2010我爱数学夏令营接力试题
我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一．在锐角ΔABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足。
O为ΔABC的外心。
求证：（1）ΔAEF～ΔABC；（2）AO⊥EF。
二．给定代数式–x3+100x2+x中的字母x只允许在正整数范围内取值。
当这个代数式的值达到最大值时，x的值等于多少？并证明你的结论。
三．（1）证明存在非零整数对（x,y）, 使代数式11x2+5xy+37y2 的值为完全平方数；(2) 证明存在六个非零整数a1,b1,c1,a2,b2,c2,其中a1:a2≠b1:b2,使得对于任意自然数n, 当x=a1n2+b1n+c1,y=a2n2+b2n+c2时，代数式11x2+5xy+37y2的值都是完全平方数。
2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一．=。
二．在长方形ABCD中，EF⊥AB，GH⊥AD，EF与GH相交于O，HC与EF相交于I。
已知AH:HB=m:n, ⊥COI的面积为1平方厘米，那么矩形ABCD的面积等于平方厘米。
三．将三个数：用两个不等号“>”连接起来，正确的结果应该是：。
四．点D，E分别在⊥ABC的边AC和BC上，⊥C为直角，DE⊥AB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的长等于。
五．知：x,y,z是正整数，并且满足那么，x-y+z 的值等于。
六．已知点D，E，F分别在⊥ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于。
七．如果满足x2-6x-16-10= a的实数x 恰有6个，那么实数a的值等于。
八．已知⊥ABC为等腰直角三角形，⊥C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么的值等于。
2010我爱数学夏令营综合试卷
个。
Байду номын сангаас
6. 有若干个工人从某日开始去完成一项工程，假定每个工人的工作效率相同。工作两天 之后经理从他们中抽出 10 个人去完成另一项工作量相同的工程，又经过一些整工作日， 两项工程同时完成，那么一个工人完成这样一项工程需要 天。 7. 将 2,3,4，…，71,72 按某种顺序排成数列 a1 , a2 , a3 , , a70 , a71 使得 a 2 能被 2 整除，a 3 能被 3 整除， …，a 70 能被 70 整除，a 71 能被 71 整除。 满足上述性质的数列共有 个。
8. 若干个运动员在 400 米一周的标准跑道上进行 1 万米跑比赛。假定每个人都跑完了全 程，且速度不变。第一名最后冲到终点线时见到最后一名也到了终点线，同时在跑的过 程中第一名不止一次在终点线遇到最后一名。 如果第一名跑完全程用 了 30 分钟，则最后一名跑完全程至少要用 分钟。 9. 从图中 A 点开始，沿方格线把 6×6 的方格纸剪开成形状相同格 数相同的两块（凡经过旋转或翻折可以重合的剪法视为同一种） ，那 么共有 种不同的剪法。 10.
2010 我爱数学夏令营数学竞赛试卷
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎟ + 7125 × 7.957 ÷ 2375 + 76.12 = 1. (9 ÷ 17 × 8.5 ÷ 5) ÷ 240 × ⎜ 2 + 1 ⎟ ⎜ 2 + ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝
2．下面乘法算式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示 不同的数字。那么“数字迷学习”表示的 5 位数是 。 3. 几个小孩的年龄之和为 22，则他们年龄之乘积最大为 。 。
5 × 5 × × 5是
100个5
位数。
11. 如图在矩形 ABCD 中， 已知 AB=8cm, BC=6cm, G 为 CD 边上一点， AG 与对角线 BD 相交于 H, BG 与对角线 AC 相交于 F, E 是 AC 与 BD 的 交 点 。 如 果 △ AHD 的 面 积 是 4cm2, 则 四 边 形 EFGH 的 面 积 是 ________cm2。 12. 甲乙二人上午 8:00 骑车沿公路同时自 A 地出发前往 B 地，甲比乙每小时快 x 公里。 甲到达 B 地后立即沿原路骑车返回，甲乙在距 B 地 12 公里处相遇，以后甲于当日下午 6:00 回到 A 地，乙也于当日下午到达 B 地。若 x 是整数，则乙到达 B 地的时间是下午 ________。
“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)
我爱数学初中生夏令营数学竞赛说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.第一试1、已知当x 的值分别为2、m 1、m 2时,多项式ax 2+bx+c 的值分别为0、p 1、p 2.如果a>b>c,并且p 1p 2－cp 1+ap 2－ac=0,那么,能否保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数?证明你的结论.2、在△ABC 中,∠A=75°,∠B=35°,D 是边BC 上一点,BD=2CD. 求证:AD 2=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)写出四个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数(2)写出六个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数,说明你的计算方法.第二试1、若2 008=a n (－3)n +a n －1(－3)n －1+…+a 1(－3)+a 0(a i =0,±1,±2,i=0,1,…,n),则a n +a n －1+…+a 1+a 0= .2、能使关于x 的方程x 2－6x －2n =0(n ∈N+)有整数解的n 的值的个数等于 .3、如果函数y=b 的图像与函数y=x 2－3|x －1|－4x －3的图像恰有三个交点,则b 的可能值是 .4、已知a 为整数,关于x 的方程1||41224+-+x x x x +2－a=0有实数根.则a 的可能值是 . 5、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和,就把这个数叫做“和谐数”.那么,在1,2,…,2 008中,和谐数的个数是 .6、已知某种型号的汽车每台的售价是23万元.某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成.一年的固定成本为7000万元.在这一年中生产这种汽车x 辆时,生产每一辆车的生产成本为x3x-70万元(0<x<1 000).要使该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则至少需要生产这种汽车 辆. 7、若2008个数a 1,a 2,…,a 2008满足a 1=2,20081)12008(112++---n n n n a a a a =0,其中,n=2,3,…,2 008,那么,a 2008可能达到的最大值是.8、已知⊙O 与直线l 切于点M,⊙O 外一定点A 和⊙O 都在直线l 的同一侧.点A 到直线l 的距离大于⊙O 的直径,点B 在⊙O 上.过点A 作直线l 的垂线AN,过点B 作直线l 的平行线BC,直线AN 与BC 交于点C.则当点B 的位置在 时,ACAB 2的值达到最小.9、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上,分别取点D 、E,使得∠BDC=50°,∠BEC=40°.则∠ADE=10、从1, 2,…, 2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于 . 参考公式:12+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1).参考答案第一试1、由已知得ax 2+bx+c=a(x －2)(x －c/2a), 且 4a+2b+c=0.又由a>b>c 得a>0,c<0,c/2a<0.因此,仅当c/2a≤x≤2时,该多项式的值不是正数. 由已知得(p 1+a)(p 2－c)=0. 则p 1+a=0或p 2－c=0. 解得p 1=－a<0或p 2=c<0.因此,存在i(i=1或2)使得p i <0,m i >c/2a.由已知得c=－4a －2b>－6a,则c/a>－6,c/2a>－3,m i +5>2.当x=mi+5时,该多项式的值是正数.因此,可以保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数. 2、由已知得∠C=70°.延长BC 至E,使AC=CE.联结AE.则∠CEA=∠CAE=21∠ACB=35°=∠ABC.故△CAE ∽△AEB.从而,AE 2=AC·BE,即AB 2=AC(AC+BC).①设F 是BD 的中点,联结AF.则CD=DF=FB.在△ACF 、△ADB 中,由中线的性质分别得 AC 2+AF 2=2CD 2+2AD 2,② AD 2+AB 2=2DF 2+2AF 2.③由式②、③得2AC2+AB 2=6CD 2+3AD 2.④ 将式①代入式④得3AC 2+AC·BC=6CD 2+3AD 2. 将BC=3CD 代入上式得AC 2+AC·CD=2CD 2+AD 2.故AD 2=AC 2+AC·CD －2CD 2=(AC+2CD)(AC －CD)=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)242、243、244、245是四个连续的正整数,242是112的倍数、243是32的倍数、 244是22的倍数、245是72的倍数.(2)2 348 124、2 348 125、2 348 126、2 348 127、2 348 128、2 348 129是六个连续的正整数,其中,2 348 124是22的倍数、2 348 125是52的倍数,2 348 126是112的倍数、2 348 127是32的倍数、2 348 128是22的倍数、2 348 129是72的倍数. 计算方法如下:记A=4×9×121×49k(k ∈N+). 由(1)可知,A+240是22的倍数, A+242是112的倍数, A+243是32的倍数, A+244是22的倍数, A+245是72的倍数. 设A+241是52的倍数. 则当k=11时,上式成立. 此时,A=2 347 884.A+240=2 348 124是22的倍数, A+241=2 348 125是52的倍数, A+242=2 348 126是112的倍数, A+243=2 348 127是32的倍数, A+244=2 348 128是22的倍数, A+245=2 348 129是72的倍数.第二试1、0或±4或±8.2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=0;2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－4;2 008=－(－3)7－(－3)6－2(－3)5－2(－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－8;2 008=2(－3)6－2(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=4;2 008=(－3)8+2(－3)7+(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时,a n +a n －1+…+a 0=8. 注意到将(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－2(－3)n , 将2(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－(－3)n , 将3(－3)n 变为(－1)(－3)n+1的时候, a n +a n －1+…+a 0的值都增加或减少4,并且当n>8时, a n +a n －1+…+a 0的绝对值不大于8.因此,a n +a n －1+…+a 0=0或±4或±8. 2、1.x=3±n 223+,其中, n223+是完全平方数.显然,n≥2.当n≥2时,可设2n +32=(2k+1)2(k ∈N+,k≥2), 即 2n －2=(k+2)(k －1).显见k －1=1,k=2,n=4.能使原方程有整数解的n 的值的个数等于1. 3、－6、－25/4.令y=x 2－3|x －1|－4x －3.则y=x 2－x －6=425)21(2--x ,x≤1; y=x 2－7x=449)27(2--x ,x>1.当x=1时,y=－6; 当x=12时,y=－25/4.由图像知,所求b 的可能值是－6、－25/4.4、0、1、2. 令y=1x |x |2+.则0≤y<1.