10-专题研究

三条都不交于一点，则这 n 条直线的交点的个数为( A．n(n－1) n（n－1） C. 2 B．(n－1)(n－2) （n－1）（n－2） D. 2
第 6页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【解析】 这 n 条直线交点的个数为 【答案】 C
n（n－1） 2 Cn ＝ . 2
第 7页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
第 9页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
方法二：在四面体中取定一个面，记为 α，那么取不共面的 4 个点，可分为四类．第一类，恰有 3 个点在 α 上．这时，该 3 点必然不在同一条棱上，因此，4 个点的不同取法数为 4(C63－3) ＝68.第二类，恰有 2 个点在 α 上，可分两种情形：①该 2 点在同 一条棱上，这时 4 个点的不同取法数为 3C32·(C42－3)＝27；② 该 2 点不在同一条棱上，这时 4 个点的不同取法数为 (C62 － 3C32)(C42－1)＝30.第三类，恰有 1 个点在 α 上，可分两种情形：
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
思考题 2
(1)将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2
人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的 分配方案有________种(用数字作答)．
第19页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
C62C42C21 【解析】 6 位志愿者分成四组有 2 ＝45 种方案，四 A2 ·A22 组分赴四个不同场馆有 A44＝24 种方案，因此不同的分配方案有 C62C42C21 4 2 2 ·A4 ＝1 080 种． A2 ·A2 【答案】 1 080
【解析】 一共有 8 个相同的小球，放入 5 个不同的盒子， 每个盒子不空，即将小球分成 5 份，每份至少 1 个．(定分数) 将 8 个小球摆放一列， 形成 9 个空， 中间有 7 个空， (定空位) 则只需在这 7 个空中插入 4 个隔板，隔板不同的放法有 C74 7×6×5 3 ＝C7 ＝ ＝35 3×2×1 种．(插隔板)
第28页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
题型四 综合问题 例 4 (1)若三位正整数如“abc”满足 a<b，b>c，则这样的三
位数称为凸数(如 120，121，352)，那么所有的三位凸数的个数 为________．
第29页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【解析】 a，b，c 无重复数字时可组成凸数，A22C103－C92 ＝204 个；a，b，c 有重复数字时有 C102－9＝36 个，故共有 240 个． 【答案】 240
第14页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是 C62C42C22 种方法， 但是这里出现了重复．不妨记 6 本书为 A，B，C，D，E，F，若 第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法 为(AB，CD，EF)，则 C62C42C22 种分法中还有(AB，EF，CD)， (CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB， CD)，共 A33 种情况，而这 A33 种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序 C62C42C22 不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有 A 3 ＝15 种．
第16页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
(7)直接分配问题．甲选 1 本有 C61 种方法，乙从余下 5 本中 选 1 本有 C51 种方法， 余下 4 本留给丙有 C44 种方法， 共有 C61C51C44 ＝30 种． 【答案】 (1)60 (2)360 (6)90 (7)30 (3)15 (4)90 (5)15
(3)平均分成三份，每份 2 本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本； (5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本； (7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本．
第13页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
第20页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
(2)6 名运动员分到 4 所学校去做教练，每校至少 1 人，有多 少种不同的分配方法？
第21页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【解析】
人员分配有两类：1，1，1，3 或 1，1，2，2.先
取人，后取位子． 1，1，1，3：6 人中先取 3 人有 C63 种取法，与剩余 3 人分 到 4 所学校去有 A44 种不同分法，∴共 C63A44 种分法；1，1，2， C62C42C21 2：6 人中取 2 人、2 人、1 人、1 人的取法有 A 2A 2 种，然后 2 2
第 4页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
(2) 在 正 方 体 的 八 个 顶 点 中 取 三 点 连 成 三 角 形 ， 可 构 成 ________个等腰直角三角形．
【答案】 24
第 5页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
思考题 1
(1)平面内有 n 条直线任意两条都相交，任意 )
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
专题研究 排列组合的综合应用
第 1页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
专题讲解
第 2页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
题型一 几何问题 排列组合中的几何问题依然是利用两个基本原理求解，并注 意到分类的不重不漏． 例1 点共线． ①用这 9 个点可以确定多少条直线？ ②用这 9 个点可以确定多少个三角形？ ③用这 9 个点可以确定多少个四边形？ (1)平面上有 9 个点，其中有 4 个点共线，除此外无 3
第30页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
(2)(2016· 衡水调研卷)设集合 S＝{1，2，3，4，5，6，7，8， 9}，集合 A＝{a1，a2，a3}，A⊆S，a1，a2，a3 满足 a1<a2<a3 且 a3 －a2≤6，那么满足条件的集合 A 的个数为( A．76 C．83 ) B．78 D．84
第 3页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【解析】 ①确定一条直线需要两个点， 因为有 4 个点共线， 所以这 9 个点所确定直线的条数为 C92－C42＋1＝31. ②确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这 9 个点确定 三角形的个数为 C93－C43＝80. ③确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这 9 个点确定 四边形的个数为 C94－C51C43－C44＝105. 【答案】 ①31 ②80 ③105
(2)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，若在其中取 4 个不 共面的点，则不同的取法共有多少种？
第 8页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【解析】
方法一：从 10 个点中，任意取 4 个点的不同取
法共有 C104 种，其中，所取 4 个点共面的可分为两类．第一类， 四个点同在四面体的一个面上，共有 4C64 种取法．第二类，四个 点不同在四面体的一个面上，又可分为两种情形：①4 个点分布 在不共面的两条棱上，这只能是恰有 1 个点是某棱的中点，另 3 点在对棱上，因为共有 6 条棱，所以有 6 种取法；②4 个点所在 的不共面的棱不止两条，这时，4 个点必然都是棱的中点，它们 所在的 4 条棱必然是空间四边形的四条边， 故有 3 种不同取法． 所 以符合题意的不同取法种数为 C104－(4C64＋6＋3)＝141.
