1.4数值计算中的若干原则
数字的四则运算法则
数字的四则运算法则数学是一门基础学科，其中四则运算是最基本的运算方式。
四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
它们具有一定的规则和法则，下面将详细介绍数字的四则运算法则。
一、加法法则加法是将两个或多个数值相加得到一个总和的运算。
在加法运算中，有以下几个法则：1. 结合律：对于任意三个数a、b和c，无论先加哪两个数再加第三个数，其结果都是一样的。
即：(a + b) + c = a + (b + c)例如，对于数值3、4和5，无论是首先计算(3+4)+5，还是先计算3+(4+5)，结果都是12。
2. 交换律：对于任意两个数a和b，交换两个数的位置不影响加法的结果。
即：a + b = b + a例如，对于数值2和6，2+6的结果和6+2的结果都是8。
3. 零元素：任意数与0相加，结果为该数本身。
即：a + 0 = a例如，对于任意数值a，a+0的结果都是a。
二、减法法则减法是将一个数值从另一个数值中减去，得到差值的运算。
在减法运算中，有以下几个法则：1. 减去一个数等于加上它的相反数：即：a - b = a + (-b)例如，对于数值8和3，8-3的结果等于8+(-3)的结果。
2. 减法不满足交换律：即：a - b ≠ b - a例如，对于数值5和2，5-2的结果不等于2-5的结果。
三、乘法法则乘法是将两个数相乘得到一个积的运算。
在乘法运算中，有以下几个法则：1. 结合律：对于任意三个数a、b和c，无论先乘哪两个数再乘第三个数，其结果都是一样的。
即：(a * b) * c = a * (b * c)例如，对于数值2、3和4，无论是首先计算(2*3)*4，还是先计算2*(3*4)，结果都是24。
2. 交换律：对于任意两个数a和b，交换两个数的位置不影响乘法的结果。
即：a * b = b * a例如，对于数值3和7，3*7的结果和7*3的结果都是21。
3. 单位元素：任意数与1相乘，结果为该数本身。
即：a * 1 = a例如，对于任意数值a，a*1的结果都是a。
1.4数值计算中的若干原则
则只要做8次乘法即可.
例1.4.3
计算n次多项式 pn ( x) an x n an1x n1
i 若直接计算 a x 再逐项相加，则需做 【解 】 i n(n 1) n (n 1) 2 1 2
例1.4.1
求一元二次方程
x 2 (106 1) x 106 0
的根. 利用因式分解可知方程的两个根为x1 106 , x2 1.
若用六位十进制计算机进行编程计算，求根公式为
x1, 2
b b2 4ac ， 2a
其中 b 106 1 0.1 107 0.0000001 107. 由于该计算机只能 保留小数点后6位，所以0.0000001 107 在计算中将会当作 0.000000 107 处理（即不起作用），于是 b 0.1 107 106
计算积分I n x ne x1 dx，并估计误差.
0
1
【解】 由分部积分法有
In x e
n x 1 1 0
n x e
0
1
n 1 x 1
dx 1 n x n1e x 1 dx
0
1
于是得到计算I n的递推公式 I n 1 n I n1 , 1 x 1 1 I e d x 1 e . 0 0
类似地，有 b 2 4ac b 2 , b 2 4ac b
_ _
故求得的两根为 x1 10 , x 2 0.
6
出现以上结果的原因是计算机在计算时大数“吃掉”小数所 致. 为避免上述现象的发生，可将计算公式做适当处理，如取
b sign(b) b 2 4ac x1 , 2a c c ， 在计算另一根x2时利用关系式 x1 x2 得 x2 ax1 a 这时可求得 x1 106 , x2 1.
