高考数学一轮复习第六章数列层级快练37文

层级快练(三十七)

1．数列{1＋2

n －1

}的前n 项和为( )

A ．1＋2n

B ．2＋2n

C ．n ＋2n

－1 D ．n ＋2＋2n

答案 C

2．数列{(－1)n

(2n －1)}的前2 018项和S 2 018等于( ) A ．－2 016 B ．2 018 C ．－2 015 D ．2 015

答案 B

解析 S 2 018＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 017－1)＋(2×2 018－1)＝2＋2＋…＋2,1 009个2相加＝2 018.故选B.

3．在数列{a n }中，已知对任意n∈N *

，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n

－1，则a 12

＋a 22

＋a 32

＋…＋a n 2

等于( ) A ．(3n

－1)2

B.12(9n

－1) C ．9n －1 D.14

(3n

－1) 答案 B

解析 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n

－1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1

－1(n≥2)．则n≥2时，a n

＝2·3

n －1

.

当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2·3

n －1

(n∈N *

)．

则数列{a n 2

}是首项为4，公比为9的等比数列，故选B.

4．数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2

＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为( ) A.13 B.5

12 C.12 D.712

答案 B

解析 b n ＝1a n ＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1

n ＋2，

S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10

＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512

.

5．在数列{a n }中，a n ＝2n

＋1，则1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝( )

A ．1＋1

2n

B ．1－2n

C ．1－1

2n

D ．1＋2n

答案 C

6．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n

－12n ，其前n 项和S n ＝321

64，则项数n 等于( )

A ．13

B ．10

C ．9

D ．6

答案 D

解析 ∵a n ＝2n

－12n ＝1－12n ，∴S n ＝n －(12＋122＋…＋12n )＝n －1＋1

2n .

而32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋1

64.∴n ＝6. 7．已知等差数列{a n }的公差为d ，且a n ≠0，d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1

可化简为( ) A.nd

a 1（a 1＋nd ）

B.n

a 1（a 1＋nd ）

C.

d

a 1（a 1＋nd ）

D.

n ＋1

a 1[a 1＋（n ＋1）d]

答案 B

解析 ∵1a n a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)，∴原式＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1

a n ＋1)

＝1d (1a 1－1a n ＋1)＝n

a 1·a n ＋1

，选B. 8．(2017·衡水中学调研卷)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝252，则数列{a n

2n }

的前n 项和为( ) A ．1－n ＋2

2n ＋1

B ．2－n ＋42n ＋1

C ．2－n ＋42n

D ．2－n ＋22

n ＋1

答案 B

解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋

n （n －1）2d ，因为S 3＝6，S 5＝25

2，所以

⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，5a 1＋10d ＝252，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝3

2，d ＝12

，所以a n ＝12n ＋1，a n 2n ＝n ＋22n ＋1，设数列{a n

2n }的前n 项和为T n ，则T n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12T n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两项相减得12T n ＝3

4＋

(123＋124＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2，所以T n ＝2－n ＋42n ＋1. 9．S n ＝122－1＋142－1＋…＋1（2n ）2

－1＝________． 答案

n

2n ＋1

解析 通项a n ＝1（2n ）2

－1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)，∴S n ＝12(1－13＋13－1

5

＋…＋

12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1

. 10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2

－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________．

答案 ⎩

⎪⎨⎪⎧6n －n 2

（1≤n≤3），n 2－6n ＋18 （n>3）

解析 由S n ＝n 2

－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7. ∴n ≤3时，a n <0；n>3时，a n >0.

∴T n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧6n －n 2

（1≤n≤3），n 2－6n ＋18 （n>3）.

11．(2017·衡水中学调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n∈N *

)，则S 2 016＝________． 答案 3×2

1 008

－3

解析 依题意，得a n ＋1·a n ＝2n

，a n ＋1·a n ＋2＝2

n ＋1

，则a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝2，即a n ＋2

a n

＝2，

所以数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…是以a 1＝1为首项，2为公比的等比数列；数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…是以a 2＝2为首项，2为公比的等比数列，则

S 2 016＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016)＝1－21 008

1－2＋2（1－21 008

）1－2＝3×2

1 008

－3.

12．(2018·深圳调研二)数列{a n }是公差为d(d≠0)的等差数列，S n 为其前n 项和，a 1，a 2，a 5成等比数列．

(1)证明：S 1，S 3，S 9成等比数列；

(2)设a 1＝1，b n ＝a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .