高考理科数学概率题型归纳与练习(含答案)
高考理科数学概率题型归纳与练习(含答案)
专题三：高考理科数学概率与数学期望一．离散型随机变量的期望(均值)和方差若离散型随机变量的分布列或概率分布如下：XX1x 2x …n xP1p2p…np 1. 其中，，则称为随机变120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=1122...n n x p x p x p +++量的均值或的数学期望，记为或．X X ()E X μ数学期望 =()E X 1122...n nx p x p x p +++性质 （1）；（2）．（为常数）()E c c =()()E aX b aE X b +=+,,a b c 2. ，（其中）刻画了随机变2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=量与其均值的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量的方差，记为或X μX ()D X ．2σ 方差2221122()()...()n nDX x p x p x p μμμ=-+-++-2．方差公式也可用公式计算．22221()()ni i i D X x p EX EX μ==-=-∑3．随机变量的方差也称为的概率分布的方差，的方差的算术平方根称为X X X ()D X的标准差，即X σ=1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。
X －101P95二．超几何分布对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，不合格品数X 的分布如下表所示：X 012…lP0n M N Mn NC C C -11n M N Mn NC C C --22n M N Mn NC C C --…l n l M N Mn NC C C --其中min(,)l n M =一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==，其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)X H n M N :，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ．1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．解：由2．2节例1可知，随机变量的概率分布如表所示：X X 012345P258423751807523751855023751380023751700237514223751从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：的数学期望约为．X 1.6667说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到．0()r n r nM N Mnr Nr C C M E X n C N --===∑g g 2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
(完整版)概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案.doc
【经典例题】【例 1】（ 2012 湖北） 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是21 121 A ．1- πB ． 2 - πC ． πD ． π【答案】 A【解析】 令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为 S 1，围成 OC 为 S 2，作对称轴 OD ，则过 C 点． S 2 即为以 OA2 π 1 2 111 π -2 S2(2)-2×2×2=1为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积， S =8 ．在扇形 OAD 中 2 为扇形面积减去三角S 2 S 1 1 21 S 2π -2 π -2π形 OAC 面积和 2 ， 2 = 8 π×1 - 8 - 2 =16 ， S 1+S 2= 4 ，扇形 OAB 面积 S= 4 ，选 A ．【例 2】（ 2013 湖北） 如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则 X 的均值 E(X) ＝ ( )1266 1687 A. 125B. 5C.125D. 5【答案】 B27 54 36 8 27【解析】 X 的取值为 0，1， 2，3 且 P(X ＝ 0) ＝125，P(X ＝ 1) ＝125，P(X ＝ 2) ＝ 125，P(X ＝ 3) ＝ 125，故 E(X) ＝0× 125＋1× 54 36 8 6＋2× ＋3× ＝，选B.125 125 125 5【例 3】（ 2012 四川） 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通 电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ()1 1 3 7 A. 4B. 2C. 4D. 8【答案】 C【解析】 设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮， 第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意 0≤ x ≤ 4，满足条件的关系式0≤y ≤4，根据几何概型可知， 事件全体的测度 ( 面积 ) 为 16 平方单位，而满足条件的事件测度( 阴影部分面积 ) 为 12 平方单位，123故概率为 16＝ 4.【例 4】（ 2009 江苏） 现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m ）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .【答案】 0.2 【解析】 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8 ， 2.6 和 2.9 ，所求概率为 0.2【例 5】（ 2013 江苏） 现有某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m ， n(m ≤7， n ≤ 9)可以任意选取，则 m ， n 都取到奇数的概率为 ________．20【答案】【解析】 基本事件共有 7×9＝ 63 种， m 可以取 1， 3， 5，7， n 可以取 1， 3，5， 7， 9. 所以 m ，n 都取到奇数共有 2020种，故所求概率为63.【例 6】（ 2013 山东） 在区间 [－ 3，3] 上随机取一个数 x ，使得 |x ＋ 1|－ |x － 2| ≥1成立的概率为 ________．【答案】13【解析】 当 x<－ 1 时，不等式化为－ x － 1＋ x －2≥1，此时无解；当－ 1≤x ≤2 时，不等式化为 x ＋1＋ x －2≥1，解之得 x ≥1；当 x>2 时，不等式化为 x ＋ 1－ x ＋2≥1，此时恒成立， ∴|x ＋ 1| － |x －2| ≥1的解集为 [ 1，＋∞ ) . 在 [ －3， 3]上使不等式有解的区间为 [ 1，3] ，由几何概型的概率公式得 P ＝ 3－ 1 1 .3－（－ 3） ＝3【例 7】（ 2013 北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良， 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染． 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市， 并停留 2 天．