数值分析随堂测试-山东大学
2.14 条件数的定义及计算
（单选）设 M 是 正交矩阵，则其 2-条件数的值（ ）。 A.等于 1 B.大于 1 C.小于 1 D.可能为 0
2.15 事后误差估计和迭代改善
（单选）病态方程组的系数矩阵的条件数通常（ ）。 A.很小 B.很大 C.为 0 D.可能为负数
参考答案
1.1 数值分析研究的对象和内容 对 1.2 误差的来源和分类 B 1.3 有效数字 对 1.4 数值计算中的若干原则 1 A 1.5 数值计算中的若干原则 2 错 1.6 数值计算中的若干原则 3 A
第二章 解线性方程组的直接方法
2.1 顺序 Gauss 消去法 1 （判断）Gauss 消去法的基本思想是通过逐次消元，将原线性方程组约化成等价的上三角方 程组。（ ） 2.2 顺序 Gauss 消去法 2 （判断）顺序 Gauss 消去法是针对系数矩阵进行消元。（ ） 2.3 列主元 Gauss 消去法 （判断）列主元 Gauss 消去法能够顺利完成的条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不等于零。 （） 2.4Gauss 消去法的矩阵运算 （判断）矩阵三角分解法中，分解的对象是系数矩阵。（ ） 2.5 直接三角分解法 （判断）n 阶方阵 A 存在唯一的单位下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，使得 A=LU 的条件是 A 的各阶顺序主子式不等于零。（ ） 2.6 直接三角分解法举例
越慢。（ ） 4.7 局部收敛性
（判断）只要在有根区间内存在 x 使得 x 大于 1 , 那么从该有根区间内任选初始值 x0 ， 由 xk1 xk 产生的迭代序列xk 一定是不收敛的。（ ）
4.8 收敛阶的定义 （判断）迭代法的收敛阶越高，其收敛速度越快。（ ）
上海大学-数值分析第一章导论
1.2 数值计算的误差与有效数字
1.2.1 误差来源与分类:
按来源分，分为固有误差和计算误差。
固有误差：建立模型时已存在。 •模型误差：建立数学模型时所引起的误差； •观测误差：测量工具的限制或在数据的获取时 随机因素所引起的物理量的误差。
•截断误差：用数值方法求解数学模型时，用简单 代替复杂,或者用有限过程代替无限过程所引起的 误差； •舍入误差：计算机表示的数的位数有限，通常用 四舍五入的办法取近似值，由此引起的误差。
如果存在一适当小的正数ε r（
x * ），使得
e( x ) (x ) er ( x ) r (x ) x x
则称ε r（ x * ）为相对误差限。
例：x=15,
ε (x *) =2， ε r(x)=2/15=13.33%； y=1000, ε (y *)=5 , ε r(y)=5/1000=0.5%； v=3*105km/s，ε (v *) =0.9，ε r(v *)= 0.0003%； v1=0.34km/s, ε (v1 *)=0.9 , ε r(v 1*)=265 %； v1的测量误差无法容忍！
能在这个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。
命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释 这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为 他们放一部有关彗星的影片。 值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点76年才能
一见的哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让 士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里 出现。
计算误差：计算过程中出现的误差。
例：平面二连杆机械手
x l1 cos l2 cos y l1 sin l2 sin
数字的四则运算法则总结
数字的四则运算法则总结数字的四则运算是我们日常生活和学习中经常用到的基本数学运算之一。
无论是加法、减法、乘法还是除法，它们都有着独特的规则和特点。
本文将对数字的四则运算法则进行总结，以帮助读者更好地理解和运用这些运算法则。
一、加法法则加法是最基本的运算之一，用于将两个或多个数值相加。
以下是加法法则的总结：1. 加法具有交换律：a + b = b + a。
即加法运算中，数字的顺序交换不会改变最终的结果。
2. 加法具有结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
即在一连串加法运算中，数值的分组方式不会改变最终的结果。
3. 加法的单位元是0：a + 0 = a，其中0为加法的单位元，任何数值与0相加，结果都等于原来的数值。
二、减法法则减法是从一个数值中减去另一个数值，得到其差的运算。
以下是减法法则的总结：1. 减法的简化形式：a - b = a + (-b)，其中(-b)表示与b相反的数值。
将减法运算转化为加法运算，有助于简化计算过程。
2. 减法不满足交换律和结合律：a - b ≠ b - a，(a - b) - c ≠ a - (b - c)。
减法运算的顺序改变会导致不同的结果。
三、乘法法则乘法是将两个或多个数值相乘，得到其积的运算。
以下是乘法法则的总结：1. 乘法具有交换律：a × b = b × a。
即乘法运算中，数字的顺序交换不会改变最终的结果。
2. 乘法具有结合律：(a × b) × c = a × (b × c)。
即在一连串乘法运算中，数值的分组方式不会改变最终的结果。
3. 乘法的单位元是1：a × 1 = a，其中1为乘法的单位元，任何数值与1相乘，结果都等于原来的数值。
四、除法法则除法是将一个数值分割成若干等份的运算。
以下是除法法则的总结：1. 除法的简化形式：a ÷ b = a × (1/b)，即将除法转化为乘法，其中1/b表示b的倒数。
1.4数值算法的稳定性
5 5n 然后取充分大的m对应的Im的一个估计值为计算初 值，再逐步用上式算出Im-1 ，Im-2 ，...，I1。
用上式计算 Im 可使计算的误差减少5倍，因而它对应 的算法是数值稳定的算法。
1
I n 1
1
( n m , m 1,..., 2 ,1)
由:
(4)
1 6n
I n 1
1 I 20 6 21
1 5 21 0 . 00873061
自n=20计算到n=1,
2 线性代数一④
20/32
n 20
In
0.00873016
n 15
In
0.0105205
n 10
In
0.0153676
n 5
In
0.0284684
19
18
0.00825397
0.00887552
14
14/32
控制误差传播的几个原则
一、防止相近的两数相减
(会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做)
例1: 各有五位有效数字的两个数23.034与22.993相减. 23.034-22.993=0.041 0.041只有两位有效数字,有效数字的耗失,说明准确度减 小,因此,在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生. 例2:当x较大时，计算
线性代数一④
6/32
三、四则运算的误差计算
绝对误差：e = x* - x =xdx 相对误差：er =(x*-x)/x* dx/x=dlnx
利用这个关系可以讨论四则运算的误差和函数的误差
例如下列式子说明什么误差结果? d(x+y)=dx+dy x 思考: d ln( ) ? dln(xy)=dlnx+dlny y n)=ndlnx dln(x
数值计算的注意事项
设计一个完整的数值算法，包含着以下环节：
实际 问题
数学 模型
计算 方法
程序 设计
上机 调试
游游晓晓 黔黔制制 作作 22001188 年年88月月
游晓黔制作
游晓黔制作重庆大学出版社
点?
