6、排列组合问题之分组分配问题

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排列组合中的分组分配问题

排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。

某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。

下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。

一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本.（2）一组一本，一组二本，一组三本.（3）一组四本，另外两组各一本.分析：（1）分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是c26c24c22=90（种），这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：（1，2）（3，4）（5，6）与（3，4）（1，2）（5，6），由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数a33，所以分法是c26c24c22a33=15（种）。

（2）先分组，方法是c16c25c33，那么还要不要除以a33？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有c16c25c33=60（种）分法。

（3）分组方法是c46c12c11=30（种），那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

所以实际分法是c46c12c11a22=15（种）。

排列组合中分组(分堆)与分配问题

太奇MBA 数学助教李瑞玲一．分组（分堆）与分配问题将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。

将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。

分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。

对于后者必须先分组后排列。

一．基本的分组问题例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）（2）一组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）（3）一组四本，另外两组各一本（部分平均分组问题）分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。

分组数为90222426=C C C ,而这90种分组方法实际上重复了6次。

现把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看一下这种情况：（1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（1,2）（3,4）（5,6）（3,4）（1,2）由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。

以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组的顺序，即除以33P ,于是最后知分法为1569033222426==P C C C .(2)先分组，分组方法是60332516=C C C ，那么还要不要除以33P ???（很关键的问题）由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有60332516=C C C 。

（3）先分组，分组方法是30111246=C C C ，这其中有没有重复的分法???(需要好好考虑）现还把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看以下情况1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下（1,2,3,4）56（1,2,3,4）652）先取一本分一组，再取四本分一组，剩余的一本为一组，情况如下5（1,2,3，4）66（1,2,3,4）53）先取一本分一组，再取一本为一组，剩下的四本为一组，情况如下56（1,2,3,4）65（1,2,3,4）由此可知每一种分法重复了2次，原因是其中两组的的书的本数都是一本，这两组有了顺序，需要把分组的顺序取消掉，而四本的那一组，由于书的本数不一样，不可重复，故最后的结果为1523022111246==P C C C .通过以上三个小题的分析，可以得出分组问题的一般结论如下：一般地，将n 个不同的元素分成p 组，各组内元素个数分别为p m m m ,,,21⋯，其中k 组内元素个数相等，那么分组方法数为()kk mm m m m m n m m n m n P C C C C pp i i ⋯⋯⋯121211−+++−−，即选完元素后要除以元素相同的总组数的全排列！三．基本的分配问题1.定向分配问题例2六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）甲四本，乙一本，丙一本分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属于分配问题中的定向分配问题。

排列组合中的分组分配问题

5、
1. 平面上有10个点，其中有且只有4点共线，
现从中任取2点，共可以组成多少条直线？
C120
-
C
2 4
+1
2. 正四面体的四个顶点和各棱的中点共10个点，从
中任取四个点，其中不共面的情形共有多少种？
210－60－6－3＝141
分析2：
X
10个点中取4个点的取法为C(10,4)=210种
只要求出共面的就可以了共面的分三种情况：
2 、有分配对象和无分配对象
二、非均分组问题 1、有分配对象和无分配对象 2、分配对象确定和不确定
以下供参考！
题型： 1、某车间有11名工人，期中有5名钳工，4名车工，另外 2名既能当钳工又能当车工，现要在这11名工人中选派4 名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？
一、2人按钳工分类：C54C64 + C12C53C54 C22C52C44 185；
名额有？种分配方案。
答:
1、法一）隔板法 C96

84;
法二）C1 7
+A2 7
+C3 7
84.
2、法一）隔板法

C95
=126；法二）C16
+3C2 6
+3C3 6
+C4 6
126.
【讨论】
1）6本不同的书全部分给5个人，有？
2）5本不同的书全部分给6个人，每人至多一本，有？
3）5本相同的书全部分给6个人，每人至多一本，有？
乙、丙、丁四个人有多少
种不同的分法？
(2)
C120C82C62C44 A33

