1999我爱数学少年夏令营试题

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我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷

我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一．在锐角ΔABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足。

O为ΔABC的外心。

求证：（1）ΔAEF～ΔABC；（2）AO⊥EF。

二．给定代数式–x3+100x2+x中的字母x只允许在正整数范围内取值。

当这个代数式的值达到最大值时，x的值等于多少？并证明你的结论。

三．（1）证明存在非零整数对（x,y）, 使代数式11x2+5xy+37y2 的值为完全平方数；(2) 证明存在六个非零整数a1,b1,c1,a2,b2,c2,其中a1:a2≠b1:b2,使得对于任意自然数n, 当x=a1n2+b1n+c1,y=a2n2+b2n+c2时，代数式11x2+5xy+37y2的值都是完全平方数。

2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一．=。

二．在长方形ABCD中，EF⊥AB，GH⊥AD，EF与GH相交于O，HC与EF相交于I。

已知AH:HB=m:n, ⊥COI的面积为1平方厘米，那么矩形ABCD的面积等于平方厘米。

三．将三个数：用两个不等号“>”连接起来，正确的结果应该是：。

四．点D，E分别在⊥ABC的边AC和BC上，⊥C为直角，DE⊥AB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的长等于。

五．知：x,y,z是正整数，并且满足那么，x-y+z 的值等于。

六．已知点D，E，F分别在⊥ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于。

七．如果满足x2-6x-16-10= a的实数x 恰有6个，那么实数a的值等于。

八．已知⊥ABC为等腰直角三角形，⊥C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么的值等于。

1997我爱数学少年夏令营试题大全

1997我爱数学少年夏令营试题大全1997年我爱数学夏令营计算竞赛1、。

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1997年我爱数学夏令营数学竞赛1、从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数。

排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可能读的最大的数是。

2、在下面的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。

请把下面汉字算式翻译成数字算式。

答：3、A、B、C、D四个队举行足球循环赛（即每两个队都要赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。

已知：（1）比赛结束后四个队的得分都是奇数；（2）A队总分第一；（3）B队恰有两场平局，并且其中一场是与C队平局。

那么，D队得分。

4、10吨货物分装若干箱，每只箱子重量不超过1吨。

为了确保在任意分装情况下，都能一次将这批货物运走，那么，载重量为3吨的汽车，最少要准备部。

5、将12345678910111213……依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是。

6、如下图，E是矩形ABCD的边BC的中点，BD与AE的交点为F，那么，图中阴影部分（三角形FAB）与矩形ABCD的面积之比是。

7、一排椅子共有15个座位，部分座位有人就坐。

张明来后一看，他无论坐在何处，都要与已就坐的人相邻。

在张明之前已就坐的最少有人。

8、快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。

已知慢车从乙地到甲用12.5小时，慢车到甲地停留半小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需小时分。

9、某造纸厂在100天里共生产2000吨纸。

开始阶段，每天只能生产10吨纸。

中间阶段由于改进了生产规程，每天的产量提高了一倍。

“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)