（ 1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（ 2）设 X 是此人停留 期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；（ 3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明 )【答案】 132； 1213； 3 月 5 日【解析】 设 Ai 表示事件“此人于3 月 i 日到达该市” (i ＝ 1， 2， ， 13) ．1(i ≠j) ．根据题意， P(Ai) ＝ ，且 Ai ∩Aj ＝13（ 1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8.2所以 P(B) ＝P(A5∪A8)＝ P(A5) ＋ P(A8) ＝ .13（ 2）由题意可知， X 的所有可能取值为 0，1， 2，且P(X＝ 1) ＝P(A3∪A6∪A7 ∪A11)4＝P(A3) ＋ P(A6) ＋ P(A7) ＋ P(A11) ＝13，P(X＝ 2) ＝P(A1∪A2∪A12∪A13)4＝P(A1) ＋ P(A2) ＋ P(A12) ＋ P(A13) ＝13，5P(X＝ 0) ＝ 1－ P(X＝ 1) － P(X＝ 2) ＝13.所以 X 的分布列为X 0 1 2P 5 4 4 13 13 135 4 4 12故 X 的期望 E(X) ＝0×＋1×＋2×＝ .13 13 13 13（ 3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大．【例 8】（2013 福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2，中奖可以3 获得 2 分；方案乙的中奖率为2，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中5奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（ 1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求 X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】1115；方案甲．2 2【解析】方法一：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响．记“这2 人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件 A 的对立事件为“ X＝5”，2 2 411因为 P(X＝5) ＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，3 5 151511即这两人的累计得分X≤3的概率为15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1) ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2) ．2 2由已知可得，X1～ B 2，3， X2～ B 2，5，2 42 4所以 E(X1) ＝2×3＝3， E(X2) ＝2×5＝5，812从而 E(2X1) ＝ 2E(X1) ＝， E(3X2) ＝ 3E(X2) ＝.3 5因为 E(2X1)>E(3X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为2，小红中奖的概率为2，且两人中奖与否互不影响．35记“这两人的累计得分 X ≤3”的事件为 A ，则事件 A 包含有“ X ＝0”“ X ＝2”“ X ＝3”三个两两互斥的事件，2 2 1 2 2 22 22， 因为 P(X ＝ 0) ＝ 1－× 1－ ＝ ，P(X ＝ 2) ＝ × 1－＝ ，P(X ＝3) ＝ 1－ × ＝ 15 355355 3 511所以 P(A) ＝ P(X ＝ 0) ＋ P(X ＝ 2) ＋ P(X ＝ 3) ＝15，11即这两人的累计得分 X ≤3的概率为 15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则 X1， X2 的分布列如下：X1 0 2 4 X2 0 3 6 P14 4 P912 4 9 9 9 2525251448所以 E(X1) ＝0× 9＋2× 9＋4× 9＝ 3，E(X2) ＝0× 9 ＋3× 12＋6× 4 ＝ 12.25 25 25 5因为 E(X1)>E(X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．【例 9】（ 2013 浙江） 设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1 分，取出一个黄球得2 分，取出一个蓝球得3 分．（ 1）当 a ＝ 3， b ＝ 2，c ＝ 1 时，从该袋子中任取 (有放回，且每球取到的机会均等 )2 个球，记随机变量 ξ为取出此 2球所得分数之和，求 ξ的分布列；（ 2）从该袋子中任取 (每球取到的机会均等 )1 个球，记随机变量 η为取出此球所得分数． 若 E η＝ 5，D η＝5，求 a ∶ b ∶ c.3 9【答案】 3∶ 2∶ 1【解析】（ 1）由题意得，ξ＝ 2， 3， 4， 5， 6.P(ξ＝ 2) ＝ 3×3 1＝ ，6×6 4 P(ξ＝ 3) ＝2×3×2＝ 1，6×6 32×3×1＋2×2 5 P(ξ＝ 4) ＝ 6×6 ＝ 18. P(ξ＝ 5) ＝ 2×2×1 16×6＝ 9，P(ξ＝ 6) ＝ 1×1 1，＝ 366×6 所以 ξ 的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P1 1 5 1 1 4318936（ 2）由题意知 η 的分布列为η 1 2 3Pa b ca ＋b ＋c a ＋ b ＋ ca ＋b ＋ca 2b3c5所以 E η＝ a ＋ b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＝ 3，5 a 5 b 5c5D η＝ 1－ 32· a ＋ b ＋ c ＋2－ 32· a ＋ b ＋ c ＋3－ 32· a ＋ b ＋ c ＝ 9， 2a － b － 4c ＝ 0，解得 a ＝ 3c ， b ＝ 2c ， 化简得a ＋ 4b －11c ＝ 0，故 a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.【例 10】（ 2009 北京理） 某学生在上学路上要经过 4 个路口， 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的 概率都是 1，遇到红灯时停留的时间都是2min.3（ 1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （ 2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望 .【答案】4；327 8【解析】 本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础 知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（ 1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A ，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为PA11111 4 .333 27（ 2）由题意，可得可能取的值为 0，2， 4， 6，8（单位： min ） .事件“2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（ k 0， 1， 2，3， 4），k 4 k∴ P2kC k412k 0,1,2,3,4，33∴即 的分布列是0 246 8P16 32 8818181278181∴ 的期望是 E16 32 88 1 82468.818127 81813【课堂练习】1.