A44 .
练习：

排列组合中的分组分配问题完整

注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用乘法原理作积
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本有多少种分法
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人一本，一人两本，一人三本；（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；（5）一人四本，另两人各一本·
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少种不同分法？

排列组合中的分组分配问题完整版

2 2
.
三：部分均分有分配对象的问题
例3、 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E 五个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数 · 把均分的五组看成是五个元素在五个位置上作排列
答(答：)
C132C
3 9
A
3 3
C62 A
C42
2 2
C22
A
5 5
三：部分均分无分配对象的问题
.
X
说明：提出分组与分配问题，澄清模糊概念： n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同的对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的 .对于后者必须先分组后排列。
三个人有多少种不同的分法？答：C
61C 52C
3 3
注：非均分组有分配对象要把组数当作元素个数，
此与非均分配结果一样。五、非均分组分配对象不固定问题
例7 、六本不同的书分给三人，1人1本，1人2本,1人3本
有多少种分法？
答：C61C
52C
3 3
.A33
思考：有6本不同的书，按下条件，各有多少种不同
C160 ?C62 ?C42 ?C22 ?18900
种分法 ?
.
【讨论】：隔（插）板法
1、某运输公司有 7 个车队，每队的车都多于四辆，且型号相同。要从这 7个车队中抽出10辆车组成一运输队，每队至少抽一辆，问不同的抽法有多少种。

组合中的分组分配问题(应用)

排列组合中的分组分配问题一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

二、基本的分组问题理论部分：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以A(m,m)，即m!，其中m 表示组数。

例如把abcd 分成平均两组有_____多少种分法？例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？C 4 2 C 22 A 2 2 3ab cd ac bd ad bccdbd bc ad ac ab这两个在分组时只能算一个①每组两本.22264233C C CA②一组一本，一组二本，一组三本.615233CCC③一组四本，另外两组各一本.41162122C C CA=15(种)定向分配④乙两本、丙两本.222642C C C=90(种⑤甲一本、乙两本、丙三本.615233CCC=60(种)⑥甲四本、乙一本、丙一本.411621C C C=30(种不定项分配⑦每人两本.22264233C C CA33A=90(种)⑧一人一本、一人两本、一人三本. 615233CCC33A=360⑨一人四本、一人一本、一人一本.41162122C C CA33A=90⑩6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本。

540本不定向分配题的一般原则：先分组后排列11结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp ，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。

