2020年高考理科数学之高频考点解密25 概率(解析版)

2024年高考数学新增高频考点(解析版)

(多拿20分)2024年高考数学新增高频考点专题突破新增高频考点1：复数的三角表示新增高频考点2：三角函数的积化和差公式新增高频考点3：三角函数的和差化积公式新增高频考点4：投影向量新增高频考点5：百分位数新增高频考点6：点、线、面距离公式新增高频考点7：条件概率新增高频考点8：全概率公式新增高频考点9：贝叶斯公式新增高频考点10：二项分布中的最大项2023年高考数学新增高频考点专题突破一．复数的三角表示(共5小题)1已知复数z 1=2cos π12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6，则z 1z 2的代数形式是()A.6cosπ4+i sin π4B.6cos π12+i sin π12 C.3-3i D.3+3i2若复数z =r (cos θ+i sin θ)(r >0，θ∈R )，则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数z =32+12i 的三角形式正确的是()A.cos π6+i sinπ6 B.sin π6+i cos π6 C.cos π3+i sin π3 D.sin π3+i cos π33已知复数z =cos θ+i sin θ(i 为虚数单位)，则()A.|z |=2B.z 2=1C.z ⋅z =1D.z +1z为纯虚数4复数z =cos -2π5+i sin -2π5 的辐角主值为()A.8π5B.-8π5C.2π5D.-2π55任何一个复数z =a +bi (其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z =r (cos θ+i sin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ)(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数cos π8+i sin π8 m (m ∈N *)为纯虚数，则正整数m 的最小值为()A.2B.4C.6D.8二．三角函数的积化和差公式(共5小题)6设直角三角形中两锐角为A 和B ，则cos A cos B 的取值范围是()A.0，12B.(0，1)C.12，1 D.34，17利用积化和差公式化简sin αsin π2-β 的结果为()A.-12[cos (α+β)-cos (α-β)]B.12[cos (α+β)+cos (α-β)]C.12[sin (α+β)-sin (α-β)]D.12[sin (α+β)+sin (α-β)]8已知cos α+cos β=12，则cos α+β2cos α-β2的值为．9已知sin (α+β)•sin (β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β的值为．10已知α，β为锐角，且α-β=π6，那么sin αsin β的取值范围是．三．三角函数的和差化积公式(共5小题)11对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是()A.2sin α•cos β=sin (α+β)+sin (α-β)B.2cos α•sin β=sin (α+β)+cos (α-β)C.cos α+cos β=2sin α+β2⋅sin α-β2D.cos α-cos β=2cos α+β2⋅cosα-β212在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a +c =2b ，则tan A2•tan C 2的值为(参考公式：sin A +sin C =2sin A +C 2cos A -C2)()A.2B.12C.3D.1313已知sin α+sin β=2165，cos α+cos β=2765，则sin β-sin αcos β-cos α=．14已知sin α+sin β=14，cos α+cos β=13，则tan (α+β)的值为．15在△ABC 中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B +cos C =sin B +sin C ，则△ABC 为三角形．四．投影向量(共5小题)16已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，则向量a -b在向量b 上的投影向量为()A.-12aB.-12bC.32bD.-32b17已知平面向量a =(-2，λ)，b =(1，1)，且a ⊥b ，则a -b 在b方向上的投影向量的坐标为()A.(1，1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(-1，-1)18在正△ABC 中，向量AB 在CA上的投影向量为()A.12CAB.-12CAC.32CAD.-32CA19设a ，b 是两个单位向量，若a +b 在b 上的投影向量为23b，则cos ‹a ，b ›=()A.-13B.13C.-223D.22320已知|a |=2|b |，若a 与b的夹角为120°，则2b -a 在a 上的投影向量为()A.3-3aB.-32aC.-12aD.3a五．百分位数(共5小题)21学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是．22为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()A.76B.77C.78D.8023某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是()件数7891011人数37541A.8.5B.9C.9.5D.1024某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A.频率分布直方图中a 的值为0.012B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为11025某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm )的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为．六．点、线、面间的距离(共3小题)26如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，∠BAE =π2，AB =AD =AE =2BC =2，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．27如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB =AE =2BF =2．(1)证明：CF ∥平面ADE ；(2)在棱EC 上有一点M (不包括端点)，使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，求点M 到平面BCF 的距离．28如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB 所成的角的余弦值为255，求点P 到平面AEF 的距离．七．条件概率(共8小题)29已知事件A 、B 满足P (A |B )=0.7，P (A)=0.3，则()A.P (A ∩B )=0.3B.P (B |A )=0.3C.事件A ，B 相互独立D.事件A ，B 互斥30已知P (A )=13，P (B |A )=23，P (B |A )=14，则P (B )=，P (A|B )=．31研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若P (A )=415，P (B )=215，P (C )=710，则P (B |A )=．32已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()A.0.75B.0.8C.0.76D.0.9533为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12．(注：比赛结果没有平局)(Ⅰ)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(Ⅱ)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(Ⅲ)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率．34某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.611D.61735人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．36某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1=110，P 2=19，P 3=18．(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．八．全概率公式(共2小题)37某铅笔工厂有甲、乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为()A.0.92B.0.08C.0.54D.0.3838假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()A.18B.320C.740D.15九．贝叶斯公式(共2小题)39对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取若干名患者，检测发现其中感染了“普通型毒株”、“奥密克戎型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为5：3：2．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“奥密克戎毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为78%、60%、75%，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是；若已知这款新药对“新冠病毒”有效，求该药对“奥密克戎毒株”的有效率是．40英国数学家贝叶斯(1701-1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A ，B ，A(A 的对立事件)存在如下关系：P (B )=P (B |A )•P (A )+P (B |A )•P (A)．若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为()A.0.01B.0.0099C.0.1089D.0.1十．二项分布中的最大项(共3小题)41若X ~B 100，13 ，则当k =0，1，2，⋯，100时()A.P (X =k )≤P (X =50)B.P (X =k )≤P (X =32)C.P (X =k )≤P (X =33)D.P (X =k )≤P (X =49)42已知随变量从二项分布B 1001，12，则()（多选）A.P (X =k )=C k100112 1001 B.P (X ≤301)=P (X ≥701)C.P (X >E (X ))>12D.P (X =k )最大时k =500或50143经检测有一批产品合格率为75%，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P (ξ=k )取得最大值时k 的值为．(多拿20分)2023年高考新增高频考点专题突破新增高频考点1：复数的三角表示新增高频考点2：三角函数的积化和差公式新增高频考点3：三角函数的和差化积公式新增高频考点4：投影向量新增高频考点5：百分位数新增高频考点6：点、线、面距离公式新增高频考点7：条件概率新增高频考点8：全概率公式新增高频考点9：贝叶斯公式新增高频考点10：二项分布中的最大项参考答案与试题解析一．复数的三角表示(共5小题)已知复数z 1=2cos π12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6 ，则z 1z 2的代数形式是()+i sin π4B.6cos π12+i sin π12 D.3+3i【解析】：∵z 1=2cosπ12+i sin π12 ，z 2=3cos π6+i sin π6 ，∴z 1z 2=6cos π12+i sin π12 cos π6+i sin π6=6cos π12cos π6-sin π12sin π6 +cos π12sin π6+sin π12cos π6 i=6cos π12+π6 +i sin π12+π6=6cos π4+i sin π4 =622+22i=3+3i ，故选：D ．z =r (cos θ+i sin θ)(r >0，θ∈R )，则把这种形式叫做复数z 的三角形式，其中r 为复数z 的模，θ为复数z 的辐角，则复数z =32+12i 的三角形式正确的是()A.cos π6+i sinπ6 B.sin π6+i cos π6 C.cos π3+i sin π3 D.sin π3+i cos π3【解析】：z =32+12i 的模为1，辐角为π6，则复数z =32+12i 的三角形式为cos π6+i sin π6．故选：A ．z =cos θ+i sin θ(i 为虚数单位)，则()A.|z |=2B.z 2=1C.z ⋅z =1D.z +1z为纯虚数【解析】：对于A ，|z |=cos 2θ+sin 2θ=1，故A 错误，对于B ，z 2=(cos θ+i sin θ)2=cos 2θ+2sin θcos θi +i 2sin 2θ=cos 2θ-sin 2θ+2cos θsin θi ，故B 错误，对于C ，z ⋅z=(cos θ+i sin θ)(cos θ-i sin θ)=cos 2θ+sin 2θ=1，故C 正确，对于D ，z +1z =cos θ+i sin θ+1cos θ+i sin θ=cos θ+i sin θ+cos θ-i sin θ(cos θ+i sin θ)(cos θ-i sin θ)=2cos θ，故D 错误．故选：C ．=cos -2π5 +i sin -2π5的辐角主值为()B.-8π5C.2π5D.-2π5=cos -2π5 +i sin -2π5 ，∴复数z 的辐角为2k π-2π5，k ∈Z ，∴复数z 的辐角主值为2π-2π5=8π5．5任何一个复数z =a +bi (其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成z =r (cos θ+i sin θ)(其中r ≥0，θ∈R )的形式，通常称之为复数z 的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ)(n ∈N *)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，若复数cos π8+i sin π8m(m ∈N *)为纯虚数，则正整数m 的最小值为()A.2B.4C.6D.8【解析】：∵复数cosπ8+i sin π8 m =cos m π8+i sin m π8为纯虚数，∴cos m π8=0，sin m π8≠0，∴m π8=k π+π2，k ∈Z ，根据m ∈N *，可得正整数m 的最小值为4，此时，k =0，故选：B ．二．三角函数的积化和差公式(共5小题)6设直角三角形中两锐角为A 和B ，则cos A cos B 的取值范围是()A.0，12B.(0，1)C.12，1 D.34，1【解析】：直角三角形中两锐角为A 和B ，A +B =C =π2，则cos A cos B =12[cos (A -B )+cos (A +B )]=12cos (A -B )，再结合A -B ∈-π2，π2，可得cos (A -B )∈(0，1]，∴12cos (A -B )∈0，12 ，故选：A ．7利用积化和差公式化简sin αsin π2-β的结果为()A.-12[cos (α+β)-cos (α-β)] B.12[cos (α+β)+cos (α-β)]C.12[sin (α+β)-sin (α-β)]D.12[sin (α+β)+sin (α-β)]【解析】：sin αsin π2-β =sin αcos β=12[sin (α+β)+sin (α-β)]故选：D ．8已知cos α+cos β=12，则cos α+β2cos α-β2的值为　14　．【解析】：∵cos α+cos β=12，∴cos α+β2cos α-β2=12cos α+β2-α-β2 +cos α+β2+α-β2 =12(cos α+cos β)=12×12=14．故答案为：14．9已知sin (α+β)•sin (β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β的值为　m ．【解析】：由已知得：sin (α+β)•sin (β-α)=cos2α-cos2β2=(2cos 2α-1)-(2cos 2β-1)2=cos 2α-cos 2β=m10已知α，β为锐角，且α-β=π6，那么sinαsinβ的取值范围是　0，32　．【解析】：∵α-β=π6∴sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]=-12cos(α+β)-32=-12cos2β+π6-32∵β为锐角，即0<β<π3∴π6<2β+π6<5π6，∴-32<cos2β+π6<32∴0<-12cos2β+π6-32<32故答案为：0，3 2三．三角函数的和差化积公式(共5小题)11对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是()A.2sinα•cosβ=sin(α+β)+sin(α-β)B.2cosα•sinβ=sin(α+β)+cos(α-β)C.cosα+cosβ=2sinα+β2⋅sinα-β2D.cosα-cosβ=2cosα+β2⋅cosα-β2【解析】：sin(α+β)+sin(α-β)=sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ-cosαsinβ=2sinαcosβ，故选：A．12在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，则tan A2•tan C2的值为(参考公式：sin A+sin C=2sin A+C2cos A-C2)()A.2B.12C.3 D.13【解析】：∵a+c=2b，∴由正弦定理得sin A+sin C=2sin B=2sin(A+C)，即2sin A+C2cos A-C2=4sin A+C2cos A+C2，在三角形中sin A+C2≠0，∴cos A-C2=cos A+C2，即cosαA2cos C2+sin A2sin C2=2cos A2cos C2-2sin A2sin C2，即3sin A2sin C2=cos A2cos C2，即sin A2sin C2cos A2cos C2=13，即tan A2•tan C2=13，故选：D．13已知sinα+sinβ=2165，cosα+cosβ=2765，则sinβ-sinαcosβ-cosα=　-97　．【解析】：sin α+sin β=2165，可得2sin α+β2cos α-β2=2165⋯①cos α+cos β=2765，2cos α+β2cos α-β2=2765⋯②．①②可得sin α+β2cosα+β2=2127=79．sin β-sin αcos β-cos α=-2cos α+β2sin α-β22sin α+β2sin α-β2=-cos α+β2sinα+β2=-97．故答案为：-97．14已知sin α+sin β=14，cos α+cos β=13，则tan (α+β)的值为　247　．【解析】：由sin α+sin β=14，得2sinα+β2cos α-β2=14，由cos α+cos β=13，得2cos α+β2cos α-β2=13，两式相除，得tanα+β2=34，则tan (α+β)=2tan α+β21-tan 2α+β2=2×341-34 2=247故答案为：24715在△ABC 中a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos B +cos C =sin B +sin C ，则△ABC 为直角三角形．【解析】：由cos B +cos C =sin B +sin C 得到2cosB +C 2cos B -C 2=2sin B +C 2cos B -C2两边同除以2cos B -C 2得sin B +C 2=cos B +C 2即tan B +C2=1，由0<B <π，0<C <π，得到B +C 2∈(0，π)，所以B +C 2=π4即B +C =π2，所以A =π2，则△ABC 为直角三角形．故答案为：直角四．投影向量(共5小题)16已知两个单位向量a 和b 的夹角为120°，则向量a -b在向量b 上的投影向量为()A.-12aB.-12bC.32bD.-32b【解析】：因为两个单位向量a 和b的夹角为120°，所以a ⋅b =|a |⋅|b |cos120°=1×1×-12=-12，所以(a -b )⋅b =a ⋅b -b 2=-12-1=-32，故所求投影向量为(a-b )⋅b |b |⋅b =-32b．故选：D ．17已知平面向量a =(-2，λ)，b =(1，1)，且a ⊥b ，则a -b 在b方向上的投影向量的坐标为()A.(1，1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(-1，-1)【解析】：已知a =(-2，λ)，b =(1，1)，由于a ⊥b ，所以a ⋅b=(-2)×1+λ×1=0，解得λ=2，所以a =(-2，2)，b =(1，1)，得a -b=(-3，1)，则(a -b )⋅b=(-3)×1+1×1=-2，|b |=12+12=2，故a -b 在b 方向上的投影为(a -b )⋅b|b |=-22=-2，得a -b 在b方向上的投影向量为-2⋅b 2=(-1，-1)．故选：D ．18在正△ABC 中，向量AB 在CA上的投影向量为()A.12CA B.-12CA C.32CA D.-32CA【解析】：AB 与CA 的夹角为2π3，则cos ‹AB ，CA ›=-12，根据投影向量的定义有：AB 在CA 上的投影向量为|AB |⋅cos ‹AB ，CA ›⋅CA|CA |=-12CA ．故选：B ．19设a ，b 是两个单位向量，若a +b 在b 上的投影向量为23b，则cos ‹a ，b ›=()A.-13B.13C.-223D.223【解析】：∵a +b 在b 上的投影向量为23b，∴(a+b )⋅b |b |⋅b |b |=23b ，∴a ⋅b =-13，∵|a|=|b |=1，∴由向量的夹角公式可知，cos ‹a ，b ›=a ⋅b |a ||b |=-13．故选：A ．20已知|a |=2|b |，若a 与b的夹角为120°，则2b -a 在a 上的投影向量为()A.3-3aB.-32aC.-12aD.3a【解析】：∵|a|=2|b |，a 与b 的夹角为120°，∴(2b -a )⋅a =2a ⋅b -a 2=2|a |⋅12|a | ⋅cos120°-a 2=-32a 2，∴2b -a 在a 上的投影向量为：(2b -a )⋅a |a |⋅a|a |=-32a ．故选：B ．五．百分位数(共5小题)21学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的75%分位数是90分．【解析】：8名学生的成绩从小到大排列为：63，68，76，77，82，88，92，93，因为8×75%=6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即12×(88+92)=90(分)．故答案为：90分．22为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路•科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为()A.76B.77C.78D.80【解析】：记构成的等差数列为{a n }，则a n =70+2(n -1)=2n +68，∵10×40%=4，∴这10个班级的平均成绩的第40百分位数为a 4+a 52=76+782=77，故选：B ．23某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则该组数据的第75百分位数是()件数7891011人数37541A.8.5B.9C.9.5D.10【解析】；抽取的工人总数为20，20×75%=15，那么第75百分位数是所有数据从小到大排序的第15项与第16项数据的平均数，第15项与第16项数据分别为9，10，所以第75百分位数是9+102=9.5．故选：C ．24某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A.频率分布直方图中a 的值为0.012B.估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为110【解析】：由频率分布直方图可得，(a +0.01+0.03+0.035+0.01)×10=1，解得a =0.015，故A 错误，设第60百分位数为x ，则0.1+0.015+(x -70)×0.035=0.6，解得x =80，故B 正确，估计这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C 错误，估计总体中成绩落在[50，60)内的学生人数为1000×0.01×10=100，故D 错误．故选：B ．25某个品种的小麦麦穗长度(单位：cm )的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为10.8．【解析】：数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，所以12×80%=9.6，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8．故答案为：10.8．六．点、线、面间的距离计算(共3小题)26如图，在多面体ABCDE 中，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，∠BAE =π2，AB =AD =AE =2BC =2，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明：取DE 中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别为AE ，DE 中点，∴FG ∥AD ，FG =12AD ，又AD ∥BC ，BC =12AD ，∴BC ∥FG ，BC =FG ，∴四边形BCGF 为平行四边形，∴BF ∥CG ，又BF ⊄平面CDE ，CG ⊂平面CDE ，∴BF ∥平面CDE ．(2)∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面ABE ，又∠BAE =π2，则以A 为坐标原点，AB ，AE ，AD正方向为x ，y ，z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则F (0，1，0)，C (2，0，1)，D (0，0，2)，E (0，2，0)，∴CD =(-2，0，1)，DE =(0，2，-2)，FE =(0，1，0)，设平面CDE 的法向量n=(x ，y ，z )，则CD ⋅n=-2x +z =0DE ⋅n =2y -2z =0，令x =1，解得：y =2，z =2，∴n=(1，2，2)，∴点F 到平面CDE 的距离d =|FE ⋅n||n |=23．27如图多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，EA ⊥平面ABCD ，EA ∥BF ，AB =AE =2BF =2．(1)证明：CF ∥平面ADE ；(2)在棱EC 上有一点M (不包括端点)，使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，求点M 到平面BCF 的距离．【答案】(1)证明：取AE 的中点G ，连接GD ，GF ，因为BF ∥EA ，且BF =12AE ，所以AG ∥BF 且AG =BF ，所以四边形AGFB 是平行四边形，所以GF ∥AB ，又因为ABCD 是菱形，所以AB ∥DC ，且AB =DC ，所以GF ∥DC 且GF =DC ，所以四边形CFGD 是平行四边形，CF ∥DG ，又CF ⊄平面ADE ，DG ⊂平面ADE ，所以CF ∥平面ADE ；解：(2)连接BD 交AC 于N ，取CE 中点P ，∵PN ∥AE ，EA ⊥平面ABCD ，∴PN ⊥平面ABCD ，且CN ⊥BN ，∴以N 为原点，NC ，NB ，NP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设在棱EC 上存在点M 使得平面MBD 与平面BCF 的夹角余弦值为155，E (-1，0，2)，B (0，3，0)，C (1，0，0)，F (0，3，1)，A (-1，0，0)，D (0，-3，0)则设CM =λCE=λ(-2，0，2)(0<λ<1)，∴M (1-2λ，0，2λ)，所以DM =(1-2λ，3，2λ)，DB =(0，23，0)，BC =(1，-3，0)，FB=(0，0，-1)设平面DBM 的一个法向量为n=(x ，y ，z )，则n ⋅DM=0n ⋅DB =0，即(1-2λ)x +3y +2λz =023y =0 ，令y =0，x =-2λ，z =1-2λ，得n=(-2λ，0，1-2λ)，设平面FBC 的一个法向量为m=(a ，b ，c )，则m ⋅BC =0m ⋅FB =0，即a -3b =0-c =0 ，取b =1，得m=(3，1，0)，∴|cos ‹n ，m ›|=|m ⋅n ||m |⋅|n |=|-23λ|2(-2λ)2+(1-2i )2=155，解得λ=13或λ=1，又∵0<λ<1，∴λ=13，此时M 13，0，23 ，∴CM =-23，0，23 ，∴点M 到平面BCF 的距离d =|CM ⋅m||m |=2332=33．28如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若直线AF 与平面PAB 所成的角的余弦值为255，求点P 到平面AEF 的距离．【解析】：(1)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BC ．因为ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ，又因为PA ∩AB =A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ，所以AE ⊥BC ．因为PA =AB ，E 为线段PB 的中点，所以AE ⊥PB ，又因为PB ∩BC =B ，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ．又因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ．(2)因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)，E (1，0，1)，易知u=(0，1，0)是平面PAB 的法向量，设BF =t (t ∈[0，2])，则F (2，t ，0)，所以AE=(1，0，1)，AF =(2，t ，0)，所以|cos ‹AF ，u ›|=|AF ⋅u||AF ||u |=1-255 2，即t t 2+4=55，得t =1，所以AF =(2，1，0)，设n=(x 1，y 1，z 1)为平面AEF 的法向量，则n ⋅AE=0，n ⋅AF =0，，所以平面AEF 的法向量n=(-1，2，1)，又因为AP=(0，0，2)，所以点P 到平面AEF 的距离为d =|AP ⋅n ||n |=26=63，所以点P 到平面AEF 的距离为63，由(1)可知，∠BAF 是直线AF 与平面PAB 所成的角，所以cos ∠BAF =AB AF =AB AB 2+BF 2=255，解得BF =12AB =12BC ，故F 是BC 的中点，所以AF =AB 2+BF 2=5，AE =12PB =2，EF =AF 2-AE 2=3，所以△AEF 的面积为S △AEF =12AE ⋅EF =62，因为PA =AB =2，△PAE 的面积为S △PAE =12S △PAB =14PA ⋅AB =1，设点P 到平面AEF 的距离为h ，则有V P -AEF =13S △AEF ⋅h =66h =V F -PAE =13S △PAE ⋅BF =13，解得h =63，所以点P 到平面AEF 的距离为63．七．条件概率(共8小题)A 、B 满足P (A |B )=0.7，P (A)=0.3，则()A.P (A ∩B )=0.3B.P (B |A )=0.3C.事件A ，B 相互独立D.事件A ，B 互斥【解析】：根据题意，设P (B )=x ，由于P (A |B )=0.7，则P (AB )=P (B )P (A |B )=0.7x ，P (A )=1-P (A)=0.7，则P (A )P (B )=0.7x ，则有P (AB )=P (A )P (B )，事件A ，B 相互独立．不确定x 的值，P (A ∩B )=P (AB )=0.7x ，A 错误；P (B |A )=P (AB )P (A )=x ，B 错误；由于A 、B 相互独立，事件A 、B 可能同时发生，则事件A 、B 一定不互斥，D 错误．故选：C ．P (A )=13，P (B |A )=23，P (B |A )=14，则P (B )=　1936　，P (A |B )=　319　．【解析】：P (A )=13，则P (A )=1-P (A )=23，故P (B )=P (AB )+P (A B )=P (A )P (B |A )+P (A )P B |A )=23×23+13×14=1936，P (A |B )=P (AB )P (B )=13×141936=319．故答案为：1936，319．31研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若P (A )=415，P (B )=215，P (C )=710，则P (B |A )=　38　．【解析】：由题意可知P (C )=P (A ∩B )=710，则P (A ∪B )=1-P (A ∩B )=1-710=310．又P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (AB )，所以P (AB )=P (A )+P (B )-P (A ∪B )=415+215-310=110，则P (B |A )=P (AB )P (A )=110415=38．故答案为：38．32已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是()A.0.75B.0.8C.0.76D.0.95【解析】：设买到的产品是甲厂产品为事件A ，买到的产品是乙厂产品为事件B ，则P (A )=0.8，P (B )=0.2，记事件C ：从该地市场上买到一个合格产品，则P (C |A )=0.75，P (C |B )=0.8，所以P (C )=P (AC )+P (BC )=P (A )P (C |A )+P (B )P (C |B )=0.8×0.75+0.2×0.8=0.76．故选：C ．33为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M 对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12．(注：比赛结果没有平局)(Ⅰ)求甲队明星队员M 在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；(Ⅱ)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；(Ⅲ)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M 上场的概率．【解析】：(Ⅰ)事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件A j =“甲队第j 局获胜”，其中j =1，2，3，4，A j 相互独立．又甲队明星队员M 前四局不出场，故P (A j )=12，j =1，2，3，4，B =A 1 A 2A 3A 4+A 1A 2 A 3A 4+A 1A 2A 3 A 4，所以P (B )=C 13×124=316．(Ⅱ)设C 为甲3局获得最终胜利，D 为前3局甲队明星队员M 上场比赛，由全概率公式知，P (C )=P (C |D )P (D )+P (C |D )P (D)，因为每名队员上场顺序随机，故P (D )=C 24A 33A 35=35，P (D )=1-35=25，P (C |D )=122×34=316，P C |D )=123=18，所以P (C )=316×35+18×25=1380．(Ⅲ)由(2)，P (D |C )=P (CD )P (C )=P (C |D )P (D )P (C )=316×351380=913．34某地病毒暴发，全省支援，需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.611D.617【解析】：需要从我市某医院某科室的4名男医生(含一名主任医师)、5名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，设事件A 表示“选派3名男医生和2名女医生，有一名主任医生被选派”，B 表示“选派3名男医生和2名女医生，两名主任医师都被选派”，P (A )=C 23C 24+C 33C 14+C 23C 14C 34C 25=1720，P (AB )=C 23C 14C 34C 25=310，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为：P (B |A )=P (AB )P (A )=3101720=617．故选：D ．35人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．【解析】：设试验一次，“取到甲袋”为事件A 1，“取到乙袋”为事件A 2，“试验结果为红球”为事件B 1，“试验结果为白球”为事件B 2，(1)P (B 1)=P (A 1)P (B 1|A 1)+P (A 2)P (B 1|A 2)=12×910+12×210=1120；所以试验一次结果为红球的概率为1120．(2)①因为B 1，B 2是对立事件，P (B 2)=1-P (B 1)=920，所以P A 1|B 2)=P (A 1B 2)P (B 2)=P (B 2|A 1)P (A 1)P (B 2)=110×12920=19，所以选到的袋子为甲袋的概率为19；②由①得P (A 2|B 2)=1-P A 1|B 2)=1-19=89，中取到红球的概率为：P 1=P (A 1|B2)P (B1|A1)+P (A2|B2)910+89×210=518，方案二中取到红球的概率为：P 2=P (A 2|B 2)P (B 1|A 1)+P (A 1|B 2)P B 1|A 2)=89×910+19×210=3745，所以方案二中取到红球的概率更大．该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1=110，P 2=19，P 3=18．(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率．【解析】：(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P =1-1-110 ×1-19 ×1-18=310．(2)设该批次智能自动检测合格为事件A ，人工抽检合格为事件B ，则P (A )=910，P (AB )=1-310=710，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )=P (AB )P (A )=710910=79．八．全概率公式(共2小题)乙两条生产线，甲生产线的产品次品率为10%，乙生产线的产品次品率为5%．现在某客户在该厂定制生产同一种铅笔产品，由甲、乙两条生产线同时生产，且甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍．现在从这种铅笔产品中任取一件，则取到合格产品的概率为()A.0.92B.0.08C.0.54D.0.38【解析】：甲生产线的产量是乙生产线产量的1.5倍，则从这种铅笔中任取一件抽到甲生产线的概率为0.6，抽到乙生产线的概率为0.4，从这种铅笔产品中任取一件，则取到次品的概率为0.6×10%+0.4×5%=0.08，所以取到合格产品的概率为1-0.08=0.92．故选：A ．第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，则取出的零件是次品的概率为()A.18B.320C.740D.15【解析】：设事件A i 表示从第i (i =1，2)箱中取一个零件，事件B 表示取出的零件是次品，则P (B )=P (A 1。

