2005年我爱数学夏令营数学竞赛
我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一．在锐角ΔABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足。
O为ΔABC的外心。
求证：（1）ΔAEF～ΔABC；（2）AO⊥EF。
二．给定代数式–x3+100x2+x中的字母x只允许在正整数范围内取值。
当这个代数式的值达到最大值时，x的值等于多少？并证明你的结论。
三．（1）证明存在非零整数对（x,y）, 使代数式11x2+5xy+37y2 的值为完全平方数；(2) 证明存在六个非零整数a1,b1,c1,a2,b2,c2,其中a1:a2≠b1:b2,使得对于任意自然数n, 当x=a1n2+b1n+c1,y=a2n2+b2n+c2时，代数式11x2+5xy+37y2的值都是完全平方数。
2001我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一．=。
二．在长方形ABCD中，EF⊥AB，GH⊥AD，EF与GH相交于O，HC与EF相交于I。
已知AH:HB=m:n, ⊥COI的面积为1平方厘米，那么矩形ABCD的面积等于平方厘米。
三．将三个数：用两个不等号“>”连接起来，正确的结果应该是：。
四．点D，E分别在⊥ABC的边AC和BC上，⊥C为直角，DE⊥AB，且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的长等于。
五．知：x,y,z是正整数，并且满足那么，x-y+z 的值等于。
六．已知点D，E，F分别在⊥ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于。
七．如果满足x2-6x-16-10= a的实数x 恰有6个，那么实数a的值等于。
八．已知⊥ABC为等腰直角三角形，⊥C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么的值等于。
小学的奥数之浓度问题
学科：情景数学动漫浓度三角溶液的质量＝溶质的质量＋溶剂的质量浓度=溶质重量÷溶液重量【知识网络】溶度问题包括以下几种基本题型︰（1）溶剂的增加或减少引起浓度变化。
面对这种问题，不论溶剂增加或减少，溶质是始终不变的，据此便可解题。
（2）溶质的增加引起浓度变化。
面对这种问题，溶质和浓度都增大了，但溶剂是不变的，据此便可解题。
（3）两种或几种不同溶度的溶液配比问题。
面对这种问题，要抓住混合前各溶液的溶质和与混合后溶液的溶质质量相等，据此便可解题。
【情景故事】2黄小鸭喝奶茶的故事黄小鸭领着三个鸭弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路过了奶牛开的奶茶店。
只见店门口张贴着广告：“既甜又浓的奶茶每杯0.3元。
”黄小鸭便招呼弟弟们歇脚，一起来喝奶茶。
黄小鸭从奶牛手中接过一杯奶茶，给最小的弟弟老四喝掉61，加满水后给老三喝掉了31，再加满水后，又给老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。
奶牛开始收钱了，他要求黄小鸭最小的弟弟付出0.3×61＝0.05(元)；老三0.3×31＝0.1(元)； 老二与黄小鸭付的一样多，0.3×21＝0.15(元)。
兄弟四个一共付了0.45元。
兄弟们很惊讶，不是说，一杯奶茶0.3元，为什么多付0.45－0.3＝0.15元？肯定是奶牛再敲诈我们。
不服气的黄小鸭嚷起来：“多收我们坚决不干。
”“不给，休想离开。
”现在，大家说说为什么会这样呢？【自学指导】浓度问题是围绕溶质、溶剂、溶液及浓度展开的。
解题过程中我们要仔细分析题目，分清在变化前后，谁变了，谁没变，紧紧抓住不变量，这是解题的突破口，也是本节重点。
第一类：稀释 技巧：稀释前溶质重量．．．．．．．＝稀释后溶质重量．．．．．．． 第二类：稀释 技巧：加浓前溶剂重量．．．．．．．＝加浓后溶剂重量．．．．．．． 第三类：溶液混合和互换技巧：溶质．．÷溶液．．＝溶质．．÷（溶质＋溶剂．．．．．）＝浓度．．【方法指导】1、“浓度三角”法（改“十字交叉”法。
“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题(含答案)
我爱数学初中生夏令营数学竞赛说明:第一试每题50分,共150分;第二试每题15分,共150分.第一试1、已知当x 的值分别为2、m 1、m 2时,多项式ax 2+bx+c 的值分别为0、p 1、p 2.如果a>b>c,并且p 1p 2－cp 1+ap 2－ac=0,那么,能否保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数?证明你的结论.2、在△ABC 中,∠A=75°,∠B=35°,D 是边BC 上一点,BD=2CD. 求证:AD 2=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)写出四个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数(2)写出六个连续的正整数,使得它们中的每一个都是某个不为1的完全平方数的倍数,并指出它们分别是哪一个完全平方数的倍数,说明你的计算方法.第二试1、若2 008=a n (－3)n +a n －1(－3)n －1+…+a 1(－3)+a 0(a i =0,±1,±2,i=0,1,…,n),则a n +a n －1+…+a 1+a 0= .2、能使关于x 的方程x 2－6x －2n =0(n ∈N+)有整数解的n 的值的个数等于 .3、如果函数y=b 的图像与函数y=x 2－3|x －1|－4x －3的图像恰有三个交点,则b 的可能值是 .4、已知a 为整数,关于x 的方程1||41224+-+x x x x +2－a=0有实数根.则a 的可能值是 . 5、如果某数可以表示成91的某个倍数的数字和,就把这个数叫做“和谐数”.那么,在1,2,…,2 008中,和谐数的个数是 .6、已知某种型号的汽车每台的售价是23万元.某工厂在一年中生产这种汽车的总成本由固定成本和生产成本两部分组成.一年的固定成本为7000万元.在这一年中生产这种汽车x 辆时,生产每一辆车的生产成本为x3x-70万元(0<x<1 000).要使该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则至少需要生产这种汽车 辆. 7、若2008个数a 1,a 2,…,a 2008满足a 1=2,20081)12008(112++---n n n n a a a a =0,其中,n=2,3,…,2 008,那么,a 2008可能达到的最大值是.8、已知⊙O 与直线l 切于点M,⊙O 外一定点A 和⊙O 都在直线l 的同一侧.点A 到直线l 的距离大于⊙O 的直径,点B 在⊙O 上.过点A 作直线l 的垂线AN,过点B 作直线l 的平行线BC,直线AN 与BC 交于点C.则当点B 的位置在 时,ACAB 2的值达到最小.9、在底角等于80°的等腰△ABC 的两腰AB 、AC 上,分别取点D 、E,使得∠BDC=50°,∠BEC=40°.则∠ADE=10、从1, 2,…, 2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于 . 参考公式:12+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1).参考答案第一试1、由已知得ax 2+bx+c=a(x －2)(x －c/2a), 且 4a+2b+c=0.又由a>b>c 得a>0,c<0,c/2a<0.因此,仅当c/2a≤x≤2时,该多项式的值不是正数. 由已知得(p 1+a)(p 2－c)=0. 则p 1+a=0或p 2－c=0. 解得p 1=－a<0或p 2=c<0.因此,存在i(i=1或2)使得p i <0,m i >c/2a.由已知得c=－4a －2b>－6a,则c/a>－6,c/2a>－3,m i +5>2.当x=mi+5时,该多项式的值是正数.因此,可以保证:当x 的值分别为m 1+5、m 2+5时,该多项式的值中至少有一个是正数. 2、由已知得∠C=70°.延长BC 至E,使AC=CE.联结AE.则∠CEA=∠CAE=21∠ACB=35°=∠ABC.故△CAE ∽△AEB.从而,AE 2=AC·BE,即AB 2=AC(AC+BC).①设F 是BD 的中点,联结AF.则CD=DF=FB.在△ACF 、△ADB 中,由中线的性质分别得 AC 2+AF 2=2CD 2+2AD 2,② AD 2+AB 2=2DF 2+2AF 2.③由式②、③得2AC2+AB 2=6CD 2+3AD 2.④ 将式①代入式④得3AC 2+AC·BC=6CD 2+3AD 2. 将BC=3CD 代入上式得AC 2+AC·CD=2CD 2+AD 2.故AD 2=AC 2+AC·CD －2CD 2=(AC+2CD)(AC －CD)=(AC+BD)(AC －CD).3、(1)242、243、244、245是四个连续的正整数,242是112的倍数、243是32的倍数、 244是22的倍数、245是72的倍数.(2)2 348 124、2 348 125、2 348 126、2 348 127、2 348 128、2 348 129是六个连续的正整数,其中,2 348 124是22的倍数、2 348 125是52的倍数,2 348 126是112的倍数、2 348 127是32的倍数、2 348 128是22的倍数、2 348 129是72的倍数. 计算方法如下:记A=4×9×121×49k(k ∈N+). 由(1)可知,A+240是22的倍数, A+242是112的倍数, A+243是32的倍数, A+244是22的倍数, A+245是72的倍数. 设A+241是52的倍数. 则当k=11时,上式成立. 此时,A=2 347 884.A+240=2 348 124是22的倍数, A+241=2 348 125是52的倍数, A+242=2 348 126是112的倍数, A+243=2 348 127是32的倍数, A+244=2 348 128是22的倍数, A+245=2 348 129是72的倍数.第二试1、0或±4或±8.2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=0;2 008=2(－3)6－2(－3)5－2 (－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－4;2 008=－(－3)7－(－3)6－2(－3)5－2(－3)3+(－3)2－(－3)－2, 此时, a n +a n －1+…+a 0=－8;2 008=2(－3)6－2(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时, a n +a n －1+…+a 0=4;2 008=(－3)8+2(－3)7+(－3)5+(－3)4+(－3)3+(－3)2+1, 此时,a n +a n －1+…+a 0=8. 注意到将(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－2(－3)n , 将2(－3)n 变为(－1)(－3)n+1－(－3)n , 将3(－3)n 变为(－1)(－3)n+1的时候, a n +a n －1+…+a 0的值都增加或减少4,并且当n>8时, a n +a n －1+…+a 0的绝对值不大于8.因此,a n +a n －1+…+a 0=0或±4或±8. 2、1.x=3±n 223+,其中, n223+是完全平方数.显然,n≥2.当n≥2时,可设2n +32=(2k+1)2(k ∈N+,k≥2), 即 2n －2=(k+2)(k －1).显见k －1=1,k=2,n=4.能使原方程有整数解的n 的值的个数等于1. 3、－6、－25/4.令y=x 2－3|x －1|－4x －3.则y=x 2－x －6=425)21(2--x ,x≤1; y=x 2－7x=449)27(2--x ,x>1.当x=1时,y=－6; 当x=12时,y=－25/4.由图像知,所求b 的可能值是－6、－25/4.4、0、1、2. 令y=1x |x |2+.则0≤y<1.由y 2－4y+2－a=0 (y －2)2=2+a 1<2+a≤4 －1<a≤2. 