山东省各地高三数学一模分类汇编11 程序、推理与证明理
山东省泰安市2024届高三一模数学含答案
试卷类型：A高三一轮检测数学试题2024.03注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线2:4C x y =-，则C 的准线方程为（）A ．1y =B ．1y =-C ．2y =D ．2y =-2．已知集合{}{}211,log 1A x x B x x =-≤≤=<，则A B = （）A ．{}2x x <B ．{}12x x -≤≤C ．{}11x x -≤≤D ．{}01x x <≤3．在平面内，,M N 是两个定点，P 是动点，若4MP NP ⋅=，则点P 的轨迹为（）A ．椭圆B ．物物线C ．直线D ．圆4．若2cos 24sin 22παα⎛⎫+-=-⎪⎝⎭，则tan2α=（）A ．2-B ．12-C ．2D ．125．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，且1)a ≠的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．6．已知非零向量,a b 满足a b = ，若()()32a b a b +⊥-，则a 与b 的夹角为（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π7．已知函数()()()12sin cos cos sin 0.0,012f x x x f x f x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+><<== ⎪⎝⎭，若12x x -的最小值为2π，且122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为（）A ．72,2,66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．52,2,66k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZC ．5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZD ．22,2,33k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z8．已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF △周长最小时，该三角形的面积为（）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
专题11 不等式、推理与证明、复数、算法初步-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(解析)
专题11不等式、推理与证明、复数、算法初步考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：线性规划问题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题高考对本节的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算与不等式是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．考点2：不等式大小判断问题2024年北京高考数学真题考点3：利用基本不等式求最值2022年新高考全国II卷数学真题考点4：解不等式2024年上海高考数学真题考点5：程序框图2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点6：复数加减乘除运算2022年新高考天津数学高考真题2023年天津高考数学真题2024年天津高考数学真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年新高考全国II卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（理）真题考点7：模运算2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考北京数学高考真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题考点8：复数相等2024年上海高考数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点9：复数的几何意义2023年北京高考数学真题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题考点1：线性规划问题1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若,x y满足约束条件43302202690x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y=-的最小值为（）A．12B．0C．52-D．72-【答案】D【解析】实数,x y满足4330220 2690 x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y=-可得1155y x z=-，即z的几何意义为1155y x z=-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z有最小值，此时直线1155y x z=-过点A，联立43302690x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得321xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A⎛⎫⎪⎝⎭，则min375122z=-⨯=-.故选：D.2．（2022年新高考浙江数学高考真题）若实数x，y满足约束条件20,270,20,xx yx y-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则34z x y=+的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线340x y z +-=过A 时z 有最大值.由2270x x y =⎧⎨+-=⎩可得23x y =⎧⎨=⎩，故()2,3A ，故max 324318z =⨯+⨯=，故选：B.3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为．【答案】15【解析】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322z y x =-+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：154．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.5．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（）A ．2-B ．4C ．8D ．12【答案】C【解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.考点2：不等式大小判断问题6．（2024年北京高考数学真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A ．12122log 22y y x x ++<B ．12122log 22y y x x ++>C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+【答案】B【解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得1212122222·222x x x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：B.考点3：利用基本不等式求最值7．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥【答案】BC【解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x θθ-==，所以cos ,sin 33x y θθθ=+=，因此2222511cos sin sin cos 1sin 2cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当3333x y ==221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．考点4：解不等式8．（2024年上海高考数学真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．【答案】{}|13x x -<<【解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =，故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<，故答案为：{}|13x x -<<.考点5：程序框图9．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）执行下面的程序框图，输出的B =（）A ．21B ．34C ．55D ．89【答案】B【解析】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=；当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=；当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=；当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）执行下边的程序框图，输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B考点6：复数加减乘除运算11．（2022年新高考天津数学高考真题）已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为．【答案】15i -/51i -+【解析】()()()()113i 12i 113i 11625i15i 1+2i 1+2i 12i 5-----==--．故答案为：15i -．12．（2023年天津高考数学真题）已知i 是虚数单位，化简514i23i++的结果为．【答案】4i +/4i +【解析】由题意可得()()()()514i 23i 514i 5213i4i 23i 23i 23i 13+-++===+++-.故答案为：4i +.13．（2024年天津高考数学真题）已知i 是虚数单位，复数)()5i 52i ⋅=．【答案】75i 【解析】))5i 52i 55i 25i 275i ⋅-=-+=.故答案为：75i .14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i -B ．i C ．0D ．1【答案】A 【解析】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----===-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．15．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设2i z =，则z z ⋅=（）A ．2-B 2C ．2-D ．2【答案】D【解析】依题意得，2i z =-，故22i 2zz =-=.故选：D16．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．2【答案】A【解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A17．（2024年北京高考数学真题）已知1i iz=--，则z =（）．A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】C【解析】由题意得()i 1i i 1z =--=-.故选：C.18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i-D ．1i+【答案】C 【解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i+【答案】B【解析】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故选：B.20．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）()()()351i 2i 2i +=+-（）A ．1-B ．1C ．1i-D ．1i+【答案】C 【解析】()()351i 51i 1i (2i)(2i)5+-==-+-故选：C.21．（2022年新高考全国I 卷数学真题）若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D22．（2022年新高考全国II 卷数学真题）(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i+D ．62i-【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.23．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若13i z =-，则1zzz =-（）A ．13i -B ．13i-C ．133-+D ．133--【答案】C【解析】13i,(13i)(13i)13 4.z zz =-=--=+=13i 131333z zz -==--故选：C考点7：模运算24．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】若1i z =--，则()()22112z -+-=故选：C.25．（2022年新高考北京数学高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故()()223|54|z -+-==．故选：B ．26．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．45B ．42C ．25D ．22【答案】D【解析】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 34422z z +=+=故选：D.27．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2C 5D ．5【答案】C【解析】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则()22322i 2i 12i 125++=-+-=故选：C.考点8：复数相等28．（2024年上海高考数学真题）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b mb b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m =，故答案为：2.29．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （）A ．-1B ．0·C ．1D ．2【答案】C【解析】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.30．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【答案】B【解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.31．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-【答案】A【解析】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.32．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A【解析】12z i=-12i (12i)(1)(22)iz az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩故选:A考点9：复数的几何意义33．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3)-，则z 的共轭复数z =（）A ．13i +B ．13i-C ．13i -D ．13i-【答案】D【解析】z 在复平面对应的点是(3)-，根据复数的几何意义，13i z =-，由共轭复数的定义可知，13i z =-.故选：D34．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.。
山东省临沂市2024届高三下学期一模考试数学试题答案