我爱数学初中生夏令营数学竞赛说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.第一试1、已知当x 的值分别为2、m 1、m 2时,多项式ax 2+bx+c 的值分别为0、p 1、p 2.如果a>b>c,并且p 1p 2－cp 1+ap 2－ac=0,那么,能否保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数?证明你的结论.2、在△ABC 中,∠A=75°,∠B=35°,D 是边BC 上一点,BD=2CD. 求证:AD 2=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)写出四个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数(2)写出六个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数,说明你的计算方法.第二试1、若2 008=a n (－3)n +a n －1(－3)n －1+…+a 1(－3)+a 0(a i =0,±1,±2,i=0,1,…,n),则a n +a n －1+…+a 1+a 0= .2、能使关于x 的方程x 2－6x －2n =0(n ∈N+)有整数解的n 的值的个数等于 .3、如果函数y=b 的图像与函数y=x 2－3|x －1|－4x －3的图像恰有三个交点,则b 的可能值是 .4、已知a 为整数,关于x 的方程1||41224+-+x x x x +2－a=0有实数根.则a 的可能值是 . 5、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和,就把这个数叫做“和谐数”.那么,在1,2,…,2 008中,和谐数的个数是 .6、已知某种型号的汽车每台的售价是23万元.某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成.一年的固定成本为7000万元.在这一年中生产这种汽车x 辆时,生产每一辆车的生产成本为x3x-70万元(0<x<1 000).要使该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则至少需要生产这种汽车辆. 7、若2008个数a 1,a 2,…,a 2008满足a 1=2,20081)12008(112++---n n n n a a a a =0,其中,n=2,3,…,2 008,那么,a 2008可能达到的最大值是.8、已知⊙O 与直线l 切于点M,⊙O 外一定点A 和⊙O 都在直线l 的同一侧.点A 到直线l 的距离大于⊙O 的直径,点B 在⊙O 上.过点A 作直线l 的垂线AN,过点B 作直线l 的平行线BC,直线AN 与BC 交于点C.则当点B 的位置在时,ACAB 2的值达到最小.9、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上,分别取点D 、E,使得∠BDC=50°,∠BEC=40°.则∠ADE=10、从1, 2,…, 2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于 . 参考公式:12+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1).参考答案第一试1、由已知得ax 2+bx+c=a(x －2)(x －c/2a), 且 4a+2b+c=0.又由a>b>c 得a>0,c<0,c/2a<0.因此,仅当c/2a≤x≤2时,该多项式的值不是正数. 由已知得(p 1+a)(p 2－c)=0. 则p 1+a=0或p 2－c=0. 解得p 1=－a<0或p 2=c<0.因此,存在i(i=1或2)使得p i <0,m i >c/2a.由已知得c=－4a －2b>－6a,则c/a>－6,c/2a>－3,m i +5>2.当x=mi+5时,该多项式的值是正数.因此,可以保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数. 2、由已知得∠C=70°.延长BC 至E,使AC=CE.联结AE.则∠CEA=∠CAE=21∠ACB=35°=∠ABC.故△CAE ∽△AEB.从而,AE 2=AC·BE,即AB 2=AC(AC+BC).①设F 是BD 的中点,联结AF.则CD=DF=FB.在△ACF 、△ADB 中,由中线的性质分别得 AC 2+AF 2=2CD 2+2AD 2,② AD 2+AB 2=2DF 2+2AF 2.③由式②、③得2AC2+AB 2=6CD 2+3AD 2.④ 将式①代入式④得3AC 2+AC·BC=6CD 2+3AD 2. 将BC=3CD 代入上式得AC 2+AC·CD=2CD 2+AD 2.故AD 2=AC 2+AC·CD －2CD 2=(AC+2CD)(AC －CD)=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)242、243、244、245是四个连续的正整数,242是112的倍数、243是32的倍数、 244是22的倍数、245是72的倍数.(2)2 348 124、2 348 125、2 348 126、2 348 127、2 348 128、2 348 129是六个连续的正整数,其中,2 348 124是22的倍数、2 348 125是52的倍数,2 348 126是112的倍数、2 348 127是32的倍数、2 348 128是22的倍数、2 348 129是72的倍数. 计算方法如下:记A=4×9×121×49k(k ∈N+). 由(1)可知,A+240是22的倍数, A+242是112的倍数, A+243是32的倍数, A+244是22的倍数, A+245是72的倍数. 设A+241是52的倍数. 则当k=11时,上式成立. 此时,A=2 347 884.A+240=2 348 124是22的倍数, A+241=2 348 125是52的倍数, A+242=2 348 126是112的倍数, A+243=2 348 127是32的倍数, A+244=2 348 128是22的倍数, A+245=2 348 129是72的倍数.第二试1、0或±4或±8.2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=0;2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－4;2 008=－(－3)7－(－3)6－2(－3)5－2(－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－8;2 008=2(－3)6－2(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=4;2 008=(－3)8+2(－3)7+(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时,a n +a n －1+…+a 0=8. 注意到将(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－2(－3)n , 将2(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－(－3)n , 将3(－3)n 变为(－1)(－3)n+1的时候, a n +a n －1+…+a 0的值都增加或减少4,并且当n>8时, a n +a n －1+…+a 0的绝对值不大于8.因此,a n +a n －1+…+a 0=0或±4或±8. 2、1.x=3±n 223+,其中, n223+是完全平方数.显然,n≥2.当n≥2时,可设2n +32=(2k+1)2(k ∈N+,k≥2), 即 2n －2=(k+2)(k －1).显见k －1=1,k=2,n=4.能使原方程有整数解的n 的值的个数等于1. 3、－6、－25/4.令y=x 2－3|x －1|－4x －3.则y=x 2－x －6=425)21(2--x ,x≤1; y=x 2－7x=449)27(2--x ,x>1.当x=1时,y=－6; 当x=12时,y=－25/4.由图像知,所求b 的可能值是－6、－25/4.4、0、1、2. 令y=1x |x |2+.则0≤y<1.由y 2－4y+2－a=0 (y －2)2=2+a 1<2+a≤4 －1<a≤2. 因此,a 的可能值是0、1、2. 5、2 007.注意到91=7×13.数字和为1的数不是91的倍数. 1 001,10 101,10 011 001,101 011 001, 100 110 011 001,1 010 110 011 001,… 都是91的倍数,而它们的数字和依次是2,3,4,5,6,7,….因此,在1,2,…,2 008中,能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2 007. 6、318.若该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则 23x －[7000+x xx370-]≥0x －x －300≥0 x ≥22011 1+ x≥234.6601+ x≥318. 因此,在一年中至少需要生产这种汽车318辆.7、2008 20062 .由已知得2008a a 1-n n =①或1-n n a 1a =②,1只能经过第①类变换或第②类变换变为an(n=2,3,…,2 008),从a1开始连续经过2 007次这样的变换变为a2 008. 连续两次第②类变换相互抵消,保持原数不变.连续三次变换依次是“第①类变换、第②类变换、第①类变换”时,其中两次第①类变换相互抵消,相当于只对原数进行了一次第②类变换.因此,对2的连续2 007次变换相当于对2连续进行m 次第①类变换或第②类变换,而且只有在第一次和最后一次变换中才可能是第②类变换.而对2连续2 007次变换:“前2 006次为第①类变换、最后一次为第②类变换”时,a 2008达到最大值2008 20062 .8、线段AM 内.设直线AB 与⊙O 的另一交点为D,不妨设点B 在点A 和D 之间.过点D 作直线AC 的垂线DE,垂足为E.则AB·AD=k(k 是一个不变的常数), △ABC ∽△ADE,AB/AC=AD/AE,AB 2/AC=AB·AD/AE=k/AE.当AE 达到最大值,即点B 的位置在线段AM 内时,AB 2/AC 的值达到最小. 9、50°.由已知∠BAC=20°,∠BCD=50°,故BC=BD,① ∠CBE=60°,∠ABE=20°.在CE 上取一点F 使∠CBF=20°,则∠EBF=40°,BF=FE,② ∠DBF=60°,∠BFC=80°,BC=BF.③由式①、③得BD=BF,知△BDF 是正三角形.于是,BF=DF.④ 由式②、④得DF=FE,知△DFE 是等腰三角形.又∠BFD=60°,知∠DFE=40°.从而,∠FED=70°,∠ADE=50°. 10、1 351 373 940.将1,2,…,2 008分成1 004组: {1,2 008},{2,2 007},…,{1 004,1 005}.由题设,各组中恰取出一个数.将2,4,…,2 008中的1 004,1 006,1 008,1 010分别换成同一组的1 005,1003,1001,999,其余各数不变,就是所选出的符合题目要求的1 004个数.2+4+…+2 008－(1 004+1 006+1 008+1 010)+(1 005+1 003+1 001+999) =1 009 020－(－1+3+7+11)=1 009 000,22+42+…+2 0082－(1 0042+1 0062+1 0082+1 0102)+(1 0052+1 0032+1 0012+9992) =4(12+22+…+1 0042)－2 009(－1+3+7+11) =2/3×1 004×1 005×2 009－2 009×20 =2 008×335×2 009－40 180=1 351 373 940. 答案与选法无关.。