由y 2－4y+2－a=0 (y －2)2=2+a 1<2+a≤4 －1<a≤2. 因此,a 的可能值是0、1、2. 5、2 007.注意到91=7×13.数字和为1的数不是91的倍数. 1 001,10 101,10 011 001,101 011 001, 100 110 011 001,1 010 110 011 001,… 都是91的倍数,而它们的数字和依次是2,3,4,5,6,7,….因此,在1,2,…,2 008中,能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2 007. 6、318.若该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则 23x －[7000+x xx370-]≥0x －x －300≥0 x ≥22011 1+ x≥234.6601+ x≥318. 因此,在一年中至少需要生产这种汽车318辆.7、2008 20062 .由已知得2008a a 1-n n =①或1-n n a 1a =②,1只能经过第①类变换或第②类变换变为an(n=2,3,…,2 008),从a1开始连续经过2 007次这样的变换变为a2 008. 连续两次第②类变换相互抵消,保持原数不变.连续三次变换依次是“第①类变换、第②类变换、第①类变换”时,其中两次第①类变换相互抵消,相当于只对原数进行了一次第②类变换.因此,对2的连续2 007次变换相当于对2连续进行m 次第①类变换或第②类变换,而且只有在第一次和最后一次变换中才可能是第②类变换.而对2连续2 007次变换:“前2 006次为第①类变换、最后一次为第②类变换”时,a 2008达到最大值2008 20062 .8、线段AM 内.设直线AB 与⊙O 的另一交点为D,不妨设点B 在点A 和D 之间.过点D 作直线AC 的垂线DE,垂足为E.则AB·AD=k(k 是一个不变的常数), △ABC ∽△ADE,AB/AC=AD/AE,AB 2/AC=AB·AD/AE=k/AE.当AE 达到最大值,即点B 的位置在线段AM 内时,AB 2/AC 的值达到最小. 9、50°.由已知∠BAC=20°,∠BCD=50°,故BC=BD,① ∠CBE=60°,∠ABE=20°.在CE 上取一点F 使∠CBF=20°,则∠EBF=40°,BF=FE,② ∠DBF=60°,∠BFC=80°,BC=BF.③由式①、③得BD=BF,知△BDF 是正三角形.于是,BF=DF.④ 由式②、④得DF=FE,知△DFE 是等腰三角形.又∠BFD=60°,知∠DFE=40°.从而,∠FED=70°,∠ADE=50°. 10、1 351 373 940.将1,2,…,2 008分成1 004组: {1,2 008},{2,2 007},…,{1 004,1 005}.由题设,各组中恰取出一个数.将2,4,…,2 008中的1 004,1 006,1 008,1 010分别换成同一组的1 005,1003,1001,999,其余各数不变,就是所选出的符合题目要求的1 004个数.2+4+…+2 008－(1 004+1 006+1 008+1 010)+(1 005+1 003+1 001+999) =1 009 020－(－1+3+7+11)=1 009 000,22+42+…+2 0082－(1 0042+1 0062+1 0082+1 0102)+(1 0052+1 0032+1 0012+9992) =4(12+22+…+1 0042)－2 009(－1+3+7+11) =2/3×1 004×1 005×2 009－2 009×20 =2 008×335×2 009－40 180=1 351 373 940. 答案与选法无关.。
“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷二试
2000 年“我爱数学”初中生夏令营数学比赛试卷一二试一、填空题（共 10 小题，每题5 分，满分 50 分）1．（ 5 分）给定四个命题：① sin15°与 sin75°的平方和为1； ② 函数 y ＝x 2﹣ 8x+6 的最小值为﹣ 10； ③ ； ④，则 x ＝ 10”，此中错误的命题的个数是．2．（ 5 分）如图， △ABC 中， AD 和 BE 订交于 F ，已知△ AFB 的面积＝ 12 平方厘米， △ BFD 的面积＝ 9 平方厘米，△ AFE 的面积＝ 6 平方厘米，那么，四边形 CDEF 的面积等于平方厘米．3．（ 5 分）在△ ABC 中， AB ＝ ，BC ＝ 2，△ ABC 的面积为 l ，若∠ B 是锐角，则∠ C的度数是 ．4．（ 5 分）某自来水企业水费计算方法以下：每户每个月用水不超出5 吨的，每吨收费 0.85元；超出 5 吨的，高出部分每吨收取较高的定额花费．已知今年 7 月份张家用水量与李家用水量之比为 2： 3，此中张家产月水费是 14.60 元，李家产月水费是 22.65 元，那么，高出 5 吨部分的收费标准是每吨元．22． 5．（ 5 分）知足方程 11x +2xy+9y +8x ﹣ 12y+6＝ 0 的实数根对（ x ， y ）的个数是 2﹣3|x|+7 的图象与函数 22的图象的交点个数是．6（． 5 分）函数 y ＝ x y ＝ x ﹣ 3x+|x ﹣ 3x|+62与 x 轴两个交点 A 、B 不在原点的左边，抛物线顶 7．（ 5 分）已知抛物线 y ＝ x +（ k+1）x+1 点为 C ，要使△ ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为．8．（ 5 分）如图，已知 AB 是圆 O 的直径， PQ 是圆 O 的弦， PQ 与 AB 不平行， R 是 PQ 的中点．作 PS ⊥ AB ，QT ⊥ AB ，垂足分别为 S ，T ，而且∠ SRT ＝ 60°，则 的值等于 ．（ 2）10．（ 5 分）在四边形ABCD 中，边 AB ＝x， BC＝ CD ＝ 4，DA＝ 5，它的对角线AC＝ y，其中 x， y 都是整数，∠ BAC＝∠ DAC ，那么 x＝．二、解答题（共 3 小题，满分40 分）11．（12 分）已知m，n 为整数，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根．求n 的最小值，并说明原因．12．（ 14 分）已知 M、N 分别在正方形ABCD 的边 DA 、AB 上，且 AM ＝AN ，过 A 作 BM 的垂线，垂足为P，求证：∠ APN ＝∠ BNC．13．（ 14 分）设 N 是正整数，假如存在大于 1 的正整数k，使得 N＝是k的正整数倍，则称 N 为一个“千禧数” ，试确立在 1，2，3，，2000 中“千禧数” 的个数为并说明原因．2000 年“我爱数学”初中生夏令营数学比赛试卷一二试参照答案与试题分析一、填空题（共 10 小题，每题 5 分，满分50 分）1．（ 5 分）给定四个命题：① sin15°与 sin75°的平方和为 1；②函数 y＝x 2﹣ 8x+6 的最小值为﹣ 10；③；④，则 x＝ 10”，此中错误的命题的个数是 2 ．【剖析】① 熟记三角函数公式计算；② 运用配方法求最值；③④ 不仅看计算还看x 的取值范围．【解答】解：① sin^2 α+cos^2 α＝ 1，因此①正确．2 2② y＝ x ﹣ 8x+6＝（ x﹣4）﹣ 10，故正确．③ 等式中左边的代数式a＜0，右边的 a≤ 0，故错误．④等式左边要知足 5＜ x≤ 10，右边要知足x＜ 5， x≠ 10，故错误．综上可得①② 正确，共 2 个．故答案为： 2【评论】本题考察对真假命题的鉴别能力以及对三角函数，配方法，方程求解的考察．2．（ 5 分）如图，△ABC 中， AD 和 BE 订交于 F ，已知△ AFB 的面积＝ 12 平方厘米，△ BFD 的面积＝ 9 平方厘米，△ AFE 的面积＝ 6 平方厘米，那么，四边形 CDEF 的面积等于23.4 平方厘米．【剖析】连结CF ，设S△CEF＝ x， S△CDF＝y，依据三角形的面积与三角形底边成比率，从而求出四边形CDEF 的面积．【解答】解：连结CF ，设 S△CEF＝ x， S△CDF＝y，则＝＝，＝＝，解得 x＝10.8， y＝12.6，故四边形CDFE 的面积＝ x+y＝ 23.4．【评论】本题主要考察三角形的面积的知识点，依据等高的三角形的面积与底边成比率进行解答，本题需要同学们娴熟掌握．3．（ 5 分）在△ ABC 中， AB＝，BC＝2，△ ABC的面积为l ，若∠ B 是锐角，则∠ C 的度数是30°．【剖析】作出 BC 边上的高AD，利用面积为 1 易得 AD 的长度，利用勾股定理可得BD 的长，从而获得CD 的长，那么即可求得∠ C 的正切值，也就求得了∠ C 的度数．【解答】解：作 AD ⊥ BC 于点 D．∵BC＝ 2，△ ABC 的面积为 l，∴ AD＝ 1，∵ AB＝，∴ BD＝＝2﹣，∴CD ＝ BC﹣BD ＝，∴tanC＝＝，∴∠ C＝ 30°．故答案为： 30°．【评论】考察解直角三角形的知识；难点是结构出∠ C 所在的直角三角形；重点是求得CD 及 AD 的长．4．（ 5 分）某自来水企业水费计算方法以下：每户每个月用水不超出 5 吨的，每吨收费0.85 元；超出 5 吨的，高出部分每吨收取较高的定额花费．已知今年7 月份张家用水量与李家用水量之比为2： 3，此中张家产月水费是14.60 元，李家产月水费是22.65 元，那么，高出 5 吨部分的收费标准是每吨 1.15元．家就是 3x，而后依据张家产月水费是14.60 元，李家产月水费是22.65 元，列出方程进行求解．【解答】解：∵每户每个月用水不超出 5 吨的，每吨收费0.85 元，∴5× 0.85＝ 4.25 元当超出 5 吨，水费超出 4.25 元，∵ 14.6＞ 4.25，∴14.6﹣ 4.25＝ 10.35 元，设张家用水量为2x 吨，则李家为3x 吨，高出部分每吨收费p 元，则可列方程以下：22.65﹣14.6 ＝ 8.05＝（ 3x﹣2x） p14.6﹣8.05﹣ 0.85× 5＝ 2.3高出部分的单价同样×p＝ 8.05，解得 p＝ 1.15．故答案为 1.15．【评论】本题比较难，主要考察一元一次方程的应用，解题的重点是要读懂题意，找出等式关系从而列出方程．5．（ 5 分）知足方程2 211x +2xy+9y +8x﹣ 12y+6＝ 0 的实数根对（ x， y）的个数是 0 ．【剖析】先将方程2 2 2 2﹣ 12y+6）＝ 0 11x +2xy+9 y +8x﹣ 12y+6＝0 写成 11x +2（y+4 ）x+（ 9y的形式，再依据鉴别式获得（7y﹣ 5）2≤ 0 即可求解．【解答】解：（ x， y）的对数为 1．因为 11x 2 2＝ 0 有实数根+2 xy+9y +8x﹣ 12y+6因此 11x 2 2+2 （y+4 ） x+（9y ﹣ 12y+6 ）＝ 0 的△≥ 0即4（y+4）2﹣ 44（ 9y2﹣ 12y+6）≥ 0解得：（ 7y﹣ 5）2≤ 0，因此 y＝（y有独一的值）．因此知足方程11x 2 21 个．故答案为：+2xy+9y +8 x﹣ 12y+6＝ 0 的实数根对（x，y）的个数是1．【评论】本题考察了根与系数的关系，解题的重点是将方程转变成11x 2 2 +2（ y+4 ）x+（ 9y﹣12y+6）＝ 0 的形式．6（．2﹣3|x|+7 的图象与函数 2 2的图象的交点个数是4 ．5 分）函数 y ＝ x y ＝ x ﹣ 3x+|x ﹣ 3x|+6【剖析】 画出函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7 的图象，议论 x 2﹣ 3x 的取值，分大于 0、小于 0 与等于 0 三种状况，对应作出图象解答即可．【解答】 解：如图，函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7 的图象为，当 x 2﹣ 3x ＞ 0 时， y ＝2x 2﹣ 6x+6，图象与函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7 的图象有 2 个交点；当 x 2﹣3x ≤ 0 时， 0＜ x ＜3， y ＝ 6，图象与函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7＝ 6 有四个交点，切合 0＜ x＜ 3 图象交点有 2 个交点；综上所知，函数 y ＝x 2﹣ 3|x|+7 的图象与函数 y ＝ x 2﹣ 3x+|x 2﹣3x|+6 的图象的交点个数是 4．故填 4．【评论】 本题主要考察二次函数图象交点问题，浸透分类议论思想．2轴两个交点 A 、B 不在原点的左边，抛物线顶 7．（ 5 分）已知抛物线 y ＝ x +（ k+1）x+1 与 x 点为 C ，要使△ ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为﹣ 5 ．【剖析】 画出图形，将两点之间的距离转变为根与系数的关系；再利用三角函数求出等边三角形的高的表达式，使其与抛物线的极点纵坐标的绝对值相等，解答即可求出 k 的值．【 解 答 】 解 ： 由 题 意 A、 B在 原 点 的 右 侧 ， 且，∵△ ABC 为等边三角形，∴ AB ＝ CB ，∴ CD ＝ CB?sin60°＝ AB?sin60 °＝，又∵ C 点纵坐标为，∴，令（ k+1） 2＝ a ，则原式可化为＝ |1﹣ |，两边平方得， 12a ﹣ 48＝ a 2﹣ 8a+16 ，2整理得， a ﹣ 20a+64 ＝ 0，当 a ＝4 时，（ k+1） 2＝ 4， k+1＝± 2， k ＝﹣ 3 或 k ＝ 1；当 a ＝16 时，（ k+1） 2＝ 16，k+1 ＝± 4，k ＝ 3 或 k ＝﹣ 5．