游晓 黔制 作 2018 年8月
游晓黔制作
(1)面向计算机，要根据计算机特点提供切实可行的有效算法. (2)有可靠的理论分析，实际计算精度高.
游晓 黔制 作 2018 年8月
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对于 n 元函数 y f (x1, x2,, xn ) ，若自变量 x1, x2,, xn 的近似值为 x1*, x2*,, xn* ，
则类似于一元函数,可用多元函数 f (x1, x2,, xn ) 的泰勒展开式，取一阶近似得到：
绝对误差限
( f
n(n 1) 次乘法和 n 次加法 2
游晓黔制作重庆大学出版社
游晓 黔制 作 2018 年8月
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例 1 计算多项式 P(x) an xn an1xn1 a1x a0 .
算法 1 直接计算 ai xi (i 0,1,, n) ，再逐项相加
算法 2 将多项式 P(x) 改写后计算
2
取绝对值得
f (x) f (x ) f (x ) (x* ) f ( ) 2 (x* ) .
2
游晓 黔制 作 2018 年8月
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假定 f (x ) 与 f (x ) 的比值不太大. 如果 f (x*) 0， x* x (x* ) 很小，则可得
解
因为
f (x)
1
数值计算中的基本原则
while er>er0
x0=.5*(a+b); y0=f(x0) if ya*y0<0
y y1
b=x0; else
a=x0;
a y2
ya=y0;
end
disp([a,b]);er=b-a;k=k+1
end
x0 b x
计算结果: k=5 a5=0.4375, b5=0.4688
x1=0.5(a1+b1)
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二分法迭代将得到一系列隔根区间
[a, b] [a1, b1] [a2 , b2 ] [an , bn ]
性质:1. f(an)·f(bn)<0; 2. bn – an = (b – a)/ 2n
定理2.2 设x*是 f(x)=0在[a, b]内的唯一根,且 f(a)·f(b)<0,则二分法计算过程中, 各隔根区间 的中点数列
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(4)尽量减少计算工作量(乘、除法次数) 例 计算 P(x) = 1+2x+3x2+4x3 + 5x4 的值
P(x)=1+x(2+x(3+x(4+5x)))
一个应用: 2进制数转换为10进制数 (1 1 1 0 1 1 1 0)2 = 27+26 +25 +0 +23 +22 +2 +0 =((((((1·2+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0 =238
|e(S0)|=|S0 –I0|<10-15
end
n=20时，S20=-30.19239488558378
实际递推: Sn=1-nSn-1 有误！
数值分析计算方法复习
Gauss列主元素消元法
基本思想：在系数矩阵A的第一列中选绝对值最大的 元素作主元，设该元素所在行为第i1行，交换第一 行与第i1行，进行第一次消元；再在第2－n行的第 二列中选绝对值最大的元素作主元，设该元素所在 行为第i2行，交换第二行与第i2行，进行第二次消 元，……直到消元过程完成为止。
则对任意x0 [a, b]，由xn+1=(xn )得到的迭代序列{xn } 收敛到(x)的不动点x *，并有误差估计：
|
xn
x*
|
1
1
L
|
xn1
xn
|
Ln xn x * 1 L x1 x0
局部收敛性定理 设x*为(x)的不动点， `(x)在x*的 某邻域连续，且|`(x*)|<1，则不动点迭代法xk+1=(xk )
若对任意 x0[a, b]，由上述迭代得序列{xk}，有极限
lim
k
xk
x*
则称迭代过程收敛，且x*=(x*)为(x)的不动点。
（二）不动点的存在性和迭代法的收敛性
▪ 不动点的存在性定理 设(x)C[a, b]且满足以下两
个条件：
（1）对于任意x [a, b]，有a≤(x)≤b； （2）若(x)在[a, b]一阶连续，且存在常数0<L<1，
第二章 非线性方程的求根方法
▪ *引言 ▪ 方程求根的二分法 ▪ 迭代法及其收敛性
不动点迭代法 不动点的存在性与迭代法的收敛性 迭代收敛的加速方法
▪ Newton迭代法：
1.4数值计算中的若干原则
e 1 1 I9 ， 10 10 1 e 1 1 ˆ ，于是得到下面计算公式： 取I 9 ( ) 0.0684 I 9 2 10 10
ˆ ,I 0
方法二：
ˆ 0.0684, I 9 ˆ 1 ˆ ), n 9,8, I n1 (1 I n n
例 1.4.2
考虑二元线性方程组
0.0001 x1 x2 1 x1 x2 2
10000 9998 其准确解为 x1 , x2 . 9999 9999
现在三位十进制数的浮点系统中用消去法求解， 方程组改写成
3 1 1 10 0.100 x 10 0.100 x 10 0.100 1 2 , 1 1 1 10 0.100 x1 10 0.100 x2 10 0.200 1 将第二个方程减去第一个方程的 3 倍（此时出现 10 0.100 绝对值很小的数作分母），得到 3 1 1 10 0.100 x 10 0.100 x 10 0.100 1 2 , 5 5 10 0.100 x2 10 0.100
解得x1 1, x2 1，这是较为理想的近似解.
