西面．山高 AB 为未知数，山与树相距 53 里，树高 9 丈 5 尺人站在离树 3 里的地方，观察到树梢 C 恰好与山峰 A 处在同一斜线上，人眼离地 7 尺，则山 AB 的高为(保留到整数，1 丈= 10 尺)( )
22. 我国古代数学名著《算法统宗》中，有一道“以碗知僧”问题，题目大意是：
山上有一古寺叫都来寺．在这座寺庙里，3 个和尚合吃一碗饭，4 个和尚合分一碗汤，一共享了 364 只碗．问都来寺里有多少个和尚？请解答上述问题．
23. 《九章算术》中有这样一道题：今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，
A.
2+
=
1
−
1 2
+2

讲古代故事与解中考数学题.docx

§讲古代故事与解中考数学题一、“鲁班造锯”与类比联想“鲁班造锯”是同学们熟悉的一个古代故事，当“鲁班的手不慎被一片小草割破后，他仔细观察，发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，使他顿受启发和联想，终于发明了锯子，这种根据两类事物在某些方面的相同或相似之处，把一类事物迁移到另一类事物中去，认识新事物或做出新发现的思维方法叫类比联想法.例1(河北省中考题)山形操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为a,竖直方向的边长均为b),在图1中线段击A]A2向右平移1个单位到凡B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1,在图2中将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1O(1)在图3中，请你类似地画岀一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用料线画出阴影.(2)请你分别写出上述-:个图形屮除去阴影部分后剩余部分的面积，Si=_, s2=_, s3=(3)联想与探索:如图4,在一块矩形的草地上，有一条弯曲的水泥小路(小路任何地方的水平宽度都是一个单位)，请你猜想空白部分表示的草地面积是多少?并说明你的猜想是止确的.解析:(1)画图略.(2) Si=a-b-lXb=ab-b.将图2阴影部分从人A2B2处分割成口A1A2B2B1和A2A3B3B2.类比联想图1的求法，剩余部分的面积等于矩形面积减去两平行四边形面积的•即s2=ab-(l X hi+1 X h2)=ab-l X b=ab-b.同理可求出S3=ab 一b・(3)将图4与图3类比，猜想它的面积可能仍然是S4=ab-b.因弯曲小路不是规则图形，不能用分割成若干规则图形的方法求面积.但是，由于小路任何地方的水平宽度都是1个单位•所以可将“小路”沿着左右两个边界剪去，将右侧的草地向左平移一个单位，得到一个纵向宽是b,水平方向的长度是a・l的矩形草地•则草地的面积S4=(a-l)b=ab-b.解后语:初中数学中很多题目有形同、有质似，有特例、有推广……若我们运用类比联想的思考方法，不少貌似生疏，困难的题目都能转化为容易的题目•本题让学生在操作过程中通过类比联想，探究在变化中求定值，在运动中找规律•培养了学生的创新精神，提高了学生的创造能力，这也是《新课标》的一个重要特点.二、"割圆求周”与极限思想三国时期的数学家刘徽始创了用正多边形的周长去逼近圆的周长求出了圆周率"的值是3.14,这种“割圆术”实际上就是数学中的极限思想•即当人们观察到一系列近似解演变的趋势不断向一定值逼近时，凭直觉猜想这一定值就是所求的精确解•下而一例运用极限思想，可变无限为有限，使所求问题迎刃而解.例2(南通市中考题)数学课上，李老师讲了我国古代数学家刘徽在公元三世纪用“创圈术”求得二的近似位为3.14后，出了一道计1 1 1 12 4 8 16 •-A ・■ 亠“算题：“求1/2+1/4+1/8+1/6…的值” •王龙经过认真思考后，很快求出了结果，受到老师和同学们的赞扬，请你写出他的解答过程解析:由于和式有无限项，通分逐个相加，加到猴年马月才能得出结果啊!若我们仔细观察一下和式的特征，从第二项起，第一项都是它前一项的一半，类似于“割圆求周”的极限思想，用一条线段表示总量1,则二分之一条线段表示1/2,四分之一条线段表示1/4…，依次类推，构造出如图5所示的线段图，从图上我们可以直观的看到1/2+1/4+1/8+1/6・・・=1.解后语:这是一道求无穷递缩等比数列和的高中数学题，让考生运用已有的数学思想和方法去解决•考查了学生观察、迁移、猜想、探究能力，这类“高中知识卜'移”的试题已频频出现在各地的中考试卷中.三、“曹冲称象”与等价变换曹操要称大象的重量，聪明的曹冲想出用石头代替船上的大象，抓住船下沉到同一刻度时，船上所装象和石头等重这一关键，称出了大象的重量•曹冲称象的思维方法在数学中叫做等价变换法例3（河北省中考题）某工件形状如图6所示，圆弧BC的度数为60°, AB=6cm,点B到点C的距离等于AB, ZBAC二30°,则工件的面积等于_cn?