滑块模型

动量守恒-滑块模型
1、如图所示，O为一水平轴．细绳上端固定于O轴，下端系一质量
m＝1.0kg的小球，原来处于静止状态，摆球与平台的B点接触，但对平台无压力，摆长为L＝0.6m．平台高h＝0.8m．一个质量为M＝2.0 kg的小球沿平台自左向右运动到B处与摆球发生正碰，碰后摆球在绳的约束下做圆周运动，经最高点A时，绳上的拉力T恰好等于摆球的重力，而M落在水平地面的C点，水平距离s＝1.2 m．求质量为M的小球与摆球碰撞前的速度大小v0．（g=10m/s2）
2．如图所示，右端带有竖直挡板的木板B ，质量为M ，长L =1.0m ，
静止在光滑水平面上．一个质量为m 的小木块（可视为质点）A ，以水平速度0 4.0m/s v =滑上B 的左端，而后与其右端挡板碰撞，最后恰好滑到木板B 的左端．已知M =3m ，并设A 与挡板碰撞时
无机械能损失，碰撞时间可忽略（g 取210m/s ）．求：
（1）A 、B 最后的速度；
（2）木块A 与木板B 间的动摩擦因数．
【答案】（1）1m/s ；（2）0.3
解析：（1）A 、B 最后速度相等，由动量守恒可得
()M m v mv +=0 解得01m /s 4
v v == （2）由动能定理对全过程列能量守恒方程 μmg L mv M m v ⋅=
-+21212022() 解得0.3μ=
3．如图所示，粗糙斜面与光滑水平面通过光滑小圆弧平滑连接，斜面
倾角α=37°，A 、B 是两个质量均为 m =1㎏的小滑块，C 为左端附有胶泥的质量不计的薄板，D 为两端分别连接B 和C 的轻质弹簧．薄板、弹簧和滑块B 均处于静止状态．当滑块A 置于斜面上且受到大小F =4N ，方向垂直斜面向下的恒力作用时，恰能向下匀速运动．现撤去F ，让滑块A 从斜面上距斜面底端L =1m 处由静止下滑，若取g =10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求滑块A 到达斜面底端时的速度大小v 1；
（2）滑块A 与C 接触后粘连在一起(不计此过程中的机械能损失)，求此后弹簧的最大弹性势能E p ．
解析：(1)滑块A 匀速下滑时，受重力mg 、恒力F 、斜面支持力F N 和摩擦力F μ作用，
由平衡条件有sin37N mg F μ︒=
cos37N F mg F =︒+
即sin37(cos37)mg mg F μ︒=︒+ 化简后得sin37cos37mg mg F
μ︒=︒+，代入数据解得动摩擦因数0.5μ= 撤去F 后，滑块A 匀加速下滑，由动能定理有
211(sin37cos37)2
mg mg L mv μ︒-︒= 代入数据得12m/s v =
（2）由动量守恒和能量守恒定律有
12()mv m m v =+
221211222
（）=-P E mv m v 联立解得1J P E =
4．在光滑的水平面上有一质量M =2kg 的木板A ，其右端挡板上固定
一根轻质弹簧，在靠近木板左端的P 处有一大小忽略不计质量m =2kg 的滑块B ．木板上Q 处的左侧粗糙，右侧光滑．且PQ 间距离L =2m ，如图所示．某时刻木板A 以1m/s A v =的速度向左滑行，同时滑块B 以5m /s B v =的速度向右滑行，当滑块B 与P 处相距43L 时，二者刚好处于相对静止状态，若在二者共同运动方向的前方有一障碍物，木板A 与它碰后以原速率反弹（碰后立即撤去该障碍物）．求B 与A 的粗糙面之间的动摩擦因数μ和滑块B 最终停在木板A 上的位置．（g 取10m/s 2）
解析：设M 、m 共同速度为v ，由动量守恒定律，得
()B A mv Mv M m v -=+，解得2m /s B A mv Mv v M m
-==+ 对A ，B 组成的系统，由能量守恒，得
2223111()4222
A B mg L Mv mv M m v μ=+-+ 代入数据解得6.0=μ
木板A 与障碍物发生碰撞后以原速率反弹，假设B 向右滑行并与弹簧发生相互作用，当A 、B 再次处于相对静止状态时，两者的共同速度为u ，在此过程中，A 、B 和弹簧组成的系统动量守恒、能量守恒．
由动量守恒定律得()mv Mv M m u -=+
设B 相对A 的路程为s ，由能量守恒，有
