【河南省新乡一中】2017届高三(上)第二次月考数学(文科)试卷(附答案与解析)

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2020届河南省新乡市新乡一中2017级高三二模考试数学(文)试卷及答案

2020届新乡市新乡一中2017级高三二模考试
数学（文）试卷
★祝考试顺利★
第I 卷
一、选择题:本大题共12小题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合2{|31},{|4120},A x x B x x x =-<<-=--≤则A∩B=
A.[-2,-1)
B.(-2,-1)
C.(-1,6]
D.(-3,-1)
2.已知复数z=2-i,z 为z 的共轭复数,则(1+z)
·z =
A.5+i
B.5-i
C.7-i
D.7+i
3.已知向量(0,2),(23,)x ==a b ,且a 与b 的夹角为
3π,则x= A.-2 B.2 C.1
D.-1 4.若x,y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则23y z x +=+的最大值为 1.2A 3.4B 5.2C D.3
5.如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填人的是
A.i≤6?
B.i≤5?
C.i≤4?
D.i≤3?
6.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f(x)=3-2x,则不等式f(x)>0的解集为
A.33(,)(0,)22
-∞-⋃ B.(-33,)(,)22∞-⋃+∞ 33.(,)22C - 33.(,0)(,)22
D -⋃+∞ 7.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试,立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35,两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行。

【河南省新乡一中】2017届高三(上)第二次月考数学(文科)试卷-答案

河南省新乡一中2017届高三（上）第二次月考数学（文科）试卷答案 {})1）函数()sin(2f x =则cos a = ∵(,0)2a π∈-，∴cos a ． 243sin 22sin cos ,cos212sin 55a a a a a ==-=-=．∴1()sin 22f a a a =+=． 18．解：（1）∵52a =，115(2)n n n a a a a n -++=≥，∴112(2)n n n a a a n -++=≥．∴数列{}n a 为等差数列．设等差数列{}n a 的公差为d ，∵3a 是1a 与85-的等比中项， ∴23185a a =-． ∴28(22)(24)5d d -=--． ∴(53)(3)0d d --=．∴35d =或3d =．当35d =时，315n a n =-．当3d =时，313n a n =-．(2)若1a 为整数,则313n a n =-，∴(323)2n n n S -=， ∴则22233n S n n +=，1111()(223)(1)3(1)31n n n b S n n n n n n ===-++++，数列{b n }前n 项和111111111(1)(1)3223313133n n T n n n n =-+-+--=-=+++… 19．解：(1)∵函数()f x 为奇函数， ∴()()f x f x -=，∴()ax ax x x-=-+2222， ∴ax =220，对x ∈R 恒成立， ∴a =0∴()f x x=2 ∵log log <33826，log log .log .===≈33233821893159 ∴log log >3283，∴log log log >>3322683，∵()f x x=2在(,+)∞0上递减， ∴(log 26)(log )(log )f f f <<33283， (2)由()f x 为奇函数可得()()x f t x f x x +>-+++2212，∵t >0，[,]x ∈23，∴t x +>20，x x x -+++>2120 ∵()f x x=2在(,)+∞0上递减 ∴x t x x x +<-+++2212，即x t x <+-21对[,]x ∈23恒成立。

河南省新乡一中高三(上)第一次月考数学(文科)试卷.有答案

河南省新乡一中2017届高三（上）第一次月考数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2A {|20}x x x ∈-R ＝+≤，2B {|0}1x x x -+＝≤，则A B =（）A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．[)1,1-D ．(]1,1-2．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量(1,2)a =，(1,0)b =，(3,4)c =。

若λ为实数，()a b c λ+∥，则λ=（） A ．14B ．12C ．1D ．24．已知命题:()a (a 0x p f x =>且1)a ≠是单调增函数：命题π5π:(,)44q x ∀∈ ，sin cos x x >，则下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．p q ⌝⌝∧D ．p q ⌝∧5．设函数()log |1|a f x x =-在(,1)-∞上单调递增，则(2)f a +与(3)f 的大小关系是（） A ．(2)(3)f a f +>B ．(2)(3)f a f +<C ．(2)(3)f a f +=D ．不能确定6．设曲线21y x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为（）A ．B ．C ．D ．7．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)︒-︒，则2cos α的值为（）A ．12+B ．12 C ． D ．0 8．已知函数π()cos()3f x x =+，则要得到其导函数'()y f x =的图像，只需将函数()y f x =的图像（）A ．向右平移π2个单位B ．向左平移π2个单位C ．向右平移2π3个单位 D ．向左平移2π3个单位 9．定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)(x)f x f -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f <<C ．(64)(49)(81)f f f <<D ．(64)(81)(49)f f f <<10.已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{}n a 的前三项，则能使不等式1212111......n na a a a a a ++++++≤成立的自然数n 的最大值为（） A ．5B ．7C ．8D ．911．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120a BC bCA c AB ++=，则H 到AB 边的距离为（） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知()(2)e (a 0)x b g x ax a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得'00()()0g x g x +=，则b a 的取值范围是（）A ．(1,)-+∞B ．(1,0)-C ．(2,)-+∞D ．(2,0)-二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数2()cos sin f x x x =+ ，π(,π)6x ∈的值域是_________．14．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是_________．15．已知数列{}n a 中，11a =，函数3212()3432n n a f x x x a x -=-+-+在1x =处取得极值，则n a =_________． 16．在ABC △中，90C ∠=︒，2BC =，M 为BC 的中点，1sin BAM 3∠=，则AC 的长为_________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{b }n 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和．18．中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众，先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的40名学生参加，各大学邀请的学生如表所示：从这40名学生中按分层抽样的方式抽取10名学生在第一排发言席就座。

2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(2)(含答案解析)

2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

【数学】河南省新乡市第一中学2017届高三上学期第二次月考试题(文)

