5510沙市中学高一下数学期末试卷
沙市中学高一下数学期末试卷
沙市中学高一（下）数学期末试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．已知向量a 、b 满足：a +b =)3,1(，a -b =)3,3(-，则a 、b的坐标分别为（ C ）A ．)0,4( )6,2(-B ．)6,2(- )0,4(C ．)0,2( )3,1(-D ．)3,1(- )0,2( 2．已知扇形面积为83π，半径是1，则扇形的圆心角是 （C ） A ．163π B ．83π C ．43π D ．23π 3．下列向量中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是 （ B ）A. (0,0),(1,2)a b ==B. (5,7),(1,2)a b ==-C. (3,5),(6,10)a b ==D. 13(2,3),(,)24a b =-=-4．已知函数4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，R x ∈，且3)2005(=f ，则)2006(f 的值为 （C ）A ．3B ．4C ．5D ．65. 已知向量)75sin ,75(cos ︒︒=，)15sin ,15(cos ︒︒=-的值是（ D ）A.21B. 22C. 23D. 16.已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ D ） A.247 B. 247- C. 724 D. 724- 7.21,e e 是两个单位向量,且夹角为120°,则()2123e e -·()214e e +的值为( A ) A.-10 B.-5 C.5 D.108.函数)2π25sin(x y +=的图象的一条对称轴的方程是（ A ）．A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π-=x D ．π45=x9.已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内,当12x π=时,取得最大值3y =,当712x π=时,取得最小值3y =-,则函数的解析式为( D )A.3sin(2)3y x π=-B.3sin()26x y π=- C.3sin(2)6y x π=+D.3sin(2)3y x π=+ 10．如右图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中哪些向量的终点落在阴暗区域内（ A ） ①2OA OB + ②3143OA OB +③1123OA OB + ④3145OA OB + ⑤3145OA OB - A ．①② B ．①②④ C ．①②③④ D ．③⑤二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上 11.已知点P 分有向线段21P P 的比为－3，那么点P 1分P P 2的比是 ．32-12．把函数1)43sin(3++=πx y 的图象按向量a 平移后得到函数2)33sin(3++=πx y 的图象，则向量的坐标是 (36π-，1)13．若角α终边在直线x y 3=上，顶点为原点，且0sin <α，又知点),(n m P 是角α终边上一点，且10=OP ，则n m -的值为 .2 14.已知3s i n ,5αα=是第二象限角,且tan()1αβ+=,则tan β的值是 715.关于x 的方程]2,0[12cos 2sin 3π在+=+k x x 内有相异两实根，则k 的取值范围为 [0，1） 16、给出下列命题：(1)∥的充要条件是存在唯一的实数λ使=λ；(2)若α、β是第一象限角，且α＞β，则cos α＜cos β;(3)函数y ＝sin(32x-27π)是偶函数；(4) 向量b 与向量a的方向相反,是b 与a 是共线向量的充分不必要条件；(5)函数y ＝sin2x 的图象向右平移4π个单位，得到y ＝sin(2x-4π))的图象.其中正确的命题的序号是 . 34三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.(本小题满分12分) 已知10,sin cos 25x x x π-<<+=. (1)求sin cos x x -的值; (2)求2sin 22sin 1tan x xx+-的值.解：124sin cos 2sin cos 525x x x x +=⇒=- (2分)（1）249(sin cos )12sin cos 25x x x x -=-=（5分）由已知02x π-<<有sin cos 0x x -<，7sin cos 5x x -=- .（6分）（2）由（1）可求得：34243sin ,cos ,sin 2,tan 55254x x x x =-==-=- (9分)2sin 22sin 241tan 175x x x +=-- (12分)18．（本题满分12分）如图，已知向量p =，q=，r OC =，且2=．(Ⅰ)试用q p 、表示r；(Ⅱ)若点A )2,2(、B )1,3(，O （0，0）求点C 坐标．解：(Ⅰ)由题意得： p q -=，q r-=，———————2分 又 2=∴ )(2q r p q-=- ———————————4分 解得： q p r2321+-= ———————————6分 (Ⅱ) 由2=可知：点B 分有向线段所成的比为2，———8分 设点C ),(y x ，则得： 21223++=x ，21221++=y —————————10分 解得： 27=x ，21=y ， ∴ 点C 坐标为)21,27(．———————————12分 19.(本大题满分12分) 已知函数)0(23cos 3cos sin )(2＞a b a x a x x a x f ++-⋅= OBC(1)写出函数的单调递减区间；(2)设]20[π，∈x ，f (x )的最小值是－2，最大值是3，求实数a 、b 的(1)解：b x x x a x f ++-⋅=)23cos 3cos (sin )(2b x a b x x a +-=+++⨯-⨯=)32s i n ()2322c o s 132s i n 21(π 4分∵a ＞0，x ∈R ，∴f (x )的递减区间是]1211125[ππππ++k k ， (k ∈Z)6分(2)解：∵x ∈[0，2π]，∴2x ∈[0，π]，2x －3π∈[323ππ，-] 7分 ∴]123[)32sin(，-∈-πx 9分∴函数f (x )的最小值是b a +-23，最大值是b a + 10分由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-3233b a b a ， 解得a ＝2，b ＝23-12分20．（本题满分14分）如图，△ABO 的顶点A 在x 正半轴上，顶点B 在第一象限内，又知△ABO 的面积为22，m AB OA =⋅． (Ⅰ)若向量与的夹角为θ，)3,4(ππθ∈，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若点B 在抛物线)0(2>=a ax yb =，m 小时实数a 的值． 解：(Ⅰ)根据题意：)22θπ-=即 θ22=，—————————2分 8又θm = 以上两式相除，并整理得：θcot 24=m ———————————4分 ∵)3,4(ππθ∈，∴)1,33(cot ∈θ ∴实数m 的取值范围是)24,364(． ———————————6分 (Ⅱ)b =知点)0,(b A ，设点)0,0)(,(>>q p q p B ，则),(q b p -=，于是22=⋅=∆q S ABC ，b q 24=，——————8分又 ),()0,(q b p b AB OA -⋅=⋅2)122()(b b p b -=-= ∴ b p 22=， ———————————10分 从而226421322222222≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=b b b b q p ，当且仅当2264b b =即22=b 时，取等号， ———————————12分此时，点)2,2(B ，代入)0(2>=a ax y 解得21=a ， ∴取得最小值22时，21=a ． ——————14分 (Ⅱ)解二：∵θθ2122==， 72)122(cos b AB OA m -==⋅=θ ，———————8分 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=b cos 24sin θθ ， ∴1)223(32222=-+b b ， 即22)223(32b b-+=，———————10分 ∴821322213222222=⋅≥+=⋅++=b b b b AB OA ， 当且仅当222132b b=即22=b 时，取等号，—————————12分 此时，点)0,22(A ，由22=⋅=∆B ABC y S 求得点B 纵坐标2=B y ， 代入8= 求得点)2,2(B ，代入 )0(2>=a ax y 解得21=a ， ∴22时，21=a ．———————14分 21．(本题满分10分)已知10a -<<，21A a =+，21B a =-，11C a=+，试比较A 、B 、C 的大小． 7【解答】不妨设12a =-，则54A =，34B =，2C =由此猜想B A C << 由10a -<<得10a +>，222(1)(1)20A B a a a -=+--=>得A B >，……5分22213()1(1)24(1)0111a a a a a C A a a a a⎡⎤++⎢⎥++⎣⎦-=-+=-=->+++得C A >， (9)分即得B A C <<．………………………………………………………………………..10分22. （本小题10分）解关于x 的不等式12-ax ax ＞x ，（a ∈R ）.解：由12-ax ax ＞x 得12-ax ax -x ＞0即1-ax x＞0（2分）此不等式与x （ax-1）＞0同解.（3分）x ＞0 x ＜0 ①若a ＜0，则 或ax-1＞0 ax-1＜0得：⎪⎩⎪⎨⎧a x x 10 或⎪⎩⎪⎨⎧a x x 1即 无解 或a 1＜x ＜0. ∴解集为（a1，0）.（4分） ②若a=0，则-x ＞0⇒x ＜0，∴解集为（-∞，0）.（6分）x ＞0 x ＜0 ③若a ＞0，则 或ax-1＞0 ax-1＜0得⎪⎩⎪⎨⎧a x x 10 或⎪⎩⎪⎨⎧a x x 1即：x ＞a 1或x ＜0，∴解集为（-∞，0）∪（a1，+∞）（9分） 综上所述：①当a ＜0时，不等式的解集是（a1，0） ②当a=0时，不等式的解集是（-∞，0）③当a ＞0时，不等式的解集是（-∞，0）∪（a1，+∞）（10分）。
2024届湖北省沙市中学数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析
