6、排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)(2)
排列组合中分组分配问题的教学设计
排列组合中分组分配问题的教学设计惠能中学 梁丽梅教学目的：知识目标：会应用分组公式、隔板法解决相关的分组分配问题 技能目标：研究典型例题，形成典型问题的思维模式，奠定解其他相关问题的思维依托。
情感目标：通过自主探索，培养学生自主探究的意识。
教学重点：分组公式和隔板法的应用 教学难点：分组公式与隔板法的探讨 教学过程：一、 复习旧知，导入新课排列、组合都是从n 各不同的元素中取出m 个，不同的是对于排列，取出的m 个元素还要按一定的顺序排成一列。
运用排列组合的知识来解决问题时我们关键要看两点：元素不同和要不要考虑顺序。
假如我们要从n 个不同的元素中取出m 作为一组，再取m 个作为另外一组，这时候应怎么做呢？如果元素相同时又怎么办呢？这一节课我们一起来探讨这样的分组分配问题。
自我点评：简单的导入目的是让学生了解这一节课我们要研究的问题是什么。
设疑时把重点放在元素的同异上，主要是让学生明确元素同或不同解决的方法就不一样。
通过这样设疑引入，有利于学生形成明确的学习目的，从而激发学生的学习兴趣和探讨解决方法的欲望。
相对于相同元素的分组分配问题，不同元素的处理比较容易也比较重要，在例题的安排中我先设计了不同元素的分组分配问题。
二、 新课讲解第一类：对不同元素进行分组分配例1：6本不同的书，按照以下要求分给三个人，各有多少种不同的分法：（1） 一人一本，一个两本，一人三本； （2） 两人各一本，一人三本 （3） 每人各两本分析题目特点：1、6本不同的书，说明要分组的元素不同；2、分给三个人，说明分配的对象互不相同，要考虑顺序。
3、三个小题共同的地方都是先按照不同的要求把不同的书分成3组，再分配给不同的三个人。
思考：元素不同，分组的要求、分配的对象也不同，该如何分？ 解：（1）第一步：把6本书分成三组，先从6本书中取出1本作为一组，再从剩下的5中取出2本作为一组，最后从剩下的3本中取出3本作为一组，共有60332516=C C C 中不同的分组方法。
排列组合中的分组分配问题
排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。
一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本.（2）一组一本，一组二本，一组三本.（3）一组四本，另外两组各一本.分析：（1）分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是c26c24c22=90（种），这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：（1，2）（3，4）（5，6）与（3，4）（1，2）（5，6），由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数a33，所以分法是c26c24c22a33=15（种）。
（2）先分组，方法是c16c25c33，那么还要不要除以a33？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有c16c25c33=60（种）分法。
（3）分组方法是c46c12c11=30（种），那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
所以实际分法是c46c12c11a22=15（种）。
排列组合中的分组问题
排列组合中的分组问题分组问题有两大类：一类是相同元素的分组问题，另一类是不同元素的分组问题。
在不同元素的分组问题中包含平均分组和非平均分组及其部分平均分组，以及有序和无序之分。
一、相同元素的分组问题方法：隔板法例1、（1）6人带10瓶矿泉水参加春游，每人至少带1瓶，共有种不同的方法（2）分别从4所学校选拔6名报告员，每校至少1人，有种不同的方法解：（1）解法（一）隔板法：只需把10瓶矿泉水分成6份，每份至少有一瓶，共有59C方法（二）：首先每个人拿一瓶，然后把4瓶矿泉水分成6份，每一份对应一种方法。
分别有1,1,1,1,0,0、2,1,1,0,0,0、3,1,0,0,0,0、4,0,0,0,0,0、2,2,0,0,0,0.共有43121126636266126C C C C C C C++++=方法（三）：首先每个人拿一瓶，然后把4瓶矿泉水分成6份，每一份对应一种方法。
需要5块隔板，把5块隔板与4瓶放在一起，每一种放法就是一种分配方案，共有59C（2）方法（一）：实质是把6个人分成4份，有2,2，1，1、3,1,1,1。