高考数学概率知识点讲解

高考数学概率知识点讲解概率是高中数学中的一个重要概念，也是广泛应用于现实生活中的数学概念之一。

概率理论可以帮助我们预测事件的可能性和发生的频率。

在高考中，概率是一个重要的考点，掌握概率知识可以帮助考生在高考数学中获得更高的成绩。

一、基本概念概率是一个事件发生的可能性的度量，一般以0到1之间的数值表示。

当一个事件不可能发生时，概率为0；当一个事件一定发生时，概率为1。

例如，掷一枚均匀硬币，出现正面的概率是0.5，出现反面的概率也是0.5。

二、基本原则在概率的理论中，有三个基本原则：加法原理、乘法原理和全概率公式。

1. 加法原理：对于两个互不相容事件A和B，它们的概率和为它们的概率之和。

即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

例如，抛一枚骰子，出现奇数的概率为1/2，而出现偶数的概率也为1/2，它们的和等于1。

2. 乘法原理：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们的概率之积。

即P(A∩B) = P(A) × P(B)。

例如，从一副扑克牌中抽取两张牌，第一张是红心的概率为1/4，而第二张也是红心的概率为1/4，它们的乘积等于1/16。

3. 全概率公式：对于一个事件A，它可以通过多个互不相容的事件B1、B2、...、Bn来发生，那么A的概率等于它们的概率之和。

即P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + ... + P(A∩Bn)。

例如，某班级有40%的学生喜欢音乐，30%的学生喜欢运动，20%的学生既喜欢音乐又喜欢运动，那么随机选择一个学生，他既喜欢音乐又喜欢运动的概率为20%。

三、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率可以用P(A|B)表示，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。

条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

条件概率在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在医学诊断中，医生通过已知的疾病症状来确定患者患某种疾病的可能性。

2020年高考数学试题分类汇编专题概率理精品

2020年高考试题数学(理科)概率、选择题1.(2020年高考浙江卷理科9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率(A) 1(B) 2(C) 3(D )45 5 5 5【答案】B一2A2 AnA^ A^A^A： 2【解析】由古典概型的概率公式得P 1 A3A2 A22.A55 52.(2020年高考辽宁卷理科5)从1, 2, 3, 4, 5中任取2各不同的数，事件A= "取到的2 个数之和为偶数”，事件B= "取到的2个数均为偶数”，则P (Bl A)=(A) 1 (B) 1 (C) 2(D) 18 4 5 2Ci 2 cl 1 u , 1解析：由题意nP(A)= —―5―, P(AB) = —= 一P(B I At=--------- =—.耳5 弓10 , PA 4小组，每位同学参加各个小组的可能性相则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为同,(A) 1(B) 1(C) - (D)-3 2 3 4解析：因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法，两位同学个参加一个小组共有3 13 3 9种方法；所以，甲乙两位同学参加同一个小组的概率为- -9 3点评：本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分析问题、解决问题的能力。

4.(2011年高考广东卷理科6)甲、乙两队断排球决赛.现在的憧&是甲队只要再忘一局就获冠军,乙队初再高两局才能得国军.若两队胜每扃的概率相同.则甲队获谆冠军的概率为()金太阳新课标资源网【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获 (1113)3 (2020年高考全国新课标卷理科4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个得冠军的概率p ————.所以选D.2 2 2 45.(2020年高考湖北卷理科7)如图，用K、A、A2三类不同的元件连成一个系统 .当K正常工作且A i 、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作 .已知K 、A 、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8 ,则系统正常工作的概率为B.0.864C.0.720D.0.576[-S]~~-in ———---- j L -----答案：B解析：系统正常工作概率为 C 2 0.9 0.8 (1 0.8) 0.9 0.8 0.8 0.864 ,所以选B.6. (2020年高考陕西卷理科 10)甲乙两人一起去“ 2020西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是(A) — (B) 1 (Q 9(D) 1369 36 6【答案】D1到6号景点中任选4个进行游览有C 6c 6c 5c 5c 4c 4c 1c 3种，且等可能，最后一小时他们同在一个景点有 C 6c 5c 5c 4c 4c 30种，则最后一小时他们同在一个7. (2020年高考四川卷理科 12)在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量 a= (a,b ).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 n ,其中面积不超过.4的平行四边形的个数为m ,则m () n(A) —(B) 1(C) 2(D)-15 3 5 3答案：B2解析：基本事件：从(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)选取 2个，n C 6 3 5 15 .其中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3) ; m=3+2=5 故 m — 1.n 15 3A.0.960【解析】：各自独立地从景点的概率是p1111111C111111101C6 C6c5c5 C4c4c3c38. （2020年高考福建卷理科 4）如图，矩形 ABCN,点E 为边CD 的中点，若在矩形 ABCD内部随机取一个点 Q,则点Q 取自△ ABE 内部的概率等于8.12D.—3二、填空题：1 .（2020年高考浙江卷理科15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递2 .....................................、，了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为上，得到乙、丙两公司面试的概率为3〜 C 、 1 J 、口…… P （ 0）一，则随机变量的数学期望12 5【答案】53 2 . （2020年高考江西卷理科 12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心白^距离大于。

【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 概率与统计大题(含答案解析)