2024届湖北省沙市中学数学高一第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．为了得到()cos2g x x =的图象，只需将()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象( ) A ．向右平移12πB ．向左平移12πC ．向右平移6π D ．向左平移6π 2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是 ( ) A ．3.5B ．3C ．-0.5D ．-33．空间中可以确定一个平面的条件是（ ） A ．三个点B ．四个点C ．三角形D ．四边形4．已知1tan 42πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，2παπ<<，则2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（ ） A ．31010-B ．355-C ．255D ．255-5．某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（ ） A ．56B ．45C ．34D ．236．圆：被直线截得的线段长为（ ）A ．2B ．C ．1D ．7．已知函数1cos 2()sin 2xf x x-=，则有A ．()f x 的图像关于直线π2x =对称 B ．()f x 的图像关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 的最小正周期为π2D ．()f x 在区间()0,π内单调递减8．若()6,5OA =，()3,1OB =，则与向量BA 同向的单位向量是（ ） A ．34,55⎛⎫⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．34,55⎛⎫--⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫⎪⎝⎭9．过点P （﹣2，m ）和Q （m ，4）的直线斜率等于1，那么m 的值等于（ ） A ．1或3B ．4C ．1D ．1或4 10．在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且21cos 222A bc=+，则ABC ∆一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2017-2018学年湖北省荆州市沙市中学高一下复习数学试题(必修四+必修五附解析)
2017-2018学年湖北省荆州市沙市中学高一下复习数学试题（附解析）第I卷（选择题）一、单选题1．已知且则（）A. B. C. D.2．已知数列是等比数列，则为（）A. B. C. D.3．在中,则角（）A. B. C. D.4．已知向量则下列结论正确的是（）A. B. C. D.5．已知数列是等差数列，其前项和为，若则（）A. B. C. D.6．在中,角所对的边分别是则的面积为（）A. B. C. D.7．设的三内角所对边的长分别为，且向量若与共线，则角的大小为（）A. B. C. D.8．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为则（）A. B.C. D.9．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将 的图象（ ）A. 向右平移 个单位长度B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移个单位长度10．已知数列 是等差数列，其前 项和分别为 且则（ ） A.B.C.D.11．设函数与直线 的交点的横坐标构成以 为公差的等差数列，且是 图象的一条对称轴，则下列区间中是函数的单调递减区间的是（ ）A.B.C.D.12．等差数列 前 项和为 则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.第II 卷（非选择题）二、填空题13． 22cossin 88ππ-= . 14．已知数列 的前 项和，则数列 的通项公式为__________.15．在 中,角 所对边分别为 若 则角__________.16． 中，则 的周长为__________.三、解答题17．（1）已知 求 与 的夹角； （2）已知 若 求实数 的值．18．已知 是方程 的两根， （1）求 ；（2）若求 .19．已知函数（1）求函数的对称中心；（2）若对于任意的都有恒成立，求实数m的取值范围.20．设数列满足，且（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项.（2）数列，求数列的前项和21．在中,角所对的边分别是且（1）求边的长；（2）若点是边上的一点，且的面积为，求的正弦值.22．已知数列满足，前项和满足（1）求的通项公式；（2）求的通项公式；（3）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围数学答案1．C【解析】因为，则，故选C.2．B【解析】，，解得，，故选B.3．A【解析】由正弦定理可得，即，，故选A.4．C【解析】因为向量，设，则，解得，，所以，故选C.5．B【解析】设数列的首项为，公差为，由得，即，，，故选B.，【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式基本量运算，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.6．C【解析】，由正弦定理可得，得，，，故选C.7．D【解析】，得，得，即，由余弦定理，，故选D8．B【解析】设菱形中横向单位向量为纵向单位向量为，则，，，，故选B.9．D【解析】由函数的图象可得，由，可得，再根据五点法作图可得，求得，故函数的解析式为，由，故将的图象向左平移个单位，即可得到的图象，故选D.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质与变换，属于中档题.利用最值求出,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求，是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点)时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.10．C【解析】因为，所以由等差数列的性质及求和公式可得，，故选C.11．D【解析】因为函数与直线的交点的横坐标构成以为公差的等差数列，所以函数的周期为，求得，且，再由，求得结合，可得，令，求得，故函数的增区间为，令可得，，是增区间，可排除选项 ，故选D.12．C【解析】设 ，则 是奇函数，则 在 上递增， ， ， ， ，，故选C.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，等差数列的性质与求和公式、以及构造函数法的应用, 属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据所求问题的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.13【解析】解：因为22cos sin cos884-==πππ14．【解析】当 时， ，当 时，， 不适合 ， ，故答案为. 【方法点睛】本题主要考查数列通项与前 项和之间的关系以及公式 的应用，属于难题.已知 求 的一般步骤：（1）当 时，由 求 的值；（2）当 时，由 ，求得 的表达式；（3）检验 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示 ；（4）写出 的完整表达式.15．【解析】 ，对于 ， ， ， ，又 ， ，即，又，故答案为.16．【解析】， ，又 根据正弦定理得，由，解得 ， 由余弦定理得，，即 的周长为 ，故答案为 .17．(1)(2) .【解析】试题分析：（1）求出的模与积数量积，利用平面向量夹角公式可得结果；（2）先求得，利用向量垂直数量积为零，列方程求解即可试题解析：（1），，，夹角为（2），，即，【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.18．(1);(2) .【解析】试题分析：（1））由韦达定理可得，，于是，结合，即可得结果；（2）由（1）可得，结合可得化简即可得结果.试题解析：（1）由题，，因为，所以（2），得.19．(1);(2).【解析】试题分析：（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式将函数化为，由令可得函数的对称中心；（2），恒成立等价于恒成立，结合的利用正弦函数的图象与性质求出的最小值与的最大值，从而可得结果.试题解析：（1）令得对称中心为（2）因为，所以恒成立恒成立，恒成立，综上.20．(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（1）由可得，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，从而可得，进而可得结果（2）由（1）可得，，，利用裂项相消法可求得数列的前项和.试题解析：（1），所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，（2）.【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与等比数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.21．(1)2;(2).【解析】试题分析：（1）由可得，化简可得，由等腰三角形的性质可得结果；（2）由三角形面积得，在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得.试题解析：（1）（2）解得在中，由余弦定理得在中，由正弦定理得.22．(1);(2) ;(3).【解析】试题分析：（1）由，利用“累乘法”可得；，化简即可的结果；（2）利用公式可得结果（注意检验）；（3）是递减数列，即，化为恒成立，只需只需即可得结果.试题解析：（1）满足上式（2）时，当时，符合上式（2）解：是递减数列，即只需设数列的通项公式时，，即当时，所以的最大项为。
湖南省长沙市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