排列组合中的分组分配问题的有效解法

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到的问题领域非常广泛，其中之一就是分组分配问题。

分组分配问题是指将一定数量的元素分配到若干个组中，并且每个组的元素数量可能不同。

在实际应用中，分组分配问题有着广泛的应用，比如分配任务、分配资源等。

在这篇文章中，我们将介绍一些有效的解决分组分配问题的方法。

让我们来定义一下分组分配问题的数学模型。

假设有n个元素和m个组，每个元素只能分配到一个组中，并且每个组的元素数量可能不同。

我们的目标是找到一种分配方案，使得每个元素都被分配到一个组中，且每个组的元素数量满足一定的条件。

在实际问题中，要解决分组分配问题，需要考虑以下几个因素：1. 元素的数量和组的数量：分组分配问题的规模取决于元素的数量和组的数量。

如果元素和组的数量都很大，那么问题的难度也会增加。

2. 分配条件：每个组的元素数量可能受到一些限制条件的约束，比如每个组的元素数量之和必须等于总的元素数量。

解决分组分配问题时，需要考虑这些条件，并找到满足条件的分配方案。

3. 目标函数：在分组分配问题中，我们通常会有一些额外的参考标准，比如使得每个组的元素数量尽可能均匀，或者使得某个组的元素数量最大等。

这些参考标准可以通过定义一个目标函数来实现，然后再根据目标函数来选择最优的分配方案。

在解决分组分配问题时，可以采用不同的方法，其中一些常用的方法包括：1. 暴力枚举法：暴力枚举法是一种常用的解决分组分配问题的方法。

它的基本思想是对所有可能的分配方案进行穷举，然后根据目标函数来选择最优的分配方案。

虽然暴力枚举法可以找到最优的分配方案，但是当元素和组的数量较大时，算法的时间复杂度会呈指数级增长，效率较低。

2. 贪心算法：贪心算法是一种常用的启发式算法，它的基本思想是每次选择当前最优的分配方案，并在后续的选择中继续按照最优的原则进行分配。

贪心算法可以在较短的时间内找到较好的解，但是不能保证一定能找到最优的解。

排列组合中的分组分配问题的有效解法

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是概率与统计中的基础知识点，其中包括排列、组合等概念。

在实际生活中，我们经常会遇到需要对一个集合内的元素进行分组和分配的问题，这些问题又被称为分组分配问题。

例如，在一个班级中，我们需要将学生分成若干组，或者在一个公司中，我们需要将员工分配到不同的部门，这些都属于分组分配问题，而排列组合则提供了有效的解决方法。

一、排列组合的基本概念1. 排列排列用于描述一组元素的各种排列方式。

例如，由 A、B、C 三个元素组成的集合，其所有排列包括 ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA 共 6 种。

排列的数量为 n!，其中 n 为集合中元素的个数。

排列与顺序有关，即不同顺序的排列被视为不同的结果。

2. 组合二、分组分配问题的解决方法1. 确定组数解决分组分配问题的第一步是确定分成几组，或者分配到几个部门。

这个数目通常由具体问题所确定，如班级分组时可能要求分成 2、3 或 4 组等。

2. 确定元素第二步是确定需要分组或分配的元素，即确定学生、员工、球队等。

这个数目也由具体问题所确定。

接下来，我们需要确定分成的每一组的元素个数，或者每个部门中的员工个数。

这个分组方式的确定关系到具体问题的解决。

4. 应用排列组合最后，我们可以应用排列组合的知识来解决分组分配问题。

例如，在班级分组时，如果确定分成 2 组，每组各 10 人，则分组的总方法数为 45。

这个计算过程可以用排列组合的方法来解决：先从 20 个学生中选出 10 个，共 C(20, 10) 种方法，然后将这 10 个学生划分到两个组中，使用排列的方法可以得到 2(10!) 种方案。

因此，班级分组的总方案数为2(10!)C(20, 10) = 45。

在公司分配员工到部门时，如果要求每个部门中的员工数量相同，且每个部门至少要有一个员工，则可以使用组合数目和整数划分的知识来解决问题。

具体方法如下：设共有 n 个员工，要分成 k 个部门，每个部门包含 m 个员工。

排列组合中的分组分配问题

排列组合中的分组分配问题仁荣中学杨明关键词：分组均匀不均匀分配定向分配不定向分配分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。

某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。

下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。

一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是624222C C C =90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C C A =15(种)。

(2)先分组，方法是615233C C C ，那么还要不要除以33A ？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C =60(种) 分法。

(3)分组方法是642111C C C =30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

排列组合中的分配分组问题

排列组合中的分配分组问题排列、组合以其独特的研究对象和研究方法，在高中数学教学中占有特殊的地位，是高考必考内容之一，它既是学习概率的预备知识，又是进一步学习数理统计、组合数学等高等数学的基础，因此排列与组合问题的应用题是高考的常见题型。

本文就笔者自己解决排列组合问题中的分配分组问题的一些浅见拙知与大家分享，不值一飧，还望批评与指正。

一、基本定义：1、排列：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列。

2、组合：从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合。

3、排列数与组合数公式：)1)......(1(A +--=m n n n mn!)1().........1(m m n n n C A C m n m n m n+--== 二、解题思路总析：从排列与组合的定义来看，这两个数学名词的相同之处在于“选”—从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素；不同之处在于：排列有“序”——取出的m 各元素之间有顺序，组合无“序”——取出的m 各元素之间无顺序。