解析:在图6中，弧BC的度数为60°, ZBAC二30°“易知A、B、C三点共圆，且圆心在弦BC的中垂线m上，又AB=BC,可知AC 不是直径，作AE// BC,交m于0点，则0为圆心，设BC交m于D点，连结OB、0C,根据等积变形的原则，将求工件的面积（图中阴影部分）等价变换为求扇形OBC的面积，因ZBOD=30°,所以OB二2BD=6cm.则匸件面积S=S 扇形OBC=霧J “ • 62=6^（01112）.解后语:对于非特殊位置、形状的图形，在求其面积时，可将其图形进行等价变换，变为易求面积的特殊图形，进而化难为易，另外数学中的配方法，待定系数法等都是这种等价变换思想的具体应用.四、“灌水取球”与巧设辅助相传文彦博小时候和伙伴们一起玩耍，小皮球不慎落人很深的树洞中，其它小孩纷纷用手去掏，而他不同凡响，想出灌水取球的妙法, 他在这里实际上用了一种辅助的方法:灌水•当数学问题中因缺少条件而难以解决时，可以巧妙地增设辅助量，使其在原条件的基础上作适当的补充或延伸，从而让原题获解•这就是解数学吋常用的辅助策略例4（东莞市中考A题）如图7,正方形ABCD的边长为1, 一直线与AB交于E,与AD交于F,已知AABE的面积为正方形ABCD面积的6/25,五边形EBCDF的周长为正方形ABCD周长的9/10,求ZXAEF的周长.解析:设AE=x, AF=y,在RtAAEF 中EF = J? *7•因所以*劈二备即矽寺⑴又卩“奶=币P正方macQ，所以（1・兀）・（1 *）+Jd斗才*1+1=丽＞＜4 "2）化简得2巧■手（**）+吉=0, （3）把⑴代人（3）得％+厂#・⑷., - 7 2把（4）代入（2）得y?v=i＞故△佃尸的周长ny+厶=y+1=2 5解后语:解数学题时，有时需要引人一些参数，其目的在于通过参数来铺路架桥，以便顺利完成解题任务•几何题中适当添加辅助线, 往往会使问题迎刃而解;代数题中，适当引人辅助元素（辅助量、辅助式、辅助函数、辅助方程、辅助图形）能起到化难为易的作用，因此这种设而不求的方法在解数学题时有着十分广泛的应用.五、“草船借箭”与逆向思维为了与曹操交战，诸葛亮立下军令状，三天内完成制造十万支狼牙箭的任务，在直接制造无法完成的情况下，他借助草船，轻而易举地得到对方曹操“送”来的十万支狼牙箭•请葛亮解决问题的思维方法是正向思考难以进展时，改换思考角度，去做与习惯性思考完全相反的探索，收到了意想不到的效果，这就是人们在思考问题中的逆向分析法.例5（宁波市中考题）解关于二的方程劣x3 -6X2+9X-2=0.解析:直接求解此方程难度很大，但是根据方程屮各项系数的特点, 逆向思考，改变方程的形式，将常数3看作未知数，把x看作已知数,则原方程可变形为以3为未知数的二次方程，即xX32—（2X2+1）X3+（ x3+l）=0则[3-(x+l)][3x- (X2-X +1)] =0MP(X-2)(X2-4X +1)=0 所以：x-2=0, X2-4X +1=0解这两个方程可得:x=2, x=2-d, x= 2■点解后语:有些数学题，若用正向思维求解时，往往会一条道走到黑，这时不仿把问题倒过来想想，往往会获得意外的成功•数学中的逆向运用公式、法则、规律、方法以及反证法等都是逆向思维的具体应用.六、“砸缸救人”与打破常规司马光砸缸救人是同学们熟悉的又一个古代故事，当一个小朋友掉进人水缸里，其它小朋友想到的是让“人离开水”，在无法把落水小孩救起吋便惊慌失措，而司马光不同凡响，想到的是让“水离开人”，在紧要关头把缸砸破，让水流出去，救活了小朋友，这就是一种打破常规，具有创新思维的方法.例6(杭州市屮考题)如图8,某人站在篮球架前4m处投篮，已知球离地Im,球篮M离地3m,若篮球必须从地面上一次弹起穿过球篮，作出此人应将篮球投在地面什么位!上(设篮球肴地后沿直线运动).解析:假设篮球着地点在E点，如图9,要使球投人篮屮，连接CE、AE,则Z1=Z2,又因AB丄MN, CD丄MN,所以△ ABE-ACED,因此BE:ED=AB:CD=3:1,即点E为BD ±离D较近的4等分点，根据平行线分线段成比例定理，通过4等分线段BD就可以确定出篮球落地点E.图9 图10以上解析完全正确，若我们打破常规把物理中的光学模型迁移到数学中来，作图过程简洁明快，把地面MN看成是一块平面镜，点A 和点C看成是位于平面镜前不同位置的两点，若要使C点发出的光线经平面镜反射后恰好经过A点，则正确的光路图同学们都会作・(1) 过C点作MN的垂线并延长到F,使DF=CD;⑵连接AF交MN于E 点，则人应将篮球投在地面上的E点，篮球就能从地面上一次弹起穿过球篮•如图10.解后语:打破常规，灵活运用物理知识解决数学问题，不仅可以沟通数理间的内在联系，还可以培养学生思维的灵活性，不过在应用跨学科知识解决数学问题时，问题的转化是难点，相关模型的建立是重点，具有准确的分析能力是关键•因此只要抓住关键，冲破难点，突出重点，就能不断提高自身解决数学问题的能力.。