“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷二试

2000 年“我爱数学”初中生夏令营数学比赛试卷一二试一、填空题（共 10 小题，每题5 分，满分 50 分）1．（ 5 分）给定四个命题：① sin15°与 sin75°的平方和为1； ② 函数 y ＝x 2﹣ 8x+6 的最小值为﹣ 10； ③ ； ④，则 x ＝ 10”，此中错误的命题的个数是．2．（ 5 分）如图， △ABC 中， AD 和 BE 订交于 F ，已知△ AFB 的面积＝ 12 平方厘米， △ BFD 的面积＝ 9 平方厘米，△ AFE 的面积＝ 6 平方厘米，那么，四边形 CDEF 的面积等于平方厘米．3．（ 5 分）在△ ABC 中， AB ＝，BC ＝ 2，△ ABC 的面积为 l ，若∠ B 是锐角，则∠ C的度数是．4．（ 5 分）某自来水企业水费计算方法以下：每户每个月用水不超出5 吨的，每吨收费 0.85元；超出 5 吨的，高出部分每吨收取较高的定额花费．已知今年 7 月份张家用水量与李家用水量之比为 2： 3，此中张家产月水费是 14.60 元，李家产月水费是 22.65 元，那么，高出 5 吨部分的收费标准是每吨元．22． 5．（ 5 分）知足方程 11x +2xy+9y +8x ﹣ 12y+6＝ 0 的实数根对（ x ， y ）的个数是 2﹣3|x|+7 的图象与函数 22的图象的交点个数是．6（． 5 分）函数 y ＝ x y ＝ x ﹣ 3x+|x ﹣ 3x|+62与 x 轴两个交点 A 、B 不在原点的左边，抛物线顶 7．（ 5 分）已知抛物线 y ＝ x +（ k+1）x+1 点为 C ，要使△ ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为．8．（ 5 分）如图，已知 AB 是圆 O 的直径， PQ 是圆 O 的弦， PQ 与 AB 不平行， R 是 PQ 的中点．作 PS ⊥ AB ，QT ⊥ AB ，垂足分别为 S ，T ，而且∠ SRT ＝ 60°，则的值等于．（ 2）10．（ 5 分）在四边形ABCD 中，边 AB ＝x， BC＝ CD ＝ 4，DA＝ 5，它的对角线AC＝ y，其中 x， y 都是整数，∠ BAC＝∠ DAC ，那么 x＝．二、解答题（共 3 小题，满分40 分）11．（12 分）已知m，n 为整数，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根．求n 的最小值，并说明原因．12．（ 14 分）已知 M、N 分别在正方形ABCD 的边 DA 、AB 上，且 AM ＝AN ，过 A 作 BM 的垂线，垂足为P，求证：∠ APN ＝∠ BNC．13．（ 14 分）设 N 是正整数，假如存在大于 1 的正整数k，使得 N＝是k的正整数倍，则称 N 为一个“千禧数” ，试确立在 1，2，3，，2000 中“千禧数” 的个数为并说明原因．2000 年“我爱数学”初中生夏令营数学比赛试卷一二试参照答案与试题分析一、填空题（共 10 小题，每题 5 分，满分50 分）1．（ 5 分）给定四个命题：① sin15°与 sin75°的平方和为 1；②函数 y＝x 2﹣ 8x+6 的最小值为﹣ 10；③；④，则 x＝ 10”，此中错误的命题的个数是 2 ．【剖析】① 熟记三角函数公式计算；② 运用配方法求最值；③④ 不仅看计算还看x 的取值范围．【解答】解：① sin^2 α+cos^2 α＝ 1，因此①正确．2 2② y＝ x ﹣ 8x+6＝（ x﹣4）﹣ 10，故正确．③ 等式中左边的代数式a＜0，右边的 a≤ 0，故错误．④等式左边要知足 5＜ x≤ 10，右边要知足x＜ 5， x≠ 10，故错误．综上可得①② 正确，共 2 个．故答案为： 2【评论】本题考察对真假命题的鉴别能力以及对三角函数，配方法，方程求解的考察．2．（ 5 分）如图，△ABC 中， AD 和 BE 订交于 F ，已知△ AFB 的面积＝ 12 平方厘米，△ BFD 的面积＝ 9 平方厘米，△ AFE 的面积＝ 6 平方厘米，那么，四边形 CDEF 的面积等于23.4 平方厘米．【剖析】连结CF ，设S△CEF＝ x， S△CDF＝y，依据三角形的面积与三角形底边成比率，从而求出四边形CDEF 的面积．【解答】解：连结CF ，设 S△CEF＝ x， S△CDF＝y，则＝＝，＝＝，解得 x＝10.8， y＝12.6，故四边形CDFE 的面积＝ x+y＝ 23.4．【评论】本题主要考察三角形的面积的知识点，依据等高的三角形的面积与底边成比率进行解答，本题需要同学们娴熟掌握．3．（ 5 分）在△ ABC 中， AB＝，BC＝2，△ ABC的面积为l ，若∠ B 是锐角，则∠ C 的度数是30°．【剖析】作出 BC 边上的高AD，利用面积为 1 易得 AD 的长度，利用勾股定理可得BD 的长，从而获得CD 的长，那么即可求得∠ C 的正切值，也就求得了∠ C 的度数．【解答】解：作 AD ⊥ BC 于点 D．∵BC＝ 2，△ ABC 的面积为 l，∴ AD＝ 1，∵ AB＝，∴ BD＝＝2﹣，∴CD ＝ BC﹣BD ＝，∴tanC＝＝，∴∠ C＝ 30°．故答案为： 30°．【评论】考察解直角三角形的知识；难点是结构出∠ C 所在的直角三角形；重点是求得CD 及 AD 的长．4．（ 5 分）某自来水企业水费计算方法以下：每户每个月用水不超出 5 吨的，每吨收费0.85 元；超出 5 吨的，高出部分每吨收取较高的定额花费．已知今年7 月份张家用水量与李家用水量之比为2： 3，此中张家产月水费是14.60 元，李家产月水费是22.65 元，那么，高出 5 吨部分的收费标准是每吨 1.15元．家就是 3x，而后依据张家产月水费是14.60 元，李家产月水费是22.65 元，列出方程进行求解．【解答】解：∵每户每个月用水不超出 5 吨的，每吨收费0.85 元，∴5× 0.85＝ 4.25 元当超出 5 吨，水费超出 4.25 元，∵ 14.6＞ 4.25，∴14.6﹣ 4.25＝ 10.35 元，设张家用水量为2x 吨，则李家为3x 吨，高出部分每吨收费p 元，则可列方程以下：22.65﹣14.6 ＝ 8.05＝（ 3x﹣2x） p14.6﹣8.05﹣ 0.85× 5＝ 2.3高出部分的单价同样×p＝ 8.05，解得 p＝ 1.15．故答案为 1.15．【评论】本题比较难，主要考察一元一次方程的应用，解题的重点是要读懂题意，找出等式关系从而列出方程．5．（ 5 分）知足方程2 211x +2xy+9y +8x﹣ 12y+6＝ 0 的实数根对（ x， y）的个数是 0 ．