现代通信-04卷积

−∞
Vout(t) = ∫ h(τ)Vindτ
∞
t
Vout(t) =Vin∫
1 ∞ RC
t
e dτ
τ −RC
Vout(t) = − • Vin
1 RC
e
τ −RC t ∞
|
Vout(t) =Vin(1−e
t −RC
)
3．卷积的特性 ．
①线性特性 交换律 即： 分配律 结合律
∫
∞
−∞
h(τ)x(t −τ)dτ = ∫ x(τ′)h(t −τ′)dτ′
∴R (t) = R21 (−t) 12
② R12( t )与F*1(ω)F2(ω)互为傅氏变换 ) ) 即： R (t) = 1 ∞ F∗(ω)F (ω)ejωt dω 12 ∫−∞ 1 2 2π
∗
信号的自相关函数R( )与其能量谱（ 信号的自相关函数 (t)与其能量谱（或功率 互为傅氏变换。 谱）|F(ω)|2互为傅氏变换。 (
y(t) = lim∑h(nτ) f (t −nτ)∆τ
∆τ→ 0
∞
∆τ →0 ∞ y(t) = ∑ ∫−∞h(τ) f (t −τ)dτ ⇒ n=0
∞
n=0
④电路的冲击响应可看成单位冲击函数与电路 还是冲击函数） 冲击函数卷积 （还是冲击函数）
y(t) = ∫ h(τ)δ(t −τ)dτ = h(t)
2
R(0) = ∫ f (τ) dτ
−∞
对于能量信号为信号能量， 对于能量信号为信号能量， 对于功率信号为平均功率 。
R(0) ≥ R(t)
§2.卷积与相关 卷积与相关
Convolution & Correlation
一．卷积
Convolution
卷积运算是一种十分常见，十分重要的物理过程 卷积运算是一种十分常见 ， 的数学描述。 尤其在电路、光学的测量和实验中） 的数学描述。（尤其在电路、光学的测量和实验中）
1．卷积的定义 ．
f (t) = ∫ f1(τ) f2(t −τ)dτ
δ(t)
h(t)
t
y（t） （）
0
0
t
②若，两个单位冲击函数陆续作用于该线性电路？ 两个单位冲击函数陆续作用于该线性电路？ f (t) τ τ 0 t t 0 以后的电路响应（ 讨论 t = 0 以后的电路响应（ y (t)）， ）， 的输入信号的影响。 必须考虑 t = - τ 的输入信号的影响。 二者叠加！ 二者叠加！
n=−∞
∞
（周期函数的频谱是离散的） 周期函数的频谱是离散的）
F{δT (t)} =δω(ω) =ω0 ∑ (ω−nω0) δ
n=−∞
2π ω0 = T 0
那么，周期性采样后， 那么，周期性采样后，函数的频谱可以写成
F (ω) = F(ω)∗δω (ω−nωs ) s
显然是周 期函数
二．相关：correlation 相关：
最后结果
f1(τ) f2(t - τ) 0 t τ
f1(t) * f2(t) 0 b+d t d-a 几个特定点可以定性判断：起点、落点、 几个特定点可以定性判断：起点、落点、最大数值点 -(a+c)
2．卷积的物理意义 ．
①一个单位冲击函数
∞ δ(t) = 0
t =0 t ≠0
作用于线性电路， 作用于线性电路，使电路输出 y（t）= h（t） （） （） 例如， 例如，滤波器 则，h（t）为电路的冲击响应函数。 （ ）为电路的冲击响应函数。
−∞ ∞
简单记为
f (t) = f1(t)∗ f2(t)
例
f1(τ) 与 -c 0 d τ 首先， 首先，f2反演 然后，f2位移 然后， -a 0 f2(- τ)
f2(τ) 卷积 b τ
-b 0 a t 0
τ f2(t - τ) τ f1(τ) f2(t - τ) 0 t τ
相乘、 再与 f1(τ) 相乘、对 τ 积分 处的数值， 得到 t 处的数值， 处的数值描绘出卷积曲线。 不同 t 处的数值描绘出卷积曲线。
6．卷积定理的应用 ． 离散序列信号的频谱是（频域） 离散序列信号的频谱是（频域）周期函数 此处是指对非周期信号进行周期采样以后形成的序列 设：对一个函数 f （t）进行周期性采样。 ）进行周期性采样。 应如何表述？） （应如何表述？） 取周期为Ts 的冲激序列函数
δ（） ∑ (t −nTs ) δ T t =
−∞
∞
电路的一般响应可看成输入函数与冲击响应函 数的卷积
y(t) = ∫ h(τ) f (t −τ)dτ
−∞
∞
f (t)
h(t)
y（t） （）
•由此可见，卷积运算在分析物理过程中是十分常见 由此可见， 由此可见 •的重要运算。 的重要运算。 的重要运算
例
如:RC充电电路 充电电路 充电(阶跃 响应 充电 阶跃)响应： 阶跃 响应：
