最全最详的画法几何及工程制图之平面的投影5
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工程制图_05平面立体的投影与曲面立体的投影(含截交线和螺旋面)
截平面定位尺寸 60°
应标注立体的原形尺寸
和切口截平面的定位尺
寸，不注切口截交线的
Ø
定形尺寸。
JK系列
切 口 立 体 尺 寸 注 法
截平面定位尺 寸
截平面定位尺寸 SR
平面立体的截交线
截平面：截切立体的平面称为截平面。
JK系列
平 面 立 体 的 截 交 线
截交线：截平面与立体表面的交线称为截交线。
圆球的三个投影均为等径圆，并且是圆球上平行于相应 投影面的最大轮廓圆。H面投影的轮廓圆是上、下两半球的可 见性分界线，V面投影的轮廓圆是前、后两半球的可见性分界 线,W面投影的轮廓圆是左、右两半球的可见性分界线.
JK系列
圆球面上取点
A点在右前上方 B、C点在球面
的球面上
的赤道圆上
VW
a
(a")
a
( a)"
面 的 圆
dc
d"(c")
D
C
例 1 0
R2
a"(b")
B
ab
A
JK系列
[例11] 补绘四分之一圆球被切割后的H、W投影。
例
1
1
圆球的截交线
都是圆
JK系列
圆柱螺旋线 形成：一动点沿一直线等速移动，而该直线同时绕 螺旋面
螺 线旋
与它平行的一轴线等速旋转时动点的轨迹。
投影：H面投影为圆周，V面投影为正曲线。注意后半圆柱的 螺旋线不可见，
圆
截平面与柱轴平行 截平面与柱轴斜交
矩形
椭圆
投 影 图 与 立 体 图
截平面
截平面
截平面
[例1] 带凸截口圆柱的画法.
工程制图 第五章 平面形体的投影
6
7(8)
8 3
● ● ●
6
7
●
1
2(3) 4(5) 3 1 8
(5) 1 (4)
●
2
5 7
6
4
2
第三节
直线与平面立体贯穿
直线与立体表面的交点称为贯穿点 求贯穿点的实质是求直线与平面交点的问题。 利用积聚投影 方法: 辅助平面法
例1: 求直线AB与三棱柱的贯穿点
一、长方体组合
二、斜面体组合
b P a(c) c P a b c P
b
a B P C A
例1：已知长方体的三面投影，某一平面被切割后，求其 它两面投影。
例2：已知长方体被切割后的两面投影，求第三面投影。
b a a
b
a b
投影图分析：
底面：水平面 顶面：水平面 侧面： 后面：正平面 左、右后面：铅垂面 左、右前面：铅垂面
正棱柱图例：
五棱柱
五棱柱
六棱柱 六棱柱
三棱柱 三棱柱
四棱柱 四棱柱 (长方体 ) (长方体 )
已知棱柱表面上两点M、N的V面投影，确定其他两面投影。 棱柱表面定点：
m
(n)
k
m
(n)
中途返回请按“ESC” 键
改变例1: 求直线AB 与三棱柱的贯穿点
例2
求直线AB 与三棱锥的贯穿点
改变例2 求直线AB与三棱锥的贯穿点
第四节
两平面立体相贯
例3 画出三棱锥与三棱柱全贯的投影图
例4 画出三棱锥与三棱柱互贯的投影图
第五节 平面基本体的组合
图1 房屋形体的分析 图2 水塔形体分析
第五章 平面形体的投影
7(8)
8 3
● ● ●
6
7
●
1
2(3) 4(5) 3 1 8
(5) 1 (4)
●
2
5 7
6
4
2
第三节
直线与平面立体贯穿
直线与立体表面的交点称为贯穿点 求贯穿点的实质是求直线与平面交点的问题。 利用积聚投影 方法: 辅助平面法
例1: 求直线AB与三棱柱的贯穿点
一、长方体组合
二、斜面体组合
b P a(c) c P a b c P
b
a B P C A
例1：已知长方体的三面投影，某一平面被切割后，求其 它两面投影。
例2：已知长方体被切割后的两面投影，求第三面投影。
b a a
b
a b
投影图分析：
底面：水平面 顶面：水平面 侧面： 后面：正平面 左、右后面：铅垂面 左、右前面：铅垂面
正棱柱图例：
五棱柱
五棱柱
六棱柱 六棱柱
三棱柱 三棱柱
四棱柱 四棱柱 (长方体 ) (长方体 )
已知棱柱表面上两点M、N的V面投影，确定其他两面投影。 棱柱表面定点：
m
(n)
k
m
(n)
中途返回请按“ESC” 键
改变例1: 求直线AB 与三棱柱的贯穿点
例2
求直线AB 与三棱锥的贯穿点
改变例2 求直线AB与三棱锥的贯穿点
第四节
两平面立体相贯
例3 画出三棱锥与三棱柱全贯的投影图
例4 画出三棱锥与三棱柱互贯的投影图
第五节 平面基本体的组合
图1 房屋形体的分析 图2 水塔形体分析
第五章 平面形体的投影
工程制图第二章平面
OY1 投影轴；
重庆交通大学 画法几何与工程制
