全等三角形经典动态几何问题]p1

1．（扬州）在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ；

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ；

（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

2 （锦州）如图A ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE ．

（1）线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；

（2）将图A 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图B ，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；

（3）若将图A 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C （草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；

（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．

3.如图（1）△ABC 为等边三角形，动点D 在边CA 上，动点P 边BC 上，若这两点分别从C 、B 点同时出发，以相同的速度由C 向A 和由B 向C 运动，连接AP ，BD 交于点Q ，两点运动过程中AP=BD 成立吗？请证明你的结论；

（2）如果把原题中“动点D 在边CA 上，动点P 边BC 上，”改为“动点D ，P 在射线CA

和射线BC 上运动”，其他条

件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP 的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；

（3）如果把原题中“动点P 在边BC 上”改为“动点P 在AB 的延长线上运动，连接PD 交

BC 于E”，其他

条件不变，如图（3），则动点D ，P 在运动过程中，DE 始终等于PE 吗？写出证明过程．

C B A E

D 图1 N M A B C D

E M N 图2

A

C

B

E

D N M 图3

4、如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM 上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．

（1）如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC=PD．

（2）如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由．

（3）如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时，线段PC和PD 相等吗？直接写出你的结论，不需证明．

5.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），

你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

6.如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AF C≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图，B点与C点重合时，如图，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说

明理由

7.如图(1)，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝CD ，BC ＝DE ，求证：AC ⊥CE ．若将CD 沿CB 方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论AC 1⊥C 2E 还成立吗？请说明理由．

8.在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB ，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ．连接DE 、DF 、EF ．

（1）求证：△ADF ≌△CEF

（2）试证明△DFE 是等腰直角三角形

9.、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，

△AMN 是等边三角形．

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；

（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．

图1 图2 图3

10、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．

（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？

11.在ABC △中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．

作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ． （1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠= 度；

（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．

①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在BC 边的延长线上时有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

A

E

E

A

C C

D D

B B 图1

图2 A A 备用图

B

C B C 备用图 A

Q

C D B

P