【高考复习】2020年高考数学(理数) 概率与统计大题1.在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机下单和支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普索(Ipsos)合作，调查了腾讯服务的6 000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带的现金(单位：元)如茎叶图所示，规定：随身携带的现金在100元以下的为“淡定族”，其他为“非淡定族”．(1)根据上述样本数据，列出2×2列联表，判断是否有75%的把握认为“淡定族”与“性别”有关？(2)用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3人，设这3人中“淡定族”的人数为随机变量ξ，求随机变量ξ的概率分布列及数学期望．参考公式：K2=n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n=a＋b＋c＋d.参考数据：2.第四届世界互联网大会在浙江乌镇隆重召开，人工智能技术深受全世界人民的关注，不同年龄段的人群关注人工智能技术应用与发展的侧重点有明显的不同，某中等发达城市的市场咨询与投资民调机构在该市对市民关注人工智能技术应用与发展的侧重方向进行调查，随机抽取1 000名市民，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求这 1 000名市民年龄的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)调查发现年龄在[20,40)的市民侧重关注人工智能技术在学习与工作方面的应用与发展，其中关注智能办公的共有100人，将样本的频率视为总体的频率，从该市年龄在[20,40)的市民中随机抽取300人，请估计这300人中关注智能办公的人数；(3)用样本的频率代替概率，现从该市随机抽取20名市民调查关注人工智能技术在养老服务方面的应用与发展的情况，其中有k名市民的年龄在[60,80]的概率为P(X=k)，其中k=0,1,2，…，20，当P(X=k)最大时，求k的值．3.某校高三年级有500名学生，一次考试的英语成绩服从正态分布N(100,17.52)，数学成绩的频率分布直方图如下：(1)如果成绩高于135分的为特别优秀，则本次考试英语、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？(2)试问本次考试英语和数学的平均成绩哪个较高，并说明理由；(3)如果英语和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ-σ<X≤μ＋σ)=0.68，P(μ-2σ<X≤μ＋2σ)=0.96，P(μ-3σ<X≤μ＋3σ)=0.99.4.已知具有相关关系的两个变量x ，y 的几组数据如下表所示：(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x ＋a ^，并估计当x=20时y 的值；(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x-y-4=0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列以及期望．参考公式：b ^=∑i=1nx i y i －n x－y －∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^=y --b ^x -.5.某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A，B，C三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款方式付款的客户进行统计分析，得到柱状图如图所示．已知从A，B，C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元、2万元、3万元．现甲、乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率估计1位客户采用相应分期付款方式的概率．(1)求甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率；(2)记X(单位：万元)为该汽车经销商从甲、乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与期望．6.某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万元)的数据如下：(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程；(2)若用y=c ＋d x 模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程y ^=1.63＋0.99x ，经计算线性回归模型和该模型的R 2分别约为0.75和0.88，请用R 2说明选择哪个回归模型更好；(3)已知利润z 与x ，y 的关系为z=200y-x.根据(2)的结果回答下列问题：①广告费x=20时，销售量及利润的预报值是多少？②广告费x 为何值时，利润的预报值最大？(精确到0.01)参考公式：回归直线y ^=a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^=∑i=1n x i y i －n x－y －∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^=y --b ^x -.参考数据：5≈2.24.7.通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：(1)将题中的2×2列联表补充完整；(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(3)如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.8.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率；(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．9.近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事，并且逐渐影响到国际电子商务行业．某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略，随机调查了1 000名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位：时)，并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图．由频率分布直方图可以认为，这10天网购所花的时间T近似服从N(μ，σ2)，其中μ用样本平均值代替，σ2=0.24.(1)计算μ，并利用该正态分布求P(1.51＜T＜2.49)．(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体，将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户，对目标客户发送广告提醒．现若随机抽取10 000名客户，记X为这10 000人中目标客户的人数．(ⅰ)求EX；(ⅱ)问：10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大？附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ＜Z＜μ＋σ)=0.682 6，P(μ-2σ＜Z＜μ＋2σ)=0.954 4，P(μ-3σ＜Z＜μ＋3σ)=0.997 4.0.24≈0.49.10.某学校为了丰富学生的课余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取一首，背诵正确加10分，背诵错误减10分，且背诵结果只有“正确”和“错误”两种．其中某班级学生背诵正确的概率p=23，记该班级完成n 首背诵后的总得分为S n . (1)求S 6=20且S i ≥0(i =1,2,3)的概率；(2)记ξ=|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．答案解析1.解：(1)依题意可得2×2列联表如下：K 2=60×10×12－30×8218×42×40×20≈1.429>1.323，故有75%的把握认为“淡定族”与“性别”有关．(2)用样本估计总体，用户中为“淡定族”的概率为1860=310，ξ的可能取值为0,1,2,3，由题意，得到ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，310， P(ξ=k)=C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫310k ⎝ ⎛⎭⎪⎫7103-k，k=0,1,2,3，随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×3431 000＋1×4411 000＋2×1891 000＋3×271 000=9001 000=910.2.解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的1 000名市民年龄的平均数 x -=25×0.05＋35×0.1＋45×0.2＋55×0.3＋65×0.25＋75×0.1=54(岁)．设1 000名市民年龄的中位数为x ，则0.05＋0.1＋0.2＋0.03×(x -50)=0.5，解得x=55，所以这1 000名市民年龄的平均数为54，中位数为55.(2)由频率分布直方图可知，这1 000名市民中年龄在[20,40)的市民共有 (0.05＋0.10)×1 000=150人，所以关注智能办公的频率为100150=23，则从该市年龄在[20,40)的市民中随机抽取300人，这300人中关注智能办公的人数为300×23=200.故估计这300人中关注智能办公的人数为200.(3)设在抽取的20名市民中，年龄在[60,80]的人数为X ，X 服从二项分布，由频率分布直方图可知，年龄在[60,80]的频率为(0.025＋0.010)×10=0.35，所以X ～B(20,0.35)，所以P(X=k)=C k 200.35k (1-0.35)20-k，k=0,1,2， (20)设t=P X ＝k P X ＝k －1=C k 200.35k 0.6520－kC k －1200.35k －10.6521－k =721－k 13k ，k=1,2，…，20. 若t>1，则k<7.35，P(X=k-1)<P(X=k)；若t<1，则k>7.35，P(X=k-1)>P(X=k)．所以当k=7时，P(X=k)最大，即当P(X=k)最大时，k 的值为7.3.解：(1)因为英语成绩服从正态分布N(100,17.52)，所以英语成绩特别优秀的概率P 1=P(X≥135)=(1-0.96)×12=0.02，由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率P 2=0.001 6×20×34=0.024，所以英语成绩特别优秀的学生大约有500×0.02=10(人)，数学成绩特别优秀的学生大约有500×0.024=12(人)． (2)本次考试英语的平均成绩为100分，数学的平均成绩为60×0.16＋80×0.168＋100×0.48＋120×0.16＋140×0.032=94.72(分)，因为94.72<100，所以本次考试英语的平均成绩较高．(3)英语和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有10人， ξ可取的值有0,1,2,3，所以P(ξ=0)=C 310C 316=314，P(ξ=1)=C 210C 16C 316=2756，P(ξ=2)=C 110C 26C 316=1556，P(ξ=3)=C 36C 316=128，故ξ的分布列为E(ξ)=0×314＋1×2756＋2×1556＋3×128=98.4.解：(1)散点图如图所示：(2)依题意，x -=15×(2＋4＋6＋8＋10)=6，y -=15×(3＋6＋7＋10＋12)=7.6，∑i ＝15x 2i=4＋16＋36＋64＋100=220，∑i ＝15x i y i =6＋24＋42＋80＋120=272，b ^=∑i=15x i y i －5x－y－∑i ＝15x 2i －5x －2=272－5×6×7.6220－5×62=4440=1.1，∴a ^=7.6-1.1×6=1， ∴线性回归方程为y ^=1.1x ＋1，故当x=20时，y=23.(3)可以判断，落在直线2x-y-4=0右下方的点满足2x-y-4>0，故符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，故ξ的所有可能取值为1,2,3，P(ξ=1)=C22C13C35=310，P(ξ=2)=C12C23C35=610=35，P(ξ=3)=C33C35=110，故ξ的分布列为故E(ξ)=1×310＋2×35＋3×110=1810=95.5.解：(1)设“采用A种分期付款方式购车”为事件A，“采用B种分期付款方式购车”为事件B，“采用C种分期付款方式购车”为事件C，由柱状图得，P(A)=35100=0.35，P(B)=45100=0.45，P(C)=20100=0.2，∴甲、乙两人采用不同分期付款方式的概率P=1-(P(A)·P(A)＋P(B)·P(B)＋P(C)·P(C))=0.635.(2)由题意知，X的所有可能取值为2,3,4,5,6，P(X=2)=P(A)P(A)=0.35×0.35=0.122 5，P(X=3)=P(A)P(B)＋P(B)P(A)=0.35×0.45＋0.45×0.35=0.315，P(X=4)=P(A)P(C)＋P(B)P(B)＋P(C)P(A)=0.35×0.2＋0.45×0.45＋0.2×0.35=0.342 5，P(X=5)=P(B)P(C)＋P(C)P(B)=0.45×0.2＋0.2×0.45=0.18，P(X=6)=P(C)P(C)=0.2×0.2=0.04.∴X的分布列为E(X)=0.122 5×2＋0.315×3＋0.342 5×4＋0.18×5＋0.04×6=3.7.6.解：(1)∵x-=8，y-=4.2，∑i＝17x i y i=279.4，∑i＝17x2i=708，∴b^=∑i=17x i y i－7x－y－∑i＝17x2i－7x－2=279.4－7×8×4.2708－7×82=0.17，a^=y--b^x-=4.2-0.17×8=2.84，∴y关于x的线性回归方程为y^=0.17x＋2.84.(2)∵0.75<0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，∴选用y^=1.63＋0.99x更好．(3)由(2)知，①当x=20时，销售量的预报值y^=1.63＋0.9920≈6.07(万台)，利润的预报值z=200×6.07-20≈1 194(万元)．②z=200(1.63＋0.99x)-x=-x＋198x＋326=-(x)2＋198x＋326=-(x-99)2＋10 127，∴当x=99，即x=9 801时，利润的预报值最大，故广告费为9 801万元时，利润的预报值最大．7.解：(1)题中的2×2列联表补充如下：(2)K 2=100×40×25－20×15255×45×60×40≈8.25>6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(3)由题意，抽取6人中包括男生4名，女生2名，X 的取值为0,1,2，则P(X=0)=C 34C 36=15，P(X=1)=C 24C 12C 36=35，P(X=2)=C 14C 22C 36=15，故X 的分布列为E(X)=0×15＋1×35＋2×15=1.8.解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ，则P(M)=C 325C 350=23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a ，当a=38时，X=38×6=228，当a=39时，X=39×6=234，当a=40时，X=40×6=240，当a=41时，X=40×6＋1×7=247，当a=42时，X=40×6＋2×7=254.所以X 的所有可能取值为228,234,240,247,254. 故X 的分布列为所以E(X)=228×110＋234×15＋240×15＋247×25＋254×110=241.8.②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1=39.7，所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7=238.8元．由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元．因为238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘． 9.解：(1)μ=0.4×(0.050×0.8＋0.225×1.2＋0.550×1.6＋0.825×2.0＋0.600×2.4＋0.200×2.8＋0.050×3.2)=2，从而T 服从N(2,0.24)，又σ=0.24≈0.49，从而P(1.51＜T ＜2.49)=P(μ-σ＜T ＜μ＋σ)=0.682 6. (2)(ⅰ)任意抽取1名客户，该客户是目标客户的概率为P(2＜T ＜2.98)=P(μ＜T ＜μ＋2σ) =12P(μ-2σ＜T ＜μ＋2σ)=12×0.954 4=0.477 2. 由题意知X 服从B(10 000,0.477 2)，所以EX=10 000×0.477 2=4 772. (ⅱ)X 服从B(10 000,0.477 2)，P(X=k)=C k 10 0000.477 2k (1-0.477 2)10 000-k =C k 10 0000.477 2k ·0.522 810 000-k(k=0,1,2，…，10 000)．设当X=k(k≥1，k ∈N)时概率最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧P X ＝k ＞P X ＝k ＋1，PX ＝k ＞P X ＝k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧0.522 8C k 10 000＞0.477 2C k ＋110 000，0.477 2C k 10 000＞0.522 8C k －110 000，解得k=4 772.故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大． 10.解：(1)当S 6=20时，即背诵6首后，正确的有4首，错误的有2首．由S i ≥0(i =1,2,3)可知，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．则所求的概率P=⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13=1681.(2)由题意知ξ=|S 5|的所有可能的取值为10,30,50，又p=23，∴P(ξ=10)=C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133=4081，P(ξ=30)=C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫231×⎝ ⎛⎭⎪⎫134=3081，P(ξ=50)=C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235×⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫230×⎝ ⎛⎭⎪⎫135=1181，∴ξ的分布列为∴E(ξ)=10×4081＋30×3081＋50×1181=1 85081.。

高考数学概率题解析

高考数学概率题解析概率是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助人们在面对不确定性的情况下做出合理的决策和判断。

因此，在高考数学中，概率也是一个重要的知识点。

今天，我将为大家解析一些高考数学中常见的概率题，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看一个简单的例子。

假设有一个袋子，里面有红、黄、蓝三种颜色的球，每种颜色的球的数量分别为3个、4个、5个。

现在从袋子中随机抽取一个球，请问抽到红球的概率是多少？解析：首先，总共有12个球，其中红球有3个，所以红球的概率可以表示为3/12，即1/4。

这个例子比较简单，我们只需要计算红球的数量占总球数的比例即可得到概率。

接下来，我们来看一个稍微复杂一点的例子。

假设有一次考试，某班级有40个学生，他们分别去考试。

考试只有两道题目，每个学生都会做。

第一题有10%的学生做错，第二题有15%的学生做错。

现在我们从这个班级中随机抽取一个学生，请问这个学生两道题都做对的概率是多少？解析：根据题意，第一题做对的概率是90%，第二题做对的概率是85%。

由于两道题目是相互独立的，所以这个学生两道题都做对的概率可以用乘法原理来求解，即0.9×0.85=0.765。

所以这个学生两道题都做对的概率是76.5%。

除了常见的两个思路之外，计算概率还可以使用另外两种方法，即频率法和几何法。

频率法是通过大量重复实验，根据实验结果中某一事件出现的频率来估计事件的概率。

这种方法更加注重实证，是概率论发展的重要方法之一。

例如，我们想要知道扔一枚硬币正面朝上的概率，可以通过大量重复实验，记录正面朝上的频率，然后用频率除以实验次数，得到概率的估计值。

几何法是通过几何模型中的几何形状，来求解事件的概率。

通常情况下，几何法用于解决连续型和多维随机变量的概率问题。

例如，我们想要求解一根细杆在某一长度范围内的概率，可以利用几何模型中的区域面积来表示。

除了上面提到的方法之外，我们在计算概率时还可以使用数学公式和性质。

2020年高考理科数学之高频考点解密28二项式定理(解析版)

2020年高考理科数学之高频考点解密28二项式定理(解析版)一、二项式定理的概念二项式定理是数学中非常重要的一个定理，它描述了二项式展开式的规律。

二项式定理的公式如下：$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{nk}b^k$其中，$C_n^k$ 表示组合数，表示从n个不同元素中选取k个元素的组合方式的总数。

组合数的计算公式为：$C_n^k = \frac{n!}{k!(nk)!}$其中，$n!$ 表示n的阶乘，即从1乘到n的连乘积。

二、二项式定理的应用1. 求解二项式展开式的系数：二项式定理可以帮助我们求解二项式展开式的系数。

例如，求解 $(x+2)^3$ 的展开式，可以使用二项式定理来计算各项的系数。

2. 求解二项式展开式的项数：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的项数。

例如，求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项，可以使用二项式定理来计算。

3. 求解二项式展开式的通项公式：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的通项公式。

例如，求解 $(x+y)^4$ 的展开式的通项公式，可以使用二项式定理来推导。

三、二项式定理的例题解析为了更好地理解二项式定理的应用，下面我们将通过几个例题来进行解析。

例题1：求解 $(x+3)^4$ 的展开式。

解析：根据二项式定理，$(x+3)^4$ 的展开式可以表示为：$(x+3)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k x^{4k}3^k$计算各项的系数，得到展开式为：$(x+3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$例题2：求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项。

解析：根据二项式定理，$(x+1)^5$ 的展开式的项数等于 $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$。

计算各项的系数，得到展开式的项数为：$C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$因此，$(x+1)^5$ 的展开式共有32项。

2020年高考数学试题分类汇编：概率.docx

2020 年高考数学试题分类汇编：概率【考点阐述】随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．【考试要求】（ 1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．（ 2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率．（ 3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．（4）会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生κ 次的概率．【考题分类】（一）选择题（共8 题）1.（福建卷理 5）某一批花生种子，如果每1 粒发牙的概率为4 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发5芽的概率是（）1696C.192D.256A.B.625625625625【标准答案】 B22【试题解析】由 P4 (2) C 4241 9655 625【高考考点】独立重复实验的判断及计算【易错提醒】容易记成二项展开式的通项,当然这题因为数字的原因不涉及.【学科网备考提示】请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别 ,所以要强化公式的记忆.2.（福建卷文 5）某一批花生种子，如果每1 粒发芽的概率为4，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒5发芽的概率是（）12 1648 96A.B.C.D.125125125125【标准答案】 C21【标准答案】由 P 3(2) C 32 41 4855 125【高考考点】独立重复实验的判断及计算【易提醒】容易成二展开式的通.【学科网考提示】考生注意公式与二展开式的通的区3.（江西卷理11文 11）子一天示的是从 00:00 到 23: 59 ,所以要化公式的的每一刻都由四个数字.成，一天中任一刻的四个数字之和23 的概率（）1111A ．B ．C ．D ．180288360480【准答案】 C .【准答案】一天示的共有24 60 1440 种 ,和 23 共有 4 种 ,故所求概率1 .3604. （宁卷理 7 文 7） 4 卡片上分写有数字 1，2， 3， 4，从 4 卡片中随机抽取2 ，取出的2 卡片上的数字之和奇数的概率（）1123A ．B ．C ．D ．3234【答案】：C【解析】：本小主要考等可能事件概率求解。