共有214410C C+=种方法方法（二）：设置有3块隔板，有3510C=方法。
二、不同元素的分组问题方法：使用分步计数原理例1、 将6本不同的书，按下列方式分配，各有多少种分法？（1） 分给甲、乙、丙三人，每人得2本（2） 分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本（3） 甲、乙、丙三人3人，其中一人得1本，一人得2本，1人得3本。
（4） 若平均分成三堆，有几种分法？解：（1）按照分类计数原理222642C C C （属于有序平均分组）（2）按照分类计数原理123653C C C （属于无序非平均分组）（3）按照分类计数原理12336533C C C A （属于有序非平均分组）（4）22264233C C C A 注意：分类计数原理是有序的，（1）、（4）的区别在于一个有序，另一个无序。
排列组合中的分组分配问题
5、
1. 平面上有10个点，其中有且只有4点共线，
现从中任取2点，共可以组成多少条直线？
C120
-
C
2 4
+1
2. 正四面体的四个顶点和各棱的中点共10个点，从
中任取四个点，其中不共面的情形共有多少种？
210－60－6－3＝141
分析2：
X
10个点中取4个点的取法为C(10,4)=210种
只要求出共面的就可以了 共面的分三种情况：
2 、 有分配对象和无分配对象
二、非均分组问题 1、有分配对象和无分配对象 2、分配对象确定和不确定
以下供参考！
题型： 1、某车间有11名工人，期中有5名钳工，4名车工，另外 2名既能当钳工又能当车工，现要在这11名工人中选派4 名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？
一、2人按钳工分类：C54C64 + C12C53C54 C22C52C44 185；
名额有？种分配方案。
答:
1、法一）隔板法 C96
84;
法二）C1 7
+A2 7
+C3 7
84.
2、法一）隔板法
C95
=126；法二）C16
+3C2 6
+3C3 6
+C4 6
126.
【讨论】
1）6本不同的书全部分给5个人，有？
2）5本不同的书全部分给6个人，每人至多一本，有？
3）5本相同的书全部分给6个人，每人至多一本，有？
乙、丙、丁四个人有多少
种不同的分法？
(2)
C120C82C62C44 A33
A44 .
练习：
排列组合中分组分配问题
分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。
排列组合中的分组、分配问题的有效解法
图6
2= 4.
（2）由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线 BC 旋
转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆
锥 . 该圆柱的底面半径 R=BA=2，母线长 l=AD=2，故该圆
柱的体积 V1=π × 22 × 2 = 8π，半球的半径为 1，其体积
个不同对象，称为分配问题 . 包括定向分配和不定向分
配两类 . 其关键词：
不同元素、不同对象、条件、分配 .
2 分组 . 把 n 个不同元素按照确定的条件分成 m 组
（或 m 堆），称为分组问题，包括平均分组、非平均分组和
混合分组三类 . 其关键词：
不同元素、条件、分组 .
从以上概念的关键词足以看出，分配与分组联系紧
平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
点评：立体几何证明题，是历年高考必考题型，难度
不大，命题者一般不会在试题的难度上下“猛药”，而是
处处考查考生的转化思想，如要证线垂直于线，常常通
过线面垂直转化，要证线平行于面，常常通过线面平行
或面面平行转化 .
转化，是数学解题的主旋律，尤其是对于立体几何
来说更是如此 . 只要掌握Fra bibliotek转化的方法与技巧，那么立
1 4
2π
V2= × π ×13 =
；圆锥的底面半径为 2，高为 1，其体
2 3
3
1
4
积 V3= π × 22 × 1= π，所以阴影部分绕直线 BC 旋转一
3
3
周形成的几何体的体积 V=V1-V2-V3=6π.
点评：割补法适用于求不规则几何体的体积，就是
优质课：排列组合分组分配问题
ab cd
cd ab
bd
ad bc
bc
ad
5
这个问题也可以这样思考 把a,b,c,d平均分成有标号的第一组，第二组 从四个元素中选两个元素放到第一组，剩下的两个
元素放到第二组，故共有 C42C22 6 种分法，又因
为两个小组没有区别，故分组有
C42C22 3 A22
种.