2019/10/18
图
13
正平面
动画
y
y
投影特性：(1)正面投影反映实形；
(2)水平投影 、侧面投影积聚为一条直线，分别平行于相
应的OX、OZ 投影轴；
重庆交通大学 画法几何与工程制
2019/10/18
图
14
正平面的迹线表示
重庆交通大学 画法几何与工程制
一般位置平面
投影面倾斜面
铅垂面
特殊位置平面
投影面垂直面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 水平面 正平面
侧平面
重庆交通大学 画法几何与工程制
2019/10/18
图
5
一般位置平面
动画
投影特性:(1)三个投影均为的类似形；
(2) 投影图不反映、、 的真实角度；
重庆交通大学 画法几何与工程制
2019/10/18
重庆交通大学 画法几何与工程制
2019/10/18
图
43
求作两平面的交线MN。 解:1.取属于Δ ABC的直线AC、BC分别与平面P求交点,即可求得
交线。
（投影面垂直面与一般位置 平面相交）
重庆交通大学 画法几何与工程制
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图
44
2.3.2.2 辅助平面法
针对一般位置直线和一般位置平面与一般位置平面 相交的情况，通常采用辅助平面法，其作步骤如下： 1、含直线作辅助平面（通常是投影面垂直面）； 2、求辅助平面与已知平面的交线； 3、求交线与已知直线的交点； 4、然后判断可见性。
2019/10/18
LK⊥平面P 则： LK⊥水平线AB
LK⊥正平线CD
画法几何点、直线与平面的投影PPT课件
详细描述
在工程制图中，我们需要一种能够真 实反映物体形状和大小的投影方法。 由于正投影不改变点的形状、大小和 方向，只是改变点的可见性，因此它 成为工程制图中常用的投影方法。通 过正投影，我们可以准确地绘制出物 体的三视图，从而为后续的施工和制 造提供准确的依据。
点的斜投影
总结词
点的斜投影是指光线倾斜于投影面时，点的投影。
详细描述
当光线倾斜于投影面时，点的投影是一个线段，该线段的长度等于点到投影面的 垂直距离，方向与光线方向一致。斜投影会改变点的形状和大小，但不会改变点 的方向。在某些情况下，斜投影可以用来表示物体的轮廓或表面纹理。
点的斜投影
总结词
斜投影可以用于表示物体的轮廓或表面纹理。
详细描述
由于斜投影会改变点的形状和大小，但不会改变点的方向，因此它可以用来表示物体的轮廓或表面纹理。在绘制 建筑物的外观或机械零件的表面细节时，斜投影可以提供更丰富的视觉效果和更准确的表达方式。通过调整光线 的角度和距离，我们可以更好地展示物体的形态和质感。
点的中心投影
总结词
点的中心投影是指光线通过一个固定点投射到投影面上时，点的投影。
详细描述
当光线通过一个固定点投射到投影面上时，点的投影是一个圆或椭圆，其形状取决于点与投影面的距 离以及光线的角度。中心投影可以用来绘制圆形或多边形的物体，例如球体或圆柱体。它也可以用于 绘制具有复杂曲面的物体，如人物或动物的面孔。
点的中心投影
要点一
总结词
中心投影可以用于绘制圆形或多边形的物体以及具有复杂 曲面的物体。
要点二
详细描述
中心投影是一种特殊的投影方法，它通过将光线通过一个 固定点投射到投影面上来形成点的投影。由于其特殊的性 质，中心投影可以用来绘制圆形或多边形的物体，如球体 或圆柱体等。同时，它也可以用于绘制具有复杂曲面的物 体，如人物或动物的面孔等。通过调整光线角度和距离， 我们可以准确地绘制出物体的三维形态和细节特征。
画法几何制图—平面的投影及相对位置
平面投影的实际应用
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
第二章工程制图A 投影法和点、直线、平面的投影
过ax、az、aYH、aYW等点分别作所 a
在轴的垂线，交点a、a′、a″既为
所求。
12
O
aYH YH
a YW YW
例：根据点的两投影求第三投影
方法一：直接量取法 方法二：45º斜线法
a’ x
z
a”
a’
yW
x
a
yH
a
图2-14 已知点的两投影求第三投影
z a” yW
yH
例 已知点C的两个投影c和c， 求作其水平投影c。
第二章 投影法和点、直线、平面的投影
本 §2-1 投影法概述 §2-2 点的投影
章 §2-3 直线的投影 内 §2-4 平面的投影 容 §2-5 直线与平面、平面与平面
的相对位置
第一节 投影法 一、投影法的基本知识