2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练及答案解析

2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练【题型归纳】题型一古典概型与几何概型例1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 . 【答案】【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为. 例2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示：(1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20(百元)和不低于30(百元)的两类人群在该项措施的态度上有何不同；(2)现从样本中月收入在)20,10[和)70,60[的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率．【答案】（1）详见解析；（2）2011. 【解析】(1)由表知，样本中月收入低于20(百元)的共有5人，其中持赞成态度的共有2人，故赞成人数的频率为52，月收入不低于30(百元)的共有75人，其中持赞成态度的共有64人，故赞成人数的频率为7564， ∵527564>，∴根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30(百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收入低于20(百元)的人群持赞成态度的比例要高．(2) 将月收入在)20,10[内，不赞成的3人记为321,,a a a ，赞成的2人记为54,a a ，将月收入在)70,60[内，不赞成的1人记为1b ，赞成的3人记为,,,432b b b 从月收入在)20,10[和)70,60[内的人中各随机抽取1人，基本事件总数20=n ，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有5840155408-=),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(1514433323423222413121b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 共11个，∴抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率2011=P . 【易错点】求解古典概型问题的关键：先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数，结合古典概型概率公式求解．一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件的概率，从而简化运算．【思维点拨】1. 求复杂互斥事件概率的方法一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式()()1P A P A ＝－，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件A 包含的基本事件个数；代入公式，求出()P A ；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比. 题型二统计与统计案例例1、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：],90,80[,),40,30[),30,20[Λ并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间)50,40[内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（Ⅰ）4.0；（Ⅱ）20；（Ⅲ）2:3.【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为6.010)04.002.0(=⨯+，所以样本中分数小于70的频率为4.06.01=-.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.所以总体中分数在区间内的人数估计为. （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为6010010)04.002.0(=⨯⨯+，所以样本中分数不小于70的男生人数为302160=⨯.所以样本中的男生人数为60230=⨯，女生人数为4060100=-，男生和女生人数的比例为2:340:60=，所以根据分层抽样的原理，总体中男生和女生人数的比例估计为2:3. 【易错点】求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个．【思维点拨】1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 4．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 5.求回归直线方程的关键①正确理解计算^^,a b 的公式和准确的计算．②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=[40,50)1001000.955-⨯-=[40,50)540020100⨯=系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． 6.独立性检验的关键①根据22⨯列联表准确计算2K ，若22⨯列联表没有列出来，要先列出此表． ②2K 的观测值k 越大，对应假设事件0H 成立的概率越小，0H 不成立的概率越大．题型三概率、随机变量及其分布例1、“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为； ②若，则，．【答案】(1) (2) （3）的分布列为；．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为A x Z ()2,N μσZ ()14.55,38.45()10,30X X 11.95σ=≈()2~,Z N μσ()0.6826P Z μσμσ-<≤+=(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=26.5x =0.6826X ()2E X =x．（2）①∵服从正态分布，且，，∴， ∴落在内的概率是． ②根据题意得，；；；；． ∴的分布列为∴． 50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Z ()2,N μσ26.5μ=11.95σ≈(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=Z ()14.55,38.450.68261~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X ()1422E X =⨯=【思维点拨】1.条件概率的两种求解方法: (2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数)(A n ,再求事件AB 所包含的基本事件数()AB n ,得)()()|(A n AB n A B P =. 2.判断相互独立事件的三种常用方法:(1)利用定义,事件B A ,相互独立⇔)()()(B P A P AB P ⋅=.（2）利用性质,A 与B 相互独立,则A 与A B ,与B ,B A 与也都相互独立. (3)具体背景下,①有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的. ②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.3. 求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率.4. 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足公式k n k k n p p C k X P --==)1()(的三个条件:(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ;(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.5. 求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量X 的均值、方差,求X 的线性函数b aX Y +=的均值、方差,可直接用均值、方差的性质求解,即b X aE b aX E +=+)()(,)()(2X D a b aX D =+(b a ,为常数).(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,即若X 服从两点分布,则p X E =)(,)1()(p p X D -=;若),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=.【巩固训练】题型一古典概型与几何概型1.已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（）A .B .C .D . {}0 1 2a ∈，，{}1 1 3 5b ∈-，，，()22f x ax bx =-()1 +∞，512131416【答案】A【解析】①当时，，情况为符合要求的只有一种； ②当时，则讨论二次函数的对称轴要满足题意则产生的情况表示：，8种情况满足的只有4种; 综上所述得：使得函数在区间为增函数的概率为：1251214=+=P .2.在区间上任取一数，则的概率是（）A ．B ．C .D ．【答案】C【解析】由题设可得,即;所以,则由几何概型的概率公式.故应选C .(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．【答案】(1) 0.4；(2) 45；（3）74. 【解析】(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为0a =()2f x bx =- 1 1 3 5b =-，，，1b =-0a ≠22b b x a a -=-=1ba≤() a b ，()()()1 1 1 1 1 3-，，，，，()()()()()1 5 2 1 2 1 2 3 2 5-，，，，，，，，，()22f x ax bx =-()1 +∞，()0,4x 1224x -<<12131434211<-<x 32<<x 4,1==D d 41=P考向二统计与统计案例1.为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只, （Ⅰ）求列联表中的数据,,,的值；（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？（Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？22⨯x y A B【答案】（Ⅰ）,,,；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）至少有%9.99的把握认为疫苗有效.【解析】（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物”为事件A, 由已知得,所以,,,．发病率的条形统计图如图所示,由图可以看出疫苗影响到发病率．10y =40B =40x =60A =302()1005y P A +==10y =40B =40x =60A =未注射注射．所以至少有%9.99的把握认为疫苗有效.2.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（Ⅱ）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关系为，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大？参考公式：，，．【答案】（1）；（2）公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．【解析】（1）10085)())(()(,4,42112121^=---=--===∑∑∑∑====x x y yx x x n xyx n yx b y x ni ini iini ini iiΘ，6.0^^=-=x b y a ， ∴y 关于x 的线性回归方程6.085.0+=x y .（2），区平均每个分店的年利润，∴时，取得最大值，故该公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．10000005016.6710.8285020603=≈>⨯⨯S A x y x y x y x A z ,x y 20.05 1.4z y x =--A A y b x a ∧∧∧=+1221ni i i nii x y nxyb x nx ∧==-==-∑∑()()()121niii n ii x x y y x x ==---∑∑a y b x ∧∧=-0.850.6y x =+A A 20.05 1.4z y x =--=20.050.850.8x x -+-A 0.80.050.85z t x x x ==--+800.0150.85x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭4x =t A A3. 某商场对商品30天的日销售量y (件)与时间t (天)的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量y (件)与时间t (天)之间具有线性相关关系．(1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于t 的线性回归方程a t b y +=. (2)已知商品30天内的销售价格z (元)与时间t(天)的关系为,),200(,20),3020(,100⎩⎨⎧∈<<+∈≤≤+-=N t t t N t t t z 根据(1)中求出的线性回归方程，预测t 为何值时，商品的日销售额最大．参考公式：2121^)(t n tyt n yt b ni ini ii--=∑∑==，t b y a ^^-=.【答案】(1)40^+-=t y ；(2)预测当20=t 时，商品的日销售额最大，最大值为1600元．【解析】(1)根据题意，6)108642(51=++++⨯=t ，34)3033323738(51=++++⨯=y ， 980301033832637438251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i i i y t ，22010864222222512=++++=∑=i i t ，所以回归系数为1652203465980)(22121^-=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==t n tyt n yt b ni ini ii，406)1(34^^=⨯--=-=t b y a ，故所求的线性回归方程为40^+-=t y . （2）由题意得日销售额为,,3020),40)(100(,200),40)(20(⎩⎨⎧∈≤≤+-+-∈<<+-+=Nt t t t Nt t t t L当N t t ∈<<,200时，900)10(80020)40)(20(22+--=++-=+-+=t t t t t L ，所以当;90010max ==L t 时，当N t t ∈≤≤,3020时，900)70(4000140)40)(100(22--=+-=+-+-=t t t t t L ，所以当.160020max ==L t 时，综上所述，预测当20=t 时，A 商品的日销售额最大，最大值为1600元. 题型三概率、随机变量及其分布A A A A1.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者654321,,,,,A A A A A A 和4名女志愿者4321,,,B B B B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含的频率。

高中数学教案高频考点总结

高中数学教案高频考点总结主题：高频考点总结教学内容：本节课主要总结高中数学中的高频考点，帮助学生备考高考以及提高数学成绩。

一、函数与方程1.函数的概念，函数的表示与性质2.一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等常见函数的性质与图象3.函数的运算：复合函数、函数的求导、函数的积分等4.方程的解法：代数法、几何法、因式分解法、开方法等二、三角函数1.三角函数的定义、性质和图象2.三角函数的变换：平移、拉伸、反演等3.三角函数的解法：反三角函数、三角恒等式等三、数列与级数1.等差数列、等比数列的性质与求和公式2.数列的数学归纳法证明3.级数的概念及性质4.级数求和法四、空间解析几何1.空间直角坐标系及其性质2.直线、平面的方程与性质3.球面、圆柱、圆锥等常见几何体的方程与性质4.空间中的距离、角度、投影等概念五、概率与统计1.随机事件、概率的性质和计算方法2.概率分布、期望、方差等概念及计算3.样本调查、抽样调查、统计图表等相关知识教学方法：1.理论讲解结合实例分析2.小组讨论、合作解题3.课堂练习、作业布置4.提供相关复习资料及练习题教学重点：1.函数与方程中的基本概念与性质2.三角函数的定义及应用3.数列与级数的求和法4.空间解析几何中的常见几何体与性质5.概率与统计中的概率计算与统计分析教学难点：1.三角函数的变换与解法2.数列级数的证明与应用3.空间几何的立体图形分析及计算4.统计中的抽样调查、数据处理与分析课堂练习：1.求一次函数的导数及积分2.解一元一次方程组3.计算等差数列的前n项和4.求解三角函数方程5.空间直线与平面的相关计算作业布置：1.复习高中数学中的重要考点2.完成相关练习题3.准备下节课的教学内容教学反馈：1.及时总结学生学习情况2.针对学生问题进行解答3.鼓励学生积极参与课堂讨论及练习。

高考数学2024概率与统计历年题目全解

高考数学2024概率与统计历年题目全解概率与统计作为高考数学中的重要部分，一直是考生们难以逾越的“坎”。

为了帮助广大考生更好地应对高考概率与统计部分的考题，本文将对高考数学2024年概率与统计题目进行全面解析，希望能够为考生们提供帮助和指导。

1. 选择题部分选择题是高考中概率与统计部分的常见题型，也是考生们容易出错的地方。

以下是2024年高考概率与统计选择题的解答：题目一：已知事件A发生的概率为P(A)=0.6，事件B发生的概率为P(B)=0.3，且事件A与事件B相互独立。

求事件A发生且事件B不发生的概率。

解答一：事件A发生且事件B不发生，表示为A发生的概率P(A)乘以B不发生的概率P(B')，即P(A且B')=P(A)×P(B')=0.6×(1-0.3)=0.6×0.7=0.42。

因此，事件A发生且事件B不发生的概率为0.42。

题目二：已知事件C发生的概率为P(C)=0.4，事件D发生的概率为P(D)=0.5，且事件C与事件D相互独立。

求事件C或事件D发生的概率。

解答二：事件C或事件D发生，表示为C发生的概率P(C)加上D发生的概率P(D)，即P(C或D)=P(C)+P(D)=0.4+0.5=0.9。

因此，事件C或事件D发生的概率为0.9。

2. 计算题部分计算题是概率与统计部分的重要考察内容，需要考生们掌握一定的计算方法和技巧。

以下是2024年高考概率与统计计算题的解答：题目一：某班有40名学生，其中20名男生、20名女生。

现从该班级随机选取3名学生，求选出的3名学生全为男生的概率。

解答一：选出的3名学生全为男生的概率等于从20名男生中选取3名学生的概率除以从40名学生中选取3名学生的概率。

即P(全为男生)=C(20,3)/C(40,3)=[20×19×18]/[40×39×38]=0.0283。

因此，选出的3名学生全为男生的概率为0.0283。

高三数学高频考点试题

高三数学高频考点试题高三是学生们在学业上至关重要的一年，数学作为主要学科之一，掌握高频考点对于取得好成绩至关重要。

以下将为大家详细介绍一些高三数学的高频考点试题。

函数是高三数学中的重点和难点，也是高频考点之一。

比如求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。

先来看求函数定义域的问题。

例如：函数$f(x)＝＼frac{1}｛＼sqrt{x 1}｝＋＼ln （3 x)＄，求其定义域。

这道题需要考虑分母不为零、偶次根式下被开方数大于等于零以及对数中真数大于零等条件。

即：＄x 1 ＞ 0$且$3 x ＞ 0$，解得$1 ＜ x ＜ 3$，所以定义域为$（1, 3)＄。

再说说函数的值域问题。

像函数$f(x) ＝ x ＋＼sqrt{1 x}＄的值域该怎么求呢？可以通过换元法，令$＼sqrt{1 x} ＝ t$，则$x ＝ 1 t^2$，那么函数就变成了$y ＝ 1 t^2 ＋ t$。

再对这个二次函数进行分析，根据其对称轴和定义域来确定值域。

函数的单调性也是常考的。

比如判断函数$f(x) ＝ x^3 3x$的单调性。

对其求导得$f'（x) ＝ 3x^2 3$，令$f'（x) ＞ 0$和$f'（x) ＜ 0$，求出单调递增和单调递减区间。

三角函数也是高三数学的高频考点。

比如解三角形，已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他边和角。

例如，在$＼triangle ABC$中，＄a ＝ 2$，＄b ＝ 3$，＄A ＝ 30°＄，求角$B$。

根据正弦定理$＼frac{a}｛＼sin A} ＝＼frac{b}｛＼sin B}＄，可得$＼sin B ＝＼frac{b ＼sin A}｛a} ＝＼frac{3 ＼sin 30°｝｛2} ＝＼frac{3}｛4}＄，所以$B ＝＼arcsin\frac{3}｛4}＄或$B ＝＼pi ＼arcsin\frac{3}｛4}＄。

还有三角函数的图像和性质，像求函数$y ＝＼sin(2x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＄的对称轴、对称中心、单调区间等。

2025年高考数学概率知识点与考点全解析

2025年高考数学概率知识点与考点全解析高考数学中的概率部分一直是重点和难点，对于 2025 年的高考考生来说，深入理解和掌握概率的知识点与考点至关重要。

本文将对概率的相关内容进行全面解析，帮助同学们更好地应对高考。

一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。

在概率的学习中，首先要理解随机事件、必然事件和不可能事件的概念。

随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。

比如掷骰子出现的点数就是随机事件。

必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件。

例如，太阳从东方升起就是必然事件。

不可能事件是指在一定条件下不可能发生的事件。

比如在标准大气压下，水在 0 摄氏度时结冰但不沸腾就是不可能事件。

概率的取值范围在 0 到 1 之间。

如果一个事件发生的概率为 0，则该事件为不可能事件；如果概率为 1，则为必然事件；如果概率在 0 到1 之间，则为随机事件。

二、古典概型古典概型是概率中最基本的模型之一。

具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。

2、每个基本事件出现的可能性相等。

在古典概型中，事件 A 的概率计算公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。

例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。

基本事件的总数为 8，取出红球包含的基本事件个数为5，所以取出红球的概率为 5/8。

解决古典概型问题时，关键是要正确确定基本事件的总数和所求事件包含的基本事件个数。

三、几何概型几何概型是另一类重要的概率模型。

与古典概型不同的是，几何概型中的基本事件个数是无限的。

其特点是：每个基本事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例。

例如，在一个边长为 1 的正方形区域内随机投点，求点落在其内切圆内的概率。

正方形的面积为 1，内切圆的面积为π/4，所以点落在内切圆内的概率为π/4。

四、条件概率条件概率是在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

2020年高考理科数学之高频考点解密25 概率(解析版)