因为对称轴位于 y 轴右边，因此﹣ 2（ k+1）＞ 0，解得 k ＜﹣ 1，当 k ＝﹣ 3 时，有一个交点，因此 k ＝﹣ 5．故答案为﹣ 5．【评论】 本题考察了抛物线与x 轴的交点，依据根与系数的关系推出两点间的距离表达式，再利用三角函数和抛物线极点坐标公式列出等式是解题的重点．此外，本题对同学们的计算能力要求较高，对用换元法解方程应该有必定程度的认识．8．（ 5 分）如图，已知AB 是圆 O 的直径， PQ 是圆 O 的弦， PQ 与 AB 不平行， R 是 PQ 的中点．作 PS ⊥ AB ，QT ⊥ AB ，垂足分别为 S ，T ，而且∠ SRT ＝ 60°，则 的值等于．【剖析】连结 OP，OQ， OR，由 R 是 PQ 的中点，依据垂径定理的推论得OR⊥ PQ，而OP＝ OQ ，依据等腰三角形的性质得∠POR＝∠ QOR，易得∠ PSO＝∠ PRO＝ 90°，依据直角三角形外接圆的性质得点 P、 S、 O、 R 四点在以 OP 为直径的圆上，再依据圆周角定理得∠ PSR＝∠ POR，同理可得∠ QTR＝∠ QOR ，则∠ PSR＝∠ QTR，依据等角的余角相等得∠RST＝∠ RTS，而∠ SRT＝ 60°，因此∠ RST＝60°，∠ RTS＝ 60°，则可依据圆周角定理获得∠ RPO＝∠ RSO＝ 60°，∠ RQO ＝∠ RTO＝60°，于是可判断△ OPQ 为等边三角形，因此PQ＝ OP，则 AB＝ 2PQ，即可获得＝．【解答】解：连结OP， OQ ，OR，如图，∵R 是 PQ 的中点，∴ OR⊥ PQ，∵OP＝ OQ，∴∠ POR＝∠ QOR，∵PS⊥ AB，∴∠ PSO＝∠ PRO＝ 90°，∴点 P、 S、O、 R 四点在以OP 为直径的圆上，∴∠ PSR＝∠ POR，同理可得∠ QTR＝∠ QOR，∴∠ PSR＝∠ QTR，∴∠ RST＝∠ RTS，而∠ SRT＝ 60°，∴△ RST 为等边三角形，∴∠ RST＝ 60°，∠ RTS＝ 60°，∴∠ RPO＝∠ RSO＝ 60°，∠ RQO ＝∠ RTO＝ 60°，∴△ OPQ 为等边三角形，∴PQ＝ OP，∴AB＝ 2PQ，∴＝．故答案为．【评论】本题考察了垂径定理及其推论：均分弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的两条弧；推论 1：均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧．推论 2：弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧；推论3：均分弦所对一条弧的直径，垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧．也考察了圆周角定理和等边三角形的性质．9．（ 5 分）解方程：（1）（2）【剖析】（ 1）可把不带根号的式子整理到一边，两边平方，化为整式方程求解．（ 2）此方程可用换元法解方程．设＝y，转变为有理方程求解．【解答】解：（ 1）整理得＝3﹣x，2两边平方得x﹣ 3＝ 9﹣ 6x+x ，解得： x＝ 3 或 4．经查验 x＝ 3 是原方程的解．（ 2）解：设＝y，则方程化为2y +y﹣ 12＝ 0，解得 y1＝3， y2＝﹣ 4，当 y1＝ 3，即＝3时，两边平方得（x+9 ）（ x﹣ 1）＝ 0，解得 x＝﹣ 9 或 x＝1，把 x＝﹣ 9 或 x＝ 1 分别代入原方程查验得原方程建立；当 y2＝﹣ 4 时，＝﹣4，根式无心义．故原方程的解为 x 1＝ 1， x 2＝﹣ 9，【评论】 本题主要考察解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的重点，换元法需要同学们认真掌握．10．（ 5 分）在四边形 ABCD 中，边 AB ＝x ， BC ＝ CD ＝ 4，DA ＝ 5，它的对角线 AC ＝ y ，此中 x ， y 都是整数，∠ BAC ＝∠ DAC ，那么 x ＝ 5 或 4 ．【剖析】 本题要分两种状况： ① 当∠ ABC ＝∠ ADC 时，能够证出△ ABC ≌△ ADC ；② 当∠ ABC ≠∠ ADC 时，过点 C 分别作 CE 垂直 AB 延伸线于点 E ， CF 垂直 AD 于点 F ．利用勾股定理可求出答案．【解答】 证明： ① 当∠ ABC ＝∠ ADC 时，又∠ BAC ＝∠ DAC ， CB ＝ CD ，∴△ ABC ≌△ ADC ， ∴ AB ＝ AD ＝ 5∴ x ＝ 5；② 当∠ ABC ≠∠ ADC 时，过点 C 分别作 CE 垂直 AB 延伸线于点E ，CF 垂直 AD 于点 F ．∵ AC 均分∠ BAD ， ∴ CE ＝ CF ，又有 BC ＝ CD ＝ 4，∴△ CEB ≌△ CFD ， ∴ BE ＝ FD ， AE ＝ AF∴ AE ＝ AF ＝ AD ﹣ FD ＝5﹣ BE ，∴ AE ＝ AB+BE ＝ x+BE ，∴ 5﹣BE ＝ x+BE ，BE ＝ ， AE ＝ x+＝，CE 2＝ BC 2﹣ BE 2＝ 16﹣，CA 2＝ AE 2+CE 2，2＝ +16﹣ ，y2第 10 页（共 14 页）x ＝ ，在△ ADC 中， 1＜ y ＜ 9， x ，y 都是整数，因此 y 2 末位数字只好是6，∴ y ＝ 6，∴ x ＝ 4故答案为： 5 或 4．【评论】 本题主要考察了角均分线的性质以及勾股定理的应用，重点是要考虑全面各样状况，不要漏解．二、解答题（共 3 小题，满分 40 分）11．（12 分）已知 m ，n 为整数，方程有两个不相等的实数根，方程 有两个相等的实数根．求n 的最小值，并说明原因． 【剖析】 因为存心义，则 n ﹣ 1≥0，再依据方程 有两个不相等的实数根，则△＞0 ，即△＝（ n ﹣ 2） 2 （ n ﹣ 1）﹣ 4 （ m+18 ）＞ 0① ；又方程有两个相等的实数根，则△′＝ 0，即△′＝（ n ﹣ 6） 2 （ n﹣ 1）﹣ 4（ m ﹣ 37）＝ 0② ，而后 ① ﹣ ② ，获得对于 n 的不等式，解之获得n 的取值范围，最后找到 n 的最小值．【解答】 解：∵存心义，∴ n ﹣ 1≥ 0，即 n ≥ 1，而 n 为整数，因此 n ≥ 1 的整数．又∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞ 0，即△＝（ n ﹣ 2）2（ n ﹣ 1）﹣ 4（ m+18 ）＞ 0① ；又方程有两个相等的实数根，∴△′＝ 0，即△′＝（ n ﹣ 6） 2（ n ﹣ 1）﹣ 4（m ﹣37）＝ 0② ，① ﹣ ② 整理得： 2n 2﹣10n ﹣ 47＞ 0，令 2n 2﹣10n ﹣ 47＝0，解得 n 1＝， n 2＝， ∴ n ＜或 n ＞ ，而 n ≥1 的整数，因此 n ＞的整数．则 n 的最小整数为 8，而且（ 8﹣ 6）2（ 8﹣ 1）﹣ 4（ m ﹣ 37）＝ 0，解得 m ＝ 42，为整数知足条件．因此 n 的最小整数为 8．【评论】 本题考察了一元二次方程ax 2+bx+c ＝ 0（ a ≠ 0， a ， b ，c 为常数）根的鉴别式△ ＝ b 2﹣ 4ac ．当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根； 当△＝ 0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．同时考察了运用二次函数图象解一元二次方程的方法．12．（ 14 分）已知 M 、N 分别在正方形 ABCD 的边 DA 、AB 上，且 AM ＝AN ，过 A 作 BM 的垂线，垂足为 P ，求证：∠ APN ＝∠ BNC ．【剖析】 延伸 AP 交 DC 于 E ，连结 NE ，由∠ BPE+∠ BCD ＝ 180°，证出 P 、 B 、 C 、 E 四点共圆，由△ ABM 和△ DAE 全等，推出 CE ＝ BN ，得出矩形 BNEC ，证出 N 、 B 、C 、E 四点共圆，即 N 、 B 、 C 、 E 、P 五点共圆，即可得出答案．【解答】 证明：延伸 AP 交 DC 于 E ，连结 NE ，∵ AP ⊥ BM ，∴∠ APB ＝∠ BPE ＝∠ APM ＝ 90°，∵正方形 ABCD ，∴ AB ∥ CD ，AB ＝ CD ，∠ ABC ＝∠ DCB ＝90°， ∴∠ BPE+∠ BCD ＝ 180°，∴ P、 B、 C、 E 四点共圆，而∠ PAM+∠ AMP＝ 90°，∠ AMP +∠ ABM ＝ 90°，∴∠ ABM＝∠ PAM ＝∠ EAD ，∴△ ABM≌△ DAE ，∴DE＝ AM＝ AN，∴CE＝ BN，∴四边形NBCE 是矩形，∴ N、 B、 C、 E 四点共圆，即N、 B、 C、 E、 P 五点共圆，∴∠ NPB＝∠ NCB，∵∠ APN+∠ BPN＝ 90°，∠ BCN+∠ BNC＝90°，∴∠ APN＝∠ BNC．【评论】本题主要考察了矩形的性质和判断，正方形的性质和判断，全等三角形的性质和判断，确立圆的条件等知识点，解本题的重点是证明∠ NPB 和∠ NCB 相等．题目较好但有必定的难度．13．（ 14 分）设 N 是正整数，假如存在大于 1 的正整数 k，使得 N＝是 k 的正整数倍，则称 N 为一个“千禧数”，试确立在1，2，3，， 2000 中“千禧数” 的个数为1989 并说明原因．【剖析】若 N 是千禧数，则存在正整数m，使得N﹣＝ km，即 2N＝ k（ 2m+k﹣ 1），明显， k 与 2m+k﹣ 1 的奇偶性不一样，且k＞ 1，2m+k﹣1＞ 1．因此， 2N 有大于 1 的奇因子，从而 N 有大于 1 的奇因子．反过来，若N 有大于 1 的奇因子，则可设 2N＝ AB，其中 A、B 的奇偶性不一样，且 A＜ B，则 A＞ 1 且N﹣＝﹣＝ A? ．其中为正整数．故 N 是千禧数．在1，2，， 2000 中，只有 1， 2， 22，， 210不是千禧数．故有千禧数 2000﹣ 11＝ 1989（个）．故答案为： 1989．【评论】读懂题意经过察看，剖析、概括并发现千禧数的定义，依据推理找出不是千禧数的个数，从而获得千禧数的个数．。
1994年“我爱数学少年夏令营”小学数学竞赛接力赛试卷b(决赛)
1994年“我爱数学少年夏令营”小学数学竞赛接力赛试卷B（决赛）一、填空题1．（3分）设上题答数是A，A的整数部分是b．将一个三位数的个位数字与百位数字对调，得到一个新的三位数．已知这两个三位数的乘积等于115237+b，那么这两个三位数的和等于．2．（3分）设上题答数是A，A的个位数字是b．在右图的七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，那么写A的圆内应填入．1994年“我爱数学少年夏令营”小学数学竞赛接力赛试卷B（决赛）参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）设上题答数是A，A的整数部分是b．将一个三位数的个位数字与百位数字对调，得到一个新的三位数．已知这两个三位数的乘积等于115237+b，那么这两个三位数的和等于786．【解答】解：两个三位数的乘积等于：115237+b=115237+8=115245；把115245分解质因数，可得：115245=3×3×5×13×197；（1）当其中一个三位数是197时，另一个三位数是：3×3×5×13=585，不符合题意；（2）当其中一个三位数是197×3=591时，另一个三位数是：3×5×13=195，符合题意；（3）当其中一个三位数是197×5=985时，另一个三位数是：3×3×13=117，不符合题意；综上，可得这两个三位数分别是：195、591，这两个三位数的和等于：195+591=786．答：这两个三位数的和等于786．故答案为：786．2．（3分）设上题答数是A，A的个位数字是b．在右图的七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，那么写A的圆内应填入6．【解答】解：如图所示，因为B=A﹣4，C=B+3，所以C=A﹣1；又因为D=C+3，所以D=A+2；而A+D=14；所以A=（14﹣2）÷2=6．故答案为：6．。
1998我爱数学少年夏令营试题(做过)
数学竞赛1.一个小数的小数点向右移一位与向左移一位所得的两数之差为34.65，则原来的小数是_______。
2.在下边的算式中，相同的汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字。
每个□代表一个数字。
当算式成立时，“巴西法国争夺冠军”这8个字所代表的八位数是_______。
3.在下面算式的两个括号中，各填入一个三位数，使等式成立：。
4.如果1×2┅×(n-1)×n所得的积的末尾有31个0，而倒数第32个数字不是0，那么，满足要求的最大自然数n＝_______。
5.已知小明和小强步行的速度比是2：3，小强与小刚步行的速度比是4：3。
已知小刚10分钟比小明多走420米，那么，小明在20分钟里比小强少走_______。
6.加工一批零件，原计划每天加工15个，若干天可以完成。
当完成时，采用新计术，效率提高20％。
结果，完成任务的时间提前10天。
这批零件共有_______。