（ 2013 广东） 已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P3 3 151010则 X 的数学期望 E(X) ＝ () 35A. 2B ． 2 C. 2 D ． 32.（ 2013 陕西） 如图，在矩形区域 ABCD 的 A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区 域 ADE 和扇形区域 CBF( 该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常 )．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无 信号的概率是 ( )．A ．1－ π π π D ． π4 B ． －1 B ．2－ 42 23．在棱长分别为 1， 2， 3 的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离 大于 3的概率为 ()4 3 2 3A ．7B ． 7C ． 7D ． 144．（ 2009 安徽理） 考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于12 34?BA ．B ．C ．D ．75757575?F?C?D? E? A5.（ 2009 江西理） 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5 袋，能获奖的概率为（）3133 C ．4850A ．B ．81D ．.8181816.（ 2009 辽宁文） ABCD 为长方形， AB ＝ 2， BC ＝1，O 为 AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于 1 的概率为A ．B ． 1C ．8D ． 18447.（ 2009 上海理） 若事件 E 与 F 相互独立，且 P EP F1 的值等于，则P EI F4A ． 01 C ．11B ．4D ．1628．（ 2013 广州） 在区间 [1，5] 和[2， 4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程 x 2 y 22＋b 2＝ 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小a于 3的椭圆的概率为 ()2C ．1711531A ．2B ． 3232D ． 321， 2，3，9．已知数列 {a } 满足 a ＝ a＋ n － 1(n ≥2，n ∈ N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为nnn －14， 5， 6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为 a ， b ， c ，则满足集合 {a ，b ， c} ＝ {a 1， a 2， a 3}(1 ≤a i ≤6，i ＝ 1， 2， 3)的概率是 ()1B ． 1C ． 1D ． 1A ．72 36 24 1210.（ 2009 湖北文） 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、 0.6、 0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是 。
高考概率大题必练20题(理科)-含答案
高考大题概率训练1、在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求：（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望。
2、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。
首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。
再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走完迷宫为止。
令ξ表示走出迷宫所需的时间。
（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望。
3、某同学参加3门课程的考试。
假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(Ⅰ)求该生至少有(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望Eξ。
4、某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.5、某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。
另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列。
6、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量． （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．7、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的概率分布如下表：(1)求a 的值和ξ的数学期望；(2)假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被 消费者投诉2次的概率．8、一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。
专题17 概率-2023年高考数学真题题源解密(新高考)(解析版)
专题17 概率目录一览2023真题展现考向一概率考向二离散型随机变量及其分布列真题考查解读近年真题对比考向一概率考向二离散型随机变量及其分布列考向三正太分布命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一概率1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第12题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（ ）A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD解：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，故A正确；采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）β（1﹣β）＝β（1﹣β）2，故B正确；采用三次传输方案，若发送1，则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，故所求概率为：C23β(2−β)2+(1−β)3，故C错误；三次传输方案发送0，译码为0的概率P1=C23α(1−α)2+(1−α)3，单次传输发送0译码为0的概率P2＝1﹣α，P2−P1=(1−α)−C23α(1−α)2−（1﹣α）3=(1−α)[1−C23α(1−α)−(1−α)2]＝（1﹣α）（2α2﹣α）＝（1﹣α）α（2α﹣1），当0＜α＜0.5时，P2﹣P1＜0，故P2＜P1，故D正确．考向二离散型随机变量及其分布列2．（2023•新高考Ⅰ•第21题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量X i服从两点分布，且P（X i＝1）＝1﹣P（X i＝0）＝q i，i＝1，2，⋯，n，则E（ni=1X i）=ni=1q i．记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）．【解答】解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，由题意得P＝0.5×0.4+0.5×0.8＝0.6；（2）由题意设P n为第n次投篮的是甲，则P n+1＝0.6P n+0.2（1﹣P n）＝0.4P n+0.2，∴P n+1−13=0.4（P n−13），又P1−13=12−13=16≠0，则{P n−13}是首项为16，公比为0.4的等比数列，∴P n−13=16×（25）n﹣1，即P n=13+16×（25）n﹣1，∴第i次投篮的人是甲的概率为P i=13+16×（25）i﹣1；（3）由（2）得P i=13+16×（25）i﹣1，由题意得甲第i次投篮次数Y i服从两点分布，且P（Y i＝1）＝1﹣P（Y i＝0）＝P i，∴E（ni=1Y i）＝E（Y）=ni=1P i，∴当n≥1时，E（Y）=ni=1P i=1(25)i−1+n3=16[1−(25)n]1−25+n3=518[1﹣（25）n]+n3；当n ＝0时，E （Y ）＝0=518[1﹣（25）0]+03，综上所述，E （Y ）=518[1﹣（25）n ]+n3，n ∈N ．【命题意图】概率、随机变量的分布列与数学期望．【考查要点】概率多为小题。