6
例 把a,b,c,d,e,f分成平均三组,有_____多少种分法？ 这个问题可以这样思考 把a,b,c,d,e,f平均分成有标号的第一组，第二组,第三组 从六个元素中选两个元素放到第一组，从剩下的四
ab
c
d
bc
a
d
ac
b
d
bd
a
c
ad
b
c
cd
a
b
9
例 把a,b,c,d分成三组,一组两个，令两组各一个有 _____多少种分法？
这个问题可以这样思考 把a,b,c,d分成有标号的第一组，第二组,第三组
从四个元素中选两个元素放到第一组，从剩下的两
个元素选一个放到第二组，剩下的一个放到第三组
故共有 C42C21C11 12 种分法，又因为后两个小组
(1)
C C C 4
44
12 8 4
A3 3
12! 8! 1 5775 4!·8! 4!·4! 3!
C C C C 2
2
26
12
10
86
(2)
A3 3
①若干个不同的元素“等分为 ｍ个堆,要将选 取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
12
1.平均分堆问题
例2. 6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三 个人，有多少种不同的分法？ 解：先分再排法. 分成的堆数看成元素的个数.
排列组合中的分组分配问题完整
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
排列组合中的分组分配问题完整版
2 2
.
三：部分均分有分配 对象的问题
例3、 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E 五个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法 。分成的组数看成元素的个数 · 把均分的五组看成是五个元素在五个位置上作排列
答(答：)
C132C
3 9
A
3 3
C62 A
C42
2 2
C22
A
5 5
三：部分均分无分配对象的问题
.
X
说明： 提出分组与分配问题，澄清模糊概念： n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同的对象，称为
分配问题 ，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为 分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。 分组问题和 分配问题是有区别的 ，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的 .对于后者必须先分组后排列。
三个人有多少种不同的分法？答：C
61C 52C
3 3
注：非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 ，
此与非均分 配结果一样。 五、非均分组分配对象不固定问题
例7 、六本不同的书分给 三人，1人1本，1人2本,1人3本
有多少种分法？
答：C61C
52C
3 3
.A33
思考： 有6本不同的书，按下条件，各有多少种不同
C160 ?C62 ?C42 ?C22 ?18900
种分法 ?
.
【讨论】：隔（插）板法
1、 某 运 输 公 司 有 7 个 车 队 ， 每 队 的 车 都 多 于 四 辆 ， 且 型 号 相 同 。 要 从 这 7个 车 队 中 抽 出10辆 车 组 成 一 运输队，每队至少抽一辆，问不同的抽法有多少种。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题是一类常见的组合优化问题，其目标是将一组对象分配到不同的组中，并满足一定的条件或限制。
在实际应用中，这类问题常常涉及到资源分配、任务调度、人员安排等方面。
1. 贪心算法：贪心算法是一种简单而常用的解法，它根据问题的特点每次选择当前最优的解决方案，并逐步构建最终的解。
在分组分配问题中，贪心算法可以从初始状态开始，每次选择满足一定条件的对象，并将其分配到符合要求的组中，直到所有对象都被分配完毕或达到某种终止条件。