7.三件运动衣上的号码分别是1、2、3，甲乙丙三人各穿一件。
现有25个小球。
首先发给甲一个球，乙两个球，丙三个球。
规定3人从余下的球中各取球一次，其中穿1号衣的人取他手中球数的一倍，穿2号衣的人取他手中球数的3倍，穿3号球衣的人取他手中球数的4倍，取走之后还剩下两个球。
那么，甲穿的运动衣的号码是_______。
8.某班学生50人，年龄均为整数，年龄的平均值为12.2，已知班上任意两人的年龄差都不超过3。
那么，这班学生中年龄最大的可能是_______。
如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有_______人。
9.甲乙二人在400米圆形跑道上进行10000米比赛。
两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米。
当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米，乙的速度每秒减少0.5米。
这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加0.5米，直到终点。
我爱数学少年夏令营接力赛试卷(奥数试题精选)
我爱数学少年夏令营接力赛试卷1．如图，有8个完全一样的长方形拼成一个大长方形，面积为750平方厘米，那么，大长方形的周长是 厘米。
2．设上题答案是a 。
甲、乙、丙三人去买书，共买)41(-a 本。
已知乙买书的本数比甲买书的本数的139还多10本，丙买书的本数比乙少。
那么，丙买书的本数是 。
3．设上题答数是b 。
仓库存有一批钢材，有两个汽车队负责运往工地。
已知甲队单独运完要b 天，乙队每天可运b 吨。
现由甲、乙两队同时运输，干了6天之后，甲队汽车坏了一辆，每天少运4吨，结果又运6天才全部运完。
那么，这批钢材的总吨数是 。
4．设上题答数为c 。
A 、B 两地相距c 千米。
甲、乙两车往返行驶于A 、B 两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。
设两辆车同时从A 地出发后第一次和第二次相遇都在途中P 地。
那么，到两车第三次相遇为止，乙车共走了 千米。
5．设上题答数为d 。
《数学奥林匹克题库》两卷书的页码共有)5053(-d 个数字，已知下卷比上卷多65页，那么上卷的页数是 。
6．设上题答数为e 。
有5个连续自然数，其中最大的是e 的十位数字加1。
这5个数按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘并将所得的5个乘积相加。
那么，所得的和数的最小值是 。
7．设上题答数为f 。
现用含盐分别为16%和40%的两种盐水混合成含盐32%的盐水f 千克。
那么，需要含盐16%的盐水 千克。
8．设上题答数的各位数字之和是6,+=g m g 。
从1、2、3、…、m 这m 个自然数中挑选出4个不同的数d c b a <<<，使得乘积ad 和bc 是两个相邻的自然数。
那么，所有不同的选法的种数是 。
9．设第7题的答数的各位数字之和为1,+=g k g 。
把k k ⨯的方格纸的4个角各剪掉一个小方格。
从一边中点A 开始剪起，将纸片沿小方格的边剪开，最终剪成形状相同、格数相等的两块。
凡经过旋转或翻折可以重合的剪法视为同一种。
我爱数学夏令营计算竞赛试题(1993200-6)
1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。
2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。
3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。
4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。
5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0 .9375=_____。
6．=_________。
7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。
8．=_______。
9． 641×6700417=_________。
10．0.3125×457.83×32=_________。
11．69316.931÷69.31=_________。
12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。
13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。
14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。
15．=_________。
16．=_________。
17．=_________。
18．=_________。
19．=_________。
20．=_________。
21．=_________。
22．=_________。
我爱数学夏令营计算竞赛_试题
1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。
2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。
3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。
4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。
5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0.9375=_____。
6．=_________。
7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。
8．=_______。
9． 641×6700417=_________。
10．0.3125×457.83×32=_________。
11．69316.931÷69.31=_________。
12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。
13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。
14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。
15．=_________。
16．=_________。
17．=_________。
18．=_________。
19．=_________。
20．=_________。
21．=_________。
22．=_________。
2001年我爱数学少年夏令营接力赛试题
2001年我爱数学少年夏令营接力赛试题1、把140111化成小数时，连同整数部分第2001位上的数字是6。
设上题答案数为a2、一件工程甲单独做要a小时完成，乙单独做要10小时完成，如果按甲、乙、甲、乙…顺序交替工作，每次工作1小时，那么要440分钟才能完成。
设上题答案数为b.3、有三根铁丝，其中第一根的长度是第三根的25，是第二根的1.2倍，第三根比第二根长b厘米，现要把这三根铁丝截成尽可能长且相等的小段，那么第一根铁丝截得这样的小段6根。
设上题答案数为c则该班有学生38个。
设上题答案数为d5、在1,2，…d中，使232nn++不是既约分数的n有5个。
设上题答案数为e。
6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需付利息e万元。
甲种贷款年利率为14%，乙种贷款年利率为12%，该厂申请甲种贷款10万元。
设上题答案数为f7、如右图，在△ABC中，AD＝2，BD＝3，四边形DBEF的面积等于△ABE的面积，若△ABC的面积为f，则四边形DBEF的面积6。
设上题答案数为g8、将g×g方格纸的若干个方格涂成红色，其他方格不涂色，方格纸上每个以网格线为边的3×3的正方形的4个角上共有4个小方格，使得这4个小方格中都恰有一个红格。
那么，整个方格纸上最多要涂16个红格。
设上题答案数为h。
9、某工地用3种型号的卡车运送土方。
已知甲、乙、丙三种卡车的载重量之比为10：7：6，速度之比为6：8：9，运送土方的路程之比为15：14：14，三种车的辆数之比为10：5：7。
工程开始时，乙、丙两种卡车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了(h+9)天完成任务。
那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是32:79。
2010我爱数学初中生夏令营数学竞赛
2010年第11期2010我爱数学初中生夏令营数学竞赛中图分类号：c424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(20t o)11—0023一03说明：第一试每题50分，共150分；第二试每题15分，共150分．第一试1．设n(n<100)是正整数，且存在正整数后，使得l≤||}≤，l—l，满足等+竽：÷．①1F十丁5虿’w试问：满足条件的Ⅱ有多少个取值?并证明你的结论．2．如图l，设A D是△AB C的中线，△A B D、△A D C的外心分别为E、F。
直线B E与C F 交于点G．若D G=l÷Bc，证明：D C 图l／A D G=2么A C G．。
3．求大于2的质数P，使得抛物线y=(石一寺肛号)上有点(‰，Y o)满足菇。
为正整数，％为质数的平方．第二试1．已知a2(b+c)=b2(口+c)=2010，且a≠b．则c2(a+b)=——．2．若实数x,y满足I龙l+I Y l≤l，则菇2一xy+广的最大值为——．3．边长为整数、面积值等于周长值的直角三角形中的最大面积与最小面积的差为4．在△A BC中，么A、么8、么C所对边分别为Ⅱ、b、c，已知么C=2么B，ab=24．则c 的取值范围是——．5．如图2，在△A B C中，A C=B C，么C=200，又点肘、Ⅳ分别在边A C、B C上，且满足么B A N=500，么A B M=600．则么N M B=——．6．在梯形A B C D中，A D∥B C，E F为中位线，四．边形A E FD的面积与四边形朋凹的面积比为鱼墨，3—0’jC△A B D的面积为√歹．则梯形A B C D的面积为7．已知方程茹2+(2一k)x+1=0满足条件茁>一l，且k>0的实根仅有一个．则k的取值范围为．8．已知浮+旅万i F：13．则'r'一≈x+,735一x=．9．王强有四种颜色的小圆棒，表l列出不同颜色圆棒的长度．表1现要取若干根小圆棒接起来连成长度为2010cm的长棒，而且．四种颜色的小圆棒每一种都至少用8l根．则不同的取法共有——种．10．在有20名歌手参加的比赛中，9名裁判员分别给他们判定从l一20的名次．已知每一名歌手得到的名次中，各名次之差不中等数学超过3．若每名歌手所得到的名次的和排成递增序列：C。
2002年我爱数学少年夏令营接力赛试题
2002年我爱数学少年夏令营接力赛试题1、某裁缝做一件童装、一条裤子、一件上衣，所用时间之比为1:2:3，他一天共能做2件童装、3条裤子、4件上衣。
那么他做2件上衣、10条裤子、14件童装，需 2 天。
设上题答案数为a2、五年级有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班多4名女生，乙班比丙班多1名女生，如果将甲班的第一组同学调入乙班，同时将乙班的第一组同学调入丙班，将丙班的第一组同学调入甲班，则三个班的女生人数恰好相等。
已知：丙班第一组有a 名女生，那么甲班第一组有 5 名女生。
设上题答案数为b.3、某种商品的标价为(24×b)元，若以标价的90%降价出售，仍相对于进货价获利20%，则该商品的进货价是 90 元设上题答案数为c4、一堆彩色球，有红、黄两种颜色，首先数出的50个球中有49个红球，以后每数出8个球中都有7个红球，一直数到最后8个球正好数完。
如果在已经数出的球中红球不少于c%，那么这堆球最多有 210 个。
设上题答案数为d5、右图中大圆的直径为d ，四个小圆的直径都是2d ，则阴影部分的面积是 22050 。
设上题答案数的各位数字之和为e 。
6、房管员不小心把(e+2)个房间的(e+2)把钥匙弄混了，若每把钥匙恰好能开启一个房间，则至少试 55 次才能一定把房间与钥匙配好对。
设上题答案数为f7、某校有f 个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为 46 人。
设上题答案数为g8、对于一个自然数，如果能找到非零自然数k 和l ，使得n=k+l+kl ，则称n 为一个“好数”，如3＝1＋1＋1×1，则3是一个“好数”。
在1,2，3，…，g 这g 个自然数中， “好数”共有 31 个。
设上题答案数为h 。
9、甲、乙、丙三个足球队按一种新记分办法进行循环赛。
这种记分办法规定：每胜一场得10分，每平一场双方各得5分，为奖励进球每进一球加1分。
24-我爱数学少年夏令营小学数学竞赛
我爱数学少年夏令营小学数学竞赛
试 题 1. 右面算式中每个文字和方框各代表一个数字，其中相同文字代表相同数字，不同文字代表不同数字，当算式成立时，算式的乘积是_____.