２０２４年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）数学试题参考答案及评分标准２０２４．３说明：一㊁本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分．二㊁当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分．三㊁解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四㊁只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一㊁选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分㊂在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的㊂１．Ｂ㊀２．Ａ㊀３．Ｃ㊀４．Ｃ㊀５．Ａ㊀６．Ｂ㊀７．Ｄ㊀８．Ｂ二㊁选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分㊂在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求㊂全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分㊂９．ＡＣＤ㊀１０．ＢＣＤ㊀１１．ＡＣ三㊁填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分㊂１２．［１，１０）㊀１３．２㊀１４．３６（２＋３）π㊀１４４π四㊁解答题：本题共５小题，共７７分㊂解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤㊂１５．（１３分）解：（１）ｆ（ｘ）＝ａ㊃ｂ＝２ｃｏｓ２ｘ＋２３ｓｉｎｘｃｏｓｘ１分＝ｃｏｓ２ｘ＋１＋３ｓｉｎ２ｘ３分＝２ｓｉｎ（２ｘ＋π６）＋１，４分因为ｆ（ｘ０）＝１１５，即２ｓｉｎ（２ｘ０＋π６）＋１＝１１５，所以ｓｉｎ（２ｘ０＋π６）＝３５，５分又ｘ０ɪ（π６，π３），所以２ｘ０＋π６ɪ（π２，５π６），所以ｃｏｓ（２ｘ０＋π６）＝－４５，６分所以ｃｏｓ２ｘ０＝ｃｏｓ（２ｘ０＋π６－π６）７分㊀＝ｃｏｓ（２ｘ０＋π６）ｃｏｓπ６＋ｓｉｎ（２ｘ０＋π６）ｓｉｎπ６＝３－４３１０．８分（２）由题意知，ｇ（ｘ）＝１２（２ｓｉｎ（２（ｘ－π６）＋π６）＋１－１）＝ｓｉｎ（２ｘ－π６），１０分由ｇ（ｘ）ȡ１２得，π６＋２ｋπɤ２ｘ－π６ɤ５π６＋２ｋπ，ｋɪＺ，ʑπ６＋ｋπɤｘɤπ２＋ｋπ，ｋɪＺ，１１分令ｋ＝０，得ｘɪ［π６，π２］，令ｋ＝－１，得ｘɪ［－５π６，－π２］，又ｘɪ［－π６，π３］，ʑｘɪ［π６，π３］．故不等式ｇ（ｘ）ȡ１２，ｘɪ［－π６，π３］的解集为［π６，π３］．１３分１６．（１５分）（１）解：随机变量Ｘ可能取值为６，７，８，９．１分由题意得每次掷骰子上两级台阶的概率为２３，上三级台阶的概率为１３，２分则Ｘ－６Ｂ（３，１３）３分可得Ｐ（Ｘ＝６）＝（２３）３＝８２７，４分Ｐ（Ｘ＝７）＝Ｃ１３ˑ１３ˑ（２３）２＝４９，５分Ｐ（Ｘ＝８）＝Ｃ２３ˑ（１３）２ˑ２３＝２９，６分Ｐ（Ｘ＝９）＝（１３）３＝１２７，７分所以Ｘ的分布列为Ｘ６７８９Ｐ８２７４９２９１２７㊀㊀因为Ｅ（Ｘ－６）＝３ˑ１３＝１，所以Ｅ（Ｘ）＝７．９分（２）解：记甲㊁乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率为Ｐ，由题意知，位于第１０级台阶则认定游戏失败，无法获得奖品，所以投掷３次后，学员站在第７步台阶，第四次投掷次骰子，出现３的倍数，即位于第１０级台阶，１０分其概率Ｐ１＝Ｃ１３ˑ１３ˑ（２３）２ˑ１３＝４２７，１２分 所以Ｐ＝Ｃ１２ˑＰ１ˑ（１－Ｐ１）＝２ˑ４２７ˑ２３２７＝１８４７２９．１４分 甲㊁乙两位学生参加游戏，恰有一人获得奖品的概率为１８４７２９．１５分 １７．（１５分）解：（１）作直线ＡＢ１即为所求．１分 连结ＡＣ１交ＤＥ于点Ｍ，连结ＭＦ，２分ȵＡＤ＝２ＤＡ１，Ｃ１Ｅ＝２ＥＣ，ʑＡＤ＝Ｃ１Ｅ＝２３ＡＡ１＝２，又ＡＤʊＣ１Ｅ，ʑ四边形ＡＤＣ１Ｅ为平行四边形，ʑＡＭ＝ＭＣ１，４分 又Ｂ１Ｆ＝ＦＣ１，ʑＭＦʊＡＢ１，５分 又ＭＦ⊂平面ＤＥＦ，ＡＢ１⊄平面ＤＥＦ，ʑＡＢ１ʊ平面ＤＥＦ．６分（２）ȵＳәＡＢＣ＝１２ˑ２ˑ２ｓｉｎøＡＢＣ＝２ｓｉｎøＡＢＣʑ当øＡＢＣ＝π２时，ＳәＡＢＣ取最大值２，即当ＡＢʅＢＣ时，三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的体积最大，７分又ȵＢＢ１ʅＡＢ，ＢＢ１ʅＢＣ，以Ｂ为坐标原点，ＢＡ，ＢＣ，ＢＢ１为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴建立空间直角坐标系，８分则Ｄ（２，０，２），Ｅ（０，２，１），Ｆ（０，１，３），ʑＤＥң＝（－２，２，－１），ＥＦң＝（０，－１，２），１０分 设平面ＤＥＦ的法向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），由ｎ㊃ＤＥң＝０ｎ㊃ＥＦң＝０{，得－２ｘ＋２ｙ－ｚ＝０，－ｙ＋２ｚ＝０，{㊀取ｚ＝１，则ｙ＝２，ｘ＝３２，此时ｎ＝（３２，２，１），１２分又平面ＡＢＣ的一个法向量为ｍ＝（０，０，１），１３分记平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角为θ，则ｃｏｓθ＝｜ｍ㊃ｎ｜｜ｍ｜｜ｎ｜＝１９４＋４＋１＝２２９２９．１４分故平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为２２９２９．１５分１８．（１７分）解：（１）当ａ＝１时，ｆ（ｘ）＝ｘ２（ｌｎｘ＋１），ʑｆ（１）＝１，１分 又ｆᶄ（ｘ）＝ｘ（２ｌｎｘ＋３），２分ʑｆᶄ（１）＝３，３分 ʑｆ（ｘ）在（１，ｆ（１））处的切线方程为３ｘ－ｙ－２＝０．４分（２）ȵｘɪ（０，＋ɕ），ｆᶄ（ｘ）＝２ｘ（ｌｎｘ＋ａ）＋ｘ＝ｘ（２ｌｎｘ＋２ａ＋１），５分令φ（ｘ）＝２ｌｎｘ＋２ａ＋１，φᶄ（ｘ）＝２ｘ＞０，ʑφ（ｘ）在（０，＋ɕ）上单调递增，６分由φ（ｘ）＝２ｌｎｘ＋２ａ＋１＝０得ｘ＝ｅ－ａ－１２，７分ʑｆ（ｘ）在（０，ｅ－ａ－１２）上单调递减，在（ｅ－ａ－１２，＋ɕ）上单调递增．９分（３）ȵｆ（ｅ－ａ）＝０，ʑｘɪ（０，ｅ－ａ）时，ｆ（ｘ）＜０，ʑ０＜ｘ１＜ｅ－ａ－１２＜ｘ２＜ｅ－ａ，１０分ʑｌｎｘ１＜－ａ－１２＜ｌｎｘ２＜－ａ，即２（ｌｎｘ１＋ａ）＜－１＜２（ｌｎｘ２＋ａ）＜０，１１分由ｆ（ｘ１）＝ｆ（ｘ２）得，ｘ１２（ｌｎｘ１＋ａ）＝ｘ２２（ｌｎｘ２＋ａ），即ｅｌｎｘ１２（ｌｎｘ１＋ａ）ｅ２ａ＝ｅｌｎｘ２２（ｌｎｘ２＋ａ）ｅ２ａ，ʑｅ２（ｌｎｘ１＋ａ）㊃２（ｌｎｘ１＋ａ）＝ｅ２（ｌｎｘ２＋ａ）㊃２（ｌｎｘ２＋ａ），１３分令ｔ１＝２（ｌｎｘ１＋ａ），ｔ２＝２（ｌｎｘ２＋ａ），设ｇ（ｔ）＝ｔｅｔ，ｔɪ（－ɕ，０），ʑｇᶄ（ｔ）＝（ｔ＋１）ｅｔ．１４分ʑｔɪ（－ɕ，－１）时，ｇᶄ（ｔ）＜０，ｇ（ｔ）单调递减，ｔɪ（－１，０）时，ｇᶄ（ｔ）＞０，ｇ（ｔ）单调递增，下面证明ｔ１＋ｔ２＜－２，又ｔ２＞－１，即证ｔ１＜－２－ｔ２＜－１，即证ｇ（ｔ１）＞ｇ（－２－ｔ２），即证ｇ（ｔ２）＞ｇ（－２－ｔ２），１５分 令Ｇ（ｔ）＝ｇ（ｔ）－ｇ（－２－ｔ），ｔɪ（－１，０），Ｇᶄ（ｔ）＝ｇᶄ（ｔ）－ｇᶄ（－２－ｔ）＝（ｔ＋１）（ｅｔ－ｅ－２－ｔ）＞０，ʑＧ（ｔ）在（－１，０）上单调递增，１６分ʑＧ（ｔ）＞Ｇ（－１）＝０，从而得证，故２（ｌｎｘ１＋ａ）＋２（ｌｎｘ２＋ａ）＜－２，即ｌｎｘ１ｘ２＜－２ａ－１，ʑ０＜ｘ１ｘ２＜ｅ－２ａ－１，ʑ１ｘ１ｘ２＞ｅ２ａ＋１．１７分 １９．（１７分）（１）解：设动圆Ｃ的半径为ｒ，易知圆Ｃ１和圆Ｃ２的半径分别为５２，２，ȵＣ与Ｃ１，Ｃ２都内切，则｜ＣＣ１｜＝５２－ｒ，｜ＣＣ２｜＝ｒ－２，１分ʑ｜ＣＣ１｜＋｜ＣＣ２｜＝５２－ｒ＋ｒ－２＝４２，２分 又Ｃ１（－２，０），Ｃ２（２，０），ʑ｜Ｃ１Ｃ２｜＝４＜４２，３分 ʑ点Ｃ的轨迹是Ｃ１，Ｃ２为焦点的椭圆，４分 设Ｅ的方程为：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），则２ａ＝４２，２ｃ＝４，ʑａ２＝８，ｂ２＝ａ２－ｃ２＝４，ʑＥ的方程为：ｘ２８＋ｙ２４＝１．５分（２）（ｉ）证明：设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｐ（８，ｔ）（ｔʂ０），则结合圆锥曲线的性质，知直线ＰＡ的方程为ｘ１ｘ８＋ｙ１ｙ４＝１，６分 直线ＰＢ的方程为ｘ２ｘ８＋ｙ２ｙ４＝１，７分 又直线ＰＡ，ＰＢ都过点Ｐ（８，ｔ），则ｘ１＋ｔｙ１４＝１，ｘ２＋ｔｙ２４＝１，８分因此直线ＡＢ的方程为ｘ＋ｔｙ４＝１，显然当ｙ＝０时，ｘ＝１，９分㊀ʑ直线ＡＢ过定点（１，０）．１０分（ｉｉ）设ＡＢ方程为：ｘ＝ｍｙ＋１（ｍʂ０），联立ｘ＝ｍｙ＋１ｘ２＋２ｙ２＝８{，ʑ（ｍ２＋２）ｙ２＋２ｍｙ－７＝０，１１分ʑｙ１＋ｙ２＝－２ｍｍ２＋２，ｙ１ｙ２＝－７ｍ２＋２，１２分又Ａᶄ（ｘ１，－ｙ１），直线ＡᶄＢ方程为ｙ＋ｙ１＝ｙ１＋ｙ２ｘ２－ｘ１（ｘ－ｘ１），令ｙ＝０得ｘＭ＝ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１ｙ１＋ｙ２＝（ｍｙ１＋１）ｙ２＋（ｍｙ２＋１）ｙ１ｙ１＋ｙ２＝２ｍｙ１ｙ２＋（ｙ１＋ｙ２）ｙ１＋ｙ２＝２ｍ㊃ｙ１ｙ２ｙ１＋ｙ２＋１＝２ｍ㊃－７ｍ２＋２－２ｍｍ２＋２＋１＝８，１４分ʑＭ（８，０），又Ｃ２（２，０），ʑ｜Ｓ１－Ｓ２｜＝１２｜Ｃ２Ｍ｜｜｜ｙ１｜－｜ｙ２｜｜＝３｜ｙ１＋ｙ２｜＝６｜ｍ｜ｍ２＋２＝６｜ｍ｜＋２｜ｍ｜ɤ６２２＝３２２，１６分ʑ｜Ｓ１－Ｓ２｜的最大值为３２２，当且仅当｜ｍ｜＝２｜ｍ｜，即ｍ＝ʃ２时取等号．１７分。
山东省各大市 高三数学 1、3月模拟题分类汇编 专题 集合-经典通用宝藏文档
山东省各大市2013届高三1、3月模拟题数学（理）分类汇编专题 集合2013.04.06（济南市2013届高三3月一模 理科）1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则A B ⋂=A ．{}0x x >B ．{}10x x x <->或C ．{}4x x >D ．{}14x x -≤≤（文登市2013届高三3月一模 理科）2.已知集合11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}01=-=mx x B ，若B B A = ，则一切实数m 组成的集合是A ．{}0,1,2-B ．1,0,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．{}1,2- D ． 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ A （淄博市2013届高三3月一模 理科）（2）（理）已知集合{}250M x x x =-<，{}6N x p x =<< ，且{}2MN x x q =<<，则p q += （A ） 6 （B ） 7 （C ） 8 （D ）9（淄博市2013届高三期末 理科）1．全集U=R ，集合{}02|2≥+=x x x A ，则[U A=A ．[]0,2-B ．()0,2-C ．(][)+∞⋃-∞-,02,D ．[]2,0 【答案】B【 解析】{}2|20{02}A x x x x x x =+≥=><-或，所以{20}U A x x =-<<，所以选B.（青岛市2013届高三期末 理科）2.设全集，}6,5,4,3,2,1{=U 集合=⋂==)(}5,4,3{},4,3,2,1{Q C P Q P U ，则，A.｛1，2，3，4，6｝B.｛1，2，3，4，5｝C.｛1，2，5｝D.｛1，2｝【答案】D【 解析】{1,2,6}U Q =,所以(){1,2}U P C Q ⋂==，所以选D.（德州市2013届高三期末 理科）1．已知全集U={l ，2，3，4，5，6}，集合A={l ，2．4：6}，集合B={l ，3，5}，则U A B （ ）A ．{l,2,3,4,5,6}B ．{1，2,4,6}C ．{2,4,6}D ．{2,3,4,5,6} 【答案】B【 解析】{2,4,6}U B =，所以{1,2,4,6}U A B =，选B.（威海市2013届高三期末 理科）2.已知R 为全集，{|(1)(2)0}A x x x =-+≤,则R C A =（A ）{|21}x x x <->或 （B ）{|21}x x x ≤-≥或（C ）{|21}x x -<< （D ）{|21}x x -≤≤【答案】C由于{|(1)(2)0}A x x x =-+≤，所以{|(1)(2)0}{(1)(2)0}{21}R A x x x x x x x x =-+>=-+<=-<<，选C.（烟台市2013届高三期末 理科）1.设集合}{}{{}20,1,2,3,4,5,1,2,540,U A B x Z x x ===∈-+＜则()U C A B ⋃A.｛0,1,2,3,｝B.｛5｝C.｛1,2,4｝D.{0,4,5} 【答案】D【 解析】}2{540{14}{2,3}B x Z x x x Z x =∈-+=∈<<=＜,所以{1,2,3}AB =，所以(){0,4,5}U A B =，选D.成都七中实验学校 2015-2016学年（上期）第一学月考试八年级语文考生留意：1．开考之前请考生将本人的考室号、座号等信息精确的填写在指定的地位，一切答案都写在答题卷上，对错误填写的考生成绩以0分计算。
山东省各市2021届高三第一次模拟数学理试题分类汇编：数列
山东省各市2021届高三第一次模拟数学理试题分类汇编 数列1、（德州市2021届高三）单调递增数列{na }的前n 项和为nS ，且满足244n n S a n=+。
（I ）求数列{na }的通项公式；（II ）数列{n b }满足1221log log 2n n na b a ++=，求数列{n b }的前n 项和n T 。
2、（菏泽市2021届高三）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)()n S n n n N *=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：3122331313131nn n b b b ba =++++++++，求数列{}n b 的通项公式；（3）令()4n n n a bc n N *=∈，求数列{}n c 的 n 项和n T 。
3、（济宁市2021届高三）已知等比数列{}n a 的公比为q ，132a =，其前n 项和为()243,,n S n N S S S *∈，且成等差数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()*1=n n n nb S n N b S -∈，求的最大值与最小值.4、（临沂市2021届高三）已知数列{}{}n n a b 和满足122n b nn a a a -⋅⋅⋅=，若{}n a 为等比数列，且1211,2a b b ==+.（I ）求n na b 与；（II ）设()11n n n c n N a b *=-∈，求数列{}n c 的前n 项和n S .5、（青岛市2021届高三）已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1019a =，10100S =；数列{}n b 对任意N n *∈，总有12312n n n b b b b b a -⋅⋅⋅=+成立.（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记24(1)(21)nnn n b c n ⋅=-+学科网，求数列{}n c 的前n 项和n T .6、（日照市2021届高三）已知数列{}n a 中，111,1,33,nn n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数，为偶数. （I ）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （II ）若nS 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的全部正整数n .7、（潍坊市2021届高三）已知各项为正数的等比数列数列{}n a 的前n 项和为nS ，数列{nb }的通项公式*)(1N n n n n n b n ∈⎩⎨⎧+=为奇数为偶数，若153+=b S ，4b 是2a 和4a 的等比中项．（Ⅰ）求数列{na }的通项公式；（Ⅱ）求数列{nn b a ⋅}的前n 项和为nT .8、（烟台市2021届高三）已知等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S 且满足条件：2421n nS n S n +=+（n *∈N ）．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且有111n n n nb b +T -+=T +（n *∈N ），13b =，证明：数列{}1n b -是等比数列；又211nn n a c b +=-，求数列{}n c 的前n 项和W n ．9、（枣庄市2021届高三）已知数列{na }中，前m 项依次构成首项为1，公差为－2的等差数列，第m ＋1项至第2m 项依次构成首项为1，公比为12的等比数列，其中3m ≥，*m N ∈。
2024年山东省烟台市高三一模卷数学试题及答案