所以根据题目的意思分析元素之间是否有序就成了解决问题是用排列数公式还是用组合数公式的关键。

另外，在分配分组问题中，还存在分成的各组元素个数相等或不相等的问题，各组元素个数相等的分配分组称为“均匀”，各组元素个数全不相等的分配分组称为“不均匀”。

综合以上两点，笔者把排列组合中的分配分组问题统分为四类：1、均匀有序：各组元素个数相等，各组之间有顺序；2、均匀无序：各组元素个数相等，各组之间没有顺序；3、不均匀无序：各组元素个数全不相等，各组之间没有顺序；4、不均匀有序：各组元素个数全不相等，各组之间有顺序。

其中均匀有序又称“双肯定”分法，不均匀无序又称“双否定”，均匀无序和不均匀有序称为“单肯定”下面就以具体例题来说明上面四类问题的一般解法：例1：有6本不同的书，（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？解析：对于问题（1），首先从6本不同的书中选出2本来给甲，选出的2本书之间无顺序，为26C ；其次，从剩下的4本书中选出2本来给乙，为24C ；最后剩下的2本给丙，为22C ；整个解题过程应用的是分步计数原理，所以最终的分法数为90C *C *C N 2224261==;对于问题（2），与问题（1）的相同在于都是均匀分组，差别仅仅在于，一个是分给3人，一个是分成3堆，即就是分成的3组之间一个是有顺序的，一个是没有顺序的，所以问题（2）的解决可以在问题（1）解决的基础上对3组进行“消序”，即15A C *C *C N 332224262==; 对于问题（3），解决方法与问题（1）一样，用分步计数原理，先从6本不同的书中选出1本来，再从剩下的5本书中选出2本来，最后剩下的3本作为一堆，最终的分法数为60C *C *C N 3325163==;对于问题（4），分析题目，可见问题（4）与问题（3）的相同在于都是不均匀分组，差别在于问题（3）是分成3堆，即分成的3组无序，问题（4）是分给3人，即分成的3组有序，所以问题（4）的解决可以在问题（3）解决的基础上对3组进行“排序”，即603A *C *C *C N 333325164==。

排列组合中的分组分配问题的有效解法

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是一个常见的数学问题，也是现实生活中经常遇到的问题之一。

在这个问题中，我们需要将一组物品或者对象分成若干个部分，并且满足一定的条件。

分组分配问题在很多领域都有应用，比如在工程设计中，人力资源分配中，商品生产中等。

解决这类问题需要用到排列组合的知识，以及一些有效的解法。

本文将介绍一些排列组合中的分组分配问题的有效解法。

一、排列组合的基本概念在开始介绍分组分配问题的有效解法之前，我们需要先了解一些排列组合的基本概念。

排列和组合是数学中的两个基本概念，它们都是用来描述从一个集合中选取若干元素的方式。

1. 排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为一个排列。

在排列和组合中，元素的重复情况也是一个需要考虑的问题。

比如在排列中，元素的重复次序是不同的排列，而在组合中，只考虑元素的选择而不考虑顺序。

二、分组分配问题的有效解法1. 贪心算法贪心算法是一种解决分组分配问题的有效方法。

贪心算法的基本思想是每一步都选择局部最优解，最终将得到全局最优解。

在分组分配问题中，我们可以根据一定的标准进行分组，比如按照物品的重量、价格、大小等进行分组。

在每一步中，选择当前最优的分组方案，经过若干步之后得到整体最优解。

贪心算法的优势在于可以快速得到一个较好的解，但是也有一定的局限性，可能不能得到全局最优解。

在实际应用中，可以根据具体情况选用贪心算法。

2. 动态规划动态规划是解决分组分配问题的另一种有效方法。

动态规划是一种求解最优化问题的方法，它将问题分解成若干子问题进行求解，最终得到全局最优解。

3. 回溯算法回溯算法是解决分组分配问题的一种基本方法。

回溯算法的基本思想是逐步尝试每一种可能的分组方案，直到找到满足条件的分组方案为止。

在回溯算法中，需要考虑到可能的分支和剪枝，以及如何快速得到解。

在解决分组分配问题时，可以根据具体情况选择贪心算法、动态规划、回溯算法等不同的解法。

6、排列组合问题之分组分配问题

排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？① 分成3组，分别为1人、2人、4人；② 选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。