长沙市2023~2024学年高一年级期末考试数学试卷（答案在最后）2024年7月时量：120分钟满分：150分命题：高一数学组审题：高一数学组一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2i z =-，则zz z =-（）A.1i 2-+ B.1i 2- C.1i 2+ D.1i 2--2.有一组互不相等的样本数据126,,,x x x ，平均数为x .若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为125,,,y y y ，平均数为y ，则下列说法错误的是（）A.新数据的极差可能等于原数据的极差B.新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C.若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差D.若x y =，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数3.设ABC 的内角A B C ､､所对边分别为,,a b c ，若π3A =，且不等式(230x x -+<的解集为{}x b x a <<∣，则B =（）A.π6B.5π6C.π6或5π6 D.2π34.在侧棱长为S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠∠∠=== ，过A 作截面AEF ，则截面的最小周长为（）A. B.4C.6D.105.设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得b a λ= ”是“a b a b +=+ ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC CC AC BC ==⊥，点D 是AB 的中点，则直线1B B 和平面1CDB 所成角的正切值为（）A.22B.3222D.227.在正方体1111ABCD A B C D -中边长为2，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，若三棱锥P ABC -的外接球表面积恰为41π4，则此时点P 构成的图形面积为（）A.πB.25π16C.41π16D.2π8.已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ====.若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ，都有11223312312e e e e e e λλλ++≥++，则向量13,e e 夹角的最大值的余弦值为（）A.366-B.356+-C.366-D.356-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为12,x x ，事件A =“13x =”，事件B =“26x =”，事件12“9C x x =+=”，则（）（）A.AB C ⊆B.AC B ⊆C.,B C 互斥D.,B C 独立10.已知函数()23sin 2sin (0)2xf x x ωωω=+>的图象在区间[]0,π上有且仅有三个对称中心，则（）A.ω的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.()f x 的图象在区间[]0,π上有2条或3条对称轴C.()f x 在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值不可能为3D.()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,,E F G 分别为棱11,,AA CC BC 上的点，()10,1A E CF CG λ===∈，则（）A.EG GF⊥B.平面EFG 经过棱AB 的中点HC.平面EFG 截该正方体，截面面积的最大值为4D.点D 到平面EFG 距离的最大值为2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的图象与坐标轴交于点,,A B C ，直线BC 交()f x 的图象于点,D O （坐标原点）为ABD 的重心（三条边中线的交点），其中()π,0A -，则ABD 的面积为__________.13.明德中学为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分（满分100分）作为样本，在这200个样本中，所有学生评分样本的平均数为x ，方差为2x s ，所有教师评分样本的半均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x s y s s ==，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为__________.14.正四棱锥的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则Rr的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面,2,22,,ABCD PA AB PB AD BC AB BC AD =====⊥∥,BC M 为棱AP 的中点.（1）求证：BM ∥平面PCD ；（2）求直线PC 与平面BCM 所成角的正弦值.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos sin 3a b C C =-.（1）求B 的大小；（2）若ABC 的面积为，且3BC BD =，当线段AD 的长最短时，求AC 的长.17.（15分）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲､乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，...，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求取球2次即终止的概率：（2）求甲取到白球的概率.18.（17分）如图，已知四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，且6AB =，60BAD BAF DAF ∠∠∠=== .（1）证明：直线BD ⊥平面ACEF ；（2）设平面BEF ⋂平面ABCD l =，且二面角E l D --的平面角为26,tan 3θθ=，设G 为线段AF 的中点，求DG 与平面ABCD 所成角的正弦值.19.（17分）点A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与,P Q 两点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段PQ 上，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=；若点M 在线段PQ 外，记()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠∠=-.（1）若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 的延长线上，且22AB BM ==，由1A 对AB 施以视角运算，求(),;A B M 的值：（2）若M 在正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 上，且2AB =，由1A 对AB 施以机角运算，得到()1,;2A B M =，求AM MB的值；（3）若1231,,,,n M M M M - 是ABC 的边BC 的()2n n ≥等分点，由A 对BC 施以视角运算，证明：()()(),;,;11,2,3,,1k n k B C M B C M k n -⨯==- .长沙市2023~2024学年高一年级期末考试数学答案题号12345678答案ADACBDAA【解析】因为2i z =-，所以2i z =+，所以()()()2i i 2i 2i 12i 1i 2i 2i 2i 2i i 22z z z +⋅++-+=====-+---+--⋅.故选：A.2.【答案】D【解析】不妨设原数据126x x x <<< ，新数据.125y y y <<< .，A ：例如原数据为1,2,3,4,5,6，新数据为，此时极差均为615-=，故A 正确；B ：原数据中位数为342x x +，新数据中位数为3y ，可知33y x =或34y x =，若33y x =，可得34332x x x y +>=；若34y x =，可得34432x xx y +<=；综上所述：新数据的中位数不可能等于原数据的中位数，故B 正确；C ：若x y =，可知去掉的数据为x ，则652211(()i i x x y y ==-=-∑∑，可得652211111,3,4,5,6()()65i i x x y y ==-<-∑∑，所以新数据的方差一定大于原数据方差，故C 正确；D：若x y =，可知去掉的数据为x ，因为640% 2.4⨯=，可知原数据的40%分位数为第3位数，540%2⨯=，可知新数据的40%分位数为第2位数与第3位数的平均数，例如原数据为2,2,3,4,5,6-，新数据为2,2,4,5,6-，此时新数据的40%分位数､原数据的40%分位数均为3，故D 错误；故选：ABC.3.【答案】A【解析】不等式(230x x -+<即()(30x x -<3x <<，所以，3,a b ==，由正弦定理可得sin sin b a B A=，所以，πsin 13sin 32b A B a ===，b a < ，所以B A <，可得B 是锐角，所以π6B =，故选A .4.【答案】C【解析】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面AEF 的周长最小，就是侧面展开图中AG 的距离，因为侧棱长为2的正三棱锥V ABC -的侧棱间的夹角为40,120AVG ∠=，所以由余弦定理可知22222cos12036,6AG VA VG VA VG AG =+-⋅==∴= ，故选C.5.【答案】B【解析】若“a b a b +=+，则平方得2222|2||2|a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，即a b a b ⋅=⋅ ，即cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅=⋅ ，则cos ,1a b = ，即,0a b = ，即,a b同向共线，则存在实数λ使得b a λ= ；反之当,πa b = 时，存在0λ<，满足b a λ= ，但“a b a b +=+ ”不成立，即“存在实数λ使得b a λ= ”是“a b a b +=+ ”的必要不充分条件.故选：B.6.【答案】D【解析】由题意，以C 为坐标原点，以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间坐标系，如下图所示：令12AC BC CC ===，则()0,0,0C ，()()()()12,0,0,0,2,0,1,1,0,0,2,2A B D B 故()()()110,0,2,1,1,0,0,2,2B B CD CB =-==设(),,n x y z = 为平面1CDB 的一个法向量，则100CD n CB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩令1x =，则1,1y z =-=，从而()1,1,1n =-，设直线1B B 和平面1CDB 所成角为θ，则111sin cos ,3||n B B n B B n B Bθ⋅=<>==⋅，故cos 3θ=，从而tan 2θ=.故选：D.7.【答案】A【解析】如下图所示，设三棱锥P ABC -的外接球为球O '，分别取11AC A C ､的中点1O O ､，则点O '在线段1OO 上，由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则ABC的外接圆的半径为OA =O 的半径为R ，则2414ππ4R =，解得4R =.所以，34OO =='，则1135244OO OO OO '=-=-=，易知，点P 在上底面1111A B C D 所形成的轨迹是以1O为圆心的圆，由于4O P R =='，所以，11O P ==，因此，点P 所构成的图形的面积为21ππO P ⨯=.故选：A.8.【答案】A【解析】设()cos ,sin C θθ，如图，不妨设()()12311,0,,,cos ,sin 22e OA e OB e CO θθ⎛⎫======-- ⎪ ⎪⎝⎭.