2024年高考诊断性测试数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合R U =，集合{}{}2230,02A xx x B x x =+−<=≤≤∣∣，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.()3,0−B.()1,0−C.()0,1D.()2,32.若5250125(12)x a a x a x a x −=++++L ，则24a a +=（ ）A.100B.110C.120D.1303.若点()1,2A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，则AF =（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.若π1cos 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A.59−B.59C.79− D.795.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）A.3B.6C.10D.156.设,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A.若a ∥,b α∥α，则a ∥b B.若,a b 与α所成的角相等，则a ∥bC.若,a αβ⊥∥,b α∥β，则a b ⊥D.若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a b ⊥7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当01x ≤≤时，()21xf x =−，则()2log 12f =（ ） A.13−B.14− C.13 D.128.在平面直角坐标系xOy 中，点()()1,0,2,3A B −，向量OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r，且40m n −−=.若P 为椭圆2217y x +=上一点，则PC u u u r 的最小值为（ ）D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知12,z z 为复数，下列结论正确的有（ ） A.1212z z z z +=+ B.1212z z z z ⋅=⋅C.若12z z ⋅∈R ，则12z z =D.若120z z ⋅=，则10z =或20z =10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为,x y ，设事件A =“(1)log x y +为整数”，B =“x y +为偶数”，C =“2x y +为奇数”，则（ ） A.()16P A =B.()112P AB = C.事件B 与事件C 相互独立 D.()718P AC =∣ 11.给定数列{}n a ，定义差分运算：2*11Δ,ΔΔΔ,n n n n n n a a a a a a n N ++=−=−∈.若数列{}n a 满足2n a n n =+，数列{}n b 的首项为1，且()1*Δ22,n n b n n N −=+⋅∈，则（ ）A.存在0M >，使得Δn a M <恒成立B.存在0M >，使得2Δn a M <恒成立C.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得n b M >D.对任意0M >，总存在*n ∈N ，使得2Δnnb M b > 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆22()(1)1x m y −+−=关于直线y x =对称的圆恰好过点()0,4，则实数m 的值为__________. 13.在三棱锥P ABC −中，2PB PC ===，且,,APB BPC CPA E F ∠∠∠==分别是,PC AC 的中点，90BEF ∠=o ，则三棱锥P ABC −外接球的表面积为__________，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.（本小题第一空2分，第二空3分.）14.若函数()sin 1f x x x ωω=+−在[]0,2π上佮有5个零点，且在ππ,415⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增，则正实数ω的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+−+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.（1）求a 的值：（2）若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，,3,2AB AC AB AD DB ⊥===，O 为BC 的中点，1A O ⊥平面ABC .（1）求证：1AA OD ⊥；（2）若1AA =1B AA O −−的余弦值.17.（15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别41,53，乙答对两道题的概率分别为21,32，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为12，甲答对任意一题的概率为512，乙答对任意一题的概率为34，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率： （2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率：（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X 道题抢答后比赛结束，求随机变量X 的分布列及数学期望.18.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>经过点()2,0A −l 过点()3,0D 且与双曲线C 交于两点,P Q （异于点A ）.（1）求证：直线AP 与直线AQ 的斜率之积为定值.并求出该定值：（2）过点D 分别作直线,AP AQ 的垂线.垂足分别为,M N ，记,ADM ADN V V 的面积分别为12,S S ，求12S S ⋅的最大值.19.（17分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆A 沿着x 轴正向无滑动地滚动，点M 为圆A 上一个定点，其初始位置为原点,O t 为AM 绕点A 转过的角度（单位：弧度，0t ≥）.（1）用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ：（2）设点M 的轨迹在点()()0000,0M x y y ≠处的切线存在，且倾斜角为θ，求证：1cos2y θ+为定值： （3）若平面内一条光滑曲线C 上每个点的坐标均可表示为()()()[],,,x t y t t αβ∈，则该光滑曲线长度为()()F F βα−，其中函数()F t 满足()F t ='.当点M 自点O 滚动到点E时，其轨迹»OE为一条光滑曲线，求»OE 的长度.2024年高考诊断性测试数学参考答案及评分标准一、选择题A CBC BD A A 二、选择题9.ABD 10.BCD 11.BC 三、填空题12.4 13.10π214.95[,]42四、解答题15.解：（1）x ax x f 212)('−+=, ··································· 2分 直线210x y ++=的斜率21−=k ,由题意知2)2('=f ， ··································· 4分 即2114=−+a ，所以21=a . ···································· 5分 （2）)(x f 的定义域为)0(∞+，. ··································· 6分 因为()0f x ≥，所以x x x b ln 2212+−−≥.设),0(,ln 221)(2+∞∈+−−=x x x x x g ，则max ()b g x ≥.························ 8分 xx x x x x x x x g )2)(1(221)('2++−=+−−=+−−= ··················· 9分 当)1,0(∈x 时，0)('>x g ，所以)(x g 在)1,0(单调递增，当),1(+∞∈x 时，0)('<x g ，所以)(x g 在),1(+∞单调递减， ··············· 11分 所以max 3()(1)2g x g ==−. 所以23−≥b . ······························· 13分16.解：（1）因为AB AC ⊥，3AB ==，所以60ACB ∠=，12OA BC == ············································ 1分因为3AB =，2AD DB =，所以1DB =.在DBO 中，30DBO ∠=，1DB =，OB =，由余弦定理222121cos301OD ︒=+−⨯=，所以1OD =. ········· 3分在ADO 中，1OD =，2AD =，AO =AO OD ⊥. ····· 4分因为1AO ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ， 所以1A O OD ⊥. ····················································· 5分因为1AOAO O =，所以OD ⊥平面1AOA . ······································ 6分 因为1AA ⊂平面1AOA ，所以1AA OD ⊥； ····································· 7分 （2）由（1）可知，1,,OA OD OA 两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OA OD OA 方向分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −. ······ 8分因为1AA =AO =13AO =. ············· 9分则A ， 1(0,0,3)A，3(,,0)22B −. ··········· 10分可得133(,,3)22BA =−，333(,,0)22BA =−， 设(,,)x y z =m 为平面1ABA 的一个法向量，则33023022x y z x y −+=⎨⎪−=⎪⎩，取x =，则3y =，1z =， 故=m ， ····························· 12分 由题意可知，(0,1,0)=n 为平面 ······················· 13分因为3cos ,||||13<>===m n m n m n ，所以二面角1B AA O −−的余弦值为13. ······························· 15分17.解：（1）两人得分之和大于100分可分为甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70分、乙得70分三种情况，所以得分大于100分的概率112141114121753325332533245p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ·························· 4分（2）抢答环节任意一题甲得15分的概率15111212243p =⨯+⨯=. ············ 7分 （3）X 的可能取值为2,3,4,5.因为甲任意一题得15分的概率为13，所以任意一题乙得15分的概率为23. ····· 8分 211(2)()39P X ===， 121214(3)33327P X C ==⨯⨯⨯=， 1243121228(4)()()333381P X C ==⨯⨯⨯+=， 13334412121232(5)()()33333381P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. ··················· 12分所以的分布列为·································· 13分所以142832326()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ····················· 15分 18.解：（1）由题意知，2a =，c a= 又因为222=+c a b ， ··················· 2分解得4=b .所以，双曲线C 的方程为221416x y −=. ············································· 3分 设直线l 的方程为3x my =+，联立2214163x y x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得，22(41)24200m y my −++=. ··············· 4分不妨设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12m ≠±，且1222441m y y m −+=−，1222041y y m =−. ························· 5分 所以12122121212225()25AP AQ y y y y k k x x m y y m y y =⋅=+++++ ····················· 7分 45=−. ····························· 9分 （2）设直线AP 的方程为(2)y k x =+，则直线1:(3)DM y x k=−−，联立(2)1(3)y k x y x k =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得251M k y k =+， ····································· 11分 用45k −替换上式中的k 可得21002516N ky k −=+. ······························· 13分 故21222253125||4(1)(2516)M N k S S y y k k ⋅==++ ································· 15分 223125162541k k=++.因为22162540k k +≥=，当且仅当5k =±时，“=”成立，所以12312581S S ⋅≤， 故12S S ⋅的最大值为312581. ························· 17分 19.解：（1）由题意可得1cos y t =−，||OB BM t ==，所以||sin sin x OB t t t =−=−， ································ 2分所以sin x t t =−，1cos y t =−. ································ 4分（2）证明：由复合函数求导公式t x t y y x '''=⋅，所以sin 1cos x tt x t t y x y t y x x t '''⋅'===''−. ·········································· 7分 所以sin tan 1cos ttθ=−，因为222222cos 21cos 22cos sin cos tan 1θθθθθθ+===++ 20222(1cos )1cos sin 22cos ()11cos t t y t t t −===−=−+−，所以01+cos2y θ为定值1. ········································· 10分（3）由题意，()2|sin |2t F t '===. ·········· 13分因为02t ≤≤π，sin 02≥所以()2sin 2tF t '=，所以()4cos 2tF t c =−+（c 为常数）， ······································ 15分(2)(0)(4cos )(4cos0)8F F c c π−=−π+−−+=,所以OE 的长度为8. ································· 17分。
山东省各市高三数学第一次模拟 试题分类汇编 复数、推理与证明 理