【剖析】先将方程2 2 2 2﹣ 12y+6）＝ 0 11x +2xy+9 y +8x﹣ 12y+6＝0 写成 11x +2（y+4 ）x+（ 9y的形式，再依据鉴别式获得（7y﹣ 5）2≤ 0 即可求解．【解答】解：（ x， y）的对数为 1．因为 11x 2 2＝ 0 有实数根+2 xy+9y +8x﹣ 12y+6因此 11x 2 2+2 （y+4 ） x+（9y ﹣ 12y+6 ）＝ 0 的△≥ 0即4（y+4）2﹣ 44（ 9y2﹣ 12y+6）≥ 0解得：（ 7y﹣ 5）2≤ 0，因此 y＝（y有独一的值）．因此知足方程11x 2 21 个．故答案为：+2xy+9y +8 x﹣ 12y+6＝ 0 的实数根对（x，y）的个数是1．【评论】本题考察了根与系数的关系，解题的重点是将方程转变成11x 2 2 +2（ y+4 ）x+（ 9y﹣12y+6）＝ 0 的形式．6（．2﹣3|x|+7 的图象与函数 2 2的图象的交点个数是4 ．5 分）函数 y ＝ x y ＝ x ﹣ 3x+|x ﹣ 3x|+6【剖析】画出函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7 的图象，议论 x 2﹣ 3x 的取值，分大于 0、小于 0 与等于 0 三种状况，对应作出图象解答即可．【解答】解：如图，函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7 的图象为，当 x 2﹣ 3x ＞ 0 时， y ＝2x 2﹣ 6x+6，图象与函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7 的图象有 2 个交点；当 x 2﹣3x ≤ 0 时， 0＜ x ＜3， y ＝ 6，图象与函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7＝ 6 有四个交点，切合 0＜ x＜ 3 图象交点有 2 个交点；综上所知，函数 y ＝x 2﹣ 3|x|+7 的图象与函数 y ＝ x 2﹣ 3x+|x 2﹣3x|+6 的图象的交点个数是 4．故填 4．【评论】本题主要考察二次函数图象交点问题，浸透分类议论思想．2轴两个交点 A 、B 不在原点的左边，抛物线顶 7．（ 5 分）已知抛物线 y ＝ x +（ k+1）x+1 与 x 点为 C ，要使△ ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为﹣ 5 ．【剖析】画出图形，将两点之间的距离转变为根与系数的关系；再利用三角函数求出等边三角形的高的表达式，使其与抛物线的极点纵坐标的绝对值相等，解答即可求出 k 的值．【解答】解：由题意 A、 B在原点的右侧，且，∵△ ABC 为等边三角形，∴ AB ＝ CB ，∴ CD ＝ CB?sin60°＝ AB?sin60 °＝，又∵ C 点纵坐标为，∴，令（ k+1） 2＝ a ，则原式可化为＝ |1﹣ |，两边平方得， 12a ﹣ 48＝ a 2﹣ 8a+16 ，2整理得， a ﹣ 20a+64 ＝ 0，当 a ＝4 时，（ k+1） 2＝ 4， k+1＝± 2， k ＝﹣ 3 或 k ＝ 1；当 a ＝16 时，（ k+1） 2＝ 16，k+1 ＝± 4，k ＝ 3 或 k ＝﹣ 5．因为对称轴位于 y 轴右边，因此﹣ 2（ k+1）＞ 0，解得 k ＜﹣ 1，当 k ＝﹣ 3 时，有一个交点，因此 k ＝﹣ 5．故答案为﹣ 5．【评论】本题考察了抛物线与x 轴的交点，依据根与系数的关系推出两点间的距离表达式，再利用三角函数和抛物线极点坐标公式列出等式是解题的重点．此外，本题对同学们的计算能力要求较高，对用换元法解方程应该有必定程度的认识．8．（ 5 分）如图，已知AB 是圆 O 的直径， PQ 是圆 O 的弦， PQ 与 AB 不平行， R 是 PQ 的中点．作 PS ⊥ AB ，QT ⊥ AB ，垂足分别为 S ，T ，而且∠ SRT ＝ 60°，则的值等于．【剖析】连结 OP，OQ， OR，由 R 是 PQ 的中点，依据垂径定理的推论得OR⊥ PQ，而OP＝ OQ ，依据等腰三角形的性质得∠POR＝∠ QOR，易得∠ PSO＝∠ PRO＝ 90°，依据直角三角形外接圆的性质得点 P、 S、 O、 R 四点在以 OP 为直径的圆上，再依据圆周角定理得∠ PSR＝∠ POR，同理可得∠ QTR＝∠ QOR ，则∠ PSR＝∠ QTR，依据等角的余角相等得∠RST＝∠ RTS，而∠ SRT＝ 60°，因此∠ RST＝60°，∠ RTS＝ 60°，则可依据圆周角定理获得∠ RPO＝∠ RSO＝ 60°，∠ RQO ＝∠ RTO＝60°，于是可判断△ OPQ 为等边三角形，因此PQ＝ OP，则 AB＝ 2PQ，即可获得＝．【解答】解：连结OP， OQ ，OR，如图，∵R 是 PQ 的中点，∴ OR⊥ PQ，∵OP＝ OQ，∴∠ POR＝∠ QOR，∵PS⊥ AB，∴∠ PSO＝∠ PRO＝ 90°，∴点 P、 S、O、 R 四点在以OP 为直径的圆上，∴∠ PSR＝∠ POR，同理可得∠ QTR＝∠ QOR，∴∠ PSR＝∠ QTR，∴∠ RST＝∠ RTS，而∠ SRT＝ 60°，∴△ RST 为等边三角形，∴∠ RST＝ 60°，∠ RTS＝ 60°，∴∠ RPO＝∠ RSO＝ 60°，∠ RQO ＝∠ RTO＝ 60°，∴△ OPQ 为等边三角形，∴PQ＝ OP，∴AB＝ 2PQ，∴＝．故答案为．【评论】本题考察了垂径定理及其推论：均分弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的两条弧；推论 1：均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧．推论 2：弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧；推论3：均分弦所对一条弧的直径，垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧．也考察了圆周角定理和等边三角形的性质．9．（ 5 分）解方程：（1）（2）【剖析】（ 1）可把不带根号的式子整理到一边，两边平方，化为整式方程求解．（ 2）此方程可用换元法解方程．设＝y，转变为有理方程求解．【解答】解：（ 1）整理得＝3﹣x，2两边平方得x﹣ 3＝ 9﹣ 6x+x ，解得： x＝ 3 或 4．经查验 x＝ 3 是原方程的解．