因此,a 的可能值是0、1、2. 5、2 007.注意到91=7×13.数字和为1的数不是91的倍数. 1 001,10 101,10 011 001,101 011 001, 100 110 011 001,1 010 110 011 001,… 都是91的倍数,而它们的数字和依次是2,3,4,5,6,7,….因此,在1,2,…,2 008中,能够表示成91的某个倍数的数字和的数的个数是2 007. 6、318.若该厂一年中生产的这种汽车的销售收入不低于总成本,则 23x －[7000+x xx370-]≥0x －x －300≥0 x ≥22011 1+ x≥234.6601+ x≥318. 因此,在一年中至少需要生产这种汽车318辆.7、2008 20062 .由已知得2008a a 1-n n =①或1-n n a 1a =②,1只能经过第①类变换或第②类变换变为an(n=2,3,…,2 008),从a1开始连续经过2 007次这样的变换变为a2 008. 连续两次第②类变换相互抵消,保持原数不变.连续三次变换依次是“第①类变换、第②类变换、第①类变换”时,其中两次第①类变换相互抵消,相当于只对原数进行了一次第②类变换.因此,对2的连续2 007次变换相当于对2连续进行m 次第①类变换或第②类变换,而且只有在第一次和最后一次变换中才可能是第②类变换.而对2连续2 007次变换:“前2 006次为第①类变换、最后一次为第②类变换”时,a 2008达到最大值2008 20062 .8、线段AM 内.设直线AB 与⊙O 的另一交点为D,不妨设点B 在点A 和D 之间.过点D 作直线AC 的垂线DE,垂足为E.则AB·AD=k(k 是一个不变的常数), △ABC ∽△ADE,AB/AC=AD/AE,AB 2/AC=AB·AD/AE=k/AE.当AE 达到最大值,即点B 的位置在线段AM 内时,AB 2/AC 的值达到最小. 9、50°.由已知∠BAC=20°,∠BCD=50°,故BC=BD,① ∠CBE=60°,∠ABE=20°.在CE 上取一点F 使∠CBF=20°,则∠EBF=40°,BF=FE,② ∠DBF=60°,∠BFC=80°,BC=BF.③由式①、③得BD=BF,知△BDF 是正三角形.于是,BF=DF.④ 由式②、④得DF=FE,知△DFE 是等腰三角形.又∠BFD=60°,知∠DFE=40°.从而,∠FED=70°,∠ADE=50°. 10、1 351 373 940.将1,2,…,2 008分成1 004组: {1,2 008},{2,2 007},…,{1 004,1 005}.由题设,各组中恰取出一个数.将2,4,…,2 008中的1 004,1 006,1 008,1 010分别换成同一组的1 005,1003,1001,999,其余各数不变,就是所选出的符合题目要求的1 004个数.2+4+…+2 008－(1 004+1 006+1 008+1 010)+(1 005+1 003+1 001+999) =1 009 020－(－1+3+7+11)=1 009 000,22+42+…+2 0082－(1 0042+1 0062+1 0082+1 0102)+(1 0052+1 0032+1 0012+9992) =4(12+22+…+1 0042)－2 009(－1+3+7+11) =2/3×1 004×1 005×2 009－2 009×20 =2 008×335×2 009－40 180=1 351 373 940. 答案与选法无关.。
“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷二试
2000 年“我爱数学”初中生夏令营数学比赛试卷一二试一、填空题（共 10 小题，每题5 分，满分 50 分）1．（ 5 分）给定四个命题：① sin15°与 sin75°的平方和为1； ② 函数 y ＝x 2﹣ 8x+6 的最小值为﹣ 10； ③ ； ④，则 x ＝ 10”，此中错误的命题的个数是．2．（ 5 分）如图， △ABC 中， AD 和 BE 订交于 F ，已知△ AFB 的面积＝ 12 平方厘米， △ BFD 的面积＝ 9 平方厘米，△ AFE 的面积＝ 6 平方厘米，那么，四边形 CDEF 的面积等于平方厘米．3．（ 5 分）在△ ABC 中， AB ＝ ，BC ＝ 2，△ ABC 的面积为 l ，若∠ B 是锐角，则∠ C的度数是 ．4．（ 5 分）某自来水企业水费计算方法以下：每户每个月用水不超出5 吨的，每吨收费 0.85元；超出 5 吨的，高出部分每吨收取较高的定额花费．已知今年 7 月份张家用水量与李家用水量之比为 2： 3，此中张家产月水费是 14.60 元，李家产月水费是 22.65 元，那么，高出 5 吨部分的收费标准是每吨元．22． 5．（ 5 分）知足方程 11x +2xy+9y +8x ﹣ 12y+6＝ 0 的实数根对（ x ， y ）的个数是 2﹣3|x|+7 的图象与函数 22的图象的交点个数是．6（． 5 分）函数 y ＝ x y ＝ x ﹣ 3x+|x ﹣ 3x|+62与 x 轴两个交点 A 、B 不在原点的左边，抛物线顶 7．（ 5 分）已知抛物线 y ＝ x +（ k+1）x+1 点为 C ，要使△ ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为．8．（ 5 分）如图，已知 AB 是圆 O 的直径， PQ 是圆 O 的弦， PQ 与 AB 不平行， R 是 PQ 的中点．作 PS ⊥ AB ，QT ⊥ AB ，垂足分别为 S ，T ，而且∠ SRT ＝ 60°，则 的值等于 ．（ 2）10．（ 5 分）在四边形ABCD 中，边 AB ＝x， BC＝ CD ＝ 4，DA＝ 5，它的对角线AC＝ y，其中 x， y 都是整数，∠ BAC＝∠ DAC ，那么 x＝．二、解答题（共 3 小题，满分40 分）11．（12 分）已知m，n 为整数，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根．求n 的最小值，并说明原因．12．（ 14 分）已知 M、N 分别在正方形ABCD 的边 DA 、AB 上，且 AM ＝AN ，过 A 作 BM 的垂线，垂足为P，求证：∠ APN ＝∠ BNC．13．（ 14 分）设 N 是正整数，假如存在大于 1 的正整数k，使得 N＝是k的正整数倍，则称 N 为一个“千禧数” ，试确立在 1，2，3，，2000 中“千禧数” 的个数为并说明原因．2000 年“我爱数学”初中生夏令营数学比赛试卷一二试参照答案与试题分析一、填空题（共 10 小题，每题 5 分，满分50 分）1．（ 5 分）给定四个命题：① sin15°与 sin75°的平方和为 1；②函数 y＝x 2﹣ 8x+6 的最小值为﹣ 10；③；④，则 x＝ 10”，此中错误的命题的个数是 2 ．【剖析】① 熟记三角函数公式计算；② 运用配方法求最值；③④ 不仅看计算还看x 的取值范围．【解答】解：① sin^2 α+cos^2 α＝ 1，因此①正确．2 2② y＝ x ﹣ 8x+6＝（ x﹣4）﹣ 10，故正确．③ 等式中左边的代数式a＜0，右边的 a≤ 0，故错误．④等式左边要知足 5＜ x≤ 10，右边要知足x＜ 5， x≠ 10，故错误．综上可得①② 正确，共 2 个．故答案为： 2【评论】本题考察对真假命题的鉴别能力以及对三角函数，配方法，方程求解的考察．2．（ 5 分）如图，△ABC 中， AD 和 BE 订交于 F ，已知△ AFB 的面积＝ 12 平方厘米，△ BFD 的面积＝ 9 平方厘米，△ AFE 的面积＝ 6 平方厘米，那么，四边形 CDEF 的面积等于23.4 平方厘米．【剖析】连结CF ，设S△CEF＝ x， S△CDF＝y，依据三角形的面积与三角形底边成比率，从而求出四边形CDEF 的面积．【解答】解：连结CF ，设 S△CEF＝ x， S△CDF＝y，则＝＝，＝＝，解得 x＝10.8， y＝12.6，故四边形CDFE 的面积＝ x+y＝ 23.4．【评论】本题主要考察三角形的面积的知识点，依据等高的三角形的面积与底边成比率进行解答，本题需要同学们娴熟掌握．3．（ 5 分）在△ ABC 中， AB＝，BC＝2，△ ABC的面积为l ，若∠ B 是锐角，则∠ C 的度数是30°．【剖析】作出 BC 边上的高AD，利用面积为 1 易得 AD 的长度，利用勾股定理可得BD 的长，从而获得CD 的长，那么即可求得∠ C 的正切值，也就求得了∠ C 的度数．【解答】解：作 AD ⊥ BC 于点 D．∵BC＝ 2，△ ABC 的面积为 l，∴ AD＝ 1，∵ AB＝，∴ BD＝＝2﹣，∴CD ＝ BC﹣BD ＝，∴tanC＝＝，∴∠ C＝ 30°．故答案为： 30°．【评论】考察解直角三角形的知识；难点是结构出∠ C 所在的直角三角形；重点是求得CD 及 AD 的长．4．（ 5 分）某自来水企业水费计算方法以下：每户每个月用水不超出 5 吨的，每吨收费0.85 元；超出 5 吨的，高出部分每吨收取较高的定额花费．已知今年7 月份张家用水量与李家用水量之比为2： 3，此中张家产月水费是14.60 元，李家产月水费是22.65 元，那么，高出 5 吨部分的收费标准是每吨 1.15元．家就是 3x，而后依据张家产月水费是14.60 元，李家产月水费是22.65 元，列出方程进行求解．【解答】解：∵每户每个月用水不超出 5 吨的，每吨收费0.85 元，∴5× 0.85＝ 4.25 元当超出 5 吨，水费超出 4.25 元，∵ 14.6＞ 4.25，∴14.6﹣ 4.25＝ 10.35 元，设张家用水量为2x 吨，则李家为3x 吨，高出部分每吨收费p 元，则可列方程以下：22.65﹣14.6 ＝ 8.05＝（ 3x﹣2x） p14.6﹣8.05﹣ 0.85× 5＝ 2.3高出部分的单价同样×p＝ 8.05，解得 p＝ 1.15．故答案为 1.15．【评论】本题比较难，主要考察一元一次方程的应用，解题的重点是要读懂题意，找出等式关系从而列出方程．5．（ 5 分）知足方程2 211x +2xy+9y +8x﹣ 12y+6＝ 0 的实数根对（ x， y）的个数是 0 ．【剖析】先将方程2 2 2 2﹣ 12y+6）＝ 0 11x +2xy+9 y +8x﹣ 12y+6＝0 写成 11x +2（y+4 ）x+（ 9y的形式，再依据鉴别式获得（7y﹣ 5）2≤ 0 即可求解．【解答】解：（ x， y）的对数为 1．因为 11x 2 2＝ 0 有实数根+2 xy+9y +8x﹣ 12y+6因此 11x 2 2+2 （y+4 ） x+（9y ﹣ 12y+6 ）＝ 0 的△≥ 0即4（y+4）2﹣ 44（ 9y2﹣ 12y+6）≥ 0解得：（ 7y﹣ 5）2≤ 0，因此 y＝（y有独一的值）．因此知足方程11x 2 21 个．故答案为：+2xy+9y +8 x﹣ 12y+6＝ 0 的实数根对（x，y）的个数是1．【评论】本题考察了根与系数的关系，解题的重点是将方程转变成11x 2 2 +2（ y+4 ）x+（ 9y﹣12y+6）＝ 0 的形式．6（．2﹣3|x|+7 的图象与函数 2 2的图象的交点个数是4 ．5 分）函数 y ＝ x y ＝ x ﹣ 3x+|x ﹣ 3x|+6【剖析】 画出函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7 的图象，议论 x 2﹣ 3x 的取值，分大于 0、小于 0 与等于 0 三种状况，对应作出图象解答即可．【解答】 解：如图，函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7 的图象为，当 x 2﹣ 3x ＞ 0 时， y ＝2x 2﹣ 6x+6，图象与函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7 的图象有 2 个交点；当 x 2﹣3x ≤ 0 时， 0＜ x ＜3， y ＝ 6，图象与函数 y ＝ x 2﹣ 3|x|+7＝ 6 有四个交点，切合 0＜ x＜ 3 图象交点有 2 个交点；综上所知，函数 y ＝x 2﹣ 3|x|+7 的图象与函数 y ＝ x 2﹣ 3x+|x 2﹣3x|+6 的图象的交点个数是 4．故填 4．【评论】 本题主要考察二次函数图象交点问题，浸透分类议论思想．2轴两个交点 A 、B 不在原点的左边，抛物线顶 7．