解：①先选出1人，有C ；种，再由剩下的6人选出2人，有C ；种，最后由剩下的4人为一组，有C 4种。

由分步计数原理得分组方法共有C 7C 6C 4 105 （种）。

②可选分同步。

先从7人中选出2人，有C ；种，再由剩下的5人中选出3人，有C 532 3种，分组方法共有C 7C 5 210 （种）。

也可先选后分。

先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有210 （种）。

、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出 6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。

先选3人为一组，有C ；种；再选3人为另一组，有C ：种。

又有2组都是3人，每 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成 4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？70 （种）。

也可先选后分。

不同的分法共有C6c ；c ； C 7T70 （种）。

解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有G：、C；、C（2、C4种，又有3堆都是2个c2c2c2元素，每A种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有10 3 6 C： 3150 （种）。

A【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有A：种顺序不同的分法只能算一种分法。

】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法? 解：分组方法共有C；C；A| 420 （种）。

排列组合中的分组分配问题

120C82
C
6 6
A
3 3
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2;2;2平均分给甲、乙、丙三个人，有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数· 把均分的三组看成是三个元素在三个位置上作排列
（答）：C62C42C22 A33
A33
C62C42C22 .
三：部分均分有分配对象的问题
有 C13 种插法.
故共有 C15g C32 C13 =30(种).
2.相同元素分配问题的建模思想
(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,
便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相
邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对
应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔
D.1 456
【解析】选A.先给每个小朋友分三个苹果,剩余18个苹果利用“隔板法”,18个苹果有17个空,插入三个“板”, 共有 C137 =680种方法,故有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,有680种不同的分配方案.
2.有5本相同的数学书和3本相同的语文书,要将它们排
2）5本不同的书全部分给6个人，每人至多一本，有？
3）5本相同的书全部分给6个人，每人至多一本，有？
4）3本相同的书全部分给5个人，有？
答
:
1）56；2）A
5;3）C5;4）35。
6
6
说明4)：3本相同的书分别送给
1人，2人，3人，
C1 +A2 +C3
5
5
5
35.
课堂小结:
小结:
一、平均分组问题

排列组合问题之分组分配问题

排列组合问题之分组分配问题（—）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法① 分成3组，分别为1人、2人、4人；② 选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。

解：①先选出1人，有C ；种，再由剩下的6人选出2人，有C ；种，最后由剩下的4人为一组，有C 4种。

由分步计数原理得分组方法共有 C 7C 6C 4 105 （种）。

②可选分同步。

先从7人中选出2人，有C ；种，再由剩下的5人中选出3人，有C 3 种，分组方法共有 C ^C l 210 （种）。

也可先选后分。

先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有 C l C ；C ； 210 （种）。

、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出 6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法解：可选分同步。

先选3人为一组，有C ；种；再选3人为另一组，有C ：种。

又有2组都㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成 4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C 0、C ；、Cf 、C ：种，又有3堆都是2个_3元素，每A 3种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有A m 种顺序不同的分法只能算一种分法。

】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出 2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法解：分组方是3人，每 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有 C y'C 70 （种）。