1.4.4
注意简化计算步骤，减少运算次数
同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可 以节省计算机的计算时间，而且还能减少舍入误差，这 是数值计算必须遵从的原则，也是数值计算需要研究的 重要内容.
例如 计算 x31
如果逐个相乘，则需要做30次乘法，但若改写成
(1.4.2)
这里，计算公式与每步计算都是正确的， 那么，什么原因导致计算结果错误呢？
主要就是初值I 0有误差 E0 I 0 I 0，由此引起以后各步 计算的误差 En I n I n满足关系
数值计算中的基本原则
x = 0.0018 (年利息约0.0218)
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二分法迭代
已知方程 f(x)=0有一隔 根区间[a, b],且f(x)满足 f(a)·f(b)<0,则先将[a , b] 等分为两个小区间,判断 根属于哪个小区间,舍去 无根区间保留有根区间 [a1, b1];
1xnexdx
0
e1(xnex10n01xn1exdx)1nnI1
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递推公式: In = 1 – nIn-1 (I0 = 1- e-1)
初值： I0 = 1 – e –1 ≈0.63212055882856
S0=1-exp(-1);S(1)=1-S0;
for n=2:20
|e(S20)|=|S20-I20|=|(1-S21/21)-(1-I21/21)| =|S21-I21| /21 =·······=|S30-I30|/(21·22·23·····30)
初始误差在算法执行过程中不断减小,这种算 法称为数值稳定算法。
在算法执行过程中,舍入误差对计算结果 影响不大的一类算法被称为数值稳定算法 ;否则称为不稳定算法.
输出数据S ；结束
输出数据S ；结束
秦九韶算法
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例1 计算
In e1
1xnexdx( n
0
=0,1,···, 20
)
1xnd x1xnexd xe1xndx
0
0
0
e1 n1
In
1 n1
I0 e 10 1ex d x e 1 (e 1 ) 1 e 1
工程数学中数值计算应注意的一些原则
数值计算中应遵循的原则工程问题的数值计算中出现误差的渠道及原因, 分析了这些误差可能会引起的后果。
通过具体例子说明要避免这些误差须遵循的原则。
用数值稳定性好的计算方法;两个数量级相差很大的数进行加减运算时, 防止小的那个数加减不到大的数中;避免两个相近的数相减, 损失有效数字; 防止出现机器零和溢出停机; 在除法运算中, 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值; 简化计算步骤, 减少运算次数。
用电子数字计算机进行各种工程问题的数值计算, 计算误差是不可避免的。
误差的渠道来源主要有四个: 模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。
用数学模型描述各类实际问题, 一般都要作一定的简化, 由此产生的数学模型的解与实际问题的解之间一定会有差异, 这种差异就是模型误差; 数学模型中包含的某些参数或常数, 大多是经过仪器观测或试验获得的数值, 这样得到的观测数值与实际数值之间也有误差, 这种误差称为观测误差; 求解数学模型所用的数值计算方法往往是近似计算方法, 由此产生的误差称为方法误差。
由于近似方法一般都要用有限的四则算术运算步骤来代替无穷的极限运算, 这种由截断一个无穷过程而引起的误差, 就叫截断误差, 方法误差也属于截断误差; 由于电子数字计算机只能将数表示成有限位进行计算, 对超过位数的数字按一定的规则作舍入, 由此产生的误差称为舍入误差。
数值计算方法主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响, 一般不考虑模型误差和观测误差。
分析参数或常数的观测误差在数值计算中的影响的方法与分析舍入误差的影响所用的方法大致相同,而控制观测误差和模型误差则不是数学计算工作者所能独立解决的。
为了减小误差, 特别是舍入误差的影响, 在数值运算中应注意以下一些原则:1用数值稳定性好的计算方法, 以便控制舍入误差的传播如, 要求在四位有效数字的精度下计算定积分的值[1]:由有理函数积分法知,因而计算这 101 个定积分的算法是:它是数值稳定性不好的一种算法, 因为 y0的舍入误差传播到 y1时增大 5 倍, 如此进行, 传播到 y100时将增大到 5100倍。
1.4 极限运算的法则
1.4极限运算的法则定理1.11（极限的四则运算法则）若()()0lim ,lim x x x xf x ag x b →→==，则 （ⅰ）()()()()0lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x a b →→→±=±=+⎡⎤⎣⎦；（ⅱ）()()()()0lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x ab →→→=⋅=⎡⎤⎣⎦；（ⅲ）()()()()()000lim lim0.lim x x x x x x f x f x a b g x g x b→→→==≠ 证 只证（ⅰ）、（ⅱ）.