设M 为AB 的中点，G 为OC 的中点，F 为BD 的中点，E 为AD 的中点.则()1233111,,cos ,sin ,44222M G e e e GO OM GM θθ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设112233e e e HO OP HP λλλ++=+=，点P 在平行四边形EDFM 内（含边界）.由题知HP GM ≥恒成立.为了使13,e e最大，则思考13,e e为钝角，即思考C 点在第一或第四象限.思考临界值即P 与M 重合，G 与H 重合，且GM 不能充当直角三角形斜边，否则可以改变H 的位置，使得HM GM <，此时θ最小，所以GM OC ⊥ ，即()311cos ,sin cos ,sin 04242θθθθ⎛⎫--⋅= ⎪⎪⎝⎭，即22311cos cos sin 04242θθθθ-+-=.即331cos sin 1222θθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即π1cos 262θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以πcos 63θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.所以ππππππcos cos cos cos sin sin 666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1332326+=⨯+=，其中向量1e 与3e 夹角为πθ-，故1e 与3e 夹角的最大值的余弦值为36+-.故选：A.9.【答案】ABD【解析】AB =“13x =且26x ="，事件C 的基本事件有121212121,8;2,7;3,6;4,5x x x x x x x x ========；121212125,4;6,3;7,2;8,1x x x x x x x x ========共8个，所以AB C ⊆，故A 正确；AC ="13x =且129"x x +=="13x =且26"x =，所以AC B ⊆，故B 正确；对于C ，当13x =且26x =时，事件,B C 同时发生，所以,B C 不互斥，故C 错误；对于()()181D,,8888P B P C ===⨯，而BC =“13x =且26x =”，则()164P BC =，所以()()()P BC P B P C =，所以,B C 独立，故D 正确.故选：ABD.10.【答案】BD【解析】()1cos π2cos 12sin 126xf x x x x x ωωωωω-⎛⎫=+⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()ππ6x k k ω-=∈Z ，得()()61πππ66k k x k ωωω+=+=∈Z ，由()()61π0π6k k ω+≤≤∈Z 结合0ω>，得()1166k k ω-≤≤-∈Z ，依题意.k .有且只有三个整数值，所以1236ω≤-<，得131966ω≤<，故A 不正确；令()πππ62x k k ω-=+∈Z ，得()()32ππ2π33k k x k ωωω+=+=∈Z ，由()()32π0π3k k ω+≤≤∈Z 结合0ω>，得()2233k k ω-≤≤-∈Z ，当13863ω≤<时，32223ω≤-<，此时0k =或1k =，函数()f x 的图象在区间[]0,π上有2条对称轴，为2π5π,33x x ωω==，当81936ω≤<时，25232ω≤-<，此时0k =或1k =或2k =，函数()f x 的图象在区间[]0,π上有2条对称轴，为2π5π8π,,333x x x ωωω===，所以()f x 的图象在区间[]0,π上有2条或3条对称轴，故B 正确；当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππππ,6646x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为131966ω≤<，所以ππ3π5π,4688ω⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，所以当ππ62x ω-=，即2π3x ω=时，()f x 取得最大值3，故C 不正确；由π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππππ,6666x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为131966ω≤<，所以ππ7π13π,663636ω⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，因为0ω>，所以()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故D 正确.故选：BD11.【答案】ABD【解析】记M 为11D C 的中点，棱AB 的中点H ，取线段11A D 上的点N 使得1A N λ=，正方体1111ABCD A B C D -的中心为O .则根据对称性，E 和,F G 和,N H 和M 分别关于点O 对称.从而O 在平面EFG 内，而FG ∥1BC ∥HM ，故FG ∥HO ，从而H 在平面EFG 内.由于前面的对称性，及,,,,E F G H O 在平面EFG 内，知平面EFG 截该正方体的截面就是中心为O 的六边形EHGFMN ，从而H 一定在平面EFG 内，至此我们得到选项B 正确.前面已经证明FG ∥MH ，同理有NE ∥MH ，故FG ∥MH ∥NE .由于11A N A E CF CG λ====，故111D N AE C F BG λ====-，同时显然有1112AH BH D M C M ====.从而EN FG λ===，MN MF EH GH =====由于,EN FG HM FG λ==<=∥MH ∥NE ，故四边形ENMH 和GFMH 都是等腰梯形，从而,OE ON OF OG ==.这表明线段EF 和GN 互相平分且长度相等，所以四边形是EGFN 矩形，故EG GF ⊥，至此我们得到选项A 正确.由于四边形ENMH 和GFMH λ，下底均为，.所以它们的面积都等于(11122λλ⋅+=+故截面EHGFMN 的面积(1S λ=+.当34λ=时，(7321411644S λ⋅=+=>，至此我们得到选项C 错误.由于1122DO DB ==，且O 在平面EFG 内，故点D 到平面EFG的距离不超过2.而当12λ=时，,,,,,E H G F M N分别是各自所在棱的中点，从而DE DF DG ===而2OE OF OG ===，这表明点D 和点O 到,,E F G 三点的距离两两相等.故点D 和点O 在平面EFG 的投影同样满足到,,E F G 三点的距离两两相等，从而点D 和点O 在平面EFG 的投影都是EFG 的外心，所以由点D 和点的投影是同一点，知DO 垂直于平面EFG .从而由O 在平面EFG 内，知点D 到平面EFG 的距离就是DO 的长，即32.所以，点D 到平面EFG 的距离的最大值是32，至此我们得到选项D 正确.故选：ABD.12.【答案】2【解析】因为O 为ABD 的重心，且()π,0A -，可得2π3OA AC ==，解得3π2AC =，所以π,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1π3ππ222T =--=，所以3πT =，所以2π3πω=，解得23ω=，可得()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()π0f -=，即()2sin π03ϕ⎡⎤⋅-+=⎢⎥⎣⎦，可得()2π2π3k ϕ⨯-+=，解得2π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又由0πϕ<<，所以2π3ϕ=，所以()22π2sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，于是()22π02sin 033OB f ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭，故ABD的面积为13π2222S =⨯⨯.故答案为：2.13.【答案】160【解析】假设在样本中，学生､教师的人数分别为,(1200,,)m n n m m n ≤<<∈N ，记样本中所有学生的评分为(),1,2,3,,i x i m =⋯，所有教师的评分为(),1,2,3,,j y j n =⋯，由x y =得mx ny z x y m n +===+，所以()()222111200m n i j i j s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()222211114,2002005m n i j x y x y i j x x y y ms ns s s ==⎡⎤=-+-=+=⎢⎥⎣⎦∑∑，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y x y xs s m n s s +=，令x ys t s =，则()21600,Δ2560042560042000mt t n mn m m -+==-=--≥，即220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤<<且200m n +=，得100m >，所以160m ≥.所以总样本中学生样本的个数至少为160.故答案为：160.14.1+【解析】设正四棱锥P ABCD -底面边长为a ，高为h ，底面ABCD 的中心为M ，连接,PM BM，则,2BM a PM h ==，所以PB ==，设外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，则12,O O 在PM 上，因为11PO BO R ==，所以11O M PM PO h R =-=-，在1Rt O MB中，222()2h R a R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得2224h a R h +=，因为22111143332P ABCDV a h a r -==+⨯⨯所以r =，所以()22222222244h a h a a a R h a a h ahr h ah ++++===2222224ha h +⋅=，令h k a =，则222221h R a r ⎛⎫+ ⎪=，令1)t t =>，则()2121R t r t +=-，令1(0)m tm =->，则222111122R m m m r m m ++==++≥+=+，当且仅当12m m =，即m =时取等号，所以R r1+.1+.15.【解析】（1）取PD 的中点N ，连接,MN CN ，则MN ∥AD 且12MN AD =，又BC ∥AD 且12BC AD =，所以MN ∥BC 且MN BC =，故四边形BCNM 为平行四边形，所以BM ∥CN ，又BM ⊄平面,PCD CN ⊂平面PCD ，所以BM ∥平面PCD（2）由2,2AB PA PB ===222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PA =⊂平面PAB ，所以PA ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥.由2,1,AB BC AB BC ==⊥，得225AC AB BC =+=，所以223PC AC PA =+=，22226,5CM AM AC BM AM AB =+==+=，得222CM BM BC =+，则BC BM ⊥，所以1522MBC S BM BC =⋅= .又()()111121213323P MBC P ABC M ABC ABC V V V S PA MA ---=-=-=⋅⋅⋅⋅-= ，设P 到平面MBC 的距离为h ，直线PC 与平面MBC 的所成角为θ，则1536P MBC MBC V hS -== ，所以1536h =，解得55h =，所以5255sin 315h PC θ===，即直线PC 与平面MBC 的所成角的正弦值为515.16.【解析】（1）因为3cos sin 3a b C C =-，由正弦定理可得3sin sin cos sin 3A B C B C =-，又()()sin sin πsin sin cos cos sin A B C B C B C B C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，所以sin cos cos sin sin cos sin sin 3B C B C B C B C +=-，所以cos sin sin 3B C B C =-，又()0,πC ∈，所以sin 0C >，所以cos sin 3B B =-，即tan B =，又()0,πB ∈，所以2π3B =；（2）因为ABC 的面积为，即1sin 2ac B =，即12πsin 23ac =11222ac ac ⨯==，因为3BC BD = ，所以13BD BC = ，在ABD 中2222cos AD BA BD BA BD B =+-⋅，即2221121123333AD c a ac ca ac ac ⎛⎫=++≥+== ⎪⎝⎭，当且仅当13c a =，即6,2a c ==时取等号，所以AD ≥AD 的最小值为6,2a c ==，则2222212cos 62262522b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以b =，即AC =17.【解析】（1）设事件A 为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数：因此，()432767P A ⨯==⨯.（2）设事件B 为“甲取到白球”，“第i 次取到白球”为事件1,2,3,4,5i =，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数：所以()()()()135135()P B P A A A P A P A P A =⋃⋃=++343343213361227765765437353535⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++=++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯18.【解析】（1）设AC BD O ⋂=，连接,DF OF ，四边形ABCD 为菱形，则,,AB AD AC BD BO OD =⊥=，又60BAF DAF ∠∠== ，易得BAF DAF ≅ ，所以BF DF =，则BD OF ⊥，又,,AC OF O AC OF ⋂=⊂平面ACEF ，所以直线BD ⊥平面ACEF（2）过F 点作FH AC ⊥于H 点，过H 点作HM l ⊥于M 点，连接FM ，过H 点作HN AD ⊥于N 点，连接FN ，由（1）易证，,FM l FN AD ⊥⊥，则FMH ∠为二面角E l D --的平面角，在直角FHM 中，6tan 3FH HM θ==，又3HM BO ==，可得6FH =，设2AF a =，则,33AN a NH FN a ===，直角FHN 中，222(26)3)3a +=，可得6AF =，G 为线段AF 的中点，则G 到平面ABCD 的距离6d =，又33DG =，设直线DG 与平面ABCD所成角为,sin 3d DG αα==，直线DG 与平面ABCD所成角的正弦值为3.19.【解析】（1）如图1，因为22AB BM ==，所以113,AM A B A M ===.由正方体的定义可知1AA AB ⊥，则190A AB ∠= ，故11sin 22AA B AA B ∠∠==，11sin 1313AA M AA M ∠∠==.因为111BA M AA M AA B ∠∠∠=-，所以11111sin sin cos cos sin 26BA M AA M AA B AA M AA B ∠∠∠∠∠=-=，则()11112sin 13,;3sin A A AA M A B M A B MA B ∠∠⨯=-=--.（2）如图2，设()02AM a a =≤≤，则1122sin ,cos 44AA M AA M a a ∠∠==++.因为111BA M AA B AA M ∠∠∠=-，所以()()()()()()22111sin sin 224/24BA M AA B AA M a a a ∠∠∠=-=-++，则()211112sin 14,;sin 22A A AA M a a A B M A B MA B a ∠∠⨯===-，解得23a =，故122AM a MB a ==-.（3）证明：如图3，因为1231,,,,n M M M M - 是BC 的n 等分点，所以k n k BM CM -=,n k k k n k BC BM CM BC n n --===.在k ABM 中，由正弦定理可得sin sin k k k BM AB BAM AM B ∠∠=，则sin sin k k k AB BAM BM AM B ∠∠=.在k ACM 中，同理可得sin sin k k k AC CAM CM AM C ∠∠=.因为πk k AM B AM C ∠∠+=，所以sin sin k k AM B AM C ∠∠=，则()sin sin ,;sin sin k k k k k k k k k AB BAM BM AM B BM k B C M AC CAM CM AM C CM n k∠∠∠∠====-.同理可得(),;n k n k n k BM n k B C M CM k ----==.。
湖北省沙市中学高一数学下学期第一次半月考试题
2015—2016学年下学期高一年级第一次半月考数学试卷考试时间：2016年3月3日一．选择题（每小题5分，共12小题） 1．化简﹣+所得的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．2． cos24°cos36°-cos66°co s54°的值等于( )A ．0B ．C ．D ．﹣3．设是的相反向量，则下列说法错误的是（ ）A ．与的长度必相等B ．∥C ．与一定不相等D ．+= 4．已知角α顶点在原点，始边为x 轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点（m ，m ），则sin2α=（ ） A ．±43 B ．43 C ．±23 D ．235．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且，则r+s 的值是（ ）A ．B ．C ．﹣3D ．0 6．已知函数f （x ）=2cosx （sinx+cosx ），则下列说法正确的是( )A ．f （x ）的最小正周期为π2B ．f （x ）的图象关于直线8π=x 对称C ．f （x ）的图象关于点)0,8(π-对称 D ． f （x ）的图象向左平移4π个单位长度后得到一个偶函数图象7．已知31)6sin(=+πα，则=+)32cos(πα（ ）A ．98B ．97C ．98-D ．97-8．设︒︒-=2sin 232cos 21a ,22tan141tan 14b ︒︒=-，250cos 1︒-=c ，则有( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b9．使函数f(x)=sin(2x+θ)+)2cos(3θ+x 是奇函数，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．B ．C ．D ．10．为得到函数)32cos(π+=x y 的图象，只需将函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向左平移65π个长度单位 B ．向右平移65π个长度单位 C ．向左平移125π个长度单位 D ．向右平移125π个长度单位11．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AC AB AM 4143+=，则△ABM 与△ABC 的面积之比等于（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知奇函数)(x f 在]0,1[-上为单调递减函数，又βα,为锐角三角形两内角，则（ ）A ．)(cos )(cos βαf f >B ．)(sin )(sin βαf f >C ．)(cos )(sin βαf f >D ．)(sin )(cos αβf f > 二．填空题（每小题5分，共4小题）13．计算： =+︒︒1140cos 210sin 14．若[)π,0∈x ，则22sin <x 的x 取值范围为 15．已知f （x ）=x 2+（sinθ﹣cosθ）x+sinθ（θ∈R）的图象关于y 轴对称，则θθ2cos 2sin +的值为16．给出下列命题：①存在实数α，使1cos sin =αα；②函数)23sin(x y +=π是偶函数；③直线8π=x 是函数)245sin(x y +=π的一条对称轴；④若βα,是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >．⑤对于向量、、，若∥，∥，则∥； 其中正确命题的序号是三．解答题（写出必要的文字叙述与解答过程，共70分）17．（10分）已知)3tan()2cos()23sin()cos()23cos()5sin()(παπαπααππααπα-⋅+⋅-+⋅+⋅-=f（1）化简)(αf ； （2）若α是第三象限角，且51)23cos(=-απ，求)(αf 的值．18．（12分）已知.20,71)sin(,1413sin παββαα<<<=-=（1）求)2sin(βα-的值； （2）求β的值.19．（12分）已知函数)0,0)(cos()sin(3)(><<+-+=ωπϕϕωϕωx x x f 为偶函数，且函数)(x f y =图象的两相邻对称轴间的距离为2π． （Ⅰ）求)8(πf 的值；（Ⅱ）将函数y=f （x ）的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．20．（12分）已知21,e e 是平面内两个不共线的非零向量，212e e AB +=，21e e BE λ+-=，212e e +-=，且A ，E ，C 三点共线．（1）求实数λ的值；（2）设点G 是ABC ∆的重心，请用21,e e 表示．21．