河南省新乡市第一中学2017届高三上学期第二次月考试题（文）一、选择题(每小题5分)1.下列说法中正确的是 ( ) A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反 B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b | C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 3．已知a ＝(2，4，5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝1524．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( ) A ．(1，1，1) B ．(－1，－1，－1)C ．(1，1，1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1，1)或(－1，1，－1)5．已知A (－1，0，1)，B (0，0，1)，C (2，2，2)，D (0，0，3)，则sin 〈AB →，CD →〉等于( ) A ．－23 B ．23 C ．53 D ．－536.若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．cos θ＝n·a |n||a |B ．cos θ＝|n·a||n||a |C ．sin θ＝n·a |n||a |D ．sin θ＝|n·a||n||a |7．若三点A (1，－2，1)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 的形状是( ) A ．不等边的锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形8. 若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1，2，－1)，v ＝(－3，－6，3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不正确9．若两点A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( ) A ．19 B ．－87 C ．87 D ．191410. 如图所示，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( ) A ．22 B ．33 C ．77 D ．57二、填空题(每小题5分)11．若a ＝(2，－3，5)，b ＝(－3，1，－4)，则|a －2b |＝______. 12．如图所示，已知正四面体ABCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．13．平面α的法向量为(1，0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．14. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于_____15.如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C -BF -D的余弦值为______.三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是O 1B 1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS .17.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1C 、B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD ．18．如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ．求证：C 1C ⊥BD19 .如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．20.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 1和CC 1的中点． (1)求证：EF ∥平面ACD 1；(2)求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值．21.(14分). 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD ．(1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．参考答案1.答案 B解析 |a |＝|b |，说明a 与b 模长相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a 故|a | ＝|b |，从而B 正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB →＋AD →＝AC →，只有平行四边形才能成立．故A 、C 、D 均不正确． 2．答案：D解析如图，A 1B →＝AB →－AA 1→＝CB →－CA →－AA 1→＝CB →－CA →－CC 1→＝b －a －c . 3．答案 D解析 ∵a ∥b ，∴存在实数λ，使⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λx ＝4λy ＝5λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝152.4．答案 C解析设a ＝(x ，y ，z )，∵AB →＝(－2，－1，3)， AC →＝(1，－3，2)，又|a |＝3，a ⊥AB →，a ⊥AC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1，1，1)或a ＝(－1，－1，－1). 5．答案 C解析 ∵AB →＝(1，0，0)，CD →＝(－2，－2，1)，∴cos 〈AB →，CD →〉＝||||AB CD AB CD ＝－23， ∴sin 〈AB →，CD →〉＝53.6.答案 D解析若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos β＝n·a|n||a|，∴sin θ＝|cos β|＝|n·a||n||a|. 7．答案 A解析 AB →＝(3，4，2)，AC →＝(5，1，3)，BC →＝(2，－3，1)，AB →·AC →>0，得∠A 为锐角；CA →·CB →>0，得∠C 为锐角；BA →·BC →>0，得∠B 为锐角，所以△ABC 是锐角三角形且|AB →|＝29， |AC →|＝35，|BC →|． 8.答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴v ∥u .故α∥β. 9．答案 C解析 AB →＝(1－x ，2x －3，－3x ＋3)，则|AB →|＝＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57. 故当x ＝87时，|AB →|取最小值．10.答案 C 解析如图所示，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E ，设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22，PA ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144，ED ＝24. ∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →. ∴EC →·BD →＝－14，∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77，即二面角B —AP —C 的余弦值为77. 11．答案 258解析 ∵a －2b ＝(8，－5，13)，∴|a －2b |＝258. 12．答案413解析因四面体ABCD 是正四面体，顶点A 在底面BCD 内的射影为△BCD 的垂心，所以有BC ⊥DA ，AB ⊥CD ．设正四面体的棱长为4，则BF →·DE →＝(BC →＋CF →)·(DA →＋AE →)＝0＋BC →·AE →＋CF →·DA →＋0＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，BF ＝DE ＝42＋12－2×4×1×cos 60°＝13，所以异面直线DE 与BF 的夹角θ的余弦值为：cos θ＝||||BF DE BF DE＝413. 13．答案 π3或2π3解析设n 1＝(1，0，－1)，n 2＝(0，－1，1)，则cos 〈n 1，n 2100111⨯+⨯-+-⨯＝－12，∴〈n 1，n 2〉＝2π3.因平面α与平面β所成的角与〈n 1，n 2〉相等或互补，所以α与β所成的角为π3或2π3.14.答案21015. 解析以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，易知DB 1→＝(1，1，1)，CM →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，故cos 〈DB 1→，CM →〉＝1515，从而sin 〈DB 1→，CM →〉＝21015.15.答案217解析如图所示，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF .以O 为原点，OB 、OC 、OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝ 3.所以B (32，0，0)，F (0，0，12)，C (0，12，0)，D (－32，0，0)．结合图形可知，OC →＝(0，12，0)且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝(－32，12，0)，FB →＝(32，0，－12)，可求得面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．所以cos 〈n ，OC →〉＝21716．证明如图所示，建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4， 2)，E (3，4，0) 3分 ∵AP ＝2P A 1， ∴AP →＝2P A 1→＝23AA 1→，即AP →＝23(0，0，2)＝(0，0，43)， 5分∴P 点坐标为(3，0，43)． 8分同理可得Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，23)．∴PQ →＝(－3，2，23)＝RS →，∴PQ →∥RS →， 10分又∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS . 12分17.证明如图所示，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0，1，12)，N (12，1，1)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)， 3分于是MN →＝(12，0，12)，DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)， 6分设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． 8分又MN →·n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n . 10分又MN ⊄ 平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD ． 12分法二 ∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，而MN ⊄平面A 1BD ，DA 1⊂平面A 1BD ，∴MN ∥平面A 1BD ． 18．证明设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ， 3分依题意，|a |＝|b |， 5分又设CD →，CB →，CC 1→中两两所成夹角为θ，于是BD →＝CD →－CB →＝a －b ， 8分CC 1→·BD →＝c ·(a －b )＝c·a －c·b ＝|c||a |cos θ－|c||b |cos θ＝0， 10分所以C 1C ⊥BD ． 12分 19. 解因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB → 4分＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－162＋24. 6分所以cos 〈OA →，BC →〉＝||||OA BC OA BC＝24－1628×5＝3－225. 10分即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225. 12分20. (1)证明如图所示，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由已知得D (0，0，0)， A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，D 1(0，0，2)，E (1，0，2)，F (0，2，1)． 3分易知平面ACD 1的一个法向量是DB 1→＝(2，2，2)．又∵EF →＝(－1，2，－1)，由EF →·DB 1→＝－2＋4－2＝0， ∴EF →⊥DB 1→. 5分又∵EF 平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. 7分 (2)解 ∵AB→＝(0，2，0)，cos 〈EF →，AB →〉＝||||EF AB EF AB ＝426＝63. 13分 21. (1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥D C ． 3分而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD ．BC ⊂平面BCD ，故DC 1⊥BC ． 6分 (2)解由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直．以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz . 8分由题意知A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，D (1，0，1)，C 1(0，0，2)．则A 1D →＝(0，0，－1)，BD →＝(1，－1，1)，DC 1→＝(－1，0，1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则10,0,BD A D ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n 即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0. 可取n ＝(1，1，0)． 10分同理，设m 是平面C 1BD 的法向量，则10,0.BD DC ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩m m 可取m ＝(1，2，1)． 12分从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝32.故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.14分。

【河南省新乡一中】2017届高三(上)第二次月考数学年(理科)试题

河南省新乡一中2017届高三（上）第一次月考数学（文科）试卷答案1231n -- 三、解答题17．解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --===。

∴1(1)3(1,2,)n a a n d n n =+-==⋯ 。

∴数列{}n a 的通项公式为：3n a n =；设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得：443112012843b a q b a --===--，解得2q =。

∴1111()2n n n n b a b a q ---=-=从而132(1,2,)n n b n n -=+=⋯ 。

∴数列{}n b 的通项公式为：132n n b n -=+；(2)由(1)知132(1,2,)n n b n n -=+=⋯。

数列{3}n 的前n 项和为3(1)2n n +，数列1{2}n -的前n 项和为122112nn -=--。

∴数列{}n b 的前n 项和为3(1)212nn n ++- 。

18．解：(1)从这40名学生中按照分层抽样的方式抽取10名学生，则各大学人数分别为甲大学抽取：810240⨯=人，乙大学抽取：1210340⨯=人，丙大学抽取：810240⨯=人，丁大学抽取：1210340⨯=人。

(2)设乙中3人为1a ，2a ，3a ，丁中3人为1b ，2b ，3b ，从这6名学生中随机选出2名学生发言的结果为：12{,}a a ，13{,}a a ，11{,}a b ，12{,}a b ，13{,}a b ， 32{,}a a ，12{,}b a ，22{,}b a ，32{,}b a ，31{,}a b ，32{,}a b ，33{,}a b ，12{,}b b ，13{,}b b ，23{,}b b ，共15种，这2名同学来自同一所大学的结果共6种，所以所求概率为62155P == 19．解：（Ⅰ）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ， ∵ABCD 是矩形， ∴O 为BD 的中点 ∵E 为PD 的中点， ∴//EO PBEO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC∴//PB 平面AEC ；（Ⅱ）∵1AP =，AD =，三棱锥P ABD -的体积V =，∴136V PA AB AD ==，∴32AB =，PB = 作AH PB ⊥交PB 于H ，由题意可知BC ⊥平面PAB ， ∴BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC 。

2017年河南省新乡市高考数学二模试卷(文科)