（ 2）解：设＝y，则方程化为2y +y﹣ 12＝ 0，解得 y1＝3， y2＝﹣ 4，当 y1＝ 3，即＝3时，两边平方得（x+9 ）（ x﹣ 1）＝ 0，解得 x＝﹣ 9 或 x＝1，把 x＝﹣ 9 或 x＝ 1 分别代入原方程查验得原方程建立；当 y2＝﹣ 4 时，＝﹣4，根式无心义．故原方程的解为 x 1＝ 1， x 2＝﹣ 9，【评论】本题主要考察解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的重点，换元法需要同学们认真掌握．10．（ 5 分）在四边形 ABCD 中，边 AB ＝x ， BC ＝ CD ＝ 4，DA ＝ 5，它的对角线 AC ＝ y ，此中 x ， y 都是整数，∠ BAC ＝∠ DAC ，那么 x ＝ 5 或 4 ．【剖析】本题要分两种状况： ① 当∠ ABC ＝∠ ADC 时，能够证出△ ABC ≌△ ADC ；② 当∠ ABC ≠∠ ADC 时，过点 C 分别作 CE 垂直 AB 延伸线于点 E ， CF 垂直 AD 于点 F ．利用勾股定理可求出答案．【解答】证明： ① 当∠ ABC ＝∠ ADC 时，又∠ BAC ＝∠ DAC ， CB ＝ CD ，∴△ ABC ≌△ ADC ， ∴ AB ＝ AD ＝ 5∴ x ＝ 5；② 当∠ ABC ≠∠ ADC 时，过点 C 分别作 CE 垂直 AB 延伸线于点E ，CF 垂直 AD 于点 F ．∵ AC 均分∠ BAD ， ∴ CE ＝ CF ，又有 BC ＝ CD ＝ 4，∴△ CEB ≌△ CFD ， ∴ BE ＝ FD ， AE ＝ AF∴ AE ＝ AF ＝ AD ﹣ FD ＝5﹣ BE ，∴ AE ＝ AB+BE ＝ x+BE ，∴ 5﹣BE ＝ x+BE ，BE ＝， AE ＝ x+＝，CE 2＝ BC 2﹣ BE 2＝ 16﹣，CA 2＝ AE 2+CE 2，2＝ +16﹣ ，y2第 10 页（共 14 页）x ＝，在△ ADC 中， 1＜ y ＜ 9， x ，y 都是整数，因此 y 2 末位数字只好是6，∴ y ＝ 6，∴ x ＝ 4故答案为： 5 或 4．【评论】本题主要考察了角均分线的性质以及勾股定理的应用，重点是要考虑全面各样状况，不要漏解．二、解答题（共 3 小题，满分 40 分）11．（12 分）已知 m ，n 为整数，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根．求n 的最小值，并说明原因．【剖析】因为存心义，则 n ﹣ 1≥0，再依据方程有两个不相等的实数根，则△＞0 ，即△＝（ n ﹣ 2） 2 （ n ﹣ 1）﹣ 4 （ m+18 ）＞ 0① ；又方程有两个相等的实数根，则△′＝ 0，即△′＝（ n ﹣ 6） 2 （ n﹣ 1）﹣ 4（ m ﹣ 37）＝ 0② ，而后 ① ﹣ ② ，获得对于 n 的不等式，解之获得n 的取值范围，最后找到 n 的最小值．【解答】解：∵存心义，∴ n ﹣ 1≥ 0，即 n ≥ 1，而 n 为整数，因此 n ≥ 1 的整数．又∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞ 0，即△＝（ n ﹣ 2）2（ n ﹣ 1）﹣ 4（ m+18 ）＞ 0① ；又方程有两个相等的实数根，∴△′＝ 0，即△′＝（ n ﹣ 6） 2（ n ﹣ 1）﹣ 4（m ﹣37）＝ 0② ，① ﹣ ② 整理得： 2n 2﹣10n ﹣ 47＞ 0，令 2n 2﹣10n ﹣ 47＝0，解得 n 1＝， n 2＝， ∴ n ＜或 n ＞，而 n ≥1 的整数，因此 n ＞的整数．则 n 的最小整数为 8，而且（ 8﹣ 6）2（ 8﹣ 1）﹣ 4（ m ﹣ 37）＝ 0，解得 m ＝ 42，为整数知足条件．因此 n 的最小整数为 8．【评论】本题考察了一元二次方程ax 2+bx+c ＝ 0（ a ≠ 0， a ， b ，c 为常数）根的鉴别式△ ＝ b 2﹣ 4ac ．当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．同时考察了运用二次函数图象解一元二次方程的方法．12．（ 14 分）已知 M 、N 分别在正方形 ABCD 的边 DA 、AB 上，且 AM ＝AN ，过 A 作 BM 的垂线，垂足为 P ，求证：∠ APN ＝∠ BNC ．【剖析】延伸 AP 交 DC 于 E ，连结 NE ，由∠ BPE+∠ BCD ＝ 180°，证出 P 、 B 、 C 、 E 四点共圆，由△ ABM 和△ DAE 全等，推出 CE ＝ BN ，得出矩形 BNEC ，证出 N 、 B 、C 、E 四点共圆，即 N 、 B 、 C 、 E 、P 五点共圆，即可得出答案．【解答】证明：延伸 AP 交 DC 于 E ，连结 NE ，∵ AP ⊥ BM ，∴∠ APB ＝∠ BPE ＝∠ APM ＝ 90°，∵正方形 ABCD ，∴ AB ∥ CD ，AB ＝ CD ，∠ ABC ＝∠ DCB ＝90°， ∴∠ BPE+∠ BCD ＝ 180°，∴ P、 B、 C、 E 四点共圆，而∠ PAM+∠ AMP＝ 90°，∠ AMP +∠ ABM ＝ 90°，∴∠ ABM＝∠ PAM ＝∠ EAD ，∴△ ABM≌△ DAE ，∴DE＝ AM＝ AN，∴CE＝ BN，∴四边形NBCE 是矩形，∴ N、 B、 C、 E 四点共圆，即N、 B、 C、 E、 P 五点共圆，∴∠ NPB＝∠ NCB，∵∠ APN+∠ BPN＝ 90°，∠ BCN+∠ BNC＝90°，∴∠ APN＝∠ BNC．【评论】本题主要考察了矩形的性质和判断，正方形的性质和判断，全等三角形的性质和判断，确立圆的条件等知识点，解本题的重点是证明∠ NPB 和∠ NCB 相等．题目较好但有必定的难度．13．（ 14 分）设 N 是正整数，假如存在大于 1 的正整数 k，使得 N＝是 k 的正整数倍，则称 N 为一个“千禧数”，试确立在1，2，3，， 2000 中“千禧数” 的个数为1989 并说明原因．【剖析】若 N 是千禧数，则存在正整数m，使得N﹣＝ km，即 2N＝ k（ 2m+k﹣ 1），明显， k 与 2m+k﹣ 1 的奇偶性不一样，且k＞ 1，2m+k﹣1＞ 1．因此， 2N 有大于 1 的奇因子，从而 N 有大于 1 的奇因子．反过来，若N 有大于 1 的奇因子，则可设 2N＝ AB，其中 A、B 的奇偶性不一样，且 A＜ B，则 A＞ 1 且N﹣＝﹣＝ A? ．其中为正整数．故 N 是千禧数．在1，2，， 2000 中，只有 1， 2， 22，， 210不是千禧数．故有千禧数 2000﹣ 11＝ 1989（个）．故答案为： 1989．【评论】读懂题意经过察看，剖析、概括并发现千禧数的定义，依据推理找出不是千禧数的个数，从而获得千禧数的个数．。