（12分）已知函数g （x ）=Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，|φ|＜2π，ω＞0）的图象如图所示，函x x x g x f 2sin 232cos 23)()(-+= （1）如果)3,6(,21ππ-∈x x ，且g （x 1）=g （x 2），求g （x 1+x 2）的值；（2）当]3,6[ππ-∈x 时，求函数f （x ）的最大值、最小值； （3）已知方程f （x ）﹣k=0在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上只有一解，则k 的取值集合．22．（12分）已知定义在())(,00,-∞+∞U 上的奇函数()f x 满足(2)0f =,且在(),0-∞上是增函数;又定义行列式12142334a a a a a a a a =-; 函数sin 3cos ()sin g mθθθθ-=(其中02πθ≤≤)．(1)求()2g π的值； (2) 若函数()g θ的最大值为4，求m 的值;(3) 若记集合{}|M m θ=>恒有g()0,[]{}|0N m f θ=<恒有g(),求N M ⋂．参考答案：1--------5 CBCDD 6-----------10 BBDBC 11---12 DD 13. 0 14. 15. 1 16.②③ ．17. 解：（1）==cosα．（2）∵，∴，又∵α为第三象限角，∴，∴．18.解：（1）98355)2sin(=-βα； （8分） （2）3πβ= （4分） 19. 解：（Ⅰ）==．∵f（x ）为偶函数，∴对x∈R，f （﹣x ）=f （x ）恒成立，∴．即，整理得．∵ω＞0，且x∈R，所以．又∵0＜φ＜π，故．∴．由题意得，所以ω=2．故f （x ）=2cos2x ．∴．（Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．∴．当（k∈Z），即（k∈Z）时，g （x ）单调递减，因此g （x ）的单调递减区间为（k∈Z）．20. 解：（1）∵，，∴==+=．∵A ，E ，C 三点共线， ∴存在m∈R，使得，∵， ∴=．∵是平面内两个不共线的非零向量，∴，∴，∴实数λ的值为．（2）12542333GE BA BC e e =-=-u u u r u u u r u u u r u r u u r（借助AC 中点）21. 解：（1）由图象得，A=1，2T =，则，所以ω=2，把点代入得，sin （2×+φ）=0，则2×+φ=kπ，解得（k∈Z），由﹣π＜ϕ＜0得，，所以，因为，且g （x 1）=g （x 2），所以由图得，，则；（2）由（1）得，f （x ）=g （x ）+cos2x ﹣sin2x==，因为，所以，当时，即时，y max =2，当时，即时，；（3）由（2）得，f （x ）=，因为x∈，所以∈，则，即，因为方程f （x ）﹣k=0在上只有一解，则k 的取值集合是（﹣，]∪{﹣2}．22.解(1) 22()sin (3cos )cos cos 31g m m m θθθθθ=--=-+-+22(cos )3124m m m θ=--+-+m g 31)2(-=∴π（2）[]0,cos 0,12πθθ⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎣⎦因为()g θ的最大值只可能在cos 0(0)2m θ=≤,cos 1(1)2mθ=≥,cos (01)22m m θ=<<处取. 若cos 0θ=，()4g θ=，则有134,1m m -==-，此时122m =-，符合;若cos 1θ=，()4g θ=，则有24,2m m -==-,此时12m=-，不符合;若cos 2mθ=，()4g θ=，则有2314,64m m m -+==+6m =-此时32m =+32m=-不符合 . 1m ∴=- ．(3) ()f x 是定义在())(,00,-∞+∞U 上的奇函数且满足(2)0f = (2)0f ∴-= 又()f x 在)((,0),0,-∞+∞上均是增函数, 由[]()0f g θ< 得()2g θ<-或2()0g θ>> 又{}|M m θ=>恒有g()0[]{}{}|0| g() 2 2>g()>0 N m f m θθθ=<=<-恒有g()恒有或所以=⋂N M {}|2m θ<<恒有0g()即不等式20cos cos 312m m θθ<-+-+<在0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立当221cos (3cos )6(3cos )103cos 3cos m θθθθθ----+-->=-- 1010(3cos )()6(3cos )()63cos 3cos θθθθ⎡⎤=---+=--++⎢⎥--⎣⎦[][]0,,cos 0,1,3cos 2,32πθθθ⎡⎤∈∴∈-∈⎢⎥⎣⎦10197(3cos )()3cos 3θθ∴≥-+≥-，即101(3cos )()61,3cos 3θθ⎡⎤⎡⎤--++∈--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,此时13m >- 当221cos (3cos )6(3cos )83cos 3cos m θθθθθ---+--<=-- 88(3cos )()6(3cos )()63cos 3cos θθθθ⎡⎤=---+=--++⎢⎥--⎣⎦86(3cos )()3cos θθ∴≥-+≥-8(3cos )()60,63cos θθ⎡⎤⎡--++∈-⎢⎥⎣-⎣⎦,此时0m < 综上所得1(,0)3m ∈-。
湖北省沙市中学高一数学下学期第三次半月考试题
2015—2016学年下学期高一年级第三次半月考数学试卷考试时间：2016年3月31日一．选择题（每小题5分，共12小题）1．已知21,e e 是平面内的两个单位向量，且21,e e 的夹角为︒60，若2123e e +=， 则=||OP ( )A. 10B. 13C. 19D. 72．若,是非零向量，且,⊥≠，则函数)()()(x x x f -⋅+=是（ ） A. 一次函数且是奇函数 B. 一次函数但不是奇函数 C. 二次函数且是偶函数 D. 二次函数但不是偶函数3．ABC ∆中，已知ac b C A B =+=2,2，则ABC ∆为（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C. 直角三角形D.等腰直角三角形 4．已知ABC ∆的面积为1，32=⋅,则角B 的大小为（ ）A.6π B. 3π C. 32π D. 65π 5．在Rt ABC ∆中， 4,90==∠AC C ο，则AB AC ⋅uu u r uuu r等于( )A. -16B. -8C. 8D. 166．∆ABC 中，4,2==b a , 则∠A 的取值范围是（ ）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛6,0π B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ D . ⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ 7．,E F 是等腰直角ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=( )A ．1627B ．23CD ．348．设0<m 错误!未找到引用源。
，点),3(m m M -为角α的终边上一点，则错误!未找到引用源。
的值为( ) A ．710B ．-2C ．32 D ．310 9．函数x x x f 2log 2)(+=π的零点所在区间为( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 B ．⎪⎭⎫⎝⎛21,41 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛43,21 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,4310．直角梯形ABCD 中，M CD AB B AB AD CD AB ,22,45,,//===∠⊥ο为腰BC 的中点，则=⋅( )A 1B 2C 3D 411．若满足条件ο60,2=∠=B AB 的三角形ABC 有两个，则AC 长的取值范围是（ ）A )2,1(B )3,2(C )2,3(D )2,2(12．已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心,且,A θ∠=若cos cos 2,sin sin B C AB AC mAO C B+=u u ur u u u r u u u r 则m =（ ） A ．sin θ B ．cos θ C ．tan θ D ．不能确定二．填空题（每小题5分，共4小题）13．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩则294146f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=14．已知函数)0)(6sin(3)(>-=ωπωx x f 和1)2cos(2)(++=ϕx x g 的图象的对称轴完全相同。
湖南省长沙市高一下学期期末数学试卷
湖南省长沙市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·林州月考) 已知点为角的终边上的一点，且，则的值为（）A .B .C . 2D .2. （2分）如图，A、B分别是射线OM,ON上的两点，给出下列向量：①；②；③；④；⑤.这些向量中以O为起点，终点在阴影区域内的是（）A . ①②B . ①④C . ①③D . ⑤3. （2分）若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两本，则抽出一本为外文书的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）半径为15 cm，圆心角为216°的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是（）A . 14 cmB . 12 cmC . 10 cmD . 8 cm5. （2分）(2018·中山模拟) 执行右图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S=（）A . 4B . 5C . 6D . 76. （2分）每一个音都是纯音合成的，纯音的数字模型是函数y=Asinωt．音调、响度、音长、音色等音的四要素都与正弦函数及其参数（振幅、频率）有关．我们听到声音是由许多音的结合，称为复合音．若一个复合音的函数是y=sin4x+sin6x，则该复合音的周期为（）A .B . πC .D .7. （2分）(2013·安徽理) 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足| |=| |= •=2，则点集{P| =λ +μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A .B .C .D .8. （2分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程，表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）A . 75B . 62C . 68D . 