（ⅰ）0,ε∀>因()0lim x x f x a →=，故对正数2ε，存在相应的正数1δ使得，当010x x δ<-<时，有().2f x a ε-< （1）因()0lim x x g x b →=，则对正数2ε，存在相应的正数2δ使得，当020x x δ<-<时，有 ().2g x b ε-< （2）取{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<时，有()()()()().22f xg x a b f x a g x bεεε±-±≤-+-⎡⎤⎣⎦<+=故()()()()0lim lim lim x x x x x x f x g x a b f x g x →→→±=+=±⎡⎤⎣⎦.（ⅱ）因()0lim x x f x a →=,故()f x 在点0x 的某邻域内有界,即存在正数1δ使得,当010x x δ<-<时,有()1f x M ≤这里,1M 是一个正常数.取正数{}1max ,M M b=,则当1,.M M b M ≤≤于是，当010x x δ<-<时，有().f x M ≤ （3）0,ε∀>因()0lim x x f x a →=,故相应于正数2Mε,存在正数2δ使得,当020x x δ<-<时,有().2f x a Mε-<(4)又因()0lim x x g x b →=,故相应于正数2Mε,存在正数3δ使得,当030x x δ<-<时,有 ().2g x b Mε-< (5)取正数{}123min ,,,δδδδ=则当00x x δ<-<时,（3），（4），（5）两式都成立，此时，有()()()()()()()()()()()()().22f x g x ab f x g x f x b f x b ab f x g x f x b f x b ab f x g x b f x b b M M MMεεε-=-+-≤-+-=-+-=⋅+⋅=故()()()()0lim lim lim .x x x x x x f x g x ab f x g x →→→==⋅⎡⎤⎣⎦例1—4—1 求()1lim 21.x x →-解()()1111lim 21lim 2lim12lim 1211 1.x x x x x x x →→→→-=-=-=⋅-= 例1—4—2求3222234lim .53x x x x x x →-+--+ 解()()323222222lim 2342342lim.533lim 53x x x x x x x x x x x x x →→→-+--+-==--+-+例1—4—3 求233lim.9x x x →-- 解()()()323333lim13311limlim lim .9333lim 36x x x x x x x x x x x x →→→→→--====--+++ 例1—4—4 求3113lim .11x x x →⎛⎫- ⎪++⎝⎭解()()()()()()3211122111213lim lim 1111lim 22lim1.1lim 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→+-⎛⎫-= ⎪+++-+⎝⎭--===--+-+例1—4—5 求3232342lim.753x x x x x →∞-++- 解323332334242lim 333423lim lim .535375377lim 7x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞⎛⎫-+-+ ⎪-+⎝⎭===+-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭例1—4—6 （略）例1—4—7 求lim, 1.1nn n a a a →∞≠+ 解 若1a <，则lim 0.n n a →∞= ()lim lim0.1lim 1n nn nn n n a aa a →∞→∞→∞==++当1a >，111,lim 0.n an →∞<=lim11lim lim 1.1111lim 1nx nn nn x x a a a a →∞→∞→∞→∞===+⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦作业 p37 1.（1），（3），（5）.习题1—41. 计算下列极限（1）245lim 3x x x →+-；解()()22224444444lim 5lim lim5545lim 21.3lim 3lim lim343x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→++++====---- （3）22356lim 815x x x x x →-+-+；解()()()()22333235621lim lim lim .8153552x x x x x x x x x x x x x →→→---+-===--+--- （5）()22limh x h x h→+-；解()()222002limlim lim 22.h h h x h x xh h x h x hh→→→+-+==+= （7）221lim 21x x x x →∞---；解22221111limlim .112122x x x x x x x x→∞→∞--==----（9）3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； 解()()()()()()232112211132lim lim 11111221limlim .1311x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→+-⎛⎫-= ⎪---++⎝⎭---==-=++-++（11）()()525115lim x x x x x →+-++;解()()52345252502330115151010515lim lim10105lim 10.1x x x x x x x x x x xx x x x x x x x →→→+-++++++--=+++++=+（13）()2121limn n n →∞+++-；解()()2211211112lim lim lim 1.22n n n n n n n n n →∞→∞→∞-+++-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭。