2. 动态规划：动态规划是一种使用备忘录或状态转移方程的方法，通过将原问题分解为若干个子问题，并记录子问题的解，最终通过子问题的解构造出原问题的解。
在分组分配问题中，可以使用动态规划求解最优解。
具体方法是定义一个状态转移方程来描述每个子问题的最优解，然后采用自底向上的方式逐步计算出最终解。
3. 回溯算法：回溯算法是一种逐步试探的算法，通过不断尝试所有可能的解，并及时剪枝来找到最优解。
在分组分配问题中，回溯算法可以通过递归的方式遍历所有可能的分组分配方案，并通过剪枝操作来减少搜索空间。
具体方法是定义一个递归函数，在每一步选择一个对象并加入到某个组中，直到所有对象被分配完成或达到某个终止条件。
4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的启发式算法，通过模拟蚂蚁找到食物的行为，来寻找问题的最优解。
在分组分配问题中，蚁群算法可以通过定义蚂蚁的移动规则、信息素的更新规则等，来模拟蚂蚁在不同组中选择对象的过程，并通过信息素的增强来引导蚂蚁选择更优的解。
排列组合分组分配问题公式
排列组合分组分配问题公式排列组合分组分配问题，这可是数学里挺有意思的一块呢！咱先来说说排列。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，有多少种排法？这就是排列问题。
排列的公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
再讲讲组合。
还是从 5 个水果里选 3 个，不考虑顺序，这就是组合问题。
组合的公式是 C(n, m) = n! / [m!(n - m)!] 。
那分组分配问题又是什么呢？给您举个例子，有 6 本不同的书，分成 3 组，每组 2 本，这就是分组问题。
如果再把这 3 组书分别分给 3 个人，这就是分配问题啦。
我记得有一次，学校组织活动，要从班里选几个同学去参加不同的项目。
这可就用到了排列组合分组分配的知识。
当时老师说要从 20 个同学里选 5 个参加绘画比赛，选 8 个参加歌唱比赛，剩下的 7 个参加朗诵比赛。
这可把我难住了，我就在心里默默算着。
先算选 5 个参加绘画比赛，用组合公式 C(20, 5) 得出结果，再算选 8 个参加歌唱比赛的组合数 C(15, 8) ，最后选 7 个参加朗诵比赛的组合数 C(7, 7) 。
然后把这三个结果乘起来，就是总的分组方案数啦。
分组问题里还有平均分组的情况，要注意除以重复的组数的阶乘。
比如说把 8 个人平均分成 4 组，那就要先算出总的分组数 C(8, 2)×C(6,2)×C(4, 2)×C(2, 2) ，然后再除以 A(4, 4) ，这样才能得到不重复的分组方案数。
分配问题也有不同的情况，比如相同元素的分配，可以用隔板法。
比如说把 10 个相同的苹果分给 3 个小朋友，每人至少一个，那就在 9 个空隙里插 2 个隔板，方案数就是 C(9, 2) 。
总之，排列组合分组分配问题，看起来挺复杂，但是只要咱把公式弄明白，多做几道题，其实也不难。
排列组合中的分组分配问题
分析：
（1）矩形 C82C52 280；即： （7 6 5 4 3 2 1）（ 4 3 2 1） 280
若求正方形个数，则： ①只由一个小正方形组成的有7 * 4； ②由2 * 2小正方形组成的有6 *3； ③由3*3小正方形组成的有5* 2 ； ④ 由4 * 4小正方形组成的有4 *1。 故7 * 4＋6 *3＋5* 2＋4 *1 60 。
如果先跨2个台阶还剩2个台阶2种方法再上去，3+2=5种。 登上5个台阶，如果先跨1个台阶还剩4个台阶5种方法再上去；
如果先跨2个台阶还剩3个台阶3种方法再上去，5+3=8种。 登上6个台阶，… … 8+5=13种。 登上7个台阶，… … 13+8=21种。 … … … 21+13=34种 … … … 34+21=55种。 登上10个台阶， 55+34=89种。
3、(1）6本不同书分给甲2本，乙2本，丙2本，有多少种
分法？
(2）6本不同书平均分成三组，有多少种分法？
答：1）C2 6
C
2 4
C
2 2
;
2)
C2C2C2 642 A33
。
说明：一件事：6本不同书分给甲2本，乙2本，丙2本，
可看成分两步完成：
1）先分成三组，设分法x种； 2）再分给甲乙丙三人，有A33种。
C160 C62 C42 C22 18900
种分法?
【讨论】：隔（插）板法
1、某运输公司有7个车队，每队的车都多于四辆， 且型号相同。要从这7个车队中抽出10辆车组成一 运输队，每队至少抽一辆，问不同的抽法有多少种。
2、某校高三有6个班级，现从中选10名学生组成
高中数学专题排列组合中的分组分配问题
高中数学专题排列组合中的分组分配问题Ⅰ.概述分组分配问题是排列、组合问题的综合, 是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题, 实际上也可运用分配问题的方法来解决。
解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。
分组分配问题特征:（1）分组分配特征: 问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；（2）分组的类型: 整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组, 都应注意只要有元素的个数相等的组存在, 就需要考虑均分的现象（即: 整体平均分组；或部分平均分组）；（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等, 则存在重复出现的情况, 作为分组只能计为一种。
Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题一.分组与分配有关概念1.将n个不同元素按照某些条件分成k组, 称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。
2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置）, 称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；3.分组问题和分配问题的区别: 前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同, 但因对象不同, 仍然是有区分的, 对于分配问题必须先分组后分配, 而分组通常与组合相关, 分配通常与排列相关。
二. 基本的分组问题（一）分组问题的基础题例【题例1】六本不同的书, 分为三组, 求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本, 一组二本, 一组三本.(3)一组四本, 另外两组各一本.【分析】: (1)分组与顺序无关, 是组合问题。
注意, 这里6个元素, 分3组, 每组2个元素, 所求的分组种类: 不是“从6个元素中取2个元素的组合数”, 而是“6选2, 选3次, 分成3组, 所得的组数”；在这样的分组中, 由于要选3次, 且平均选取, 就存在选取的顺序, 故所得组中出现重复的组, 重复的种数即所分组的全排列数。
若一组分组为：（1, 2）（3, 4）（5, 6）, 另一组分组为（3, 4）（1, 2）（5, 6）, 则这样的两组只能算一组, 不能算作两组；若一组分组为：（1, 2）（3, 4）（5, 6）, 另一组分组为（1, 3）（2, 4）（5, 6）, 则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1, 2）（3, 4）（5, 6）与（1, 3）（2, 4）（5, 6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个, 且其中的组合（5, 6）只能算作1个计数；三. 基本的分配问题（一）定向分配问题: 将所给元素按要求分配到指定对象【题例2】六本不同的书, 分给甲、乙、丙三人, 求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题: 将所给元素按要求分配到非指定对象【题例3】六本不同的书, 分给甲、乙、丙三人, 求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究一. 分组问题的基本类型--思想方法（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）:“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。
6、排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之 分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？① 分成3组，分别为1人、2人、4人；② 选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C ；种，再由剩下的6人选出2人，有C ；种，最后由剩下的4人为一 组，有C 4种。
由分步计数原理得分组方法共有C 7C 6C 4 105 （种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有C ；种，再由剩下的5人中选出3人，有C 532 3种，分组方法共有C 7C 5 210 （种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步 计数原理得分组方法共有210 （种）。
、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出 6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？ 解：可选分同步。
先选3人为一组，有C ；种；再选3人为另一组，有C ：种。
又有2组都是3人，每 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成 4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？70 （种）。
也可先选后分。
不同的分法共有C6c ；c ； C 7T70 （种）。
解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有G：、C；、C（2、C4种，又有3堆都是2个c2c2c2元素，每A种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有10 3 6 C： 3150 （种）。
A【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有A：种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法? 解：分组方法共有C；C；A| 420 （种）。
排列组合问题之分组分配问题
排列组合问题之 分组分配问题（—）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法① 分成3组，分别为1人、2人、4人；② 选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有C ；种，再由剩下的6人选出2人，有C ；种，最后由剩下的4人为一 组，有C 4种。