第11页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
题型二 不同元素分组分配问题 例 2 按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分 配方式？ (1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；
第12页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
3
第15页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
(4)有序均匀分组问题， 在第(3)题基础上再分配给 3 个人， 共 C62C42C22 有分配方式 ·A33＝C62C42C22＝90 种． 3 A3 C64C21C11 (5)有序部分均匀分组问题，共有 A 2 ＝15 种．
2
(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题基础上再分配给 3 个 C64C21C11 人，共有分配方式 ·A33＝90 种． 2 A2
【思路】 这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否 与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复 或遗漏． 【解析】 (1)无序不均匀分组问题， 先选 1 本有 C61 种选法； 再从余下的 5 本中选 2 本有 C52 种选法； 最后余下 3 本全选有 C33 种方法，故共有 C61C52C33＝60 种． (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在 第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C61C52C33A33＝360 种．
第26页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
思考题 3
(2016· 河北沧州市回民中学)有 5 个大学保送
名额，计划分到 3 个班级每班至少一个名额，有多少种不同的分 法？
第27页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【解析】 一共有 5 个保送名额，分到 3 个班级，每个班级 至少 1 个名额，即将名额分成 3 份至少 1 个．(定分数) 将 5 个名额排成一列产生 6 个空，中间有 4 个空．(定空位) 即只需在中间 4 个空中插入 2 个隔板， 隔板不同的方法共有 C42＝6 种．(插隔板) 【答案】 6 种
第17页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
探究 2
均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组
合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀 分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数； 还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础 上乘以分组数的阶乘数．
第18页
第31页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【解析】 在集合 S 中任取三个数共有 C93＝84 种情况，这 三个数大小关系确定，其中不满足 a3－a2≤6， 又最大数减去次大 数大于 6 的情况只有 1 种，即 a1＝1，a2＝2，a3＝9，其他均满足 题意，所以满足条件的集合 A 的个数为 C93－1＝83，故选 C. 【答案】 C
第10页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
①该点是棱的中点，这时 4 个点的不同取法数为 3×3＝9；②该 点不是棱的中点，这时 4 个点的不同取法数为 3×2＝6.第四类， 4 个点都不在 α 上，只有 1 种取法．应用分类计数原理，得所求 的不同取法数为 68＋27＋30＋9＋6＋1＝141. 【答案】 141
所以每盒不空的放法共有 35 种． 【答案】 35
第25页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【讲评】 (1)分定数：确定名额的个数、分成的组数以及各 组名额的数量． (2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数． (3)插隔板： 确定需要的隔板个数， 根据组数要求， 插入隔板， 利用组合数求解不同的分法种数． (4)回顾反思： 隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要 的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根 据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否 利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一 般来说，两端不能插隔板．
题型三 例3
相同元素分配问题(隔板法)
8 个相同的小球放入 5 个不同盒子中，每盒不空的放
法共有________种．
第23页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
【思路】 确定小球的个 明确定位的 利用组合 数和组数及各 ―→ 个数以及隔 ―→ 数求解 组数额的要求 板的个数
第24页
高考调wk.baidu.com ·高三总复习 ·数学 （理）
2 2 1 C C C 6 4 2 分到 4 所学校去， 有 A44 种不同的分法， 共 A 2A 2 A44 种分法． 所 2 2 2 2 1 C C C 6 4 2 以符合条件的分配方法有 C63A44＋ A 2A 2 A44＝1 560 种． 2 2
【答案】
1 560
第22页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）