2017年河南省新乡市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A ＝{x |x （x ﹣2）＝0}，B ＝{x ∈Z |x 2≤1}，则A ∪B 等于（） A ．{﹣2，﹣1，0，1} B ．{﹣1，0，1，2} C ．[﹣2，2] D ．{0，2}【解答】解：A ＝{x |x （x ﹣2）＝0}＝{0，2}， B ＝{x ∈Z |x 2≤1}＝{﹣1，0，1}，则A ∪B ＝{﹣1，0，1，2}，故选：B ．2．（5分）设a ∈R ，若复数z =a−i3+i （i 是虚数单位）的实部为2，则a 的值为（） A ．7B ．﹣7C ．5D ．﹣5【解答】解：z =a−i3+i =(a−i)(3−i)(3+i)(3−i)=(3a−1)−(3+a)i 10=3a−110−3+a10i ， ∵复数z =a−i3+i （i 是虚数单位）的实部为2， ∴3a−110=2，解得：a ＝7．故选：A ．3．（5分）已知向量a →=（m ﹣1，2），b →=（m ，﹣3），若a →⊥b →，则实数m 等于（） A ．2或﹣3B ．﹣2或3C ．35D ．3【解答】解：根据题意，量a →=（m ﹣1，2），b →=（m ，﹣3），若a →⊥b →，则有a →•b →=0，即m （m ﹣1）+2×（﹣3）＝0，解可得m ＝﹣2或3；故选：B ．4．（5分）已知实数x ，y 满足{x −y +2≥0x +y −4≥04x −y −4≤0，则y+2x+1的最大值为（）A ．3B ．13C ．2D ．52【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D （﹣1，﹣2）的斜率，由图象知BD 的斜率最大，由{x −y +2=0x +y −4=0得{x =1y =3，即B （1，3），此时AD 的斜率k ═3+21+1=52，故选：D ．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（）A ．−3115B ．−75C ．−3117D ．−2117【解答】解：模拟程序的运行，可得 i ＝0，S ＝1满足条件i ＜4，执行循环体，i ＝1，S =13 满足条件i ＜4，执行循环体，i ＝2，S =−17 满足条件i ＜4，执行循环体，i ＝3，S =−913 满足条件i ＜4，执行循环体，i ＝4，S =−3117 不满足条件i ＜4，退出循环，输出S 的值为−3117．故选：C ．6．（5分）点P 在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右支上，其左右焦点分别为F 1，F 2，直线PF 1与以坐标原点O 为圆心a 为半径的圆相切于点A ，线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，则S △OF 2A S △PF 1F 2的值为（） A ．17B ．29C ．16D ．18【解答】解：由题意，线段PF 1的垂直平分线恰好过点F 2，垂足为D ，则y D ＝2y A =12y P ，∴y A =14y P ， ∴S △OF 2A S △PF 1F 2=12c⋅y A 12⋅2c⋅y P =18，故选：D ．7．（5分）已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（）A ．100，8B ．80，20C ．100，20D ．80，8【解答】解：样本容量为：（150+250+100）×20%＝100，∴抽取的户主对四居室满意的人数为：100×100150+250+100×40%=8．故选：A ．8．（5分）若cos （π8−α）=15，则cos （3π4+2α）的值为（）A ．−78B ．78C ．−2325D ．2325【解答】解：∵cos （π8−α）＝sin[π2−（π8−α）] ＝sin （3π8+α）=15， ∴cos （3π4+2α）＝1﹣2sin 2（3π8+α）＝1﹣2×(15)2 =2325．故选：D ．9．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．4√2+6B．4√2+8C．4√2+12D．4√2+10【解答】解：根据三视图知几何体是组合体：前面是直三棱柱、后面是三棱锥，直观图如图所示：直三棱柱A′B′C′﹣ABC：底面是等腰直角三角形：直角边为√2，几何体的高是2，三棱锥P﹣ACD：底面是等腰直角三角形：直角边为√2，且PO⊥面ACD，PO＝2、AO＝OC＝OD＝1，所以三棱锥P﹣ACD的侧棱P A＝P AC＝PD=√12+22=√5，在等腰△P AD中，底边AD上的高h=(√5)2−(22)2=3√22，则直三棱柱A′B′C′﹣ABC的表面积：S1=2×12×√2×√2+2×√2×2+(2×2−12×2×2)=4+4√2，三棱锥P﹣ACD的表面积S2=12×√2×√2+2×12×√2×3√22=4，所以几何体的表面积S＝4+4√2+4＝8+4√2，故选：B．10．（5分）设函数f （x ）＝sin （2x +π4）（x ∈[0，9π8]），若方程f （x ）＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），则x 1+2x 2+x 3的值为（） A ．πB ．3π4C ．3π2D ．5π4【解答】解：由题意x ∈[0，9π8]，则2x +π4∈[π4，5π2]，画出函数的大致图象：由图得，当√22≤a ＜1 时，方程f （x ）＝a 恰好有三个根，由2x +π4=π2得x =π8，由2x +π4=3π2得x =5π8，由图知，点（x 1，0）与点（x 2，0）关于直线x =π8对称，点（x 2，0）与点（x 3，0）关于直线x =5π8对称， ∴x 1+x 2=π4，x 2+x 3=5π4，即x 1+2x 2+x 3=π4+5π4=3π2，故选：C ．11．（5分）已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为（） A ．56π3B ．64π3C ．24πD ．80π3【解答】解：令△P AD 所在圆的圆心为O 1，则圆O 1的半径r =2√33，因为平面P AD ⊥底面ABCD ，所以OO 1=12AB ＝2，所以球O 的半径R =4+(233)2=43，所以球O 的表面积＝4πR 2=64π3．故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝﹣x 3+1+a （1e≤x ≤e ，e 是自然对数的底）与g （x ）＝3lnx 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（） A ．[0，e 3﹣4] B ．[0，1e 3+2]C ．[1e 3+2，e 3﹣4] D ．[e 3﹣4，+∞）【解答】解：根据题意，若函数f （x ）＝﹣x 3+1+a （1e≤x ≤e ，e 是自然对数的底）与g （x ）＝3lnx 的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程﹣x 3+1+a ＝﹣3lnx 在区间[1e，e ]上有解，﹣x 3+1+a ＝﹣3lnx ⇔a +1＝x 3﹣3lnx ，即方程a +1＝x 3﹣3lnx 在区间[1e，e ]上有解，设函数g （x ）＝x 3﹣3lnx ，其导数g ′（x ）＝3x 2−3x=3(x 3−1)x，又由x ∈[1e，e ]，g ′（x ）＝0在x ＝1有唯一的极值点，分析可得：当1e ≤x ≤1时，g ′（x ）＜0，g （x ）为减函数，当1≤x ≤e 时，g ′（x ）＞0，g （x ）为增函数，故函数g （x ）＝x 3﹣3lnx 有最小值g （1）＝1，又由g （1e ）=1e 3+3，g （e ）＝e 3﹣3；比较可得：g （1e）＜g （e ），故函数g （x ）＝x 3﹣3lnx 有最大值g （e ）＝e 3﹣3，故函数g （x ）＝x 3﹣3lnx 在区间[1e ，e ]上的值域为[1，e 3﹣3]；若方程a +1＝x 3﹣3lnx 在区间[1e，e ]上有解，必有1≤a +1≤e 3﹣3，则有0≤a ≤e 3﹣4，即a 的取值范围是[0，e 3﹣4]；故选：A ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数f （x ）={1−2x ，x ≤0x 12，x ＞0，则f [f （﹣1）]＝ √22 ．【解答】解：∵函数f （x ）={1−2x ，x ≤0x 12，x ＞0，f （﹣1）＝1﹣2﹣1=12，f [f （﹣1）]＝f （12）=(12)12=√22．故答案为：√22． 14．（5分）过点（1，0）且与直线x −√2y +3＝0平行的直线l 被圆（x ﹣6）2+（y −√2）2＝7所截得的弦长为 4 ．【解答】解：设与直线x −√2y +3＝0平行的直线l 的方程为x −√2y +c ＝0， ∵直线过点（1，0）， ∴c ＝﹣1，∴直线的方程为x −√2y ﹣1＝0，圆心到直线l 的距离为√1+2=√3，∴直线l 被圆（x ﹣6）2+（y −√2）2＝7截得的弦长为2√7−3=4，故答案为4．15．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x ，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为172x ．【解答】解：第1关收税金：12x ；第2关收税金：13（1−12）x =12×3x ；第3关收税金：14（1−12−16）x =13×4x ； …，可得第8关收税金：18×9x ，即172x ．故答案为：172．16．（5分）如图，在△ABC 中，C =π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝2√2，求cos A ＝√64．【解答】解：∵C =π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，DE ＝2√2，∴∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝2∠A ，设AD ＝BD ＝x ， ∴在△BCD 中，BC sin∠CDB =BD sinC，可得：4sin2A=x sin60°，①在△AED 中，EDsinA=AD sin∠AED，可得：2√2sinA=x1，②∴联立可得：42sinAcosA=2√2sinA√32，解得：cos A =√64．故答案为：√64．三、解答题（共5小题，满分60分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（12分）在数列{a n }中，a 1=12，{a n }的前n 项和S n 满足S n +1﹣S n ＝（12）n +1（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式a n ，以及前n 项和S n ；（2）若S 1+S 2，S 1+S 3，m （S 2+S 3）成等差数列，求实数m 的值．【解答】解：（1）∵a n +1＝S n +1﹣S n =(12)n+1．∴n ≥2时，a n =(12)n ，又a 1=12，因此n ＝1时也成立． ∴a n =(12)n ，∴S n =12(1−12n )1−12=1−12n ．（2）由（1）可得：S 1=12，S 2=34，S 3=78． ∵S 1+S 2，S 1+S 3，m （S 2+S 3）成等差数列，∴12+34+m （34+78）＝2（12+78）．解得m =1213． 18．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1与侧面CBB 1C 1都是菱形，∠ACC 1＝∠CC 1B 1＝60°，AC ＝2√3．（1）求证：AB 1⊥CC 1；（2）若AB 1＝3√2，D 1为线段A 1C 1上的点，且三棱柱C ﹣B 1C 1D 1的体积为√3，求A 1D 1C 1D 1．【解答】证明：（1）连AC 1，CB 1，∵在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1与侧面CBB 1C 1都是菱形，∠ACC 1＝∠CC 1B 1＝60°，∴△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1， ∵OA ∩OB 1＝O ，∴CC 1⊥平面OAB 1， ∵AB 1⊂平面OAB 1，∴CC 1⊥AB 1．解：（2）∵AC ＝2√3，AB 1＝3√2，∴由（1）知，OA ＝OB 1＝3，∴OA 2+OB 12=AB 12， ∴OA ⊥OB 1，∴OA ⊥平面B 1C 1C ，S △B 1CC 1=12CC 1⋅OB 1=12×2√3×3=3√3， ∴V A−B 1CC 1=13×S △B 1CC 1×AO =13×3√3×3=3√3， ∵D 1为线段A 1C 1上的点，且三棱柱C ﹣B 1C 1D 1的体积为√3， ∴C 1D 1A 1C 1=V D 1−B 1CC 1V A−B 1CC 1=√33√3=13， ∴A 1D 1C 1D 1=3−11=2．19．（12分）在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么数学就没有什么问题．”某班针对“高中生物理学习对数学的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的数学和物理成绩如表12345物理成绩 90 85 74 68 63 数学成绩1301251109590（1）求数学成绩y 对物理成绩x 的线性回归方程y ^=b ^x +a （b ^精确到0.1），若某位同学的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的五位学生中随机抽取2位参加一项知识竞赛，求选出的学生的数学成绩至少有一位高于120﹣分的概率．（参考公式：b ^=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i 2−nx2，a ^=y ^−b x ）（参考数据：902+852+742+682+632＝29394） 90×130+85×125+74×110+68×95+63×90＝42595）【解答】解：（1）根据表中数据计算x =15×（90+85+74+68+63）＝76， y =15×（130+125+110+95+90）＝110，∑ 5i=5x i 2=902+852+742+682+632＝29394，∑ 5i=1x i y i ＝90×130+85×125+74×110+68×95+63×90＝42595， b ^=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i 2−nx2=42595−5×76×11029394−5×762=795514≈1.5， a ^=y −b ^x =110﹣1.5×76＝﹣4；∴x 、y 的线性回归方程是y ^=1.5x ﹣4，当x ＝80时，y ^=1.5×80﹣4＝116，即某位同学的物理成绩为80分，预测他的数学成绩是116；（2）抽取的五位学生中成绩高于120分的有2人，记为A 、B ，另外3名记为c 、d 、e ，从这5人中随机抽取2人，基本事件是AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Bc 、Bd 、Be 、cd 、ce 、de 共10种，选出的学生的数学成绩至少有一位高于120分的基本事件是 AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Bc 、Bd 、Be 共7种，故所求的概率为P =710． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）经过点（√52，√32），离心率为2√55，点O 位坐标原点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过椭圆E 的左焦点F 作任一条不垂直于坐标轴的直线l ，交椭圆E 于P ，Q 两点，记弦PQ 的中点为M ，过F 作PQ 的中点为M ，过F 做PQ 的垂线FN 交直线OM 于点N ，证明，点N 在一条定直线上．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a2=2√55，则a 2＝5b 2，将点（√52，√32）代入椭圆x 25b 2+y 2b2=1，解得：b 2＝1，a 2＝5，∴椭圆E 的标准方程x 25+y 2=1；（2）证明：由题意可知：直线l 的斜率存在，且不为0，y ＝k （x +2），直线FN ：y =−1k （x +2），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），M （x 0，y 0），则{y =k(x +2)x 25+y 2=1，整理得：（1+5k 2）x 2+20k 2x +20k 2﹣5＝0，由韦达定理可知：x 1+x 2=−20k21+5k2，x 1x 2=20k 2−51+5k2，则x 0=x 1+x 22=−10k 21+5k 2，y 0＝k （x 0+2）=2k1+5k2，则直线OM 的斜率为k OM =y0x 0=−15k ，直线OM ：y =−15k x ，{y =−15k x y =−1k (x +2)，解得：{x =−52y =12k，即有k 取何值，N 的横坐标均为−52，则点N 在一条定直线x =−52上． 21．（12分）已知函数f （x ）＝2lnx ﹣3x 2﹣11x ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）若关于x 的不等式f （x ）≤（a ﹣3）x 2+（2a ﹣13）x ﹣2恒成立，求整数a 的最小值．【解答】解：（1）f ′（x ）=2x−6x −11，f ′（1）＝﹣15，f （1）＝﹣14，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为：y ﹣（﹣14）＝﹣15（x ﹣1），即15x +y ﹣1＝0为所求．（2）关于x 的不等式f （x ）≤（a ﹣3）x 2+（2a ﹣13）x ﹣2恒成立⇔2lnx ﹣ax 2﹣2ax +2x +2≤0恒成立．令h （x ）＝2lnx ﹣ax 2﹣2ax +2x +2，（x ＞0），h ′（x ）=2x −2ax −2a +2=−2(ax−1)(x+1)x，当a ≤0时，h ′（x ）＞0恒成立，h （x ）在（0，+∞）递增，x →+∞时，h （x ）→+∞，不符合题意．当a ＞0时，∈（0，1a）h ′（x ）＞0，x ∈（1a，+∞）h ′（x ）＜0，故h （x ）在（0，1a）递增，在（1a，+∞）递减，h （x ）max ＝h （1a）＝﹣2lna +1a ≤0，G （a ）＝﹣2lna +1a 在（0，+∞）递减，G （1）＞0G （2）＜0 a ＝2符合题意；整数a 的最小值为2．四、请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l 的参数方程为{x =tsinφy =2+tcosφ（t 为参数，0＜φ＜π），曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝8sin θ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当φ变化时，求|AB |的最小值．【解答】解：（1）直线l 的参数方程为{x =tsinφy =2+tcosφ消去参数可得：x cos φ﹣y sin φ+2sin φ＝0；即直线l 的普通方程为x cos φ﹣y sin φ+2sin φ＝0；曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝8sin θ．可得：ρ2cos 2θ＝8ρsin θ．那么：x 2＝8y ．∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＝8y ．（2）直线l 的参数方程带入C 的直角坐标方程，可得：t 2sin 2φ﹣8t cos φ﹣16＝0；设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2，则t 1+t 2=8cosφsin 2φ，t 1t 2=16sin 2φ． ∴|AB |＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=82．当φ=π2时，|AB |取得最小值为8． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣2|．（1）求不等式f （x ）+x 2﹣4＞0的解集；（2）设g （x ）＝﹣|x +7|+3m ，若关于x 的不等式f （x ）＜g （x ）的解集非空，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意，x ＞2时，x ﹣2＞4﹣x 2，得x ＞2或x ＜﹣3； x ≤2时，x ﹣2＜x 2﹣4，得x ≥2或x ＜﹣1， ∴原不等式的解集为{x |x ＞2或x ＜﹣1}；（2）原不等式等价于|x ﹣2|+|x +7|＜3m 的解集非空， ∵|x ﹣2|+|x +7|≥|x ﹣2﹣x ﹣7|＝9，∴3m＞9，∴m＞3．。