（ 5 分）已知抛物线 y ＝ x +（ k+1）x+1 与 x 点为 C ，要使△ ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为﹣ 5 ．【剖析】 画出图形，将两点之间的距离转变为根与系数的关系；再利用三角函数求出等边三角形的高的表达式，使其与抛物线的极点纵坐标的绝对值相等，解答即可求出 k 的值．【 解 答 】 解 ： 由 题 意 A、 B在 原 点 的 右 侧 ， 且，∵△ ABC 为等边三角形，∴ AB ＝ CB ，∴ CD ＝ CB?sin60°＝ AB?sin60 °＝，又∵ C 点纵坐标为，∴，令（ k+1） 2＝ a ，则原式可化为＝ |1﹣ |，两边平方得， 12a ﹣ 48＝ a 2﹣ 8a+16 ，2整理得， a ﹣ 20a+64 ＝ 0，当 a ＝4 时，（ k+1） 2＝ 4， k+1＝± 2， k ＝﹣ 3 或 k ＝ 1；当 a ＝16 时，（ k+1） 2＝ 16，k+1 ＝± 4，k ＝ 3 或 k ＝﹣ 5．因为对称轴位于 y 轴右边，因此﹣ 2（ k+1）＞ 0，解得 k ＜﹣ 1，当 k ＝﹣ 3 时，有一个交点，因此 k ＝﹣ 5．故答案为﹣ 5．【评论】 本题考察了抛物线与x 轴的交点，依据根与系数的关系推出两点间的距离表达式，再利用三角函数和抛物线极点坐标公式列出等式是解题的重点．此外，本题对同学们的计算能力要求较高，对用换元法解方程应该有必定程度的认识．8．（ 5 分）如图，已知AB 是圆 O 的直径， PQ 是圆 O 的弦， PQ 与 AB 不平行， R 是 PQ 的中点．作 PS ⊥ AB ，QT ⊥ AB ，垂足分别为 S ，T ，而且∠ SRT ＝ 60°，则 的值等于．【剖析】连结 OP，OQ， OR，由 R 是 PQ 的中点，依据垂径定理的推论得OR⊥ PQ，而OP＝ OQ ，依据等腰三角形的性质得∠POR＝∠ QOR，易得∠ PSO＝∠ PRO＝ 90°，依据直角三角形外接圆的性质得点 P、 S、 O、 R 四点在以 OP 为直径的圆上，再依据圆周角定理得∠ PSR＝∠ POR，同理可得∠ QTR＝∠ QOR ，则∠ PSR＝∠ QTR，依据等角的余角相等得∠RST＝∠ RTS，而∠ SRT＝ 60°，因此∠ RST＝60°，∠ RTS＝ 60°，则可依据圆周角定理获得∠ RPO＝∠ RSO＝ 60°，∠ RQO ＝∠ RTO＝60°，于是可判断△ OPQ 为等边三角形，因此PQ＝ OP，则 AB＝ 2PQ，即可获得＝．【解答】解：连结OP， OQ ，OR，如图，∵R 是 PQ 的中点，∴ OR⊥ PQ，∵OP＝ OQ，∴∠ POR＝∠ QOR，∵PS⊥ AB，∴∠ PSO＝∠ PRO＝ 90°，∴点 P、 S、O、 R 四点在以OP 为直径的圆上，∴∠ PSR＝∠ POR，同理可得∠ QTR＝∠ QOR，∴∠ PSR＝∠ QTR，∴∠ RST＝∠ RTS，而∠ SRT＝ 60°，∴△ RST 为等边三角形，∴∠ RST＝ 60°，∠ RTS＝ 60°，∴∠ RPO＝∠ RSO＝ 60°，∠ RQO ＝∠ RTO＝ 60°，∴△ OPQ 为等边三角形，∴PQ＝ OP，∴AB＝ 2PQ，∴＝．故答案为．【评论】本题考察了垂径定理及其推论：均分弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的两条弧；推论 1：均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧．推论 2：弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧；推论3：均分弦所对一条弧的直径，垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧．也考察了圆周角定理和等边三角形的性质．9．（ 5 分）解方程：（1）（2）【剖析】（ 1）可把不带根号的式子整理到一边，两边平方，化为整式方程求解．（ 2）此方程可用换元法解方程．设＝y，转变为有理方程求解．【解答】解：（ 1）整理得＝3﹣x，2两边平方得x﹣ 3＝ 9﹣ 6x+x ，解得： x＝ 3 或 4．经查验 x＝ 3 是原方程的解．（ 2）解：设＝y，则方程化为2y +y﹣ 12＝ 0，解得 y1＝3， y2＝﹣ 4，当 y1＝ 3，即＝3时，两边平方得（x+9 ）（ x﹣ 1）＝ 0，解得 x＝﹣ 9 或 x＝1，把 x＝﹣ 9 或 x＝ 1 分别代入原方程查验得原方程建立；当 y2＝﹣ 4 时，＝﹣4，根式无心义．故原方程的解为 x 1＝ 1， x 2＝﹣ 9，【评论】 本题主要考察解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的重点，换元法需要同学们认真掌握．10．（ 5 分）在四边形 ABCD 中，边 AB ＝x ， BC ＝ CD ＝ 4，DA ＝ 5，它的对角线 AC ＝ y ，此中 x ， y 都是整数，∠ BAC ＝∠ DAC ，那么 x ＝ 5 或 4 ．【剖析】 本题要分两种状况： ① 当∠ ABC ＝∠ ADC 时，能够证出△ ABC ≌△ ADC ；② 当∠ ABC ≠∠ ADC 时，过点 C 分别作 CE 垂直 AB 延伸线于点 E ， CF 垂直 AD 于点 F ．利用勾股定理可求出答案．【解答】 证明： ① 当∠ ABC ＝∠ ADC 时，又∠ BAC ＝∠ DAC ， CB ＝ CD ，∴△ ABC ≌△ ADC ， ∴ AB ＝ AD ＝ 5∴ x ＝ 5；② 当∠ ABC ≠∠ ADC 时，过点 C 分别作 CE 垂直 AB 延伸线于点E ，CF 垂直 AD 于点 F ．∵ AC 均分∠ BAD ， ∴ CE ＝ CF ，又有 BC ＝ CD ＝ 4，∴△ CEB ≌△ CFD ， ∴ BE ＝ FD ， AE ＝ AF∴ AE ＝ AF ＝ AD ﹣ FD ＝5﹣ BE ，∴ AE ＝ AB+BE ＝ x+BE ，∴ 5﹣BE ＝ x+BE ，BE ＝ ， AE ＝ x+＝，CE 2＝ BC 2﹣ BE 2＝ 16﹣，CA 2＝ AE 2+CE 2，2＝ +16﹣ ，y2第 10 页（共 14 页）x ＝ ，在△ ADC 中， 1＜ y ＜ 9， x ，y 都是整数，因此 y 2 末位数字只好是6，∴ y ＝ 6，∴ x ＝ 4故答案为： 5 或 4．【评论】 本题主要考察了角均分线的性质以及勾股定理的应用，重点是要考虑全面各样状况，不要漏解．二、解答题（共 3 小题，满分 40 分）11．（12 分）已知 m ，n 为整数，方程有两个不相等的实数根，方程 有两个相等的实数根．求n 的最小值，并说明原因． 【剖析】 因为存心义，则 n ﹣ 1≥0，再依据方程 有两个不相等的实数根，则△＞0 ，即△＝（ n ﹣ 2） 2 （ n ﹣ 1）﹣ 4 （ m+18 ）＞ 0① ；又方程有两个相等的实数根，则△′＝ 0，即△′＝（ n ﹣ 6） 2 （ n﹣ 1）﹣ 4（ m ﹣ 37）＝ 0② ，而后 ① ﹣ ② ，获得对于 n 的不等式，解之获得n 的取值范围，最后找到 n 的最小值．【解答】 解：∵存心义，∴ n ﹣ 1≥ 0，即 n ≥ 1，而 n 为整数，因此 n ≥ 1 的整数．又∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞ 0，即△＝（ n ﹣ 2）2（ n ﹣ 1）﹣ 4（ m+18 ）＞ 0① ；又方程有两个相等的实数根，∴△′＝ 0，即△′＝（ n ﹣ 6） 2（ n ﹣ 1）﹣ 4（m ﹣37）＝ 0② ，① ﹣ ② 整理得： 2n 2﹣10n ﹣ 47＞ 0，令 2n 2﹣10n ﹣ 47＝0，解得 n 1＝， n 2＝， ∴ n ＜或 n ＞ ，而 n ≥1 的整数，因此 n ＞的整数．则 n 的最小整数为 8，而且（ 8﹣ 6）2（ 8﹣ 1）﹣ 4（ m ﹣ 37）＝ 0，解得 m ＝ 42，为整数知足条件．因此 n 的最小整数为 8．【评论】 本题考察了一元二次方程ax 2+bx+c ＝ 0（ a ≠ 0， a ， b ，c 为常数）根的鉴别式△ ＝ b 2﹣ 4ac ．当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根； 当△＝ 0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．同时考察了运用二次函数图象解一元二次方程的方法．12．（ 14 分）已知 M 、N 分别在正方形 ABCD 的边 DA 、AB 上，且 AM ＝AN ，过 A 作 BM 的垂线，垂足为 P ，求证：∠ APN ＝∠ BNC ．【剖析】 延伸 AP 交 DC 于 E ，连结 NE ，由∠ BPE+∠ BCD ＝ 180°，证出 P 、 B 、 C 、 E 四点共圆，由△ ABM 和△ DAE 全等，推出 CE ＝ BN ，得出矩形 BNEC ，证出 N 、 B 、C 、E 四点共圆，即 N 、 B 、 C 、 E 、P 五点共圆，即可得出答案．【解答】 证明：延伸 AP 交 DC 于 E ，连结 NE ，∵ AP ⊥ BM ，∴∠ APB ＝∠ BPE ＝∠ APM ＝ 90°，∵正方形 ABCD ，∴ AB ∥ CD ，AB ＝ CD ，∠ ABC ＝∠ DCB ＝90°， ∴∠ BPE+∠ BCD ＝ 180°，∴ P、 B、 C、 E 四点共圆，而∠ PAM+∠ AMP＝ 90°，∠ AMP +∠ ABM ＝ 90°，∴∠ ABM＝∠ PAM ＝∠ EAD ，∴△ ABM≌△ DAE ，∴DE＝ AM＝ AN，∴CE＝ BN，∴四边形NBCE 是矩形，∴ N、 B、 C、 E 四点共圆，即N、 B、 C、 E、 P 五点共圆，∴∠ NPB＝∠ NCB，∵∠ APN+∠ BPN＝ 90°，∠ BCN+∠ BNC＝90°，∴∠ APN＝∠ BNC．【评论】本题主要考察了矩形的性质和判断，正方形的性质和判断，全等三角形的性质和判断，确立圆的条件等知识点，解本题的重点是证明∠ NPB 和∠ NCB 相等．题目较好但有必定的难度．13．（ 14 分）设 N 是正整数，假如存在大于 1 的正整数 k，使得 N＝是 k 的正整数倍，则称 N 为一个“千禧数”，试确立在1，2，3，， 2000 中“千禧数” 的个数为1989 并说明原因．【剖析】若 N 是千禧数，则存在正整数m，使得N﹣＝ km，即 2N＝ k（ 2m+k﹣ 1），明显， k 与 2m+k﹣ 1 的奇偶性不一样，且k＞ 1，2m+k﹣1＞ 1．因此， 2N 有大于 1 的奇因子，从而 N 有大于 1 的奇因子．反过来，若N 有大于 1 的奇因子，则可设 2N＝ AB，其中 A、B 的奇偶性不一样，且 A＜ B，则 A＞ 1 且N﹣＝﹣＝ A? ．其中为正整数．故 N 是千禧数．在1，2，， 2000 中，只有 1， 2， 22，， 210不是千禧数．故有千禧数 2000﹣ 11＝ 1989（个）．故答案为： 1989．【评论】读懂题意经过察看，剖析、概括并发现千禧数的定义，依据推理找出不是千禧数的个数，从而获得千禧数的个数．。
2004我爱数学初中生夏令营数学竞赛(第二试)
2004我爱数学初中生夏令营数学竞赛（第二试）1、若⎩⎨⎧=--=+-0340337c b a c b a 则ab c b a 222-+=____________。
2、能使关于x 的方程012211112＝-++++-+-+x a x x x x x 只有一个实数根的所有a 的值的总和等于______________。
3、要使方程0)1(2)4(24＝m x m x -+-+恰有一个不小于2的实根，那么，m 的取值范围是_______。
4、在平面直角坐标系中，所有满足方程||||||2004||||y x y x --=+的点(x ，y)所围成的图形的面积为___________。
5、已知y x y y x 523-＝。
那么，当81242-+-y x 达到最大值时，=-y x 3322___________。
6、已知x x nx y 1001010100--+=其中n 为正整数。
要使0＜y≤300对于满足0＜x≤l6的所有x 都成立，那么，n=___________。
7、设PQ 是边长为1的正△ABC 的外接圆内的一条弦。
已知AB 和AC 的中点都在PQ 上。
那么，PQ 的长等于___________。
8、在Rt△ABC 中，AB=3，BC=4，∠B=90°，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条内角平分线。