解密25概率考点1 古典概型题组一古典概型的概率求解调研1 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为A．112B．19C．16D．14【答案】B【解析】将先后两次的点数记为有序数实数对(x,y )，则共有6×6=36个基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4个，则满足条件的概率为41369=．故选B ．调研2 从装有大小、材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率为 A ．23 B ．12 C ．25D ．13【答案】C【解析】记3个红球分别为a,b,c ，3个黑球分别为x,y,z ，则随机取出两个小球共有26C 15=种可能，其中两个小球同色共有6种可能：ab,ac,bc,xy,xz,yz ，根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为615=25，故选C ．调研3 有4张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为 A ．12 B ．35 C ．13D ．56【答案】A【解析】有4张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则基本事件总数为24C 6=，取出的2张卡片中含有红色卡片包含的基本事件数为1113C C =3，所以取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为3162=．故选A ．☆技巧点拨☆在选择题或者填空题中利用枚举计数的方法考查古典概型，或结合排列、组合计数的方法考查古典概型，在解答题中常和概率、统计的其他知识结合考查古典概型和概率的性质.题组二用随机模拟估计概率调研4 规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.根据以往经验，某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生0到9之间的随机整数，用0,1表示该次投掷未在8 环以上，用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在8 环以上，经随机模拟试验产生了如下20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683031 257 393 527 556 488 730 113 537 989据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】由所给数据可知，20组数据中有3组191，031，113不是优秀，其余17组是优秀，所以可以拿到优秀的概率为17 20，故选D．调研5 袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A ．19 B ．318 C ．29D ．518【答案】C【解析】因为随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：021，001，031，130，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为418=29，故选C.考点2 几何概型题组一几何概型的概率求解调研1 有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于l 的概率为 A ．13 B ．23 C ．34D ．14【答案】B【解析】设点P 到点O 的距离小于1的概率为P 1，由几何概型，得P 1＝322π13π12V V ⨯⨯⨯半球圆柱＝＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23. 故选B.调研2 在区间[－π6，π2]上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是A ．12B ．34C ．38D ．58【答案】B【解析】由sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[1，2]，得22≤sin(x ＋π4)≤1，因为x ∈[－π6，π2]，所以在区间[－π6，π2]内，满足sin(x ＋π4)∈[22，1]的x ∈[0，π2]，故所求的概率为π2－0π2－(－π6)＝34.故选B ．【名师点睛】与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．调研3 ABC △中，AB =4,AC =6,AB ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,在线段AC 上任取一点P ，则PAB △的面积小于4√3的概率是 A ．12 B ．13 C ．23D ．35【答案】C【解析】由AB =4,AC =6,AB ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12得24cosA =12，1cos sin 2A A ∴∴=＝，则1sin 2ABC S AB AC A ⋅==△ ∴PAB △的面积小于23=．故选C ．【名师点睛】与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．调研4 某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为______________．【答案】16【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，所以等待时间不多于10分钟的概率为101606P ==．调研5 一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为______________．【答案】π14 -【解析】由题意，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，得到四个14的圆的面积为π，又由边长为2的正方形的面积为4S=，根据面积比的几何概型可得概率为4ππ144 p-==-.题组二随机模拟的应用调研6 下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形ABCD的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计π的近似值为A．254mnB．4mnC．425mnD．25mn【答案】D【解析】Q小正方形的边长为2，∴圆的半径为1，圆的面积为π，又Q大正方形的边长为5，∴正方形的面积为25，由几何概型的概率计算公式可得π25,π25m mn n≈≈，故选D．☆技巧点拨☆几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型.考点3 随机变量及其分布题组一离散型随机变量的分布列、均值与方差调研1 已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为 A ．3200 B ．3400 C ．3500D ．3600【答案】C【解析】设检测的机器的台数为x ,则x 的所有可能取值为2,3,4.则()()()()()1131223332222553A C A C A A 1332,3,4123,A 10A 105P x P x P x P x P x +========-=-==+ 所以Ex =2×110+3×310+4×35=3.5，所以所需的检测费用的均值为1000×3.5=3500.故选C ．调研2 已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则()E ξ=A ．145B ．135 C ．73D ．83【答案】A【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122()i i E p p p ξξξξ=++++L L 可求得数学期望．【解析】ξ的可能取值为2,3,4，2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故339(2)5525P ξ==⨯=；3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球或各取出一个白球，故322312(3)555525P ξ==⨯+⨯=；4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故224(4)5525P ξ==⨯=，所以912414()2342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选A ．调研3 已知随机变量X 的分布列如下表：若EX =2，则a =______________；DX =______________．【答案】0；52【解析】由题得11111,.3644b b +++=∴= 所以111123423464EX a =⨯+⨯+⨯+⨯=，解得a =0. 所以()()()()22221111502223242.34642DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= 调研4 在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.（1）由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分Z 服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示),请用正态分布的知识求P(36<Z ≤79.5); （2）在（1）的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: (ⅰ)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费; (ⅱ)每次获赠送的随机话费和对应的概率为:现有市民甲要参加此次问卷调查,记X (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X 的分布列与数学期望. 参考数据与公式：√210≈14.5,若X ∼N(μ,σ2),则①P(μ−σ<X ≤μ≤σ)=0.6827;②P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9545； ③P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)=0.9973.【解析】（1）E (Z )=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65.故μ=65,又√210=14.5,∴P(50.5<Z ≤79.5)≈0.6827,P(36<Z ≤94)≈0.9545. ∴(3694)(50.579.5)(3650.5)0.13592P Z P Z P Z <≤-<≤<≤≈=.综上,P(36<Z ≤79.5)=P(36<Z ≤50.5)+P(50.5<Z ≤79.5)≈0.1359+0.6827=0.8186. （2）易知P(Z <μ)=P(Z ≥μ)=12. 获赠话费X 的可能取值为20,40,60,80.()13320248P X ==⨯=；()1113313402424432P X ==⨯+⨯⨯=；()13111336024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=；()11118024432P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为:∴()313312040608037.58321632E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 题组二超几何分布调研 5 甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223,228]（单位：mm ）内的零件为一等品，其余为二等品，测量甲乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：（1）从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；（2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）12；（2）65. 【解析】（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品，所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率4565110102P ⨯+⨯==⨯.（2）X 可取0，1，2，3．0346310C C 1(0)C 6P X ===，1246310C C 1(1)C 2P X ===，2146310C C 3(2)C 10P X ===，3046310C C 1(3)C 30P X ===.X 的分布列为∴随机变量X 的期望()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 调研6 央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，它创新性地利用现代传媒手段实现了诗词娱乐化，用健康的娱乐化方式实现了“扩群”，体现了国人精神中对于优秀传统文化的呼唤与眷恋．在某市组织的诗词大赛中，某中学高中组与初中组成绩卓著．组委会进入该中学随机抽取了100名学生进行调查，将学生对诗词知识的掌握情况分为优秀、良好、一般三个等级，其中达到优秀等级的学生有70名．（1）若该中学共有8000名学生，试估计该中学的学生中达到优秀等级的学生人数；（2）若抽取的达到优秀等级的70名学生中，高中生有40名，初中生有30名，利用分层抽样的方法从中抽取7名学生，然后从这7名学生中随机抽取3名学生代表该市参加比赛，记这3名学生中高中生的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．【解析】（1）因为所抽取的100名学生中，达到优秀等级的有70名，所以优秀率为70710010=．故该中学的学生中达到优秀等级的学生人数约为78000560010⨯=．（2）从达到优秀等级的70名学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生，则高中生有4名，初中生有3名，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P X ===，()124337C C 121C 35P X ===，()214337C C 182C 35P X ===，()3437C 43C 35P X ===，所以X 的分布列为所以()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．调研7 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案1：不分类卖出，单价为20元/kg ．方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望()E X ．【答案】（1）96625；（2）第一种方案；（3）分布列见解析，6()5E X =．【分析】（1）计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价进行比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X 服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X 取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果．【解析】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则201()1005P A ==，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~(4,)5X B ，所以恰好抽到2个礼品果的概率为22244196(2)C ()()55625P X ===，（2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为134216548848()1618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯==，因为()20E ξ>，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则36310C 1(0)C 6P X ===；2164310C C 1(1)C 2P X ===； 1264310C C 3(2)C 10P X ===；34310C 1(3)C 30P X ===，所以X 的分布列如下：所以()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【名师点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率．题组三二项分布及其应用调研8 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 A ．13 B ．25 C ．23D ．45【答案】A【解析】设甲获得冠军为事件A ,比赛进行了三局为事件B , 则P (AB )=1223118C ()=4464⨯⨯， P (A )=221233154C 44464⎛⎫⎛⎫+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()1(|).3P AB P B A P A ==故选A.调研9 已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则n ，p 分别等于A ．n =45，p =23 B ．n =45，p =13 C ．n =90，p =13D ．n =90，p =23【答案】C【解析】随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，根据二项分布的期望公式以及二项分布的方差公式可得，()30,120np np p =-=，解得1,903p n ==，故选C ．调研10 抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球（2个红色，3个黄色，其余为白色），抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖.有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是 A ．6，0.4 B ．18，14.4 C ．30，10D ．30，20【答案】D【解析】由题可得中奖概率为23115153+=，而中奖人数服从二项分布，故这90人中中奖人数的期望值为19030,3⨯=方差为1190(1)20.33⨯⨯-=故选D.调研11 为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值(单位：分贝)进行了50天的监测，得到如下统计表：（1）根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组的中点值作代表).（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：(i)求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.(ii)学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X ，求X 的分布列和方差D(X).【解析】（1）由数据可知5615846012622064866561.850x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.（2）(i)由题意，“出现重度噪音污染”的概率为110，“出现轻度噪音污染”的概率为110，设事件A 为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”，则2235111()C ()()101010000P A ==. (ii)由题意1~(3,)10X B ，则3319()C ()(),0,1,2,31010k k kP X k k -===.故分布列为()(1)0.27D X np p =-=.调研12 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有40人，不超过100km /h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有20人，不超过100km /h 的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5％的把握认为平均车速超过100km /h 的人与性别有关．（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km /h 的车辆数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望．参考数据与公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n =a +b +c +d .【答案】（1）表格见解析，有关；（2）65. 【解析】（1）完成列联表如下：因为2K 的观测值k =100×(40×25−15×20)260×40×55×45≈8.429>7.879，所以有99.5％的把握认为平均车速超过100km h ⁄与性别有关；（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km h ⁄的车辆的概率为4021005=． X 可取的值是0，1，2，3，2(3,)5X B ~，有：()003323270C ()()55125P X ===，()112323541C ()()55125P X ===， ()221323362C ()()55125P X ===，()33032383C ()()55125P X ===，则X 的分布列为()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．题组四正态分布调研13 若ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，且(01)0.4P ξ<<=，则(02)P ξ<<=A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.2【答案】B【解析】由正态分布的图象和性质得(02)2(01)20.40.8P P ξξ<<=<<=⨯=．故选B ．【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．调研14 已知随机变量ξ服从正态分布N (1,1)，若p (ξ>−1)=0.9772，则P (−1<ξ<3)= A ．0.6827 B ．0.8522 C ．0.9544D ．0.9772【答案】C【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N (1,1)，所以其图象关于直线1x =对称，因为(1)0.9772P ξ>-=，所以(1)10.97720.0228P ξ≤-=-=，所以(1)(3)0.0228P P ξξ≤-=≥=，所以(13)10.022820.9544P ξ-<<=-⨯=. 故选C.调研15 某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)=0.3，试估计该班学生的数学成绩在110分以上的人数为 A ．20 B ．10 C ．14D ．21 【答案】A【解析】由数学成绩服从正态分布N(100,102)，且P(90≤ξ≤100)=0.3，得12(90100)(110)0.22P P ξξ-≤≤≥==，所以估计该班学生的数学成绩在110分以上的人数为0.2×100=20.调研16 在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X~N(85 ， 9)，若已知P(80<X ≤85)=0.35，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于90的概率为 A ．0.85 B ．0.65 C ．0.35D ．0.15【答案】D【解析】∵X ∼N (85,9),P (80<X ≤85)=0.35，∴P (85<X <90)=0.35， ∴P (X >90)=12×(1−0.35−0.35)=0.15，故选D ．调研17 随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，则μ=______________. 【答案】4【解析】∵ (ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，∴P (ξ>6)=1−0.2−0.6=0.2，即P (ξ<2)=P (ζ>6)，∴μ=2+62=4.调研18 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量X （单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立. （1）求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，的概率；（2）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)230270X ∈，时，没有影响；当[)270.310X ∈时，经济损失为10万元；当[)310,350X ∈时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由. 【解析】（1）由题得12703100.254P X ≤≤==（），设在未来3年里，河流的污水排放量[)270310X ∈，的年数为Y设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量[)270,310X ∈”为事件A ，则()()()01P A P Y P Y ==+=∴在未来3年里，至多1年污水排放量[)270,310X ∈的概率为2732. （2）方案二好，理由如下：由题得()2302700.74P X ≤≤=，()3103500.01P X ≤≤=.用123,,S S S 分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则1 3.8S =万元.2S 的分布列为：()220.99620.01 2.6E S =⨯+⨯=（万元）.3S 的分布列为：()300.74100.25600.01 3.1E S =⨯+⨯+⨯=（万元）.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.☆技巧点拨☆随机变量及其分布若以小题形式考查，则试题难度不大，多为容易题或中档题，重点考查正态分布知识，有时也考查离散型随机变量的分布列与期望知识．若以解答题形式考查，部分新课标地区有加大题目难度的趋势，但大部分还是中等难度.1．（重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考卷三）如图，过正方形ABCD 的顶点A 在BAD ∠内任意作射线AP ，则该射线与正方形的交点位于边BC 上的概率为A ．15 B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】本题符合角度型几何概率，故所求概率451902P ︒==︒，故选D ．【名师点睛】几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．2．（湖北省鄂州市颚南高中2019-2020学年高三上学期10月月考）1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值．请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于(0)a a >，向此平面任投一根长度为()l l a <的针，已知此针与其中一条线相交的概率是p ，则圆周率π的近似值为A ．2pal B ．2al pC ．2l paD ．2pa l【答案】C【解析】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是2l P a=π，所以2lpaπ=，故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目．3．（广东省深圳市宝安区2019-2020学年高三上学期期中）如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【思路分析】计算出正方形的面积，根据几何概型的原理可求得结果．【解析】正方形二维码的面积为339⨯=∴黑色部分的面积为1089484951089-⨯=，故选B ．4．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试）随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6D ．0.7【答案】B【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB =++U ，因为()()0.45,0.15P A P AB ==，所以()0.4P B =．故选B ．5．（2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考）已知随机变量ξ满足下列分布列，当(0,1)p ∈且不断增大时，A ．()E ξ增大，()D ξ增大B ．()E ξ减小，()D ξ减小C ．()E ξ增大，()D ξ先增大后减小 D ．()E ξ增大，()D ξ先减小后增大【答案】C【思路分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断．【解析】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ，易得()2()21()p D p E p ξξ==-，，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小．故选C ．【名师点睛】本题考查二项分布的期望、方差．理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键．6．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三9月月考）从装有颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()D X =A ．85B ．65 C ．45D ．25【答案】B【思路分析】由题意知，X ～B （5，33m +），由()E X ＝533m ⨯=+3，知X ～B （5，35），由此能求出D （X ）．【解析】由题意知，X ～B （5，33m +）， ∴()E X ＝533m ⨯=+3，解得m ＝2，∴X ～B （5，35）， ∴D （X ）＝535⨯⨯（135-）65=．故选B ．【名师点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．7．（江西省吉安市吉州区吉安市白鹭洲中学2019-2020学年高三上学期11月月考）已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(14)0.85P ξ-<<=，则(05)P ξ<<=A ．0.15B ．0.30C ．0.70D ．0.85【答案】D【解析】(05)(04)(45)(04)(10)P P P P P ξξξξξ<<=<<+≤<=<<+-<≤(14)0.85P ξ=-<<=．故选D ．【名师点睛】本题考查正态分布，掌握正态分布中概率的性质是解题基础．设2(,)N ξμσ:，则()()(0)P m P m m μξμμξμ-<<=<<+>．8．（湖北省襄阳市第四中学2029-2020学年高三9月联考）如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是A ．116 B ．1124C ．1324D ．516【答案】B【思路分析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果．【解析】图①小球落在阴影部分的概率为212241341462P π⋅-ππ⋅=⋅=⋅，图②小球落在阴影部分的概率为213P =， ∴至少有一个小球停在阴影部分的概率为3113111(1)(1)11632424--⨯-=-=．故选B ．【名师点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式的应用．9．（2020年四川省内江市威远中学高三上学期第一次月考）设随机变量ξ~B(2，p)，η~B(4，p)，若P(ξ≥1)=59，则P(η≥2)的值为 A ．1127B ．3281C ．6581D ．1681【答案】A【思路分析】利用二项分布概率计算公式结合条件P (ξ≥1)=59计算出p ，然后再利用二项分布概率公式计算出P (η≥2)．【解析】由于ξ~B(2，p)，则P (ξ≥1)=1−P (ξ=0)=1−(1−p )2=59，∴p =13，所以，η~B (4，13)，因此，P (η≥2)=1−P (η=0)−P (η=1)=1−(23)4−C 41⋅13⋅(23)3=1127，故选A ．【名师点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题．10．（山东省烟台市第一中学2019-2020学年高三上学期第一次联考）首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为111,,234，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是 A ．2324B ．524C ．1124D ．124【答案】C【思路分析】由已知得三家企业中恰有1家购买该机床设备分三种情况：只是甲企业购买，只是乙企业购买或只是丙企业购买，设出每一个企业购买设备所表示的事件，并求其对立事件的概率，根据互斥事件的和事件的概率等于各事件概率的和求解得出答案．【解析】设“甲企业购买该机床设备”为事件A ，“乙企业购买该机床设备”为事件B ，“丙企业购买该机床设备”为事件C ，则()12P A =，()13P B =，()14P C =，则()()111122P A P A =-=-=，()()121133P B P B =-=-=，()()131144P C P C =-=-=，设“三家企业中恰有1家购买该机床设备”为事件D ，则12311312111()()()()23423423424P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选C ．【名师点睛】本题以实际问题为背景考查互斥事件的和事件的概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题．11．（浙江省湖州、衢州、丽水三地市2019-2020学年高三上学期期中）已知随机变量,X Y 的分布列如下：。

2020年高考数学(理)之高频考点解密26 统计与概率的综合(解析版)