【河南省新乡市】2017年高考二模数学(文科)试卷-答案

1OA OB O =2)∵AC =1112OB =⨯11B CC △121i ii n i i x yb x ===-∑∑110 1.5bx -=-的线性回归方程是A B=﹣{1,0:B．【点评】本题考查了并集的定义．【考点】复数代数形式的乘除运算．【考点】平面向量数量积的运算根据题意,由⊥可得•根据题意,量）,=若⊥则有•由得,即B（1,3）,此时AD的斜率k═=,故选:D．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义结合直线的斜率公式是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.5．【考点】程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值,模拟程序的运行,不难得到输出结果.【解答】解:模拟程序的运行,可得i=0,S=1满足条件i＜4,执行循环体,i=1,S=满足条件i＜4,执行循环体,i=2,S=﹣满足条件i＜4,执行循环体,i=3,S=﹣满足条件i＜4,执行循环体,i=4,S=﹣不满足条件i＜4,退出循环,输出S的值为﹣.故选:C．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:①分析流程图（或伪代码）,从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理）,②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型,③解模,本题属于基础题.6．【考点】双曲线的简单性质.【分析】由题意,线段PF1的垂直平分线恰好过点F2,垂足为D,则y D=2y A=y P,y A=y P,由=,可得结论.【解答】解:由题意,线段PF1的垂直平分线恰好过点F2,垂足为D,则y D=2y A=y P,∴y A=y P,∴==,故选D．【点评】本题考查三角形面积的计算,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 7．【考点】频率分布直方图.【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量,利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数. 【解答】解:样本容量为:（150+250+100）×20%=100,∴抽取的户主对四居室满意的人数为:100×.故选:A．【点评】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意统计图的性质的合理运用.8．【考点】三角函数的化简求值.【分析】利用诱导公式得出cos（﹣α）=sin（+α）,再利用二倍角公式求出cos（+2α）的值. 【解答】解:∵cos（﹣α）=sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=,∴cos（+2α）=1﹣2sin2（+α）=1﹣2×=.故选:D．【点评】本题考查了三角恒等变换应用问题,是基础题目.9．【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图知几何体是组合体:前面是直三棱柱、后面是三棱锥,画出直观图,并求出各个棱长以及底面的形状,判断出线面的位置关系、由勾股定理求出侧面上的高,代入面积公式分别求出三棱柱、三棱锥的表面积,即可求出答案.【解答】解:根据三视图知几何体是组合体:前面是直三棱柱、后面是三棱锥,直观图如图所示:直三棱柱A′B′C′﹣ABC:底面是等腰直角三角形:直角边为,几何体的高是2,三棱锥P﹣ACD:底面是等腰直角三角形:直角边为,且PO⊥面ACD,PO=2．AO=OC=OD=1,所以三棱锥P﹣ACD的侧棱PA=PAC=PD==,在等腰△PAD中,底边AD上的高h==,则直三棱柱A′B′C′﹣ABC的表面积:S1==4+,三棱锥P﹣ACD的表面积S2==4,所以几何体的表面积S=4++4=8+,故选B．【点评】本题考查由三视图求简单组合体的表面积,由三视图正确复原几何体的直观图是解题的关键,考查空间想象能力.10．【考点】正弦函数的图象.【分析】由x∈[0,]求出2x+的范围,由正弦函数的图象画出函数的大致图象,由函数的图象,以及正弦图象的对称轴求出x1+x2．x2+x3的值,即可求出x1+2x2+x3的值.【解答】解:由题意x∈[0,],则2x+∈[,],画出函数的大致图象:由图得,当时,方程f（x）=a恰好有三个根,由2x+=得x=,由2x+=得x=,由图知,点（x1,0）与点（x2,0）关于直线对称,点（x2,0）与点（x3,0）关于直线对称,∴x1+x2=,x2+x3=,即x1+2x2+x3=+=,故选C．【点评】本题考查正弦函数的图象,以及正弦函数图象对称性的应用,考查整体思想,数形结合思想. 11．【考点】球的体积和表面积.【分析】求出△PAD所在圆的半径,利用勾股定理求出球O的半径R,即可求出球O的表面积.【解答】解:令△PAD所在圆的圆心为O1,则圆O1的半径r=,因为平面PAD⊥底面ABCD,所以OO1=AB=2,所以球O的半径R==,所以球O的表面积=4πR2=.故选B．【点评】本题考查球O的表面积,考查学生的计算能力,比较基础.12．【考点】根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】根据题意,可以将原问题转化为方程a+1=x3﹣31nx在区间[,e]上有解,构造函数g（x）=x3﹣31nx,利用导数分析g（x）的最大最小值,可得g（x）的值域,进而分析可得方程a+1=x3﹣31nx在区间[,e]上有解,必有1≤a+1≤e3﹣3,解可得a的取值范围,即可得答案.【解答】解:根据题意,若函数f（x）=﹣x3+1+a（≤x≤e,e是自然对数的底）与g（x）=3lnx的图象上存在关于x轴对称的点,则方程﹣x3+1+a=﹣3lnx在区间[,e]上有解,﹣x3+1+a=﹣3lnx⇔a+1=x3﹣31nx,即方程a+1=x3﹣31nx在区间[,e]上有解,设函数g（x）=x3﹣31nx,其导数g′（x）=3x2﹣=,又由x∈[,e],g′（x）=0在x=1有唯一的极值点,分析可得:当≤x≤1时,g′（x）＜0,g（x）为减函数,当1≤x≤e时,g′（x）＞0,g（x）为增函数,故函数g（x）=x3﹣31nx有最小值g（1）=1,又由g（）=+3,g（e）=e3﹣3;比较可得:g（）＜g（e）,故函数g（x）=x3﹣31nx有最大值g（e）=e3﹣3,故函数g（x）=x3﹣31nx在区间[,e]上的值域为[1,e3﹣3];若方程a+1=x3﹣31nx在区间[,e]上有解,必有1≤a+1≤e3﹣3,则有0≤a≤e3﹣4,即a的取值范围是[0,e3﹣4];故选:A．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围;关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程a ﹣x3=﹣3lnx⇔﹣a=3lnx﹣x3在上有解.二、填空题（共4小题,每小题5分,满分20分）13．【考点】函数的值.【分析】由已知得f（﹣1）=1﹣2﹣1=,从而f[f（﹣1）]=f（）,由此能求出结果.【解答】解:∵函数f（x）=,f（﹣1）=1﹣2﹣1=,f[f（﹣1）]=f（）==.故答案为:.【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.14．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】先求与直线x﹣y+c=0平行的直线l的方程,再求圆心到直线l的距离,进而可求直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=7截得的弦长.【解答】解:设与直线x﹣y+3=0平行的直线l的方程为x﹣y+c=0,∵直线过点（1,0）,∴c=﹣1,∴直线的方程为x﹣y﹣1=0,圆心到直线l的距离为=,∴直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=7截得的弦长为2=4,故答案为4．【点评】本题的考点是直线和圆的方程的应用,主要考查直线方程,考查直线与圆相交时的弦长得计算,关键是求与已知直线平行的直线方程,掌握圆中的弦长的求解方法.15．【考点】数列的应用.【分析】第1关收税金:x;第2关收税金:（1﹣）x=x;第3关收税金:（1﹣﹣）x= x;…,可得第8关收税金.【解答】解:第1关收税金:x;第2关收税金:（1﹣）x=x;第3关收税金:（1﹣﹣）x=x;…,可得第8关收税金:x,即x.故答案为:.【点评】本题考查了数列的通项公式及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.16．【考点】正弦定理.【分析】由已知可得∠A=∠ABD,∠BDC=2∠A,设AD=BD=x,由正弦定理在△BCD中,在△AED中,可得,联立即可解得cosA的值.【解答】解:∵C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂足,DE=2,∴∠A=∠ABD,∠BDC=2∠A,设AD=BD=x,∴在△BCD中,=,可得:,①在△AED中,=,可得:,②∴联立可得:=,解得:cosA=.故答案为:.数列递推式.=,a n=n:S1=2=3=证明CC⊥OA,CC1⊥OB CC1⊥平面从而=由此能求出60,1OA OB O =2)∵AC =1)知,OA=OB 1112OB =⨯11B CC △）根据表中数据计算、求出回归系数、x=80时121i ii ni i x y b x ===-∑∑110 1.5bx -=-将点（,）代入椭圆方程FN:y=﹣﹣13）x﹣2恒成立⇔2lnx﹣ax ）=。