∗ R12(t) = ∫ f1 (τ)f2 (t +τ)dτ −∞ 1 ∞ f2 (t +τ) = F (ω)ejωt ejωτ dω 其中 2 ∫∞ π − 2 ∞ 1 ∞ 时间平移， 时间平移，代入 R12(t) = ∫ F2 (ω)[∫ f1∗ (τ)ejωτ dτ]ejωt dω −∞ 2 −∞ π 1 ∞ ∗ = [F (ω)F (ω)]ejωt dω ∫−∞ 1 2 2 π 1 ∞ 2 jωt R(t) = ∴自相关 ∫−∞ F(ω) e dω 2 π
∞
最后结果： 最后结果：yn = { 1, 1, 1/2, 1/4, 0}
5．δ函数卷积的意义 ． 函数卷积的意义
f (t)∗δ(t) = ∫ f (τ)δ(t −τ)dτ = f (t)
−∞
∞
* 相当于以δ为中心，将 f（t）曲线重新描绘一遍。 为中心， （ ）曲线重新描绘一遍。 * 若两个 函数与 f（t）同时卷积，则两个曲线可能 若两个δ函数与 （ ）同时卷积， 出现交叉区域。 出现交叉区域。 f (t) δ δ f (t)∗[δ(t +a) +δ(t −a)] a a ∞ = ∫ f (τ)δ(t −a −τ)dτ + −∞ 0 t 0 t ∞ + ∫ f (τ)δ(t +a −τ)dτ −∞ a a = f (t −a) + f (t +a) t 0
−∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞
dt
= F (ω)F (ω) 1 2
4. 离散信号的卷积运算
数字信号数字滤波的运算。例如：数字信号（序列）输入数字滤波器。 数字信号数字滤波的运算。例如：数字信号（序列）输入数字滤波器。求
1 1 1 , } , } yn = ∑h(i)x(n −i) x(n) ={0,0,0,1 ,0,0,0 h(n) ={0,0,0,1 , ,0,0 2 4 2 i=−∞
f (t)∗ f (t) = ∫ f (τ) f (t −τ)dτ R(t) = ∫ f (τ) f (t +τ)dτ
−∞ −∞
∞
∞
* f1 或 f2 其中一个为偶函数时，卷积与相关数值相等。 其中一个为偶函数时，卷积与相关数值相等。 周期信号： 周期信号：
1 −T / 2 ∗ R (t) = ∫ f1 (τ ) f2 (t +τ )dτ 12 T −T / 2
n=−∞ ∞
∞
与 f ( t ) 相乘 即：离散序列函数
f (t) ∑ (t −nTs ) = f (nTs ) δ
n=−∞
根据傅立叶变换， 根据傅立叶变换，采样后的函数可以表示为傅立叶积分
1 ∞ jω s nT f (nT ) = ∫ F (ω)e dω s s −∞ 2π
其中： 其中： (ω) = F
证明： 证明：
∞
反过来
F(ω) = ∫ R(t)e−jωt dt
2 −∞
∞
③频域相关 等于时域相乘
1 ∞ ∗ ∗ F (u)F (u +ω)dω = f1 (t)f2 (t) 2 2 ∫∞ π − 1
④自相关函数的特性
R(t) = R∗ (−t)
∞
实部为偶函数， 实部为偶函数，虚部为奇函数 希尔伯特关系） （希尔伯特关系）
Vin
Vout ） （t）
Vout(t) =Vin(1−e
冲击响应函数
t −RC
)
h(t) = dVout(t) / dt =
1 RC
e
t −RC
例
用卷积求电路充电 响应： 响应：
∞
Vin
Vout ） （t）
y(t) = ∫ h(τ) f (t −τ)dτ
−∞
∞
Vout(t) = ∫ h(τ)Vin(t −τ)dτ
2．特性： 特性： ①显然，位移是相对的： 显然，位移是相对的： （令ξ = t + τ 则 τ = ξ - t） ）
∴∫ f (τ) f2(t +τ) = ∫ f (τ −t) f2(τ)dτ
−∞ ∗ 1 −∞ ∗ 1
∞
∞
* 上式对于复函数，不符合交换律！ （书P20） 上式对于复函数 不符合交换律！ 对于复函数， ）
也是通信过程中的常用信号处理方法， 也是通信过程中的常用信号处理方法 ， 以鉴别信号波形的相似程度。 以鉴别信号波形的相似程度。 1．定义： 12 (t) = f1∗(τ) f2(t +τ)dτ ．定义： R ∫
−∞ ∞
* 互相关（不同函数相关） 互相关（不同函数相关） ∞ R(t) = ∫ f1∗(τ) f1(t +τ)dτ 自相关（ 自相关（autocorrelation） ） −∞ * 卷积：函数有翻转 卷积： 相关： 相
−∞
f (nTs )e
− jω t
dt