山东省各市2015届高三第一次模拟数学理试题分类汇编复数1、（德州市2015届高三）设复数z 的共轭复数为z ，若(2)3i z i +=-，则z z g 的值为A 、1B 、2CD 、42、（济宁市2015届高三）已知i 是虚数单位，复数221i z z i=-=+，则A.2B. D.1 3、（临沂市2015届高三）设i 是虚数单位，复数7412i i +=+ A. 32i + B. 32i - C. 23i + D. 23i -4、（青岛市2015届高三）设i 为虚数单位，复数21i i+等于 A ．i +-1 B ．i --1 C ．i -1D ．i +1 5、（日照市2015届高三）已知复数121234,,z i z t i z z =+=+⋅且是实数，则实数t 等于 A.34 B. 43 C. 43- D. 34- 6、（潍坊市2015届高三）设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若i z 211-=，则12z z 的虚部为 A ．53 B ．53- C ．54 D ．54- 7、（烟台市2015届高三）复数321i z i -=-的共轭复数z =（ ） A ．5122i + B ．5122i - C ．1522i + D ．1522i - 8、（淄博市2015届高三）复数31i i +（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 9、（滨州市2015届高三）设i 为虚数单位，则复数34i i-＝ （A ）－4－3i （B ）－4＋3i （C ）4＋3i （D ）4－3i10、（泰安市2015届高三）已知i 是虚数单位，3,,1i a b R a bi i+∈+=-，则a b +等于 A. 1- B.1 C.3 D.4 11、（菏泽市2015届高三）已知复数121,1z i z i =-=+，则12z z i等于（ ） A ．2i B ．2i - C ．2i + D ．2i -+推理与证明12、（烟台市2015届高三）已知()xx f x e =，()()1f x f x '=，()()21f x f x '=⎡⎤⎣⎦，⋅⋅⋅，()()1n n f x f x +'=⎡⎤⎣⎦，n *∈N ，经计算：()11x x f x e -=，()22x x f x e -=，()33x x f x e -=，⋅⋅⋅，照此规律则()n f x = ．13、（滨州市2015届高三）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ＋4）＝f （x ），当(2,0)x ∈-时，()2xf x =，则f （2014）＋f （2015）＋f （2016）＝＿＿＿＿＿14、（潍坊市2015届高三）在对于实数x ，][x 表示不超过的最大整数，观察下列等式： 3]3[]2[]1[=++ 10]8[]7[]6[]5[]4[=++++ 21]15[]14[]13[]12[]11[]10[]9[=++++++……按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为 ；参考答案1、B2、C3、B4、D5、A6、D7、B8、B9、A 10、C 11、B12、(1)()e n xx n -- 13、1214、22n n。
2022年山东省高考数学一模试卷及答案解析
2022年山东省高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若复数z 满足iz ＝1﹣i （其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3＜0}，B ＝{x |lnx ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（1，e ]B ．[1，3]C ．（0，e ]D ．（0，3]3．（5分）已知等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞1是{a n }为增数列的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）如图所示，正方体的棱长为√3，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为（ ）A ．π6B ．πC ．4π3D ．4π5．（5分）北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．90种B ．125种C ．150种D ．243种6．（5分）已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X 近似服从正态分布N （100，225），从中任取3名同学，至少有2人的数学成绩超过100分的概率为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．787．（5分）已知抛物线C ：y 2＝4x ，圆F ：（x ﹣1）2+y 2＝1，直线l ：y ＝k （x ﹣1）（k ≠0）自上而下顺次与上述两曲线交于M 1，M 2，M 3，M 4四点，则下列各式结果为定值的是（ ） A ．|M 1M 2|•|M 3M 4|B ．|FM 1|•|FM 4|C ．|M 1M 3|•|M 2M 4|D ．|FM 1|•|M 1M 2|8．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）={2|x−1|−1，0＜x ≤212f(x −2)，x ＞2，若关于x 的方程[f （x ）]2﹣（a +1）f （x ）+a ＝0（a ∈R ）恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（ ） A ．﹣4B ．4C ．8D ．﹣4或8二、选择题：本题共4小题。
(山东版 第01期)高三数学 名校试题分省分项汇编试题 专题11 算法、推理与证明、新定义题 文(解
（山东版第01期）2014届高三数学名校试题分省分项汇编试题专题11 算法、推理与证明、新定义题文（解析版）一．基础题组1. 【山东省堂邑中学2014届高三上学期9月假期自主学习反馈检测】若某程序框图如图所示，则运行结果为．2.【山东省聊城市某重点高中高三上学期期初分班教学测试】阅读下图程序框图，该程序输出的结果是（）A 、4B 、81C 、729D 、21873. 【山东省临沂市2013届高三5月高考模拟】阅读如图所示的程序框图，若输入变量n 为100，则输出变量S 为( )（A ）2500 （B ）2550 （C ）2600 （D ）2650【解析】试题分析：由程序知当2n =时，满足条件，走“是”，输出S ，即100982S =+++，求得50(1002)25502S +==.考点：1算法的程序框图；2.等差数列求和.4. 【山东烟台2013届高三5月适应考】依据小区管理条例，小区编制了如图所示的住户每月应缴纳卫生管理费的程序框图，并编写了相应的程序．已知小张家共有4口人，则他家每个月应缴纳的卫生管理费（单位：元）是A．3．6B．5．2C．6．2D．7．2二．能力题组1. 【山东省淄博2013届高三第二次检测】执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是______.2. 【山东省济南市高三3月考】若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．2 B．3 C．4D．53. 【13届山东青岛一中高三调研】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A．3 B．4 C．5 D．6三．拔高题组1. 【山东烟台2013届高三5月适应考】已知两点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P, 使|PM|－|PN|=6，则称该直线为“R型直线”．给出下列直线：①y=x+l：②y=2；③y=43x；④y= 2x +1，其中为“R型直线“的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④2. 【山东省淄博2013届高三第二次检测】 定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点为A,B,M()(),x y x 是f 图象上任意一点，其中()()()1,1x a b R ON OA OB λλλλλ=+-∈=+-向量，若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()[],f x a b 在上“k 阶线性近似”.若函数[]112y x x=+在，上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为（ ） A.[)0+∞，B.[)1+∞，C.322⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，D.322⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭，3. 【山东省实验中学高三三诊】 定义方程)(')(x f x f =的实数根0x 叫做函数)(x f 的“新驻点”，若函数3(),()ln(1),()1g x x h x x x x φ==+=-的“新驻点”分别为γβα，，，则γβα，，的大小关系为（ ）A.βαγ>>B.γαβ>>C.γβα>>D.αγβ>> 【答案】A 【解析】试题分析：'()1g x =，所以由()'()g g αα=得1α=。
山东省13市高三3月模拟数学理试题分类汇编：复数、推理与证明含答案.doc
山东省13市2016届高三3月模拟数学理试题分类汇编复数、推理与证明一、复数1、（滨州市2026高三3月模拟）若复数Z =（2_" （/•为虚数单位），则2 =I（A ） 25 （B ） >/41 （C ） 5 （D ） V52、 （德州市2016高三3月模拟）已知复数z 满足za = l + Z （Z 是虚数单位）,则复数z 的共辘 复数在复平面内所对应的点的坐标为 A 、（1,1）B 、（-1, -1）C 、（1, -1）D 、（-1,1）2 3、 （荷泽市2016高三3月模拟）复数z 二 一（i 是虚数单位）的共觇复数在复平面内对1 + i应的点是（ ）A. （1.1）B. （1,-1）C. （-1,1）D. （-1-1）复数z 为纯虚数，若（3 — i ）・z = d + i （i 为虚数单位），则 实数G 的值为 A. — B. 3 C. —D.—333tn + ni6、（青岛市2016高三3月模拟）已知i 是虚数单位，+ = 则~•m- ni的共辘复数为 ______ ;7、 （日照市2016高三3月模拟）己知复数z 满足Z ・i = 2 — i,i 为虚数单位，则z 的共轨复数78、（泰安市2016高三3月模拟）已知可=2『+让2=1-2<；若」为实数，则实数t 的值 Z 2 为4、（济宁市2016高三3月模拟）A.第一彖限B.第二象限 已知i 为虚数单位，则"占在复平面内对应的点位于C.第三象限D.第四象限 5、（临沂市2016高二3月模拟） z 为 A. -1-2/ B. 1 + 2/ C. 2-1D. —1 + 2,A.1C ，4$ ■9、（潍坊市2016高三3月模拟）设i 是虚数单位，若复数d +」一（QW /?）是纯虚数，则Q 二1-2/B. —1 D.z -10、（烟台市2016高三3月模拟）复数z 满足—— =i （i 为虚数单位），则2 = z-i A. 1 + i B. 1-i C.上乜 D. 上^学科网2 2 11> （枣庄市2016高三3月模拟）已知,为虚数单位，则Z 20,6=（） A. 1B. -1C ・ iD. -z（5-z V12、 （淄瞎市2016高三3月模拟）i 是虚数单位，复数 — 表示的点在 A.第一彖限B.第二象限C.第三象限D.第四象限r\ Q •13、 （济南市2016高三3月模拟）已知复数z = 二上（i 为虚数单位），则z 在复平面内对1 + z应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案： I 、 C 2、A 3、A 4、B 5、A 6、i 7、D 8、D 9、D 10、DII 、 A 12、 C 13、【答案】C【解析】考查复数的相关知识。
山东省济南市高三数学第一次模拟考试试题理
- 1 -高三数学第一次模拟考试试题理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11212ii???（其中i为虚数单位）的虚部为（）A35 B35i C35? D35i?2.若集合{|12}Axx???，{|,}BxxbbR???，则AB?的一个充分不必要条件是（）A．2b? B．12b?? C．1b? D．1b?3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x，方差为2s，则（）A4x?，22s? B4x?，22s? C4x?，22s? D4x?，22s?4.已知椭圆C：22221(0)xyabab????，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（）A2213632xy?? B22198xy?? C22195xy?? D2211612xy??5.已知正项等比数列{}n a满足31a?，5a与432a的等差中项为12，则1a的值为（）A．4 B．2 C12 D146.已知变量x，y满足约束条件40221xyxy????????????，若2zxy??，则z的取值范围是（）A．[5,6)? B．[5,6]? C．(2,9)D．[5,9]?7.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.如图，这是一个用七巧板拼成的正方形，其中1号板与2号板为两个全等的等腰直角三角形，3号板与5号板为两个全等的等腰直角三角形，7号板为一个等腰直角三角形，4号板为一个正方形，6号板为一个平行四边形.现从这个正方形内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）- 2 -A18 B14 C316 D388.已知函数()sin()fxx????3cos()x????0,2???????????的最小正周期为?，且()3fxfx?????????，则（）A．()fx在0,2???????上单调递减 B．()fx在2,63????????上单调递增C．()fx在0,2???????上单调递增 D．()fx在2,63????????上单调递减9.某程序框图如图所示，该程序运行后输出M，N的值分别为（）A．13，21 B．34，55 C．21，13 D．55，34 10.设函数212()log(1)fxx??112x??，则使得()(21)fxfx??成立的x的取值范围是（）A．(,1]?? B．[1,)?? C1,13??????D??1,1,3??????????11.设1F，2F分别为双曲线22221(0,0)xyabab????的左、右焦点，过1F作一条渐近线的垂- 3 -线，垂足为M，延长1FM与双曲线的右支相交于点N，若13MNFM?，则此双曲线的离心率为（）A132 B53 C43 D26312.设1x，2x分别是函数()x fxxa???和()log1a gxxx??的零点（其中1a?），则124xx?的取值范围是（）A．[4,)?? B．(4,)?? C．[5,)?? D．(5,)??二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,1)a?，(2,)bx?，若ab?与3ab?平行，则实数x的值是14.某几何体的三视图如图所示，其中主视图的轮廓是底边为23，高为1的等腰三角形，俯视图的轮廓为菱形，左视图是个半圆.则该几何体的体积为15.512axxxx??????????????的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含4x项的系数为16.如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：原点处标数字0，记为0a；点(1,0)处标数字1，记为1a；点(1,1)?处标数字0，记为2a；点(0,1)?处标数字-1，记为3a；点(1,1)??处标数字-2，记为4a；点(1,0)?处标数字-1，记为5a；点(1,1)?处标数字0，记为6a；点(0,1)处标数字1，记为7a；…以此类推，格点坐标为(,)ij的点处所标的数字为ij?（i，j均为整数），记- 4 -12nn Saaa???????，则2018S?三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC?中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且coscos2bAaBc??. （1）证明：tan3tanBA??；（2）若2223bcabc???，且ABC?的面积为3，求a.18.如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，//ABCD，且6CD?，12AB?，将它沿对称轴1OO折起，使平面1ADOO?平面1BCOO.如图2，点P为BC中点，点E在线段AB 上（不同于A，B两点），连接OE并延长至点Q，使//AQOB.（1）证明：OD?平面PAQ；（2）若2BEAE?，求二面角CBQA??的余弦值.19.2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中- 5 -各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.（1）完成下面的22?列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品．．．进行等级细分，质量指标值落在[25,30)内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20,25)或[30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率．．．．．．．．代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望. 附：0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63522()()()()()nadbcKab cdacbd??????20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线1C：24xy?