2211()()22mgs M m v M m u μ=+-+ 代入数据得2m 3s =
由于4
L s >，所以B 滑过Q 点并与弹簧相互作用，然后相对A 向左滑动到Q 点左边，设离Q 点距离为s 1，则 110.17m 4
s s L =-=
5．如图所示，长为L ，质量为m 1的物块A 置于光滑水平面上，在A
的水平上表面左端放一质量为m 2的物体B （物体B 可视为质点），B 与A 的动摩擦因数为μ．A 和B 一起以相同的速度v 向右运动，在A 与竖直墙壁碰撞过程中无机械能损失，要使B 一直不从A 上掉下来，v 必须满足什么条件?（用m 1、m 2、L 及μ表示）
解析：A 与墙壁发生无机械能损失的碰撞后，A 以大小为v 的速度向左运动，B 仍以原速度v 向右运动，以后的运动过程有三种可能
（1）若m 1＞m 2，碰墙后系统的总动量方向向左，则m 1和m 2 最后以共同速度向左运动．
设它们相对静止时的共同速度v’，据动量守恒定律，有
m 1v －m 2v=（m 1＋m 2）v’
若相对静止时B 正好在A 的右端，则系统机械能损失应为μm 2gL ，根据能量守恒，有
22212122111()222
m v m v m m v m gL μ'+-+=
解得v =若m 1＞m 2
，则v ≤
（2）若m 1=m 2，碰墙后系统的总动量为零，则A 、B 最后都静止在水平面上，但不再与墙壁发生第二次碰撞． 设静止时A 在B 的右端，则有gL m v m v m 222212
121μ=+
解得v =（3）若m 1 ＜m 2 ，碰墙后系统的总动量方向向右，则A 将多次和墙壁碰撞，每次碰撞后总动量方向都向右．由于滑动摩擦力的作用，系统的向右方向的总动量逐渐减小至零，最后停在靠近墙壁处．
设最后A 静止在靠近墙壁处时，B 静止在A 的右端，同理有
gL m v m v m 222212
121μ=+
解得v =综合（2）（3）可知，若m 1≤m 2
，则v ≤
为所求．
6．一质量M =2kg 的长木板B 静止在光滑的水平面上，B 的右端与竖
直挡板的距离为s =0.5m.一个质量为m =1kg 的小物体A 以初速度v 0=6m/s 从B 的左端水平滑上B ，当B 与竖直挡板每次碰撞时，A 都没有到达B 的右端．设定物体A 可视为质点，A 、B 间的动摩擦因数μ=0.2，B 与竖直挡板碰撞时间极短且碰撞过程中无机械能损失，g 取10m/s 2．求：
（1）B 与竖直挡板第一次碰撞前的瞬间，A 、B 的速度值各是多少？
(2) 木板B 与墙壁能碰撞多少次
（3）最后要使A 不从B 上滑下，木板B 的长度至少是多少？（最后结果保留三位有效数字）
解析：（1）设A 、B 达到共同速度为v 1时，B 向右运动距离为S 1
由动量守恒定律有10)(v m M mv +=
由动能定理有21112
mgs Mv μ= 联立解得s 1=2m
由于s =0.5m<2m ，可知B 与挡板碰撞时，A 、B 还未达到共同速度．设B 与挡板碰撞前瞬间A 的速度为v A ，B 的速度为v B ，则
由动量守恒定律有B A Mv mv mv +=0
由动能定理有212
B mgs Mv μ= 联立解得v A =4m/s ，v B =1m/s
（2）B 与挡板第一次碰后向左减速运动，当B 速度减为零时，B 向左运动的距离设为s B ，由动能定理有
21
2
B B mgs Mv μ= 由上式解得s B =0.5m
在A 的作用下B 再次反向向右运动，设当A 、B 向右运动达到共同速度v 2时B 向右运动距离为s 2，由动量守恒定律有2)(v m M Mv mv B A +=-
由动能定理有22212
mgs Mv μ=
解得22m/s 3v =，22m 9
B s s =< 故A 、B 以共同速度2m/s 3向右运动，B 第二次与挡板碰撞后，以原速率反弹向左运动.此后由于系统的总动量向左，故最后A 、B 将以共同速度v 3向左匀速运动.
由动量守恒定律有（M －m ）v 2=（M ＋m ）v 3 解得32m/s 9
v = 设A 在B 上运动的总量程为L (即木板B 的最小长度)，由系统功能关系得 2320)(2121v m M mv mgL +-=
μ 代入数据解得L =8.96m。