?? 新 北 京 ?á 新 奥 运 新 新 新 成 功 2. 满足被3除余1，被4除余2，被5除余3，被6除余4的最小自然数是_____. 3. 三个自然数的最大公约数是10，最小公倍数是1000，满足这种要求的三数组共有_____个. 4. 在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝1/3AB.已知四边形BDME的面积是35，三角形ABC的面积是_____. 5. 10名选手参加象棋比赛，每两名选手之间都要比赛一盘.记分办法是胜一盘得1分，平一盘得0.5分，负一盘得0分.比赛结果是选手们所得分数各不相同.第一名和第二名一盘都没输过，前两名的总分比第三名的多10分，第四名和最后四名得分总和相等，则第三名得_____. 6. 某城市青菜价格在六、七两个月中起伏较大.每日的平均菜价与前一日不是上涨10%，就是下降10％，且7月31日的平均菜价不低于6月1日的平均菜价，那么在这两个月中最少有_____天的平均菜价高于前一日的平均菜价. 7. 某班在课堂上进行计算游戏.老师首先在黑板上写一个大于2000小于3000的整数，第一个学生将老师写的数减1，然后乘以3/4，将所得结果写在黑板上；第二个学生再将第一个学生所写的数减1，然后乘以3/4，再写到黑板上；依此类推.全部写完后发现前5个学生写的都是整数，那么第五个学生在黑板上写的数是_____. 8. 在1000到10000的所有整数中，满足千位数字＞百位数字＞十位数字字＞个位数字或者千位数字＜百位数字＜十位数字＜个位数字的数，共有_____个. 9. 从一张大方格纸上剪下5个相连方格（只有一个公共顶点的两个方格不算相连），共能剪出_____种不相同的图形（经过旋转或翻转就相同的图形视为同一种）. 10. 现有五个自然数,其中第一个数小于第二个数的2倍.第二个数小于第三个数的3倍，第三个数小于第四个数的4倍，第四个数小于第五个数的5倍，而第五个数小于100，那么第一个数的最大值是_____. 11. 如右图，A、B是一圆形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙二人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步（甲、乙二人的速度未必相同）.假设当乙跑完100来时，甲、乙二人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙二人第二次相遇.那么当甲、乙二人第十二次相遇时，甲跑完_____圈又_____米. 12. 用0，1，2，?，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不小于500，那么共有_____种不同的组成6个质数的方法.请将所有方法都列出来. ??
2010我爱数学初中生夏令营数学竞赛
2010我爱数学初中生夏令营数学竞赛
2010我爱数学初中生夏令营数学竞赛是一项面向全国中学生的数学
竞赛，旨在鼓励学生探索数学乐趣，培养学生数学能力，加深数学知识，
提高学生的学习热情。
竞赛采用“多维度评比”形式，涵盖笔试、计算机
考试、论文赛等内容，承载着丰富的竞赛知识，极大地满足学生的学习兴
趣和需求。
参赛的学生将经过一定的实践和理论考核，并有机会与中国数
学大师进行一对一的学习交流，深入了解中国传统数学思想和文化。
此外，参赛的学生还将获得复印级奖品，激发学生参与竞赛和学习数学的热情，
增加学习的趣味性。
2010数学协作体夏令营专题十六——二十二
专题十六 图论问题（一）四川师范大学数学与软件科学学院 李昌勇一、基本知识1、完全图：每两个不同顶点均邻接的简单图.n 阶完全图K n 的边数2)1(||-=n n E . 2、 定理1：设图G =（V ，E ），则G 中所有顶点度之和等于边数的2倍，即∑v ∈Vd (v ) =2|E |.推论 设图G =（V ，E ），则G 中奇顶点的个数一定是偶数. ☆定理2：二色6K 中至少存在一个同色三角形.☆定理3：二色5K 中没有同色三角形的充要条件是它可分解为一红一蓝的两条封闭折线，每条恰含有5条连线段.3、在处理图论问题中，经常考虑抽屉原理、极端原理，使用反证法、枚举法和数学归纳法等进行解决.二、典型问题分析1、10个人参加会议，会后统计出各人的朋友数为 （ⅰ）3，3，3，3，5，6，6，6，6，6；（ⅱ）1，1，3，3，3，3，5，6，8，9. 证明:两组统计数据都有误.2、设整数8≥n ，试问：对哪样的n ，存在这样的图，它的n 个顶点的度数分别为4,5,,4,3,2,2,2,1,1,1 --------n n n n n n n n ？3、设},,,{21n x x x S =是平面上的点集，其中任意两点之间的距离至少是1，证明：S 中至多有n 3对点，每对点的距离恰好是1.4、某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次. 证明：必有6场比赛，其中12个参赛者各不相同.5、证明：在任何六个人中，总可以找到三个相互认识的人或三个互相不认识的人.（认识是相互的）.6、某8个人参加一次集会．（1）如果其中任何5个人中都有3个人两两认识．求证：可以从中找出4个人两两认识；（2）试问，如果其中任何6个人中都有3人两两认识，那么是否一定可以找出4个人两两认识？7、设n个新生中，任意3个人中有2个互相认识，任意4个人中有2个互不认识．试求n的最大值．K中，至少存在几个同色三角形.8、在二色完全图7K的边染红、蓝二色时，总存在两个没有9、求最小正整数n，使得当以任意方式将n公共边的同色三角形.10、是否存在四个多项式，使得任意三个多项式的和有一个实根，而任意两个多项式的和没有实根？11、给定空间中的9个点，其中任何4点都不共面.在每一对点之间都连有一条线段，这些线段可染为红色或蓝色，也可不染色.试求出最小的n值，使得将其中任意n条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一，在这n条线段的集合中都必然包含有一个各边同色的三角形.12、一个具有10个顶点的图G，其中任何三顶点中至少有两点相连.试问G中至少有几条边？并且做出一个这样的图.练习题1、18个队进行比赛，在每一轮比赛中，每个队与另一个队比赛一场，并且在以后的各轮中这两个队不再比赛.现在比赛进入第9轮，证明在前8轮比赛中，一定有三个队，彼此之间尚未比赛过.2、国际乒乓球男女混合双打大奖赛有24对选手参加，赛前一些选手握了手，但同一对选手之间不握手.赛后某个男选手问每个选手的握手次数，各人的回答各不相同，问这名男选手的女搭档和多少人握了手？3、17名科学家中每一名和其余科学家通信，在他们的通信中仅讨论三个题目，而任两名科学家之间仅讨论一个题目.证明：其中至少有3名科学家，他们互相通信中讨论同一个题目.4、某俱乐部有13+n 名成员，对每一个人，其余的人中恰好有n 个愿与他打网球，n 个愿与他下象棋，n 个愿与他打乒乓.证明：俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏三种俱全.5、现有9个人，已知任意三人中总有两人相互认识，证明：必有四人相互之间都认识.6、一些数学家参加一次会议，其中每个数学家至多认识其中的三个数学家，而且如果两个数学家互不认识，则必存在一名数学家和他们都认识．试问参加了这次会议的数学家最多有多少个？7、求最小正整数n ，使在任何n 个无理数中，总有3个数，其中每两数之和仍为无理数.8、平面上有7个点，每三点的两两连线都组成一个非等边三角形．求证：一定可以找到4对三角形，使每对三角形的公共边既是其中一个三角形的最长边又是另一个三角形的最短边．9、给定平面上的点集},,,{199421P P P P =，P 中任三点不共线，将P 中点任意分成83组，使每组至少有3个点，每点恰好属于一组.将每组中任两点均连成一线段，不在一组的两点不连成线段.这样得到一个图G .显然不同连结线段的方式得到不同的图.图G 中所含以P 中的点为顶点的三角形的个数记为)(G m .（1）求)(G m 的最小值0m ；（2）设*G 是使0*)(m G m =的一个图，若将*G 的线段用4种颜色染色，每条线段恰好染一种颜色，则存在一种染色法，使*G 中线段染色后，不含有同色三角形.专题十七 图论问题（二）四川师范大学数学与软件科学学院 李昌勇一、基本知识1、定义1：如果图G 的顶点集V 可以分为k 个两辆不交的非空子集，即 ni iVV 1==，∅=⋂j i V V ，)1(n j i ≤<≤，并且没有一条边，其两个端点都在上述同一子集内，称这样的图G 为k 部图．记作);,,,(21E V V V G k .2、定义2：如果在一个k 部图);,,,(21E V V V G k 中，i i n V =||，任意两点j i V v V u ∈∈, )(j i ≠都有u 和v 相邻，则称G 是完全k 部图，记作k n n n K ,,,21 ．3、设)0,(m r N k r mk n <≤∈+=*，)(n T m 记完全k 部图k n n n K ,,,21 ，这里121+====k n n n r ，k n n n m r r ====++ 21，令)(n e m 表示)(n T m 的边数，则2212212)()1()(k k n k k n m C r m rC C C m C n e ---=-+=++-，其中][mn k =． 4、定理1：),(E V G 是任意n 阶m 部图，则)(||n e E m ≤.5、定理2：设n 阶图),(E V G 不含1+m K ,则)(||n e E m ≤，当且仅当G 和)(n T m 同构时等号成立．☆6、定理3（Turan 定理）（1）设图G 有n 个顶点，且不包含3K 作为子图，则图G 的边数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤4||2n E .（2） 设图G 有n 个顶点，且图G 的边数⎥⎦⎤⎢⎣⎡>4||2n E .求证：图G 中一定有⎥⎦⎤⎢⎣⎡2n 个3K子图.7、定理4：扎兰基维茨（Zarankiewicz ）定理空间中)2(≥≥k n 点，任4点不共面，每一点至少与11)2(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--k n k 个其它点用线段相连，则至少有k 点，两两之间有线段相连.8、定理5：设G 是n 阶简单图，G 中不含四边形，则其边数)341(41||-+≤n n E ．二、典型问题分析1、有20个队参加比赛，任何三队中，必有两队已经比赛过，至少要进行多少场比赛？2、某桥牌俱乐部规定：仅当四人中无二人曾经相互作过伙伴时才能一起玩.在一次有14人参加的集会中，他们每人都曾与其他5人作过伙伴，玩3局之后，按规定只能停止.正当他们准备离开时，他们都不认识的一个新会员来了.证明：这时至少还有1局可以玩.3、S 是满足n b a ≤≤,1的m 个无序正整数对),(b a 组成的集合.求证：至少有nn m m 3442-⋅个三元组),,(c b a 使得),(b a ，),(c b ，),(a c 都属于S .4、求满足如下条件的最小正整数n ，在圆O 的圆周上任取n 个点n A A A ,,,21 ，则在2nC 个角j i OA A ∠ )1(n j i ≤<≤中至少有2010个不超过120．5、已知空间中9点，其中任4点不共面.在这9点间连接若干条线段，使图中不存在四面体.问图中最多有多少个三角形？6、一个会议有1990位数学家参加，其中每人至少有1327位合作者.证明：可以找到四位数学家，他们中每两人都合作过.7、空间10个点，两两连线，其中任三点不共线．用红蓝两种颜色染这些线段，其中A 点连的线段都是红色，以这10个点为顶点的三角形中，三边同色的三角形有n 个，试求n 的最小值．