排列组合中的分组分配

5 A5
四.非均分组无分配对象问题
例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种 不同的分法？
C61C52C33
注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完再用 乘法原理作积
五.非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
五非均分组ห้องสมุดไป่ตู้配对象不固定问题
• 练习：9件不同的玩具，按下列分配方案各有几
•
• • • • 种分法? ①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法 ? ②一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少 种分法? ③每人3件，有多少种分法? ④平均分成三堆，有多少种分法? ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
(1) ( 2)
C CC C 3 A3 C C C C
2 10 2 8 2 6
2 10
2 8
2 6
4 4
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？ （1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本· 2 2 2 C6C4 C2 1 2 3 (2) C 6 C5 C3 3 1 2 3 (3) C 6 C5 C3 A 3 (1) (4) 4 C6 1 C2 1 C1 1 C2
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
分法? • ②一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种分 法? • ③每人3件，有多少种分法? 解：②三个人中哪个得2件、哪个得3件、哪个得4件没 有确定，故这三个数字可以在甲、乙、丙中进行排列， 3 故应在第1问的前提下再进行一步排列，有 A3 种．
1 (5) A 3
4 C6
1 C1
4、12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条件， 各有多少 种不同的分法？ （1）一人三本，一人四本，一人五本； （2）甲三本，乙四本，丙五本； （3）甲两本，乙、丙各五本； （4）一人两本，另两人各五本· 3 4 5 3 (1) C 12 C9 C5 A 3 (2) C 3 C 4 C 5 9 5 12 5 5 2 (3) C 12 C 10 C 5 5 5 1 2 (4) A 3 C 12 C 10 C 5
mk mk
种．
如果 m1 , m2 mk 中有且仅有i个相等,则不同的分法为：
C C
m1 n
m2 n m1
C
m3 n ( m1 m2 ) i i
C
A
种．
基础探究
一：均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？ 4 4 4 C C C 8 4 12 (1) 3 A3 2 6 2 2 C 12C 10 C 8 C 6 (2) 3 A3
12! 8! 4!· 8! 4!· 4! 或
1 3!
5775
2 2 2 6 C 12C 6 C 4 C 2 3 A3
• 练习：把10人平均分成两组，再从每组中选出正、 副组长各一人，共有多少种选法? 解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副 组长． 5 5 C10 C5 分组有 种方法， 2 A2
例7 六本不同的书分给甲、乙、丙3人，1人1本，1人2 本,1人3本有多少种分法?
C61C52C33A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C CCC 4 A4
3 12
3 9
3 6
3 3
练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成 四堆有多少种不同的 分法？ （2）按2∶2∶2∶4分给 甲、乙、丙、丁四个 人有多少种不同的分 法？
9
C C C C C C C C C C C 2174
3 3 3 9 2 1 3 3 5 8 1 2 3 3 5 7 0 3 3 3 5 6
表示组数。
1.(平均分组公式）
一般地平均分成n堆(组)，必须除以n!，如若部 分平均分成m堆(组)，必须再除以m!，即平均分组问 题，一般地来说，km个不同的元素分成k组，每组m个， 则不同的分法有
C C
m km
m ( k 1) m k k
C
m m
A
种．
故平均分配要除以分组数的全排列．
2.(不平均分组公式）
2 3 4 3 故由分步计数原理有 C9 C7 C4 A3 7560 种．
③每人3件，即各人分得数相同，不需排列．则有 3 3 3 C9 C6 C3 3 A 3 1680 种． 3 A3
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
分法? • ④平均分成三堆，有多少种分法? • ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法? 解：④设分三堆有x 种方法，因堆与堆之间没有差异， 而人却有差异，在第③问中，先分三堆再三人去拿． 故有 x A3 C 3 C 3 1680 x 280 种．
排列组合中的分组分配问题
ab ac ad bc bd cd
cd bd bc
ad ac ab
引旧育新
1 把abcd分成平均两组 有_____多少种分法？ 2 C4 ab ac ad bc bd cd cd bd bc ad ac ab 2 C2 2 A2
3
这两个在分组时只能算一个
记住：
平均分成的组，不管 它们的顺序如何，都 是一种情况，所以分 组后要除以m!，其中m
分法? • ①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法?
解：①以人为主考虑，三个人去取玩具，据分步计数 原理求解． 2 第1步先由甲从9件不同的玩具中选2件有 C9 种．
3 种． 第2步由乙从剩下的7件中选3件有 C7 4 第3步余下4件全给丙有 C4 种．
3 4 由分步计数原理得 C92 C7 C4 1260 种．
2 C6 (1)
2 2 C4 C2 3 A3 3 A3 2 2 2 C6 C4 C2
三：部分均分无分配对象的问题
例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有多少种分法
C64C21C11 A22
三：部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、 E五个人有多少种不同的分法？ 方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数· （2）均分的五组看成是五个元素在五个位置上作 排列 2 3 2 2 3 C C 9 C6 C4 C2 12 (2) 3 2 A3 A2
3 9 6
3 ⑤先分3件为一堆有 C9 种方法，然后6件平均分配应有
3 2 2 2 C C C C C C C 9 6 4 2 1260 种． 种方法，故共有 3 A3 A
2 6
2 4 3 3
2 2
三.多面手问题
例4 :有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右 舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员 中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的 选法？ 分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个 人}，C={既会划左舷又会划右舷的5个人} 先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情 况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C 中有2人；④C中有3人。 第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B,C中选3人， 有 C3 种 ,以下类同
2 每组中选正、副组长都有 A5 种方法．
5 5 C10 C5 2 2 A A 种． 5 5 50400 2 A2
由分步计数原理共有
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？ 方法：先分再排法。分成的组数看成元 素的个数· （1）均分的三组看成是三个元素在三 个位置上作排列
引伸：不平均分配问题：一般来说，把n个不同元素 分成k组，每组分别有 m1 , m2 , m3 m个， k
m1 m2 mk n, 且 m1, m2 m互不相等，且 k
则不同分法为
C
m1 n
C
m2 n m1
C
m3 n ( m1 m2 )
C
mk mk