高中理科数学各类型 概率统计、分布列解答题
高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1．2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义．【讲一讲提高技能】1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性．【练一练提升能力】1．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（2）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率．3、某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于？(2)已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有名工人．求该厂每月获利的均值．以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值【背一背重点知识】1．若随机变量服从二项分布，则对应的事件是两两独立重复的，概率为事件成功的概率．2．求二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差公式:若，则【讲一讲提高技能】1．必备技能：利用离散型随机变量的均值与方差的定义，也可求出二项分布为背景的离散型随机变量的均值与方差，但计算较繁．因此判断随机变量是否服从二项分布是解决问题的关键．判断方法有两个，一是从字面上理解是否符合独立重复条件，二是通过计算，归纳其概率规律是否满足二项分布．【练一练提升能力】1.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23 .(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．2.近年来，我国电子商务蓬勃发展．2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0．6，对服务的满意率为0．75，其中对商品和服务都满意的交易为80次． (Ⅰ) 根据已知条件完成下面的并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？(Ⅱ) 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望 ． 附：（其中为样本容量）3.(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度． 现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度 分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： (1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．以正态分布为背景离散型随机变量的分布列、均值1、正态分布概念：若连续型随机变量的概率密度函数为，其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为～。
高考理科概率大题
高三数学总复习概率大题集锦1. 甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗均匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
（1）设（i,j ）分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况； （2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，则乙胜。
你认为此游戏是否公平，说明你的理由。
解：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示）为（2，3）、（2，4）（2，4′）、（3，2）、（3，4）、（3，4′）、（4，2）、（4，3）、（4，4′）、（4，2′）、（4′，3）、（4′，4），共12种不同情况。
……4分（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4。
因此乙抽到的牌的数字大3的概率为;32……………………8分 （3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）（4′，2）、（4′，3）共5种 ………………11分甲胜的概率p 1=125，乙获胜的概率为,1272=p ,127125<∴此游戏不公平………………………………12分2.甲、乙队进行篮球总决赛，比赛规则为：七场四胜制，即甲或乙队，谁先累计获胜四场比赛时，该队就是总决赛的冠军，若在每场比赛中，甲队获胜的概率均为0.6，每场比赛必须分出胜负，且每场比赛的胜或负不影响下一场比赛的胜或负． （1）求甲队在第五场比赛后获得冠军的概率； （2）求甲队获得冠军的概率； 解：（理）（1）设甲队在第五场比赛后获得冠军为事件M ，则第五场比赛甲队获胜，前四场比赛甲队获胜三场,依题意得20736.04.06.0)(434=⨯⨯=C M P ．（2）设甲队获得冠军为事件E ，则E 包含第四、第五、第六、第七场获得冠军四种情况，且它们被彼此互斥．∴ 710208.04.06.04.06.04.06.06.0)(343624354344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+=C C C E P ．3. 一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个．求：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，求取球次数不超过3次的概率．解：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率4416;5525P =⨯=…………………… 6分 （Ⅱ）取到黑球时取球次数为1次，2次，3次的事件，分别记为A 、B 、C ．1()5P A =， 414()5525P B =⨯=， 24116()()55125P C =⨯= 所以，取球次数不超过3次的概率是()()()()P A B C P A P B P C ++=++＝15＋425＋16125=61125． 答：取球次数不超过3次的概率是61125．…………………………………………12分4.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （1）两数之和为6的概率；（2）两数之积是6的倍数的概率；（3）以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x, y)在直线 x －y=3的下方区域的概率（1）两数之和为6的概率为365 （2）此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A ，则由下面的列表可知，事件A 中含有其中的15个等可能基本事件， 所以P(A)=3615=125, 两数之积是6的倍数的概率为1256. 