那么，△DEF 的面积等于___________。
9．在△ABC 中，AB=6，BC=5，AC=4，AD 是它一条内角平分线，AD 的垂直平分线EF 与AD 相交于E ，与BC 的延长线相交于F 。
那么，AF=___________。
10、如图，A 、B 两地相距600km ，过A 地的一条铁路AD 笔直地沿东西方向向两边延伸，B 到AD 的最短距离为360km 。
今计划在铁路线AD 上修一个中转站C ，再在BC 间修一条笔直的公路。
如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么，为使通过铁路由A 到C 再通过公路由C 到B 的总运费达到最小值，中转站C 的位置应使AC=___________km 。
五年级计算数阵图与数字谜学生版
数阵图与数字谜知识要点解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型，因此要求同学们能够很好地掌握上述知识点，并加以灵活运用．数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．数论知识【例1】（第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛一试）如图，4个小三角形的顶点处有6个圆圈。
如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等。
问这6个质数的积是多少？【例2】 一个整数乘以13后，乘积的最后三位数是123，这样的整数中最小的是多少？【例3】 红、黄、蓝和白色卡片各一张，每张上写有一个数字。
小明将这4张卡片如图放置，使它们构成一个四位数，并计算这个四位数与它的数字之和的10倍的差。
结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。
问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？蓝白黄红【例4】 如图算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，请求出这个算式。
春夏秋冬四季季年年年年年年【例5】 将1~9分别填入这九个区域，使得每个圆里的数字和相等。
【例6】已知76⨯=⨯，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求ABCXYZ XYZABCABCXYZ是多少？【例7】三位数AAA乘三位数AAB等于六位数CCCDDD，求A，B，C，D分别是多少？【例8】（第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛）试将1，2，3，4，5，6，7分别填入下面的方框中，每个数字只用一次：（这是一个三位数）、（这是一个三位数）、（这是一个一位数），使得这三个数中任意两个都互质。
小学数学《速算与巧算》练习题(含答案)
小学数学《速算与巧算》练习题（含答案）知识点：一、等差数列.二、定义新运算.三、速算与巧算的方法.等差数列我们仔细观察以下两个数列：可以发现它们有一个共同的特点，后一项减前一项的差都是一个定数，像上面这样一类数列，叫做等差数列，相邻两个数的差叫做公差，通常用字母d表示．如果有一个等差数列其公差是d，那么数列的每一项依次可表示为：例如：求15，25，35，45，55，65，75这一列数的和，利用公式计算就是：(1575)73152s+⨯==利用此求和公式以及通项an =a1+(n一1)d的表达式，将给计算带来很大的方便．【例1】按规律填数.（1）21，25，29，（ 33 ），（ 37 ），41，45，49，（ 53 ）（2）3，9，27，（ 81 ），（ 243 ），729【分析】（1）观察第一列数，这是一个等差数列，它的公差是4，所以括号里要添的数，都应该是前一个数加4.（2）观察第二列数，这是一个等比数列，它的公比是3，所以括号里面要添的数，都应该是前一个数乘3.【分析】根据定义x△y=62x yx y⋅⋅+于是有629829522920⨯⨯∆==+⨯【巩固】设a△b=a×a-2×b，那么，5△6=______，(5△2) △ 3=_____.【分析】(1)5△6=5×5-2×6=13(2)5△2=5×5-2×2=2121△3=21×21-6=435【例6】规定其中a、b表示自然数.（1）求的值；（2）已知，求.【分析】观察新定义的运算，可知表示首项是a，末项是的连续自然数之和，项数是b.所以，（1）（2）即：速算与巧算的方法1、利用凑整法计算.凑整法就是根据题中数据特点、借助数的组合、分解以及有关运算性质，把其凑成整十整百……的数，从而达到计算简便、迅速的一种方法.使用凑整法一般有以下几种情形：一、分组凑数 .二、拆数凑整 . 三、分解凑整.四、借数凑整 .五、性质凑整.凑整法常用到的定律和公式有：①加法交换律：a+b=b+a②加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)③乘法交换律：a×b=b×a④乘法结合律：（a×b）×c=a×(b×c)⑤乘法分配律：(a+b) ×c=a×c+b×c⑥减法的性质：a-b-c=a-(b+c)⑦商不变的性质：a÷b=(a×c)÷（b×c）；a÷b=(a÷c)÷（b÷c）⑧除法的性质：a÷(b×c)=a÷b÷c(a+b) ÷c=a÷c+b÷c(a-b) ÷c=a÷c-b÷c⑨和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变.【例12】 （第七届华杯赛复赛试题）计算：19+199+1999+…+.______9919991999=43421Λ个【分析】原式=20+200+2000+…+1999200019991-⨯L 14243个0=11999202221999⨯-43421Λ个 =43421Λ2199********个【例13】 （北京市第六届“迎春杯”决赛试题）1000+999-998-997+996+995-994-993+…+108+107-106-105+104+103-102-101= _____【分析】原式=(1000+999-998-997)+…+(104+103-102-101) =4×900÷4 =900．【例14】 2002年“我爱数学”夏令营计算竞赛试题计算：222222221234979899100-+-++-+-Λ【分析】这个题要利用平方差公式()()b a b a b a -+=-22进行计算比较简单.()()()()()()()()()()()()12123434979897989910099100123497989910012349798991002222222222222222-⨯++-⨯++-⨯++-⨯+=-+-++-+-=-+-++-+-K K K()5050210011001234979899100=÷⨯+=+++++++=K【附1】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【分析】将每层圆木根数写出来，依次是：可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．故最下面的一层有32根．【附2】计算下列每组数的和：【分析】根据等差数列求和公式，必须知道首项、末项和项数，这里首项是105，末项是200，但项数不知道．若利用a n =a 1+据此可先求出项数，再求数列的和．解：数列的项数故数列的和是：【附3】规定：③=2×3×4，④=3×4×5 ⑤=4×5×6，…， ⑩=9×10×11，…如果⨯=-)8(1)8(1)7(1□，那么框内应填的数是_____·【分析】□=11111(8)7891()()(8)11.(7)(8)(8)(7)(8)(7)6782⨯⨯-=-⨯=-=-=⨯⨯ 故框内应填的数是21【附4】（04全国小学奥林匹克）计算：55 555 × 666 667 + 44 445 × 666 666 – 155 555【分析】原式=55 555 × 666 666 + 55 555 +44 445 × 666 666 -155 555=（55 555+44 445）× 666 666-100 000 = 66 666 500 000【附5】求{20073333333...33...3++++个的末三位数字.【分析】原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有2007个3，2006个30，2005个300 ，则2007×3+2006×30+2005×300=6021+60180+601500=667701 ，原式末三位数字为701。
2005年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷及试卷解析
2005年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷一、解答题（共13小题，满分0分）1．已知：（1）a＞0（2）当﹣1≤x≤1时，满足|ax2+bx+c|≤1；（3）当﹣1≤x≤1时，ax+b有最大值2．求常数a、b、c．2．在△ABC中，已知I为内心，O为外心，AB=8，BC=6，CA=4．求证：OI⊥CI．3．在9×9的方格表中，共有81个小方格．在每一个小方格中，写上一个数，如果只要每行、每列至多有三个不同的数，就能保证在方格表中存在一个数，这个数在其某一行中至少出现n次，在某一列中也至少出现n次，那么，n 的最大值是多少？并证明你的结论．4．已知=8，则2x+4y﹣z+6=．5．若2x2+7xy﹣15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为实数，那么，a+b的最小值是．6．已知n是正整数，1++是一个有理式A的平方，那么，A=．7．某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的A 类软件和B类软件，根据需要A类软件至少买3片，B类软件至少买2片，则不同的选购方式共有种．8．已知方程6x2+2（m﹣13）x+12﹣m=0恰有一个正整数解，则整数m的值为．9．在边长为1的正方形ABCD中，点M、N、O、P分别在边AB、BC、CD、DA 上．如果AM=BM，DP=3AP，则MN+NO+OP的最小值是．10．已知O为△ABC的外心，AD为BC上的高，∠CAB=66°，∠ABC=44°．那么∠OAD=．11．代数式++达到最小值时，x、y的值分别为 ．12．如果2006个整数a 1，a 2，…a 2006，满足下列条件：a 1=0，|a 2|=|a 1+2|，|a 3|=|a 2+2|，…，|a 2006|=|a 2005+2|，那么，a 1+a 2+…+a 2005的最小值是 ．13．一栋房子的造价由地上部分费用与基础部分费用组成．一栋面积为Nm 2的房子的地上部分费用与N 成正比，基础部分费用与成正比．已知一栋3600m 2的房子的造价中的地上部分费用是基础部分费用的72%，那么，要建造若干栋相同的住房，使面积为8000m 2的总造价最小，则每栋住房的面积的平方米数应是 ．2005年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、解答题（共13小题，满分0分）1．已知：（1）a＞0（2）当﹣1≤x≤1时，满足|ax2+bx+c|≤1；（3）当﹣1≤x≤1时，ax+b有最大值2．求常数a、b、c．【分析】由已知：a＞0，ax+b有最大值2，就知道ax+b是一个升函数，当﹣1≤x≤1时，ax+b有最大值2，就可以求出a+b的值为2，然后根据当﹣1≤x≤1时，满足|ax2+bx+c|≤1，就可以求出c的值，最后根据x的范围确定二次函数的最小值为﹣1，这样由二次函数的顶点坐标公式就可以求出b值，从而求出常数a、b、c的值．【解答】解：当a＞0时，ax+b的值随着x取值的增大而增大，所以x=1时，ax+b有最大值a+b，即：a+b=2令x=0，则|c|≤1，即：﹣1≤c≤1令x=1，则|a+b+c|≤1，即：|2+c|≤1，所以﹣3≤c≤﹣1故c=﹣1．令y=ax2+bx+c，则抛物线y=ax2+bx+c必过（0，﹣1）因为当﹣1≤x≤1时，﹣1≤ax2+bx+c≤1，所以该二次函数的最小值是﹣1，∴∴4ac﹣b2=﹣4a∵c=﹣1﹣4a﹣b2=﹣4a∴b=0∴a=2所以a=2，b=0，c=﹣1．