第二章第一讲 数的进制与科学计数法

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基础通关

1.计数亦称数数。

算术的基本概念之一。指数事物个数的过程。计数时，通常是手指着每一个事物，一个一个地数，口里念着正整数列里的数1，2，3，4，5等，和所指的事物进行一一对应，这种过程称为计数。上述逐个地计算事物的方法，称为逐一计数。若按几个一群的方法计数，则称为分群计数。例如，当计数金钱或变化时，或当“加二计数”(2,4,6,8,10,12,...)或“加五计

数”(5,10,15,20,15,...)时。中国人在计数时，常常用笔画“正”字，一个“正”字有五画，代表5，两个“正”字就是10，以此类推。

2.计数单位

像：一（个）、十、百、千、万、十万……等，叫做数的计数单位。这些计数单位按照一定的顺序排列起来，他们所占的位置叫做数位。计数单位应包含整数部分和小数部分两大块，并按以下顺序排列：……千亿、百亿、十亿、亿、千万、百万、十万、万、千、百、十、个（一）、十分之一、百分之一、千分之一、……整数部分没有最大的计数单位，小数部分没有最小的计数单位。写数时如果有小数部分要用小数点（.）把整数和小数分开。

3.十进制

人类天生双手十指。“扳着手指头”计数，是每个人幼时必经之路。这就是我们常用的十进制计数法。十进制计数法有两大内涵：一是有十个不同的数符：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9；二是“逢十进一”。所谓“十进制”就是每相邻的两个计数单位之间的关系是：一个大单位等于十个小单位，

也就是说它们之间的进率是“十”。十进制的计数单位分别是：()

321010,10,10,101，各个数位上的数字表示有几个这样的单位：例如：01231031011001022013⨯+⨯+⨯+⨯=。

4.二进制

大家知道，数是计算物体的个数而引进的，0代表什么都没有，有一个计为“1”；再多一个计为“10”（在十进制下计为2）；比“10”再多一个，计为“11”（二进制下计为3）。因此，二进制中只用两个数符0和1。二进制的计数单位分别是 32102,2,2),2(1，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110（为了不引起混淆，我们把二进制数右下角标一个2）在二进制中表示为：

543210210(100110)120202121202(38)=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=

同样，每个数位（和十进制一样从左往右数）上的数字代表有几个对应的单位。

5.位值原理

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原则。位值原则其实质就是我们利用十进制表示数字时各个数位上的计数单位数量。

位值原则的代数表达实质上就是利用十进制计数法将一个数字展开：

以六位数为例：

f e d c b a abcdef +⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=10100100010000100000 6.科学计数法

将一个数字表示成n a 10⨯，其中1≤a<10（小学阶段我们暂且讨论大于0的数，整个有理数范围之内a 满足的条件是1≤a <10），n 表示整数，对于大于1的数，1-整数数位=n ，这种记数方法叫科学记数法。数字很大的数，一般我们用科学记数法表示，例如6230000000000,我们可以用121023.6⨯表示。

90098700读作（ ），省略万后面的尾数约是（ ），左边起第一个“9”在（ ）位上，表示（ ），第二个“9”在（ ）位上，表示（ ）.

解析：如果让两数直接相减，则无法进行下一步计算。对于这样的问题，我们通常将其用位值原理将数字展开，即c b a abc +⨯+⨯=10100，同样，a b c cba +⨯+⨯=10100，然后求解。 解：cba abc -=（c b a +⨯+⨯10100）－（a b c +⨯+⨯10100）

=c a 9999- 所以99)(÷-cba abc =c a -

例2. 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是 .

解析：对这样的问题，我们通常假设这些三位数各个数位上的数字分别为c b a 、、，然后利用位值原理求解。

解：设这些三位数各个数位上的数字分别为c b a 、、，则

1554=+++++cba cab bca bac acb abc

用位值原理展开得

()()15541010010100)10100(=+⨯+⨯+++⨯+⨯++⨯+⨯a b c b c a c b a ，去括号化简得 ()1554222=++c b a

7=++c b a

将7分解为三个不同的数字之和为4217++=，所以这3个数字分别是1、2、4.

例3. 有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。 解：设这个三位数为abc ，依题意得

999966=+abc abc ，按位值原理展开得

()99996101001000)1010010006(=+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯c b a c b a ，去括号化简得

99996006111101100=+++c b a

3003111101100=++c b a

27310100=++c b a

由位值原理可知，“c b a ++10100”正好是三位数abc ，所以，原来的三位数为273. 本题最简洁的方法是将abc 看作一个整体，将两数分别改写为abc +⨯10006和610+⨯abc 在进行求解.

例4.计算()35123445123345122345112345÷++++

解析：观察，括号内几个数字各个数位上的数字之和均为15，因此利用位值原理易得答案为55555.（5315=÷，每个数位上都如此）

板块二：数的进制

例1. 将下列二进制数，改写成十进制数.

()()102 1110101

= 解析：二进制的数转化为十进制，从最后一位开始算，依次列为第0、1、2、3......第n 位的数（0或1）乘以2的n 次方，得到的结果相加就是答案。