也可先选后分。

不同的分法共有C 6 CeC 70 （种）。

排列组合中的分组分配问题的有效解法

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到对象的排列和组合方法。

在实际生活中，排列组合可以帮助我们解决很多实际问题，尤其是在分组分配问题上。

分组分配问题是指将一些对象按照一定的规则分配到不同的组中，这个问题在实际生活中常常出现，比如分班分组、分工分配等。

在这篇文章中，我们将探讨排列组合中的分组分配问题，并提出有效的解法。

我们需要了解一下排列组合中的基本概念。

排列指的是从一组对象中按照一定的顺序选出一部分对象的方法，而组合指的是从一组对象中选出一部分对象并将其无序排列的方法。

在分组分配问题中，我们通常需要考虑的是对象的分组和分配顺序。

在实际生活中，有时我们需要将一组对象分成若干个组，并且每个组中的对象数量可能是不同的，这就涉及到了排列组合中的分组分配问题。

我们需要将一些学生分成若干个班级，每个班级的人数可能是不同的；又如，我们需要将一些任务分配给若干个团队，每个团队的任务量可能是不同的。

如何有效地解决这些问题呢？下面我们将介绍一些常见的有效解法。

1. 贪心算法贪心算法是一种简单而高效的算法，它通常适用于求解最优化问题。

在分组分配问题中，我们可以通过贪心算法来求解最优的分组方案。

具体来说，我们可以按照一定的规则来选择对象并将其分配到不同的组中，直到所有对象都被分配完为止。

对于任务分配的问题，我们可以按照任务的难易程度或者工作量来排序，然后依次将任务分配给团队，直到所有任务都被分配完为止。

贪心算法的好处是简单易实现，但它并不能保证得到全局最优解，因此需要根据具体情况来选择是否使用贪心算法。

2. 动态规划动态规划是一种常见的求解最优化问题的方法，它适用于分组分配问题中复杂的情况。

动态规划的基本思想是将原问题分解为若干个子问题，然后分别求解这些子问题的最优解，最后将这些子问题的最优解组合起来得到原问题的最优解。

在分组分配问题中，我们可以通过动态规划来求解最优的分组方案。

具体来说，我们可以定义一个状态转移方程，根据这个状态转移方程来对每个子问题进行求解，最终得到整个问题的最优解。

高中数学专题排列组合中的分组分配问题

高中数学专题排列组合中的分组分配问题Ⅰ.概述分组分配问题是排列、组合问题的综合，是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题，实际上也可运用分配问题的方法来解决。

解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。

分组分配问题特征：（1）分组分配特征：问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；（2）分组的类型：整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组，都应注意只要有元素的个数相等的组存在，就需要考虑均分的现象（即：整体平均分组；或部分平均分组）；（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等，则存在重复出现的情况，作为分组只能计为一种。

Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题一.分组与分配有关概念1.将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。

2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置），称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；3.分组问题和分配问题的区别：前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是有区分的，对于分配问题必须先分组后分配，而分组通常与组合相关，分配通常与排列相关。

二．基本的分组问题（一）分组问题的基础题例【题例1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.【分析】：(1)分组与顺序无关，是组合问题。

注意，这里6个元素，分3组，每组2个元素，所求的分组种类：不是“从6个元素中取2个元素的组合数”，而是“6选2，选3次，分成3组，所得的组数”；在这样的分组中，由于要选3次，且平均选取，就存在选取的顺序，故所得组中出现重复的组，重复的种数即所分组的全排列数。

若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（3，4）（1，2）（5，6），则这样的两组只能算一组，不能算作两组；若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（1，3）（2，4）（5，6），则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1，2）（3，4）（5，6）与（1，3）（2，4）（5，6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个，且其中的组合（5，6）只能算作1个计数；三．基本的分配问题（一）定向分配问题：将所给元素按要求分配到指定对象【题例2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题：将所给元素按要求分配到非指定对象【题例3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究一．分组问题的基本类型--思想方法（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）：“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。

排列组合中的分组分配问题

排列组合中的分组分配问题在排列组合教学中，分组分配问题是一个重要且难以理解的概念。

有些排列组合问题看起来不是分配问题，但实际上可以用分配问题的方法来解决。

一、区分分组与分配问题将n个不同的元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分为定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。

分组问题有不平均分组、平均分组和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同就不区分；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。

对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例如，六本不同的书分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？1.每组两本。

分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是C6^2C4^2=90种，但这90种分组实际上重复了6次。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数A3^3，所以分法是C6^2C4^2/A3^3=15种。

2.一组一本，一组二本，一组三本。

先分组，方法是C6^1C5^3，不需要除以A3，因为每组的书的本数不一样，不会出现相同的分法，即共有60种分法。

3.一组四本，另外两组各一本。

分组方法是C6^4C2^1C1^1=30种，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，C6^2C1^1不可能重复。

