浙江省高考数学(理科)考前必考题型过关练：专题七+解析几何(7份)专题7 第36练

第36练与抛物线相关的热点问题

题型一抛物线的定义及其应用

例1设P是抛物线y2＝4x上的一动点，

(1)求点P到A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；

(2)若B(3,2)，抛物线的焦点为F，求|PB|＋|PF|的最小值．

破题切入点画出图形，结合抛物线的定义，转化为共线问题．

解(1)由于A(－1,1)，F(1,0)，P是抛物线上的任意一点，则|AP|＋|PF|≥|AF|＝22＋1＝5，从而知点P到A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和的最小值为5，所以点P到A(－1,1)的距离与P到直线x＝－1的距离之和的最小值也为 5.

(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q，交抛物线于点P1，

此时|P1Q|＝|P1F|，那么|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最

小值为4.

题型二抛物线的标准方程及性质

例2(1)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()

A．(0,2) B．[0,2]

C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

(2)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面

宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.

破题切入点准确求出抛物线方程结合其简单几何性质作答．

答案(1)C(2)2 6

解析(1)∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|FM|＝y0＋2.

以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.

由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，

又圆心F到准线的距离为4，故4

∴y0>2.

(2)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，

则A (2，－2)，将其坐标代入x 2＝－2py 得p ＝1.

∴x 2＝－2y .

水位下降1 m ，得D (x 0，－3)(x 0>0)，

将其坐标代入x 2＝－2y ，得x 20＝6，

∴x 0＝ 6.∴水面宽|CD |＝2 6 m.

题型三 直线和抛物线的位置关系

例3 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．

(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；

(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55

？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 破题切入点 (1)将点代入易求方程．

(2)假设存在，根据条件求出，注意验证．

解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，

所以p ＝2.

故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，

其准线方程为x ＝－1.

(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t .

由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，

所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12

. 由直线OA 到l 的距离d ＝

55， 可得|－t |5＝15

， 解得t ＝±1.

又因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12

，＋∞)， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.

总结提高 (1)抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e ＝1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决．

(2)抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应关系，将抛物线y 2＝2px 关于y 轴、直线x ＋y ＝0与x －y ＝0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物线y 2＝2px 绕原点旋转±90°或180°也可以得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系．

(3)抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则

①y 1y 2＝－p 2

，x 1x 2＝p 24； ②若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2p sin 2θ

； ③若F 为抛物线焦点，则有1|AF |＋1|BF |＝2p .

1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )

A ．4

B ．－2

C ．4或－4

D ．12或－2

答案 C

解析 设标准方程为x 2＝－2py (p >0)，

由定义知P 到准线的距离为4，故p 2

＋2＝4，所以p ＝4， 则方程为x 2＝－8y ，代入P 点坐标得m ＝±4.

2．若抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，准线是l ，则经过点F ，M (3,3)且与l 相切的圆共有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．4个

答案 B

解析 由题意得F (2,0)，l ：x ＝－2，

线段MF 的垂直平分线方程为y －32＝－3－23－0

(x －52)，

即x ＋3y －7＝0，设圆的圆心坐标为(a ，b )，

则圆心在x ＋3y －7＝0上，故a ＋3b －7＝0，a ＝7－3b ，

由题意得|a －(－2)|＝(a －2)2＋b 2，

即b 2＝8a ＝8(7－3b )，即b 2＋24b －56＝0.

又b >0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个．

3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 、Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )

A ．2±3

B ．2＋ 3 C.3±1 D.3－1

答案 A

解析 依题意得F (p 2，0)，设P (y 212p ，y 1)，Q (y 222p ，y 2)(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，∴y 21＝y 22，∴y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P (12p ，y 1

)．又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p 2

＝2，由此解得p ＝2±3，故选A. 4．(2014·课标全国Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94

答案 D

解析 由已知得焦点坐标为F (34

，0)， 因此直线AB 的方程为y ＝

33(x －34

)， 即4x －43y －3＝0.

方法一 联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0，

由求根公式，得

y A ＝123＋(123)2＋4×4×98

， y B ＝123－(123)2＋4×4×98

， 则y A ＋y B ＝33，