如图，建立一个平面P和不 在该平面内的一点S，在平面P 和点S之间放一物体A。过点S 发射一光线SA，SA与平面P的 交点a称为物体A在平面P上的 投影。这种确定空间物体投影的方法，称为投影法。
3.3物体的三面投影 W
V
W V
H H
通常情况下，物体的三面投影可 以确定唯一物体的形状
3.4三面投影体系的建立
投影面
◆正面投影面
（简称正面或V面）
◆水平投影面
（简称水平面或H面）
◆侧面投影面
（简称侧面或W面）
投影轴
◆ OX轴 ◆ OY轴 ◆ OZ轴
V面与H面的交线 H面与W面的交线 V面与W面的交线
a ●
X
ax
a●
Z
az
●a
O
YW
ay
ay
YH
2.点的三面投影规律
1、V、H两投影都反映横标，且投影连线垂直X 轴；aa⊥OX轴。
工程制图 点、直线及平面的投影
工程制图
B b b
A a
a
a
b
Z
b
a
a
X a
b
O
YW
b
YH
27
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于V 投影面的铅垂线
工程制图
Z
a
a
b
b
X
O
YW
a(b)
YH
28
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于OX轴的直线
工程制图
Z
X a
b O
YW
(b)
a
b a(b)
YH
29
工学院 机械系 张文斌
红河学院
二、一般位置直线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
20
工学院 机械系 张文斌
红河学院 (1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线 工程制图
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
24
工学院 机械系 张文斌
红河学院 （2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线 工程制图
(a)b
(a)b
z a
b
A
画法几何及工程制图第五章习题详解
a
e d
c
m
还有其他求解办法？
换面法
M f F
L
6
§5.1 立体的投影-根据已知立体作投影图-曲面立体的投影-圆柱
a
c (d)
b
d
a (b) c
D A
B
C
a
c (d) d
b
d a (b)
c
A
C
a c
b
AA — 最左素线， BB — 最右素线 CC — 最前素线， DD — 最后素线
m
m ） （
m
辅助圆法
m M m
13
§5.1 立体的投影-根据已知立体作投影图-曲面立体的投影-环
Z
V
W
X
Y
14
§5.1 立体的投影-根据已知立体作投影图-曲面立体的投影-环
b
a
d
c
15
§5.1 立体的投影-根据已知立体作投影图-曲面立体的投影-环
m （n'） （n ）
s
p 完了吗？ S
31
§5.2 平面与立体相交-作图方法-平面与球相交
32
§5.2 平面与立体相交-作图方法-平面与球相交
2'
2"
7' 8' 3'4' 5'6'
1 '
8" 4"
6"
7" 3" 5"
1"
6
4 8
1
2
7 5 3
33
§5.2 平面与立体相交-作图方法-平面与环面相交
p
34
§5.2 平面与立体相交-作图方法-平面与环相交
5平面的投影精品PPT课件
(c')
长40
d'
(b')
30
a'
b
c
长25
a
d
化环系
[例] 过A点作平行于V面的正例：作正方形的投影 方形ABCD,边长为25, 对角 线AC垂直于H面。
a'
长25
45
d'
b'
c'
a d
b
(c)
平面的投影—应用题1
[例] 已知正方形ABCD的一 边 BC的H、V投影，另一边 AB的V投影方向，求作此 正方形ABCD的投影。
2. H投影积聚为一平行 于OX轴的水平线；
3. W投影积聚为一平行 于OZ轴的铅直线。
投影图
投影面垂直面（侧平面）
化环系
侧 平 面
空间位置
Vb'(a')
d'(c') e'(f')
A F
B C
D
a(f) E b(c) d(e)
a"
b"
f"
c" d"
e"
W H
b'(a')
d'(c') e'(f') X
a' k'
作图步骤
1.过b作bc的垂线,此即为AB b'
a
边的H投影方向。
2.在AB边上任取一点K，用
直角三角形法求出其实长。
k
3.在直角三角形的斜边上量取 bc长（反映了正方形边长），
b
用等比性即可确定A点.