1994我爱数学少年夏令营试题

1994我爱数学少年夏令营试题计算竞赛1．1234+2341+3412+4123=______。

2．101+103+107+109+113+127+131+137+139+149+151=______。

3．569+384+147-328-167-529=______。

4．124.68+324.68+524.68+724.68+924.68=______。

5．207.2+389.7-157.6-109.1=______。

6．1994+1993-1992+1991+1990+1989-1988-1987+……+10+9-8-7+6+5-4-3+2+1=______。

7．=______。

8．=______。

9． 3.1416×2.7183=______。

10．5795.5795÷5.795×579.5=______。

11．2×3×5×7×11×13=______。

12．(11×10×9……×3×2×1)÷(22×24×25×27)=______。

13．2.89×6.37+4.63×2.89=______。

14．327×2.8+17.3×28=______。

15．=______。

16．=______。

17．=______。

18. (111×58-148×16)÷37=______。

19．=______。

20．=______。

21．3.75×4.23×36-125×0.423×2.8=______。

22．66666×10001+66666×6666=______。

23．=____。

24．=______。

25．=______。

我爱数学少年夏令营接力赛试卷(奥数试题精选)

我爱数学少年夏令营接力赛试卷1．如图，有8个完全一样的长方形拼成一个大长方形，面积为750平方厘米，那么，大长方形的周长是厘米。

2．设上题答案是a 。

甲、乙、丙三人去买书，共买)41(-a 本。

已知乙买书的本数比甲买书的本数的139还多10本，丙买书的本数比乙少。

那么，丙买书的本数是。

3．设上题答数是b 。

仓库存有一批钢材，有两个汽车队负责运往工地。

已知甲队单独运完要b 天，乙队每天可运b 吨。

现由甲、乙两队同时运输，干了6天之后，甲队汽车坏了一辆，每天少运4吨，结果又运6天才全部运完。

那么，这批钢材的总吨数是。

4．设上题答数为c 。

A 、B 两地相距c 千米。

甲、乙两车往返行驶于A 、B 两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。

设两辆车同时从A 地出发后第一次和第二次相遇都在途中P 地。

那么，到两车第三次相遇为止，乙车共走了千米。

5．设上题答数为d 。

《数学奥林匹克题库》两卷书的页码共有)5053(-d 个数字，已知下卷比上卷多65页，那么上卷的页数是。

6．设上题答数为e 。

有5个连续自然数，其中最大的是e 的十位数字加1。

这5个数按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘并将所得的5个乘积相加。

那么，所得的和数的最小值是。

7．设上题答数为f 。

现用含盐分别为16%和40%的两种盐水混合成含盐32%的盐水f 千克。

那么，需要含盐16%的盐水千克。

8．设上题答数的各位数字之和是6,+=g m g 。

从1、2、3、…、m 这m 个自然数中挑选出4个不同的数d c b a <<<，使得乘积ad 和bc 是两个相邻的自然数。

那么，所有不同的选法的种数是。

9．设第7题的答数的各位数字之和为1,+=g k g 。

把k k ⨯的方格纸的4个角各剪掉一个小方格。

从一边中点A 开始剪起，将纸片沿小方格的边剪开，最终剪成形状相同、格数相等的两块。

凡经过旋转或翻折可以重合的剪法视为同一种。

我爱数学夏令营计算竞赛试题(1993200-6)

1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。

2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。

3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。

4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。

5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0 .9375=_____。

6．=_________。

7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。

8．=_______。

9． 641×6700417=_________。

10．0.3125×457.83×32=_________。

11．69316.931÷69.31=_________。

12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。

13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。

14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。

15．=_________。

16．=_________。

17．=_________。

18．=_________。

19．=_________。

20．=_________。

21．=_________。

22．=_________。

我爱数学夏令营计算竞赛_试题

1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。

2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。

3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。

4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。

5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0.9375=_____。

6．=_________。

7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。

8．=_______。

9． 641×6700417=_________。

10．0.3125×457.83×32=_________。

11．69316.931÷69.31=_________。

12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。

13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。

14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。

15．=_________。

16．=_________。

17．=_________。

18．=_________。

19．=_________。

20．=_________。

21．=_________。

22．=_________。

1999我爱数学少年夏令营试题

1999我爱数学少年夏令营试题数学竞赛1．由三个非零数字组成的三位数与这三个数字之和的商记为K，如果K为整数，那么K的最大值是________。

2．右式是经过四舍五入得到的一个式子：。

其中每一个△代表一个一位自然数，这三个△所代表的三个自然数分别是__________。

3．现有一堆工程废料需要清理出去。

第一次运走总量的，第二次运走余下废料的，第三次运走余下的，第四次运走余下的，第五次运走余下的，依此规律继续运下去，那么当运走50次后，余下废料是总量的__________。

4．下图中给出6×6=36个点，请一笔画出一条折线，使得这条折线通过36个给定点中的每点至少一次，而且组成这条折线的直线段的条数最少。

那么你所画出的折线中直线段的条数是_________。

5．右上图中所有不同的三角形的个数是_________。

6．甲、乙两人从周长为250米的环形跑道上一点P同时、同向出发沿着跑道匀速慢跑。

甲每秒跑米，乙每秒跑米。

那么从出发到两人第一次在点P相遇所用去的时间是_______分钟。

7．在右面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，每个△代表一个数字，当算式成立时，乘积是________。

8．五个连续偶数之和为平方数，中间三个偶数之和为立方数（即一个整数的三次方）。

这样一组数中的最大数的最小值是________。

9．一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。

能否适当涂色，使得每个3×4（不论横竖）的12个方格中都恰好有4个红格和8个蓝格？如果能行，请在右面的表格中画出来。

10．甲、乙、丙三堆石子共196块，先从甲堆分给另外两堆，使得后两堆石子数增加一倍；再把乙堆照样分配一次；最后把丙堆也照样分配一次。

结果丙堆石子数为甲堆的，那么原来三堆石子中，最少的一堆石子数为_______。

11．在右图中，AE：EC=1：2，CD：DE=1：4，BF：FA=1：3，△ABC的面积S=1，那么四边形AFHG的面积为_________。

2020年我爱数学少年夏令营试题精品版

我爱数学少年夏令营试题计算竞赛1．=_________ 。

2．=_________ 。

3.=_________ 。

4．=_________ 。

5．（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7 =_________ 。

6．=_________ 。

7．=______ 。

8．=_________ 。

9．[26×（6-2.5）÷0.5-25]×0.2 =_________ 。

10．=_________ 。

11．=_________ 。

12．=_________ 。

13．=_________ 。

14．=_________ 。

15．=_________ 。

16．□，□=_________ 。

17．=_________ 。

18．=_________。

19．=_________ 。

20．=_________ 。

21．=_________ 。

22．=_________ 。

23．=_________ 。

24．设N=，则N的各位数字之和为_________ 。

25．{×□}=59，□=_________ 。

数学竞赛1．请在右面算式中的每个□中填入一个偶数数字，使得算式成立，且所得的乘积中0，2，4，6，8都出现。

2．把两筐苹果分给甲、乙、丙三个班。

甲班分得总量的2/5,剩下的按5：7分给乙、丙班。

已知第二筐苹果重量是第一筐的9/10 ，且比第一筐少5千克。

甲、乙、丙班分得的苹果分别是_________ 、_________ 、_________ 千克。

3．设a,b使得6位数a2000b 能被26整除。

所有这样的6位数是________。

4．把右面8×8的方格纸沿格线剪成4块形状、大小都相同的图形，使得每一块上都有罗、牛、山3个字。

在图上用实线画出剪的结果。

5．某容器中装有盐水。

老师让小强再倒入5%的盐水800克，以配成20%的盐水。

年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)