解密26统计与概率的综合考点1 古典概型与统计交汇考查题组一古典概型与用样本估计总体交汇考查调研1 五四青年节活动中，高三(1)、(2)班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三(2)班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字x具有随机性(x∈N)，那么高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分的概率为A．34B．13C．35D．25【答案】D【解析】由茎叶图可得高三（1）班的平均分为x̅=89+92+933=2743，高三（2）的平均分为y̅=88+(90+x)+913=269+x3，由x̅<y̅，得10>x>5,又x∈N，所以x可取6，7，8，9，故所求的概率为P=410=25，故选D．调研2 某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取n名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在[75,80)中的学生有1名，若从成绩在[75,80)和[90,95)两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在[90,95)中的概率为A．23B．12C．35D．34【答案】C【解析】因为在[75,80)的频率为5×0.01=0.05，所以n=10.05=20,在[90,95)的频率为1-5×（0.01+0.02+0.06+0.07）=0.2，所以在[90,95)中的学生人数为20×0.2=4，所以[75,80)中有1个人，[90,95)中有4个人，共5个人，从5个人中任意取2个人共有10个基本事件，2名学生的成绩都在[90,95)中的基本事件有6个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为610=35.故选C．调研3 五省优创名校2019届高三联考（全国I卷)数学试题）袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为 A ．19 B ．318 C ．29D ．518【答案】C【解析】因为随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有： 021，001，031，130共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为418=29，故选C.【名师点睛】本题主要考查随机数的应用以及古典概型概率公式，属于中档题. 在解答古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式P =mn 求得概率.调研4 为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表（1）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级．（2）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超0.5的概率．【答案】（1）7.5，等级为合格；（2）715.【解析】（1）6条道路的平均得分为16（5+6+7+8+9+10）＝7.5.∴该市的总体交通状况等级为合格．（2）设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”，从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本事件．事件A 包括（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9）共7个基本事件， ∴P （A ）=715，即该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超0.5的概率为715.【名师点睛】本题考查的知识点是古典概型，平均数，古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解，属于中等题.☆技巧点拨☆求解古典概型与用样本估计总体交汇问题的模型（1）识图：能读懂已知频率分布直方图或茎叶图所隐含的信息并进行信息提取．（2）转化：对文字语言较多的题，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化．（3）计算：对频率分布直方图或茎叶图所反馈的信息进行提取，并结合古典概型的概率公式进行运算．题组二古典概型与回归分析、独立性检验的交汇考查调研 5 随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率；（2）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立y 关于x 的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii x x y y b x x ∧==--=-∑∑ ，a ∧=y −b ∧⋅x .【答案】（1）310（2）（ⅰ）y ∧=52x −3，（ⅱ）可靠，见解析.【解析】（1）依题意得，m 、n 的所有情况有：{23,25}、{23,30}、{23,26}、{23,16}、{25,30}、 {25,26}、{25,16}、{30,26}、{30,16}、{26,16}，共有10个；设“m 、n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有{25,30}、{25,26}、{30,26}，所以P(A)=310，故事件A 的概率为310.（2）（ⅰ）由数据得x =12，y =27，()()315i i i x x y y =--=∑，()3212i i x x =-=∑ ，()()()312152iii ni i x x y y b x x ∧==--==-∑∑， 552712 3.22a y x ∧=-=-⨯=- 所以y 关于x 的线性回归方程为y ∧=52x −3.（ⅱ）由（ⅰ）知，y 关于x 的线性回归方程为y ∧=52x −3.当x =10时，y ∧=52×10−3=22，|22−23|<2.当x =8时，y ∧=52×8−3=17，|17−16|<2.所以，所得到的线性回归方程y ∧=52x −3是可靠的.调研6 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了 100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在4.8以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次1∼50名和951∼1000名的学生进行了调查，得到上表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】（1）610；（2）见解析．【解析】(1)设各组的频率为，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18，所以视力在4.8以下的频数为3+7+27+24=61人.故全年级视力在4.8以下的人数约为1000×61100=610人.（2）由已知得，Κ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(45×20−5×30)250×50×75×25=12>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．调研7 某市一中毕业生有3000名，二中毕业生有2000名．为了研究语文高考成绩是否与学校有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名学生，先统计了他们的成绩（折合成百分制），然后按“一中”、“二中”分为两组，再将成绩分为5组，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图：（1）从成绩在90分（含90分）以上的学生中随机抽取2人，问至少抽到一名学生是“一中”的概率；（2）规定成绩在70分以下为“成绩不理想”，请根据已知条件构造2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩理想不理想与所在学校有关”？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.【答案】(1)910;(2)见解析.【解析】（1）由分层抽样抽取的100名学生中，一中有60名，二中有40名，所以成绩在90分以上的人中，一中有60×0.005×10=3人；二中有40×0.005×10=2人，故至少抽到一名学生是“一中”的概率为p=1−110=910.（2）2×2列联表如下：将列联表中的数据代入公式，可得：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×（15×26−14×45)229×71×60×40≈1.1656<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩理想不理想与所在学校有关”.调研8 某企业生产某种产品，为了提高生产效益，通过引进先进的生产技术和管理方式进行改革，并对改革后该产品的产量x（万件）与原材料消耗量y（吨）及100件产品中合格品与不合格品数量作了记录，以便和改革前作对照分析，以下是记录的数据：表一：改革后产品的产量和相应的原材料消耗量表二：改革前后定期抽查产品的合格数与不合格数（1）请根据表一提供数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ∧=b ∧x +a ∧.（2）已知改革前生产7万件产品需要6.5吨原材料，根据回归方程预测生产7万件产品能够节省多少原材料？（3）请根据表二提供的数据，判断是否有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”？附参考公式与数据：1122211()()ˆ()n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay b x =-⋅； K 2=2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++；【答案】（1）线性回归方程为y ̂=0.7x +0.35;(2)见解析；（3）见解析. 【解析】（1）由表一得x̅=3+4+5+64=4.5，y ̅=2.5+3+4+4.54=3.5，422221345ii x==++∑+62=86，∴b̂=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5−4×4.5×3.586−4×4.52=66.5−635=0.7，a ̂=3.5−0.7×4.5=0.35，所以所求线性回归方程为y ̂=0.7x +0.35．（2）当x =7时，y ̂=0.7×7+0.35=5.25，从而能够节省6.5−5.25=1.25吨原材料．（3）由表二得K 2=200×(90×15−85×10)2100×100×175×25=87<2.706，因此，没有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”．☆技巧点拨☆古典概型与回归分析、独立性检验的交汇问题的解题策略（1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助表格，树状图列举；同时注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都有等可能性．（2）求回归直线方程的一般步骤如下：①作出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系；②当两变量具有线性相关关系时，求回归系数ˆˆa b、，写出回归直线方程．（3）回归直线方程ˆˆˆya bx =+中的ˆb 表示x 每增加1个单位时，ˆy 的变化量的估计值为ˆb ．（4）可以利用回归直线方程ˆˆˆya bx =+预报在x 取某个值时y 的估计值．（5）由于回归直线方程中的系数ˆa和ˆb 是通过样本估计而来的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果有偏差．（6）独立性检验是用来考察两个分类变量是否有关系，计算随机变量的观测值K 2，K 2越大，说明两个分类变量有关系的可能性越大．考点2 随机变量及其分布与统计交汇考查题组一随机变量及其分布与用样本估计总体交汇考查调研1 某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间(单位:分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是［0，100］，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]. （1）求直方图中x 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于 40分钟的人数记为 X ，求X 的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)【答案】( 1 ) 0.0025；(2) 180；(3)见解析.【解析】( 1 )由直方图可得20×(2x +0.005+0.0175+0.0225)=1. ∴x =0.0025 .（2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：20×(0.005+0.0025)=0.15. ∵1200×0.15=180，∴估计1200名新生中有180名学生可以申请住宿. （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于40分钟的概率为25,P(X =0)=(35)4=81625,P(X =1)=C 41(25)(35)3=216625， P(X =2)=C 42(25)2(35)2=216625，P(X =3)=C 43(25)3(35)=96625，P(X =4)=(25)4=16625.则X 的分布列为：故EX =0×81625+1×216625+2×216625+3×96625+4×16625=85. 即X 的数学期望为85.调研2 在十九大“建设美丽中国”的号召下，某省级生态农业示范县大力实施绿色生产方案，对某种农产品进行改良，为了检查改良效果，从中随机抽取100件作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，估计样本中个体的重量的众数与平均值；（3）以样本数据来估计总体数据，从改良的农产品中随机抽取3个个体，其中重量在[10,20]内的个体的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）【答案】（1）0.03；（2）25，29.6克；（3）35.【解析】（1）由题意，得(0.02+0.032+a +0.018)×10=1，解得a =0.03. （2）由最高矩形所对应区间中点的横坐标为25，可估计样本个体重量的众数约为25克，而100件样本重量的平均值为x =0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.18×45=29.6（克），故估计样本中个体重量的平均值约为29.6克.（3）利用样本估计总体，该样本中个体的重量在[10,20]内的概率为0.2，则X~B(3,15)， X =0,1,2,3，P(X =0)=C 30×(1−15)3=64125， P(X =1)=C 31×(1−15)2×15=48125， P(X =2)=C 32×(1−15)×(15)2=12125， P(X =3)=C 33×(15)3=1125.∴X 的分布列为即E(X)=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35.【名师点睛】本题考查了频率直方图下求平均数与众数和概率的计算问题，也考查了二项分布的应用问题，是中档题．题组二随机变量及其分布与独立性检验的交汇考查调研3 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某高中数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）将以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校1500名女生中随机选6名女生，记6名女生选做几何题的人数为X ，求X 的数学期望E(X)和方差D(X).参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【解析】（1）由表中数据计算得K 2的观测值为k =50×(22×12−8×8)230×20×30×20=509≈5.556>5.024，∴可以判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关. （2）以列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校1500名女生中随机选6名女生，记6名女生选做几何题的人数为X ，则X 服从二项分布X ∼B (6,25) ，根据二项分布的期望公式可得数学期望E(X)为6×25=2.4，根据二项分布的方差公式可得方差为6×25×35=1.44 .1．（四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高三上学期第一次联考）某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下22⨯列联表：（1）根据列联表，能否有99.9%的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关?（2）若已经从40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取了5名，现从这5名被调查者中随机选取3名，求这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率．参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）没有 99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关；（2）5．【思路分析】（1）计算出2K 的观测值k ，根据参考数据判断出没有99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关；（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，求得所求概率．【解析】（1）由题可得2K 的观测值2100(1050300)10010.8285050455511k ⨯-==<⨯⨯⨯，∴没有99.9%的把握认为手机游戏的兴趣程度与年龄有关．（2）由题得40岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取的5名人员中有3名对手机游戏很有兴趣，设为a 、b 、c ；有2名对手机游戏无兴趣，设为d 、e ，从a 、b 、c 、d ，e 中随机选取3名的基本事件有{},,a b c 、{},,a b d 、{},,a b e 、{},,a c d 、{},,a c e 、{},,a d e 、{},,b c d 、{},,b c e 、{},,b d e 、{},,c d e ，共10个．其中d ，e 恰有1个的有{},,a b d 、{},,a b e 、{},,a c d 、{},,a c e 、{},,b c d 、{},,b c e ，共6个 ∴这3名被调查者中恰有1名对手机游戏无兴趣的概率为35． 2．（辽宁省沈阳市沈河区第二中学2019年高三上学期10月月考）汽车尾气中含有一氧化碳（CO ），碳氢化合物（HC ）等污染物，是环境污染的主要因素之一，汽车在使用若干年之后排放的尾气中的污染物会出现递增的现象，所以国家根据机动车使用和安全技术、排放检验状况，对达到报废标准的机动车实施强制报废．某环保组织为了解公众对机动车强制报废标准的了解情况，随机调查了100人，所得数据制成如下列联表：（1）若从这100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人的概率为35，问是否有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”？（2）该环保组织从相关部门获得某型号汽车的使用年限与排放的尾气中CO 浓度的数据，并制成如图所示的折线图，若该型号汽车的使用年限不超过15年，可近似认为排放的尾气中CO 浓度%y 与使用年限t 线性相关，试确定y 关于t 的回归方程，并预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的多少倍．参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1221ni ii n i i x ynx ybx nx==-=-∑∑$，a y bx =-$$．【答案】（1）有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”；（2）0.07y t =$，4.2倍．【思路分析】（1）先根据题意计算,,,a b p q 的值，然后求出出2K 的观测值，对照临界值得出结论；（2）由公式计算出ˆa和ˆb ，从而得到y 关于t 的回归方程，把12t =，代入回归方程中，可预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度，从而可得答案．【解析】（1）设“从100人中任选1人，选到了解机动车强制报废标准的人”为事件A ，由已知得353()1005b P A +==，所以25a =，25b =，40p =，60q =．所以2K的观测值2100(25352515) 4.167 3.84140605050k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“对机动车强制报废标准是否了解与性别有关”．（2）由折线图中所给数据计算，得1(246810)65t =⨯++++=， 1(0.20.20.40.60.7)0.425y =⨯++++=，故 2.80.0740b ==$，0.420.0760a =-⨯=$，所以所求回归方程为0.07y t =$．故预测该型号的汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度为0.84%，因为使用4年排放尾气中的CO 浓度为0.2%，所以预测该型号汽车使用12年排放尾气中的CO 浓度是使用4年的4.2倍．【名师点睛】本题考查列联表与独立性检验的应用，以及线性回归方程的求法，解题的关键是熟练掌握公式，考查学生基本的计算能力，属于中档题．3．（2019年10月广东省广州市天河区高考数学一模）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，…，第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．【答案】（1）0.08，绘图见解析；（2）102；（3）25．【思路分析】（1）由频率分布直方图可得：各小矩形的高之和为0.1，运算可得解；（2）由频率分布直方图中平均数的求法即可得解；（3）样本成绩属于第六组的有3人，样本成绩属于第八组的有2人，则随机抽取2名，基本事件总数为25C 10=，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数为2232C C 4+=，再利用古典概型概率公式运算即可．【解析】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为1(0.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004)100.08-++++++⨯=．完成频率分布直方图如下：（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为700.00410800.01210900.016101000.030101100.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+1200.006101300.008101400.00410102⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．（3）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数25C 10n ==，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数2232C C 4m =+=，故他们的分差的绝对值小于10分的概率42105m p n ===． 4．（安徽省蚌埠市第二中学2019-2020学年高三上学期期中）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在(40,60)内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a 的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数；（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为13，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.04a =，82；（2）见解析．【思路分析】（1）由频率分布直方图面积和为1，可求得0.04a =．取每个矩形的中点与概率乘积和求得平均数．（2）由二项分布求得分布列与数学期望．【解析】（1）由题意可得(0.010.020.03)1010.04a a +++⨯=⇒=，估计这200名选手的成绩平均数为650.1750.4850.2950.382⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题意知，X ～B (3，1/3)，X 可能取值为0，1，2，3，且3312()C ()()iiiP X i -==，所以X 的分布列为所以X 的数学期望为()313E X =⨯=．【名师点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，意在考查离散型随机变量的分布列期望和独立性检验等基础知识的掌握能力，考查学生基本的运算推理能力．5．（江西省吉安市2019-2020学年高三上学期期中）据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：（1）已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）72；（2）2．【思路分析】（1）由题意得持“应该保留”态度的人为120x+，占总人数3600的0.05，列出对应的概率等式即可算得60x=，再利用分层抽样的方法求解在持“无所谓”态度的人中抽取多少人即可；（2）由分层抽样可求得在校学生为4人，社会人士为2人，再利用超几何分布的方法列出分布列求解期望即可．【解析】（1）因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，所以1200.053600x+=，所以60x=．所以持“无所谓”态度的人数共有3600210012060060720----=，所以应在“无所谓”态度抽取360720723600⨯=人．（2）由（1）知持“应该保留”态度的一共有180人，所以在所抽取的6人中，在校学生为12064180⨯=人，社会人士为6062180⨯=人，则第一组在校学生人数1,2,3ξ=，且124236C C1(1)C5Pξ===，214236C C3(2)C5Pξ===，304236C C1(3)C5Pξ===，故ξ的分布列为所以()1232555Eξ=⨯+⨯+⨯=．【名师点睛】本题主要考查分层抽样的一般方法与超几何分布的一般方法．同时也考查了分布列与数学期望的方法，属于中等题型．6．（江西省南昌市东湖区第十中学2019-2020学年高三上学期期中）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为15．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【答案】（1）列联表见解析；（2）有99%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；（3）15．【思路分析】（1）根据题中不常喝碳酸饮料的肥胖人数和不肥胖人数及总人数即可完成列联表；（2）利用公式求出2K的的观测值，与临界值比较可得到把握性大小；（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，列举出任选两人的所有取法，找出正好抽到一男一女的取法可得概率．【解析】（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，343015x+=，6x=，补充完整的22⨯列联表如下：（2）由已知数据可求得：2230(6824)8.522 6.6351020822K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此有99%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF EF，共15种，其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8种，故抽出一男一女的概率为815P=．7．（吉林省长春市2020届高三一模）环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对100辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果．（1）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；（2）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38，40)与[40，42)的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40，42)内的概率．【答案】（1）频率分布直方图见解析，中位数在区间[36,38)；（2）35．【思路分析】（1）画出频率分布直方图后，找到频率总和为0.5时对应的分组区间；（2）先利用分层抽样计算每组内抽取的辆数，然后对车辆进行标记，利用古典概型计算目标事件的概率．【解析】（1）由题意可画出频率分布直方图如图所示：。

【精编版】2020年高考理科数学之高频考点解密28 二项式定理(解析版)