由分步计数原理得分组方法共有 C 7C 6C 4 105 （种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有C ；种，再由剩下的5人中选出3人，有C 3 种，分组方法共有 C ^C l 210 （种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步 计数原理得分组方法共有 C l C ；C ； 210 （种）。
、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出 6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法 解：可选分同步。
先选3人为一组，有C ；种；再选3人为另一组，有C ：种。
又有2组都㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成 4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有C 0、C ；、Cf 、C ：种，又有3堆都是2个_3元素，每A 3种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有 【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是 均匀的，都有A m 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】三、编号分组 ㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出 2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法 解：分组方是3人，每 A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有 C y'C 70 （种）。
也可先选后分。
不同的分法共有C 6 CeC 70 （种）。
排列组合中的分组分配问题
精心整理排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数例了6，2)(3，4)(5，6)即除以(2)(3)以实际分法是41162122C C CA=15(种)。
通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。
结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。
三、基本的分配的问题(一)定向分配问题例2六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：分别有222642C C C =90(种)，615233C C C =60(种)，411621C C C =30(种)。
(二)例 (1) (2)(3)甲、乙种)，615233C C C例(3)32种)。
再考虑排列，即再乘以33A 。
所以一共有540种不同的分法。
四、分配问题的变形问题例5四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？ 分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。
实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有11243222C C C A (种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有11243222C C C A 34A =144(种)。
排列组合应用题中关于分组分配类型题的解法
排列组合应用题中关于分组分配类型题的解法陈淼【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)016【总页数】1页(P12)【作者】陈淼【作者单位】湖北省当阳市职教中心【正文语种】中文排列组合应用题中的分组、分配问题是很多学生学习的难点,笔者在实际教学过程中,摸索出一种解题步骤,可以让学生在解此类题时,思路清晰,不易出错.例 6本不同的书,按照以下方式,各有多少种不同的分法?(1)分成3堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种分法?(2)平均分成3堆,有多少种分法?(3)分成3堆,一堆4本,另2堆各1本,有多少种分法?(4)平均分给甲、乙、丙3人,每人2本,有多少种分法?(5)分给甲、乙、丙3人,1人得1本,1人得2本, 1人得3本,有多少种分法?(6)分给甲、乙、丙3人,甲得1本,乙得2本,丙得3本,有多少种分法?(7)分给甲、乙、丙3人,甲得4本,乙、丙各得1本,有多少种分法?解决此类问题,首先要判断它是否属于分组、分配问题,n个不同的元素按照某些条件分为m组,称为分组问题;n个不同的元素按照某些条件分配给m个不同的对象,称为分配问题.对于学生而言,易错点是不能判断所求问题是否为分组或分配问题,还是先分组再分配问题.按照定义,第(1)、(2)、(3)题是分组问题,第(4)～(7)题是分配问题.分组问题中,首先要分清非均匀分组与均匀分组.(1)是非均匀分组.一般地,n个不同的元素分为m堆,一堆x1个,一堆x2个,一堆x3个,…,一堆xm个,则共有种分法.所以共有种方法.(2)是均匀分组.以A、B、C、D、E、F代表6本不同的书,若分成AB、CD、EF,则包含6种不同的顺序,即(AB、CD、EF)、(AB、EF、CD)、(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、AB、CD)、(EF、CD、 AB),而它们其实是一种分组方式,所以均匀分组中必须除以平均分组组数的阶乘.一般地,n个不同的元素分为m堆,每堆x个,则共有N＝方法.(3)是非均匀分组中含部分均匀分组的情况,与(2)相同之处在于均匀分组部分要除以这部分组数的阶乘,如n个不同的元素,一堆x1个,m堆x2个,共有,从而其分法种数为分配问题中,要分清定向分配与不定向分配.定向分配即明确所分物品的指向,反之,则为不定向分配.牢记步骤,先分组,再分配.(4)是均匀分组、不定向分配问题.分2步:1)n个元素均匀分成m组;2)不定向分配给m人.由分步计数原理种分法.所以共有(5)是非均匀分组、不定向分配问题.类似地,有种分法.所以共有种方法.(6)是非均匀分组、定向分配问题.由于是定向分配,所以每一种分法都只对应一种分配方式,有N＝1种分法.所以共有种方法.(7)是非均匀分组中含部分均匀分组问题,分配中部分定向、部分未定向.如n个不同的元素,一堆x1个分给甲,m堆x2个给其他m人,共有N＝A22＝30种分法.综上,类似分组、分配类型的题目,可按以下步骤进行:1)按照定义判断是否属于此类问题;2)分清是分组问题还是分配问题.分组要分清是均匀分组还是非均匀分组,亦或是非均匀分组中含有均匀分组,只要有均匀分组,就要除以均匀分组组数的阶乘.分配则要分清定向分配和不定向分配,定向分配由于明确了所分配物品的指向,所以相应的分法只对应一种分配方式.而不定向分配由于没有明确所分配物品的指向,所以要在尚未明确分配指向的对象中进行分配.。