掌握数值运算中避免大误差产生的若干准则
例1 计算积分值
In
1 xn dx, n 0,1,,6。 0 x5
解
由于要计算积分值，我们先推导
I
的一个递推公式。由
n
In 5In1
1 xn 5xn1 dx 0 x5
1 xn1dx 1 ,
0
n
可得下面两个递推算法。
算法 1 ： 算法 2 ：
的值。如果我们先求
ak
x
k
，需要进行k次乘法，再相加，则需要
n(n 1) / 2
次乘法和n 次加法才能得到一个多项式的值。如果我们将多项式写成下面的
形式
Pn ( x) x{ x[ x(an x an1 ) an2 ] a1 } a0
则只需n次乘法和n次加法即可得到一个多项式的值，这就是著名的秦九韶算法
有的 i 都会被舍掉，得 x 101 。但若把所有的 i 先加起来，再与
101相加，就有
111 101 1000.1 x 101 1000.4 141
可见，计算的次序会产生很大的影响。这是因为用计算机计算时， 在运算中要“对阶”，对阶引起了大数吃小数的现象。大数吃小数在 有些情况下是允许的，但有些情况下则造成谬误。在数值计算中，两 个相近数相减会使有效数字严重损失。
然数 n ，都有 0 In 1 ，并且 I n单调递减。可见，算法1是不稳定的，算
法2是稳定的。 表1-1
n
I (1) n
I (2) n
I n （四位）
0
0.1823
0.1823
0.1823
1
0.0885
0.0884
0.0884
2
0.0575
高等代学1.4整数的一些整除性质PPT1
定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数a 定理1.4.5 一个素数如果整除两个整数 与b的乘积， 的乘积， 那么它至少整除a 中的一个. 那么它至少整除 与b中的一个 中的一个 是一个素数， 不整除a 证 设p是一个素数， 如果 | ab，但p 不整除 ， 是一个素数 如果p ， 由素数的性质2， 必有(p, 由素数的性质 ， 必有 a)=1. 于是由定理1.4.4，存在整数s 和t 使得 sp + ta = 1 于是由定理 ， 两边同乘以b 两边同乘以 ：spb + tab =b . 左边的第一项自然能被p整除； 又因为p 左边的第一项自然能被 整除；又因为 | ab， 整除 ， 所以左边第二项也能被p整除 所以左边第二项也能被 整除. 整除 整除左边两项的和，从而p 于是p整除左边两项的和，从而 | b.
① ②
d | ai , i = 1,2,⋯, n
如果c ∈Z且c | ai , i =1,2,⋯, n, 那么c | d.
定理1.4.2 任意 n(n ≥ 2)个整数 a1, a2 ,⋯, an 都有最 定理 大公因数. 如果d是 大公因数 如果 是 a1, a2 ,⋯, an 的一个最大公因 也是一个最大公因数； 数，那么 - d 也是一个最大公因数；a1, a2 ,⋯, an的 两个最大公因数至多只相差一个符号. 两个最大公因数至多只相差一个符号 由最大公因数的定义和整除的基本性质， 证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，显然最 后一个论断是成立的. 后一个论断是成立的 如果 a1 = a2 = ⋯= an = 0 . 显然0就是 的最大公因数. 显然 就是 a1, a2 ,⋯, an 的最大公因数 不全为零. 设 a1, a2 ,⋯, an 不全为零 考虑Z 的子集
数字运算法则
数字运算法则数字运算是数学中最基础、最常见的运算操作，它们构成了数学的基石。
本文将介绍常见的数字运算法则，包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则，并且通过例子来说明它们的应用。
一、加法法则加法是两个或多个数值相加的操作，其法则如下：1. 数字的加法满足交换律，即改变加法中数的顺序不会改变其和。
例如，2 + 3 = 3 + 2。
2. 加法满足结合律，即无论如何分拆加法项，最后得到的和是相同的。
例如，(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)。
例子：2 +3 +4 = 93 +4 + 2 = 9 （满足交换律）(2 + 3) + 4 = 9 (满足结合律)2 + (3 + 4) = 9 (满足结合律)二、减法法则减法是从一个数中减去另一个数的操作，其法则如下：1. 减法不满足交换律，减数和被减数的位置不能颠倒。
例如，2 - 3 ≠ 3 - 2。
2. 减法满足减法消去律，即如果一个数减去另一个数再加上同一个数，等于被减数本身。
例如，(5 - 2) + 2 = 5。
例子：2 -3 = -13 - 2 = 1（不满足交换律）(5 - 2) + 2 = 5 (满足减法消去律)三、乘法法则乘法是将两个数相乘的操作，其法则如下：1. 数字的乘法满足交换律，即改变乘法中数的顺序不会改变其积。
例如，2 × 3 = 3 × 2。
2. 乘法满足结合律，即无论如何分拆乘法项，最后得到的积是相同的。
例如，(2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4)。
例子：2 ×3 ×4 = 243 ×4 × 2 = 24 （满足交换律）(2 × 3) × 4 = 24 (满足结合律)2 × (3 × 4) = 24 (满足结合律)四、除法法则除法是将一个数分成若干相等部分的操作，其法则如下：1. 除法不满足交换律，除数和被除数的位置不能颠倒。
有效数字及其运算规则