819. （2分）某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（）A . ①用简单随机抽样法②用系统抽样法B . ①用系统抽样法②用分层抽样法C . ①用分层抽样法②用简单随机抽样法D . ①用分层抽样法②用系统抽样法10. （2分） =（﹣4，3）， =（5，6），则3| |2﹣4 • 等于（）A . 23B . 57C . 63D . 8311. （2分）用秦九韶算法计算当x=3时，多项式f（x）=3x9+3x6+5x4+x3+7x2+3x+1的值时，求得v5的值是（）A . 84B . 252C . 761D . 228412. （2分）(2017·山西模拟) 函数的部分图象如图所示，点A，B是图象的最高点，点C是图象的最低点，且△ABC是正三角形，则f（1）+f（2）+f（3）的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·汉中模拟) 若，则 ________．14. （1分） (2019高一上·太原月考) 一学校高中部有学生2 000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人.现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三各年级被抽取的学生人数分别为________．15. （1分） (2017高二下·成都开学考) 如图，在边长为3m的正方形中随机撒3000粒豆子，有800粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________m2 ．16. （1分）若对于函数f（x）=+b，现给出四个命题：①b=0时，f（x）为奇函数；②y=f（x）的图象关于（0，b）对称；③b=﹣1时，方程f（x）=0有且只有一个实数根；④b=﹣1时，不等式f（x）＞0的解集为空集．其中正确的命题是________ （写出所有正确命题的编号）三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）设平面内两个向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），且0＜α＜β＜π（1）证明：（ + ）⊥（﹣）（2）若两个向量k + 与﹣k 的模相等，求β﹣α的值（k≠0，k∈R）．18. （15分）(2016·新课标Ⅰ卷理) 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险01234 5次数保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险01234 5次数概率0.300.150.200.200.100. 05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.19. （10分）已知．（1）化简f（α）；（2）若，求f（α）的值．20. （5分）已知5名发热感冒患者中，有1人被H7N9禽流感病毒感染，需要通过化验血液来确定谁是H7N9禽流感患者，血液化验结果呈阳性的即为普通感冒患者，呈阴性的即为禽流感患者，下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，知道能确定禽流感患者为止；方案乙：先任选3人，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阴性，则表明禽流感患者在他们3人之中，然后再逐个化验，直到确定禽流感患者为止；若结果呈阳性，则在另外2人中任选1人化验．（1）求依方案乙所需化验次数恰好为2的概率；（2）试比较两种方案，哪种方案有利于尽快查找到禽流感患者．21. （5分）函数f（x）=3sin（ωx+ ）+2（ω＞0）图象的对称中心和g（x）=2tan（x+φ）+2图象的对称中心完全相同．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，0]上的最大值M和最小值m．22. （5分） (2017高二上·成都期中) 某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如表：每件产品A每件产品B研制成本、搭载费用之和（万元）2030计划最大资金额300万元产品重量（千克）105最大搭载重量110千克预计收益（万元）8060分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、。
2021年湖北省荆州市沙市实验中学高一数学理下学期期末试卷含解析
2021年湖北省荆州市沙市实验中学高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 方程的解的个数为……………（）A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 2个参考答案：D略2. 已知偶函数的定义域为，当时,单调递增. 若，则满足不等式的x的取值范围是( )A．B．C．D．参考答案：C3. △ABC中，c是a与b的等差中项，sinA，sinB，sinC依次为一等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和，则cosC的值为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】运用等差数列和等比数列的性质，结合正弦定理，可得a，b，c的关系，再由余弦定理计算即可得到所求值．【解答】解：c是a与b的等差中项，可得a+b=2c，①sinA，sinB，sinC依次为一等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和，由等比数列的和的性质，可得sinA，sinB﹣sinA，sinC﹣sinB成等比数列，可得sinA（sinC﹣sinB）=（sinB﹣sinA）2，由正弦定理可得sinA=，sinB=，sinC=，代入，化简可得a（c﹣b）=（b﹣a）2，②由①②可得a（a+b﹣2b）=2（b﹣a）2，化简可得a=b或a=2b，若a=b，则a=b=c，由等比数列各项均不为0，可得a≠b；则a=2b，c=b，即有cosC===．故选：C．【点评】本题考查等差数列和等比数列中项的性质，考查正弦定理和余弦定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．4. 一个几何体的三视图如图所示：俯视图是边长为2的正方形，主视图与左视图是全等的等腰直角三角形(单位长度: cm), 则此几何体的全面积是（）A. B. C. D.参考答案：C略5. 与函数的图像关于直线对称的曲线C对应的函数为，则的值为A． B．1 C．D．参考答案：D6. .一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，该圆锥的母线长为（）A. B. 4 C. D.参考答案：B【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长．【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为它的侧面展开图是圆心角为的扇形又圆锥的表面积为，解得：母线长为：本题正确选项：【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．7. 的值为（）A． B． C． D．－参考答案：略8. 过直线上一点作圆的两条切线、，为切点，当、关于直线对称时，等于（）A． B． C． D．参考答案：C9. （5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点参考答案：C考点：平面的基本性质及推论．专题：常规题型．分析：不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果．解答：A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确，B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C．点评：本题考查平面的基本性质即推论，考查确定平面的条件，考查两个平面相交的性质，是一个基础题，越是简单的题目，越是不容易说明白，同学们要注意这个题目．10. 如果lgx=lga+3lgb-5lgc,那么 ( )A x=B x=C x=D x=参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若向量的夹角是，，则= . 参考答案：12. 图3的程序框图中，若输入，则输出．参考答案：略13. 已知x可以在区间[﹣t ，4t]（t ＞0）上任意取值，则x∈[﹣t，t]的概率是．参考答案：【考点】几何概型．【分析】分别求出x属于的区间的长度和总区间的长度，求出比值即为发生的概率．【解答】解：因为x∈[﹣t，t]，得到区间的长度为t﹣（﹣t）=，又[﹣t，4t]（t＞0）的区间总长度为4t﹣（﹣t）=5t，所以x∈[﹣t，t]的概率P==．故答案为：．14. 函数y=|x2﹣4x|的增区间是．参考答案：[0，2]和[4，+∞）【考点】5B：分段函数的应用．【分析】画出函数y=|x2﹣4x|的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数y=|x2﹣4x|=的图象如下图所示：由图可得：函数y=|x2﹣4x|的增区间是[0，2]和[4，+∞），（区间端点可以为开），故答案为：[0，2]和[4，+∞）15. 若函数在处取得极值，则参考答案：3由题意得，令，即，解得，即．16. 下列说法中，正确的是（）（只填序号）（1）函数的图象是一直线；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素； （4）函数既是奇函数又是偶函数。
湖南省长沙市2019-2020学年高一下学期期末数学题(原卷版).docx
长沙县实验中学2020年高一下学期期末考试试卷数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.L变量x与y是正相关，且x = 2,y = 2.4,贝U线性回归方程可能是（）A. y-2x-2.4B. y = -2x+6AC. y -OAx + 1.6D. § = -0.3x + 4.42.一组数据中的每个数据都减去80,得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是（）A. 81 2, 84.4B. 78.8, 4.4C. 81.2, 4.4D. 78.8, 75.63.已知等差数列｛%,｝前"项和为S”，且角+“4=12, S7=49,则们=（）A. 9B. 10C. 1D. 124.《九章算术》是我国古代数学名著，书中把三角形的田称为"圭田”，把直角梯形的田称为"邪田”，称底是“广”，高是"正从”，"步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为八步和十二步，正从为八步，其内部有块广为八步，正从为五步的圭田，若将100棵的果树均匀地种植在邪田，一年后，每棵果树都有60Ag的果子收成，则此圭田中的收成约为（）A. 25kgB. 50kgC. 1500AgD. 2000信5.在直角坐标系中，若角a与角”的终边关于x轴对称，则a与”的关系是（）.A. a = -/3B. a+0 = 36O。