两个人射击，甲射击一次中靶概率是p 1，乙射击一次中靶概率是p 2，已知 1p 1 , 1p 2是方程x 2－5x + 6 = 0的根，若两人各射击5次，甲的方差是 54 ．(1) 求 p 1、p 2的值；(2) 两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？(3) 两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？解析：(1) 由题意可知 ξ甲 ~ B(5, p 1)，∴D ξ甲 = 5p 1 (1－p 1) = 54 ⇒ p 12－p 1 + 14=0 ⇒ p 1 = 12 ．2分；又 1p 1 ·1p 2 = 6，∴ p 2 = 13． 3分(2) 两类情况：共击中3次概率C 22 ( 12 ) 2 ( 12 ) 0×C 12 ( 13 ) 1 ( 23 ) 1 + C 12 ( 12 ) 1 ( 12)1×C 22 ( 13 ) 2 ( 13 ) 0 = 16；共击中4次概率C 22 ( 12 ) 2 ( 12 ) 0×C 22 ( 13 ) 2 ( 23 ) 0 = 136 ． 6分所求概率为 16 + 136 = 736． 8分(3) 设事件A, B 分别表示甲、乙能击中．∵ A, B 互相独立（9分），∴ P (⎺A ·⎺B ) = P (⎺A )P (⎺B ) = (1－P (A ) )(1－P (B ) ) = (1－p 1)(1－p 2) = 12×23= 13（11分），∴ 1－P (⎺A ·⎺B ) =23为所求概率． 12分 评析：这一类型的试题在连续几年的新课程卷都出现了，重点考查了分类讨论的数学思想，体现了《考试说明》所要求的创新意识和实践能力以及运用数学知识解决实际问题的能力．该题仍然是常规题，要求考生耐心细致，审题能力较强，并善于利用材料进行分析说明． 7. 有甲、乙两个篮球运动员，每人各投篮三次，甲三次投篮命中率均为53；乙第一次在距离8米处投篮命中率为43，若第一次投篮未中，则乙进行第二次投篮，但距离为12米，如果又未中，则乙进行第三次投篮，并且在投篮时距离为16米，乙若投中，则不再继续投篮，且知乙命中的概率与距离的平方成反比.（Ⅰ）求甲三次投篮命中次数ξ的期望与方差； （Ⅱ）求乙投篮命中的概率.解：（Ⅰ）甲三次投篮的命中次数ξ服从二项分布，即)53,3(~B ξ，…………2分则393,55E np ξ==⨯= ………………………………4分 32183.5525D npq ξ==⨯⨯=…………………………6分（Ⅱ） 记乙三次投篮依次为事件A 、B 、C ，设乙命中概率与距离的平方成反比的比例系数为a ，则由题意得23(),4884a P A a ==∴=……………………………………7分 21()123a P B ∴==…………………………8分 .16316)(2==a C P ……………………9分故乙投篮命中的概率为)()()()()()()()()(C P B P A P B P A P A P C B A P B A P A P P ⋅⋅+⋅+=++=.96831633241314143=⨯⨯+⨯+=………………………………12分 8. 某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。
概率与统计(选择、填空题)(理科专用)(解析版)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题15概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1,2,3，且3>2>1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘甲的概率丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为甲则甲=2(1−2)13+221(1−3)=21(2+3)−4123记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为乙则乙=2(1−1)23+212(1−3)=22(1+3)−4123记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为丙则丙=2(1−1)32+213(1−2)=23(1+2)−4123则甲−乙=21(2+3)−4123−22(1+3)−4123=21−23<0乙−丙=22(1+3)−4123−23(1+2)−4123=22−31<0即甲<乙，乙<丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C 72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率=21−721=23.故选：D.3．【2021年甲卷理科】已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B ．132C D 【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.4．【2021年甲卷理科】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.5．【2021年乙卷理科】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B 【解析】【分析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A Ω对应的区域面积，即可顺利解出．6．【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙丁，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D.8．【2020年新课标1卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x=+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.9．【2020年新课标2卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，9001850=，故至少需要志愿者18名.故选：B 【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10．【2020年新课标3卷理科】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【答案】C 【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.12．【2019年新课标1卷理科】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．13．【2019年新课标2卷理科】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤ ，中位数仍为5x ，∴A 正确．②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ，后来平均数234817x x x x x '=+++ （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.14．【2019年新课标3卷理科】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．15．【2018年新课标1卷理科】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.16．