§1.4有效数字及其运算规则一、有效数字的一般概念1.有效数字任何一个物理量，其测量结果必然存在误差。
因此，表示一个物理量测量结果的数字取值是有限的。
我们把测量结果中可靠的几位数字，加上可疑的一位数字，统称为测量结果的有效数字。
例如，2.78的有效数字是三位，2.7是可靠数字，尾位“8”是可疑数字。
这一位数字虽然是可疑的，但它在一定程度上反映了客观实际，因此它也是有效的。
2.确定测量结果有效数字的基本方法(1)仪器的正确测读仪器正确测读的原则是：读出有效数字中可靠数部分是由被测量的大小与所用仪器的最小分度来决定。
可疑数字由介于两个最小分度之间的数值进行估读，估读取数一位(这一位是有误差的)。
例如，用分度值为1mm的米尺测量一物体的长度，物体的一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图1-1。
此时物体长度的测量值应记为L=83.87cm。
其中，83.8是可靠数，尾数“7”是可疑数，有效数字为四位。
(2)对于标明误差的仪器，应根据仪器的误差来确定测量值中可疑数所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。
如某测量值为12.3V，若读出：12.32V，则尾数“2”无意义，因为它前面一位“3”本身就是可疑数字。
(3)测量结果的有效数字由误差确定。
不论是直接测量还是间接测量，其结果的误差一般只取一位。
测量结果有效数字的最后一位与误差所在的一位对齐。
如L=(83.87±0.02)cm是正确的，而L=(83.868±0.02)cm和L=(83.9±0.02)cm 都是错误的。
3.关于“0”的问题有效数字的位数与十进制的单位变换无关。
末位“0”和数字中间的“0”均属于有效数字。
如23. 20cm；10.2V等，其中出现的“0”都是有效数字。
小数点前面出现的“0”和它之后紧接着的“0”都不是有效数字。
如0.25cm或0.045kg中的“0”都不是有效数字，这两个数值都只有两位有效数字。
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现在从另一方向使用式 (1.4.1) ，即
1 I n1 (1 I n ), n 9,8,,1 n
ˆ ，即可递推得到I ˆ, I ˆ, 只要计算出I 9的一个近似值I 9 8 7
在实际计算时，为避免大数“吃掉”小数，一定要注意安排 计算次序，使计算始终在数量级相差不大的数之间进行.
1.4.3 避免绝对值太小的数作分母
用绝对值太小的数作除数进行除法运算时会使舍入误差增大, x 如计算 ，若0 y y x ，则可能使误差很大，甚至出现计算
机上溢现象，导致计算无法进行下去.
计算积分I n x ne x1 dx，并估计误差.
0
1
【解】 由分部积分法有
In x e
n x 1 1 0
n x e
0
1
n 1 x 1
dx 1 n x n1e x 1 dx
0
1
于是得到计算I n的递推公式 I n 1 n I n1 , 1 x 1 1 I e d x 1 e . 0 0
1.4 数值计算中的若干原则
在数值计算中几乎每一步计算都会产生误差，但是 每步都作误差分析是不可能的，也是不科学的. 这是因
为，误差积累有正有负，绝对值有大有小，如果都按最
坏情况估计误差限，则得到的结果比实际误差大得多. 这种保守的误差估计不反映实际误差积累. 由于对误差积累问题进行定量分析较为困难，因此
对内层括号内(n-2)次多项式再施行同样的操作，又得一个(n-3) 次多项式；继续下去，最终得到
pn ( x)
(an x an1 ) x an2 x
sn an sn1 sn x an1 sn2 sn1 x an2 s0 xs1 a0 ,
在式（ 1.4.2）中取n 9，得
e 1 1 I9 ， 10 10 1 e 1 1 ˆ ，于是得到下面计算公式： 取I 9 ( ) 0.0684 I 9 2 10 10
ˆ ,I 0
方法二：
ˆ 0.0684, I 9 ˆ 1 ˆ ), n 9,8, I n1 (1 I n n
由此解出 x1 0, x2 101 0.1 1，该结果严重失真.
若将方程组的两个方程次序交换一下，
x1 x2 2 , 0.0001 x1 x2 1
再将第二个方程减去第一个方程的0.0001 倍（就避免了 绝对值很小的数作分母），得到
1 1 1 10 0.100 x 10 0.100 x 10 0.200 1 2 , 1 1 10 0.100 x2 10 0.100
表11 . 的 I n列是 I n的真正值（四位有效数字）.
由表 1.1 可以看出I8出现负值，这与I n 0矛盾.
事实上，有下面积分估值不等式成立:
1 1 e 1 1 1 x n 1 x n e (min e ) x dx I n e (max e ) x dx . 0 0 0 x 1 0 x 1 n 1 n 1
为简便起见，这里暂不考虑舍入误差.
当初值取为I 0 0.6321 I 0时，用式（141 . . ）递推的计算公式为
I 0 0.6321 I n 1 n I n1 , n 1, 2,
方法一：
计算结果如表 1.1中的 I n 列所示.
表1.1
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8
(1.4.2)
这里，计算公式与每步计算都是正确的， 那么，什么原因导致计算结果错误呢？
主要就是初值I 0有误差 E0 I 0 I 0，由此引起以后各步 计算的误差 En I n I n满足关系
En nEn1 n(n 1) En2 (1) n! E0，
n
上式说明初始值I 0有误差E0，则I n的误差En就是E0的n!倍.
类似地，有 b 2 4ac b 2 , b 2 4ac b
_ _
故求得的两根为 x1 10 , x 2 0.