8、８人参加聚会，每人最多与三人不能进行语言交流．证明：此８人可以分成四组，每组两人能交流．9、在有8个顶点的简单图中，没有四边形（即由4点A ，B ，C ，D 和四条边AB ，BC ，CD ，DA 组成的图）的图的边数的最大值是多少？10、由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中12++≥q q n ，1)1(212++≥q q l ，N q q ∈≥,2.已知此图中任意四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有2+q 条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点D C B 、、、A 和四条连线段DA CD B C AB 、、、组成的图形KH GPF EDCBA1图T LNMK H PGFE DCBA图1-1专题十八平面几何竞赛题中的巧思妙解沈毅（四川省成都七中初中学校 610041）平面几何是一门古老的数学分支，几千年来，之所以能长盛不衰，就是因为她对人脑思维的培养起着不可估量的作用.在各级数学竞赛中平面几何也占据着重要的位置，特别是IMO ，平面几何几乎占据了三分之一，可见一斑.今天，我们在这里一起分类研究的平面几何问题，探讨平面几何竞赛题中的巧思妙解.一 相等问题相等是平面几何中一类常见的证明结论，简单的问题可以通过构造全等解决，复杂的问题则需要运用比例的性质以及诸多平面几何证明方法才能解决问题.例1 如图1，在ABC ∆中，点,,D E F 分别在边,,BC CA AB 上，BE 与CF 交于点P ，过点P 作BC的平行线分别交,,DF AD DE 于点,,G H K . 求证：GP HK =.（《中等数学》2010年第5期高273号问题） 证法1 如图1-1，过点A 作BC 的平行线分 别交,,DF DE DP 于,,M N L ,过点F 作BC 的 平行线交DP 于T .由平行线性质，得GP DP DH HKML DL DA AN===, 欲证GP HK =，需证 ML AN =.因为 FT DF BFML DM BA==, 所以 BAML FT BF =⋅, 又 DC CEAN EA=, 所以 EAAN DC CE=⋅, 所以 ML BA CE FT BA CE FP AN BF EA DC BF EA PC=⋅⋅=⋅⋅,PF ED CBA2图NMK H PGFE DCBA12-图HGN MPFED CBA21-图由直线BPE 截AFC ∆，运用梅涅劳斯定理即得1MLAN=， 即ML AN =， 也即GP HK =.点评 联想平行线中的基本图形（平行线束），是转化问题的关键.证法2 如图1-2，延长AP 交BC 于点M ，过点A 的BC 边的平行线交DE 于N . 由平行线的性质，得DH MP MP AE HK AN AN DC DA MA MA EC =⋅=⋅=⋅⋅ ①又 FPGP DC FC=⋅ ②式①除以式②得1BPC ABCABP ABC BPC ABPS S S HK MP AE FC GP MA EC FP S S S ∆∆∆∆∆∆=⋅⋅=⋅⋅=, 因此 GP HK =.点评 在直线型问题中，运用面积方法消去复杂的比例是常用的方法，这其中选择合适的三角形的面积转化比例是关键.例2 如图2，设凸四边形ABCD 的两组对边分别交于 点E,F ，BEC ∆的外接圆与CFD ∆的外接圆交于C,P 两点.求证：BAP=CAD ∠∠的充分必要条件是BD ∥EF . （2010年中国国家集训队测试题） 先给出如下引理：引理 若,,(0,)αβθπ∈，则αβ=的充分必要条件是sin()sin()sin sin θαθβαβ--= ①证明 式①等价于证明cot cot αβ=，即等价于αβ=.原题的证明 如图2-1，过,P C 两点作,AB AD 的垂线， 垂足分别为,,,M N G H , 联接,,,,PB PD PE PF PC .由引理知 BAP=CAD ∠∠sin sin sin sin PAE CAFPAF CAE∠∠⇔=∠∠ ②F E DQPKH GN MCBA3图注意到 sin ,sin ,PM PNPAE PAF PA PA ∠=∠= sin ,sin CH CGCAF CAE CA CA ∠=∠=所以 式②PM CHPN CG ⇔=1PM CG PN CH⇔⋅= ③因为 BPE BCE DCF DPF ∠=∠=∠=∠,PBE PCE PFD ∠=∠=∠,所以 PBE ∆∽PFD ∆. 根据相似三角形的性质，得PM BEPN DF=. 故BCEDCFS PM CG BE CG PN CH DF CH S ∆∆⋅=⋅=, 故式③BCE DCF S S ∆∆⇔=BFE DEF S S ∆∆⇔=⇔BD ∥EF .点评 引理在证明角相等问题，特别是角不易转化的时候甚为管用,此外，等积变换也是本证明的一大亮点.二 平行与垂直问题两直线的平行与垂直是平面几何中两类重要的位置关系，证明方法颇多，下举例说明. 例3 如图3，在锐角ABC ∆中，D 是BC 的中点， BE AC ⊥于 点E ，CF AB ⊥于点F ，H 为垂心，DH 的延长线分别交,AC BA 的 延长线于点,P Q ，点G 在边BH 上，且GH HE =，点K 在CH 上， 且KH HF =，QG 交HF 于点M ，PK 交HE 于点N .求证：MN ∥BC（《中等数学》2010年第5期高271号问题） 证法1 如图3-1，联结,,GK DE DF . 由 BD DC =知BDH CDH S S ∆∆=， 所以FDH FDH CDH BDH S S HF QFCH S S QB∆∆∆∆===H QP KG NMF E DCBA32-图K QPNM H GF E DCBA31-图1QB FB FBQB QB-==-因此1FB HF CH HF CH HK CK QB CH CH CH CH--=-===，① 同理可证 EC BG=PC BH② 式①除以式②得PC FB CK BH=QB EC BG CH⋅⋅ 注意到 BHF ∆∽CHE ∆ 所以FB BH=EC CH， 因此PC CK =QB BG. 又 QCB=PCK ∠∠， 所以 QGB ∆∽PCK ∆， 即 HGM=HKN ∠∠ 因此 M,N,K,G 四点共圆，由 BHF ∆∽CHE ∆知BH HE=CH HF ⋅⋅， 即 BH HG=CH HK ⋅⋅ 因此 B,G,K,C 四点共圆， 于是 BCH=HGK=NMK ∠∠∠ 即 MN ∥BC .证法2 如图3-1，联结PB,PG,QK,QC,GK,GC,BK . 因为 BD=DC ，所以 BHQ CHQ S =S ∆∆， 又 KH HF =，所以 FHQ KHQ S =S ∆∆ 于是 BHQ FHQ CHQ KHQ S -S =S -S ∆∆∆∆即 KQC BHF BHK S =S =S ∆∆∆N M SRQD 1E 1E DPCBA33-图 所以 12HBC BHF KBC KQC KBC S =S +S =S +S =BQ KC ∆∆∆∆∆⋅ 同理可证 12HBC S CP BG ∆=⋅ 所以 BQ KC=CP BG ⋅⋅ 即BQ BG=CP KC易证 QBG=PCK ∠∠ 所以 QGB ∆∽PCK ∆ 以下证明同证法1.点评 证法1是将线段比转化为面积比，再转化为线段比进行证明，证法2则是直接运用面积的割补变换进行证明.该问题可作如下推广：推广 P 是ABC ∆所在平面上一点，BP,CP 分别与AC,AB 交于点D,E ，11D ,E 分别是D,E 关于点P 的对称点，过点P 的直线分别AB,AC,BC 交于Q,R,S ，1QD 交PE 于点M ，1RE 交CE 于点N ，则MN ∥BC 的充分不必要条件是BS=SC .证明 如图3-3，设AE AD BS =x,=y,t EB DC SC=， 由直线CE 截ABD ∆运用梅涅劳斯定理，得1BP DC AEPD CA EB ⋅⋅=， 即 1BP yPD x+=， 由直线BD 截ACE ∆运用梅涅劳斯定理，得1CP EB ADPE BA DC⋅⋅=，即 1CP xPE y+=， 对于直线PS 截BCE ∆，直线1D M 截BPE ∆，分别运用梅涅劳斯定理，得1BS CP EQ SC PE QB⋅⋅=， ①111BD PM EQD P ME QB⋅⋅=，②H 2H 1QPF ED CBA4图 比较上述式①，式②得11BD BS CP PM SC PE D P ME⋅=⋅， 因为 1D P PD =， 所以BS CP BP PD PMSC PE PD ME-⋅=⋅， 即 11(1)x y PMt y x ME++⋅=-⋅， 因此 (1)(1)(1)tx x PM PE y x y tx x +=⋅+-++，故(1)(1)(1)(1)(1)PM tx x PE txyPC y x y tx x PC y x y tx x +=⋅=+-+++-++，④ 考虑到图形构图的重复对称性，将式④中的t 换为1t，,x y 互换，即得(1)(1)PN xyPB x y tx y y =+-++， 因此 MN ∥BC 等价于PM PNPC PB=， 即等价于1(1)(1)(1)(1)t y x y tx x x y tx y y =+-+++-++，即 22(1)(1)0t tx t xy y tx y ⎡⎤--++++=⎣⎦，① 当BS=SC ，1t =，式①成立，即命题的充分性成立.当式①成立时，若1t ≠，则22(1)0tx t xy y tx y -++++=，即22x xy x t xy y y-+=--，例如当14,1,8x y t ===满足条件，于是命题的必要性不成立. 例4 如图4，P 是平行四边形ABCD 内任意一点，过点P 且平行于AD 的直线交AB 于点E ，过点P 且平行AB 于的直线交AD 于点F ，BF 与DE 相交于点Q . （1）求证：C,P,Q 三点共线.（2）设12,H H 分别是ABF ∆和ADE ∆的垂心，G T SN MH 2H 1Q PF EDCBA41-图求证：12PQ H H ^ （自编题）证法1 （1）如图4-1，延长EP 交DC 于点G . 对于直线BF 截ADE V 运用梅涅劳斯定理，得1DF AB EQFA BE QD鬃=， 注意到四边形DEPG;FAEP;GEBC 均为平行四边形.所以 DF GP,FA PE,AB DC,BE CG ====， 于是1GP DC EQPE CG QD鬃=， 由梅涅劳斯定理逆定理知C,P,Q 三点共线.（2） 如图4-1，设2DH 与AB 交于点M ， 1BH 与AD 交于点N ，2DH 与1BH 交于点T ，12H H 与CD 交于点S .因为12,H H 分别是ABF ∆和ADE ∆的垂心，所以 12FH AB,DM AB,EH AD,BN AD ^^^^， 因此 T ,M ,A,N 四点共圆， 于是 12180H TH A ADC PGC ?????，因为 1FH ∥DM ，2EH ∥BN ， 所以12DF DN BE BM,TH TN TH TM==， 易证 TBM V ∽TDN V ， 所以DN BMTN TM=， 即12DF BE TH TH =， 又 DF GP,BE GC ==， 所以12GP GCTH TH =，NM QPH 2H 1F EDBCA42-图因此 12TH H V ∽GPC V ， 于是 21TH H GCP ??， 因为 2190TH H S???，所以 2190TH H GCP???，因此 12PQ H H ^.点评 证法1中（1）将梅涅劳斯定理及其逆定理的综合运用演绎到了及至，（2）则巧妙利用了第（1）的结论构造相似三角形进行证明.证法2 （1）如图4-2，设FP 与DE 交于点M ，延长BF 交CD 于点N . 易证四边形PFAE 是平行四边形. 