孜（次Z）C. a = /3D. a-[3 = 360。
孜Z）6.设D,E,F分别为AABC的三边BC,CA,AB的中点，则EB + FC=（）1 —-z- uuur . 1 -=—；A. —ADB. A。
C. BCD. — BC 7.袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是（）.A. A27 B. - C. - D.—9 9 278.已知a、月均为锐角，满足sina=V,cos^ = &m，则« + /?=()5 10A 71A.—6c 兀_ 71- 3/rB. 一C. 一D,—4 39.己知等差数列｛。
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沙市中学高一（下）数学期末试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．已知向量a 、b 满足：a +b =)3,1(，a -b =)3,3(-，则a 、b的坐标分别为（ C ）A ．)0,4( )6,2(-B ．)6,2(- )0,4(C ．)0,2( )3,1(-D ．)3,1(- )0,2( 2．已知扇形面积为83π，半径是1，则扇形的圆心角是 （C ） A ．163π B ．83π C ．43π D ．23π 3．下列向量中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是 （ B ）A. (0,0),(1,2)a b ==B. (5,7),(1,2)a b ==-C. (3,5),(6,10)a b ==D. 13(2,3),(,)24a b =-=-4．已知函数4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，R x ∈，且3)2005(=f ，则)2006(f 的值为 （C ）A ．3B ．4C ．5D ．65. 已知向量)75sin ,75(cos ︒︒=，)15sin ,15(cos ︒︒=的值是（ D ）A.21 B. 22 C. 23D. 1 6.已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ D ） A.247 B. 247- C. 724 D. 724- 7.21,e e 是两个单位向量,且夹角为120°,则()2123e e -·()214e e +的值为( A ) A.-10 B.-5 C.5 D.108.函数)2π25sin(x y +=的图象的一条对称轴的方程是（ A ）．A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π-=x D ．π45=x9.已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内,当12x π=时,取得最大值3y =,当712x π=时,取得最小值3y =-,则函数的解析式为( D )A.3sin(2)3y x π=-B.3sin()26x y π=- C.3sin(2)6y x π=+D.3sin(2)3y x π=+ 10．如右图所示，两射线OA 与OB 交于O ，则下列选项中哪些向量的终点落在阴暗区域内（ A ） ①2OA OB + ②3143OA OB +③1123OA OB + ④3145OA OB + ⑤3145OA OB - A ．①② B ．①②④ C ．①②③④ D ．③⑤二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上 11.已知点P 分有向线段21P P 的比为－3，那么点P 1分P P 2的比是 ．32-12．把函数1)43sin(3++=πx y 的图象按向量a 平移后得到函数2)33sin(3++=πx y 的图象，则向量的坐标是 (36π-，1)13．若角α终边在直线x y 3=上，顶点为原点，且0sin <α，又知点),(n m P 是角α终边上一点，且10=OP ，则n m -的值为 .214.已知3s i n ,5αα=是第二象限角,且tan()1αβ+=,则tan β的值是 715.关于x 的方程]2,0[12cos 2sin 3π在+=+k x x 内有相异两实根，则k 的取值范围为 [0，1） 16、给出下列命题：(1)a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ使b =λa ；(2)若α、β是第一象限角，且α＞β，则cos α＜cos β;(3)函数y ＝sin(32x-27π)是偶函数；(4) 向量b 与向量a的方向相反,是b 与a 是共线向量的充分不必要条件；(5)函数y ＝sin2x 的图象向右平移4π个单位，得到y ＝sin(2x-4π))的图象. 其中正确的命题的序号是 . 34三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.(本小题满分12分) 已知10,sin cos 25x x x π-<<+=. (1)求sin cos x x -的值; (2)求2sin 22sin 1tan x xx+-的值.解：124sin cos 2sin cos 525x x x x +=⇒=- (2分)（1）249(sin cos )12sin cos 25x x x x -=-=（5分）由已知02x π-<<有sin cos 0x x -<，7sin cos 5x x -=- . （6分）（2）由（1）可求得：34243sin ,cos ,sin 2,tan 55254x x x x =-==-=- (9分)2sin 22sin 241tan 175x x x +=-- (12分)18．（本题满分12分）如图，已知向量p =，q=，r OC=，且2=．(Ⅰ)试用q p 、表示r ；(Ⅱ)若点A )2,2(、B )1,3(，O （0，0）求点C 坐标．解：(Ⅰ)由题意得： p q -=，q r-=，———————2分 又 2=∴ )(2q r p q-=- ———————————4分 解得： q p r2321+-= ———————————6分 (Ⅱ) 由2=可知：点B 分有向线段所成的比为2，———8分 设点C ),(y x ，则得： 21223++=x ，21221++=y —————————10分 解得： 27=x ，21=y ， ∴ 点C 坐标为)21,27(．———————————12分 19.(本大题满分12分) 已知函数)0(23cos 3cos sin )(2＞a b a x a x x a x f ++-⋅= OBC(1)写出函数的单调递减区间；(2)设]20[π，∈x ，f (x )的最小值是－2，最大值是3，求实数a 、b 的(1)解：b x x x a x f ++-⋅=)23cos 3cos (sin )(2 b x a b x x a +-=+++⨯-⨯=)32s i n ()2322c o s 132s i n 21(π 4分∵a ＞0，x ∈R ，∴f (x )的递减区间是]1211125[ππππ++k k ， (k ∈Z)6分(2)解：∵x ∈[0，2π]，∴2x ∈[0，π]，2x －3π∈[323ππ，-] 7分∴]123[)32sin(，-∈-πx9分∴函数f (x )的最小值是b a +-23，最大值是b a + 10分由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-3233b a b a ， 解得a ＝2，b ＝23-12分20．（本题满分14分）如图，△ABO 的顶点A 在x 正半轴上，顶点B 在第一象限内，又知△ABO 的面积为22，m AB OA =⋅． (Ⅰ)若向量与的夹角为θ，)3,4(ππθ∈，求 实数m 的取值范围；(Ⅱ)若点B 在抛物线)0(2>=a ax yb =，m 小时实数a 的值． 解：(Ⅰ)根据题意：)22θπ-=即 θ22=，—————————2分 8又θm = 以上两式相除，并整理得：θcot 24=m ———————————4分 ∵)3,4(ππθ∈，∴)1,33(cot ∈θ ∴实数m 的取值范围是)24,364(． ———————————6分 (Ⅱ)b =知点)0,(b A ，设点)0,0)(,(>>q p q p B ，则),(q b p -=，于是22=⋅=∆q S ABC ，bq 24=，——————8分 又 ),()0,(q b p b AB OA -⋅=⋅2)122()(b b p b -=-= ∴ b p 22=， ———————————10分 从而226421322222222≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=b b b b q p ，当且仅当2264b b =即22=b 时，取等号， ———————————12分此时，点)2,2(B ，代入)0(2>=a ax y 解得21=a ， ∴取得最小值22时，21=a ． ——————14分 (Ⅱ)解二：∵θθ2122==， 72)122(b m -==⋅=θ ，———————8分 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=b cos 2sin θθ ， ∴1)223(322=-+b b ， 即22)223(32b b-+=，———————10分 ∴821322213222222=⋅≥+=++=b b b b OA ， 当且仅当222132b b=即22=b 时，取等号，—————————12分 此时，点)0,22(A ，由22=⋅=∆B ABC y S 求得点B 纵坐标2=B y ， 代入8= 求得点)2,2(B ，代入 )0(2>=a ax y 解得21=a ， ∴取得最小值22时，21=a ．———————14分 21．(本题满分10分)已知10a -<<，21A a =+，21B a =-，11C a=+，试比较A 、B 、C 的大小． 7【解答】不妨设12a =-，则54A =，34B =，2C =由此猜想B A C << 由10a -<<得10a +>，222(1)(1)20A B a a a -=+--=>得A B >，……5分22213()1(1)24(1)0111a a a a a C A a a a a⎡⎤++⎢⎥++⎣⎦-=-+=-=->+++得C A >， (9)分即得B A C <<．………………………………………………………………………..10分22. （本小题10分）解关于x 的不等式12-ax ax ＞x ，（a ∈R ）.解：由12-ax ax ＞x 得12-ax ax -x ＞0即1-ax x ＞0（2分）此不等式与x （ax-1）＞0同解.（3分）x ＞0 x ＜0 ①若a ＜0，则 或ax-1＞0 ax-1＜0得：⎪⎩⎪⎨⎧a x x 10 或⎪⎩⎪⎨⎧a x x 1即 无解 或a 1＜x ＜0. ∴解集为（a1，0）.（4分） ②若a=0，则-x ＞0⇒x ＜0，∴解集为（-∞，0）.（6分）x ＞0 x ＜0 ③若a ＞0，则 或ax-1＞0 ax-1＜0得⎪⎩⎪⎨⎧a x x 10 或⎪⎩⎪⎨⎧a x x 1即：x ＞a 1或x ＜0，∴解集为（-∞，0）∪（a1，+∞）（9分） 综上所述：①当a ＜0时，不等式的解集是（a1，0）②当a=0时，不等式的解集是（-∞，0） ③当a ＞0时，不等式的解集是（-∞，0）∪（a1，+∞）（10分）。