【点评】本题是一道二次函数的综合题，考查了一次函数的图象特征，用不等式组求解的特殊方法的运用以及二次函数的顶点公式的运用．2．在△ABC中，已知I为内心，O为外心，AB=8，BC=6，CA=4．求证：OI⊥CI．【分析】因I是内心，故，=．又因AB=8，BC=6，CA=4，所以AC+AB=2BC，故AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．又DC=DI（内心性质），故AD=2DI．从而即可证明．【解答】证明：∵I是内心，∴，=．又∵AB=8，BC=6，CA=4∴AC+AB=2BC，∴AB=2BE．由△ABE∽△ADC知AD=2DC．又∵DC=DI（内心性质），∴AD=2DI．而O是外心，∴OI⊥AI．【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定及三角形内切圆与内心，难度适中，关键是掌握外心与内心的性质．3．在9×9的方格表中，共有81个小方格．在每一个小方格中，写上一个数，如果只要每行、每列至多有三个不同的数，就能保证在方格表中存在一个数，这个数在其某一行中至少出现n次，在某一列中也至少出现n次，那么，n 的最大值是多少？并证明你的结论．【分析】通过举例首先猜想n的最大值是3，然后通过做标记实验的方法得当某数在某一行至少出现3次，在某一列至少出现3次．【解答】解：1 2 34 5 67 8 9每一格表示3×3的方格，如图的特例中的数字，得到n≤3，猜想：n的最大值为3．只需要证按条件填好的81个数后一定存在一个数，这个数在某一行至少出现3次，在某一列也至少出现3次．若某数在某行至少出现3次，就在该数上打“√”作上记号，则每行至少有5个“√”（不打“√”号的最多有4个），因此表格中至少有45个，同理，若某数在某列至少出现3次，就在该数上打“0”作上记号，则表格中至少有45个“0”．由于45+45=90，所以至少有一格既打“√”，又打“0”，即这个数在某一行至少出现3次，在某一列至少出现3次．【点评】本题考查了规律探究题，解决此类问题的关键是仔细的观察数据之间的关系并发现其中的规律，从而解决问题．4．已知=8，则2x+4y﹣z+6=6．【分析】先把原方程去分母，再去括号化简，得到（4x2+16xy+16y2）﹣（4xz+8yz）+z2=0即：（2x+4y）2﹣2•（2x+4y）•z+z2=0，从而得出2x+4y﹣z=0，再求答案就容易了．【解答】解：由题意得：（2x+z）2=8（x+y）（﹣2y+z），∴4x2+4xz+z2=﹣16xy+8xz﹣16y2+8yz，∴4x2﹣4xz+z2+16xy+16y2﹣8yz=0，∴（4x2+16xy+16y2）﹣（4xz+8yz）+z2=0即：（2x+4y）2﹣2•（2x+4y）•z+z2=0，∴（2x+4y﹣z）2=0，∴2x+4y﹣z=0，∴2x+4y﹣z+6=0+6=6．故答案为6．【点评】本题考查了代数式求值，考查了整体代入的思想，此题比较繁琐，计算时要细心才行．5．若2x2+7xy﹣15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为实数，那么，a+b的最小值是﹣17．【分析】由2x2+7xy﹣15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，即可得：2﹣3 3 （1﹣3﹣1）××1 5 1 （3﹣1﹣3）则可求得a与b的可能取值，继而求得a+b的最小值．【解答】解：∵2x2+7xy﹣15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，∴2﹣3 3 （1﹣3﹣1）××1 5 1 （3﹣1﹣3）∴a=5，b=12或a=7，b=﹣4或a=﹣5，b=﹣12或a=﹣7，b=4，∴a+b的最小值是﹣5+（﹣12）=﹣17．故答案为：﹣17．【点评】此题考查了因式定理的应用．注意形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二次三项式：a1c1f1××a2c2f2如果有：a1•c2+a2•c1=b，a1•f2+a2•f1=d，c1•f2+c2•f1=e，那么：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=（a1x+c1y+f1）（a2x+c2y+f2）．6．已知n是正整数，1++是一个有理式A的平方，那么，A=±．【分析】先通分，分母n2（n+1）2是完全平方的形式，然后把分子整理成完全平方式的形式，从而即可得解．【解答】解：1++=，分子：n2（n+1）2+（n+1）2+n2=n2（n+1）2+n2+2n+1+n2，=n2（n+1）2+2n（n+1）+1，=[n（n+1）+1]2，∴分子分母都是完全平方的形式，∴A=±．故答案为：±．【点评】本题考查了完全平方式，先通分，然后把分子整理成完全平方公式的形式是解题的关键，难度较大，灵活性较强．7．某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的A 类软件和B类软件，根据需要A类软件至少买3片，B类软件至少买2片，则不同的选购方式共有7种．【分析】首先设购买A、B类软件分别为x，y片，根据题意即可得不等式组：，解此不等式组，然后根据分类讨论的思想求解即可求得答案．【解答】解：设购买A、B类软件分别为x，y片，根据题意得：，∴3≤x≤6，2≤y≤，∴当x=3，y=2时，60x+70y=320，当x=3，y=3时，60x+70y=390，当x=3，y=4时，60x+70y=460，当x=4，y=2时，60x+70y=380，当x=4，y=3时，60x+70y=450，当x=4，y=4时，60x+70y=520（舍去），当x=5，y=2时，60x+70y=440，当x=5，y=3时，60x+70y=510（舍去），当x=5，y=4时，60x+70y=580（舍去），当x=6，y=2时，60x+70y=500，当x=6，y=3时，60x+70y=570（舍去），当x=6，y=4时，60x+70y=640（舍去），∴不同的选购方式共有7种．故答案为：7．【点评】此题考查了不等数组的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是注意理解题意，根据题意求得方程组，然后根据其性质解题，注意分类讨论思想的应用．8．已知方程6x2+2（m﹣13）x+12﹣m=0恰有一个正整数解，则整数m的值为8．【分析】根据方程6x2+2（m﹣13）x+12﹣m=0恰有一个正整数解可知：△=[2（m ﹣13）]2﹣4×6×（12﹣m）=4×[（m﹣13）2﹣6•（12﹣m）]应该是一个完全平方式，令令（m﹣13）2﹣6•（12﹣m）=y2，把该式转化成m2﹣20m﹣y2+97=0，即（m﹣10）2﹣y2=3，于是列出m和y的二元一次方程组，求出m的值，最后验证m是否符合题意．【解答】解：由题意知：△=[2（m﹣13）]2﹣4×6×（12﹣m）=4×[（m﹣13）2﹣6•（12﹣m）]应该是一个完全平方式，所以（m﹣13）2﹣6•（12﹣m）是一个完全平方式，令（m﹣13）2﹣6•（12﹣m）=y2（y是正整数），则m2﹣20m﹣y2+97=0，即（m﹣10）2﹣y2=3，∴（m﹣10+y）（m﹣10﹣y）=3×1=（﹣3）×（﹣1），∴或或或，解得m=12或8，当m=12时，原方程即6x2﹣2x=0，解得x=0或，不符合题意，当m=8时符合题意，整数m的值为8，故答案为8．【点评】本题主要考查一元二次方程的整数跟和有理根的知识点，解答本题的关键是熟练掌握跟的判别式和完全平方式的知识，此题难度不大．9．在边长为1的正方形ABCD中，点M、N、O、P分别在边AB、BC、CD、DA上．如果AM=BM，DP=3AP，则MN+NO+OP的最小值是．【分析】作点M关于直线BC的对称点M′，过P作关于直线CD的对称点P′，根据两点间线段最短，及勾股定理即可求解．【解答】解：作点M关于直线BC的对称点M′，过P作关于直线CD的对称点P′，连M′P′交BC，CD于N，O，所以M′N=MN，OP=OP′MN+NO+OP=NM′+ON+OP′=M′P′此时MN+NO+OP有最小值，由作法，得BM′=BM=，所以AM′=3/2，DP′=3/4，AP′=1+3/4=7/4在直角三角形AM′P′中，M′P′2=AM′2+AP′2=，所以M′P′=．故答案为：．【点评】考查了正方形的性质和轴对称﹣最短路线问题，熟知正方形的性质是解答此题的关键．10．已知O为△ABC的外心，AD为BC上的高，∠CAB=66°，∠ABC=44°．那么∠OAD=26°．【分析】如图，延长AO、AD分别交⊙O于E、F，连接EF，BF，根据圆周角定理及其推论可以分别得到∠CBF=∠CAF，∠AEF=∠ABF，∠AFE=90°，然后利用∠OAD=180°﹣∠AFE﹣∠AEF即可求解．【解答】解：如图，延长AO、AD分别交⊙O于E、F，连接EF，BF，∴∠CBF=∠CAF，∠AEF=∠ABF，∠AFE=90°，而∠OAD=180°﹣∠AFE﹣∠AEF=90°﹣∠AEF=90°﹣∠ABF=90°﹣（∠ABC+∠CBF）=90°﹣（∠ABC+∠CAF）而AD为BC上的高，∴∠CAF=90°﹣∠ACB，∴∠OAD=90°﹣（∠ABC+90°﹣∠ACB）=∠ACB﹣∠ABC=180°﹣∠BAC﹣2∠ABC=26°．故答案为：26°．【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心的性质，同时也利用了圆周角定理及其推论，有一定的综合性，要求学生熟练掌握相关的性质才能很好解决问题．11．代数式++达到最小值时，x、y的值分别为，．【分析】将原式化为++，根据两点间的距离公式可知：可以看成是坐标轴上A（0，3）与B（3x，1）两点的距离，可看成是B（3x，1）与C（2y，0）的距离，则为C（2y，0）与D（4，2）的距离，继而利用轴对称﹣最短路线问题求解即可．【解答】解：原式=++，根据两点间的距离公式可知：可以看成是坐标轴上A（0，3）与B（3x，1）两点的距离，可看成是B（3x，1）与C（2y，0）的距离，则为C（2y，0）与D（4，2）的距离，在坐标轴上找出A、B、C和D四点的位置如下所示，点B在直线y=1上，点C 在x轴上，作点D（4，2）关于x轴对称到点E（4，﹣2），后连接DE两点，其与直线y=1的交点即是代数式达到最小值时的B点，与x轴的交点即是代数式达到最小值时的C点，可以算出此时B点的坐标为：（，0），解得x=；此时C点的坐标为：（，0），解得y=．故答案为：，．【点评】本题考查了利用轴对称﹣最短路径的知识求解无理函数的最值，找出A、B、C和D四点的位置是解答此题的关键，有一定的技巧性．12．如果2006个整数a1，a2，…a2006，满足下列条件：a1=0，|a2|=|a1+2|，|a3|=|a2+2|，…，|a2006|=|a2005+2|，那么，a1+a2+…+a2005的最小值是﹣2004．【分析】可以把2006个数分为502个小组（a1，a2，a3，a4）（a5，a6，a7，a8）…（a2001，a2002，a2003，a2004）（a2005，a2006），分别求出这些组的最小值，然后求和即可．【解答】解：可以把2006个数分为502个小组（a1，a2，a3，a4）（a5，a6，a7，a8）…（a2001，a2002，a2003，a2004）（a2005，a2006），第一组，取a1=0，a2=2，a3=﹣4，a4=﹣2 其和最小=﹣4，第二组，取a5=0，a6=2，a7=﹣4，a8=﹣2 其和最小=﹣4，…倒数第2组，取a2001=0，a2002=2，a2003=﹣4，a2004=﹣2．其和最小=﹣4，最后一组，取a2005=0，a2006=﹣2．∴这些数的和最小为501×（﹣4）+0=﹣2004，故答案为﹣2004．【点评】本题主要考查函数最值问题和整数问题的综合运用的知识点，解答本题的关键是对这些数进行分组，此题有一定难度．13．一栋房子的造价由地上部分费用与基础部分费用组成．一栋面积为Nm2的房子的地上部分费用与N成正比，基础部分费用与成正比．已知一栋3600m2的房子的造价中的地上部分费用是基础部分费用的72%，那么，要建造若干栋相同的住房，使面积为8000m2的总造价最小，则每栋住房的面积的平方米数应是500．【分析】根据题意先设出每栋住房的面积的平方米应是y，共建了x栋相同的住房，总价值为S，得出xy=8000，S=（αy+β）x，再根据题意得出S=α•xy+βx（其中α、β为比例常数），再根据统一列出式子，得出结果进行讨论，即可求出答案【解答】解：设每栋住房的面积的平方米应是y，共建了x栋相同的住房，总价值为S，则xy=8000，S=（αy+β）x，=，其中α、β为比例常数，于是有S=α•xy+βx=α•8000+5000•α••x=5000α（+）α•2•=105•8α≥105，由于上式等号成立，因此=，x=16，y=500．所以每栋住房的面积的平方米数应是500．故答案为：500．【点评】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，函数的值域，其中根据已知条件构造房屋总造价的函数解析式，将实际问题转化为函数的最值问题是解答本题的关键．。