【2018年新课标1卷理科】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【答案】A 【解析】【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.【详解】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=，从而可以求得ABC ∆的面积为112=S bc ，黑色部分的面积为22221()()[()]2222c b a S bc πππ=⋅+⋅-⋅-2221(4442c b a bc π=+-+22211422c b a bc bc π+-=⋅+=，其余部分的面积为22311122282a a S bc bc ππ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以有12S S =，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.17．【2018年新课标2卷理科】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【解析】【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.18．【2018年新课标3卷理科】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B【解析】【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =- p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．19．【2021年新高考1卷】有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD20．【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.21．【2020年新高考1卷（山东卷）】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log n i i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n == ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n== ，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m = ）.()2222111log log m m i i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ .()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅+⋅+++⋅+++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++ 由于()01,2,,2i p i m >= ，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111log log i i m i p p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.22．【2020年新高考2卷（海南卷）】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.23．【2022年全国甲卷】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有= 6+6=12个，故所求概率==1270=635．故答案为：635．24．【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布2,2，且o2<≤2.5)=0.36，则o>2.5)=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为∼2,2，所以<2=>2=0.5，因此>2.5=>2−2<≤2.5=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.14．25．【2019年新课标1卷理科】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．26．【2019年新课标2卷理科】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0．98.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．。
高考理科数学概率题型归纳与练习含答案(供参考)
专题三：高考理科数学概率与数学期望一．离散型随机变量的期望(均值)和方差1. 其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．数学期望 ()E X =1122...n n x p x p x p +++性质 （1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）2. 2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()D X 或2σ．方差2221122()()...()n n DX x p x p x p μμμ=-+-++-2．方差公式也可用公式22221()()ni i i D X x p EX EX μ==-=-∑计算．3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()D X 的算术平方根称为X的标准差，即σ1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。
对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，其中min(,)l n M =一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==， 其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)XH n M N ，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ． 1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．X 0 1 2 3 4 5P从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r nM N Mnr Nr C C M E X n C N --===∑． 2. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
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专题三：高考理科数学概率与数学期望一．离散型随机变量的期望(均值)和方差若离散型随机变量X 的分布列或概率分布如下：X 1x 2x …n xP1p 2p …n p1. 其中，120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=，则称1122...n n x p x p x p +++为随机变量X 的均值或X 的数学期望，记为()E X 或μ．数学期望 ()E X =1122...n n x p x p x p +++性质 （1）()E c c =；（2）()()E aX b aE X b +=+．（,,a b c 为常数）2. 2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()D X 或2σ．方差2221122()()...()n n DX x p x p x p μμμ=-+-++-2．方差公式也可用公式22221()()ni i i D X x p EX EX μ==-=-∑计算．3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()D X 的算术平方根称为X的标准差，即()D X σ=．1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求EX ，DX 。