，直线l与抛物线1C 交于A，B两点.（1）若直线OA，OB的斜率之积为14?，证明：直线l过定点；（2）若线段AB的中点M在曲线2C：214(2222)4yxx?????上，求AB的最大值.21.已知函数2()ln(21)fxaxxax????()aR?有两个不同的零点. （1）求a的取值范围；（2）设1x，2x是()fx的两个零点，证明：122xxa??.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，过点(1,2)P的直线l的参数方程为112322xtyt??? ????????（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin???.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于M，N两点，求11PMPN?的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()222fxxx????. （1）求不等式()6fx?的解集；- 7 -（2）当xR?时，()fxxa???恒成立，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题1-5: CDABA 6-10: ACDBC 11、12：BD 二、填空题13. 2 14. 33? 15. -48 16. -249 三、解答题17.【解析】（1）根据正弦定理，由已知得：sincoscossinBABA?2sin2sin()CAB???，展开得：sincoscossinBABA?2(sincoscossin)BABA??，整理得：sincos3cossinBABA??，所以，tan3tanBA??.（2）由已知得：2223bcabc???，∴222cos2bcaAbc???3322bcbc??，由0A???，得：6A??，3tan3A?，∴tan3B??，由0B???，得：23B??，所以6C??，ac?，由12sin23Sac??213322a???，得：2a?. 18.【解析】（1）【解法一（几何法）】取1OO的中点为F，连接AF，PF；∴//PFOB，∵//AQOB，∴//PFAQ，∴P、F、A、Q四点共面，又由图1可知1OBOO?，- 8 -∵平面1ADOO?平面1BCOO，且平面1ADO O平面11BCOOOO?，∴OB?平面1ADOO，∴PF?平面1ADOO，又∵OD?平面1ADOO，∴PFOD?.在直角梯形1ADOO中，1AOOO?，1OFOD?，1AOFOOD???，∴1AOFOOD???，∴1FAODOO???，∴190FAOAODDOOAOD????????，∴AFOD?. ∵AFPFF?，且AF?平面PAQ，PF?平面PAQ，∴OD?平面PAQ.（1）【解法二（向量法）】由题设知OA，OB，1OO两两垂直，所以以O为坐标原点，OA，OB，1OO所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AQ的长度为m，则相关各点的坐标为(0,0,0)O，(6,0,0)A，(0,6,0)B，(0,3,6)C，(3,0,6)D，(6,,0)Qm. ∵点P为BC中点，∴9(0,,3)2P，- 9 -∴(3,0,6)OD?，(0,,0)AQm?，9(6,,3)2PQm???，∵0ODAQ??，0ODPQ??，∴ODAQ?，ODPQ?，且AQ与PQ不共线，∴OD?平面PAQ.（2）∵2BEAE?，//AQOB，∴132AQOB??，则(6,3,0)Q，∴(6,3,0)QB??，(0,3,6)BC??. 设平面CBQ 的法向量为1(,,)nxyz?，∵1100nQBnBC?????????，∴630360xyyz?????????，令1z?，则2y?，1x?，则1(1,2,1)n?，又显然，平面ABQ的法向量为2(0,0,1)n?，设二面角CBQA??的平面角为?，由图可知，?为锐角，则12126cos6nnnn?????. 19.【解析】（1）根据图3和表1得到22?列联表：- 10 -将22?列联表中的数据代入公式计算得：22()()()()()nadbcKabcdacbd??????2400(172828192)20020036436 ????????12.210?. ∵12.2106.635?，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图3和表1可知，设备改造前产品为合格品的概率约为1724320050?，设备改造后产品为合格品的概率约为1922420025?；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优.（3）由表1知：一等品的频率为12，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为12；二等品的频率为13，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为13；三等品的频率为16，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为16.由已知得：随机变量X的取值为：240，300，360，420，480.240PX?（）1116636???，300PX?（）12111369C????，360PX?（）1211115263318C??????，420PX?（）12111233C????，480PX?（）111224???.240 300 360 420 480P136195181314∴11240300369EX????（）5113604204804001834???????. 20.【解析】设??11,Axy，??22,Bxy，（1）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm??，- 11 -由24xyykxm??????，得：2440xkxm???，??2160km????，124xxk??，124xxm??，1212OAOB yykkxx????2212121144xxxx???12164xxm????，由已知：14OAOB kk???，所以1m?，∴直线l的方程为1ykx??，所以直线l过定点(0,1).（2）设??00,Mxy，则12022xxxk???，2002ykxmkm????，将??00,Mxy带入2C：214(2222)4yxx?????得：22124(2)4kmk???，∴243mk??.∵02222x???，∴22222k???，∴22k???，又∵??216km???22216(43)32(2)0kkk??????，∴22k???，故k的取值范围是：(2,2)k??.2212121()4ABkxxxx????22116()kkm???，将243mk??代入得：????224212ABkk???????221242622kk?????，当且仅当2212kk???，即22k??时取等号，所以AB的最大值为21.【解析】（1）【解法一】函数()fx的定义域为：(0,)??.'()221afxxax????(21)()xaxx???，①当0a?时，易得'()0fx?，则()fx在(0,)??上单调递增，- 12 -则()fx至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当0a?时，令'()0fx?得：xa?，∴max()()fxfx?极大()(ln1)faaaa????. 设()ln1gxxx???，∵1'()10gxx???，则()gx在(0,)??上单调递增. 又∵(1)0g?，∴1x?时，()0gx?；1x?时，()0gx?. 因此：（i）当01a??时，max()()0fxaga???，则()fx无零点，不符合题意，舍去.（ii）当1a?时，max()()0fxaga???，∵12()(1)faee??2110ee???，∴()fx在区间1(,)ae上有一个零点，∵(31)ln(31)faaa???2(31)(21)(31)aaa?????[ln(31)(31)]aaa????，设()lnhxxx??，(1)x?，∵1'()10hxx???，∴()hx在(1,)??上单调递减，则(31)(2)ln220hah?????，∴(31)(31)0faaha?????，∴()fx在区间(,31)aa?上有一个零点，那么，()fx恰有两个零点. 综上所述，当()fx有两个不同零点时，a的取值范围是(1,)??. （1）【解法二】函数的定义域为：(0,)??.'()221afxxax????(21)()xaxx???，①当0a?时，易得'()0fx?，则()fx在(0,)??上单调递增，则()fx至多只有一个零点，不符合题意，舍去.- 13 -②当0a?时，令'()0fx?得：xa?，则∴max()()fxfx?极大()(ln1)faaaa????.∴要使函数()fx有两个零点，则必有()(ln1)0faaaa????，即ln10aa???，设()ln1gaaa???，∵1'()10ga a???，则()ga在(0,)??上单调递增，又∵(1)0g?，∴1a?；当1a?时：∵12()(1)faee??2110ee???，∴()fx在区间1(,)ae上有一个零点；设()lnhxxx??，∵11'()1xhxxx????，∴()hx在(0,1)上单调递增，在(1,)??上单调递减，∴()(1)10hxh????，∴lnxx?，∴2()ln(21)fxaxxax????22(21)3axxaxaxxx???????23(3)axxxax????，则(4)0fa?，∴()fx在区间(,4)aa上有一个零点，那么，此时()fx恰有两个零点.综上所述，当()fx有两个不同零点时，a的取值范围是(1,)??. （2）【证法一】由（1）可知，∵()fx有两个不同零点，∴1a?，且当(0,)xa?时，()fx是增函数；当(,)xa???时，()fx是减函数；不妨设：12xx?，则：120xax???；- 14 -设()()(2)Fxfxfax???，(0,2)xa?，则：'()'()'(2)Fxfxfax???2(21)2aaxaxax??????2(2)(21)axa????22()22(2)aaxaxaxxax???????. 当(0,)xa?时，'()0Fx?，∴()Fx单调递增，又∵()0Fa?，∴()0Fx?，∴()(2)fxfax??，∵1(0,)xa?，∴11()(2)fxfax??，∵12()()fxfx?，∴21()(2)fxfax??，∵2(,)xa???，12(,)axa????，()fx在(,)a??上单调递减，∴212xax??，∴122xxa??. （2）【证法二】由（1）可知，∵()fx有两个不同零点，∴1a?，且当(0,)xa?时，()fx是增函数；当(,)xa???时，()fx是减函数；不妨设：12xx?，则：120xax???；设()()()Fxfaxfax????，(0,)xa?，则'()'()'()Fxfaxfax????2()(21)aaaxaaxax????????2()(21)axa????222()()aaxaxaxaxax????????. 当(0,)xa?时，'()0Fx?，∴()Fx单调递增，又∵(0)0F?，∴()0Fx?，∴()()faxfax???，∵1(0,)axa??，∴12()()fxfx?11(())(())faaxfaax??????1(2)fax??，∵2(,)xa???，12(,)axa????，()fx在(,)a??上单调递减，- 15 -∴212xax??，∴122xxa??. 22.【解析】（1）由已知得：112322xtyt???????????，消去t得23(1)yx???，∴化为一般方程为：3230xy????，即：l：3230xy????.曲线C：4sin???得，24sin????，即224xyy??，整理得22(2)4xy???，即：C：22(2)4xy???.（2）把直线l的参数方程112322xtyt???????????（t为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中得：2213(1)()422tt???，即230tt???，设M，N两点对应的参数分别为1t，2t，则121213tttt?????????，∴11PMPN?1212PMPNttPMPNtt?????? 21212121212()4tttttttttt????????133?. 23.【解析】（1）当2x??时，()4fxx???，∴()646fxx?????2x???，故2x??；当21x???时，()3fxx??，∴()636fxx????2x???，故x??；当1x?时，()4fxx??，∴()646fxx????10x??，故10x?；综上可知：()6fx?的解集为(,2][10,)????.- 16 -（2）由（1）知：4,2()3,214,1xxfxxxxx????????????????，【解法一】如图所示：作出函数()fx的图象，由图象知，当1x?时，13a????，解得：2a??，∴实数a的取值范围为(,2]???. 【解法二】当2x??时，4xxa?????恒成立，∴4a?，当21x???时，3xxa????恒成立，∴2a??，当1x?时，4xxa????恒成立，∴2a??，综上，实数a的取值范围为(,2]???.。
山东潍坊2024届高三一模数学试题(解析版)
潍坊市高考模拟考试数学1. 已知平面向量()1,2a =注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ，()1,b λ=−，若a b ⊥，则实数λ=（ ）A.12B. 12−C. 2−D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量()1,2a =，)1,b λ=− ，由a b ⊥ ，得120a b λ⋅=−+=，所以12λ=. 故选：A2. 已知抛物线:C 2x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（ ） A. 1 B.54C.32D. 2【答案】B 【解析】【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线:C 2x y =的准线方程为14y =−， 又点M 在抛物线上且纵坐标为1，所以点M 到C 的焦点的距离为41154 −−= .故选：B3. 已知集合(){}3log212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ∪=，则=a （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ∪=，即A B ⊆，所以4a =. 故选：D4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =−=+，则4S =（ ） A. 6 B. 7C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式即可得到45a =，再由等差数列的求和公式即可得到结果. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则()17474772722a a a S a +×===， 又74510S a =+，则447510a a =+，即45a =， 则()()1444415822a a S +−+===. 故选：C5. 12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目： IV XLCDM1 5 10 50 100 500 1000例如：58LVIII =，464CCCCLXIIII =．依据此记数方法，MMXXXV =（ ） A. 2025 B. 2035C. 2050D. 2055【答案】B 【解析】【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.【详解】依题意，每个M 表示1000，左起两个M 就表示2000， 每个X 表示10，中间3个X 就表示30，最后一个V 表示5， 因此MMXXXV 表示的数是20003052035++= 所以2035MMXXXV =. 故选：B6. 如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP AC ⊥，则点P 的轨迹长度是（ ）A.B.C.12D. 1【答案】B 【解析】【分析】连接1,DC BD ，利用线面垂直的判定推理证得1AC 平面1BC D 即可确定点P 的轨迹得解. 【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，连接1,,DC BD AC ，由1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得1BD AA ⊥，而BD AC ⊥，11,,AA AC A AA AC ∩=⊂平面1AA C ，则BD ⊥平面1AA C ，又1AC ⊂平面1AA C ， 于是1BD A C ⊥，同理11BC A C ，而11,,BC BD B BC BD =⊂ 平面1BC D ， 因此1A C ⊥平面1BC D ，因1DP AC ⊥，则DP ⊂平面1BC D ， 而点P 为截面11A C B 上的动点，平面11AC B ∩平面11BC D BC =，为所以点P 的轨迹是线段1BC. 故选：B7. 已知数列{}n a 满足10a =，21a =．