【河南省新乡市第一中学】2017届高三上学期周考(文)数学试卷

河南省新乡市第一中学2017届高三上学期周考（文）数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项1．设集合{}{}1,0,1,|0,A B x x =-=∈>R 则A B =I （）A ．{}1,0-B ．{}1-C ．{}0,1D ．{}12．复数z满足()11z =，则z 等于（） A．1 B ．1 C．122- D．1i 22- 3．若,m n 满足210,nm n +-=则直线30mx y n ++=过定点（）A ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,26⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4．若向量())cos ,sin ,1,a b θθ==-r r 则2a b -r r 的最大值为（） A ．4 B． C ．2 D5．设()()1232e ,2,log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则()()2f 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．设,,a b c 分别是ABC △中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ++=与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是（）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直 7．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若,,,m n αβαβ⊥⊂⊂则m n ⊥B ．若,,,m n αβαβ⊂⊂∥则m n ∥C ．若,,,m n m n αβ⊥⊂⊂则αβ⊥D ．若,,,m m n n αβ⊥∥∥则αβ⊥ 8．直线：:l y x b =+与曲线:c y b 的取值范围是（）A．b << B．1b ≤≤ C．1b ≤< D．1b <9．过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点2,P F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为（）ABC ．12D ．1310．定义12...nn p p p +++为n 个正数12,,...,n p p p 的“均倒数”．若已知正数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111...b b b b b b +++=（） A ．111 B ．112 C ．1011 D ．111211．过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点2,P F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为（）ABC ．12D ．1312．设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，且()30g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（）A ．()()3,03,-+∞UB ．()()3,00,3-UC ．()(),33,-∞-+∞UD ．()(),30,3-∞-U第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知角()π0αα-<<的终边与单位圆交点的横坐标是13，则πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_________． 14．设命题:431p x -≤；命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是_________．15．点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是__________．16．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如上如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）如图，OPQ 是半径为2，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．18．（本小题满分12分）对于数列{}{},,n n n a b S 为数列{}n a 的前n 项和，且()1111,1,n n n S n S a n a b +-+=++==132,n n b b n *+=+∈N（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）令()()21n n n a n c n b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）已知圆()()221:4220C x y -+-=与y 轴交于,O A 两点，圆2C 过,O A 两点，且直线2C O 与圆1C 相切；（1）求圆2C 的方程；（2）若圆2C 上一动点M ，直线MO 与圆1C 的另一交点为N ，在平面内是否存在定点P 使得PM PN =始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．20．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，1190,,2ACB AC BC AA ∠===o D 是棱1AA 的中点．（Ⅰ）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ．（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积比．21．（本小题满分12分）已知椭圆()222:10,x y C a b a b2+=>>一个顶点为()2,0A ，离心率为2，直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN △的面积为9时，求k 的值． 22．（本小题满分10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0πα<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．。

河南省新乡市2017届高三第二次模拟测试数学(文)试题(含答案)

新乡市高三第二次模拟测试数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}{}2|20,|1A x x x B x Z x =-==∈≤，则A B 等于 A. {}2,1,0,1-- B. {}1,0,1,2- C. []2,2- D.{}0,22.设a R ∈，复数3a i z i-=+（i 是虚数单位）的实部为2，则a 的值为 A. 7 B. 7- C. 5 D.5-3.若向量()()1,2,,3a b m =-=- ，若a b ⊥ ，则实数m 等于 A.2或 -3 B. -2或3 C. 35D. 3 4.已知实数,x y 满足2040440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则21y x ++的最大值为 A. 3 B. 13 C. 2 D.525.执行如图所示的程序框图输出S 的值为 A. 3115- B. 75- C. 3117- D. 2117- 6.点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支上一点，其左、右焦点分别为12,F F ，直线1PF 与以原点O 为圆心,a 为半径的圆相切于A 点，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则112OF AAF F S S ∆∆的值为 A. 17 B.29 C. 16 D.187.已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2,所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A. 100,8B. 80,20C. 100,20D.80,88.若1cos 85πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则3cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为A.78-B. 78C. 2325-D.23259.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 6B. 8C. 12D. 1010. 设函数()9sin 20,48f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，若方程()f x a =恰好有三个根，分别为123,,x x x ()123x x x <<，则1232x x x ++的值是A.πB. 34πC. 32πD. 54π 11.已知四棱锥的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD ，PAD ∆为正三角形，24AB AD ==,则球O 的表面积为 A.563π B. 643π C. 24π D.803π 12.已知函数()31f x x a =-++（1,x e e e ≤≤是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是A. 20,4e ⎡⎤-⎣⎦B. 210,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ C. 2212,4e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ D.)24,e ⎡-+∞⎣第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()1212,0,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦ .14.过点()1,0且与直线30x +=平行的直线l 被圆()(2267x y -+=所截得的弦长为 .15. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并无关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出关，第一关收税金12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，五关所收税金之和，恰好重1斤.问原本持金多少？”改为“假设这个人原本持金x ，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为 x .16.在ABC ∆中， 3C π=,点D 在边AC 上，,AD DB DE AB =⊥,E为垂足，若DE =cos A = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）在数列{}n a 中，{}11,2n a a =的前n 项和n S 满足()111.2n n n S S n N +*+⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭（1）求数列{}n b 的通项公式n b 以及n S ；（2）若()121323,,S S S S m S S +++成等差数列，求实数m 的值.18.（本题满分12分）如图，在三棱柱111A B C ABC -中，侧面11ACC A 与侧面11CBBC都是菱形，11160,2A C C C CB A C ∠=∠== （1）求证：11AB CC ⊥；（2）若11AB D = 为11AC 上的点，且三棱锥111C B C D -1111A D C D 的值.19.（本题满分12分）在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没有什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：（1）求数学成绩y 关于物理成绩x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+（精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；（2）要从抽取的这5位同学中随机抽取三位参加一项知识竞赛，，求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点⎝⎭O 为坐标原点（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过椭圆E 的左焦点F 任作一条不垂直于坐标轴的直线l ，交椭圆E 于,P Q 两点，记弦PQ 的中点为M ,过F 作PQ 的垂线FN 交直线OM 于点N ,证明N 在一条定直线上.21.（本题满分12分）已知函数()22ln 311.f x x x x =--（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若关于x 的不等式()()()232132f x a x a x ≤-+--恒成立，求整数a 的最小值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

【河南省新乡一中】2017届高三(上)第一次月考数学(文科)试卷.

