小结 动能定理

动能定理：合外力做的功等于物体动能的变化。

（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。

表达式为W=ΔE K.
动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。

实际应用时，后一种表述比较好操作。

不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。

动能定理建立起过程量（功）和状态量（动能）间的联系。

这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。

功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。

（1）求变力做功的几种方法
功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa
只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，下面对变力做功
问题进行归纳总结如下：
○1等值法
等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。

而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。

○2、微元法
当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹
角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段
可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。

○3、平均力法
如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。

○4.用动能定理求变力做功
（2）应用动能定理简解多过程问题。

物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化。

3.用Q=fS相简解物理问题
两个物体相互摩擦而产生的热量Q（或说系统内能的增加量）等于物体之间滑动摩擦力f与这两个物体间相对滑动的路程的乘积，即Q=fS相.利用这结论可以简便地解答高考试题中的“摩擦生热”问题。

下面就举例说明这一点。

◎例题评析
【例1】如图1，定滑轮至滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F（恒定），滑块沿水平面
由A 点前进S 至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。

求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

【分析与解答】：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 等于T 。

T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。

但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。

而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。

由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F 的作用点的位移大小为：
β
αsin sin 21h h S S S -=
-=∆ )sin 1sin 1(.βα-=∆==Fh S F W W F T 【例2】 、如图所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边
缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一
致，则转动一周这个力F 做的总功应为：
A 、 0J
B 、20πJ
C 、10J
D 、20J.
【分析与解答】：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为
与力在同一直线上，故ΔW=F ΔS ，则转一周中各个小元段做功的代数
和为W=F ×2πR=10×2πJ=20πJ=62.8J ，故B 正确。

【例3】一辆汽车质量为105kg ，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。

其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f 0，f 0是车所受的阻力。

当车前进100m 时，牵引力做的功是多少？
【分析与解答】：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f 0，是线性关系，故前进100m 过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力-F 所做的功。

由题意可知f 0＝0.05×105
×10N ＝5×104N,所以前进100m 过程中的平均牵引力: N N F 54341012)10510100(105⨯=⨯+⨯+⨯=-
∴W ＝S ＝1×105×100J ＝1×107
J 。

【例4】一根弹簧劲度系数为K ，水平放置，有一物体向其运动，弹簧被压缩x ∆，求弹力对物体做的功多大？
【分析与解答】弹簧受外界作用力以后，逐渐被压缩，其弹力随压缩量均匀增大，其平均力可以用初未弹力相加的一半来表示，所以其做功为：W=x x k ∆∆+20=22
1x k ∆
【例5】、如图材所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为0.8m ，BC 是水平轨道，长L=3m ，BC 处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg 的物体，自A 点从静止起
下滑到C 点刚好停止。

求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做
的功。

【分析与解答】：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB
段的阻力、AC 段的摩擦力共三个力做功，重力做功W G =mgR ，水平
面上摩擦力做功W f1=-μmgL ，由于物体在AB 段受的阻力是变力，
做的功不能直接求。

根据动能定理可知：W 外=0，所以mgR-umgL-W AB =0
即W AB =mgR-umgL=6(J)
【例6】如图所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m 的滑块，距挡板
P 为S 0，以初速度V 0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块
所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无
机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？
【分析与解答】：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。

在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。

设其经过和总路程为L ，对全过程，由动能定理得： 2002
10cos sin mv L ng mgS -=-αμα 得α
μαcos 21sin mgS 200mg mv L += 【例7】如图所示，小滑块从斜面顶点A 由静止滑至水平部分C 点而停止。

已知斜面高为h ，滑块运动的整个水平距离为s ，设转角B 处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。

【分析与解答】：滑块从A 点滑到C 点，只有重力和摩擦力做功，
设滑块质量为m ，动摩擦因数为μ，斜面倾角为α，斜面底边长s 1，
水平部分长s 2，由动能定理得： mgh mg s mgs h S S h s
-⋅-=---==μαμμμμcos cos 1212000化简得：得 从计算结果可以看出，只要测出斜面高和水平部分长度，即可计算出动摩擦因数。

图
12 图
3
【例8】、总质量为M 的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末
节车厢质量为m ，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L 的距离，
于是立即关闭油门，除去牵引力，如图13所示。

设运动的阻力
与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。

当列车的两部分都停止
时，它们的距离是多少？
【分析与解答】：此题用动能定理求解比用运动学、牛顿第
二定律求解简便。

对车头，脱钩后的全过程用动能定理得： 201)(2
1)(V m M gS m M k FL --=-- 对车尾，脱钩后用动能定理得：
2022
1mV kmgS -=- 而21S S S -=∆，由于原来列车是匀速前进的，所以F=kMg 由以上方程解得m
M ML S -=∆。

【例9】、如图所示，AB 与CD 为两个对称斜面，其上部都足够长，
下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为1200，半径
R=2.0m,一个物体在离弧底E 高度为h=3.0m 处，以初速度V 0=4m/s 沿斜
面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=0.02,则物体在两斜面上
（不包括圆弧部分）一共能走多少路程？（g=10m/s 2）.
【分析与解答】：由于滑块在斜面上受到摩擦阻力作用，所以物体的机械能将逐渐减少，最后物体在BEC 圆弧上作永不停息的往复运动。

由于物体只在在BEC 圆弧上作永不停息的往复运动之前的运动过程中，重力所做的功为W G =mg(h-R/2),摩擦力所做的功为W f =-μmgscos600,由动能定理得：
mg(h-R/2) -μmgscos600=0-
2021mV ∴s=280m.
V 0 图。