若数列1n n a a −+是公比为2的等比数列，则2024a =（ ）A.2023213+ B. 2024213+C. 101221−D. 101121−【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列求出112n n n a a −++=，进而求得2112(2)n n n a a n −+−−=≥，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，121a a +=，112n n n a a −++=，当2n ≥时，212n n n a a −−+=，则2112n n n a a −+−−=， 所以35202120242426420242022()()()12222a a a a a a a a =+−+−++−=+++++101120232(14)211143−+=+=−. 故选：A8. 已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且AB BC ⊥，2BC =，则该棱柱体积的最大值为（ ） A. 8 B. 12C. 16D. 24【答案】C 【解析】【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设(06)AB x x =<<，把棱锥体积用含有x 的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中AB BC ⊥，所以ABC 直角三角形，则ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点，同理111A B C △外接圆的圆心为斜边11A C 的中点，如图，为直三棱柱111ABC A B C外接球的直径为6，∴外接球的半径3R =，设上下底面的中心分别为1O ，O ，连接1O O ，则外接球的球心G 为1O O 的中点， 连接GC ，则3GC =，设(06)AB x x =<<，所以AC =，则OC =，在Rt COG 中，OG =1OO∴该棱柱的体积12162V x =×≤=．当且仅当2232x x =−，即4x =时等号成立．故选：C ．二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则（ ）A. 8a =B. 6人年龄的平均数为35C. 6人年龄的75%分位数为36D. 6人年龄的方差为643【答案】ACD 【解析】【分析】根据极差求出a ，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.【详解】因为这6人年龄的极差为14，即()422014a −+=，解得8a =，故A 正确； 所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42， 则6人年龄的平均数为()1283032363642346+++++=，故B 错误； 又675% 4.5×=，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C 正确； 又6人年龄的方差()()()()()()222222216428343034323436343634423463S =−+−+−+−+−+−= ，故D 正确. 故选：ACD10. 函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+−（01ω<<）的图象如图所示，则（ ）A. ()f x 的最小正周期为2πB. )3π(2y f x =+是奇函数C. π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D. 若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈ 【答案】ACD 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<， 解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确； π(2)2sin(2)2co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ()cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin()cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[()]2sin()cos ()626233g x x x x x x x g x −=−−=−+=+=， π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π]666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,)66t ∈，D 正确.故选：ACD11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，且()()2f x f x x −−=，()()20g x g x +−=，则（ ）A. ()01g =B. ()f x y x=的图象关于点()0,1对称C. ()()20f x f x +−=D. ()212nk n n g k =−=∑（*N n ∈）【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，对条件()()2f x f x x −−=，求导可得；对于B ，对条件()()2f x f x x −−=，两边同时除以x 可得；对于C ，反证法，假设C 正确，求导，结合条件()(2)0g x g x +−=，可得(0)0g =与(0)1g =矛盾，可判断C ；对于D ，求出()10g =，()21g =−，所以有(2)()2g n g n +−=−，()()211g g −=−，*N n ∈，得出数列{()}g n 是以0为首项，1−为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．【详解】因为()()2f x f x x −−=， 所以()()2f x f x ′+−=′，即()()2g x g x +−=， 令0x =，得(0)1g =，故A 正确；因为()()2f x f x x −−=， 当0x ≠时，()()2f x f x x x −+=−，所以()f x y x=的图象关于点()0,1对称，故B 正确； 对于C ，假设()(2)0f x f x +−=成立， 求导得()(2)0f x f x ′′−−=， 即()(2)0g x g x −−=，又()(2)0g x g x +−=， 所以()0g x =，所以(0)0g =与(0)1g =矛盾，故C 错误；对于D ，因为()()2g x g x +−=，()(2)0g x g x +−=， 所以(2)()2g x g x −−−=−，(0)1g =，()10g =，()21g =−， 所以有(2)()2g n g n +−=−， 所以数列{}()g n 的奇数项是以0为首项，2−为公差的等差数列， 数列{}()g n 的偶数项是以1−为首项，2−为公差的等差数列，又()()211g g −=−，*N n ∈， 所以数列{}()g n 是以0为首项，1−为公差的等差数列， 所以()1g n n =−，所以21()2nk n n g k =−=∑，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是()()2f x f x x −−=，()()20g x g x +−=的应用，D 选项关键是推出{}()g n 是以0为首项，1−为公差的等差数列.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12. 已知i 是虚数单位，若复数z 满足()2i i z +=，则i2z=−______． 【答案】i 5【解析】【分析】利用复数除法法则进行计算出答案.. 【详解】()i 2i i 2i z z +=⇒=+，故()()2ii ii i i i 22245z ===−+−−. 故答案为：i513. 第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有______种．（结果用数值表示） 【答案】120 【解析】【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种， 则剩下的4人全排列有44A 种排法，故一共有445A 120×=种排法． 故答案为：120．14. 已知平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x =，2l ：2y x =−，点P 为平面内一动点，过P 作2//DP l 交1l 于D ，作1//EP l 交2l 于E ，得到的平行四边形ODPE 面积为1，记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是______．【答案】()1,4 【解析】【分析】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d 再联立直线PD 与2y x =的方程，求出点D的坐标，进而表达出平行四边形ODPE 面积，再结合平行四边形ODPE 面积为1求出点P 的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．【详解】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =直线PD 方程为0022y x x y =−++， 联立00222y x x y y x =−++=，解得0024D x y x +=，所以OD =所以1ODPE S OD d =平行四边形，所以22014y x −=±，所以点P 的轨迹Γ为两个双曲线2214y x −=、2214y x −=， 因为双曲线2214y x −=的实半轴长为1，双曲线2214y x −=的实半轴长为2，若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则12<<，即14t <<， 所以实数t 的取值范围是(1,4)． 故答案为：()1,4．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P 的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出t 的取值范围.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos a B B c +=． （1）求A ；（2）若c =a =，D 为BC 的中点，求AD ． 【答案】（1）π4（2 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin cos A A =，即可得解；（2）由余弦定理求出b ，再由()12AD AB AC =+，根据数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】因为()sin cos a B B c +=， 由正弦定理得sin (sin cos )sin A B B C +=， 在ABC 中，sinsin()C A B =+， 则有sin (sin cos )sin()A B B A B +=+，sin sin sin cos sin cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=，又()0,πB ∈，sin 0B ∴>，sin cos A A ∴=，tan 1A ∴=，又()0,πA ∈，π4A ∴=； 【小问2详解】根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+−，则有2522b b =+−，解得3b =或1b =-（舍去）， D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+， ()222111722923444AD AB AC AB AC ∴=++⋅=×++= ，AD ∴16. 已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）中，点A ，C 分别是E的左、上顶点，AC =E的焦距为（1）求E 的方程和离心率；（2）过点()1,0且斜率不为零的直线交椭圆于R ，S 两点，设直线RS ，CR ，CS 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k +=−，求k 的值．【答案】（1）2214x y +=，e =（2）3 【解析】【分析】（1）由||AC 的值，可得a ，b 的关系，再由焦距可得c 的值，又可得a ，b 的关系，两式联立，可得a ，b 的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线RS 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线CR ，CS 的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS 的斜率的大小． 【小问1详解】由题意可得(,0)A a −，(0,)C b ，可得AC =2c =c =可得2223a b c −==，225a b +=， 解得24a =，21b =，所以离心率ce a == 所以椭圆的方程为2214x y +=，离心率e =【小问2详解】 由（1）可得(0,1)C ，小问3详解】 【小问4详解】由题意设直线RS 的方程为1x my =+()0m ≠，则1k m=， 设()11,R x y ，()22,S x y ()120x x ≠，联立22141x y x my +==+，整理可得22(4)230m y my ++−=， 显然0∆>，且12224my y m +=−+，12234y y m =−+， 直线CR ，CS 的斜率1111y k x −=，2221y k x −=， 则12211212121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y my y my y k k x x my my −−+−++−+=+=++ 1212212122(1)()2()1my y m y y m y y m y y +−+−=+++22222322(1)2244321144mm m m m m m m m m m −−⋅+−⋅−++=−−−⋅+⋅+++， 因为123k k +=−，即231m −=−，解得13m =， 所以直线RS 的斜率13k m==． 即k 的值为3．【17. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D −中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=°，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC 的中点．（1）求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；（2）若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2. 【解析】【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】ABCD 中，由120ABC ∠=°，得60DCM ∠=°，而2,4DC CM ==， 在DCM △中，由余弦定理，得DM =，则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1CD D D ⊥，1DD DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，在所以平面11CDD C ⊥平面1D DM . 【小问2详解】在四棱台1111ABCD A B C D −中，由112AB A B =，得1128AD A D ==，有114A D =， 在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ， 则14,4AE A E ==，又1AA =，显然22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥， 又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ， 以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz −，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC −=−， 设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则12040MC n y CC n y z ⋅=−+= ⋅=−+=，令z =，得(4,n = ，而DM =，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||sin |cos ,|||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉==，所以直线DM 与平面11BCC B. 18. 