河南省新乡一中2017届高三（上）第一次月考数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2A {|20}x x x ∈-R ＝+≤，2B {|0}1x x x -+＝≤，则A B I =（） A ．[1,1]-B ．(1,1)-C ．[)1,1-D ．(]1,1-2．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知向量(1,2)a =r ，(1,0)b =r ，(3,4)c =r 。

若λ为实数，()a b c λ+r r r∥，则λ=（）A ．14B ．12C ．1D ．24．已知命题:()a (a 0x p f x =>且1)a ≠是单调增函数：命题π5π:(,)44q x ∀∈ ，sin cos x x >，则下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．p q ⌝⌝∧D ．p q ⌝∧5．设函数()log |1|a f x x =-在(,1)-∞上单调递增，则(2)f a +与(3)f 的大小关系是（） A ．(2)(3)f a f +>B ．(2)(3)f a f +<C ．(2)(3)f a f +=D ．不能确定6．设曲线21y x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为（）A ．B ．C ．D ．7．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)︒-︒，则2cos α的值为（）A ．12+B ．12 C ． D ．0 8．已知函数π()cos()3f x x =+，则要得到其导函数'()y f x =的图像，只需将函数()y f x =的图像（）A ．向右平移π2个单位B ．向左平移π2个单位C ．向右平移2π3个单位 D ．向左平移2π3个单位 9．定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)(x)f x f -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f <<C ．(64)(49)(81)f f f <<D ．(64)(81)(49)f f f <<10.已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{}n a 的前三项，则能使不等式1212111......n na a a a a a ++++++≤成立的自然数n 的最大值为（） A ．5B ．7C ．8D ．911．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120aBC bCA cAB ++=u u u r u u u r u u u r r，则H 到AB 边的距离为（） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知()(2)e (a 0)x b g x ax a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得'00()()0g x g x +=，则b a 的取值范围是（）A ．(1,)-+∞B ．(1,0)-C ．(2,)-+∞D ．(2,0)-二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数2()cos sin f x x x =+ ，π(,π)6x ∈的值域是_________．14．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是_________．15．已知数列{}n a 中，11a =，函数3212()3432n n a f x x x a x -=-+-+在1x =处取得极值，则n a =_________． 16．在ABC △中，90C ∠=︒，2BC =，M 为BC 的中点，1sin BAM 3∠=，则AC 的长为_________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{b }n 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和．18．中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众，先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的40名学生参加，各大学邀请的学生如表所示：大学甲乙丙丁人数812812从这40名学生中按分层抽样的方式抽取10名学生在第一排发言席就座。

河南省新乡市第一中学2017届高三上学期周考(10.23)数学(文)试题Word版含答案

新乡一中高三第八次周周练数学（文）试卷命题人：靳军审题人：郭杰一．选择题1．集合 A={x ∈N|x ≤6}，B={x ∈R|x 2-4x ＞0}，则A ∩B （）A ．{}0,5,6B ．{}5,6 C ．{}4,6 D ．{}|46x x <≤ 2．下列命题中真命题是（）A ．a b >”是22a b >的充分条件B ．a b >是22a b >的必要条件C ．a b > 是22ac bc >的必要条件D ．a b >是“a b >”的充分条件3．《九章算术》有这样一个问题：今有子女善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（）A ．6B ．9C ．12D ．154．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则z iz i +=（） A ．-2 B ．2i - C ．2 D ．2i5．若O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆一定是（）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6 ）A sin 2cos 2+B cos 2sin 2-C sin 2cos 2--D sin 2cos 2-7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知b c =，222(1sin )a b A =-，则A =（）A ．34π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③ 9．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（） A.12 B.23 C.34 D.4510．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-11.设函数[],0()(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[1.2]1=，[1]1=.若直线(0)y kx k k=+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是（）A ．11(,]43B ．1(0,]4C ．11[,]43D ．11[,)43 12．设直线1l ，2l 分别是函数ln ,01,()ln ,1,x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ∆的面积的取值范围是（）A ．（0,1）B ．（0,2）C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞二.填空题13．等比数列{n a }的前n 项和为Sn ，若3230S S +=，则公比q=_______.14．曲线y=x(3lnx+1)在点)1,1(处的切线方程为________．15．设,x y 满足约束条件 13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______． 16．设函数()()21,x x x f x g x x e+==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是新乡一中高三第八次周周练数学（文）答题卷班级 ___________姓名 ___________座号___________二．13、___________．14、_____________________．15、___________．16、___________．三．解答题(17题10分，其余各题12分)17．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =， 55S =-。