2005我爱数学初中生夏令营数学竞赛
中结论 ， 而只要按命题的证 明步骤进行推导
即可 ．
维普资讯
２ ６
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中 等 数 学
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那么，ｌ ２ ｆ ＋０ ＋… ＋ａ ５ ｚ ２ 的最 小 值是— — ． ｏ ０ １． ０ 一栋 房 子 的造 价 由地 上 部 分 费 用 与 基础 部分 费 用 组 成 ． 一栋 面 积 为 Ⅳ ｒ ｎ ２的房
上相同的数 ， 任意两个不 同的 ３ ×３的方格 表上 的数
都不同 ， 么 ， 那 每行 、 每列恰 有三个不 同的数 ． 因此 ，
所求 的 ｎ的最大值 不大于 ３ ．
Ｆ面证 明： 只要 每 行 、 每列 至多 有三 个 不 同的
由（ ） ２ 知
Ｊ 口＋ｂ ≤１ ＋ｃ Ｊ ， ＩＩ １ ≤ ． ｃ 由① 、 知 ② Ｉ ＋ｃ ≤ １ ２ Ｉ ． 由③ 、 得 ｃ＝ ～１ ④ ． ④ ② ③
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２６ ０ 年第 ４ ０ 期
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２０ 我爱数学初中生夏令营数学竞赛 ０５
第 一 试
１ 已 知 ．
一
３ 已知 ｎ是 正整 数 ， ＋ ． １ １＋７ ＿ 二
１ Ａｃ Ｂ
．
易知， Ｉ ＭＦ＝ ＭＦ Ｃ．
因此 ， ＭＩ Ａ Ｃ． Ｃ＝ Ｂ
子的地 上 部 分 费 用 与 Ⅳ√ Ⅳ成 正 比 ， 础 部 基
分费 用 与￣ Ⅳ成 正 比． ／ 已知 一 栋 ３６０ ｍ ０ ２的
再设 ， 为 Ｂ ｖ Ｃ的中点 ， 则
2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题及参考答案
2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛试题参考答案一、选择题：1．已知,a b N ∈，100a 是一个120位数，ba 是一个10位数，则b 的值是 （ ）()A 7()B 8()C 9()D 10解：B ．由题设：100119lg 1209lg 10ba a ⎧≤<⎪⎨≤<⎪⎩，从而9101.19 1.2b ≤<．∴ 8b =． 2．将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到右每个球依次对应序号为1,2,,8 ．若同色球之间不加区分，则4个红球对应序号之和小于4个蓝球对应序号之和的排列方法的种数为（ ）()A 31()B 27()C 54()D 62解：A ．123836++++= ．1到8中任取四个不同的数求和，可以得到4870C =种答案（可以相同）． 其中和为18的共有8种：()8,7,2,1，()8,6,3,1，()8,5,4,1，()8,5,3,2，()7,6,4,1，()7,6,3,2，()7,5,4,2，()6,5,4,3．∴ 4个红球对应序号之和小于4个蓝球序号之和的排列数为708312-=． 3．若某圆柱的体积与表面积在数值上恰好相等，则该圆柱的体积的最小可能是 （ ）()A 48π()B 50π()C 54π()D 66π解：C ．设圆柱底面半径为r ，高为h ．则2222r h r rh πππ=+，即22rh r =-，2r >． 从而322222r r V r r r ππ==--．令20t r =->，则 ()()3222816121811272t V t t t t t t t π+⎛⎫==+++=-+++≥ ⎪⎝⎭． ∴ 当1t =时，V 取最小值54π．4．已知,αβ均为锐角，且满足()2sin cos ααβ=-，则α与β的关系 （ ）()A αβ<()B αβ=()C αβ>()D 2παβ+=解：C ．由题设：2sin cos cos sin sin ααβαβ=+． ∴ sin cot cos sin sin ααβββ=⋅+>． ∴ αβ>．5．正四面体的4个面上分别写着1，2，3，4．将4个这样的均匀正四面体投掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是 （ ）()A 18()B 964()C 116()D 1316解：D ．()4434424213416-+⨯=． 6．甲、乙、丙，3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么整个比赛的第10局的输方 （ ）()A 必是甲()B 必是乙()C 必是丙()D 不能确定解：A ．丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛．又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局． 三个人之间总共打了（8+4+13）=25局．考察甲，总共打了12局，当了13次裁判．所以他输了12次．所以当n 是偶数时，第n 局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲． 二、填空题：7．已知向量(a =，()b = ．若正数k 和t 使得()21x a t b =++ 与1y ka b t =-+垂直．则k 的最小值是 ．解：2．a b == 0a b ⋅= ．2210x y ka t b t ⎛⎫=⋅=-++ ⎪⎝⎭，即12k t t =+≥．8．在直角坐标系内，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点．若凸n 边形的顶点都是整点，并且多边形内部及其边上没有其他整点，则n = ．解：3n =或4．3n =或4显然满足题意．当5n ≥，考察其顶点()111,A x y ，()222,A x y ，()333,A x y ，()444,A x y ，()555,A x y ，由抽屉原理知道必然有两点的横坐标与纵坐标的奇偶性完全相同，不妨设为(),i i i A x y ，(),j j j A x y ，i j ≠．则i j A A 的中点必然是一个整点．而由凸n 边形的性质知道，线段i jA A 的中点必然在该多边形的内部或者边上．9．若实数,x y 满足0x ≥，且{}max 1,12x x y x --≤≤+．则二元函数(),u x y2x y =+的最小值是 ．解：1．由题意：12x y x -≤≤+，且0x ≥． ∴ (),u x y 2x y =+312, 11211, 01x x x x x x -≥≥⎧≥-+=⎨+≥≤<⎩．10．设方程1nx =（n 为奇数）的n 个根为1211,,,,n x x x - ，则1111n k kx -==+∑ ． 解：12n -． 22cos sin k k k x i n nππ=+，1,2,3,,1k n =- ．注意到2222cossin cos 2sin 2k k k k k x i i n n n n ππππππ--⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22cos sin n k n k n k i x n nππ---=+=．∴11111111111k k k n k k k k k k kx x x x x x x x x x -+=+=+=++++++． 而n 为奇数，所以1n -为偶数，从而111112n k kn x -=-=+∑．11．用{}x 表示实数x的小数部分，若()200518a =．则{}a a ⋅= ．解：1．记()200518b =，则01b <<，且1ab =．又((()2005200520052005200520051818rrrr rr r r a b CC--==-=⋅-⋅-∑∑(100220042212120050218kk k k C Z -++==⋅⋅∈∑．而()a a b b =-+，其中a b Z -∈，01b <<． ∴{}b a =．∴ {}1a a ab ==．12．已知P 、Q 、R 、S 是三棱锥A BCD -内的四点，且Q 、R 、S 、P 分别是线段PA 、QB 、RC 、SD 的中点，若用P ABC V -表示三棱锥P ABC -的体积，其余的类推．则:::P ABC P BCD P CDA P ABD V V V V ----= ．解：8:1:2:4．记,P BCD H 为点P 到平面BCD 的距离．其余类推．设P V -∵ ,,::2S BCD P BCD H H SD PD ==．∴ 2S BCD V -=． ∵ ,,::2:1R BCD S BCD H H RC SC ==，∴ 4R BCD V -=． ∵ ,,::2:1Q BCD R BCD H H QB RB ==，∴ 8Q BCD V -=．设AP 延长后交平面BCD 于'P ．则':':Q BCD QP PP V -=∴ :'7:1QP PP =，又AQ QP =，∴ ':'15:1AP PP =．∴ 15A BCD V -=． 同理1Q ACD V -=，1S ABC V -=，1R ABD V -=．∴88P ABC S ABC V V --==，22P CDA Q CDA V V --==，244P ABD Q ABD R ABD V V V ---===． ∴ :::8:1:2:4P ABC P BCD P CDA P ABD V V V V ----=．D三、解答题：13．设()12,,,2n P P P n ≥ 是1,2,,n 的任意一个排列．求证：1223211111112n n n nn P P P P P P P P n ----++++>+++++ ． 证：记12232111111n n n n A P P P P P P P P ---⎛⎫=++++ ⎪++++⎝⎭ ，()()()12231n n B P P P P P P -=++++++ ．则()21A B n ⋅>-．（1223P P P P +≠+，故等号不成立）而()()21212212123n n B P P P P P n n n =+++--≤+++--=+-∴()()()222221111322n n n n A Bn n n n n ---->≥>=+-+-+． 14．一医生知道某种疾病患者的自然痊愈率为0.25，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用．他事先决定，若这10个病人中至少有4个治好，则认为这种药有效，提高了痊愈率．否则认为无效．求（1）虽然新药有效，并把痊愈率提高到了0.35，但通过实验却被否定的概率； （2）新药完全无效，但通过实验却被判断为有效的概率． 参考数据：解：设痊愈率为p ，恰好有k 个人痊愈的概率为k a ，0,1,2,,10k = ．则()10101kkk k a C p p -=-．（1）0.35p =，此时：01230.5138a a a a +++=．即新药有效，并把痊愈率提高到了0.35，但通过实验却被否定的概率为0.5138． （2）新药完全无效，∴0.25p =，此时：()012310.2241a a a a -+++=．15．设双曲线2222:1x y S a b-=，()00,M x y S ∉，且000x y ≠．()00,N x y λλ，其中2200221x y a b λ=-．过点N 的直线L 交双曲线S 于,A B 两点，过点B 作斜率为2020b x a y 的直线交双曲线S 于点C ．求证：,,A M C 三点共线．证：设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ．过点M 作斜率为2020b x a y 的直线m ，则直线m 的方程为 ()200020b x y y x x a y -=- ①设直线m 交NA 与点P 、交NC于点Q ，(),F F F x y 为BC 中点． 由,B C S ∈得：2222221x y a b -=，2233221x y a b-=． 两式相减后化简后可得：F F y y x x =．∴ F 在直线MN 上． 从而M为PQ 中点．设直线L 的斜率为k ，则直线L 的方程为()00y y k x y λλ-=-②故12,x x 是方程()22002211x k x x y a bλλ--+=⎡⎤⎣⎦的两根．整理得： ()()22220000002222221210x k y x y k x x x x a b a b a b λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-⋅-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭FPQDG将2200221x y a bλ=-代入上式，得：()()22000022221210x ky k x x x x a b a b λλλλ⎛⎫⎛⎫--+-⋅-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将其视为关于()0x x λ-的一元二次方程．由韦达定理，有002210201121x ky x x x x a b λλλλ-⎛⎫+=- ⎪---⎝⎭③联立①②，消去y 得到0022011P ky x x x b a λλλ⎛⎫=-⎪--⎝⎭． 比较③式得：01020211P x x x x x x λλλ=+---． 从而211NP NA NB=+． 下面利用平几知识证明,,A M C 三点共线．首先假设,,A M C 三点共线，来证明：211NP NA NB=+．过A 做直线AD ∥BC ，交NC 与D ．设G 为AD 中点．由于AD ∥BC ∥PQ ，∴ ,,AD BC PQ 的中点,,G F M 共线（过点N ）． ∴NA AG AG AM AP NP NA NB BF FC MC BP NB NP -=====-．整理即得：211NP NA NB=+． 反之，用同一法可证明当211NP NA NB=+时,,A M C 三点共线．2005年江苏省数学奥林匹克夏令营竞赛(加试)试题参考答案一．锐角三角形ABC 的内切圆分别切,AB AC 边于点,D E ，,X Y 分别为ABC ∠和ACB ∠的平分线与DE 的交点，Z 为BC 边的中点．求证：当且仅当60A ∠=︒时，△XYZ 为正三角形． 证：记△ABC 的内心为I ，由()(1118022ADE AED A ∠=∠=︒-∠=得,,,B I Y D 四点共圆．又ID AB ⊥，故BY CY ⊥．则ZY ZB ZC ==．同理ZX ZB ZC ==，故ZX ZY =． 又ZY ZC =，∴ ZYC ZCY ACY ∠=∠=∠．从而 ZY ∥AC ．同理ZX ∥AB ． ∴当且仅当60A ∠=︒时，△XYZ 为正三角形．二．求与数列{}*2361,n n n n a n N =++-∈中每一项都互质的所有正整数．解：设质数3p >，由费马小定理得：()121mod p p -≡，()131mod p p -≡，()161mod p p -≡．记121p rp -=+，131p sp -=+，161p tp -=+，,,r s t Z ∈．则222211123611236p p p p rp sp tp a ----+++=++-=++-336r s tp ++=⋅ ∵ 2p a -为整数，而(),61p = ∴ 2|p p a -．又 424823a ==⨯，故没有质数与数列所有的项都互质． 综上所述，与{}n a 中所有项都互质的正整数只有1．三．设12345678A A A A A A A A 为一凸八边形，其中任意三条对角线不共点．我们把任意两条对角线的交点（不包含顶点）称为“扣”，把以这个八边形的四个顶点为顶点的凸四边形称为“子四边形”．求满足以下性质的最小正整数n ：可以找到n 个“扣”，并将它们染色，使得对任意{},1,2,3,4,5,6,7,8i k ∈，i k ≠，(),s i k 为定值．其中，(),s i k 表示以i A 、k A 为其中两个顶点，且对角线交点是一个染色的“扣”的“子四边形”的个数．解：由题目条件，容易看出，任意四个顶点组和“子四边形”一一对应，所有“子四边形”的对角线交点又与所有的“扣”一致，所以我们可以用无序四元集()1234,,,i i i i （{}1,2,3,4,5,6,7,8j i ∈，1,2,3,4j =）来标记以1234,,,i i i i A A A A 为顶点的“子四边形”及其对角线交点对应的“扣”．则原问题要求的性质转化为：找出n 个四元集，使得任意二元组(),x y （x y ≠，{},1,2,3,4,5,6,7,8x y ∈）在其中出现的次数相同．每个染色的四元集中有24C 个二元组，所以()22481,2n C C s ⋅=⋅，即()3141,2n s =，故14|n ，从而14n ≥．下面给出14n =的满足要求的染色方法：14个染色的“扣”为：{}1,2,3,4，{}5,6,7,8，{}1,2,5,6，{}3,4,7,8，{}1,2,7,8，{}3,4,5,6，{}1,3,5,7，{}2,4,6,8，{}1,3,6,8，{}2,4,5,7，{}1,4,5,8，{}2,3,6,7，{}1,4,6,7，{}2,3,5,8．AA 4567。
2005我爱数学初中生夏令营数学竞赛
故p=-2k,q=1.由命题中(3)Ζ(1)得a n+2-2ka n+1+a n=0.①结合a0=0,a1=1,并应用数学归纳法知,数列{a n}的每一项都是整数.由式①得2k|a n+2Ζ2k|a n.而2k|a0,应用数学归纳法可得2k|a2n,n=0,1,….顺便指出,在解题时,可不直接应用命题中结论,而只要按命题的证明步骤进行推导即可.竞赛之窗2005我爱数学初中生夏令营数学竞赛第一试1.已知(1)a>0;(2)当-1≤x≤1时,满足|ax2+bx+c|≤1;(3)当-1≤x≤1时,ax+b有最大值2.求常数a、b、c.2.在△ABC中,已知I为内心,O为外心,AB=5,BC=6,C A=4.求证:OI⊥CI.3.在9×9的方格表中,共有81个小方格.在每一个小方格中,写上一个数.如果只要每行、每列至多有三个不同的数,就能保证在方格表中存在一个数,这个数在某一行中至少出现n次,n次,那么,n的最大值是多少?并证明你的结论.第二试1.已知(2x+z)2(x+y)(-2y+z)=8.则2x+4y-z+6=.2.若2x2+7xy-15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积,其中a、b 为实数,那么,a+b的最小值是.3.已知n是正整数,1+1n2+1(n+1)2是一个有理式A的平方.那么,A=.4.某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要软件至少买3片,磁盘至少买2盒.则不同的选购方式共有种.5.已知方程6x2+2(m-13)x+12-m=0恰有一个正整数解.则整数m的值为.6.在边长为1的正方形ABCD中,点M、N、O、P分别在边AB、BC、CD、DA上.如果AM=BM,DP=3A P,则MN+NO+OP的最小值是.7.已知O为△ABC的外心,AD为BC上的高,∠C AB=66°,∠ABC=44°.那么,∠OAD=.8.代数式9x2+4+9x2-12xy+4y2+1+4y2-16y+20达到最小值时,x、y的值分别为.9.如果2006个整数a1,a2,…,a2006满足下列条件:a1=0,|a2|=|a1+2|,|a3|=|a2+2|,……,|a2006|=|a2005+2|,52 2006年第4期那么,a 1+a 2+…+a 2005的最小值是.10.一栋房子的造价由地上部分费用与基础部分费用组成.一栋面积为N m 2的房子的地上部分费用与N N 成正比,基础部分费用与N 成正比.已知一栋3600m 2的房子的造价中的地上部分费用是基础部分费用的72%.那么,要建造若干栋相同的住房,使总面积为80000m 2的总造价最小,则每栋住房的面积的平方米数应是.参考答案第一试 1.由(1)知y =ax 2+bx +c 为开口向上的抛物线,由(1)、(3)知a +b =2.①由(2)知|a +b +c |≤1,②|c |≤1.③由①、②知|2+c |≤1.④由③、④得c =-1.故x =0时,y =ax 2+bx +c 达到最小值.因此,-b2a=0,b =0.由①得a =2.故f (x )=2x 2-1.图12.如图1,延长CI交AB 于F ,联结AI ,有B F AF =64=32,①B F +AF =5.②由式①、②知AF =2.设M 为边AC 的中点,则AM =2.所以,AM =AF.故∠AFM =∠AMF =90°-12∠BAC ,∠MFC =∠AFC -∠AFM=180°-∠BAC -12∠ACB-90°-12∠BAC =12∠ABC.易知,∠IMF =∠MFC.因此,∠MIC =∠ABC.再设N 为BC 的中点,则∠MNC =∠ABC =∠MIC.故点M 、I 、N 、C 在同一个圆上.又因为点M 、O 、N 、C 在同一个圆上,所以,点M 、I 、O 、C 在同一个圆上.因为OM ⊥MC ,所以,OI ⊥CI.3.如果将9×9的方格表分成9个3×3的方格表,在同一个3×3的方格表的每一个小方格中都写上相同的数,任意两个不同的3×3的方格表上的数都不同,那么,每行、每列恰有三个不同的数.因此,所求的n 的最大值不大于3.下面证明:只要每行、每列至多有三个不同的数,就能保证在方格表中存在一个数,这个数在某一行中至少出现3次,在某一列中也至少出现3次.当某一行中某个数出现的次数不小于3时,就在这一行中这个数所在的小方格打上符号①.由于每行至多有三个不同的数,则在同一行中至多有四个小方格没有打上符号①,至少有五个小方格打上了符号①.因此,整个表中至少有5×9个小方格打上了符号①.同样地,当某一列中某个数出现的次数不小于3时,就在这一列中这个数所在的小方格打上符号②.同理,整个表中至少有5×9个小方格打上了符号②.由于5×9+5×9>9×9,因此,至少有一个小方格既被打上了符号①,又被打上了符号②.显然,在这一小方格中写的数,在这一小方格所在的行中至少出现3次,在这一小方格所在的列中也至少出现3次.综上所述,所求的n 的最大值为3.第二试1.提示:(2x +4y -z )2=0,2x +4y -z +6=6.2.提示:若原式=(x +5y )(2x -3y )+ax +by +3,则(a ,b )=(-5,-12),(5,12),(-7,4),(7,-4).故(a +b )min =-17.62中等数学3.提示:原式=1+1n -1n +12.则A =±n 2+n +1n 2+n.4.先买3片软件和2盒磁盘,余下的180元若不买软件,则可再买磁盘0盒、1盒或2盒;若再买1片软件,则可再买磁盘0盒或1盒;若再买2片软件,则不可能再买磁盘;若再买3片软件,也不可能再买磁盘.共有7种选购方式.5.由于Δ=4(m -13)2-24(12-m )是一个完全平方数,因此,存在非负整数y ,使得(m -13)2-6(12-m )=y 2,即 (m -10-y )(m -10+y )=3.又因为m -10-y ≤m -10+y ,所以,m -10-y =1,m -10+y =3或m -10-y =-3,m -10+y =-1.解得m =12或m =8.若m =12,则原方程无正整数解,矛盾.若m =8,则由原方程解得x =1或x =23.符合题意.故所求的m =8.图26.如图2,有MN +NO +OP=MN +NO 1+O 1P 2≥MP 2,且当点N 、O 1都在线段MP 2上时,上式等号成立.则MP 2=M A 21+A 1P 22=322+742=854.7.如图3,有∠OAD =90°-∠AEF=90°-(∠ABC +∠CB F )=90°-∠C AD -∠ABC =∠ACB -∠ABC =180°-2∠ABC -∠C AB =26°.图3图48.如图4,有原式=[0-(-2)]2+(3x -0)2+(1-0)2+(2y -3x )2+(3-1)2+(4-2y )2=AB +BC +CD ≥AD ,其中A (-2,0)、B (0,3x )、C (1,2y )、D (3,4),并且当点B 、C 在线段AD 上时,原式达到最小值.当原式达到最小值时,有3x 2=45,解得x =815;2y 3=45,解得y =65.9.a 21=0,a 22=a 21+4a 1+4,……,a 22006=a 22005+4a 2005+4.以上各式相加得4(a 1+a 2+…+a 2005)+4×2005=a 22006≥0,a 1+a 2+…+a 2005≥-2005.由已知a 1,a 2,…,a 2005都是偶数,因此,a 1+a 2+…+a 2005≥-2004.另一方面,当a 1=a 3=…=a 2005=0,a 2=a 4=…=a 2004=-2时,符合已知条件,并且使上式等号成立.故所求的最小值是-2004.10.设每栋住房的面积的平方米数应是y ,共建造了x 栋相同的住房,总造价为S.则xy =80000,S =(αy y +βy )・x ,α・36003600β3600=72100,其中α、β为比例常数.于是,有S =α・8000080000x+5000α80000x・x=500080000α16x +x≥106×2α×216x・x=106×82α.由于上式等号成立,因此,16x=x.故x =16,y =5000.(夏兴国 提供)722006年第4期。