若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(,)i j a b ，,1,2,i j =⋅⋅⋅，记ij p 表示(,)i j a b 在Ω中出现的概率，其中(,)[()()]ij i j i j p P a b P a b ξηξη====== ． （1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量． ①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m ，n 表示）；（2）()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：1()i ijj P a pξ+∞===∑．【答案】（1）①(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②9!!(3)!2m n m n ⋅−−；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可. 【小问1详解】①该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值为：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意，03m n ≤+≤，(,)(|)()P m n P m n P n ξηξηη=====⋅=， 显然3312()C ()()33nnnP n η−==，则3333111(|)C ()()C ()222mmn mmn n nm n ξη−−−−−====， 所以3333112(,)C ()C ()()233mnn n n n P m n ξη−−−===⋅331C C 279!!(3)!2n m n m n m n −=⋅−−. 【小问2详解】 由定义及全概率公式知，12({([(]})))()()i i j P a P a b b b ξξηηη====== 12{[([(([(})()]))])()]i i i j P a b a b a b ξηξηξη====== 12[([(()()]))]))][((i i i j P a b P a b P a b ξηξηξη===+==++==+11[))](((,)i j i j j j P a b P a b ξηξη+∞+∞======∑∑ 1ij j p +∞==∑. 【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.的19. 已知函数1()2ln f x m x x x=−+（0m >）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：2322221111(1)(1)(1)(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<（*n ∈N ，2n ≥）；（3）若函数221()ln 2g x m x x x=−−+有三个不同的零点，求m 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析； （3）(1,)+∞. 【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，按01m <≤与1m >分类讨论求出()f x 的单调区间. （2）利用（1）中1m =时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.（3）变形函数()g x ，将()g x 的零点个数问题转化为()f t 的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解. 【小问1详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得2222121()1m x mx f x x x x−+−′=−−=， 设2()21k x x mx =−+−，则24(1)m ∆=−，①当01m <≤时，0,()0f x ∆′≤≤恒成立，且至多一点处为0，函数()f x 在(0,)+∞上递减； ②当1m >时，0,()k x ∆>有两个零点120,0x m x m =−>=>，则当10x x <<或2x x >时，()0k x <，即()0f x ′<；当12x x x <<时，()0k x >，即()0f x ′>， 即函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增， 所以当01m <≤时，()f x 的递减区间为(0,)+∞；当1m >时，()f x的递减区间为(0,)m m ++∞，递增区间为(m m . 【小问2详解】由（1）知，当1m =时，(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x=−+<=， 则1ln 22x x x<−，令*211(,2)x n n n =+∈≥N ， 于是2222222111111111ln(1)(1)()112212(1)4n n n n n n n +<+−=+<<++−111122n n −−+，22221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)234n ++++++++ 111111212()()()11111113322332222222n n n <−+−++−=−<−+−+−++ ， 所以2322221111(1)(1)(1)(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<.【小问3详解】函数222221(1)()ln 2ln (ln ln x g x m x x m x m x m x x x −=−−+=−=+， 由于ln x 与1x −同号，则ln y m x +1x =，令t =，由(1)0f =，则()g x 有三个不同的零点等价于函数()f t 有三个不同的零点，由（1）知，当01m <≤时，()f t 在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m >时，由（1）知，()f x 的两极值点12,x x 满足121=x x ，所以121t t =，得121t t <<，由(1)0f =， 则12)((1)(0)f t f f t <=<，由（2）知，当1t >时，1ln 22t t t<−，则<，即ln t < 因此2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m−=−+<−−+=<， 由零点存在性定理知，()f t 在区间()22,4t m 上有唯一的一个零点0t ，显然000000001111(()2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=−++−+=， 而0()0f t =，则0)(10f t =，于是当1m >时，()f t 存在三个不同的零点001,1,t t ， 所以m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。
山东省舜耕中学高三数学一轮复习资料 第十一编 概率统计11.6 几何概型教案 理
高三数学（理）一轮复习教案第十一编概率统计总第59期§11.6 几何概型基础自测1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为 .1答案22.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 .（第2题）（第5题）2答案3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 .3答案54.设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P（A）= .答案315.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为 .答案61例题精讲例1有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？解记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4 （米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以P（A）=103310--=104=0.4.例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？ 解 （1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内，所以概率为222979-=8132. （2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的41圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为8192ππ=. 例3 （14分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？解 1升=1 000毫升， 1分记事件A ：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 3分则P （A ）=000110=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 7分记事件B ：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”. 9分则P （B ）=000130=0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03. 14分例4 在Rt △ABC 中，∠A=30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM|＞|AC|的概率. 解 设事件D “作射线CM ，使|AM|＞|AC|”. 在AB 上取点C ′使|AC ′|=|AC|，因为△ACC ′是等腰三角形，所以∠ACC ′=230180 -=75°,A μ=90-75=15，Ωμ=90，所以，P （D ）=9015=61. 例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去.求两人能会面的概率.解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y ）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：P （A ）=S S A=222604560-=600302526003-=167.所以，两人能会面的概率是167.巩固练习1.如图所示，A 、B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？解 记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10 （米）， ∴P （E ）=3010=31. 2.（2008·江苏，6）在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为 .答案 16π3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵A μ=0.1升，Ωμ=2升，∴由几何概型求概率的公式，得P （A ）=ΩA μμ=21.0=201=0.05.4.在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.解 如图所示，把圆弧 三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就落在∠EOF 内， ∴P （A ）= 9030=31. 5.将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解 设A=“3段构成三角形”，x,y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y.则试验的全部结果可构成集合Ω={（x ，y ）|0＜x ＜l,0＜y ＜l,0＜x+y ＜l},要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y ＞l-x-y ⇒x+y ＞2l ,x+l-x-y ＞y⇒y ＜2l ,y+l-x-y ＞x ⇒x ＜2l .故所求结果构成集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<>+2,2,2|),(l x l y l y x y x .由图可知，所求概率为P （A ）=的面积的面积ΩA =222122l l ⎪⎭⎫ ⎝⎛•=41. 回顾总结 知识方法思想课后作业一、填空题1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a ＜20的概率是 .答案 1032.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是 .答案 51 3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是 .1答案164.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为 .（第4题） (第7题) 2答案1-π5.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBCS的概率是 .的面积大于43答案46.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是 .π答案67.已知如图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 . 答案 33 8.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 . 答案 2517 二、解答题9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm ，靶心直径12.2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率. 解 记“射中黄心”为事件A ，由于中靶点随机的落在面积为π41×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点在面积为π41×12.22 cm 2的黄心时，事件A 发生，于是事件A 发生的概率P （A ）=22122412.1241⨯⨯ππ=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？解 设事件A “父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x 和y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x ≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A μ=12-21×21×21=87，Ωμ =1，所以P （A ）=ΩμμA =87. 11.已知等腰Rt △ABC 中，∠C=90°.（1）在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM ＜30°的概率；（2）在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM ＜30°的概率.解 （1）设CM=x ，则0＜x ＜a.（不妨设BC=a ）. 若∠CAM ＜30°,则0＜x ＜33a,故∠CAM ＜30°的概率为P （A ）=的长度区间的长度区间),0(330a a ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33.（2）设∠CAM=θ，则0°＜θ＜45°.若∠CAM ＜30°,则0°＜θ＜30°,故∠CAM ＜30°的概率为P （B ）=的长度的长度)450()30,0( ，=32. 12.设关于x 的一元二次方程x 2+2ax+b 2=0.（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a 是从区间［0，3］任取的一个数，b 是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率. 解 设事件A 为“方程x 2+2ax+b 2=0有实根”.当a ≥0,b ≥0时，方程x 2+2ax+b 2=0有实根的充要条件为a ≥b.（1）基本事件共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P（A ）=129=43. （2）试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a ≤3,0≤b ≤2}.构成事件A 的区域为{(a,b)|0≤a ≤3,0≤b ≤2,a ≥b}.所以所求的概率为P(A)=23221232⨯⨯-⨯=32.。
山东省各地市2024年高考数学(文科)最新试题分类大汇编24：复数-推理与证明