4.用平行性画出正方形其余
的投影。
画法几何与工程制图平面的投影课件
04
投影变换
换面法
换面法是一种通过改变投影面来获取新视图的方法。
换面法是通过选择一个新的投影面来替代原有的投影面，从而改变投影方向和投 影方式，以获得更直观、更清晰的视图。在工程制图中，换面法常用于解决复杂 的三维空间问题，帮助工程师更好地理解和分析物体的结构和形状。
旋转法
旋转法是通过旋转物体或投影面来获取新视图的方法。
05
曲线和曲面
曲线
平面曲线
在二维平面上生成的曲 线，如圆、椭圆、抛物
线等。
立体曲线
在三维空间中生成的曲 线，如圆柱螺旋线、圆
锥螺旋线等。
参数曲线
通过参数方程定义的曲 线，如正弦曲线、余弦
曲线等。
பைடு நூலகம்
极坐标曲线
通过极坐标系定义的曲 线，如极坐标方程下的
圆、椭圆等。
曲面
01
02
03
04
二维曲面
由二维图形生成的表面，如球 面、椭球面等。
平面与拉伸曲面相交
拉伸曲面是由一个二维图形沿某一方向拉伸形成的，当平面与拉伸曲面 的法线方向垂直时，可以得到直线或点；当平面与拉伸曲面的法线方向 平行时，可以得到抛物线或双曲线。
06
立体的投影
平面立体的投影
棱柱体的投影
棱柱体由两个平行的多边形底面和若干个直棱柱组成，其投影为两个多边形的 投影及若干个直线的投影。
维和创新能力。
课程内容涵盖了画法几何、投影 理论、制图标准、工程实例等多
个方面。
投影法分类
正投影法
中心投影法
将物体放在投影面上，通过光源将物 体的轮廓投影到投影面上，具有真实 反映物体的形状和大小的特点。
将物体放置在投影中心，通过光源将 物体的轮廓投影到投影面上，具有表 现物体立体感的特点。
画法几何第五章平面的投影
感谢观看
在特定条件下，平面投影后仍保持其形状和大小的真实性或类似性。
平面投影的平行性
当平面与投影面平行时，其投影为一线段。
平面与投影面的关系
01
02
03
平行关系
当平面与投影面平行时， 其投影是一条直线或一个 点。
垂直关系
当平面与投影面垂直时， 其投影为一个点。
倾斜关系
当平面与投影面倾斜时， 其投影为一条线段。
画法几何第五章平 面的投影
contents
目录
• 平面的投影特性 • 特殊位置平面的投影 • 一般位置平面的投影 • 平面对一个投影面的垂直投影 • 平面对两个投影面的平行投影
01
平面的投影特性
平面投影的基本性质
平面投影的等积性
在投影过程中，平面的面积与其投影的面积相等。
平面投影的真实性和类似性
在建筑设计过程中，常常需要绘制建筑物的平面图，如建 筑物的平面布置、平面尺寸等。利用平面对两个投影面平 行的特性，可以方便地绘制出这些平面图。
用于地理信息系统
在地理信息系统（GIS）中，常常需要绘制各种地图，如 地形图、交通图等。利用平面对两个投影面平行的特性， 可以方便地绘制出这些地图。
THANKS
投影特性
在该投影面上的投影反映该平面的实形，另外两 个投影面上的投影积聚为一直线。
实例
正平面、水平面。
投影面垂直面
定义
01
与一个投影面垂直，与另外两个投影面倾斜的平面。
投影特性
02
在该投影面上的投影积聚为一直线，另外两个投影面上的投影
是该平面的类似形。
实例
03
侧垂面、正垂面。
投影面倾斜面
1 2 3
标注在相应的位置。
在特定条件下，平面投影后仍保持其形状和大小的真实性或类似性。
平面投影的平行性
当平面与投影面平行时，其投影为一线段。
平面与投影面的关系
01
02
03
平行关系
当平面与投影面平行时， 其投影是一条直线或一个 点。
垂直关系
当平面与投影面垂直时， 其投影为一个点。
倾斜关系