所以实际分法是15种。

通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。

结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是m1n/m2(n-m1)Cm3(n-m1-m2)…Cmp(m-k+1)。

排列组合中的分组分配问题的有效解法

排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。

在实际生活中，我们经常会遇到这样的问题，比如如何将一群人分成几组参加比赛，或者如何将一批货物分配到不同的仓库中。

研究分组分配问题的有效解法对于解决各种实际问题具有重要的意义。

排列组合中的分组分配问题可以分为两种类型：一种是固定分组数量的分配问题，另一种是灵活分组数量的分配问题。

在解决这两种类型的问题时，通常可以运用排列组合的知识以及一些数学方法来进行分析和求解。

我们来讨论固定分组数量的分配问题。

在这种情况下，我们需要将一组元素分配到固定数量的分组中，每个分组的元素数量也是固定的。

通常情况下，我们可以使用排列组合的方法来解决这类问题。

假设有n个元素需要分配到m个分组中，每个分组需要包含k个元素，那么可以计算出一共有多少种不同的分组分配方式。

我们需要计算出总的元素数量n个中选取出k个元素的组合数，即C(n,k)。

然后，对于确定了k个元素的第一个分组，剩下的n-k个元素中再选取k个元素，再选取k个元素，直到最后一个分组选取出来。

根据乘法原理，可以得到总的分组分配方式数量为 C(n,k) * C(n-k,k) * C(n-2k,k) * ... * C(n-(m-1)k,k)。

举个例子来说明，假设有12个人需要分为3组，每组4人，那么分组的方式就可以通过计算C(12,4) * C(8,4)来得到。

这种方法可以帮助我们有效地解决固定分组数量的分配问题，并得到所有可能的分组分配方式。

一种常见的方法是使用动态规划来解决灵活分组数量的分配问题。

动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题而有效解决复杂问题的方法。

对于分组分配问题来说，可以将问题分解为将第i个元素分配到第j个分组中的子问题，然后逐步求解，最终得到整个分组分配问题的解。

排列组合中的分组分配问题是数学中常见的一种问题，它涉及到如何将一组元素分配到若干个分组中，使得每个分组满足一定的条件。

排列组合中的分组分配问题的有效解法

排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题是一类常见的组合优化问题，其目标是将一组对象分配到不同的组中，并满足一定的条件或限制。

在实际应用中，这类问题常常涉及到资源分配、任务调度、人员安排等方面。

1. 贪心算法：贪心算法是一种简单而常用的解法，它根据问题的特点每次选择当前最优的解决方案，并逐步构建最终的解。

在分组分配问题中，贪心算法可以从初始状态开始，每次选择满足一定条件的对象，并将其分配到符合要求的组中，直到所有对象都被分配完毕或达到某种终止条件。

2. 动态规划：动态规划是一种使用备忘录或状态转移方程的方法，通过将原问题分解为若干个子问题，并记录子问题的解，最终通过子问题的解构造出原问题的解。

在分组分配问题中，可以使用动态规划求解最优解。

具体方法是定义一个状态转移方程来描述每个子问题的最优解，然后采用自底向上的方式逐步计算出最终解。

3. 回溯算法：回溯算法是一种逐步试探的算法，通过不断尝试所有可能的解，并及时剪枝来找到最优解。

在分组分配问题中，回溯算法可以通过递归的方式遍历所有可能的分组分配方案，并通过剪枝操作来减少搜索空间。

具体方法是定义一个递归函数，在每一步选择一个对象并加入到某个组中，直到所有对象被分配完成或达到某个终止条件。

4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的启发式算法，通过模拟蚂蚁找到食物的行为，来寻找问题的最优解。

在分组分配问题中，蚁群算法可以通过定义蚂蚁的移动规则、信息素的更新规则等，来模拟蚂蚁在不同组中选择对象的过程，并通过信息素的增强来引导蚂蚁选择更优的解。