河南省新乡市第一中学高三上学期周考(文)数学试卷有答案

河南省新乡市第一中学2017届高三上学期周考（文）数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 1．设集合{}{}1,0,1,|0,A B x x =-=∈>R 则A B =（）A ．{}1,0-B ．{}1-C ．{}0,1D ．{}12．复数z满足()11z =，则z 等于（）A．1 B ．1 C．12 D1i 23．若,m n 满足210,nm n +-=则直线30mx y n ++=过定点（）A ．11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,26⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,62⎛⎫- ⎪⎝⎭4．若向量()()cos ,sin ,3,1,a b θθ==-则2a b -的最大值为（）A ．4B ．C ．2D5．设()()1232e ,2,log 1,2x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则()()2f 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．设,,a b c 分别是ABC △中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ++=与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是（） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直7．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若,,,m n αβαβ⊥⊂⊂则m n ⊥ B ．若,,,m n αβαβ⊂⊂∥则m n ∥ C ．若,,,m n m n αβ⊥⊂⊂则αβ⊥D ．若,,,m m n n αβ⊥∥∥则αβ⊥8．直线：:l y x b =+与曲线:cy b的取值范围是（） A ．b<< B．1b ≤≤ C ．1b ≤<D ．1b <9．过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点2,P F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（）ABC ．12D ．1310．定义12...nnp p p +++为n 个正数12,,...,n p p p 的“均倒数”．若已知正数数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111...b b b b b b +++=（） A ．111B ．112C ．1011D ．111211．过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点2,P F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（）ABC ．12D ．1312．设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>，且()30g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（）A ．()()3,03,-+∞B ．()()3,00,3-C ．()(),33,-∞-+∞D ．()(),30,3-∞-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知角()π0αα-<<的终边与单位圆交点的横坐标是13，则πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_________．14．设命题:431p x -≤；命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是_________．15．点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是__________．16．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如上如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）如图，OPQ 是半径为2，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．18．（本小题满分12分）对于数列{}{},,n n n a b S 为数列{}n a 的前n 项和，且()1111,1,n n n S n S a n a b +-+=++==132,n n b b n *+=+∈N（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）令()()21n n n a n c n b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）已知圆()()221:4220C x y -+-=与y 轴交于,O A 两点，圆2C 过,O A 两点，且直线2C O 与圆1C 相切；（1）求圆2C 的方程；（2）若圆2C 上一动点M ，直线MO 与圆1C 的另一交点为N ，在平面内是否存在定点P 使得PM PN =始终成立，若存在求出定点坐标，若不存在，说明理由．20．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，1190,,2ACB AC BC AA ∠===D 是棱1AA 的中点．（Ⅰ）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ．（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积比．21．（本小题满分12分）已知椭圆()222:10,x y C a b a b 2+=>>一个顶点为()2,0A ，直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN △时，求k 的值． 22．（本小题满分10分）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0πα<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．河南省新乡市第一中学2017届高三上学期周考（文）数学试卷答案1~5．DCBAC 6~10．ADCBC 11~12．BD13 14．102a ≤≤15．16．1.617．（1）11sin sin 22POC QOC S S S OP OC POC OQ OC QOC =+=∙∙∠+∙∙∠△△ππ2sin 2sin 0,33θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）π2sin 2sin 3S θθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2sin sin sin θθθθθ=+-=12sin 2θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ππ2sin 0,33θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故当且仅当ππ32θ+=，即π6θ=时，S 最大，且最大值为218．（1）()11,n n n S n S a n +-+=++∴121,n n a a n +=++∴()()212111...n n n a a a a a a n -+=-++-+= ∴2n a n =132,n n b b +=+ ∴()1131n n b b ++=+∴{}1n b +为等比数列且112b +=，公比为3 ∴1123n n b -+=∙得1231n n b -=∙-（2）()2110121212341,...2333333n nn n n n n n n c T n ---+-+==∴=++++∙① 则0012233413...3333n n n T -∙+=++++② 12211111115253261 (6133322313)n n n n n T ----+⎛⎫=+++++=+=- ⎪∙⎝⎭- 所以11525443n n n T -+=-∙． 19．（1）()()0,0,0,4,O A设222:0,C x y Dx Ey F ++++=得0,4F E ==-因此221,2,2,2D C C O C O D ⎛⎫-⊥∴= ⎪⎝⎭得222:240C x y x y ++-=（2）存在，设MN 直线方程为,y kx =分别与12,C C 联立2222,240840y kx y kxx y x y x y x y ==⎧⎧⎨⎨++-=+--=⎩⎩22222241424848,,,1111k k k k k k M N k k k k ⎛⎫⎛⎫--++∴ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，中点2224343,11k k k H k k ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭，中垂线方程为：2224314311k k k y x k k k ++⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭，化简为：()134y x k=--+恒过定点()3,4即为所求点P ． 20．（I ）易证得1DC ⊥平面,再由面面垂直的判定定理即可证得平面1BDC ⊥平面；（II ）设棱锥1B DACC -的体积为1,AC 1V =,易求得112V =，三棱术111ABC A B C -的体积为1V =,于是得()1:1:1V V V -=,从而可得答案（1）11,,,BC CC BC AC CC AC C ⊥⊥=BC ∴⊥平面11ACC A 又1DC ⊂平面11,ACC A1DC BC ∴⊥1145,A DC ADC ∠=∠=190,CDC ∴∠=即1DC DC ⊥，又,DCBC C =1DC ∴⊥平面,BDC 又1DC ⊂平面1,BDC ∴平面1BDC ⊥平面BDC（2）设棱锥1B DACC -的体积为11,,V AC =由题意得1112111322V ⨯=⨯⨯⨯=又三棱柱111ABC A B C -的体积1,V =()111:,:1V V V ∴-=∴平面1BDC 分此棱柱两部分体积的比为1:1．21．（1）由22222,c a a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩得b =椭圆C 方程为22142x y +=（2）由()221,142y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222124240k x k x k +-+-=设点,M N 坐标为()()1122,,,,x y x yBDC BDC则()()2211221212224241,1,,1212k k y k x y k x x x x x k k -=-=-+==++所以MN ===又因为点()2,0A 到直线()1y k x =-的距离d =所以AMN △的面积为12S MN d ==9=解得2k =± 22．（1）由()22sin 4cos sin 4cos ρθθρθρθ=⇒=⇒曲线C 的直角坐标方程为24y x = （2）将直线l 的参数方程代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-，1224sin AB t t α∴=-==当π2α=时，AB 的最小值为4．河南省新乡市第一中学2017届高三上学期周考（文）数学试卷解析1．【解析】试题分析：,故选D 2．3．【解析】试题分析：，,当时,，,故直线过定点.故选B. 4．5．【解析】试题分析：,故选C6．【解析】试题分析：,所以两直线垂直, 故选A. 7．【解析】试题分析：，,故选D8．{}1A B ⋂=210,21m n m n +-=∴+=30,()30mx y n mx n y ++=∴++=12x =1122m n +=113,26y y ∴=-∴=-11(,)26-2113(2)log (21)1,((2))(1)22f f f f e -=-=∴===sin (sin )2(sin sin sin sin )0b A a B R A B A B +-=-=m α⊥,,m n n α∴⊥∥,n βαβ∴⊥∥9．【解析】试题分析：在中,，.选B 10．11．【解析】试题分析：设,故选B. 12．12Rt PF F∆0121212122,60,,,233F F c FPF PF PF c PF PF a =∠=∴==+=2,333c c c a a ∴+=∴=001212121212,2(),90,60,,FF c PF PF a a cPF F F PF PF =+=>∠=∠=∴=2,2,c PF a e a =+=∴=∴=13．【解析】试题分析：由题意得. 14．【解析】试题分析：.因为是的必要而不充分条件，是的必要不充分条件,.15．16．【解析】试题分析：该几何体如图所示.左侧是底面直径为,高为的圆柱,右侧为邻边长为.由题意可得.17．【解析】试题分析：（1）四边形的面积可以看成是和的面积之和．因为，则，根据三角形的面积公式即可得出；（2）对（1）得到的式子进行化简，利用辅助角公式得：，根据，得时，最大，且最大值1cos ,0,sin cos()sin 3323παπαααα=-<<∴=-∴+=-=21:431,1;:(21)(1)0,12p x x q x a x a a a x a -≤∴≤≤-+++≤∴≤≤+p ⌝q ⌝q ∴p 11,02211a a a ⎧≤⎪∴∴≤≤⎨⎪+≥⎩1x 3,1,5.4x -21()31(5.4)12.6, 1.62x x x π⨯⨯+⨯⨯-=∴=POC ∆QOC ∆COP θ∠=3QOC πθ∠=-2sin 2sin 0,33S ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 3S πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭6πθ=S为。

河南省新乡市第一中学高三数学上学期周考试题(11.13)文

河南省新乡市第一中学2017届高三数学上学期周考试题（11.13）文新乡市一中2017届高三第十一次周考（文）命题人：宋卫红审题人：肖乐乐1．已知集合，，则集合中的元素个数为( )（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 答案：C 2. 若复数，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（）（A ）i （B ）1 （C ）−1 （D ）−i 答案：B3. 在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋＝tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.3π B.32π C.6πD.4π答案：A4．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积的最大值为（）A ．B ．4C ．D ．答案：C由三视图知该几何体为棱锥S-ABD ，其中SC ⊥平面ABCD ；四面体S-ABD 的四个面中SBD 面的面积最大，三角形SBD 是边长为2的等边三角形，5. 若非零向量a ，b 满足|a |＝32|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.4πB.2πC.43πD ．π 答案：A6．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A ．B ．C ．D ．答案：C 7．已知函数是偶函数，当时，，则曲线在点处切线的斜率为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 答案：B 由于函数是偶函数，当时，，进而可得当时，从而曲线在点处切线的斜率为，故选B.8．在矩形中，，，点为矩形内一点，则使得的概率为（）A． B． C． D．答案：D建立如所示的平面直角坐标系,设,则，,故,故由题设可得,即点满足的条件是,画出其图象可知点所在的区域的面积,即为四边形的面积,故其概率为,应选D．9．已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，若，则的取值范围是（）A． B．C． D．答案：C由题设可得，是在上的奇函数，且在上是增函数,在上是增函数，可化为，即，则，即，故应选C．10．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，则的值为（）A． B． C． D．答案．B由题意得，在中，由正弦定理得，，又因为,结合这两个条件得，,由余弦定理可得，,，则综合选B．11. 如图，在直三棱柱中，，过的中点作平面的垂线，交平面于，则点到平面的距离为（）A． B．C ．D ．答案：C12.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）（A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年答案．B试题分析：设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B. 13.函数f (x )＝sin 3π的单调减区间为________． π5，k ∈Z14.若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．答案 29∪，39∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－29. 当k ＝－29时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为29∪，39.15．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. 答案 2n －1，n ≥2.2，n ＝1，解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝2n －1，n ≥2.2，n ＝1，16.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解：在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得sin ∠BAC BC＝sin ∠ACB AB ，即sin30°BC ＝sin45°600，所以BC ＝300.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝300·tan30°＝100.17.如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sinC sinB ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．解 (1)S △ABD ＝21AB ·AD sin ∠BAD ， S △ADC ＝21AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sinC sinB ＝AB AC ＝21.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.18.在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n 2＝a n 21. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝2n ＋1Sn，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S n 2＝a n 21，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S n 2＝(S n －S n －1)21，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得Sn 1－Sn －11＝2， ∴数列Sn 1是首项为S11＝a11＝1，公差为2的等差数列． ∴Sn 1＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝2n －11. (2)∵b n ＝2n ＋1Sn ＝(2n －1(2n ＋11＝212n ＋11，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝21[(1－31)＋(31－51)＋…＋(2n －11－2n ＋11)]＝212n ＋11＝2n ＋1n19. 如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．（1）求证：∥平面;（2）求证：;（3）求点到平面的距离.（1）证明：取中点，连结．在△中，分别为的中点，所以∥，且．由已知∥，，所以∥，且． 3分所以四边形为平行四边形．所以∥． 4分又因为平面，且平面，所以∥平面． 5分（2）在正方形中，．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以． 7分在直角梯形中，，，可得．在△中，，所以．所以． 8分所以平面． 10分（3）解法一：因为平面，所以平面平面． 11分过点作的垂线交于点，则平面所以点到平面的距离等于线段的长度 12分在直角三角形中，所以所以点到平面的距离等于. 14分解法二：平面,所以所以12分又，设点到平面的距离为则，所以所以点到平面的距离等于. 14分20.已知椭圆，过椭圆右顶点和上顶点的直线与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆的上顶点，过点分别作直线交椭圆于两点，设这两条直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点．解析：（1）∵直线过点和，∴直线方程为，∵直线与圆相切，∴，解得，∴椭圆的方程为（2）当直线的斜率不存在时，设，则，由得，得当直线的斜率存在时，设的方程为，，得，，即，由，，即，故直线过定点．考点：1.椭圆；2.直线与圆锥曲线的位置关系. 21. 已知函数f (x )＝ln x ＋x 1－1. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m ∈R ，对任意的a ∈(－1,1)，总存在x 0∈[1，e]，使得不等式ma －f (x 0)<0成立，求实数m 的取值范围．解 f ′(x )＝x 1－x21＝x2x －1，x >0. 令f ′(x )>0，得x >1，因此函数f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)．令f ′(x )<0，得0<x <1，因此函数f (x )的单调递减区间是(0,1)．综上，f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)依题意，ma <f (x )max .由(1)知，f (x )在x ∈[1，e]上是增函数． ∴f (x )max ＝f (e)＝ln e ＋e 1－1＝e 1.∴ma <e 1，即ma －e 1<0对于任意的a ∈(－1,1)恒成立． ∴≤0，1解得－e 1≤m ≤e 1.∴m 的取值范围是[－e 1，e 1]． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中, 直线经过点,倾斜角．（1）写出曲线直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设与曲线相交于两点, 求的值．22．（1），为参数）；（2）．【解析】试题分析：（1）曲线化为:,利用可得直角坐标方程，直线经过点,倾斜角可得直线的参数方程；（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理及直线参数方程的几何意义可求得的值．试题解析：（1）曲线化为:, 再化为直角坐标方程为,化为标准方程是,直线的参数方程为,即为参数）．（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程,得 ,整理得:,,则,所以．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、直线参数方程的几何意义的应用．。