解密28 二项式定理考点1 求二项展开式中特定项或指定项的系数调研1 在6(1)x x +的展开式中,含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15D ．10【答案】C【解析】因为(1+x)6的展开式的通项为T k+1=C 6k⋅x k ,所以x(1+x)6的展开式中含x 3项的系数为C 62=15，故选C.调研2 261(3)()x x x--的展开式中3x 的系数是 A ．90 B ．90- C ．15D ．15-【答案】B【解析】22(3)69x x x -=-+，而61()x x-的二项式系数满足()6621661C ()1C r r rr r r r T xx x--+=-=-，因而3x 的系数为()()22661C 90-⋅-⋅=-，故选B.【名师点睛】本道题考查了二项式系数公式，属于中等难度的题.利用二项式系数公式，计算系数即可. 调研3 61()x x-的展开式中含2x 的项的系数是______________．【答案】15 【解析】（x 1x-）6的展开式的通项公式为T r +16C r =·（﹣1）r ·x 6−2r ，令6﹣2r ＝2，求得r ＝2，故展开式中含2x 的项的系数为26C =15，故答案为15．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2，求出r 的值，即可求得展开式中x 2的系数．调研4 二项式62(1)x x-的展开式的常数项为______________．【答案】15 【解析】二项式62(1)x x -的展开式的通项公式为T r +1＝6662(1C C )r r r rx x-⋅-=•（﹣1）r •x 6−3r ，令6﹣3r ＝0，求得r ＝2， ∴展开式的常数项是26C ＝15．【名师点睛】本题考查二项展开式的运用，考查求特定项的系数，熟练运用公式求解即可.写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为0，即可得到常数项．调研5 在()()532x y x y +-的展开式中，24x y 的系数为______________．【答案】－160【解析】由题意，可知二项式()52x y -的展开式中第r ＋1项为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅-，令51r -=，得r ＝4；令52r -=，得r ＝3.∴在()()532x y x y +-展开式中24x y 的系数为()()434355C 23C 2160⨯-+⨯⨯--＝.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理求解r 的值，准确运算是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.由题意，可知二项式()52x y -的展开式中第r ＋1项为()515C 2rr r r T x y -+=⋅⋅-，令51r -=和52r -=，即可求解24x y 的系数.☆技巧点拨☆1．熟记二项式定理：011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，是解决此类问题的关键.2．求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）. （1）第m 项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.考点2 已知二项展开式某项的系数求参数调研1 已知51(1)()x ax x+-的展开式中常数项为40-，则a 的值为A ．2B ．2-C ．2±D ．4【答案】C【解析】51()ax x-展开式的通项公式为()()55521551C ()1C rr rr r r r r T ax a x x---+=-=-，令521r -=-可得：3r =，结合题意可得()353351C 40a --=-，即21040,2a a =∴=±. 故选C.【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先写出51()ax x-展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a 的方程，解方程即可求得结果.调研2 ()nbax x-（0ab ≠，且,a b 为常数）的展开式中，x 的系数为3210a b ，则n =______________．【答案】5【解析】展开式中x 的系数为232C n a b ，则由23232C 10n a b a b =，即2C 10n =，解得5n =．调研3 若5(2)()a x x x+-展开式的常数项等于80，则a =______________．【答案】2【解析】∵（a x-x ）5的展开式的通项公式为T r +15C r =·（﹣1）r ·a 5−r ·x 2r −5，显然，2r ﹣5为奇数，所以若求5(2)()a x x x+-展开式的常数项，则2r ﹣5=−1，所以r =2, 故（x +2）（a x-x ）5的展开式的常数项等于25C ·a 3＝80，所以a ＝2，故答案为2．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．根据二项展开式的通项公式，求得（x +2）（ax-x ）5展开式的常数项，再根据常数项等于80，求得a 的值．调研4 若二项式2)nm x展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则实数m =______________．【答案】2【解析】根据题意，2)nm x展开式中二项式系数之和是32，有2n ＝32，则n ＝5，则2)n m x 展开式的通项为T r +1＝C 5r •）5−r •（2mx ）r ＝m r •C 5r •552r x -，令552r-=0，可得r ＝1，则2)nm x展开式中的常数项为T 2＝m •C 51，则有m •C 51＝10，即m ＝2．【名师点睛】本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由二项式系数的性质求出n ，并得到该二项式的通项．根据题意，由二项式系数的性质可得2n ＝32，可得n ＝5，进而可得2)nm x 展开式的通项，令x 的指数为0，可得r 的值为1，即2)nm x展开式中的常数项为T 2，求出T 2，结合题意有m •C 51＝10，可得答案．☆技巧点拨☆对于参数问题，通常是运用通项由题意列方程求出参数即可；有时需先求n ，计算时要注意n 和k 的取值范围及它们之间的大小关系．考点3 二项式各项系数的和与二项式系数的区别调研1 7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792D ．792-【答案】D7项的二项式系数最大， ∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.的展开式的通项公式为()1212211C r r rr T x -+=-，令1222r -=，得5r =.∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ．【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.调研2 已知()()670171x a x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，若0170a a a ++⋅⋅⋅+=，则3a = A ．−5 B ．−20 C ．15D ．35【答案】A【解析】在()()670171x a x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+中，令1x =得()6017210a a a a -=++⋅⋅⋅+=，∴1a =，∴()()()()66111x a x x x +-=+-．又()61x -展开式的通项为()()166C 1C rrr r rr T x x +=-=-， ∴()()32323661C 1C 5a =-+-=-．故选A ．调研3 若()()54221x x -++=2345012345a a x a x a x a x a x +++++，则024a a a ++=____________．【答案】81-【解析】在()()54221x x -++=2345012345a a x a x a x a x a x +++++中，取x ＝1，得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝80，取x ＝﹣1，得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5＝﹣242， ∴两式子相加得2（a 0+a 2+a 4）＝﹣162，即a 0+a 2+a 4＝﹣81，故答案为−81．【名师点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，是中档题．在已知等式中分别取x ＝1与x ＝﹣1，然后作和求得a 0+a 2+a 4，则答案可求.调研4 已知2)()2nn x∈N *的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是:101，则展开式中二项式系数最大的项为______________．【答案】61120x -【解析】由题意知,第五项的系数为C n 4(−2)4，第三项的系数为C n 2(−2)2，则有C n 4(−2)4C n 2(−2)2=101，化简可得n 2−5n −24=0，解得n ＝8或n ＝−3(舍去).由n ＝8知第5项二项式系数最大.此时651120T x -=.调研5 设()()52360123611x x a a x a x a x a x -+=+++++L ，则3a =______________．. 【答案】0【解析】因为()()()()554321115101051x x x x x x x x -+=-+++++23601236a a x a x a x a x =+++++L ，则310100a =-=，故答案为0．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．把()51x +按照二项式定理展开，可得3a 的值．☆技巧点拨☆二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．如(a ＋bx )n 的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而该项的系数是C r n an －r b r.当然，某些特殊的二项展开式如(1＋x )n ，各项的系数与二项式系数是相等的．考点4 二项式定理的综合应用调研1 设2d a x x =⎰，则二项式5(ax 展开式中含2x 项的系数是 A ．80B ．640C ．−160D ．−40【答案】A【解析】依题意，a =∫x d x 2=12x 2∣02=12×4=2,则二项式(ax √x)5,即(2x −√x)5，故展开式的通项公式为T r+1=C 5r ⋅(−1)r ⋅25−r ⋅x 5−3r2, 令5−3r 2=2，得r =2，故展开式中含x 2项的系数为C 52⋅23=80，故选A.调研2 已知2)2nx 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则该展开式中所有有理项的项数为 A ．4 B ．5 C ．6D ．7【答案】C【解析】由题意可知：n2+1=6，∴n =10. ∴T r+1=C 10r x 10−r22r x−2r=C 10r 2r x 10−5r2(0≤r ≤10,且r ∈N). 要求该展开式中的有理项，只需令10−5r 2∈Z ，∴r =0,2,4,6,8,10，所有有理项的项数为6项. 故选C.调研3 设n ∈*N ，则71C n +722C n +···+7n C nn 除以9的余数为 A ．0 B ．2 C ．7D ．0或7【答案】D【解析】71C n +272C n ++L 7n C n n =()171n +-=()911n --=01C 9C n n n -19n -+22C 9n n -++L ()11n --1C 9n n -+()C 11nnn --，当n 为偶数时，余数为0，当n 为奇数时，余数为7，故选D.【名师点睛】本题主要考查二项展开式定理的应用，意在考查对基本定理掌握的熟练程度，属于中档题.逆用二项展开式定理，原式可化为()911n --=01C 9C n n n -19n -+22C 9n n -++L ()11n --1C 9n n -+()C 11nnn --，从而可得结果. 调研4 设22d n x x =⎰，已知二项式1(12)n x x+-，则展开式的常数项为______________．【答案】1【解析】依题意，n =∫2xdx 20=x 2∣02=4，4411(12)[1(2)]x x x x +-=+-234111114(2)6(2)4(2)(2)x x x x x x x x=+-+-+-+-， ∴二项式中的常数项产生在24111,6(2),(2)x x x x--中，分别是()()2224111,622,C ()2x x x x ⨯⋅-⋅⋅-,它们的和为124241-+=．故展开式的常数项为1．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题. 解题时，先求出n ，然后将1(12)n x x+-变形为1[1(2)]nx x+-，按二项式展开，分别得到展开式中的常数项，求和即可得结果.1．（上海市华东师范大学第二附中2019-2020学年高三上学期期中）若()3nx y +展开式的系数之和等于()107a b +展开式的二项式系数之和，则n 的值为A ．15B ．10C ．8D ．5【答案】D【思路分析】二项式()3nx y +的展开式的各项系数的和为(13)4nnm =+=，()107a b +的二项式系数之和为102k =，由m =k ，即可求得n 的值．【解析】设二项式()3nx y +的展开式的各项系数的和为m ，即x =1时满足题意，(13)4n n m ∴=+=，又设()107a b +的二项式系数之和为k ，则012101010101010C C C C 2k =++++=L ，因为m =k ，所以1042n =，解得n =5．故选D ．【点睛点睛】本题考查二项式系数的性质，关键在于理解好二项式各项系数的和与二项式系数之和的含义，属基础题．2．（2019年重庆市三模）二项式(2nx 的展开式中第7项是常数项，则n 的值是 A ．8 B ．9 C ．10D ．11【答案】B【思路分析】利用二项展开式的通项公式，得第7项x 的指数，利用指数为零，求出n 的值．【解析】展开式中第7项为()6666666696+131=C 2(C 2C 2n n n n n n n n T x x x x x------==，由于第7项为常数项，则n ﹣9＝0，解得n ＝9，故选B ．3．（2019年9月陕西省百校联盟高三TOP20联考）27(2x 的展开式中，4x 项的系数为A ．-28B ．280C ．-560D ．560【答案】C【思路分析】先写出展开式的通项公式，再令x 的指数为4，解得r ，然后由通项公式可求得系数．【解析】27(2x 展开式的通项公式为1014277343177()()C 2C 2(1)r r rrr rrr Tx x x----+=⋅⋅-=⋅⋅-，令101443r -=，解得3r =，故所求系数为3437C 2(1)3516560⋅⋅-=-⨯=-．故选C ．4．（2019年河北省唐山市高三上学期摸底考试）在5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是A ．10B ．0C ．10D ．20【答案】B【思路分析】由二项的展开式的通项为515(1)C k k k k k T x y -+=-，进而可求得展开式的33x y 的系数，得到答案．【解析】由题意，二项式5()x y -的展开式的通项为515(1)C k k k k k T x y -+=-，所以5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数为332255(1)C (1)C 10100-+-+-==，故选B ．【点睛点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．（2019年上海市青浦区高三上学期期末学业质量调研(一模)）“4n =”是1()nx x+的二项展开式中存在常数项”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【思路分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解析】二项式1n x x+（）的通项为211C C 0r rn r r r nr n n T x x r n x--+==≤≤（）（）， 1()n x x+的二项展开式中存在常数项2n r n ⇔=⇔为正偶数，4n n =⇒Q 为正偶数，n 为正偶数推不出4n =，∴4n =是1()nx x+的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．故选A ．6．（2019年上海市高三上学期一模冲刺练习试卷（一））()()2611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为 A ．2 B ．3 C ．2-D ．2或3【答案】D【思路分析】利用二项展开式的通项公式求出()61x +展开式的通项，分别令3,2,1r =求出展开式含 3x 、2x 、x 的项，利用多项式乘法求出()()2611ax x -+的展开式中3x 项的系数，列出方程求出a ．【解析】()222112ax ax a x -=-+Q ，()61x +展开式的通项为16C r rr T x +=，令3r =得展开式含3x 项的系数为36C 20=，令2r =得展开式含2x 项的系数为26C 15=，令1r =得展开式含x 项的系数为16C 20=，所以()()2611ax x -+的展开式中3x 项的系数为22030616a a -+=-，解得2a =或3，故选D ．【点睛点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，需熟记二项式展开式的通项公式．7．（山东省烟台市第一中学2019-2020学年高三上学期第一次联考）若()421ax x -+的展开式中5x 的系数为56-，则实数a 的值为 A ．2- B ．2 C ．3D ．4【答案】B【思路分析】将三项的多项式的幂的形式组合成两项的幂的形式，运用两次二项式展开式的通项公式得出()421ax x -+的通项公式()24C C tr t r tra x --，令25r t -=，解此不定方程得出t ，r 的值，得到关于a 的方程，可得解．【解析】()()442211ax x x ax ⎡⎤-+=+-⎣⎦，所以()421x ax ⎡⎤+-⎣⎦的展开式的通项为()()()()2221444C C C rr tttrr t r tr t r r r T x ax C x ax C a x --+=-=-=-，其中0,1,2,3,4;0,1,r t r ==L ，令25r t -=，所以1,3t r =⎧⎨=⎩或34t r =⎧⎨=⎩，当13t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()3143C C 12a a ⋅⋅-=-，当34t r =⎧⎨=⎩时，5x 的系数为()343344C C 4a a ⋅⋅-=-，因为5x 的系数为56-，所以312456a a --=-，即33140a a +-=，即()()22270a a a -++=，所以2,a =故选B ．【点睛点睛】本题考查二项式展开式中的特定项的系数，本题关键在于将底数的三项式，组合成二项，运用二项式展开式的通项，建立方程求解，属于中档题．8．（安徽省蚌埠市第二中学2019-2020学年高三上学期期中）若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-，则m =______________．【答案】-2【思路分析】由题意可知3366C 10m =-，解出m 即可．【解析】6()mx y +Q 展开式中33x y 的系数为160-，3366C 10m ∴=-，解得2m =-．故答案为2-．9．（上海市建平中学2019-2020学年高三上学期期中）在二项式51)x的展开式中，展开式的系数和为______________．【答案】32【思路分析】利用赋值法令1x =即可得到展开式各项的系数和．【解析】由二项式51)x的展开式知，展开式的系数和是由展开式的各项的系数相加，所以1x =得：展开式的系数和为5(31)32-=．故答案为32．【点睛点睛】本题考查二项展开式各项系数和的计算，求解过程中要学会用赋值法进行求解，考查对展开式各项系数的理解和基本的运算求解能力．10．（2019年河南省安阳市高三毕业班第一次调研）已知41(2)(1)x a x x++-的展开式中含3x 的项的系数为5，则a =______________．【答案】2【思路分析】首先原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，然后分别求每一项中含有3x 的系数，最后求a ．【解析】由题意知原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，所以41(2)(1)x a x x ++-的展开式中含3x 的项为224334412C ()()C ()x x x a x x⋅-+-+-，即3(134)a x -，由已知条件知1345a -=，解得2a =．故答案为2．【点睛点睛】本题考查了二项式定理的综合问题，意在考查二项式定理指定项的求法，属于基础题． 11．（云南省大理市2019-2020学年高三毕业生复习统一检测）()()3211x mx -+的展开式中2x 的系数是-6，且0m ≠，则m =______________．【答案】3【思路分析】通过分析式子特点，要使展开式出现2x 的形式，需要使()31x -对应的展开式中含有2x 项或含有常数项才符合题意，采用分类讨论法求解即可【解析】①()31x -的2x 项为()123C 1x-，②()31x -的常数项为()333C 11-=-，()()3211x mx-+展开式中的2x 项为()()()12223C 1113x mx m x -⋅+-⋅=-+，∴3m =．故答案为3．【点睛点睛】本题考查两个因式求解二项式展开式具体项的系数问题，解题一般思路为，将其中一个二项式的基本形式表示成通式，通过另一因式中每一项的特点来进行组合，分类讨论求出对应项的系数即可．12．（上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研）在101()x x-的展开式中，常数项等于______________．（结果用数值表示）【答案】252-【思路分析】先求出二项式101()x x-的展开式的通项公式为10102110101C ()(1)C r rr r r r r T x x x--+=-=-，再令1020r -=，求解代入运算即可．【解析】由二项式101()x x-的展开式的通项公式为10102110101C ()(1)C r rr r r r r T x x x--+=-=-，令1020r -=，解得=5r ，即在101()x x-的展开式中，常数项等于5510109876(1)C 25254321⨯⨯⨯⨯-=-=-⨯⨯⨯⨯，故答案为252-．【点睛点睛】本题考查了二项式定理及展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题． 13．（2019年广西省柳州高中、南宁二中两校联考高三上学期第一次考试）511()(2)x x x x+-的展开式中常数项为______________．【答案】40【思路分析】由二项式定理及展开式通项公式可得51(2)x x-展开式的通项公式为1r T +=5C r 52r -(1)r-52r x -，再利用乘法的分配律运算即可得解．【解析】由51(2)x x-展开式的通项公式为1r T +=r 5C 52r -(1)r-52r x -，则511()(2)x x x x+-的展开式中常数项为25C 32-35C 22=40，故答案为40．14．（2019年10月湖南省永州市高三一模）()()511x x +-的展开式中含2x 项的系数为______________．【答案】5【思路分析】由()()()()524321114641x x x xx x x +-=--+-+，求得展开式中含2x 项的系数．【解析】()()()()524321114641x x xxx x x +-=--+-+，∴展开式中含2x 项的系数为()16115⨯+-⨯=，故答案为5．15．（2019年浙江省十校联盟高三上学期10月联考）5(1-的展开式的各个二项式系数的和为______________，含______________．【答案】32 80-【思路分析】根据题意，各个二项式系数的和为2n ，二项式的展开式为515C 1(rr r r T -+=⋅⋅-，找出满足含r 的值即可求得含【解析】根据题意，(51-的展开式的各个二项式系数的和为52=32，当=3r 时，353345C 1(T -=⋅⋅-，所以含80-．16．（云南省昆明市民族中学2019-2020学年高三上学期10月适应性月考）()()32x y x y -+的展开式中3x y的系数为______________．【答案】5【思路分析】由()()32x y x y -+的展开式中3x y 项为()120333C 2C x xy y x -，即可得到答案．【解析】由()()32x y x y -+的展开式中3x y 项为()120333333C 2C 65x xy y x x y x y x y -=-=，所以3x y 的系数为5．故答案为5．【点睛点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中根据展开式的形式，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．（江西省抚州市临川第一中学等2019-2020学年高三上学期第一次联考）91)2x展开式中的常数项为______________．【答案】212-【解析】因为99322+19911=C ()()C 22r rr r r r r r T x x x----=-，令9302r-=，解得3r =，所以展开式中常数项为3349121=()C 22T -=-． 18．（2019年上海市格致中学高三上学期第一次检测）二项式()51nx -的展开式中的二项式系数和为W ，各项系数和为P ，且62128W P +=，则n 的值是______________．【答案】6【思路分析】先由题意，得到二项式系数W 和与各项系数和P ，代入62128W P +=，求解，即可得出结果．【解析】因为二项式()51nx -的展开式中的二项式系数和为2=n W ，令1x =得，各项系数和为4n P =，又62128W P +=，所以6221284⋅+=n n ，即()226221280-⋅-=nn ，即()()264220-+=n n，所以62642==n ，因此6n =．故答案为6．【点睛点睛】本题主要考查由二项式系数和与各项系数和之间关系求参数，熟记二项式定理即可，属于常考题型．19．（2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考）已知()011nx a a x =+++()()2*211()nn a x a x n +++∈N L +对任意x ∈R 恒成立，则0a =______________；若450a a +=，则n =______________．【答案】()1n-9【思路分析】利用1t x =+将问题转化为二项式的问题，然后利用二项式的通项分别表示出即可求解．【解析】令1t x =+，则()20121nn n t a a t a t a t -=+++L +，则()01na =-，()444C 1n n n a --=-，()555C 1n n n a --=-，∵450a a +=，故45C C n n n n --=，即45C C n n =，解得9n =．20．（湖北省黄冈市2019-2020学年高三上学期11月月考）若()82301232x a a x a x a x +=++++4567845678a x a x a x a x a x ++++，则1245245a a a a --+-678678a a a +-=______________．（用数字作答）．【答案】5368-【思路分析】对等式()82301232x a a x a x a x +=++++4567845678a x a x a x a x a x ++++两边同时求导得()723123482234x a a x a x a x +=++++456756785678a x a x a x a x +++，令1x =-，和单独求出3a ，代入可得结果．【解析】Q ()82301232x a a x a x a x +=++++4467845678a x a x a x a x a x ++++，∴()723123482234x a a x a x a x +=++++456756785678a x a x a x a x +++，令1x =-，有()71234812234a a a a -+=-+-+56785678a a a a -+-，即1234234a a a a -+-+567856788a a a a -+-=．又5538C 21792a ==，故所求值为8179235368-⨯=-．故答案为5368-．【点睛点睛】本题考查二项展开式系数的相关计算，关键在于对展开式两边同时求导，和利用赋值法，是中档题．1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】252()x x+的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得T r+1=C 5r (x 2)5−r (2x )r =C 5r ∙2r ∙x 10−3r ，令10−3r =4,则r =2，所以C 5r ∙2r =C 52×22=40.故选C.3．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30D ．35【答案】C 【解析】因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，故选C ．【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r 不同.4．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．80-B ．40-C ．40D ．80【答案】C【解析】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=. 故选C ．【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.5．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是______________；系数为有理数的项的个数是______________．【答案】 5【解析】由题意，9)x 的通项为919C (0,1,29)r r r r T x r -+==L ，当0r =时，可得常数项为0919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．故答案为：，5．【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．6．【2016年高考全国Ⅰ卷理数】5(2x +的展开式中，x 3的系数是______________．（用数字填写答案）【答案】10【解析】5(2x 的展开式的通项为555255C (2)2C r rrr rr x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r-=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=.【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1r T +,再确定r 的值,从而确定指定项系数.7．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N L ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值．【答案】（1）5n =；（2）32-．【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥L ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=02233445555555C C C C C C =++++a =+方法1：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．方法2：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-．。

2020年高考数学理科热点题型：概率与统计含参考答案

概率与统计热点一常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列.解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4.且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是【类题通法】(1)本题4由独立重复试验，4人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i ，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和. 【对点训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14，P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118， ∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.热点二离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5. (1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×81＋5×81＝81. 【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2 .②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×2＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X 1的数学期望为E(X1)＝20×6＋60×3＋100×6＝60(元)，X 1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X 2的数学期望为E(X2)＝40×6＋60×3＋80×6＝60(元)，X 2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5×0.06×40＝12.第4组的人数为5×0.04×40＝8.第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11 .②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为X 01 2P 25815115E(X)＝0×25＋1×815＋2×15＝15＝3.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝CB1CA1∪C B2C A2.P(C)＝P(CB1CA1∪C B2C A2)＝P(C B1C A1)＋P(C B2C A2)＝P(C B1)P(C A1)＋P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P(C A1)＝1620，P(CA2)＝420，P(C B1)＝1020，P(C B2)＝820，故P(C)＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i(单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n∑ni ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑ni ＝1y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关. (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b ^，a ^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？(2)1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：K 2＝100×（40×25－15×20）260×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0，1，2，3).X 的分布列为均值E (X )＝np ＝3×5＝5，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825。

2020年高考理科数学之高频考点解密25 概率(解析版)