【山东省济宁市邹城二中2024届高三其次次月考文】1．已知i 是虚数单位,=-+i i21（ ）A ．i 5151+ B ．i 5351+C ．i 5153+D ．i 5353-【答案】B【山东省济宁市邹城二中2024届高三其次次月考文】13．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y = x 与双曲线y = x1的一个交点; 命题2：点(2,4)是直线y = 2x 与双曲线y = x8的一个交点; 命题3：点(3,9)是直线y = 3x 与双曲线y = x27的一个交点; … … .请视察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为： .【答案】),(2n n ） 是直线y=nx 与双曲线yn y 3=的一个交点【山东省济宁市鱼台二中2024届高三11月月考文】6．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22（ ）A ．i --1B ．i +-1C ．i +1D ． i -1【答案】D【山东省济宁市汶上一中2024届高三11月月考文】7、计算=+-i i13（ ）A 、i 21+B 、i 21-C 、i +2D 、 i -2【答案】B【山东省济南市2024届高三12月考】6.复数z 满意(12)7i z i -=+，则复数z 的共轭复数z =A.i 31+B. i 31-C. i +3D. i -3【答案】B【山东省济南市2024届高三12月考】16. )(x f 是定义在R 上恒不为0的函数，对随意x 、R ∈y 都有)()()(y x f y f x f +=，若))((,21*1N n n f a a n ∈==，则数列{}n a 的前n 项和n S 为A ．12121+-=n n SB ．1211+-=n n S C.n n S 211-= D ．n n S 2121-=【答案】C【山东省济宁市重点中学2024届高三上学期期中文】11. 若复数3(R,12a iz a i i+=∈-是虚数单位），且z 是纯虚数，则|2|a i +等于( )A ．5B ．210C ．25D ．40 【答案】B【山东省济宁一中2024届高三第三次定时检测文】2．复数123,1z i z i =+=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．其次象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A【山东省莱州一中2024届高三其次次质量检测】对于连续函数)(x f 和)(x g ,函数|)()(|x g x f -在闭区间［b a ,］上的最大值为)(x f 与)(x g 在闭区间［b a ,］上的“肯定差”，记为b x a x g x f ≤≤∆)).(),((则322221331≤≤-+∆x x)x ,x (= 【答案】103【山东省青州市2024届高三2月月考数学（文）】13．若复数312a ii-+（,a R i ∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】6【山东省青州市2024届高三2月月考数学（文）】15.在一次演讲竞赛中，10位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据(18)i x i ≤≤，在如图所示的程序框图中，x 是这8个数据中的平均数，则输出的2S 的值为_ ____【答案】15【山东省青州市2024届高三上学期期中文16．已知数列{}n a 中，11211,241n n a a a n +==+-，则n a = 。
山东一模考试知识点高三
山东一模考试知识点高三山东一模考试是高三学生进行全面复习和检测自己学习成果的重要考试。
在这篇文章中，我将为大家详细介绍山东一模考试的知识点，希望能对正在备考的同学们有所帮助。
一、数学知识点1. 函数与方程在山东一模考试中，函数与方程是数学考试的重点内容。
学生需要掌握函数的概念、基本性质和常见函数的图像，以及方程的解法和应用。
2. 平面几何平面几何是山东一模考试中的另一个重点知识点。
学生需要熟悉平面几何的基本概念、性质和定理，掌握平面几何证明的方法和技巧。
3. 数列与数项数列与数项是山东一模考试数学部分的重要考点。
学生需要理解数列与数项的概念、计算数列的通项公式和部分和公式，能够应用数列解决实际问题。
二、物理知识点1. 力学力学是山东一模考试物理部分的重要内容。
学生需要掌握质点的运动规律、力的合成与分解、牛顿定律等内容，能够熟练运用力学知识解决相关问题。
2. 光学光学是山东一模考试物理部分的另一个重点知识点。
学生需要了解光的传播规律、光的反射与折射、光的干涉与衍射等内容，能够应用光学知识解决实际问题。
3. 电学电学是山东一模考试物理部分的另一个考点。
学生需要掌握电路基本知识、电流的定义和测量、电阻与导线、电功和电能等内容，能够理解电学原理并解决相关问题。
三、化学知识点1. 物质的结构与性质物质的结构与性质是山东一模考试化学部分的重点内容。
学生需要熟悉元素周期表、原子结构、离子化合物等基本知识，并能够分析物质的结构和性质。
2. 化学反应与能量变化化学反应与能量变化是另一个重点考点。
学生需要了解化学反应的基本概念、平衡反应的条件和速率反应，能够分析化学反应的能量变化。
3. 有机化学有机化学是山东一模考试化学部分的另一个重要知识点。
学生需要了解有机化合物的命名规则、结构和性质，以及有机反应的机理与应用。
四、英语知识点1. 语法与词汇英语语法与词汇是山东一模考试英语部分的重点内容。
学生需要掌握基本的句子结构、动词时态、冠词与代词的用法等，同时还需要积累并熟练运用各类词汇。
2021年山东各地高中模试题汇编——集合与常用逻辑用语(含答案解析)
1.（潍坊一模1）已知集合A ＝{﹣2，0}，B 集合与常用逻辑用语集合＝−=x x x 202}{，则以下结论正确的是A ．A ＝B B ．A B ＝{0}C ．A B ＝AD ．A ⊆B2.（滨州一模）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x +y ∈A }，则集合B 的子集的个数为（ ）A ．4B ．7C ．8D ．16 3.（2021•临沂一模1）已知全集U=A ∪B =(0,4]，A ∩C U B =(2,4]，则集合B=（ ）A.(-∞，2]B. (-∞，2)C. (0，2]D. (0，2)4.（烟台一模1）已知集合A {x |−x 2+2x >0}，B ={x |x >1}，则A ∩C R B =A.（0,1）B.（0,1]C.（-∞,0）D.（1,2）5.（2021•淄博一模2）已知集合＝{x |0≤x ≤2}，集合B ＝{x |x 2＜x }，则A ∩B ＝（ ）A ．（1，2]B ．（0，1）C ．[0，1）D ．（1，2）6.（日照一模2）设集合A ={x |x 2+x −2<0}，B ={x |2x +3>0}，则A ∩B =A. (−32,1)B. (−32,−1)C. (−1,2)D. (−2,1)7.（泰安一模1）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6≤0}，B ＝{x |x 2＞4}，则A ∩B ＝（ ）A ．（2，3）B ．[2，3]C ．（2，3]D ．[2，3]∪{﹣2} 8.（济宁一模1）1.已知集合A ={x |x 2+2x >0},B ={x|2x ≥12}，则A ∪B=A.(0，＋∞)B.(-∞，-2)∪(-1，＋∞)C.(-∞，-2)∪[-1，＋∞)D.(-∞，＋∞)9.（德州一模1）已知集合A ＝{x |y ＝}，B ＝{x |lg （x ﹣2）≤1}，则A ∩B ＝（ ）A ．（2，3]B ．[﹣4，4]C ．[2，4）D ．（2，4] 10.（菏泽一模2）设集合A ＝{x |x ＜2或x ＞3}，B ＝{x |e x ﹣1﹣1＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，1）D ．（3，+∞）11.（青岛一模1）已知集合A y y x x ==>2log ,4}{，B x R y x 12=∈=⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪，则（) R C A B =（ ） A.−∞,2]( B.2,+∞)[ C.0,2][ D.0,2)(常用逻辑用语一、单项选择1.（聊城一模1）已知M ，N 为R 的两个不相等的非空子集，若⋂=∅M C N R )(，则下列结论错误的是A ．∃∈∈x N x M ,B ．∃∈∉x N x M ,C ．∀∈∈x M x N ,D ．∀∈∈x N x M , 2.（济南一模2）设集合A={x|x−1x ＜0},B={x|x+1>0},则“x ∈A”是“x ∈B”的 A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.（菏泽一模3）命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定为（ ）A ．∀x ∉R ，x 2≥0B ．∀x ∈R ，x 2＜0C ．∃x ∈R ，x 2≥0D ．∃x ∈R ，x 2＜04．（2021•临沂一模3）设a ，b ，c ，d 为实数，则“a ＞b ，c ＞d ”是“a +c ＞b +d ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.（青岛一模2）若，αβ表示两个两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则（ ）A.“m ∥β”是“α∥β”的充分不必要条件B.“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件C.“m ⊥β”是“⊥αβ”的必要不充分条件D.“m ⊥β”是“⊥αβ”的充要条件6.（泰安一模3）已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2+ax +1＞0，命题q ：函数y ＝﹣（a +1）x 是减函数，则命题p 成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7.（德州一模3）已知a ，b ∈R ，则a ＜b 是a 2（e a ﹣e b ）＜0的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. （2021•淄博一模6）若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S 2020＞0，S 2021＜0”是“a 1010a 1011＜0”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、多项选择9.（济宁一模9）下列说法正确的是 A.命题“∃x <0,使得x 2−x −2>0”的否定是“∀x <0,使得x 2−x −2≤0”B.设随机变量ξ~N (1,σ2)若P (ξ<3a −1)=P (ξ>a +2),则a =14C.正实数a,b 满足a+b-1,则2a +1b 的最小值为5D.{an}是等比数列，则“a 1+a 2<2a 2”是“a 1<0”的充分不必要条件10．（2021•临沂一模9）下列结论正确的是（ ）A ．命题“∀x ∈R ，x 2﹣x +1≥0”的否定是“∃x ∈R ，x 2﹣x +1＜0”B ．已知回归模型为y =x 2+2x +1，则样本点（1，3）的残差为﹣1C ．若幂函数的图象过点（12，14），则该函数的单调递增区间为（﹣∞，0]D ．若（2x 1x ）n 的展开式中各项的二项式系数之和为32，则此展开式中x 2项的系数为﹣80答案解析集合1.【答案】B【解析】∵集合A ＝{﹣2，0}，B ＝−=x x x 202}{＝{0，2}，∴A B ＝{0}，故选B ．2.【答案】C【解析】∵集合A ＝{1，2，3}，平面内以（x ，y ）为坐标的点集合B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x +y ∈A }，∴B ＝{（1，1），（1，2），（2，1）}，∴B 的子集个数为：23＝8个．故选：C ．3.【答案】C【解析】因为U=A ∪B =(0,4]，A ∩C U B =(2,4]，所以B=(0，2]，故选C.4.【答案】B【解析】因为-x2+2x>0,所以0<x<2，A=(0,2)，又因为B={x|x>1},所以C R B ={x|x≤1}，因此A∩C R B =(0,1]，故选B 。
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2012山东省各地高三一模数学理分类汇编：程序、推理与证明
【2012山东济宁一模理】13.执行如图所示的程序框图，那么输出的S 的值是_____▲
______.
【答案】
【2012潍坊一模理】6．运行右图所示的程序框图，若输出结果为7
13
，则判断框中应该壤的条件是
A ．k>5 B.k>6 C ．k>7 D ．k>8
【答案】B
【2012临沂一模理】4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】C
【解析】第一次循环，2,2==i a ，第二次循环，3,5==i a ，第三次循环，4,16==i a ，第四次循环，5,65==i a ，此时满足条件，输出5=i ，选C.
【2012枣庄市高三一模理】14．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 。
【答案】
2012
1
【2012德州高三一模理】7．右图的程序框图输出结果i=( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【2012泰安市高三一模理】10.执行如图所示的程序框图，输出的S值为
A.3
B.—6
C.10
D.15
【答案】C
【答案】
【2012烟台一模理】13．执行如图的程序框图，那么输出S的值是
【答案】1 2
【2012日照市高三一模理】7）已知程序框图如右，则输出的
i （A）7 （B）8
（C）9 （D）10
【答案】C
【2012济南高三一模理】7右面的程序框图输出的S是126，则①应为
A ．6n ≤？ B. 5n ≤？ C ．7n ≤？ D. 8n ≤？
【答案】A
【山东省实验中学2012届高三第四次诊断考试理】10.右面是“二分法”解方程的流程图.在①~④处应 填写的内容分别是（ ）
A.f (a) f (m)＜0；a=m ；是；否
B. f (b) f (m)＜0；b=m ；是；否
C. f (b) f (m)＜0；m=b ；是；否
D. f (b) f (m)＜0；b=m ；否；是
【答案】D
【2012青岛高三一模理】5. 运行如右图所示的程序框图,则输出S 的值为
A.3
B.2-
C.4
D.8 【答案】B
【2012淄博市高三一模理】7．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数：21
(),(),f x x f x x
==
(),()sin ,x f x e f x x ==则可以输出的函数是
A ．2()f x x = B.1()f x x
=
C ．()x f x e = D.()sin f x x = 【答案】D
【2012枣庄市高三一模理】10．2012
2个位上的数字为
（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C
【2012德州高三一模理】16．已知a (m,n ),b (p,q )==，定义a b mn pq ⊗=-，下列等式中 ①0a a ⊗=； ②a b b a ⊗=⊗； ③(a b )a a a b a +⊗=⊗+⊗；
④222222(a b )(a b )(m q )(n p )⊗+∙=++ 一定成立的是 ．(填上所有正确的序号) 【答案】
【2012烟台一模理】14．已知2
13
cos =
π
41
52cos
5cos
=ππ
231cos cos cos 7778
πππ=
根据以上等式，可猜想出的一般结论是 【答案】21
cos
cos
cos
21
21
212
n n n n n π
π
π=+++，n N *∈． 【山东省实验中学2012届高三第四次诊断考试理】8.将石子摆成如图的梯形形状.称数列5，9，14，20，…为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即a 2012-5= （ ）
A.2018×2012
B. 2018×2011
C. 1009×2012
D. 1009×2011
【答案】D
【2012淄博市高三一模理】16．对于各数互不相等的整数数组123(,,,i i i …,)n i （n 是不小于3
的正整数），若对任意的,p q {1,2,3∈…,}n ，当p q <时有p q i i >，则称,p q i i 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组（2，3，1）的逆序数等于 2.若数组123(,,,i i i …，)n i 的逆序数为n ，则数组1(,,n n i i -…，1i ）的逆序数为 .
【答案】232
n n
-
【2012烟台一模理】16.若实数x 、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m .若2
1
x -比1远离0，则x 的取值范围是
【答案】(,( 2.)x ∈-∞+∞。