田忌赛马中考数学题答案

题目如下：“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒。

该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1, B1, C1，田忌也有上中下三匹马A2, B2, C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2(注：A>B表示A马与B马比赛，A马获胜)。

一天，齐王找田忌赛马约定：每匹马都出场比赛一局, 共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利。

面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对降(C2A1, A2B1, B2C1)获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例：假设齐王事先不打探田忌“出马”的情况，试回答以下问题：(1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应该出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜概率；(2)如果田忌事先无法打探到齐王各局“出马”情况，他是否必败无疑？若是，说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率.分析：与其说这是一道考数学求概率的能力的题目，不如说是一道考阅读能力的语文题目。

这是福建中考的一道神题，如果你知道《田忌赛马》的故事，理解起来应该不难。

解：(1)田忌首局出“下马”才可能获得整场比赛的胜利。

如果田忌首局出“上马”，则齐王“中马”必胜；如果田忌首局出“中马”，则田忌“下马”必败；所以只能出“下马”，否则加上首局的失败，整场比赛就必输无疑了。

田忌获胜的概率为50%。

即：C2A1, A2B1, B2C1田忌胜；C2A1，A2C1，B2B1齐王胜。

(2)田忌未必失败。

田忌获胜必须同时满足C2A1，A2B1，B2C1，三个对阵条件，根据齐王出马的情况，田忌获胜的所有对阵情况如下：①C2A1, A2B1, B2C1；②C2A1, B2C1, A2B1；③A2B1, C2A1, B2C1；④A2B1, B2C1, C2A1 ；⑤B2C1, A2B1, C2A1；⑥B2C1, C2A1, A2B1.【共有六种获胜的对阵情况，接下来若要罗列所有的对阵情况，会相当麻烦，这时如果你对概率的求法有更多的了解，就可以比较简单的解决。

中考数学应用题

《中考数学应用题》同学们，今天咱们来聊聊中考数学里的应用题。

先讲个小故事。

有个同学叫小明，他平时数学成绩还不错，可一遇到应用题就头疼。

中考数学应用题啊，其实并不可怕。

比如说，经常会有那种关于购物的应用题。

像“小明去商店买文具，一支笔 5 元，一个本子 3 元，他买了 2 支笔和 3 个本子，一共花了多少钱？”这时候，咱们就可以一步步来算，2 支笔就是2×5 = 10 元，3 个本子就是3×3 = 9 元，一共就是10 + 9 = 19 元。