因为 AE ∥FP ∥NC ，AD ∥BC ， 所以FM FM DF DF NDFP AE DA CB NC====， 于是FP FM FQNC ND NQ==， 所以 FPQ V ∽NCQ V ， 即 NQPNQC ??，因此 C,P,Q 三点共线.（2）如图4-2，联结11111H A,H B,H C,H P,H F ,22222H A,H C,H D,H E,H P, 因为12,H H 分别是ABF ∆和ADE ∆的垂心， 所以 12AH BF ,AH DE,^^因此 222211H B H F AB AF -=-，222222H D H E AD AE -=-.易证 112290H BCH FP H DC H EP?????，所以 2222221111H C H P (H B BC )(H F FP )-=+-+2222222211(H B H F )(BC FP )AB AD AE AF =-+-=+--NMQPH 2H 1FE DC BA43-图同理，2222222222H C H P (H D DC )(H E EP )-=+-+2222222222(H D H E )(DC EP )AB AD AE AF =-+-=+--因此 22221122H C H P H C H P -=-，即 12PQ H H ^.点评 证法2（1）巧妙运用了“平行直线束”的比例性质，第（2）则将“定幂差线定理”运用巧妙，这是近些年来比较流行的证明垂直的方法，与证法1相比，可谓殊途同归，这就是平面几何的美妙之处！证法3 （1）如图4-3，延长FP 交BC 于点M ，EP 交DC 于点N .设AB a,AE λa,AD b,AF b,BQ uBF,DQ vDE m ======u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，其中(),0,1λμ∈.易证四边形;;;PFAE PNDF PMCN PEBM 是平行四边形，所以 ()(1)CQ CB BQ CB uBF CB u BA AF ua u b μ=+=+=++=-+-，① 又 ()(1)CQ CD BQ CD vDE CD v DA AE v a vb λ=+=+=++=--，所以 11u v v u λμ=-⎧⎨=-⎩，解得 11u λλμ-=-.将其代入式①得，1(1)(1)1CQ a b λμλμ⎡⎤=-+-⎣⎦- 因为 (1)(1)CP CM CN BE DF a b λμ=+=+=-+- 所以 11CQ CP λμ=-， 因此 C,P,Q 三点共线. （2）联结1122,,,H B H F H D H E .因为12,H H 分别是ABF ∆和ADE ∆的垂心，D5图所以 1212,,,BH AD EH AD FH AB DH AB ⊥⊥⊥⊥， 即 12120,0,0,0BE H F BE DH DF H B DF EH ⋅=⋅=⋅=⋅=， 所以 1212()BE H H BE H F FD DH ⋅=⋅++12BE H F BE FD BE DH BE DF =⋅+⋅+⋅=⋅1122()DF H H DF H B BE EH ⋅=⋅++12DF H B DF BE DF EH DF EB =⋅+⋅+⋅=⋅因此 1212()CP H H CM CN H H ⋅=+⋅121212()BE DF H H BE H H DF H H =+⋅=⋅+⋅0BE DF DF EB =⋅+⋅= 所以 12PC H H ⊥. 即 12PQ H H ⊥.点评 向量是高中数学中的主要内容，是解决几何问题，特别是直线型中的平行、共线、垂直问题的有力工具.三 点共线与线共点问题在解决点共线问题和线共点问题时我们常用到定理由梅涅劳斯定理，塞瓦定理，角元塞瓦定理，以及同一法等.例5 如图5，ABC ∆的外接圆为ω，圆1ω与边,AB BC 相切，且内切于圆ω，切点为D ，圆2ω与边 ,AC BC 相切，且内切于圆ω，切点为E ，BD 与CE相交于点P ，,O I 分别是ABC ∆外心和内心.求证 ,,O I P 三点共线. （自编题）lFEDNMICBA51-图GI /DNMCBA52-图先证如下引理：引理 ABC ∆的外接圆为ω，圆1ω与边,AB BC 相切于点,M N ，且内切于圆ω,切点为D ，I 是ABC ∆的内心，则,,M I N 三点共线.证法1 如图5-1，延长,CI AI 交ABC ∆的外接圆于点,E F ,过点E 作ABC ∆的外接圆的切线l .由三角形内心性质知,E F 分别是,AB BC 的中点. 所以l ∥AB .因为圆1ω与圆ω位似，点D 为位似中心，,E M 为对应点，所以,,E M D 三点共线. 同理可证 ,,F N D 三点共线. 由帕斯卡定理知,,M I N 三点共线.证明2 如图5-2，设过,,A M D 的圆与MN 的另一交点为I ',过作圆1,ωω的外公切线DG ,如图联接相应线段.由弦切角性质，得ADG ADM GDM AMD ABD MDB ∠+∠=∠=∠=∠+∠又 ADG ABD ∠=∠， 所以 ADM MDB ∠=∠， 同理可证 BDN NDC ∠=∠.因为 ,,,;,,,A M I D A B C D '四点分别共圆， 所以 180DI M MAD DCN '∠=︒-∠=∠, 因此 ,,,D I N C '四点共圆.注意到 DNC DMI '∠=∠, 所以 DCN ∆∽DI M '∆, 同理 DAM ∆∽DI N '∆,因此 1122MAI MDI NDC BDC BAC ''∠=∠=∠=∠=∠,O O 1H G NM CBA53-图同理 12NCI BCA '∠=∠, 因此 I '是ABC ∆的内心. 即 ,,M I N 三点共线.证明3 记圆ω，圆1ω的圆心分别为,O O ',半 径分别为,R r . G 为MN 中点. 作GH BC ⊥,垂足为H . 易知 1,,B G O 三点共线，于是221cos cos 22B B GH O N r ==,因为 1sin 2r BO B =,BO R =,1OO R r =-，12A COBO -∠=, 在1OBO ∆中应用余弦定理，有222cos2()2()sin sin 22A Cr R Rr R r B B -+-=-， 化简，得 2sin sin sin 2224cos 2A B C r RB =， 于是 4sin sin sin 222A B CGH R =，所以 cot 4sin cos sin 2222B A B CBH GH R ==，于是 tan GH GHGCB HC BC BH∠==- 4sin sin sin2222sin 4sin cos sin222A B C R A B CR A R =-sin sin22tan 2cos cos sin 222B C C A B C ==-因此 CG 平分ACB ∠,即G 是ABC ∆的内心，即,,M I N 三点共线. 原题的证明ZY XFDCB A6图H O 1P 1I ODNMCBA54-图 如图5-4，记ABC ∆的外接圆和内切圆半径分别为,R r ，圆1ω，2ω的半径分别为12,R R ,直线OI 与,BD CE 的交点分别为12,P P ,圆1ω与边,AB BC 的切点分别为,M N ，IH BC ⊥,垂足为H .对于1OIO ∆和截线1BP D 运用梅涅劳斯定理，得11111OP O D IB PI BO DO ⋅⋅=, 注意到11111,O D RIB IH r BO O N R DO R ===, 所以 11OP R PI r =，同理2121OP OPR P I r PI ==， 因此 12,P P 重合，即为点P ,所以,,O I P 三点共线. 点评 在重复构图的几何问题中，时常从局部图形入 手分析问题，联想经典问题中的经典结论.同学们可以思考怎样用反演变换解决该问题.例6 如图6，DEF ∆是由ABC ∆的外角平分线所组成的 三角形， BCD CAE ABF ∆∆∆,,的内切圆与ABC ∆各边分 别切于点X Y Z ,,.求证：DX EY FZ ,,三线共点.（《中等数学》2009年第2期高242号问题）证明 如图6-1，设点X 到FD DE ，；点Y 到DE EF ，；点Z 到EF FD ，的距离分别为121212,;,;,m m n n p p ，BCD CAE ABF ∆∆∆、、的内切圆半径分别为123,,r r r ，记CAE ABF ∆∆,的内心分别为23,O O .点23,,,O Y Z O 在EF 上的射影分别为,,,M N G H .注意到 23,EAY FAZ EAO FAO ∠=∠∠=∠， 所以 AYN ∆∽AZG ∆， 2AO M ∆∽3AO H ∆， 又 ,AM AY AH AZ ==，HG NMO 3O 2Z Y X FEDCB A 61-图Z /Y /X /ZYXFEDCB A62-图所以23O MYN AY AM ZG AZ AH O H ===， 即2213n r p r =， 同理可证 32211112,r p m rm r n r ==，易知12sin ,sin m XDB XDC m ∠=∠12sin ,sin n YEC YEA n ∠=∠12sin sin p ZFA ZFB p ∠=∠,所以sin sin sin 1sin sin sin XDB YEC ZFAXDC YEA ZFB∠∠∠⋅⋅=∠∠∠，所以由角元赛瓦定理逆定理知DX EY FZ 、、三线共点. 证法2 如图6-2，记DEF ∆的内切圆与边,,EF FD DE 相切于点,,X Y Z '''.易知 ,,D E F 分别是ABC ∆的旁心， 由旁心性质知1802ACBAFB DCB ︒-∠∠==∠,于是 DCB ∆∽DFE ∆,显然,X X '是两相似三角形的一组对应点，所以,BDX EDX '∠∠;,CDX FDX '∠∠为对应角， 因此 BDX EDX '∠=∠;CDX FDX '∠=∠ 同理 ,CEY FEY AEY DEY ''∠=∠∠=∠, ,AFZ DFZ BFZ DFZ ''∠=∠∠=∠, 由切线长定理知1EX FY DZ X F Y D Z E'''⋅⋅=''',7图SOGMQPDCBA71-图因此直线,,DX EY FZ '''三线共点， 由角元塞瓦定理知sin sin sin sin sin sin BDX CEY AFZCDX AEY BFZ∠∠∠⋅⋅∠∠∠ sin sin sin 1sin sin sin EDX FEY DFZ FDX DEY DFZ '''∠∠∠=⋅⋅='''∠∠∠ 因此 由角元赛瓦定理逆定理知DX EY FZ 、、三线共点.点评 运用角元塞瓦定理证明线共点问题是常用的方法，但其含分角正弦的三角表达式，为求简，我们应注意三角关系与几何关系间的转换，如果该题陷入了用ABC 的边角元素表示正弦，那就很麻烦了.四 点共圆问题点共圆问题是近年来国际国内数学竞赛中的命题热点，除需要掌握基本的四点共圆的证明方法外，还需要有较强的平面几何证明功底.例7 如图7，四边形ABCD 内接于圆O ，对边,AB DC 交于点P ；,AD BC 交于点Q .M 是PQ 的中点，MC 交圆O于另一点G .求证 ,,,A G P Q 四点共圆.（自编题）证明1 如图7-1，在PQ 上取点S ，使,,,B P S C 四点共圆，连接,,,,OP OM OQ GP GQ ，记圆O 的 半径为R .易知 CSQ CBP ADC ∠=∠=∠于是 ,,,C S Q D 四点共圆，由割线定理，得2PC PD QC QB PS PQ QS QP PQ ⋅+⋅=⋅+⋅=由三角形中线长公式，得2222422OM OP OQ PQ =+- ①由圆幂定理，得72-图 22OM MC MG R =⋅+， 22OP PC PD R =⋅+， 22OQ QC QB R =⋅+，将其代入式①，得2242()MC MD PC PD QC QB PQ PQ ⋅=⋅+⋅-=， 结合MP MQ =知 22MP MQ MC MD ==⋅， 于是 MPC ∆∽MGP ∆，MQC ∆∽MGQ ∆， 所以 ,MGP MPC MGQ MQC ∠=∠∠=∠， 因此 PGQ MGP MGQ MPC MQC ∠=∠+∠=∠+∠ 180180PCQ BCD A =︒-∠=︒-∠=∠， 因此 ,,,A G P Q 四点共圆.