年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.第一试1.已知a ≠0,并且关于x 的方程ax 2－bx －a+3=0①至多有一个解,试问:关于x 的方程(b －3)x 2+(a －2b)x+3a+3=0②是否一定有解?并证明你的结论.2.已知点D 为等腰△ABC 的底边BC 的中点,P 为AB 线段内部的任意一点,设BP 的垂直平分线与直线AD 交于点E,PC 与AD 交于点F.求证:直线EP 是△APF 的外接圆的切线.3.在1,2,…,2 007这2 007个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中的每一个都与2 007互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数.第二试1.已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,261BC AC +=,则ACAB=________________ . 2.已知⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+200712007c a 1,b a 22c b ,则代数式2007200820072008c)-(2007b c a +化简的最后结果是_________. 3.代数式1133x 2+－110x 的最小值为__________________.4.如果一个直角三角形的两条直角边的乘积等于它的斜边的平方的41,那么,这个直角三角形中较大的锐角的度数为________________.5.已知在直角坐标系xOy 中,△ABC 的三个顶点分别为A(22 , 2+6 )、B(2,2)、C(52, 2).则△ABC 的边BC 上的高与∠ABC 的平分线的交点的坐标为___________.6.已知某工厂一月份生产某产品1万件,二月份生产1.2万件,三月份生产1.3万件,n 月份生产ab n +c 万件,其中a 、b 、c 都是常数,n=1,2,…,12,则该工厂四月份生产___________________万件.7.方程3x 3+2 2x 2－(17－9 2)x －(6－5 2)=0的解为x 1= ________,x 2=______ ,x 3=______ .8.已知矩形ABCD 的周长的平方与面积的比为k.则矩形ABCD 的较长的一边与较短的一边的长度的比等于_____________.9.已知正方形纸片ABCD 的面积为2 007 cm 2.现将该纸片沿一条线段折叠(如图1),使点D 落在边BC 上的点D ′处,点A 落在点A ′处,A ′D ′与AB 交于点E.则△BD ′E 的周长等于______cm.10.若x 为整数,3<x<200,且x 2+(x+1)2是一个完全平方数,则整数x 的值等于_____________.参考答案第一试1.由题意知,方程①的判别式Δ1=b 2+4a(a －3)≤0 b 2+(2a －3)2≤9∴ －3≤b ≤3,－3≤2a －3≤3 ∴b －3≤0,0≤a ≤3. 当b －3=0时,方程②化为－29x+215=0,有解. 当b －3<0时,方程②的判别式Δ2=(a －2b)2－12(a+1)(b －3)>0, 此时也有解.综上所述,方程②一定有解.2.以E 为圆心、EB 为半径作圆,则点P 、C 都在该圆的圆周上.联结EC.则∠PAE=90°－∠ABC=90°－21∠PEC=∠EPC.因此,EP 是△APF 的外接圆的切线.3.将1,2,…,2 007分别用7除,余数为1、2、3、4、5的各有286+1=287个;余数为6、0的各有286个.在1,2,…,2 007中,与 2 007不互质的数有3,2×3,3×3,…,669×3以及223,2×223,4×223,5×223,7×223,8×223.将这些与 2 007不互质的数分别用7除,余数依次为3,6,2,5,1,4,0,3,6,2,5,1,4,0,…,3,6,2,5以及6,5,3,2,0,6.于是,在这些与2 007不互质的数中,余数为1、2、3、4、5、6、0的依次有95、97、97、95、97、98、96个.在1,2,…,2 007且与2 007互质的数中,余数为1、2、3、4、5、6、0的依次有192、190、190、192、190、188、190个.要使所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数,至多取2个余数为0的数.由于余数为(1,3,3)、(3,2,2)、(2,6,6)、(6,4,4)、(4,5,5)、(5,1,1)以及(1,2,4)、(3,6,5)的三数的和都是7的倍数,因此,至多取2组其余数在图2中不相邻的全部数.经验证可知,取2组余数为1、4的全部数,再取2个余数为0的数,符合题目的要求,且取出的数的个数达到最大值.故最多可以取出192+192+2=386个数,使得所取出的数中的每一个都与2 007互质,并且所取出的数中的任意三个的和都不是7的倍数.第二试1.2 2 － 3 .2.0072007 21.3.3223.令y=1133x 2 －110x,则y 2+220xy=3×223x 2+3×1132, 3×223x 2－220yx+3×1132－y 2=0.故Δ=(220y)2－4×3×223(3×1132－y 2)=4×1132(y 2－32×223)≥0. 所以,y ≥3223.当且仅当x=110/223时,y 取最小值32234.75°.设较大的锐角为α.由题意易知sinα·cosα=41sin 2α=21 α=75° 5.(22 , 2 +/63).设△ABC 的边BC 上的高与∠ABC 的线交于点P(2 2,2+h).则tan ∠ABC=6 /2 ,tan ∠PBC=h/2 . 又∠ABC=2∠PBC,于是, 由半角公式得h=6 /3. 6.1·35. 由题设易知ab+c=1,ab 2+c=1·2,ab 3+c=1.3·. 则ab(b －1)=0.2,ab 2(b －1)=0.1. 故b=0.5,a=－0.8,c=1.4. 所以,ab 4+c=1.35. 7.2/3,2－1,1－2 2.令x=2y,代入原方程得62y 3+42y 2－172y+18y －6+52=0.易知y=1/3满足条件.故x 1=2/3. 于是,3x 3+22x 2－(17－9 2)x －(6－52)=(x －2/3)(3x 2+32x+9 2－15).=3(x －2/3)(x － 2+1)(x+22－1).所以,x 1=2/3,x 2= 2－1,x 3=1－22.8.)16(8188-+-k k k . 设矩形的长、宽分别为a 、b(a ≥b). 则4(a+b)2/ab=k,即4a 2+(8－k)ab+4b 2=0. 令t=a/b,则4t 2+(8－k)t+4=0.解得t=)16(8188-+-k k k . 9.6223.设正方形边长a=007 2,∠D ′DC=α.则∠BD ′E=2α,CD ′=atan α,BD ′=a(1－tan α).所以,△BD ′E 的周长为a(1－tanα)(1+tan 2α+sec 2α)=αααααα2 cos 12sin 2 cos ·cos sin -cos ++••a =••·cos sin -cos αααa 2222cos 2sin cos cos -sin ααααα+ =2a=6223.10.20或119.设x 2+(x+1)2=v 2,则(2x+1)2=2v 2－1.令u=2x+1,则u 2－2v 2=－1.其为佩尔方程,其基本解为(u 0,v 0)=(1,1).其全部正整数解可由un+vn 2=(u 0+v 02)2n+1 得到.其中,(u 1,v 1)=(7,5),(u 2,v 2)=(41,29),(u 3,v 3)=(239,169),u 4>400. 故x=20或119.。