还有行程问题。

比如“甲车速度每小时60 千米，乙车速度每小时80 千米，两车同时从A 地出发去 B 地，乙车比甲车早到 2 小时，A、B 两地相距多远？”这就要设个未知数，假设A、B 两地相距x 千米，根据时间= 路程÷速度，甲车所用时间是x÷60，乙车所用时间是x÷80，因为乙车比甲车早到 2 小时，就可以列出方程x÷60 - x÷80 = 2，解出方程就能算出距离啦。

再比如工程问题。

“一项工程，甲单独做10 天完成，乙单独做15 天完成，两人合作几天完成？”咱们把这项工程看作单位1，甲每天完成1/10，乙每天完成1/15，两人合作每天完成1/10 + 1/15 = 1/6，所以合作完成需要1÷1/6 = 6 天。

做应用题的时候，一定要认真读题，把关键的信息找出来。

就像有一次，小红做题的时候粗心，把数字看错了，结果就做错了。

还要学会画图来帮助理解。

比如说，遇到行程问题，画个简单的线段图，就能更清楚地看出两车的位置和关系。

同学们，只要咱们多做练习，掌握方法，中考数学应用题就能轻松应对。

希望大家通过今天的介绍，对中考数学应用题不再害怕，加油！。

中考数学专题：胡不归问题解析

3
3
y 3 x 2 x 4 ，化简为： y 3 x2 2 3 x 8 3 ．另外为了突出问题，此处略去了
9
9
9
9
该题的第二小问．
点
M
运动的时间为
AF
y
1 2
DF
，即求
AF
1 2
DF
y
的最小值．
DF
H
D
M
F
AO C
B
x
AO C
B
x
接下来问题便是如何构造 DF ，考虑 BD 与 x 轴夹角为 30°，且 DF 方向不变，故过点 D 作 2
而这里的 PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到 kPB 的等线段．
【2019 长沙中考】如图，△ABC 中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则 CD 5 BD 的最小值是_______．
5
A
E D
B
C
【分析】本题关键在于处理 “ 5 BD ” ，考虑 tanA =2， △ABE 三边之比为 1: 2 : 5 ， 5
E D
B
C
则需自行构造α ，如下图，这一步正是解决“ 胡不归” 问题关键所在．
A
E D
H
E
D
B
C
α
5
sinα= B
C
5
【2019 南通中考】如图，平行四边形 ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC=2，P 为边 CD 上的一动点，则 PB 3 PD 的最小值等于________．
2
饮马模型解题即可．
P

初中数学中考专题-阅读理解、判断说理型专题训练及答案

阅读理解、判断说理型专题训练B总分120分，时间90分钟一、细心填一填（每题3分，共21分）1．（绵阳）我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数．这两者可以相互换算，如将二进制1101换算成十进制数应为1×23+1×22+0×21+ 1×20= 13，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为__________． 2．（内江市）对于正数x ，规定f （x ）=x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+，计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12x ）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （）+ f （）+ f （）= .3．（扬州）放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？” 小丽思考了一会儿说：“我来考考你．图⑴、图⑵分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？” 小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了千克．”图1 图24．（深圳）人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上１级台阶或２级台阶，小聪发现当台阶数分别为１级、２级、３级、４级、５级、６级、７级……逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为１、２、３、５、８、13、21、……这就是著名的斐波那契数列．那么小聪上这９级台阶共有________________种不同方法．5．（嘉兴）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为时间（）18工作量（kg ）时间（）7040工作量（kg ）偶数时，结果为kn2（其中k 是使kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是＿＿＿＿＿．6．（内江）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数。

中考数学几何最值模型第2讲胡不归问题

A
G
P
H
B
H
C
课堂练习
4.等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边
在X轴上，BC边的高OA在y轴上，一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到
达C点，已知电子虫在y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍。若电子虫走完全程
_x001A_0, −_x001A__x001B_3_x001B__x001B_
一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，
小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念
叨着“胡不归？胡不归？ …”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先
走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
故事介绍
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲
病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之
H
∵AE⊥CD于点G,∴∠AGC=90°
Q
∵O为AC中点, ∴OA=OC=OG=_x001A_1_x001B_2_x001B_AC
P
∴A,C, G三点共圆, 圆心为O,即点G在圆O上运动,
课堂练习
1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,且∠ABC=60°，点M为对角线BD（不含点B）上的
一动点，则AM+_x001A_1_x001B_2_x001B_的最小值为_______.
BN=_x001A_1_x001B_2_x001B_=1,=_x001A__x001B
_3_x001B_，CN=2−_x001A__x001B_3_x001B_,
∴BC=_x001A__x001B__x001A__x001B_2_x001B_+_x00
1A_C_x001B_2_x001B__x001B_=_x001A__x001B__x001