河南省新乡市第一中学2017届高三上学期周考(9.18)文数试题Word版含解析

一、选择题1．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是（） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥ 【答案】D 【解析】试题分析：∵A B ⊆，∴2a ≥．故选D ．考点：集合的包含关系．2. 函数2(44)xy a a a =-+是指数函数，则a 的值是（） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1 【答案】C 【解析】考点：指数函数的概念．3. 若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（） A ．若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥B ．若,//m m n αγ=，则//αβC ．若,//m m βα⊥，则αβ⊥D ．若,αγαβ⊥⊥，则βγ⊥ 【答案】C 【解析】试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A 不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B 不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D 不正确；根据面面垂直的判定定理知C 正确．故选C ．考点：空间直线、平面间的位置关系． 4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95SS =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：199515539()9215()52a a S a a a S a +===+．故选A ．考点：等差数列的前n 项和．5. ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，OA AB AC ++为零向量，且||||OA AB =，则CA 在BC 方向上的投影为（）A ．-3 B．．3 D【答案】B 【解析】考点：向量的投影．6. 已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是（）A ．9[,6]5 B ．9(,][6,)5-∞+∞ C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6] 【答案】A 【解析】试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），yx表示点(,)x y 与原点连线的斜率，易得59(,)22A ，(1,6)B ，992552OAk ==，661OB k ==，所以965y x ≤≤．故选A ．考点：简单的线性规划的非线性应用．7. 已知曲线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，且20FP FQ +=，则OPQ ∆的面积等于（）A ．．．2 D ．4【答案】C 【解析】∴1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y -+-=， ∴1220y y +=③，联立①②③可得218m =，∴12y y -==∴12122S OF y y =-=．（由1212420y y y y =-⎧⎨+=⎩，得12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩考点：抛物线的性质．8. 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则k 的值是（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2 【答案】B 【解析】考点：向量共线定理．9.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（） A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=【答案】D 【解析】试题分析：由已知()2sin()6f x x πω=+，T π=，所以22πωπ==，则()s i n (2)6f x x π=+，令 2,62x k k Z πππ+=+∈，得,26k x k Z ππ=+∈，可知D 正确．故选D ．考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性．10. 函数sin()y A x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（） A ．2sin(2)3y x π=+B ．22sin(2)3y x π=+C ．2sin()23x y π=-D ．2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质． 11. 已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度【答案】A 【解析】试题分析：由()f x 的最小正周期是π，得2ω=，即()sin(2)4f x x π=+sin 2()8x π=+，因此它的图象可由()sin 2g x x =的图象向左平移8π个单位得到．故选A ．考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．【名师点睛】三角函数图象变换方法：12. 函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，b f =，2(log 8)c f =，则（）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b << 【答案】C 【解析】考点：函数的对称性，导数与单调性．【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数()f x 满足：()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-，则其图象关于直线x a =对称，如满足(2)2()f m x n f x -=-，则其图象关于点(,)m n 对称．二、填空题13. 已知tan()3αβ+=，tan()24πα+=，那么tan β= .【答案】43【解析】试题分析：由1tan tan()241tan πααα++==-得1tan 3α=，tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=++134313133-==+⨯．考点：两角和与差的正切公式． 14. 已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 【答案】12-考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．15. 三角形ABC中，2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .【答案】【解析】试题分析：因为ABC ∆中，2,60AB BC C ===︒2sin A =，1sin 2A =，又BC AB <，即A C <，所以30C =︒，∴90B =︒，AB BC ⊥，12ABCS AB BC ∆=⨯⨯= 考点：正弦定理，三角形的面积．【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式1sin 2ab C ，12ah ，1()2a b c r ++，4abc R 等等． 16. 已知两个单位向量,a b 满足：12a b ∙=-，向量2a b -与b 的夹角为θ，则cos θ= .【答案】考点：向量的夹角．【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法（1）求平面向量的数量积有三种方法：一是定义cos a b a b θ⋅=；二是坐标运算公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义．（2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简．三、解答题17. （本小题满分12分）数列{}n b 满足：122n n b b +=+，1n n n b a a +=-，且122,4a a ==. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）122n n b +=-；（2）222(4)n n S n n +=-++．【解析】试题分析：（1）已知递推公式122n n b b +=+，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比数列的通项公式可得n b ，变形形式为12()n n b x b x ++=+；（2）由（1）可知122(2)n n n n a a b n --==-≥，这是数列{}n a 的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+211()a a a +-+求得．试题解析：（1）112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+，∵1222n n b b ++=+，又121224b a a +=-+=，∴2312(21)(2222)22222221n nn n a n n n +-=++++-+=-+=--.∴224(12)(22)2(4)122n n n n n S n n +-+=-=-++-. 考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和．累加法求通项公式． 18. （本小题满分12分）已知向量,a b 满足：||1a =，||6b =，()2a b a ∙-=. （1）求向量a 与b 的夹角；（2）求|2|a b -. 【答案】（1）3π；（2）【解析】试题分析：（1）要求向量,a b 的夹角，只要求得这两向量的数量积a b ⋅，而由已知()2a b a ∙-=，结合数量积的运算法则可得a b ⋅，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式22a a =，把考点：向量的数量积，向量的夹角与模．【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式cos ,a b a b a b⋅<>=求得这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在[0,]π内及余弦值求出两向量的夹角． 19. （本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，(sin ,5sin 5sin )m B A C =+，(5sin 6sin ,sin sin )n B C C A =--垂直.（1）求sin A 的值；（2）若a =ABC ∆的面积S 的最大值. 【答案】（1）45；（2）4．【解析】试题分析：（1）由向量垂直知两向量的数量积为0，利用数量积的坐标运算公式可得关于sin ,sin ,sin A B C 的等式，从而可借助正弦定理化为边的关系，最后再余弦定理求得cos A ，由同角关系得sin A ；（2）由于已知边a 及角A ，因此在（1）中等式22265bcb c a +-=中由基本不等式可求得10bc ≤，从而由公式 1sin 2S bc A =可得面积的最大值．试题解析：（1）∵(sin ,5sin 5sin )m B A C =+，(5sin 6sin ,sin sin )n B C C A =--垂直，∴2225sin 6sin sin 5sin 5sin 0m n B B C C A ∙=-+-=，考点：向量的数量积，正弦定理，余弦定理，基本不等式．20. （本小题满分12分）已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈.（1）若//a b ，求||a b -；（2）若a 与b 夹角为锐角，求x 的取值范围.【答案】（1）2或（2）(1,0)(0,3)-．【解析】试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数x ，由坐标运算可得两向量的模，由于x 有两解，因此模有两个值；（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不共线，由此可得x 范围．试题解析：（1）由//a b ，得0x =或2x =-，当0x =时，(2,0)a b -=-，||2a b -=，当2x =-时，(2,4)a b -=-，||25a b -=.（2）a 与b 夹角为锐角，0a b ∙>，2230x x -++>，13x -<<，又因为0x =时，//a b ，所以x 的取值范围是(1,0)(0,3)-.考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=可得向量的夹角公式，当θ为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0θ>时，θ可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是0a b a b ⋅>且,a b 不同向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是0a b a b ⋅<且,a b 不反向．21. （本小题满分12分）已知函数ln ()a x f x x+=()a R ∈. （1）若4a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间2(0,]e 上有公共点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）370x y +-=；（2）1a ≥.【解析】试题解析：（1）∵4a =，∴ln 4()x f x x +=且(1)4f =. 又∵'''22(ln 4)(ln 4)3ln ()x x x x x f x x x +-+--==， ∴'23ln1(1)31f --==-.∴()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：43(1)y x -=--，即370x y +-=.（2）'''222(ln )(ln )1ln 1ln ()x a x x a x x a a x f x x x x +-+----===，（ⅰ）当12a e e -<，即1a >-时，由()f x 在1(0,)a e-上是增函数，在12(,]a e e -上是减函数， ∴当1a x e -=时，()f x 取得最大值，即1max ()a f x e -=.又当a x e -=时，()0f x =，当(0,]ax e -∈时，()0f x <，当2(,]a x e e -∈时，1()(0,]a f x e -∈，考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值．22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点12,F F 为其左、右焦点，直线l 的参数方程为222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）.（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求点12,F F 到直线l 的距离之和.【答案】（1）直线l 的普通方程为2y x =-，曲线C 的普通方程为22143x y +=；（2）．【解析】试题分析：（1）由公式cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．。