2000我爱数学少年夏令营试题接力竞赛

2000我爱数学少年夏令营试题接力竞赛1．甲、乙两班各有一个图书室，共有303本书。

已知甲班图书的5/13 和乙班图书的1/4合在一起是95本，那么甲班图书有__143_______ 。

2．设上题答案数的各位数字之和为a。

小宁家的钟和学校的钟走的都正常，但小宁家的钟拨快了，而学校的钟是准确的。

小宁按家里的钟8点a分离家去学校，走到学校时学校的钟是7点50分；中午，他按学校的钟12点时离校回家，到家时家里的钟正好是12点34分。

如果小宁上学和下学路上用的时间是相同的，那么小宁家的钟拨快了__26_______ 分钟。

3．设上题答案数为b。

如图所示，大正方形里有一个长为b/4、宽为1的长方形。

长方形的顶点都在正方形的边上，而且长方形的对称轴与正方形的对角线重合，那么，正方形的面积是_1____。

2884．设上题答案数的整数部分为c。

把1/c 表示为两个不同的分数单位之和，那么共有___7______ 种不同的表示方法（仅求和次序不同视为一种）。

5．设上题答案数为d。

当王力的年龄像李同现在这么大时，刘强的年龄比王力和李同他们现在的年龄之和小d岁。

当刘强像王力现在这么大时，王力的年龄是____7_____ 岁。

6．设上题答案数为e。

将用2，3，5，e组成的所有的四位数（数字允许重复）从小到大排成一列，这列数的第56个是___2737______。

7．设上题答案数的个位数字为f。

有10个整数排成一个圆形，将每一个整数换成与它相邻两数的平均值，所得的结果如图所示。

那么图中数f所占位置的原数是___10______ 。

8．设上题答案数的2倍为g。

有一组正整数，其中任意两数之差的g倍都不小于它们的乘积。

那么这组正整数最多有____8_____个。

9．设上题答案数是h。

从1，2，3……h这h个数中选取3个不同的数，使其和能被4整除而其乘积能被6整除。

那么不同的选法有__9_______种（选取的3个数次序不同视为同一种）。

000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷及答案

2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一、已知m,n 为整数，方程2(180x n m +-++=有两个不相等的实数根,方程2(370x n m +-+-=有两个相等的实数根.求n 的最小值，并说明理由。

二．已知M 、N 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 上，且MN=AN ，过A 作BM 的垂线，垂足为P 。

求证：∠APN=∠BNC三．设N是正整数，如果存在大于1的正整数k，使得N-2)1(-kk是k的正整数倍，则N称为一个“千禧数”，试确定在1，2，3，…，2000中“千禧数”的个数并说明理由。

（第二试）一．给定四个命题：（1）sin15°与sin75°的平方和为1；（2）函数 y=x2-8x+6的最小值为–10；（3）=；（4= x=10.其中错误的是。

二、如图，△ABC中，AD和BE相交于F，已知△AFB的面积=12平方厘米，△BFD的面积=9平方厘米，△AFE的面积=6平方厘米，那么，四边形CDEF的面积等于平方厘米。

三．在△ABC中，BC=2，△ABC的面积为1，若∠B是锐角，则∠C的度数是。

四．某自来水公司水费计算办法如下：每户每月用水不超过5吨的，每吨收费0。

85元；超过5吨的，超出部分每吨收取较高的的定额费用。

已知今年7月份张家用水量与李家用水量之比为2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么，超出5吨部分的收费标准是每吨元。

五．满足方程11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的实数根对（x,y）的个数是。

六．函数y=x2-3|x|+7的图象与函数y= x2-3x+| x2-3x |+6的图象的交点个数是 .七．已知抛物线y= x2+(k+1)x+1与x轴的两个交点A,B不全在原点左侧，抛物线的顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为 .八．如图，已知AB是圆O的直径，PQ是圆O的弦，PQ与AB不平行，R是PQ的中点。

我爱数学少年夏令营试题1996

1996我爱数学少年夏令营试题计算竞赛1．1234×900914=_______ 。

2．2424.2424÷ 242.4=_______ 。

3．123455+234566+345677+456788+567899=_______ 。

4．376+385+391+380+377+389+383+374+366+378=_______ 。

5．8642-7531+6420-5317+4280-3157+2084-1753=_______ 。

6．6472-（4476-2480）+5319-（3323-1327）+9354-（7358-5326）+6839-（4843-2847）=______ 。

7．567×142+426×811-852050=_______ 。

8．21356÷21356 =_______ 。

9．1996+1994-1992-1990+1998+1986-1984-1982+1980+1978-1976-1974+1972+1970 …+4+2=_______ 。

10．2375×3987+9207×6013+3987×6832=_______ 。

11．12345679×810=_______ 。

12．28×5+2×4×35+21×20+14×40+8×62=_______ 。

13．30×（）=_______ 。

14．6985×7138-1985÷ -2564÷ =_______ 。

15．+0.8361-0.9375+0.973-5.125+5 +0.7246+0.027-2.1875+0.2754- 5 +0.582+7.357- +0.418+0.1639=_______ 。

16． =_______ 。

我爱数学夏令营计算竞赛试题(1989-2007)

我爱数学夏令营计算竞赛试题(1989-2007)1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_______ __。

2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。

3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。

4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+5 4+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。

5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375 +0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0 .9375=_____。

6．=_________。

7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。

8．=_______。

9． 641×6700417=_________。

10．0.3125×457.83×32=_________。

11．69316.931÷69.31=_________。

12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。

13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。

14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。

15．=_________。

16．=_________。

17．=_________。

18．=_________。

19．=_________。

20．=_________。

1993年我爱数学少年夏令营试题大全

1993年我爱数学少年夏令营试题大全计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。

2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。

3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。

4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+ 65+60+79+86+100+49+97+97+80+78= _________。

5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0.9375=_____。

6．=_________。

7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。

8．=_______。

9．641×6700417=_________。

10．0.3125×457.83×32=_________。

11．69316.931÷69.31=_________。

12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。

13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。

14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。

15．=_________。

16．=_________。

17．=_________。

18．=_________。

19．=_________。

20．=_________。

21．=_________。

我爱数学夏令营计算竞赛_试题(1993_2006)

1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。

2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。

3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。

4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。

5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0.9375=_____。

6．=_________。

7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。

8．=_______。

9． 641×6700417=_________。

10．0.3125×457.83×32=_________。

11．69316.931÷69.31=_________。

12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。

13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。

14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。

15．=_________。

16．=_________。

17．=_________。

18．=_________。

19．=_________。

20．=_________。

21．=_________。

22．=_________。