2020中考复习——代数类传统文化题专题训练(一)(有答案)

任务：请根据以上材料，证明以下结论： (1)任意一个三角形数乘 8 再加 1 是一个完全平方数； (2)连续两个三角形数的和是一个完全平方数．
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21. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人
各有若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 48 文；如果乙得到甲所
房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每间房住 7 人，那么有 7 人无房可住；如果每间住 9 人，那么就空出一间客房．设该店有客房 x 间、房客 y 人，列出关于 x、y 的二元一次方程组：________．
15. 方程术是《九章算术》最高的数学成就，《九章算术》中“盈不足”一章中记载：
趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”
译文：“2 人同吃一碗饭，3 人同吃一碗羹，4 人同吃一碗肉，共用 65 个碗，问有
多少客人？”设共有客人 x 人，可列方程为
18. 《算法统宗》中有如下问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折
测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？译文为：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多 5 尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多 1 尺．绳长、井深各是多少尺？
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19. 我国古代民间流传着这样一道数学题：“只闻隔壁客分银，不知人数不知银，四两
一分多四两，半斤一分不半斤，借问各位能算者，多少客人多少银？”其大意是：有客人在分银子，若每人分四两，则多出四两，若每人分半斤，则少半斤。问有多少客人？多少银子？(注：古代旧制：半斤= 8 两)试用列方程(组)解应用题的方法求出问题的解。

2024年四川省雅安市中考数学试题及答案

2024年四川省雅安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的．1．（3分）2024的相反数是（）A ．2024B ．2024-C ．12024D ．12024- 2．（3分）计算()013-的结果是（）A ．2-B ．0C ．1D ．43．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是（）A ．B ．C ．D ．4．（3分）下列运算正确的是（）A ．34a b ab +=B ．()325a a =C ．326a a a ⋅=D ．54a a a ÷= 5．（3分）如图，直线AB ，CD 交于点O ，OE AB ⊥于O ，若135∠=︒，则2∠的度数是（）A ．55°B ．45°C ．35°D ．30°6．（3分）不等式组32426x x x -≥⎧⎨<+⎩的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．7．（3分）在平面直角坐标系中，将点()1,1P -向右平移2个单位后，得到的点1P 关于x 轴的对称点坐标是（）A ．()1,1B ．()3,1C ．()3,1-D ．()1,1-8．（3分）如图，O e 的周长为8π，正六边形ABCDEF 内接于O e ．则OAB △的面积为（）A ．4B ．C ．6D ．9．（3分）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（）A ．众数是92B ．中位数是84.5C ．平均数是84D ．方差是13 10．（3分）已知()2110a b a b +=+≠．则a ab a b +=+（） A ．12B ．1C ．2D ．3 11．（3分）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD 的高度（如图），他们在A 处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B 处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（）A ．B ．25米C ．D ．50米12．（3分）已知一元二次方程20ax bx c ++=有两实根11x =-，23x =，且0abc >，则下列结论中正确的有（）①20a b +=；②抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为41,3c ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③0a <；④若()42m am b a b +<+，则01m <<．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上。

2022年九年级微专题之中考数学中的古典数学问题

微专题之中考数学中的古典数学问题一、方程问题1.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为2.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地．则此人第三天走的路程为（）A. 96里B. 48里C. 24里D. 12里3.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（）A. B.C. D.4.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。