当平面与投影面倾斜时， 其投影为一条线段。
画法几何第五章平 面的投影
contents
目录
• 平面的投影特性 • 特殊位置平面的投影 • 一般位置平面的投影 • 平面对一个投影面的垂直投影 • 平面对两个投影面的平行投影
01
平面的投影特性
平面投影的基本性质
平面投影的等积性
在投影过程中，平面的面积与其投影的面积相等。
平面投影的真实性和类似性
在建筑设计过程中，常常需要绘制建筑物的平面图，如建 筑物的平面布置、平面尺寸等。利用平面对两个投影面平 行的特性，可以方便地绘制出这些平面图。
用于地理信息系统
在地理信息系统（GIS）中，常常需要绘制各种地图，如 地形图、交通图等。利用平面对两个投影面平行的特性， 可以方便地绘制出这些地图。
THANKS
投影特性
在该投影面上的投影反映该平面的实形，另外两 个投影面上的投影积聚为一直线。
实例
正平面、水平面。
投影面垂直面
定义
01
与一个投影面垂直，与另外两个投影面倾斜的平面。
投影特性
02
在该投影面上的投影积聚为一直线，另外两个投影面上的投影
是该平面的类似形。
实例
03
侧垂面、正垂面。
投影面倾斜面
1 2 3
标注在相应的位置。
第五节 平面的投影
投影面平行面的三种位置：
1.正平面：平行于V面的平面。 2.水平面：平行于H面的平面。 3.侧平面：平行于W面的平面。
（1）正平面的投影
V面的投影反映实形 H面的投影积聚成一条直线且平行于X轴 W面的投影积聚成一条直线且平行于Z轴
B A
D
C
正平面的投影
B A
D
C
正平面的投影
B A
D C
正平面的投影
B
A D
C
铅垂面的投影
B
A D
C
铅垂面的投影
B A
D C
铅垂面的投影
z
a’
b’
a ’’ b ’’
B
A D
C
c’ x
a（c）
d’
d ’’ c ’’
o
yw
b（d）
yh
实体中的铅垂面
（3）侧垂面的投影
W面积聚为一条斜线 V面的投影为缩小的类似形 H面的投影为缩小的类似形
B
A
D
b C
d a
c
侧垂面的投影
及三面投影中有无实型。
Z
a’
b’ X
a
d’ a’’(d’’)
b’’(c’’)
c’
O
Yw d
A面与V面 倾斜 ； A面与H面 倾斜 ； A面与W面 垂直 ； A面是 侧垂 面； A面的三面投影中
无 实型。
b
c
YH
YH
练习 已知平面的两面投影，求平面的第三面投影，判断其空间位置
及三面投影中有无实型。
Z
B
D A
C
b d
a c
水平面的投影
z
B
D A
1.正平面：平行于V面的平面。 2.水平面：平行于H面的平面。 3.侧平面：平行于W面的平面。
（1）正平面的投影
V面的投影反映实形 H面的投影积聚成一条直线且平行于X轴 W面的投影积聚成一条直线且平行于Z轴
B A
D
C
正平面的投影
B A
D
C
正平面的投影
B A
D C
正平面的投影
B
A D
C
铅垂面的投影
B
A D
C
铅垂面的投影
B A
D C
铅垂面的投影
z
a’
b’
a ’’ b ’’
B
A D
C
c’ x
a（c）
d’
d ’’ c ’’
o
yw
b（d）
yh
实体中的铅垂面
（3）侧垂面的投影
W面积聚为一条斜线 V面的投影为缩小的类似形 H面的投影为缩小的类似形
B
A
D
b C
d a
c
侧垂面的投影
及三面投影中有无实型。
Z
a’
b’ X
a
d’ a’’(d’’)
b’’(c’’)
c’
O
Yw d
A面与V面 倾斜 ； A面与H面 倾斜 ； A面与W面 垂直 ； A面是 侧垂 面； A面的三面投影中
无 实型。
b
c
YH
YH