X －1 01 P95二．超几何分布对一般情形，一批产品共N 件，其中有M 件不合格品，随机取出的n 件产品中，X 012… lP0n M N MnNC C C - 11n M N MnNC C C -- 22n M N MnNC C C -- …l n l M N MnNC C C -- 其中min(,)l n M =一般地，若一个随机变量X 的分布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==， 其中0r =，1，2，3，…，l ，min(,)l n M =，则称X 服从超几何分布，记为(,,)XH n M N ，并将()r n r M N MnNC C P X r C --==记为(;,,)H r n M N ． 1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，（1）若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率． （2）若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．X 0 1 2 3 4 5P258423751807523751855023751380023751700237514223751从而2584807585503800700425()012345 1.66672375123751237512375123751237513E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈ 答：X 的数学期望约为1.6667．说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到0()r n r nM N Mnr Nr C C M E X n C N --===∑．2. 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。
从这10件产品中任取3件，求：（I ）取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； （II ）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。
三．二项分布1．n 次独立重复试验一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。
我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。
（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。
（2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k k n kn C p p --。
2．二项分布若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k n C p q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。
1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。
2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31. (1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率为32. （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）求乙至多击中目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.【巩固练习】1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X的分布列;(Ⅱ)求X的数学期望E(X).2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(Ⅰ) 求甲获胜的概率;(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是12，试求需要比赛场数的期望．3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关?(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽 样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差()D X .5.（2007陕西理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率； （Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数 的概率分别布. (1)每次取出的产品不再放回去； （2）每次取出的产品仍放回去；（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.7. （2007•山东）设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）． （I ）求方程x 2+bx+c=0有实根的概率； （II ）求ξ的分布列和数学期望；ABC60︒湖北理工学院湖北师范学院99 6507 21 1516171819891258934 60 18.（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（I）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（II）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X （元），求随机变量X 的分布列和数学期望.9. (本题满分12分)中国•黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职导游”。
（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职导游”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。
10.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A ，X≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （I ）已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：1x5 6 7 8P0．4ab0．1且X 1的数字期望EX 1=6，求a ，b 的值；（II ）为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望.11. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下：将频率视为概率，解答下列问题：（I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；（II ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为1X ，生产一辆乙品牌轿车的利润为2X ，分别求1X ，2X 的分布列；（III ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。