问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题。

5.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（倍加增指从塔的顶层到底层）．请你算出塔的顶层有盏灯．6.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》采用问题集的形式，全书共收集了246个问题，分为九章，其中的第八章叫“方程”章，方程一词就源于这里．《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问有多少人，物品的价格是多少”？设有x人，可列方程为．二、数式类(规律性）问题1、右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为1a，第二个数记为2a，第三个数记为3a，……，第n个数记为n a，则4200+=_________．a a2、七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）3.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128 B．256 C．512 D．10244.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n 个数可以用[﹣]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．三、圆知识相关问题1.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是A. 12寸B. 24寸C. 13寸 D .26寸2. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且O 被水面截得的弦AB 长为6米，O 半径长为4米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是（）A. 1米B. ()47-米C. 2米D. ()47+米四、勾股定理问题1.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC 的长，如果设AC=x ，则可列方程为．2.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C．D．3．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）A．黄金分割B．垂径定理C．勾股定理D．正弦定理4.．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．5.《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺。

中考数学试卷古文题及答案

某城有居民甲、乙、丙、丁四人，甲家养鸡20只，乙家养鸡15只，丙家养鸡10只，丁家养鸡25只。

已知甲、乙、丙三家共卖出鸡20只，甲、乙、丙三家共收入100金，且甲家每只鸡卖5金，乙家每只鸡卖4金，丙家每只鸡卖3金。

问丁家每只鸡卖多少金？【答案】首先，设丁家每只鸡卖x金。

由题意得，甲、乙、丙三家共卖出鸡20只，甲家每只鸡卖5金，乙家每只鸡卖4金，丙家每只鸡卖3金，因此甲、乙、丙三家共收入100金，可以列出方程：20×5 + 20×4 + 20×3 = 100化简得：100 + 80 + 60 = 100进一步化简得：240 = 100由于方程不成立，我们需要重新审视题目。

根据题目中的信息，甲、乙、丙三家共卖出鸡20只，甲、乙、丙三家共收入100金，且甲家每只鸡卖5金，乙家每只鸡卖4金，丙家每只鸡卖3金。

这意味着乙、丙两家共卖出20只鸡，收入100金。

因此，我们可以得到以下方程：20×4 + 20×3 = 100化简得：80 + 60 = 100进一步化简得：140 = 100显然，这个方程也不成立。

这说明题目中给出的信息有误。

然而，我们仍然可以根据题目中的信息来求解丁家每只鸡卖多少金。

由于甲、乙、丙三家共卖出鸡20只，且甲家每只鸡卖5金，乙家每只鸡卖4金，丙家每只鸡卖3金，我们可以得到以下方程：20×5 + 20×4 + 20×3 + 25x = 100化简得：100 + 80 + 60 + 25x = 100进一步化简得：240 + 25x = 100移项得：25x = 100 - 240化简得：25x = -140解得：x = -140 ÷ 25化简得：x = -5.6由于题目中要求每只鸡卖出的金数，而负数不符合实际情况，因此我们可以得出结论：丁家每只鸡卖出的金数为负数，即丁家并没有卖出鸡。

综上所述，丁家每只鸡卖出的金数为负数，即丁家并没有卖出鸡。

2022四川南充中考数学试卷+答案解析

2022年四川南充中考数学一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)1.下列计算结果为5的是()A.－(+5)B.+(－5)C.－(－5)D.－|－5|2.如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'，点B'恰好落在CA的延长线上，∠B=30°，∠C=90°，则∠BAC'为()A.90°B.60°C.45°D.30°3.下列计算结果正确的是()A.5a－3a=2B.6a÷2a=3aC.a6÷a3=a2D.(2a2b3)3=8a6b94.《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何。

”设鸡有x只，可列方程为() A.4x+2(94－x)=35 B.4x+2(35－x)=94C.2x+4(94－x)=35D.2x+4(35－x)=945.如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误．．的是()A.AE=AFB.∠EAF=∠CBFC.∠F=∠EAFD.∠C=∠E6.为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间(时间均保留整数)，将样本数据绘制成统计图(如图)，其中有两个数据被遮盖.关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是()A.平均数B.中位数C.众数D.方差7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5，DF=3，则下列结论错误．．的是()A.BF=1B.DC=3C.AE=5D.AC=98.如图，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF=65°，则∠AOD为()A.70°B.65°C.50°D.45°9.已知a>b>0，且a2+b2=3ab，则(1a +1b)2÷(1a2−1b2)的值是()A.√5B.－√5C.√55D.－√5510.已知点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线y=mx2－2m2x+n(m≠0)上，当x1+x2>4且x1<x2时，都有y1<y2，则m的取值范围为()A.0<m≤2B.－2≤m<0C.m>2D.m<－2二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)11.比较大小：2－230.(选填>，=，<)12.老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片(如图)。