练习 已知平面的两面投影，求平面的第三面投影，判断其空间位置
及三面投影中有无实型。
Z
B
D A
C
b d
a c
水平面的投影
z
B
D A
初中数学 如何绘制投影平面
初中数学如何绘制投影平面绘制投影平面是在几何投影中的关键步骤之一，它可以帮助我们更好地理解和描述物体在投影过程中的形状和位置。
下面将介绍在不同投影类型中绘制投影平面的方法和步骤。
1. 正交投影的情况：在正交投影中，物体在投影过程中的光线是平行于投影平面的。
以下是一些常见的方法和步骤：-方法1：几何中心法1. 首先，绘制物体的主视图或俯视图。
2. 找出物体上各个点在投影平面上的映射点。
3. 根据映射点的位置，绘制投影平面。
通常情况下，投影平面会经过物体的几何中心。
-方法2：对称投影法1. 找出物体上的一个对称轴或对称平面。
2. 将物体的主视图或俯视图放置在投影平面上，并将其与投影平面对齐。
3. 找出物体上各个点在投影平面上的映射点。
4. 根据映射点的位置，绘制投影平面。
通常情况下，投影平面会经过对称轴或对称平面。
-方法3：投影平面法1. 根据具体情况，在纸上绘制投影平面的形状和位置。
2. 将物体的主视图或俯视图放置在投影平面上，并将其与投影平面对齐。
3. 找出物体上各个点在投影平面上的映射点。
4. 根据映射点的位置，调整和绘制投影平面。
2. 透视投影的情况：在透视投影中，物体在投影过程中的光线是从观察者（视点）发出的，并在投影平面上相交。
以下是一些常见的方法和步骤：-方法1：视点法1. 首先，确定视点（观察者的位置）和投影平面的位置。
2. 在纸上绘制视点和投影平面的位置。
3. 将物体的主视图或俯视图放置在投影平面上，并将其与投影平面对齐。
4. 找出物体上各个点在投影平面上的映射点。
5. 根据映射点与视点的连线，绘制投影平面。
-方法2：对称投影法1. 找出物体上的一个对称轴或对称平面。
2. 将物体的主视图或俯视图放置在投影平面上，并将其与投影平面对齐。
3. 找出物体上各个点在投影平面上的映射点。
4. 根据映射点的位置，绘制投影平面。
通常情况下，投影平面会经过对称轴或对称平面。
-方法3：投影平面法1. 根据具体情况，在纸上绘制投影平面的形状和位置。
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[例1]已知△ABC 及其上一点k的V 面投影k′,求作点k 的 另一投影k。
二、包含直线或点作平面
[例2]包含一般位置直线AB 作平面
(a3]包含特殊位置直线AB 作平面.
(a)
(b)
第五章 平面的投影
平面内的特种直线
一、平面内的投影面平行线
二、平面内的最大斜度线
[例4]已知平面由△ABC 所给定，试作该平面内对H 面 的倾角α。
α
第五章 平面的投影
平面内的直线和点
一、平面内的直线和点
1. 直线在平面内的几何条件
若一直线经过一平面内两已 知点，或经过平面内一已知 点，且与平面内一已知直线 平行，则该直线可确定在该 平面内。
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
2. 点在平面内的几何条件
若一个点在一平面内，它必定在该平面的
一已知直线上（点在线上，线在面上）。
定义：平面内与某投影面成最大倾角的直线 称为平面内对该投影面的最大斜度线
⊥平面内的水平线—称为对水平面的最大斜度线 ⊥平面内的正平线—称为对正面的最大斜度线 ⊥平面内的侧平线—称为对侧面的最大斜度线
二、平面内的最大斜度线
证明： Aa 为公共直角边 ∵ AB⊥PH ∴ ab ⊥PH（直角定理） ∴ α1＜α