解密25概率考点1 古典概型题组一古典概型的概率求解调研1 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为A．112B．19C．16D．14【答案】B【解析】将先后两次的点数记为有序数实数对(x,y )，则共有6×6=36个基本事件，其中点数之和为大于8的偶数有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(6,6)，共4个，则满足条件的概率为41369=．故选B ．调研2 从装有大小、材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率为 A ．23 B ．12 C ．25D ．13【答案】C【解析】记3个红球分别为a,b,c ，3个黑球分别为x,y,z ，则随机取出两个小球共有26C 15=种可能，其中两个小球同色共有6种可能：ab,ac,bc,xy,xz,yz ，根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为615=25，故选C ．调研3 有4张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为 A ．12 B ．35 C ．13D ．56【答案】A【解析】有4张卡片（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿，从这4张卡片中任取2张不同颜色的卡片，则基本事件总数为24C 6=，取出的2张卡片中含有红色卡片包含的基本事件数为1113C C =3，所以取出的2张卡片中含有红色卡片的概率为3162=．故选A ．☆技巧点拨☆在选择题或者填空题中利用枚举计数的方法考查古典概型，或结合排列、组合计数的方法考查古典概型，在解答题中常和概率、统计的其他知识结合考查古典概型和概率的性质.题组二用随机模拟估计概率调研4 规定：投掷飞镖3次为一轮，若3次中至少两次投中8环以上为优秀.根据以往经验，某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生0到9之间的随机整数，用0,1表示该次投掷未在8 环以上，用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在8 环以上，经随机模拟试验产生了如下20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683031 257 393 527 556 488 730 113 537 989据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为A．B．C．D．【答案】D【解析】由所给数据可知，20组数据中有3组191，031，113不是优秀，其余17组是优秀，所以可以拿到优秀的概率为17 20，故选D．调研5 袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A ．19 B ．318 C ．29D ．518【答案】C【解析】因为随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：021，001，031，130，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为418=29，故选C.考点2 几何概型题组一几何概型的概率求解调研1 有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于l 的概率为 A ．13 B ．23 C ．34D ．14【答案】B【解析】设点P 到点O 的距离小于1的概率为P 1，由几何概型，得P 1＝322π13π12V V ⨯⨯⨯半球圆柱＝＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23. 故选B.调研2 在区间[－π6，π2]上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是A ．12B ．34C ．38D ．58【答案】B【解析】由sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[1，2]，得22≤sin(x ＋π4)≤1，因为x ∈[－π6，π2]，所以在区间[－π6，π2]内，满足sin(x ＋π4)∈[22，1]的x ∈[0，π2]，故所求的概率为π2－0π2－(－π6)＝34.故选B ．【名师点睛】与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．调研3 ABC △中，AB =4,AC =6,AB ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,在线段AC 上任取一点P ，则PAB △的面积小于4√3的概率是 A ．12 B ．13 C ．23D ．35【答案】C【解析】由AB =4,AC =6,AB ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC⃗⃗⃗⃗⃗ =12得24cosA =12，1cos sin 2A A ∴∴=＝，则1sin 2ABC S AB AC A ⋅==△ ∴PAB △的面积小于23=．故选C ．【名师点睛】与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．调研4 某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为______________．【答案】16【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，所以等待时间不多于10分钟的概率为101606P ==．调研5 一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为______________．【答案】π14 -【解析】由题意，以四个顶点为圆心，1为半径作圆，得到四个14的圆的面积为π，又由边长为2的正方形的面积为4S=，根据面积比的几何概型可得概率为4ππ144 p-==-.题组二随机模拟的应用调研6 下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形ABCD的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域随机投掷n个点，有m个点落在中间的圆内，由此可估计π的近似值为A．254mnB．4mnC．425mnD．25mn【答案】D【解析】Q小正方形的边长为2，∴圆的半径为1，圆的面积为π，又Q大正方形的边长为5，∴正方形的面积为25，由几何概型的概率计算公式可得π25,π25m mn n≈≈，故选D．☆技巧点拨☆几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型.考点3 随机变量及其分布题组一离散型随机变量的分布列、均值与方差调研1 已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为 A ．3200 B ．3400 C ．3500D ．3600【答案】C【解析】设检测的机器的台数为x ,则x 的所有可能取值为2,3,4.则()()()()()1131223332222553A C A C A A 1332,3,4123,A 10A 105P x P x P x P x P x +========-=-==+ 所以Ex =2×110+3×310+4×35=3.5，所以所需的检测费用的均值为1000×3.5=3500.故选C ．调研2 已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则()E ξ=A ．145B ．135 C ．73D ．83【答案】A【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122()i i E p p p ξξξξ=++++L L 可求得数学期望．【解析】ξ的可能取值为2,3,4，2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故339(2)5525P ξ==⨯=；3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球或各取出一个白球，故322312(3)555525P ξ==⨯+⨯=；4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故224(4)5525P ξ==⨯=，所以912414()2342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选A ．调研3 已知随机变量X 的分布列如下表：若EX =2，则a =______________；DX =______________．【答案】0；52【解析】由题得11111,.3644b b +++=∴= 所以111123423464EX a =⨯+⨯+⨯+⨯=，解得a =0. 所以()()()()22221111502223242.34642DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= 调研4 在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.（1）由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分Z 服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示),请用正态分布的知识求P(36<Z ≤79.5); （2）在（1）的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: (ⅰ)得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费; (ⅱ)每次获赠送的随机话费和对应的概率为:现有市民甲要参加此次问卷调查,记X (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X 的分布列与数学期望. 参考数据与公式：√210≈14.5,若X ∼N(μ,σ2),则①P(μ−σ<X ≤μ≤σ)=0.6827;②P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9545； ③P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)=0.9973.【解析】（1）E (Z )=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65.故μ=65,又√210=14.5,∴P(50.5<Z ≤79.5)≈0.6827,P(36<Z ≤94)≈0.9545. ∴(3694)(50.579.5)(3650.5)0.13592P Z P Z P Z <≤-<≤<≤≈=.综上,P(36<Z ≤79.5)=P(36<Z ≤50.5)+P(50.5<Z ≤79.5)≈0.1359+0.6827=0.8186. （2）易知P(Z <μ)=P(Z ≥μ)=12. 获赠话费X 的可能取值为20,40,60,80.()13320248P X ==⨯=；()1113313402424432P X ==⨯+⨯⨯=；()13111336024424416P X ==⨯⨯+⨯⨯=；()11118024432P X ==⨯⨯=.故X 的分布列为:∴()313312040608037.58321632E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 题组二超几何分布调研 5 甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在[223,228]（单位：mm ）内的零件为一等品，其余为二等品，测量甲乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示：（1）从甲、乙两位工人当天所生产的零件中各随机抽取1个零件，求抽取的2个零件等级互不相同的概率；（2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取3个零件，记这3个零件中一等品数量为X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）12；（2）65. 【解析】（1）由茎叶图可知，甲当天生产了10个零件，其中4个一等品，6个二等品；乙当天生产了10个零件，其中5个一等品，5个二等品，所以，抽取的2个零件等级互不相同的概率4565110102P ⨯+⨯==⨯.（2）X 可取0，1，2，3．0346310C C 1(0)C 6P X ===，1246310C C 1(1)C 2P X ===，2146310C C 3(2)C 10P X ===，3046310C C 1(3)C 30P X ===.X 的分布列为∴随机变量X 的期望()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 调研6 央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，它创新性地利用现代传媒手段实现了诗词娱乐化，用健康的娱乐化方式实现了“扩群”，体现了国人精神中对于优秀传统文化的呼唤与眷恋．在某市组织的诗词大赛中，某中学高中组与初中组成绩卓著．组委会进入该中学随机抽取了100名学生进行调查，将学生对诗词知识的掌握情况分为优秀、良好、一般三个等级，其中达到优秀等级的学生有70名．（1）若该中学共有8000名学生，试估计该中学的学生中达到优秀等级的学生人数；（2）若抽取的达到优秀等级的70名学生中，高中生有40名，初中生有30名，利用分层抽样的方法从中抽取7名学生，然后从这7名学生中随机抽取3名学生代表该市参加比赛，记这3名学生中高中生的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．【解析】（1）因为所抽取的100名学生中，达到优秀等级的有70名，所以优秀率为70710010=．故该中学的学生中达到优秀等级的学生人数约为78000560010⨯=．（2）从达到优秀等级的70名学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生，则高中生有4名，初中生有3名，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P X ===，()124337C C 121C 35P X ===，()214337C C 182C 35P X ===，()3437C 43C 35P X ===，所以X 的分布列为所以()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．调研7 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案1：不分类卖出，单价为20元/kg ．方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望()E X ．【答案】（1）96625；（2）第一种方案；（3）分布列见解析，6()5E X =．【分析】（1）计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价进行比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X 服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X 取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果．【解析】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则201()1005P A ==，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~(4,)5X B ，所以恰好抽到2个礼品果的概率为22244196(2)C ()()55625P X ===，（2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为134216548848()1618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯==，因为()20E ξ>，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则36310C 1(0)C 6P X ===；2164310C C 1(1)C 2P X ===； 1264310C C 3(2)C 10P X ===；34310C 1(3)C 30P X ===，所以X 的分布列如下：所以()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【名师点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率．题组三二项分布及其应用调研8 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 A ．13 B ．25 C ．23D ．45【答案】A【解析】设甲获得冠军为事件A ,比赛进行了三局为事件B , 则P (AB )=1223118C ()=4464⨯⨯， P (A )=221233154C 44464⎛⎫⎛⎫+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()1(|).3P AB P B A P A ==故选A.调研9 已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）=30，D （X ）=20，则n ，p 分别等于A ．n =45，p =23 B ．n =45，p =13 C ．n =90，p =13D ．n =90，p =23【答案】C【解析】随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，根据二项分布的期望公式以及二项分布的方差公式可得，()30,120np np p =-=，解得1,903p n ==，故选C ．调研10 抽奖箱中有15个形状一样，颜色不一样的乒乓球（2个红色，3个黄色，其余为白色），抽到红球为一等奖，黄球为二等奖，白球不中奖.有90人依次进行有放回抽奖，则这90人中中奖人数的期望值和方差分别是 A ．6，0.4 B ．18，14.4 C ．30，10D ．30，20【答案】D【解析】由题可得中奖概率为23115153+=，而中奖人数服从二项分布，故这90人中中奖人数的期望值为19030,3⨯=方差为1190(1)20.33⨯⨯-=故选D.调研11 为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园噪音值(单位：分贝)进行了50天的监测，得到如下统计表：（1）根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组的中点值作代表).（2）根据国家声环境质量标准：“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染；环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染.”如果把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：(i)求周一到周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染的概率.(ii)学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X ，求X 的分布列和方差D(X).【解析】（1）由数据可知5615846012622064866561.850x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==.（2）(i)由题意，“出现重度噪音污染”的概率为110，“出现轻度噪音污染”的概率为110，设事件A 为“周一至周五的五天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余三天都是轻度噪音污染”，则2235111()C ()()101010000P A ==. (ii)由题意1~(3,)10X B ，则3319()C ()(),0,1,2,31010k k kP X k k -===.故分布列为()(1)0.27D X np p =-=.调研12 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有40人，不超过100km /h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km /h 的有20人，不超过100km /h 的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5％的把握认为平均车速超过100km /h 的人与性别有关．（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km /h 的车辆数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望．参考数据与公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n =a +b +c +d .【答案】（1）表格见解析，有关；（2）65. 【解析】（1）完成列联表如下：因为2K 的观测值k =100×(40×25−15×20)260×40×55×45≈8.429>7.879，所以有99.5％的把握认为平均车速超过100km h ⁄与性别有关；（2）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km h ⁄的车辆的概率为4021005=． X 可取的值是0，1，2，3，2(3,)5X B ~，有：()003323270C ()()55125P X ===，()112323541C ()()55125P X ===， ()221323362C ()()55125P X ===，()33032383C ()()55125P X ===，则X 的分布列为()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．题组四正态分布调研13 若ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，且(01)0.4P ξ<<=，则(02)P ξ<<=A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.2【答案】B【解析】由正态分布的图象和性质得(02)2(01)20.40.8P P ξξ<<=<<=⨯=．故选B ．【名师点睛】本题主要考查正态分布的图象和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．调研14 已知随机变量ξ服从正态分布N (1,1)，若p (ξ>−1)=0.9772，则P (−1<ξ<3)= A ．0.6827 B ．0.8522 C ．0.9544D ．0.9772【答案】C【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N (1,1)，所以其图象关于直线1x =对称，因为(1)0.9772P ξ>-=，所以(1)10.97720.0228P ξ≤-=-=，所以(1)(3)0.0228P P ξξ≤-=≥=，所以(13)10.022820.9544P ξ-<<=-⨯=. 故选C.调研15 某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)=0.3，试估计该班学生的数学成绩在110分以上的人数为 A ．20 B ．10 C ．14D ．21 【答案】A【解析】由数学成绩服从正态分布N(100,102)，且P(90≤ξ≤100)=0.3，得12(90100)(110)0.22P P ξξ-≤≤≥==，所以估计该班学生的数学成绩在110分以上的人数为0.2×100=20.调研16 在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X~N(85 ， 9)，若已知P(80<X ≤85)=0.35，则从哈尔滨市高中教师中任选一位教师，他的培训成绩大于90的概率为 A ．0.85 B ．0.65 C ．0.35D ．0.15【答案】D【解析】∵X ∼N (85,9),P (80<X ≤85)=0.35，∴P (85<X <90)=0.35， ∴P (X >90)=12×(1−0.35−0.35)=0.15，故选D ．调研17 随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，若P(ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，则μ=______________. 【答案】4【解析】∵ (ξ<2)=0.2，P(2<ξ<6)=0.6，∴P (ξ>6)=1−0.2−0.6=0.2，即P (ξ<2)=P (ζ>6)，∴μ=2+62=4.调研18 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量X （单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立. （1）求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，的概率；（2）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)230270X ∈，时，没有影响；当[)270.310X ∈时，经济损失为10万元；当[)310,350X ∈时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由. 【解析】（1）由题得12703100.254P X ≤≤==（），设在未来3年里，河流的污水排放量[)270310X ∈，的年数为Y设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量[)270,310X ∈”为事件A ，则()()()01P A P Y P Y ==+=∴在未来3年里，至多1年污水排放量[)270,310X ∈的概率为2732. （2）方案二好，理由如下：由题得()2302700.74P X ≤≤=，()3103500.01P X ≤≤=.用123,,S S S 分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则1 3.8S =万元.2S 的分布列为：()220.99620.01 2.6E S =⨯+⨯=（万元）.3S 的分布列为：()300.74100.25600.01 3.1E S =⨯+⨯+⨯=（万元）.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.☆技巧点拨☆随机变量及其分布若以小题形式考查，则试题难度不大，多为容易题或中档题，重点考查正态分布知识，有时也考查离散型随机变量的分布列与期望知识．若以解答题形式考查，部分新课标地区有加大题目难度的趋势，但大部分还是中等难度.1．（重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考卷三）如图，过正方形ABCD 的顶点A 在BAD ∠内任意作射线AP ，则该射线与正方形的交点位于边BC 上的概率为A ．15 B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】本题符合角度型几何概率，故所求概率451902P ︒==︒，故选D ．【名师点睛】几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．2．（湖北省鄂州市颚南高中2019-2020学年高三上学期10月月考）1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值．请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于(0)a a >，向此平面任投一根长度为()l l a <的针，已知此针与其中一条线相交的概率是p ，则圆周率π的近似值为A ．2pal B ．2al pC ．2l paD ．2pa l【答案】C【解析】根据投针试验与平行线相交的概率计算公式是2l P a=π，所以2lpaπ=，故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关圆周率的近似值的问题，涉及到的知识点有针试验与平行线相交的概率计算公式，属于简单题目．3．（广东省深圳市宝安区2019-2020学年高三上学期期中）如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【思路分析】计算出正方形的面积，根据几何概型的原理可求得结果．【解析】正方形二维码的面积为339⨯=∴黑色部分的面积为1089484951089-⨯=，故选B ．4．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试）随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信支付和支付宝支付两种．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6D ．0.7【答案】B【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，则()()()()P A B P A P B P AB =++U ，因为()()0.45,0.15P A P AB ==，所以()0.4P B =．故选B ．5．（2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考）已知随机变量ξ满足下列分布列，当(0,1)p ∈且不断增大时，A ．()E ξ增大，()D ξ增大B ．()E ξ减小，()D ξ减小C ．()E ξ增大，()D ξ先增大后减小 D ．()E ξ增大，()D ξ先减小后增大【答案】C【思路分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断．【解析】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ，易得()2()21()p D p E p ξξ==-，，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小．故选C ．【名师点睛】本题考查二项分布的期望、方差．理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键．6．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三9月月考）从装有颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()D X =A ．85B ．65 C ．45D ．25【答案】B【思路分析】由题意知，X ～B （5，33m +），由()E X ＝533m ⨯=+3，知X ～B （5，35），由此能求出D （X ）．【解析】由题意知，X ～B （5，33m +）， ∴()E X ＝533m ⨯=+3，解得m ＝2，∴X ～B （5，35）， ∴D （X ）＝535⨯⨯（135-）65=．故选B ．【名师点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．7．（江西省吉安市吉州区吉安市白鹭洲中学2019-2020学年高三上学期11月月考）已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(14)0.85P ξ-<<=，则(05)P ξ<<=A ．0.15B ．0.30C ．0.70D ．0.85【答案】D【解析】(05)(04)(45)(04)(10)P P P P P ξξξξξ<<=<<+≤<=<<+-<≤(14)0.85P ξ=-<<=．故选D ．【名师点睛】本题考查正态分布，掌握正态分布中概率的性质是解题基础．设2(,)N ξμσ:，则()()(0)P m P m m μξμμξμ-<<=<<+>．8．（湖北省襄阳市第四中学2029-2020学年高三9月联考）如图所示的2个质地均匀的游戏盘中(图①是半径为2和4的两个同心圆组成的圆盘，O 为圆心，阴影部分所对的圆心角为90︒；图②是正六边形，点Р为其中心)各有一个玻璃小球，依次摇动2个游戏盘后（小球滚到各自盘中任意位置都是等可能的）待小球静止，就完成了一局游戏，则一局游戏后，这2个盘中的小球至少有一个停在阴影部分的概率是A ．116 B ．1124C ．1324D ．516【答案】B【思路分析】根据几何概型面积型可分别计算出两个图中小球落在阴影部分的概率，由独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果．【解析】图①小球落在阴影部分的概率为212241341462P π⋅-ππ⋅=⋅=⋅，图②小球落在阴影部分的概率为213P =， ∴至少有一个小球停在阴影部分的概率为3113111(1)(1)11632424--⨯-=-=．故选B ．【名师点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，涉及到独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式的应用．9．（2020年四川省内江市威远中学高三上学期第一次月考）设随机变量ξ~B(2，p)，η~B(4，p)，若P(ξ≥1)=59，则P(η≥2)的值为 A ．1127B ．3281C ．6581D ．1681【答案】A【思路分析】利用二项分布概率计算公式结合条件P (ξ≥1)=59计算出p ，然后再利用二项分布概率公式计算出P (η≥2)．【解析】由于ξ~B(2，p)，则P (ξ≥1)=1−P (ξ=0)=1−(1−p )2=59，∴p =13，所以，η~B (4，13)，因此，P (η≥2)=1−P (η=0)−P (η=1)=1−(23)4−C 41⋅13⋅(23)3=1127，故选A ．【名师点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题．10．（山东省烟台市第一中学2019-2020学年高三上学期第一次联考）首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为111,,234，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是 A ．2324B ．524C ．1124D ．124【答案】C【思路分析】由已知得三家企业中恰有1家购买该机床设备分三种情况：只是甲企业购买，只是乙企业购买或只是丙企业购买，设出每一个企业购买设备所表示的事件，并求其对立事件的概率，根据互斥事件的和事件的概率等于各事件概率的和求解得出答案．【解析】设“甲企业购买该机床设备”为事件A ，“乙企业购买该机床设备”为事件B ，“丙企业购买该机床设备”为事件C ，则()12P A =，()13P B =，()14P C =，则()()111122P A P A =-=-=，()()121133P B P B =-=-=，()()131144P C P C =-=-=，设“三家企业中恰有1家购买该机床设备”为事件D ，则12311312111()()()()23423423424P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故选C ．【名师点睛】本题以实际问题为背景考查互斥事件的和事件的概率计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题．11．（浙江省湖州、衢州、丽水三地市2019-2020学年高三上学期期中）已知随机变量,X Y 的分布列如下：。

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