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排列组合问题之分组分配问题
（一）（五个方面）
一、非均匀分组（分步组合法）
“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？ ①分成3组，分别为1人、2人、4人；
②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有2
6C 种，最后由剩下的4人为一
组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有23
75210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523
753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）
“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）
例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？
解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有3
4C 种。
又有2组都
是3人，每22
A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33
74
2
2
70C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有336
63
7
2
2
70C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）
例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？
解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、4
4C 种，又有3堆都是2个
元素，每3
3A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有
2224
108643
3
3150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是
均匀的，都有m
m A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】
三、编号分组
㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）
例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？
解：分组方法共有232
752420C C A =（种）。
㈡部分均匀编号分组（分组法）
例5、5本不同的书全部分给3人，每人至少1本，有多少种不同的分法？
解：分两类。
①一类为一人3本；剩两人各1本。
将5本书分成3本、1本、1本三组，再分
给3人，有1133
21532
2
60C C C A A ⋅⋅=种分法。
②另一类为一人1本，剩两人各2本。
将书分成2本、2本、1本三组，再分给3人，有21
23
315
3
22
90C C C A A ⋅⋅=种分法。
共有6090150+=种分法。
例6、 已知集合A 含有4个元素，集合B 含有3个元素。
现建立从A 到B 的映射:f A B →，使B 中的每个元素在A 中都有原象的映射有多少个？
解：先把A 中的4个元素分成3组，即2个、1个、1个，有212214
22
C C
C A ⋅种分组方法，再把B
中的3个元素全排列，共有2123
214
32
2
36C C C A A ⋅⋅=种分组方法。
因此，使B 中的元素都有原象的映射有36个。
（二）（五个方面）
一、平均分堆问题倍缩法（或缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法） 1、 从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组，每组3人，有多少种不同的分法？
答案：33742
270C C A =（种）或33663
722
70C C C A ⋅=（种）。
2、6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
答案：222642
3
3
15C C C A =（种）。
附：6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学教师任教，每人教两个班，有多少种不同的分派方法？
答案：222
64290C C C =（种）。
3、6本书分三份，2份1本，1份4本，有多少种不同分法？
答案：11
4
6542
2
15C C C A ⋅=（种）。
二、有序分配问题逐分法（或分步法）
4、①有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A 、1260种
B 、2025种
C 、2520种
D 、5040种
答案：211
10872520C C C =（种）。
选C 。
②12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）种。
A 、444
12
8
4C C C
种
B 、44412843
C C C 种 C 、443
1283C C C
种
D 、4441284
3
3
C C C A 种 答案： 选A 。
三、全员分配问题先组后排法 5、 ①4名优秀学生全部保送到3所学校，每所学校至少去1名，不同的保送方案有多少种？
答案：23
4336C A ⋅=（种）。
②5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数为（ ）。
A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种
答案：24
54240C A ⋅=（种）。
选B 。
四、名额分配问题隔板法（或元素相同分配问题隔板法、无差别物品分配问题隔板法） 6、10个优秀学生名额分到7个班级，每个班级至少1个名额，有多少种不同分配方案？
答案：6
984C =（种）。
五、限制条件分配问题分类法
7、 某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人，分别到西部四城市参加中国西部经济开发
建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
答案：甲、乙有限制条件，按照甲、乙是否参加分四类。
①甲、乙都不参加，有派遣方
案48A 种；②甲参加乙不参加，先安排甲有3种，再安排其余学生有38A 种，共有383A 种；③乙参加甲不参加，有383A 种；④甲、乙都参加，先安排甲乙，有7种（树图法），再安排其余学生有28A 种，共有287A 种。
综上，不同的派遣方法总数为433288883374088
A A A A +++=种。