证明2 如图7-2，联接,,,GB GD GP GQ . 在PCQ ∆中，sin 1sin PC PCM PMQC QCM MQ∠==∠,于是sin sin sin sin PC QCM BCG GBQC PCM DCG GD∠∠===∠∠, 注意到 180PBC QDC ∠+∠=︒, 由正弦定理，得sin sin sin sin PC PBC QDC QCPB PCB DCQ QD∠∠===∠∠, 因此PC PB GBQC QD GD==， 因为 ABG ADG ∠=∠,所以 PBG QDG ∠=∠, 于是 PBG ∆∽QDG ∆， 即 APG AQG ∠=∠, 因此 ,,,A G P Q 四点共圆.8图73-图74-图证明3 如图7-3，延长CM 至点N ，联接,,PN QN AG .易证四边形PNQC 是平行四边形,所以 PNQ PAQ PCQ PAQ ∠+∠=∠+∠ 180BCD PAQ =∠+∠=︒因此 ,,,A P N Q 四点共圆.于是 AGC ADC DPQ DQP PQN DQP AQN ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠, 所以,,,A N Q G 四点共圆, 因此 ,,,A G P Q 四点共圆.证明4 如图7-4，不妨设过,,A P Q 三点的圆与圆O 的另一交点为G ',G C '与PQ 的交点为M ',联接,G P G Q ''.因为 PCM GCD GAD GPM ''∠=∠=∠=因此 PCM '∆∽GPM '∆,所以 2M P M C M G '''=⋅, 同理可证 2M Q M C M G '''=⋅ 因此 M P M Q ''= 显然过线段PQ 的中点和C 点的直线与圆O 只有一个异于点C 的交点，所以,M M ';,G G '分别重合，因此,,,A G P Q 四点共圆.点评 证法1，2是运用圆中角间关系的逆定理证明四点共圆，证法3 则是运用多点共圆证明四点共圆，证法4是证明点共圆问题的常用方法. 本题属笔者自编.五 定值定点问题例8 如图8，AB 是圆O 的弦，过点A 、B 作的圆O 的切线交于点C ， ABC ∠的平分线交AC 于点D ，过D 作圆O 的异于DA 的切线，切点为E ， CE 交AB 于点P .求证：APPB为定值. （自编题）证明 如图8-1，在BA 的延长线上取点F ，使AF AD =，延长DE 交AB 于点G ，设AF AD DE m ===， EG n =，GB p =，BA q =.易知 1122F DAB CBA DBA ∠=∠=∠=∠， 因此 DF DB =，于是F 、B 在以D 为圆心，DB 为半径的圆上， 由圆幂定理得222DB DA AF AB m mq =+⋅=+，222()()DB DG GF GB m n p m p q =+⋅=++++.即 222mq mn mp n p pq =-+--. ① 由切割线定理，得 2EG GB GA =⋅即 22n p pq =+ ② 将式②代入式①并化简，得2q n p =-， ③再将式③代入式②，得2n p =，于是由EBG ∆∽AEG ∆知2EA EG EB BG== 由弦切角定理知CAE AEB ∠=∠，CBE BAE ∠=∠，DCXBAP9图HX NMDCB AP91-图于是1sin 21sin 2CAECBECA EA CAES AP PB S CB EB CBE ∆∆⋅∠==⋅∠ 22sin sin 4sin sin EA CAE EA ABE EA EB CBE EB BAE EB∠∠====∠∠. 所以APPB为定值. 点评 本题的证明应该有以下几个亮点：（1）巧妙构造在等腰三角形中圆幂定理，这样避免了作高线为辅助线.（2）在证明过程中巧妙运用了代数方法梳理题目中繁杂的线段间数量关系.（3）巧妙运用了面积法转化线段比，突破了传统方法中将面积比转化为共边比.例9 如图9，已知圆外一点P 向圆引两条切线的切点分别为A ,B ，X 是AB 上的任意一点，P 在AX ,BX 的投影分别为C ,D .证明:当X 在劣弧AB 上运动时,CD 经过一个定点Y . （2005年斯洛文尼亚数学奥林匹克试题） 证明1 如图9-1，设H 是AB 的中点.因PB PA =，故以P 为圆心，PA 为半径作圆分别交射线AC 、BD 于点M 、N . 由于 XBA PAX PMX ∠=∠=∠，XAB PBX PNX ∠=∠=∠.故PMX PNX MXN ∠+∠+∠ XBA XAB AXB π=∠+∠+∠= 所以π=∠MPN , 即M 、P 、N 三点共线.由垂径定理知CM AC =,DN BD =. 再结合三角形的中位线知 PD //MB 21//CH ， 所以四边形PCHD 是平行四边形. 因此CD 经过线段PH 的中点，即经过定点.评注 证法1利用了“四边形一组对边和两条对角线中点构成平行四边形的顶点”这一基本事实，巧妙地还原了图形的原貌，从而确定定点的几何位置.证明2 如图9-2，过点P 作PH AB ⊥与CD 相交于点Y .βαHYXDCBAP92-图t tFEβαHYXDCBAP93-图由题意可设t PB PA ==，α=∠=∠XBA PAC ， β=∠=∠XAB PBD . 由 2π=∠=∠PHB PDB 知P 、D 、H 、B 四点共圆.则 α=∠=∠XBA DPY . 同理可得 β=∠=∠XAB CPY .在⊿PCD 中，对线段PC 、PD 、PY 应用张角公式，得()PYPD PC βαβα+=+sin sin sin ， 故 ()PYt t βαββαα+=+sin sin sin sin sin ， 即 2)sin(βα+=t PY .显然 定值=∠-=+2APBπβα.故CD 经过定点Y .证明3 如图9-3，分别过点P 、C 、D 作AB 的垂线，垂足分别为H 、E 、F ，PF 交CD 与Y .由切线长和弦切角定理可设t PB PA ==， α=∠=∠XBA PAC ，β=∠=∠XAB PBD .所以 定值=∠-=+2APBπβα.由于 βαβcos cos cos ⋅=⋅=PA AC AE βαcos cos t =， βααcos cos cos ⋅=⋅=PA BD BF βαcos cos t =.所以 BF AE =.又 HB HA = 故 HF HE =. 由梯形中位线定理，知=+=+=+=)sin(21)sin cos sin cos (21)(21βααββαt t t DF CE YH 定值.故CD 经过定点Y .评注 证法2和证法3是将定点问题转化为定值问题加以解决，“化定点为定值”是我们解决定点问题有效的方法.FPNMEDCBA10图101-图例10 如图10，给定ABC ∆，P 是ABC ∆内一点，射线,,AP BP CP 分别与对边,,BC CA AB 交于点,,D E F .EF 与ABC ∆的外接圆交于点,M N .求证：DMN ∆的外接圆恒过某一定点. （自编题）证明 如图10-1，对于点P 和ABC ∆1BD CE AFDC EA FB⋅⋅= ① , （1）当EF 与BC 平行时，AF AEFB EC=, 结合式①知 BD DC =,即此时DMN ∆的外接圆恒过BC 边的中点M .（2）当EF 与BC 平行时，不妨设FE 与BC 的延长线相交于点Q .对于直线FEQ 截ABC ∆，由梅涅劳斯定理，知1BQ CE AFQC EA FB⋅⋅=, ② 比较式①，②有BD BQDC QC=， 记,()BD x DC y x y ==>，可得 (),y x y QC x y+=-于是 ()()()y x y x x y QB x y x y x y ++=++=--，()2y x y xyQD y x y x y+=+=--,2()()22()y x y x y x y QM x y x y +++=+=--,11图G HP OCBADNM111-图 所以 QM QD QC QB QM QN ⋅=⋅=⋅, 此时DMN ∆的外接圆恒过BC 边的中点M .点评 证明中首先通过特殊化原理猜测定点的位置，进而证明四点共圆.在证明中运用了调和点列的一条性质，调和点列是平面几何中诸多问题的元神.六 最值问题例11 如图11，角MON ∠内有一点D ，过点D 的直线与 两边交于两点,B C ，求ABC ∆的周长的最小值，并说明取最小值 的条件.（《数学通报》2010年第6期1852号问题）解 如图1,在MON ∠内作ABC ∆边BC 上的 旁切圆圆O ，与,,BC BM CN 的切点分别为,,P G H .由切线长定理知 ,,BP BG CP CH AG AH ===,所以 ,AB BP AG AC CP AH +=+=, 因此 2AB BC CA AG ++=,设,,,DAB DAC AD m AG x αβ∠=∠===，则 cos2x AO αβ=+，2OAD αβ-∠=,由余弦定理知22222cos AO AD AO AD OAD OP OG +-⋅∠≥=,即 222cos 0AG AO AD OAD AD -⋅∠+≥代入相应字母表达式，得22cos220cos2x mx m αβαβ--+≥+，解得 cos 2cos 2x m αβαβ-≥+或cos 2cos2x m αβαβ--≤+，显然当BC 接近平行于MON ∠两边时ABC ∆的周长接近正无穷大，因此ABC ∆的周长的最小值为cos22cos2mαβαβ-+，当且仅当,P D 重合，即AB BP AC CP +=+时取最小值.点评 在平面几何最值问题中，思考的一般思路是将最值问题代数化、三角化、解析化，而本例的证明特点则是构造出表示三角形周长的线段，利用简单的线段关系解决，这样避免了繁琐的运算.专题十九：组合最值与操作性问题华南师大附中 宋红军组合问题是数学竞赛中的热点问题。
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1. =−××++×
÷8.25528272695282701374443710001 。
2. 设上题答数乘以50为a 。
一个整数不大于a ，且被2除余1，被3除余2，被4除余3，…，被11除余10，被12除余11，则这个整数是 。
3. 设上题答数的个位数字加上16为b 。
一个整数的3倍与b 之和是该整数的2倍减去5之差的整数倍，那么这个倍数的可能值是 。
4. 设上题最大答数的60倍减去30为c 。
分母为c 的最简真分数有 个。
5. 设上题答数的个位数字减1为d 。
班上50名学生参加三个分别称为A,B 和C 的课外小组，每个学生至多参加两个组。
如果A 组的人数与B 组、C 组人数之和的比为3:5，B 组的人数与A 组、C 组人数之和的比为4: d ， 则A 、B 、C 三组的人数分别为______、______、_______。
6 设上题答数中A 组人数加上17为e 。
如图，DEFG 是△ABC 的内接正方形，
如果△ABC 的面积为e ，那么边长DE 的
最大值是 。
7. 设上题答数为f 。
f 个人围坐在一张圆桌旁，他们站起来后重新坐下，但只能坐在原来的座位或者坐在与原来相邻的座位上，则不同的坐法有 种。
8. 设上题答数加上7为g 。
某地的月平均菜价一月份比上年十二月份上涨g ％，二月份比一月份又上涨g ％，三月份比二月份下降g ％，四月份比三月份下降x ％，结果四月份的平均菜价与上年十二月的平均菜价相同，则最接近x 的整数为 。
9. 设上题答数减去10为h 。
一次乒乓球练习赛有6人参加。
如果每人都恰好赛h 场（每两人之间至多赛一场），那么符合条件的比赛安排共有 种。
简述你的理由。