我爱数学夏令营计算竞赛-试题(1993-2006)
1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。
2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。
3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。
4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。
5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0.9375=_____。
6．=_________。
7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。
8．=_______。
9． 641×6700417=_________。
10．0.3125×457.83×32=_________。
11．69316.931÷69.31=_________。
12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。
13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。
14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。
15．=_________。
16．=_________。
17．=_________。
18．=_________。
19．=_________。
20．=_________。
21．=_________。
22．=_________。
2001年我爱数学初中生夏令营数学竞赛
2001年我爱数学初中生夏令营数学竞赛是由湖北省教育厅主办的一
项重点活动，旨在提高学生的数学能力，丰富学生的课外活动。
主办方提
出了以下内容：
一、竞赛内容
(1)基础知识答题：参赛学生需要准确地回答基础知识答题，例如函
数的一般性质、几何（三角形、圆、平面几何等），代数（初等方程、十
字矩阵等），概率论及数理统计等诸多数学问题。
(2)应用算法答题：参赛学生需要清楚明确地给出诸如图形的面积、
体积、频率分布等问题的正确答案。
(3)计算机应用：参赛学生需要利用计算机软件来完成复杂的计算，
以及分析研究并解决复杂的数学问题。
二、评选规则
本次比赛按照分赛场、班级、个人累计分数的方式进行评比，并给出
科学、客观、公正的评选和排名结果。
初中生参赛者将从三个维度（个人、班级、分赛场）得分加以累积，最后根据总分数进行排名。
三、奖励设置
(1)分赛场获奖者：分赛场内一、二、三等奖及优秀奖设置。
(2)班级获奖者：班级内三个最高得分者联合颁发特等奖。
(3)个人获奖者：参赛者均可获得参赛奖励。
我爱数学夏令营计算竞赛试题(1993200-6)
1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。
2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。
3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。
4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。
5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0 .9375=_____。
6．=_________。
7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。
8．=_______。
9． 641×6700417=_________。
10．0.3125×457.83×32=_________。
11．69316.931÷69.31=_________。
12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。
13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。
14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。
15．=_________。
16．=_________。
17．=_________。
18．=_________。
19．=_________。
20．=_________。
21．=_________。
22．=_________。
我爱数学夏令营计算竞赛_试题
1993年我爱数学夏令营计算竞赛1．91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8=_________。
2．123+234+345-456+567+678+789-890=_________。
3．1993-1+2-3+4-5+...+1948-1949=_________。
4．93+87+88+79+100+62+75+95+85+69+72+98+89+77+54+75+92+85+83+76+65+60+79+86+100+49+97+97+ 80+78= _________。
5．0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+0.75+0.8125+0.875+0.9375=_____。
6．=_________。
7．2+{3+[4+(5+6)×7]×8}×9=_________。
8．=_______。
9． 641×6700417=_________。
10．0.3125×457.83×32=_________。
11．69316.931÷69.31=_________。
12．0.1×0.2×0.3×…×0.9=_________。
13．0.225×0.335+0.335×0.775+0.775×0.225=_________。
14．3367×3367+3456×3456-4825×4825=_________。
15．=_________。
16．=_________。
17．=_________。
18．=_________。
19．=_________。
20．=_________。
21．=_________。
22．=_________。
2005年全国初中数学联合竞赛试题及解答
又由图像可得： f 1 a b 0 ， f 1 a b 0 ∴ p a b 2a b b a 2a b 2b a ，
q a b 2a b a b b 2a 2b a
0
1
∴ p q ，选 C 6．若 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 为互不相等的正奇数，满足（2005－x1） （2005－x2） （2005－x3）
＝ ＝
＋
1 3－5 2 4
1 7－5 2
＝
7－5 2 7＋5 2 49 50
＝－14 所以选 D 2．圆内接四边形的四条边长顺次为 5、10、11、14，则这个四边形的面积为（ A．78.5. 【答】C. 由余弦定理得：
2 52 1 4 2 5 1 4 c o 2 s 21 0 1 1
12 4 或 x （舍去） 7 3
3．若实数 x ， y 满足 【答】432.
x 3 4
3 3
y 3 6
3 3
1，
x 5 4
3 3
y 5 63
3
1 .则 x y __________.
方法 1：假设 x＋y＝a，则 y＝a－x. 则 33 63 x+ 33 43 a-x 33 63 33 43 ， 即 63 43 x 33 43 a 33 33 43 33 63 43 63
）
D C
P
【答】D. 由图形割补知圆面积等于矩形 ABCD 的面积 ∴ π 12 2 AB ， AB
π 2
2 2
A
B
16 2 16 2 由垂径定理得公共弦为 2 1 2 . 4 2 4
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2005年我爱数学夏令营数学竞赛
1．若4个两两不同的自然数的倒数之和为1，则这样的自然数组(次序不同认为是同样的)共有________组。
2．下面加法算式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么汉字“数学特好玩”表示的5位数是________。
3．如图，在三角形ABC中，已知AF∶FC＝1∶2，BE∶EC＝2∶3。
若三角形ABC的面积为9，则三角形GBE的面积为________。
4．一个整数的个位右边写一个3就得到比原整数多一位的新整数。
若新整数正好是原整数的首位加3所得整数的3倍，则原整数最小是
________。
5．将10个其和为100的整数放在一个圆周上，使得任意3个相邻数的和不小于29，则这10个数中最大的数一定不能大于________。
6．甲、乙是两个整数，若甲的175倍大于乙的125倍，但小于乙的126倍，那么甲、乙之和最小是________。
7．砌一面墙，甲要用10天。
若甲、乙合作只用6天就可完成；乙、丙合作要用8天才能完成。
现在甲、乙、丙一起工作，砌完这面墙后发现甲比乙多砌了2400块砖。
那么丙砌了________块砖。
8．将一个边长为整数的大正方形分成97个边长都是整数的小正方形，若其中96个小正方形的边长是1，则大正方形的边长为________。
9．A，B两校派同样多的学生去参加运动会，都用汽车送学生去参赛。
A校用的汽车每辆可坐15个学生，B校用的汽车每辆可坐13个学生，这样B校比A校多用了1辆车。
后来两校各增加1人参赛，则两校用的汽车数就一样多了，最后又决定再各增加1人参赛，结果B校又比A 校多用了1辆车。
那么两校最后共有________个学生参加运动会。
10．小明计划上午7时50分到8时10分之问从码头出发划船顺流而下。
已知河水流速为1.4千米／小时，船在静水中划行速度为3千米／小时。
规定除第一次划行可不超过30分钟外，其余每次划行均为30分钟，任意两次划行之间都休息15分钟，中途不能改变方向，只能在某次
休息后往回划。
如果要求小明必须在11时15分准时返回码头，为使他划行到下游尽可能远处，他应该在________时________分开始划，划到的最远处距码头________千米。
11．三名选手A，B，C参加一项答题竞赛，共有10个题。
每个题只答“是”或“否”，答对得lO分，答错不得分。
现把三人的答案列表如下(表中“√”代表“是”，“×”代表“否”)：
若A，B，C每人都得70分，则正确答案“是”的题号为________。
12．甲、乙二人同时从A地出发沿公路向距离为60千米的B地前进，路上二人或者骑车或者步行。
由于仅有一辆自行车，所以途中任一时刻至多有一人骑车。
骑车的人可以随时将车放在路上继续步行前进，步行的人看到路上有自行车可以骑上车前进，也可以不骑车继续步行。
结果甲比乙晚到2小时，若步行速度为5千米／小时，骑车速度为15千米／小时，则甲至少步行________千米。