中考数学试卷古文及答案

【卷首语】天地玄黄，宇宙洪荒。

数之奥秘，千古流传。

今兹中考，特以古文出题，以考学子之智慧，探数之奥妙。

请诸学子用心品味，解吾之题。

【一、选择题】1. 古人云：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”此说所表达的是下列哪一数学概念？A. 无限小B. 无穷大C. 无理数D. 有理数答案：A2. “天地有五行，水火木金土。

”若以五行相生相克，下列哪种说法是正确的？A. 水克火，火克金B. 土克水，水克木C. 金克木，木克土D. 火克金，金克水答案：D3. 古代测斜度，有“勾三股四弦五”的说法。

其中，“勾”指的是直角三角形中的哪一条边？A. 斜边B. 长直角边C. 短直角边D. 高答案：B【二、填空题】4. 古人云：“二倍之，四分之，八分之，十六分之，以至于无穷。

”此法在数学上称为__________。

答案：无限分割法5. “天圆地方”是中国古代对宇宙形状的描述。

若以圆的面积为πr²，则一个直径为10尺的圆的面积是__________。

答案：100π【三、解答题】6. 题目：古有“百钱买牛，牛生牛，牛生牛，如此往复，至第n次，问买牛共需多少钱？”请根据题意，列出代数式，并求出第10次买牛所需的总金额。

答案：设第一次买牛需x钱，则第二次买牛需2x钱，第三次买牛需4x钱，以此类推，第n次买牛需2^(n-1)x钱。

所以，第10次买牛所需总金额为：x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x + 128x + 256x + 512x = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512)x = 1023x假设第一次买牛需1钱，则第10次买牛所需总金额为1023钱。

【四、应用题】7. 题目：古有“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

百钱买鸡百只，问鸡翁、鸡母、鸡雏各有多少只？”请列出方程组，并解之。

答案：设鸡翁有x只，鸡母有y只，鸡雏有z只。

泉州历史初三数学练习题

泉州历史初三数学练习题一、选择题1. 以下不属于古代泉州古港多产的产品是：A. 瓷器B. 丝绸C. 茶叶D. 桂皮2. 泉州的城市地理位置属于以下哪个省份？A. 浙江省B. 福建省C. 广东省D. 江西省3. 泉州在唐代的地位是：A. 一级都城B. 二级都城C. 三级都城D. 四级都城4. 泉州古港是古代的对外贸易港口，以下哪个国家不曾在泉州古港进行贸易？A. 日本B. 印度C. 韩国D. 英国5. 泉州名人钟繇是哪个朝代的书法家？A. 宋朝B. 唐朝C. 元朝D. 明朝二、填空题1. 泉州古港位于现今的 _______ 港。

2. 泉州的自然条件得天独厚，有着_________ 气候。

3. 泉州在宋代的繁荣时期，人口多达 _______ 万人。

4. 泉州是世界上最早开展 _______ 贸易的主要港口之一。

5. 泉州的民间艺术形式之一是 _______ 。

三、解答题1. 简述泉州古港的重要地理位置，并说明对泉州的影响。

2. 你认为泉州作为古代重要的贸易港口，对泉州的经济和文化发展有何影响？3. 谈谈泉州古港在海上丝绸之路中的地位和作用。

题目：泉州历史初三数学练习题（参考答案）一、选择题1. B. 丝绸2. B. 福建省3. B. 二级都城4. D. 英国5. A. 宋朝二、填空题1. 泉州古港位于现今的鼓浪屿港。

2. 泉州的自然条件得天独厚，有着亚热带气候。

3. 泉州在宋代的繁荣时期，人口多达 60 万人。

4. 泉州是世界上最早开展海上丝绸之路贸易的主要港口之一。

5. 泉州的民间艺术形式之一是木偶戏。

三、解答题1. 泉州古港地理位置重要，位于东南沿海，靠近东海和台湾海峡，是连接海上丝绸之路和陆上丝绸之路的交通要道。

这个重要地理位置使得泉州古港成为古代对外贸易的重要港口之一。

对泉州的影响表现在经济和文化上。

经济上，泉州古港的繁荣使得泉州成为一个繁荣兴旺的城市，人口增加，商业活动频繁，带动了各行各业的发展。