6
出现以上结果的原因是计算机在计算时大数“吃掉”小数所 致. 为避免上述现象的发生，可将计算公式做适当处理，如取
b sign(b) b 2 4ac x1 , 2a c c ， 在计算另一根x2时利用关系式 x1 x2 得 x2 ax1 a 这时可求得 x1 106 , x2 1.
a1 x a0
根据上式结构的特点，从里往外一层层地计算，设
得递推公式
sn an sk xsk 1 ak , k n 1, n 2,
,1,0,
于是
pn ( x) s0 .
此时只要做n次乘法和n次加法即可得到pn ( x)的值.称此 方法为秦九韶算法.该算法是计算多项式最好的算法， 是我国南宋数学家秦九韶于1247年提出的，国外称此 算法为Hernor算法，是1819年给出的，比秦九韶算法 晚了500多年.
(1.4.1)
若计算出I 0，代入式（141 . . ）即可逐次求出 I1 , I 2 , 的值.
为了计算 I 0，下面先计算 e1. 由Taylor级数展开，得到 2 k ( 1) ( 1) e 1 1 ( 1) 2! k!
现取k 7，用四位小数计算，则得 e1 0.3679，截断误差 1 1 1 R7 e 0.3679 104 8! 4
例 1.4.2
考虑二元线性方程组
0.0001 x1 x2 1 x1 x2 2
10000 9998 其准确解为 x1 , x2 . 9999 9999
现在三位十进制数的浮点系统中用消去法求解， 方程组改写成
3 1 1 10 0.100 x 10 0.100 x 10 0.100 1 2 , 1 1 1 10 0.100 x1 10 0.100 x2 10 0.200 1 将第二个方程减去第一个方程的 3 倍（此时出现 10 0.100 绝对值很小的数作分母），得到 3 1 1 10 0.100 x 10 0.100 x 10 0.100 1 2 , 5 5 10 0.100 x2 10 0.100
1.4.5
设计或选用数值稳定性好的算法
在数值计算中定量地分析舍入误差的积累常常是很 困难的，为了推断舍入误差是否影响结果的可靠性，提 出了数值稳定性的概念. 定义 1.4.1 设有一个算法，如果初始数据有小的误差仅 使最终计算结果产生小的误差，则称该算法是数值稳定
的，否则称为数值不稳定的.
例 1.4.4
In
0.6321 0.3679 0.2642 0.2074 0.1704 0.1480 0.1120 0.2160 -0.728
ˆ I n
0.6321 0.3679 0.2643 0.2073 0.1708 0.1455 0.1268 0.1121 0.1035
In
0.6321 0.3669 0.2642 0.2073 0.1709 0.1455 0.1268 0.1124 0.1008
用右端算式代替左端，有效数字就不会损失. 1 当x很大时， x 1 x ， x 1 x 因此用右端算式代替左端，从而避免有效数字损失.
一般情况下，当f ( x* )和f ( x)很接近，但又需要作 f ( x* ) f ( x)运算时，为避免有效数字损失，可用Taylor 展开式
1 f ( x ) f ( x) f ( x)( x x) f ( x)( x* x) 2 2
* *
,
取右端的有限项近似左端. 如果计算公式不能改变，则可采用增加 有效数字位数的方法.
1.4.2 防止大数“吃掉”小数
由于计算机的位数有限， 因此在计算机上进行2 x 4 x8 x16
则只要做8次乘法即可.
例1.4.3
计算n次多项式 pn ( x) an x n an1x n1
i 若直接计算 a x 再逐项相加，则需做 【解 】 i n(n 1) n (n 1) 2 1 2
再如，已知 x 0.5675 102 , y 0.4812 103 , z 0.5679 102 ,
若按( x y) z进行计算，则结果为 0.4000 101；
若按( x z ) y进行计算，则结果为 0.4048 101，
可见( x y ) z ( x z ) y，且( x z ) y 的结果比较接近准确值 0.404812 101，这是因为在( x y ) z 运算中出现了绝对值大的 数x “吃掉”了小数 y 的现象.
解得x1 1, x2 1，这是较为理想的近似解.
1.4.4
注意简化计算步骤，减少运算次数
同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可 以节省计算机的计算时间，而且还能减少舍入误差，这 是数值计算必须遵从的原则，也是数值计算需要研究的 重要内容.
例如 计算 x31
如果逐个相乘，则需要做30次乘法，但若改写成
对阶是以大数为基准，小数向大数对齐，即比较相 减两个数的阶，将阶小的尾数向左移，每移一位阶码加
1，直到小数的阶与大数的阶一致时为止，并将移位后
的尾数多于字长的部分进行四舍五入. 然后将对阶后的
两数相加减，最后将结果化为规格化形式.
当参加运算的两个数的数量级相差很大时，若不注 意运算次序，就有可能出现数量级大的数把数量级小的 数“吃掉”的现象，从而影响计算结果的可靠性.
例如，在四位十进制计算机上计算
0.7315 103 0.4506 105，